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Cuadernillo de Matemática
2015
Escuela Normal Superior N°2 Juan María Gutiérrez Provincial N° 35
INGRESO 2015
Profesorado de Educación Primaria
Profesorado de Educación Inicial
Matemática
Cuadernillo
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Cuadernillo de Matemática
2015
¡Bienvenidos!
-
El siguiente cuadernillo de Matemática contiene tres bloques temáticos:
Conjuntos numéricos.
Geometría.
Medida.
Este cuadernillo ha sido pensado para ayudarte a recuperar y consolidar algunos
conocimientos matemáticos básicos que seguramente adquiriste durante tu escolaridad.
Cada bloque comienza con un marco teórico breve y continúa con una serie de
actividades.
Te sugerimos la lectura y realización de las actividades de este cuadernillo previa a la
asistencia a los encuentros. En los mismos, se desarrollarán algunos ejemplos y se podrán
consultar las dudas que hayan tenido en la resolución de los problemas.
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Conjuntos numéricos
La noción de número es tan antigua como el hombre mismo ya que son necesarios para
resolver situaciones de la vida diaria. Por ejemplo, usamos números para contar una determinada
cantidad de elementos (existen siete notas musicales, 9 planetas, etc.), para establecer un orden
entre ciertas cosas (el tercer mes del año, el cuarto hijo, etc.), para establecer medidas (3,2
metros, 5,7 kg, –4ºC, etc.), etc.
Pensamos en números cuando contamos personas, vemos la hora, medimos la
temperatura, comparamos velocidades, pesamos cuerpos, etc…
A lo largo de la historia cada civilización adoptó un sistema de numeración propio. En la
actualidad aún se usa, el sistema de numeración romana, que se desarrollo en la antigua Roma y
se utilizó en todo su imperio. Era un sistema de numeración no posicional en el que se usan letras
mayúsculas como símbolos para representar a los números: I, V, X, L, C , D , M
El sistema universalmente aceptado actualmente (excepto algunas culturas) es el Sistema
de Numeración Decimal.
Es un sistema de numeración en el que las cantidades se representan utilizando como
base el número diez, por lo que se compone de las cifras cero (0); uno(1): dos (2); tres (3); cuatro
(4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y nueve (9). Este conjunto de símbolos se denomina
números árabes.
¿Qué números utilizas para contar?
El conjunto de los números naturales está formado por aquellos que se utilizan para
contar. Se los designa con la letra ℕ y se representan:
ℕ= {1,2,3,4,5,…}
Observación:
 Es un conjunto que tiene infinitos elementos pues si bien tiene primer elemento, el 1 que
es el menor de todos, no tiene último elemento.
 Todo número natural tiene su sucesor +1 y excepto el 1 también tiene su antecesor,
−1.
 Entre dos números naturales y hay siempre una cantidad finita de números enteros. El
conjunto de números naturales es discreto.
 Siempre que se sumen dos números naturales se obtendrá otro número natural mientras
que muchas veces, no sucede lo mismo si se restan.
¿Es posible encontrar un número que al sumárselo a 32 dé por resultado 30?
Es imposible encontrar un número natural que cumpla con estas condiciones. Decimos
que la situación planteada no tiene solución en el conjunto de los números naturales. Para
encontrar una solución debemos buscarla en el conjunto de los números enteros, que se
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simboliza y está formado por los números naturales, el cero y los opuestos de los números
naturales.
 = {… , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … }
Observación:
 El conjunto de los números enteros es un conjunto infinito que no tiene ni primer ni
último elemento.
 Es un conjunto discreto.
 Al número – se lo llama opuesto de . Dos números opuestos son aquellos que se
encuentran a la misma distancia (en unidades) del cero. Uno positivo y uno negativo, con
excepción del cero, cuyo opuesto es él mismo.
 El valor absoluto o módulo de un número se define como la distancia de éste al cero.
 Dos números opuestos tienen igual distancia al cero, es decir, tienen el mismo valor
absoluto, es decir,
= −
 La suma y diferencia de dos números enteros da siempre un número entero.
 La multiplicación de dos números enteros da siempre un número entero.
¿Cuál es el resultado de 3 : 2?
Para resolver esta situación habrá que introducir otro conjunto numérico, el conjunto de
los números racionales al que denotaremos con la letra ℚ. Se dice que un número es racional
cuando puede escribirse como fracción.
Un número racional es el cociente (división) de dos números enteros a y b, siendo b≠0.
Por lo tanto: ℚ =
, ,
, ≠ 0 , donde a es el numerador y b el denominador.
Observación:
 Todo número racional puede escribirse como una expresión decimal cuya parte decimal
puede tener un número finito de cifras (expresión decimal finita) o puede tener un
número infinito de cifras pero periódicas, pura o mixta (expresión decimal periódica
pura/mixta).
 Entre dos racionales distintos a y b existen infinitos números racionales. Esta propiedad se
expresa diciendo que el conjunto ℚ es un conjunto denso, en contraposición a los
naturales ℕ y los enteros  que, como ya dijimos, son conjuntos discretos.
Recordemos cómo realizamos las cuatro operaciones fundamentales con fracciones:
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Suma o resta:
=
−
=
-
Si tienen igual denominador:
-
Si tienen distinto denominador: Se procede a reemplazar a cada una de estas por otras,
respectivamente equivalentes a las dadas, con igual denominador. Luego se suman o se
restan como en el caso anterior.
Multiplicación:
Se multiplican los numeradores y los denominadores entre sí:
=
Definimos el inverso de un número a distinto de 0 como el número racional que
multiplicado por a nos da 1, es decir,
=1
Dos números racionales (distintos del cero) son inversos multiplicativos si el numerador de
uno es el denominador del otro y viceversa. De tal forma que la multiplicación de ambos es 1.
-
División:
-
=
=
No siempre una expresión decimal puede escribirse como fracción, tal es el caso del
número . Esto ocurre porque dicho número tiene infinitas cifras decimales no periódicas. Pasa
con infinitos números más.
Aparece entonces un nuevo conjunto numérico, el de los números irracionales que se
simboliza con . Los elementos de este conjunto tienen desarrollo decimal infinito no periódico.
Los números irracionales también tienen su ubicación en la recta numérica.
El conjunto formado por los números racionales y por los irracionales se llama conjunto de
los números reales que se simboliza ℝ.
En síntesis:
ℝ= ℚ

ℝ
ℚ

ℕ
Los números reales tienen la propiedad de llenar por completo la recta numérica, por eso
se la llama recta real. Dado un origen y una unidad, a cada punto de la recta le corresponde un
número real y, a cada número real, le corresponde un punto de la recta.
Propiedades de las operaciones en ℝ
Suma y producto
Las operaciones de suma y producto definidas en ℝ cumplen ciertas propiedades.
Sean , y números reales cualesquiera:
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Propiedades
Ley de cierre
Conmutativa
Asociativa
Existencia del elemento neutro
De la suma
Del producto
Es el 0: a + 0 = a
Es el 1: a . 1 = a
Existencia del inverso
Es el opuesto aditivo:
a + ( -a) = 0
Es el inverso multiplicativo.
1
=1
ℝ
ℝ
a.b=b.a
a+b=b+a
(a + b)+ c = a +( b + c) (a . b) . c = a .( b . c)
Distributiva del producto con respecto
a la suma.
(a + b). c = a . c + b . c
Potenciación
Si es un número real y es un número natural, entonces decimos que
multiplicando veces el factor , es decir:
=
…
-
se obtiene
Decimos entonces que es una potencia que tiene como base y como exponente.
Si n es 2 se lee “al cuadrado” y si es 3 “al cubo”.
Extendemos la definición para exponentes enteros definiendo, para ≠ 0:
a0= 1
=
,
ℕ
Sean a , números reales distintos de 0 y sean
, números enteros:
Propiedades de la Potenciación
Distributiva con respecto al producto
Distributiva con respecto al cociente
Producto de potencias de igual base
Cociente de potencias de igual base
Potencia de potencia
=
=
=
=
=
Radicación
Si
es un número real y
un natural, entonces decimos que
=
= .
El número es el radicando,
es el signo radical, es el índice del radical y b es la
expresión radical o raíz -énesima de .
Si n es 2 se lee “raíz cuadrada” y si es 3 “raíz cúbica”. Si n no está escrito significa que el
índice es 2.
No siempre existe la raíz de un número en ℝ. Por ejemplo: la raíz cuadrada de -4, no tiene
solución real ya que no existe ningún número que elevado al cuadrado dé -4. Por lo tanto si es
par y a negativo la raíz enésima de dicho número no tiene solución real.
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Sean
y
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números reales positivos y ,
números naturales:
Propiedades de la Radicación
Distributiva con respecto al producto
=
Distributiva con respecto al producto
Raíz de raíz
=
=
Actividades
En las actividades sólo se trabajará con números reales no negativos ℝ
1) En un juego hay que embocar bolitas en cajas que tienen diferentes puntajes.
1.000.000
100.000
10.000
1.000
100
10
a) ¿Qué puntaje tiene Juana si al tirar embocó estas bolitas?
1.000.000
100.000
1.000
10
1
1
b) Belén tiene 1.235.563 puntos. Escribe con cuántas bolitas en cada caja puede formar ese
puntaje.
c) Lautaro obtuvo el puntaje 3.217.000 pero no embocó ninguna bolita en la caja que vale
1.000.000 de puntos ni en el que vale 10.000 puntos. Escribe con cuántas bolitas embocadas en
cada uno de las otras cajas pudo haber formado su puntaje.
d- Este cuadro muestra la cantidad total de bolitas que embocó cada jugador al final del partido.
Complétalo:
1.000.000 100.000 10.000 1.000 100 10 1 Puntaje total
A 12
0
4
2
8
9 6
B 11
1
3
11
0
0 0
C
3.036.678
e-) ¿Qué puntaje se forma si embocan 10 bolitas en cada caja?
f-) Carlos obtuvo el puntaje 4.053.927. ¿Cuál o cuáles de los siguientes cálculos permiten
encontrar su puntaje?
 4 x 1.000.000 + 5 x 100.000 + 3 x 10.000 + 9 x 1.000 + 2 x 100 + 7 x 10 =
 4 x 1.000.000 + 5 x 10.000 + 3 x 1.000 + 9 x 100 + 2 x 10 + 7 x 1 =
 4.000.000 + 50.000 + 3.000 + 900 + 20 + 7 =
2) ¿Qué cálculo harías para transformar 856.789 en …
a) 850.789?
b) 857.789?
c) 850.009?
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3) ¿Cuál es la opción correcta? En el número 136.418 hay:
una decena………...
1.364 decenas exactas solamente……….
13.641 decenas exactas……..
4) Coloca V ( verdadero) o F (Falso). Justifica tu respuesta.
a) Mirando dos números romanos puedo saber cuál es el mayor por la cantidad de símbolos
…………
b) Los números entre 1.000 y 9.999 siempre usan cuatro símbolos en ambos sistemas ……………
c) Los romanos no necesitaban usar el cero …………..
d) Nuestro sistema de numeración es decimal …………..
e) El símbolo M vale mil aunque cambie de lugar …………
f) Este número es quinientos veinticinco ………….
g) El mil uno en ambos sistemas se escribe primero el mil y luego el 1 ………….
5) Aplica propiedades para que los cálculos resulten más simples. Luego indica qué propiedades
utilizas en cada caso.
a) 12 + 5 + 105 + 3 =
b) 3 . 5 . 6 . 10 =
c) (1000 – 5). 20 =
6) Manuel e Iván se reunieron para hacer la tarea. En la carpeta de Matemática tenían que
resolver los siguientes cálculos:
a) 2 2
2
=
b) 2
2
2
=
Iván resolvió los ejercicios y el primero le dio 4 y el segundo 0. ¿Coinciden con Iván? Explica cómo
se puede llegar a los resultados correctos aplicando las propiedades aprendidas.
7) Manuel dice que como 24 da el mismo resultado que 42 puede afirmar que la potenciación es
conmutativa. ¿Es cierto lo que dice Iván? Explica por qué.
8) Resuelve:
4
3
5
4
2 3
=
9) Escribe V o F cada afirmación. Justifica.
a) 2 es un número racional. …………
b)
c)
es un número racional ………..
es un número natural. ………..
d) Algunos números enteros son racionales ………..
e) Todo número racional puede expresarse como fracción ………..
f) 18,6 es un número racional …………
g) 1, 3 es un número decimal ………….
h) 0, 1 es un número irracional …………
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10) El siguiente dibujo
representa
representan la figura entera?
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de una figura. ¿Cuál o cuáles de los siguientes dibujos
11) ¿Será cierto que en cada dibujo está sombreada la fracción que se indica? Explica cómo te
diste cuenta.
12) Este segmento es de otro segmento.
Dibuja el segmento entero.
13) Este dibujo es 1 y de cierta figura. Dibuja cómo podría ser la figura. ¿Hay una única
posibilidad?
14) Valentina y Jorge van camino a Mendoza, cada uno en su auto. Los dos salieron del mismo
lugar. Jorge ya recorrió del camino y Valentina . Jorge dice que Valentina está más cerca de
llegar, porque le falta del camino, mientras que a él . ¿Es cierto lo que dice Jorge? ¿Por qué?
15) Para comparar números fraccionarios se pueden aplicar muchas estrategias. Piensa y escribe
qué estrategia conviene utilizar en cada caso para comparar cada par de fracciones. (No se puede
realizar producto cruzado). Luego encierra la menor.
2
5
3
5
4
5
5
4
10
4
4
3
16) Si debieras ordenar muchos números fraccionarios, qué estrategia te convendría aplicar?
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17) Si debieras representar
en la recta numérica, ¿qué distancia dejarías entre los
números enteros para que la representación sea más sencilla?
18) Representa una recta numérica , ,
1. Luego ,
. Luego observa y responde:
a) ¿Cuándo las fracciones se ubican entre el 0 y el 1? ¿Y después del 1?
b) Completa la recta con los números que correspondan.
19) ¿2 y se ubican en el mismo punto de la recta? ¿Cuál de esas expresiones ayuda para saber
entre qué números enteros se ubican?
20) Escribe los enteros entre los que están ubicadas las siguientes fracciones. Luego la estrategia
aplicada.
……………. ……………. ……………. ……………. ……………. ……………
21) a) Se desean repartir 5 chocolates entre 8 niños, de modo tal que cada uno reciba la misma
cantidad y todo el chocolate sea repartido. ¿Cómo puede efectuarse el reparto?
b) ¿Y si los chocolates fueran 23 y los chicos 5?
c) Marina, una alumna de 6° grado, dice que para resolver la parte b del problema no es necesario
recurrir al gráfico, ella realiza la división 23 : 5 y que observando el cociente, el resto y el divisor
ya tiene el resultado. ¿Qué opinas?
22) Silvia tiene en su casa frascos de dulce. Quiere usarlos para poner en varias tortas la misma
cantidad de dulce. Para saber cuánto dulce del que tiene puede usar en cada torta hizo esta
cuenta de dividir. Observa la cuenta y, luego, responde las preguntas:
17 | 5
2
3
¿Cuántos frascos de dulce tenía? ¿Entre cuántas tortas repartió el dulce? ¿Cuánto dulce usó para
cada torta si lo repartió todo?
23) De un libro de 140 páginas, Laura ya leyó la cuarta parte. ¿Cuántas páginas leyó?
24) a)¿Cómo se calcula
de 120? b) Para encontrar de 200, Silvana hizo algunas cuentas y
obtuvo un número mayor que 200. ¿Es posible? ¿Por qué?
25) El papá de Eduardo gastó $ 2400 en impuestos y servicios. Esta cantidad representa ¼ de su
sueldo. ¿Cuánto dinero gana el papá de Eduardo?
26) En un curso hay 12 nenas, que representan
alumnos hay en ese curso?
del total de alumnos del grado. ¿Cuántos
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27) Para resolver las actividades 25 y 26, ¿puedes utilizar el procedimiento que has realizado en
el ítem a de la actividad 24? ¿Por qué?
28)a) Javier terminó como goleador de su equipo, porque convirtió de todos los goles. El total de
goles de su equipo en el año fue de 28. ¿Cuántos goles convirtió?
b) Su hermano que juega en otro equipo, convirtió 3 goles que representan del total de goles de
su equipo. ¿Cuántos goles convirtió el equipo del hermano de Javier?
29) Ana y José tienen ambos dinero en el bolsillo. Ana se gasta ¼ del suyo y José ½ del suyo. ¿Es
posible que Ana haya gastado más que José? ¿Por qué piensas que es así?
30) Tres hermanos repartieron una pizza. El primero se llevó
de la pizza y el segundo
. ¿Qué
parte se llevó el tercero? ¿Por qué?
31) Claudio realiza un viaje en varias etapas. El primer día recorre del camino. El segundo, de
lo que le quedaba, y el tercer día culmina su viaje. ¿Qué parte del camino realiza el tercer día?
32) Esteban vive en El Calafate y decide visitar a su hermano que vive en Buenos Aires. El primer
día recorre
del camino y el segundo día
del resto. Todavía le quedan por recorrer 1.149 km.
¿Cuántos kilómetros tiene el camino completo?
33) Marisa repartió figuritas de esta manera:
de todas las figuritas se las quedó ella;
de las
restantes se las dio a su hermano. Las 10 que le sobraban se las regaló a su amiga. ¿Cuántas
figuritas tenía para repartir?
34) La mamá de Celeste, Lucía y Fernando compró chupetines. Celeste comió
que había. Lucía comió
de los chupetines
de lo que quedaba y, más tarde, Fernando comió el resto.
a) ¿Qué parte del total de la bolsa comió cada uno?
b) ¿Quién de los tres comió más? ¿Por qué?
c) Si Fernando comió 12 chupetines, ¿cuántos chupetines había comprado su mamá?
35) Uriel pintó las tres cuartas partes de la pared de verde y luego le agregó lunares a la tercera
parte de lo que había pintado.
a) Marca en el esquema lo que hizo Uriel:
b) ¿Qué fracción del total de la pared es verde con lunares?
c) Escribe un cálculo que te permita resolver esta situación sin recurrir al dibujo.
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36) Esta tabla relaciona la cantidad de nafta consumida por un auto y la distancia que recorre.
Complétala.
Distancia recorrida en kilómetros 1 3 4 8 12 16
Nafta consumida en litros
3
4
37) ¿Cuál es la suma de cuatro números si el primero es 538,243 y cada uno de los siguientes es
igual al anterior más 23,86?
38) De un depósito con agua se sacan 36,6 litros y después 23,86 litros; finalmente se sacan 9,6
litros. Al final en el depósito quedan 239 litros. ¿Qué cantidad de agua había en el depósito?
39) Halla las fracciones irreducibles de los siguientes decimales.
a) 0,64
b) 0,47
c) 4,5
d) 6,3
e) 5,8
40) ¿Qué número se forman con un entero, 25 décimos y 4 centésimos?
41) Busca una fracción entre
. ¿Podrías haber encontrado más? ¿Cuántas más? ¿Por qué?
42) Arma el número 4,035 con los valores 0,1; 0,01; 0,001. ¿Cuántos de cada uno necesitas? ¿Hay
una sola manera de responder a la pregunta? Explica por qué.
43) Sin hacer la división escribe una fracción que pueda expresarse como una expresión decimal
finita, y otras dos con una expresión decimal periódica.
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Geometría
Figuras 3D
Un
cuerpo
geométrico es una figura geométrica de tres dimensiones que ocupa un
lugar en el espacio y en consecuencia tiene un volumen.
La representación gráfica de los cuerpos geométricos en general, presenta la dificultad de
que, teniendo tres dimensiones, solamente pueden representarse en el plano dos dimensiones;
por lo cual se recurre a una técnica de dibujo, la perspectiva, que permite dar la sensación
tridimensional.
Los cuerpos geométricos pueden ser poliedros o cuerpos redondos. Los poliedros son
aquellos cuerpos que tienen todas sus caras planas, mientras que los cuerpos redondos tienen al
menos una cara curva.
Poliedros
Se distinguen dos clases de poliedros:
 Los poliedros regulares: son aquellos cuyas caras son todos polígonos regulares
congruentes y coincide el mismo número de ellas en cada vértice.
 Los poliedros irregulares: son aquellos cuyas caras son todos polígonos no todos
congruentes.
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Existen solo cinco poliedros regulares: Tetraedro, Cubo, Octaedro, Dodecaedro e
Icosaedro.
Los poliedros irregulares se clasifican básicamente en:
 Prisma: poliedro que tiene dos caras paralelas y congruentes , llamadas bases, y el resto
de sus caras son paralelogramos. Según el número de lados de la base se le da el nombre
al prisma.
El prisma es recto cuando sus caras laterales son perpendiculares a las bases (caras
laterales: rectángulos). De lo contrario es oblicuo. Si el prisma es cortado de tal manera que la
sección producida no sea paralela a una de sus bases, recibe el nombre de prisma truncado.
 Pirámide: poliedro que tiene una base y todas sus caras laterales son triángulos.
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La altura de una pirámide es el segmento perpendicular que va del vértice a la base.
La apotema lateral de una pirámide regular es la altura de cualquiera de sus caras
laterales.
La pirámide se llama recta cuando el eje es perpendicular al centro de la base, en un caso
diferente se llama oblicua. La porción de pirámide comprendida entre la base y la sección
producida por un plano que corta sus caras laterales se llama tronco de la pirámide o pirámide
truncada.
Cuerpos redondos
Son cuerpos geométricos compuestos total o parcialmente por figuras geométricas curvas;
como por ejemplo el cilindro, la esfera o el cono. ”. Dentro de estos tenemos los cuerpos de
revolución, obtenidos cuando hacemos girar una figura plana sobre un eje.
Cilindro: Cuerpo obtenido cuando hacemos girar un rectángulo sobre un eje.
Cono: Cuerpo obtenido por hacer girar un triángulo rectángulo cobre un cateto.
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Esfera: Cuerpo obtenido cuando giramos un semicírculo sobre un eje.
Figuras 2D
Un polígono es una figura plana cuya frontera es una poligonal cerrada.





Todo polígono posee los siguientes elementos:
Lados: son los segmentos de recta que lo limitan.
Vértices: son los puntos donde concurren dos lados.
Ángulos interiores: son los determinados por dos lados consecutivos.
Si n es el número de lados del polígono, la suma de sus ángulos interiores será:
(n-2) x 180°
Ángulos exteriores: son los ángulos adyacentes a los ángulos interiores del mismo.
La suma de los ángulos exteriores de un polígono siempre es 360°.
Diagonal: son los segmentos que determinan dos vértices no consecutivos de un polígono.
Si n es el número de lados del polígono, el número de diagonales será:
(n x (n-3))/2
Hay muchas maneras de clasificar a los polígonos:
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 Un polígono es regular cuando todos sus ángulos y lados son congruentes. Una
característica particular de los polígonos regulares, es que siempre pueden ser inscritos en
una circunferencia. En caso de no tener todos los lados y ángulos congruentes el polígono
es irregular.
 Un polígono será convexo, si todos sus ángulos son menores de 180°, por lo tanto, si
determinamos dos puntos en su interior y los unimos con un segmento, éste siempre
quedará en su interior. Y será cóncavo, si al menos uno de sus ángulos mide más de 180°
(no todos los segmentos trazados entre dos puntos quedarán en su interior)
 Un polígono recibe un nombre según la cantidad de lados:
N° de lados Nombre
3
triángulo
4
cuadrilátero
5
pentágono
6
hexágono
7
heptágono
8
octógono
9
eneágono
10
decágono
11
endecágono
12
dodecágono
Triángulos






Los triángulos son los polígonos con menor número de lados.
Se los clasifica según sus lados y ángulos:
Según sus lados
Equilátero: tres lados congruentes.
Isósceles: dos lados congruentes.
Escaleno: tres lados desiguales.
Según sus ángulos
Acutángulo: tres ángulos agudos
Rectángulo: un ángulo recto.
Obtusángulo: un ángulo obtuso.
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Observaciones:
-
En todo triángulo, la medida de un lado siempre es menor a la suma de las medidas de los
otros dos.
En todo triángulo, la suma de las medidas de todos sus ángulos interiores es igual a 180°.
El triángulo es el único polígono que no tiene diagonales.
Cuadriláteros
La forma más habitual de clasificar cuadriláteros es por el paralelismo de sus lados. Según
este criterio los cuadriláteros pueden ser:
 Trapezoides: cuadriláteros que no poseen lados paralelos.
Entre estos se encuentra:
Romboide: trapezoide que posee dos pares de lados consecutivos congruentes.
 Trapecios: cuadriláteros que poseen un par de lados paralelos.
Los trapecios, a su vez, se clasifican en:
- Trapecio escaleno: trapecio que posee todos sus lados desiguales.
- Trapecio rectángulo: trapecio que posee dos ángulos rectos.
- Trapecio isósceles: trapecio que posee los lados no paralelos congruentes.
 Paralelogramos: cuadriláteros que poseen dos pares de lados paralelos.
Entre éstos se destacan:
- Rectángulo: paralelogramo que posee sus cuatro ángulos rectos.
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-
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Rombo: paralelogramo que posee sus cuatro lados congruentes.
Cuadrado: paralelogramo que posee todos sus lados y ángulos congruentes.
Propiedades de los lados, ángulos y diagonales de algunos cuadriláteros:
Romboide
Paralelogramo
Rectángulo
Rombo
Cuadrado
Lados
Ángulos
Diagonales
Dos pares de lados
consecutivos
congruentes.
Dos pares de lados
opuestos congruentes.
Dos pares de lados
opuestos congruentes.
Cuatro
lados
congruentes.
Cuatro
lados
congruentes.
Un par de ángulos
opuestos congruentes.
Una diagonal corta a la otra en su
medio.
Las
diagonales
perpendiculares.
Las diagonales se cortan en su
medio.
Las diagonales se cortan en su
medio y son congruentes.
Las diagonales se cortan en su
medio y son perpendiculares.
Las diagonales se cortan en su
medio,
son
congruentes
perpendiculares.
Dos pares de ángulos
opuestos congruentes.
Cuatro ángulos rectos.
Dos pares de ángulos
opuestos congruentes.
Cuatro ángulos rectos.
punto
son
punto
punto
punto
punto
y
Circunferencia y círculo
Circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de un mismo
punto llamado centro de la circunferencia. El punto centro no pertenece a la circunferencia. La
circunferencia se nombra con la letra del centro y un radio.
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 Radio: Es un segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de ella.
El radio se nombra con la letra “r” o bien con sus puntos extremos.
 Cuerda: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia. Las cuerdas tienen
distintas medidas.
 Diámetro: Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Se nombra con la letra
“d”. El diámetro siempre es el doble del radio: d = 2r
r = d/2 .
 Tangente: es la recta que intersecta en un solo punto a la circunferencia.
 Secante: es la recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia
 Arco: es una parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella.
 Ángulo central: es el ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia.
Círculo es la figura plana delimitada por una circunferencia.
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Actividades
1) Observa los siguientes cuerpos geométricos y contesta las preguntas:
a) ¿Cuáles son poliedros?
b) ¿Cuáles tienen todas sus caras rectangulares?
c) ¿Cuáles tienen todas sus caras congruentes?
d) ¿Cuáles tienen un par de caras paralelas?
e) ¿Cuáles ruedan?
f) ¿Cuáles son pirámides?
g) ¿Cuáles de las pirámides tienen las caras planas?
h) ¿Cuáles de los que tienen un par de caras paralelas tienen las caras planas?
i) ¿Cuáles son prismas?
j) Escribe el nombre de cada uno de los cuerpos presentados.
2) Determina si estas afirmaciones son V o F. Justifica.
a) Los prismas son poliedros.
b) Los poliedros son prismas.
3) Contesta estas preguntas. Si la respuesta es negativa, explica por qué. Si es afirmativa, indica
qué forma tendría la base.
a) ¿Es posible que un prisma tenga 8 caras?
b) ¿Es posible que un prisma tenga 14 caras?
4)a) ¿Cuántas caras tiene un cilindro? ¿Por qué
b) ¿Cuántas caras tiene un cono?
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5) Completá esta tabla:
Cuerpos
Cantidad de caras
Cantidad de aristas
Cantidad de vértices
Prisma de base triangular
Cubo
Prisma de base rectangular
Prisma de base pentagonal
6) Lo que dice Matías es correcto. ¿Cómo hace para deducirlo?
Matías: - En un prisma cualquiera, la cantidad de caras es 2 más que la cantidad de lados que tiene
la figura de la base.
7) Para armar el esqueleto de un prisma, Carla usa sorbetes de diferentes medidas y las une con
bolitas de plastilina. Si usó 18 sorbetes, ¿qué prisma armó? ¿Cuántas bolitas de plastilina necesitó?
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8) Si se sabe la forma de la base de un prisma, ¿cómo calcularías la cantidad de vértices y de
aristas para no tener la necesidad de contarlas?
9) Completá la siguiente tabla:
Cuerpos
Cantidad de
caras
Cantidad de
aristas
Cantidad de
vértices
Pirámide de base triangular
Pirámide de base cuadrangular
Pirámide de base pentagonal
Pirámide de base hexagonal
10)a) Para armar el esqueleto de una pirámide, Carla tiene 8 sorbetes , ¿Qué pirámide puede
armar? ¿Cuántas bolitas de plastilina necesita?
b) Con 9 bolitas de plastilina, ¿qué pirámide puede armar?
11) Si se sabe la forma de la base de una pirámide, ¿cómo calcularías la cantidad de vértices y de
aristas para no tener la necesidad de contarlas?
12) Los chicos arman dados para jugar a la generala. Hicieron distintos desarrollos planos. ¿ Con
cuáles de estos pueden armarse dados? Explica cómo lo pensaste.
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13) ¿Con cuáles de estos desarrollos es posible armar un prisma de base triangular? ¿Por qué?
14) Copia este desarrollo y complétalo para armar el tetraedro.
15) Para construir un envase cilíndrico, los chicos tienen dos círculos congruentes, que usarán
como base y tapa. ¿Cómo deben recortar el rectángulo lateral para armar el envase?
16) Dibuja, si fuera posible, la (o las) figura que cumpla la condición enunciada. Si no fuera posible
explica por qué.
a) Polígono romboide y paralelogramo.
b) pentágono regular.
c) Cuadrilátero convexo con diagonales congruentes y no rectángulo.
d) Es triángulo equilátero y con sus tres lados distintos.
a) Dos segmentos colineales y no consecutivos.
b) Un triángulo rectángulo y equilátero.
c) Paralelogramo no rectángulo.
d) Rombo no cuadrado.
e) Cuadrado no rectángulo.
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f) Cuadrilátero convexo cuyas diagonales no congruentes, se cortan mutuamente en partes
congruentes y son perpendiculares.
17) a) De un triángulo cualquiera sabemos que tiene un ángulo de 35° 20’ 12´´y otro de 83°.
Entonces ¿cuánto mide el tercer ángulo?
b) ¿De qué triángulo se trata de acuerdo a sus lados y ángulos?
18) La suma de dos lados de un triángulo es 15 cm. Entonces, ¿cuánto podría medir el otro?
19) No es posible que un triángulo sea...
- obtusángulo equilátero.
- obtusángulo isósceles.
- obtusángulo escaleno.
20) Responde:
a) ¿Qué clase de cuadriláteros son equiláteros?
b) ¿Qué clase de cuadriláteros son equiángulos?
c) ¿Qué clase de cuadriláteros son equiláteros y equiángulos?
21 ) Construyan un cuadrilátero convexo para cada una de las siguientes condiciones.
a) Los cuatro lados congruentes.
b) Cuyos lados opuestos no sean paralelos.
c) Con un ángulo recto y un par de lados opuestos paralelos.
¿Es única la respuesta para cada uno de los casos?
22) Decide para cada una de las siguientes afirmaciones si es SIEMPRE, A VECES O NUNCA ,
verdadera. En caso de ser “a veces” verdadera, dé un ejemplo con un dibujo en el que sea otro en
el que no lo sea.
- Un rombo es trapecio. ( ................... )
- Un polígono es una figura convexa. ( ................... )
- Un paralelogramo es rectángulo. ( ................... )
- Un trapecio es rombo. ( ................... )
- Un polígono de 7 lados es cóncavo. ( ................... )
- Un cuadrilátero que tiene sus diagonales congruentes es rombo. ( ................... )
- Un cuadrilátero que tiene dos pares de lados consecutivos congruentes es romboide (..........)
23) Completa:
a) Si un rombo es rectángulo entonces es........................................
b) Si un cuadrilátero tiene dos pares de ángulos opuestos congruentes entonces es……………………….
24) Si dibujas dos segmentos que sean perpendiculares en sus puntos medios y unes sus extremos,
obtienes un cuadrilátero. ¿De qué tipo es? Hazlo en tu hoja:
a) Para dos segmentos de distinta longitud.
b) Para dos segmentos de igual longitud.
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Medida
Medir es comparar una magnitud con otra que llamamos unidad. La medida es el número
de veces que la magnitud contiene a la unidad.
La medición es una necesidad básica ya desde el comienzo de los tiempos. La humanidad
necesitó y necesita medir diferentes cosas para saber por ejemplo cuánto miden las dimensiones
de su terreno, cuántas semillas necesita para poder sembrar un terreno, etc.
En sus comienzos, era común utilizar partes del cuerpo humano como unidades para
medir; pero con el correr de los tiempos este uso no fue el más apropiado a la hora de comunicar
las medidas (por ejemplo, no todas las manos miden lo mismo)
El objetivo del Sistema Métrico fue la unificación y racionalización de las unidades de
medición, y de sus múltiplos y submúltiplos. Fue el resultado de las muchas reformas aparecidas
durante el período de la Revolución Francesa, entre 1789 y 1799.
En 1863 nuestro país adoptó por la ley Nº 52 el Sistema Métrico Decimal. La ley Nº 845 del
año 1877 lo declara de uso obligatorio a partir del 1 de enero de 1878 y prohíbe el uso de otros
sistemas.
A partir de 1960, el Sistema Métrico pasa a llamarse Sistema Internacional de Unidades,
(conocido como S.I.). Argentina lo adopta con el nombre de Sistema Métrico Legal Argentino
(SI.ME.L.A.)
Es el constituido por las unidades, múltiplos y submúltiplos, prefijos y símbolos del
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) y las unidades ajenas al S.I. que se incorporan para
satisfacer requerimientos de empleo en determinados campos de aplicación.
El SIMELA fue establecido por la ley 19.511 de 1972, como único sistema de unidades de
uso autorizado en Argentina.
Se parte de 7 unidades bases a saber:
Algunas unidades derivadas son:
Magnitud
Nombre
Símbolo
Superficie
metro cuadrado
m2
Volumen
metro cúbico
m3
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Múltiplos y submúltiplos
Unidades de medida de longitud
KILÓMETRO
HECTÓMETRO
DECÁMETRO
METRO
DECÍMETRO
CENTÍMETRO
MILÍMETRO
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
Unidades de medida de peso
KILOGRAMO
HECTOGRAMO
DECAGRAMO
GRAMO
DECIGRAMO
CENTIGRAMO
MILIGRAMO
kg
hg
dag
g
dg
cg
mg
Unidades de medida de capacidad
KILOLITRO
HECTOLITRO
DECALITRO
LITRO
DECILITRO
CENTILITRO
MILILITRO
kl
hl
dal
l
dl
cl
ml
En los cuadros anteriores, se sabe que una unidad que se encuentra inmediatamente a la
derecha es 10 veces menor a la misma y si está inmediatamente a su izquierda es 10 veces mayor.
Por lo tanto para pasar de una unidad a otra inmediatamente a la derecha se multiplica por 10 y si
se pasa a otra unidad que se encuentra inmediatamente a la izquierda se divide por 10.
Unidades de medida de superficie
km2
hm2
dam2
m2
dm2
cm2
mm2
En este caso, para pasar de una unidad a otra inmediatamente a la derecha se multiplica
por 100 y si se pasa a otra unidad que se encuentra inmediatamente a la izquierda se divide por
100.
Unidades de medida agrarias
1 ha = hm2
hectárea área centiárea
ha
a
ca
2
1 a = 1 dam
Unidades de medida de volumen
km3
hm3
dam3
m3
dm3
1ca = 1 m2
cm3
mm3
En este caso, para pasar de una unidad a otra inmediatamente a la derecha se multiplica
por 1000 y si se pasa a otra unidad que se encuentra inmediatamente a la izquierda se divide por
1000.
Unidades de medidas de tiempo
1 día = 24 horas
1 hora = 60 minutos
1 minuto = 60 segundo
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Perímetro y superficie de los polígonos
El perímetro de un polígono es la medida de su borde. Por lo tanto se calcula sumando las
medidas de sus lados. En caso de que el polígono posea lados congruentes se puede recurrir a la
multiplicación.
En el caso del cálculo de la medida de superficie de un polígono es necesario saber las
fórmulas. Si bien éstas se pueden deducir de la fórmula de la superficie del rectángulo, a continuación
se escriben las mismas:
POLÍGONO
Triángulo
SUPERFICIE
2
Rectángulo
Paralelogramo
Romboide
2
Rombo
2
Cuadrado
Trapecio
2
Polígono Regular
2
Longitud de circunferencia y superficie del círculo:
LONGITUD DE CIRCUNFERENCIA SUPERFICIE DEL CÍRCULO
Superficie lateral, total y volumen de cuerpos:
CUERPO
Cubo
Prisma
Pirámide
SUPERFICIE LATERAL
SL
4
SUPERFICIE TOTAL
ST
VOLUMEN
2
2
3
2
Cilindro
Cono
3
Esfera
__
4
4
3
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Actividades
1) Marta camina todas las mañanas 10 km. Si cada cuadra mide 100 m y las calles que cruza tienen
un ancho de 2 dam. ¿Es cierto que caminando 20 cuadras con sus cruces, ida y vuelta, consigue su
objetivo? Si no es así, ¿cuánto le falta caminar?
2) Para saber cuántos dal son 25 cl, Juan pensó lo siguiente:
Explica usando la idea de Juan:
a) ¿Cuántos dal hay en 120 l?
b) ¿Cuántos dal hay en 12,5 cl?
c) ¿Cuántos hl hay en 50 dl?
3) A los números que aparecen en las siguientes frases se les borró la coma. Coloca una coma en
cada uno, para que las medidas sean reales:
a) El peso de una lapicera es de 1250 gramos.
b) La capacidad de una pileta de natación es de 25000 hl.
c) El peso de una manzana es de 1255 gramos.
4) Coloca V o F. Arregla las opciones falsas para que sean verdaderas.
a) Con 4 tiras de ¼ m se forma 1 m………
d) Con 1 tira de 1m y 4 de ½m se forman 2m ………
b) Con 6 tiras de ¾ m se forman 2 m………
e) Con 8 tiras de m se forman 2 m…………….
c) Con 3 tiras de 1 ½ m se forman 2 m…………..
5) En un almacén hay 12 botellas de agua mineral de 1,5 litros cada una.
a) ¿Cuántos litros faltan para llegar a tener 1 hectolitro de agua mineral?
b) ¿Cuántos vasos de 30 cl de capacidad se pueden llenar con esas 12 botellas?
c) ¿Cuántas botellas de 1 litro de agua mineral y cuántas de ¾ l harían falta para tener la misma
capacidad?
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6) Con la cuarta parte de la cantidad de jugo de una jarra se sirvieron hasta la mitad 3 vasos de 250
ml de capacidad. ¿Qué cantidad de jugo había en la jarra? ¿Qué cantidad de jugo se utilizó para
llenar los vasos?
7) El peso de la carga de un camión es de 2 t y 150 kg. Este peso se puede expresar de distintas
formas. ¿Cuáles de las siguientes escrituras son correctas? ¿Por qué?
2.150 kg
350 kg
2,15 kg
2,150 t
8) Pablo es el dueño de un terreno rectangular que mide 12 metros de frente y 15 metros de
fondo.
a) Quiere alambrar el terreno con dos vueltas de alambre. ¿Cuántos metros de alambre tiene que
comprar?
b) En la mitad del terreno quiere colocar césped. ¿Cuántos m 2 de césped necesita?
9) Los chicos de 6° colocan sogas alrededor de un sector del patio de la escuela para dedicarlo a
jugar a la rayuela. Si usaron 34 metros de soga y el sector que delimitaron es cuadrado. ¿Cuál es la
medida de los lados de ese sector?
10) Combinando figuras: calcula, si es posible, el perímetro y el área de las siguientes figuras
combinadas:
f
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11) Un triángulo tiene la misma base y altura que un rectángulo de 15 m2. Calcula el área del
triángulo.
12) Nico se está entrenando para las competencias deportivas intercolegiales, así que aprovecha
cualquier situación para seguir entrenando.
El otro día llegó con sus amigos a la esquina de una plaza, y tenían que llegar a la esquina que se
opone en diagonal; entonces les dijo: “Vamos por fuera; es mentira que ir por el medio es más
corto. Lo estudié en la escuela: siempre la hipotenusa es más larga que cualquiera de los catetos”.
a) Esta última frase convenció a sus compañeros pero, ¿es cierto lo que dice Nico?¿Por qué?
b) Has un esquema de la situación planteada e indica cuáles son la hipotenusa y los catetos que vio
Nico.
c) Si la plaza tiene 150 m de largo y 100 m de ancho, ¿cuánto recorrerían por cada uno de los dos
caminos?
13) Estoy construyendo una piscina de 5,7 metros de largo, 4 metros de ancho y 1,9 metros de
alto. Quiero cubrir las paredes y el fondo con azulejos de forma cuadrada de 20 cm de lado.
¿Cuántos azulejos necesitaré si aproximadamente se desperdicia un 10%?
14)Teniendo en cuenta la siguiente figura.
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Calcula la cantidad de chapa utilizada para construir este bebedero y el volumen del mismo.
15) ¿Qué superficie de plástico se necesita para fabricar un bonete de 24 cm de diámetro y 16 cm
de altura?
16) El diámetro del círculo máximo de una pelota
superficie de cuero se necesita para construirla?
mide aproximadamente 24 cm. ¿Qué
17) Una caja con forma de cubo contiene 200 gramos de caramelos. Si construyo otra caja
duplicando las medidas de la caja anterior, ¿cuántos gramos de caramelos iguales a los primeros
puedo poner en la caja nueva?
18) ¿Se puede guardar una pelota esférica de 5 cm de radio adentro de una caja cúbica de 7 cm de
arista? Explica tu respuesta.
19) Esta caja se va a llenar con la arena que entra en de un cubo de 1cm3. ¿Cuántas veces debe
vaciar el cubo dentro de esta caja? ¿Se logra llenar la caja? ¿Por qué?
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