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DIVERSIFICACIÓN
Ámbito
Científico-Tecnológico
I
ESO
En la elaboración de este libro se han tenido en cuenta las normas
ortográficas establecidas por la RAE en diciembre de 2010.
Diversificacion I C+T - portada.indd 1
02/03/11 12:54
reales y
1 Números
magnitudes físicas
Números reales
se dividen en
Números
irracionales
se expresan como
Decimales
Números
racionales
operamos
utilizando
Potencias
utilizando
Errores
Notación
científica
juntos sirven para
expresar
Magnitudes
físicas
Unidades de
medida
¿Qué sabes de esto?
1. ¿Sabrías resolver las siguientes operaciones con potencias?
47 45
b)
:
= c) [(–5)3]8 =
d) 4–7 · 43 =
a) 35 · 311 =
5
5
2. ¿Sabes cuál es la diferencia entre un número periódico puro y un número periódico
mixto? Pon algún ejemplo.
() ()
3. ¿Conoces algún número irracional? ¿Qué los diferencia de los números racionales?
4. ¿Sabes qué es una magnitud física? Pon algún ejemplo e indica las unidades en que se
mide.
5. ¿Qué significa 2,5 · 1028 m? ¿Es una distancia muy grande o muy pequeña?
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En esta unidad continuamos con nuestro estudio de las
herramientas básicas del lenguaje científico y técnico: los
números. Vamos a aprender a operar con los números reales,
especialmente utilizando su expresión decimal y las potencias.
Gracias a ellos podremos expresar de forma cómoda magnitudes
físicas, aunque estas sean muy grandes o muy pequeñas.
Aprenderemos, además, a emplear las unidades de medida
adecuadas en cada caso y a estimar los errores que cometemos
siempre que medimos algo, aunque sea de forma cuidadosa en un
laboratorio.
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matemáticas
biología y geología
física y química
tecnología
Producto de potencias con la misma base
1. Potencias
1.1. ¿Qué es una potencia?
Una potencia es una forma abreviada de expresar el producto de un número por
sí mismo una cantidad determinada de veces. En su expresión distinguimos dos
elementos:
• La base, que es el número que se multiplica por sí mismo.
• El exponente, que es el número de veces que lo multiplicamos.
3
5
Base
Exponente
De esta forma: 35 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243
En una potencia decimos que la base está elevada al exponente. Por ejemplo, en el
caso de 35 diríamos 3 elevado a 5.
Potencias de 10
Observa que al elevar 10 a cualquier exponente obtenemos
siempre un 1 seguido de tantos 0
como nos indica el exponente:
101 = 10
102 = 100
103 = 1.000
104 = 10.000
105 = 100.000
106 = 1.000.000
1.2. Potencias de números enteros
…
Cuando la base de una potencia es un número positivo, el resultado es siempre
otro número positivo. Por el contrario, cuando elevamos un número negativo, el
signo del resultado depende del exponente:
Esto resulta muy útil para expresar de forma cómoda magnitudes
muy grandes.
• Si elevamos un número negativo a un exponente par, el resultado es positivo.
Por ejemplo, en la Vía Láctea hay
unos 400 mil millones de estrellas.
Sin utilizar potencias, este número se escribe así:
ejemplo: (−2)6 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = + 64
• Si elevamos un número negativo a un exponente impar el resultado es negativo.
ejemplo: (−2)5 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = − 32
1.3. Propiedades de las potencias
400.000.000.000
Pero utilizando las potencias de
diez podemos escribir simplemente:
4 · 1011
Producto de potencias con la misma base
Cuando multiplicamos dos potencias que tienen la misma base, el resultado es
otra potencia con la misma base elevada a la suma de los exponentes.
an · am = an+m
La Vía Láctea
ejemplo: 43 · 42 = (4 · 4 · 4) · (4 · 4) = 43+2 = 45
Cociente de potencias con la misma base
Cuando dividimos dos potencias que tienen la misma base, el resultado es otra
potencia con la misma base elevada a la resta de los exponentes.
an : am = an–m
ejemplo: 57 : 54 =
28
5·5·5·5·5·5·5
= 5 · 5 · 5 = 53
5·5·5·5
UNIDAD 1
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matemáticas
biología y geología
física y química
tecnología
Potencia de una potencia
Cuando la base de una potencia es otra potencia, obtenemos el resultado utilizando la misma base y multiplicando los exponentes.
(am)n = am · n
Elevar a 1
Al elevar cualquier número a 1
obtenemos el mismo número.
Ejemplo: 51 = 5
121 = 12
ejemplo: (113)2 = 113 · 113 = 113 · 2 = 116
Potencia de un producto
Un producto de potencias con el mismo exponente se puede escribir como el producto de las bases elevadas a dicho exponente.
an · bn = (a · b)n
De esta forma, cuando un número aparece sin ningún exponente, podemos considerar que está
elevado a 1.
Esto nos será útil para operar con
potencias.
Ejemplo: 85 · 8 = 85 · 81 = 86
ejemplo: 53 · 23 = (5 · 2)3 = 103 = 1.000
De la misma forma, para calcular la potencia de un producto podemos multiplicar
los factores elevados al mismo exponente.
ejemplo: (4 · 3)2 = 42 · 32 = 16 · 9 = 144
Elevar a 0
El resultado de elevar cualquier
número a 0 es 1.
Ejemplos: 30 = 1
(-5)0 = 1
Potencia de un cociente
Un cociente de potencias con el mismo exponente se puede calcular como el cociente de las bases elevadas a dicho exponente.
a : b = (a : b)
n
n
n
Observa lo que obtenemos al
elevar 10 a exponentes negativos:
ejemplo: 203 : 53 = (20 : 5)3 = 43 = 64
10 –1 = 1/10 = 0,1
De la misma forma, podemos calcular un cociente elevado a una potencia elevando el dividendo y el divisor a dicha potencia y luego realizando la división.
2
2
()
a n an
= n
b
b
( 34 ) = 34
2
2
2
=
10 –3 = 1/1.000 = 0,001
10 –5 = 1/100.000 = 0,00001
Puesto que una fracción es un cociente entre el numerador y el denominador, podemos aplicar esta propiedad para calcular potencias de fracciones:
ejemplo:
10 –2 = 1/100 = 0,01
10 –4 = 1/10.000 = 0,0001
ejemplo: (8 : 4) = 8 : 4 = 64 : 16 = 4
2
Potencias negativas de 10
9
16
…
Utilizando estas potencias vamos a poder expresar cantidades
muy pequeñas cómodamente.
Por ejemplo, el diámetro de un
glóbulo rojo mide 0,000007 m. Podemos expresar esta medida como
7 · 10 –6 m
Potencias con exponentes negativos
Para calcular una potencia con exponente negativo, lo convertimos en positivo
cambiando la base por su inverso.
a–n =
( a1 ) = a1
ejemplo: 3–2 =
( ba ) = ( ba )
n
–n
n
( 13 ) = 31 = 19
2
2
n
Glóbulos rojos.
Números reales y magnitudes físicas
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matemáticas
biología y geología
física y química
tecnología
ACTIVIDADES
1. Calcula en tu cuaderno el valor de las siguientes potencias:
a) 54 =
c) 210 =
e) 106 =
g) 17 =
b) 83 =
d) 112 =
f) 1003 =
h) 90 =
2. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla con las potencias del
ejercicio anterior, indicando en cada caso la potencia, su base, su
exponente y su valor.
Potencia
Base
54
5
Exponente
Resultado
4
3. Calcula el valor de las siguientes potencias en tu cuaderno:
a) (−6)3 =
c) (−4) 8 =
e) (−10)5 =
g) (−3)1 =
b) (−2)10 =
d) (−2)2 =
f) (−5)3 =
h) (−7) 0 =
4. Indica en tu cuaderno el signo de las siguientes potencias sin calcularlas:
a) (−5)3 =
c) (−3)4 =
e) 103 =
g) (−5) 0 =
b) 53 =
d) 43 =
f) (−10)3 =
h) (−5)1 =
( 25) =
4
f) (− ) =
3
(58) =
5
h) ( ) =
11
5. Calcula el valor de las siguientes potencias en tu cuaderno:
(23) =
4
b) ( ) =
7
a)
4
2
(15) =
1
d) ( ) =
6
c)
3
2
3
e) −
1
g)
3
4
6. Simplifica las siguientes operaciones en tu cuaderno expresando el resultado como una sola potencia:
a) 34 · 35 =
d) 83 · 8 =
g (−5) · (−5) 6 =
b) 510 · 52 =
e) (−2)5 · (−2)3 =
h)
c) 107 · 106 =
f) (−11)3 · (−11)15 =
(34) · (34) =
13
13
i) ( ) · ( ) =
2
2
5
11
4
3
(57) · 57 =
2
2
k) (− ) · (− ) =
15
15
5
5
l) (− ) · (− ) =
6
6
2
j)
3
2
5
14
7. Simplifica las siguientes operaciones en tu cuaderno expresando el resultado como una sola potencia:
30
a) 57 : 54 =
d) 64 : 6 =
g) (−7) 6 · (−7) =
b) 1010 : 107 =
e) (−6)3 · (−6)2 =
h)
c) 1311 : 134 =
f) (−1)5 : (−1)3 =
(53) · (53) =
12
12
i) ( ) · ( ) =
5
5
9
3
4
3
()
1
1
k) (− ) : (− ) =
10
10
3
3
l) (− ) · (− ) =
7
7
j)
34 3
: =
7
7
13
12
5
4
UNIDAD 1
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matemáticas
biología y geología
física y química
tecnología
8. Simplifica las siguientes operaciones en tu cuaderno expresando el resultado como una sola potencia:
5 4
a) (3 )
b) (107)
10 3
e) [(–4) ]
10
f) [(–5)11]
7 3
c) (5 )
2
d) (53)
g)
2
h)
[( ) ]
[( ) ]
13
8
4
17
4
0
12
9. Expresa en tu cuaderno como una única potencia:
a) 42 · 32 =
c) 108 · 58 =
e) (−20)10 : 210 =
b) 145 : 75 =
d) 1006 : 206 =
f) 37 · (−10)7 =
(25) · (34) =
3
7
h) (− ) : ( ) =
5
2
3
g)
3
3
3
10. Utiliza las propiedades de las potencias para simplificar las siguientes expresiones:
() () ()
25 2
·
7
7
10
21
=
7
·
[( ) ( ) ]
13 1
·
5
5
i)
4
2
a) 35 · 37 · 34 =
e)
b) 118 : 112 · 115 =
f) [(–5)2] · (−5) 6 =
j) (83 : 23) · 45 =
c) 118 : (112 · 115) =
g) (43 · 42)7 =
k) (57 · 52) · 29 =
d) (−5)15 · (−5)4 · (−5)2 =
h) [(−7)9 : (−7)5]2 =
l) [(−3)11 · 211] : (−6)5 =
5
=
11. Escribe en tu cuaderno las siguientes potencias como potencias de exponente positivo:
a) 4−3
b) (−5) −2
c)
(43)
( 57)
–3
–2
d) −
e)
(14)
–3
f) 1−5
12. Calcula el valor de las potencias del ejercicio anterior.
13. Resuelve en tu cuaderno las siguientes operaciones expresando el resultado como una única potencia con exponente
positivo:
a) 45 · 4 −2 =
d) (103) −2 =
g) 15−4 : 15−2 =
j) 9−10 : (95 · 92) =
b) 1110 · 11−3 =
e) 12−5 : 123 =
h)
(14) · (14)
k) [(−7)4]3 : (−7)7 =
c) 7−5 · 78 =
f) 35 · 3−13 =
i) 125 · 12−3 · 12 =
5
–7
=
l)
[( ) ( ) ] : ( 2110 ) =
22 5
·
3
7
2
5
–2
14. Calcula el valor de x en las siguientes expresiones:
a) 3x · 35 = 38
c) (−5) x · (−5) = (−5)3
e) 352 : 7x = 52
g) (3x)11 = 344
i) 65 · 6x = 62
b) 210 : 2x = 24
d) x3 · 43 = 283
f) 183 = x3 · 63
h) [(−8)4] x = (−8)12
j) (−4)7 : (−4) x = −4
15. Expresa, en tu cuaderno, los siguientes números de forma abreviada utilizando potencias de 10:
a) 1.000.000
c) 40.000.000.000
e) 0,0001
g) 0,00000008
b) 300.000
d) 7.000
f) 0,005
h) 0,0000000000003
Números reales y magnitudes físicas
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biología y geología
física y química
tecnología
2. Números reales
2.1. Números decimales
Los números decimales son una forma de expresar los números que no son enteros. En ellos podemos distinguir una parte entera y una parte decimal separadas
por una coma.
Parte
entera
12,39
2.2. Clasificación de los números decimales
Podemos clasificar los números decimales según su parte decimal.
Parte
decimal
Números decimales exactos
Son los que tienen un número finito de cifras decimales.
ejemplos:
2,1
15,05
0,0075
Números decimales periódicos puros
Su parte decimal está formada por un grupo de cifras que se repite de forma indefinida. A este grupo de cifras se le llama periodo.
ejemplos:
5,33333… = 5,3
Su periodo es 3
10,061061061… = 10,061
Su periodo es 061
Números racionales
Se llaman así todos los números
que pueden escribirse en forma
de fracción. Incluyen:
Números decimales periódicos mixtos
• Números naturales
3
1
3=
1=
1
1
• Números enteros
10
1
–10 = –
–1 = –
1
1
• Números decimales exactos
1
12
0,5 =
–2,4 = –
2
5
• Números decimales periódicos
1
0,3 =
3
123
–1,36… = –
90
Su parte decimal está formada por un grupo de cifras que no se repite y otro que
sí. El que se repite se llama periodo y el que no se repite antiperiodo.
ejemplos:
4,25555 = 4,25…
Su periodo es 5
25,0363636 = 25,036 …
Su periodo es 36
Números irracionales
Son los que tienen infinitas cifras decimales pero estas no siguen una pauta determinada, es decir, no hay un periodo que se repita indefinidamente.
ejemplos:
π = 3,14159265…
√ 2 = 1,41421356…
Los números irracionales no pueden escribirse como una fracción.
2.3. Números reales
Los números reales incluyen todos los números que has estudiado hasta ahora.
Los números naturales junto con el 0 y los números negativos
forman los números enteros.
Los números enteros junto con los números decimales exactos
y los decimales periódicos (puros y mixtos) forman los números racionales+.
Los racionales y los irracionales forman el conjunto de los números reales.
En la figura de la derecha puedes ver una representación de
todos estos conjuntos de números.
32
Números reales
1,41421356...
3,141592...
Números racionales
2,4555...
12/9
1,6
0,3333...
Números enteros
-3
2/5
Números naturales
-100
-0,0313131...
1,6180398...
15
-4/7
2,4555...
-11
1
213
-12
4 35
UNIDAD 1
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matemáticas
biología y geología
física y química
tecnología
2.4. Operaciones con números decimales
Suma y resta de números decimales
Se resuelve de la misma forma que con números enteros teniendo cuidado de alinear las comas de ambos números.
Suma y resta de
decimales
Multiplicación de números decimales
Alineamos las comas:
Multiplicamos sin tener en cuenta las comas y se añade la coma al resultado para
que tenga tantas cifras decimales como los factores en conjunto.
102,544
123,45
+ 72,5
– 34,139
175,044
División de números decimales
89,311
Vamos a repasar la división de números decimales mediante un ejemplo.
¿Cómo se hace...?
División de números decimales
Divide 350,62 : 12,8
1
Eliminamos la coma del divisor:
2
3506,2 128
Colocamos la coma en el
cociente cuando «bajamos»
la primera cifra decimal del
dividendo:
3506,2 128
946
502
27,
3
Continuamos dividiendo:
3506,2 128
946
502
118
Cociente: 27,3
Resto: 1,18
27,3
2.5. Fracción generatriz
Como ya hemos señalado, todos los números racionales pueden expresarse en forma
de fracción. A la fracción irreducible que representa un número decimal se le denomina fracción generatriz. Veamos como se calcula para cada tipo de número decimal:
Fracción generatriz de un decimal exacto
En el numerador se escribe el número decimal sin coma y en el denominador, la
unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga:
125 1
ejemplo: 0,125 =
=
100 8
Fracción generatriz de un decimal periódico puro
En el numerador se escribe el número sin coma hasta el final del periodo y se le
resta la parte entera, en el denominador se ponen tantos nueves como cifras tenga
el periodo:
13 – 1 12 4
ejemplo: 1,3 =
=
=
9
9 3
Fracción generatriz de un decimal periódico mixto
En el numerador se escribe el número sin coma hasta el final del periodo y se le
resta la parte entera y el anteperiodo; en el denominador se ponen tantos nueves
como cifras tenga el periodo y tantos ceros como cifras tenga el anteperiodo:
216 – 21 195 13
ejemplo: 2,16 =
=
=
90
90
6
Redondeo
Se denomina redondeo a eliminar
las cifras decimales a partir de una
señalada.
Si la primera cifra que eliminamos
es 5 o mayor, sumamos 1 a la última cifra que se escribe.
Si la cifra es menor que 5, la última
cifra que se escribe permanece
igual.
Por ejemplo, si redondeamos a las
centésimas:
4,1678 = 4,17
0,0232 = 0,02
Números reales y magnitudes físicas
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matemáticas
biología y geología
física y química
tecnología
ACTIVIDADES
1. Clasifica en tu cuaderno los siguientes números decimales en decimales exactos, periódicos puros, periódicos mixtos
e irracionales:
a) 1,2
c) 9,121221222…
e) – 4,5
g) 6,333
b) 4,566666…
d) – 4,34343434…
f) 0,111919191…
h) – 2,013014015…
2. Copia la siguiente tabla en tu cuaderno e indica escribiendo sí o no en cada casilla si los siguientes números pertenecen a los distintos conjuntos de números:
Número
Naturales
Enteros
Racionales
Reales
6,132323232…
– 12
π
5
2
5
– 1,2
2,66666…
12
2
0,45455455545555…
–
12
2
3. Señala en tu cuaderno si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
a) Todos los números naturales son números enteros.
b) Cualquier número que sea racional es también un número entero.
c) Los números reales están formados por los racionales y los irracionales.
d) Las fracciones negativas son números enteros.
e) Todos los números decimales son números racionales.
Yo me llamo
3,2222...
Entonces eres un
decimal periódico puro.
Yo me llamo 2,4555...
f) Un número natural también es entero, racional y real.
g) Un número entero es siempre un número natural.
Y tú eres un
decimal periódico
mixto
h) Todos los números enteros positivos son números naturales.
i) Los números racionales incluyen a los enteros negativos.
j) Los números irracionales forman parte de los números racionales.
34
UNIDAD 1
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matemáticas
biología y geología
física y química
tecnología
4. Pon un ejemplo en tu cuaderno de cada una de las siguientes situaciones:
a) Un número que sea entero y natural.
b) Un número que sea entero pero no sea natural.
c) Un número que sea racional y entero.
d) Un número que sea racional pero no sea entero.
e) Un número que sea racional y natural.
f) Un número que sea racional pero que no sea natural.
5. Resuelve en tu cuaderno las siguientes operaciones con números decimales
a) 0,5 + 12,33
e) 1,5 · 5,72
i) 2,5 + 1,2 · 4,55
m) 2,3 · 1,5 + 1,3 · 8,6
b) 32,07 – 1,25
f) 3,44 · (–1,2)
j) 3,75 – 1,2 : 0,6
n) 12,5 : 2,4 – 3 · 1,6
c) 0,001 + 12,4
g) 24,3 : 1,5
k) 10,5 + (1,2 – 4,5)
ñ) 15,6 : 3 + 1,5 · 4
d) 2,3 – 10,25
h) (–5,76) : 0,03
l) 2,4 · (1,3 + 0,75)
o) 3,5 – 1,2 · 0,5 + 9,3
6. Ocho amigos han pasado el fin de semana en una casa rural. El precio del alquiler es de 250 € por noche. Además, los
gastos en comida han sido de 125,60 €. Calcula cuánto dinero deben pagar cada uno de ellos.
7. En la tabla están reflejadas las temperaturas mínimas que se han alcanzado en Madrid durante una semana de enero de
2011:
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
Sábado
Domingo
–3,2 ºC
–3,5 ºC
–2,7 ºC
0,1 ºC
1,3 ºC
1,3 ºC
2,1 ºC
a) Calcula la media de estas temperaturas.
b) ¿Qué diferencia de temperatura se produjo entre el domingo y el lunes?
c) ¿Entre qué dos días consecutivos se produjo una mayor variación de temperaturas?
8. Halla en tu cuaderno la fracción generatriz de cada uno de los siguientes números decimales:
a) 0,6
d) 3,4
g) 1,233
j) 3,2
b) 12,5
e) 5,15
h) – 12,03
k) – 4,125
c) 0,53
f) –2,125
i) 100,2
l) 0,081
9. Resuelve las siguientes operaciones, en tu cuaderno, escribiendo primero los números decimales en forma de fracción:
a) 0,3 +
2
3
b)
1
· 1,4
5
c) 4,5 –
1 5
·
3 2
d)
4
2
+ 0,5 · – 1,6
3
3
e)
(
)
2
2
–
+ 2,7
5
3
10. Redondea las siguientes cantidades al orden de cifras indicado:
a) 1,245 a las decenas
c) 25,5561 a las centésimas
e) 3,51 a las milésimas
b) 0,0369 a las milésimas
d) 0,6 a las diez milésimas
f) 4,5107 a las centésimas
11. Un grupo de 12 alumnos quiere organizar un viaje y decide contratar un minibús. El precio es de 80 €. ¿Cuánto debe
pagar cada alumno? Ten en cuenta que al tratarse de euros debes redondear a las centésimas, ya que no se puede pagar
una cantidad inferior a un céntimo.
Números reales y magnitudes físicas
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matemáticas
biología y geología
física y química
tecnología
3. Errores
Aunque utilicemos los instrumentos de medida más sofisticados y trabajemos con
el mayor de los cuidados, es imposible realizar medidas con una precisión infinita.
En la vida cotidiana, los errores que van asociados a cualquier medida suelen ser
poco importantes, pero en el mundo científico y técnico es fundamental tratar de
determinar estos errores y tenerlos en cuenta en nuestros resultados.
En este apartado vamos a aprender cómo determinar el error que estamos cometiendo cuando medimos algo en un laboratorio.
3.1. Error absoluto
Consiste simplemente en comparar, mediante una resta, el valor que hemos obtenido con uno de referencia que consideramos exacto o verdadero. Habitualmente
este valor de referencia es la media de las mediciones que hayamos hecho. Se
suele tomar el valor absoluto de esta resta porque nos interesa la diferencia entre
nuestra medida y el valor exacto, independientemente de cuál es mayor o menor.
Por ejemplo, si al pesar en diferentes ocasiones una cantidad de sustancia tras un
experimento químico obtenemos distintos valores (como los del ejemplo del margen derecho), podemos considerar que la media de esos valores es el valor exacto
de nuestra medición. Lo denominamos VE.
La diferencia entre cada medida y este valor exacto es el error absoluto de cada
medida. Si realizamos la media de todos esos errores absolutos tenemos el promedio del error absoluto. Se denomina EA.
Habitualmente, el resultado de un experimento se escribe como:
VE ± EA
De esta forma indicamos que el valor exacto de dicho experimento se encuentra
comprendido entre VE − EA y VE + EA.
3.2. Error relativo y porcentaje de error
Para saber si un error es grande o pequeño, debemos compararlo con el valor obtenido en el experimento en el que se ha dado. Un error de 3 cm no tiene la misma
importancia si estamos tratando de medir el tamaño de una célula que si queremos determinar la distancia entre la Tierra y la Luna.
Para decidir si un error es importante o no, utilizamos el error relativo. Se denomina ER y se calcula dividiendo el error absoluto (EA) entre el valor considerado exacto
de nuestra medición (VE):
ER =
EA
VE
Si lo multiplicamos por 100, obtenemos el porcentaje de error:
% error = ER · 100
ejemplo:
Cálculo de errores
Al medir varias veces la masa de
sulfato de cobre resultante de
un experimento, nos encontramos
con los siguientes resultados:
3,51 g; 3,48 g; 3,49g; 3,52 g; 3,48 g
Para calcular un valor de referencia, que llamaremos valor exacto
(VE ) calculamos la media de estos
datos:
3,51+3,48+3,49+3,52+3,48
VE =
=
5
= 3,496 g
Ahora calculamos la diferencia
entre esta media y cada uno de
los datos obtenidos:
Peso (g)
Dato – VE
3,51
0,014
3,48
0,016
3,49
0,006
3,52
0,024
3,48
0,016
La media de estos errores es nuestro error absoluto (EA):
EA = 0,0152
Para expresar nuestro resultado
debemos emplear las mismas cifras decimales que obteníamos
en nuestras medidas (dos en este
caso), por lo que debemos redondear si es necesario. El peso del
sulfato de cobre que se obtiene
en este experimento sería:
3,50 ± 0,02 g
Para decidir si el error que hemos
cometido es grande o pequeño,
calculamos el error relativo y el
porcentaje de error:
0,02
ER =
= 0,0057
3,50
% error = 0,0057 · 100 = 0,6 %
En el margen puedes ver un ejemplo del proceso completo del cálculo de errores.
36
UNIDAD 1
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matemáticas
biología y geología
física y química
tecnología
ACTIVIDADES
1. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
a) Si ponemos el cuidado suficiente, podemos tomar medidas completamente exactas, sin ningún tipo de error.
b) El error relativo nos indica la diferencia entre una medida y el supuesto valor exacto.
c) Al dar el resultado de un experimento con su error absoluto, realmente indicamos el margen dentro del cual debe
encontrarse el resultado que buscábamos.
d) Para comparar la precisión de dos medidas distintas debemos utilizar el error absoluto.
e) El error relativo multiplicado por 100 nos da el porcentaje de error.
f) Un error absoluto muy alto significa que el experimento se ha hecho mal.
2. Como resultado de un experimento, una revista científica publica que la masa obtenida en una reacción química de una
determinada sustancia es 2 ± 0,1 g.
a) Calcula el error relativo y el porcentaje de error de esta medida.
b) Indica cuáles de las siguientes opciones son válidas como posible resultado exacto del experimento:
2,05 g
1,93 g
1,98 g
1,87 g
2,11 g
2,07 g
1,89 g
3. Un alumno mide la longitud de un hilo de 5 m y halla el valor de 6 m. Otro alumno mide la longitud de un paseo de
600 m y halla 601 m. ¿Qué medida fue más exacta?
4. ¿Cuál de estas medidas es más precisa?
a) Radio de la Tierra: 6.500 km
EA = 100 km
b) Anchura de un folio: 210 mm
EA = 1 mm
5. Conociendo el error absoluto, ¿podemos saber si una medida es más precisa que otra?
6. Realizamos un experimento en el laboratorio, que consiste en colgar un mismo peso de un muelle para determinar
cuánto se estira. Colgamos el peso 5 veces y obtenemos los siguientes resultados:
Medida 1
13,45 cm
Calcula:
Medida 2
13,50 cm
a) El error absoluto de cada medida.
Medida 3
13,57 cm
b) El promedio del error absoluto.
Medida 4
13,55 cm
c) El error relativo.
Medida 5
13,48 cm
d) El porcentaje de error.
7. Al medir la distancia entre las orillas de un río se ha obtenido el resultado de 220 m con un error de ±40 cm. Al medir
la longitud de una mesa se obtiene como resultado 2,5 m con un error de ±10 cm. ¿Cuál de las dos medidas es más
precisa?
8. En un trabajo de laboratorio hemos obtenido los siguientes resultados al medir repetidamente el tiempo que tardaba
un metal en pasar de 55 ºC a 50 ºC:
Medida 1
145 s
Medida 2
160 s
Medida 3
151 s
Medida 4
154 s
Medida 5
148 s
a) Calcula el error absoluto, el error relativo y el porcentaje de error.
b) Compara la precisión obtenida en este experimento con la del experimento descrito en la actividad número 6.
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matemáticas
biología y geología
física y química
tecnología
4. Magnitudes físicas
Ahora relacionaremos lo aprendido en Matemáticas con operaciones propias de la
Física: la notación científica y el cambio de unidades.
El cambio de unidades es una práctica cotidiana: si vamos al mercado pedimos,
por ejemplo, 150 gramos de jamón de York, 1 kilo de carne, una docena de huevos, 1 litro y medio de leche, etc. Como ves, se han utilizado diferentes medidas.
A continuación veremos las diferentes unidades utilizadas para medir magnitudes
físicas y químicas, así como la forma apropiada de expresarlas científicamente.
Una magnitud es todo lo que puede ser medido. Por ejemplo, la longitud, la masa,
la temperatura, etc.
Precisión
Cuando hablamos de precisión de
un aparato, nos estamos refiriendo a la menor cantidad que puede apreciar. Por ejemplo, en una
regla normal la precisión es de 1
milímetro pero en un calibre sería
de 0,05 milímetros (1/20 mm).
La balanza se usa para medir masas, y el tiempo se medirá con reloj o cronómetro,
para las longitudes podemos utilizar una cinta métrica, una regla graduada, e incluso otros aparatos como el nonius o el calibre.
Medir una magnitud consiste en compararla con otra de la misma naturaleza a la
que se denomina unidad. Por ejemplo, la masa habrá que medirla utilizando una
unidad de masa (gramos, kilogramos) y no con una de longitud como el metro.
Para poder medir la magnitudes necesitaremos construir o utilizar aparatos de medida adecuados.
Las magnitudes que se pueden medir directamente se llaman magnitudes fundamentales, como por ejemplo la masa, el tiempo...
Pero generalmente las magnitudes en Física se calculan utilizando una fórmula
matemática, es decir, se miden de forma indirecta. A las magnitudes así medidas
se les llama magnitudes derivadas o indirectas.
Por ejemplo, la velocidad no se mide, se calcula con la fórmula:
espacio
v=
tiempo
Ya hemos visto que para poder medir necesitamos un aparato de medida. A este
aparato hay que exigirle dos cosas:
• Exactitud. Es decir, que esté bien construido.
• Fidelidad. Es decir, que mida siempre igual.
Cronómetro utilizado para medir el tiempo.
La altura de las secuoyas es una magnitud.
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UNIDAD 1
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matemáticas
biología y geología
física y química
tecnología
ACTIVIDADES
1. Enumera algunas magnitudes físicas que conozcas e
indica si son fundamentales o derivadas.
2. De las magnitudes físicas del apartado anterior, indica qué instrumento usarías para medirlas.
3. Clasifica en tu cuaderno en fundamentales o derivadas las siguientes magnitudes físicas y escribe la
fórmula de las que sean derivadas:
a) Espacio
b) Densidad
c) Potencia
d) Tiempo
e) Presión
f) Aceleración
g) Masa
h) Fuerza
i) Peso
j) Temperatura
La velocidad es una magnitud derivada.
4. Indica algunos aparatos de medida que tengas en casa.
5. ¿Cuáles son las magnitudes fundamentales que conoces del Sistema Internacional? ¿Todos los países las usan?
6. ¿Cuáles de los siguientes conceptos pueden considerarse magnitudes físicas? Completa en tu cuaderno.
a) Altura
b) Peso
c) Belleza
d) Inteligencia
e) Volumen
7. Contesta en tu cuaderno verdadero o falso a las siguientes cuestiones:
a) La mejor medida de la longitud la conseguimos a partir de nuestro cuerpo: palmo, braza, pie...
b) El trabajo es una magnitud fundamental.
c) El volumen es una magnitud derivada.
8. El proceso de medida implica ciertas condiciones. Si quisieras medir tu mesa de trabajo y no tuvieras una cinta métrica,
¿cómo lo harías?
9. Una magnitud escalar es aquella que queda definida por una cantidad y una unidad, por ejemplo, el tiempo; y en una
magnitud vectorial, aparte de lo anterior, nos tienen que indicar su dirección y el sentido. Sabiendo esto indica cuáles
de las magnitudes de la actividad 3 son escalares.
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matemáticas
biología y geología
física y química
tecnología
5. Unidades de medida
Cada magnitud necesita su unidad para ser medida. La unidad es una cantidad
que se adopta como patrón para comparar con ella cantidades de la misma
especie.
Las unidades se escriben con símbolos que no se pueden cambiar y con minúscula, a no ser que deriven de algún nombre propio, en cuyo caso se escriben con
mayúscula.
Polo Norte
10 7 m
Los símbolos no se escriben en plural: 10 s son 10 segundos, 5 m son 5 metros.
Tampoco se pone un punto al final del símbolo: 3 h (3 horas).
Como existen muchas unidades, para evitar confusiones se crearon los llamados
sistemas de unidades. Actualmente el que utilizamos nosotros es el Sistema Internacional, SI, que está basado en el sistema métrico decimal, es decir, se basa en
potencias de 10.
En el SI, las unidades de las magnitudes más frecuentes son:
Magnitud
Unidad
Símbolo
Masa
kilogramos
kg
Tiempo
segundos
s
Longitud
metros
m
Superficie
metros cuadrados
m2
Volumen
metros cúbicos
m3
Intensidad de corriente
amperios
A
Temperatura
kelvin
K
Fuerza
Newton
N
Ecuador
En 1792, la Academia de las Ciencias de
París definió el metro en función del meridiano terrestre.
Los países anglosajones no utilizan el SI para expresar la longitud utilizan la yarda
(yd), para la masa utilizan la libra (lb), etc. Vamos a ver algunas equivalencias:
1 yarda
=
0,9144 m
1 libra
=
0,45359243 kg
1 milla
=
1,609 km
1 pulgada =
2,54 cm
1 pie
30,48 cm
=
Además de las vistas, en nuestra vida diaria utilizamos otras unidades que no son
del SI.
Magnitud
40
Unidad
Tiempo
hora, minuto
Temperatura
grado centígrado (ºC)
Longitud
ångstrom (Å) = 10 –10 m
Longitud
año luz = 9,44 · 1012 km
Masa
quintal (q) = 100 kg
Masa
tonelada (t) = 1.000 kg
Superficie
área (a) = 1 dam2
Superficie
hectárea (ha) = 1 hm2
Los atletas anglosajones miden sus distancias en yardas.
UNIDAD 1
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matemáticas
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física y química
tecnología
5.1. Múltiplos y submúltiplos de
las unidades de medida
Nosotros utilizamos el SI, pero a veces no es práctico. Imagínate que midieras la
distancia a la Luna en metros o el tiempo de un partido de fútbol en segundos.
Para estos casos se usan los múltiplos (que expresan una cantidad mayor que la
unidad de medida) y los submúltiplos (que expresan una cantidad menor que
la unidad de medida).
En los dos casos, se trata de una serie de prefijos que se escriben delante de la
unidad, y nos indican la equivalencia con ella.
Los múltiplos más usuales son:
Prefijo
Símbolo
Equivalencia
tera
T
1012
giga
G
109
mega
M
106
kilo
k
103
hecto
h
102
deca
da
10
Las bacterias tienen dimensiones microscópicas menores de 0,1 mm.
Los submúltiplos más usuales son:
Prefijo
Símbolo
Equivalencia
deci
d
10 –1
centi
c
10 –2
mili
m
10 –3
micro
µ
10 –6
nano
n
10 –9
pico
p
10 –12
5.2. Notación científica
Un número N escrito en notación científica es el producto de un número entero
del 1 al 9 (nunca 0 ni mayor de 9) seguido de una parte decimal si la hubiera, y una
potencia de base 10 que nos dará la magnitud del número.
N = a · 10n
número sin decimales
N = a, bc … 10n
número con decimales
Si n es positivo, N es grande, y si n es negativo, N es pequeño.
ejemplo: Nos dan el número 324.278; como tenemos que dejar un sólo dígito,
correremos la coma hacia la izquierda 5 lugares y nos quedará 3,24278 · 105.
Si nos dan el número 0,00000027, como el primer dígito es 0, se correrá la coma
hacia la derecha hasta el primer dígito no nulo, es decir, 7 lugares. Luego el
número será 2,7 · 10 –7.
El número de lugares que recorre la coma nos da el exponente de la potencia de
10. Si la coma se corre hacia la izquierda, el exponente es positivo, y si se corre hacia la derecha, el exponente es negativo.
La notación científica nos simplifica el cálculo matemático. Por ejemplo, si tenemos que multiplicar, sin utilizar la calculadora, 0,002 · 350.000, haríamos:
2 · 10 –3 × 3,5 · 105 = 2 · 3,5 × 10 –3 · 105 = 7 × 102 = 700
La distancia de la Tierra al Sol es de
150 millones de km, que en el Sistema Internacional (SI) y en notación científica
serían 1,50 · 1011 m.
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matemáticas
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ACTIVIDADES
1. Antes del SI utilizábamos otro sistema llamado CGS (cegesimal) en el que la longitud se medía en cm y la masa en g.
Explica cuál de los dos sistemas te parece más práctico. ¿Por qué?
2. Si vuelas en una compañía aérea estadounidense, el piloto informará a los pasajeros que el avión está volando a una
altura de 25.000 pies. ¿Cuántos metros serán?
3. Si vas a comprar comida en Londres y pides 2 libras de carne, ¿cuánta carne te darán?
4. Completa en tu cuaderno:
a) 8 años luz =
b) 4,2 g =
m
kg
c) 7 t =
g
d) 1,23 a =
e) 34 ha =
m2
f)
10 días =
hm2
s
5. Expresa tu altura en pies y en pulgadas.
6. Pésate en la farmacia y expresa tu peso en libras.
7. Un petrolero lleva una velocidad de 18 nudos. Si un nudo equivale a 0,51 m/s, indica a qué velocidad corresponde expresada en m/s y en km/h.
8. La velocidad de la luz es de 3·108 m/s. Expresa ese valor en millas/hora.
9. Los atletas anglosajones no corren los 1.000 metros lisos, porque utilizan como medida de longitud la yarda. Indica a
cuántas yardas corresponden esos 1.000 metros.
10. El virus de la poliomielitis mide 30 millonésimas de milímetro. Exprésalo en ångstroms.
11. Un glóbulo rojo humano tiene un diámetro de 10.000 millonésimas de milímetro. Expresa esa cantidad en pulgadas y
en pies.
12. El año luz es una medida de longitud que indica la distancia recorrida por la luz en un año y equivale a 9,44 billones
de km, o sea, 9,44 · 1012 km. La constelación de α–Centauro está a 4,3 años luz de la Tierra. ¿A qué distancia se
encuentra? Exprésala en metros y en kilómetros.
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UNIDAD 1
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matemáticas
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física y química
tecnología
13. En las siguientes medidas indica la magnitud, la unidad y la cantidad medida:
a) 230 cg
c) 67 Gs
e) 70 dam
g) 47 kg
b) 8 cm2
d) 9 µm
f) 10 cm3
h) 8,4 mg
14. Transforma en tu cuaderno al SI las siguientes cantidades:
a) 8,5 km
c) 5 ps
e) 2 nm
g) 8 Ms
b) 23 mm
d) 10 hl
f) 35 dam
h) 1 dg
15. Realiza en tu cuaderno los cambios de unidades siguientes:
a) 45 cm =
m
d) 34 nm =
cm
b) 9 km =
mm
e) 27 kg =
mg
c) 6 µg =
g
f) 2,7 Ts =
s
230 cg son ...g?
16. Escribe en tu cuaderno en notación científica:
a) 125.400
c) 0,000056
e) 0,00000000099
b) 300
d) 756.894
f) 0,9800754
17. Pasa al SI expresando el resultado en notación científica:
a) 3 km2
c) 758 km3
e) 8,7 dam2
g) 62 dam3
b) 34 cm2
d) 44 mm3
f) 9,8 hm2
h) 5.670 cm3
18. Completa en tu cuaderno:
a) 1 daL =
cL =
dm3
b) 1 kL =
daL =
cm3
c) 1 mL =
L=
dm3
d) 1 dL =
mL =
cm3
19. Los rayos X tienen una longitud de onda de 1 pm. Pásalo a unidades del SI.
En los mapas del tiempo
la presión atmosférica
se mide en una unidad
llamada milibar 1.000
mb equivalen a 100.000
Pa (pascales).
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Desafío científico
Contraseñas seguras
La seguridad de una contraseña depende de muchos factores, pero uno de los más importantes es el número y el
tipo de caracteres que utilices. La forma de ataque más
básica es la denominada ataque de fuerza bruta. Consiste
en un programa que prueba de forma aleatoria todas las
combinaciones posibles según el número de caracteres.
Esta operación llevará más o menos tiempo en función
del tipo de contraseña (si utiliza solo letras, mayúsculas
y minúsculas, números, símbolos…) y de la capacidad de
cálculo del ordenador. Por ejemplo, una contraseña que
estuviese formada solo por una letra ofrece 26 posibilidades. Si utilizamos dos letras las combinaciones se multiplican por 26 y tenemos 26 · 26 = 262 = 676 posibilidades. Con tres letras, las opciones serían 263 =17.576. A medida que la contraseña emplea más caracteres,
el número de posibilidades aumenta, obligando al programa de ataque a tener que probar más y más
combinaciones aleatorias.
Por otra parte, si en lugar de utilizar solo letras minúsculas empleas también letras mayúsculas, las opciones para cada carácter se duplican, pasando a ser 52. Si además incluimos números, pasamos a generar
62 opciones por cada carácter. En algunos sitios incluso se permite el uso de símbolos como * o $, lo que
aumentaría aún más las combinaciones posibles.
1
Completa la siguiente tabla en tu cuaderno indicando cuántas combinaciones posibles existen según el número y el
tipo de caracteres que empleemos:
Número de caracteres
Solo letras minúsculas
Mayúsculas y minúsculas
Mayúsculas + minúsculas
+ números
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
Vamos a considerar que un ordenador personal puede realizar unos 10.000.000 intentos por segundo.
a) ¿Cuánto tardaría en «hackear» una contraseña de 8 caracteres en los que solo hemos usado letras minúsculas?
b) ¿Y si la contraseña incluye también mayúsculas y números?
3
44
Busca información sobre los ataques de diccionario. ¿Qué hay que evitar si queremos una contraseña segura
también frente a este tipo de ataques?
UNIDAD 1
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Investiga
El método científico
Todas las ciencias utilizan el mismo método de trabajo, el método científico. Este método se desarrolla en varias fases:
Observación
La primera fase es la de observación de los fenómenos que se quieren estudiar, y determinar el objeto de estudio.
Para realizar una observación precisa no nos podemos fiar de nuestros
sentidos, hay que realizar una observación objetiva, y para ello se utilizan
herramientas como la instrumentación y los análisis estadísticos, que permiten identificar variables que influyen en el fenómeno.
Hipótesis
Una hipótesis es una idea, o conjunto de ideas, que intentan explicar un
fenómeno, su causa y sus mecanismos fundamentales. Esa hipótesis hay
que expresarla en términos claros y debe permitir deducir consecuencias
que posteriormente hay que comprobar.
Objetivo:
Conocer el fundamento y las fases
del método científico.
Material:
• Cubitos de hielo
• Recipiente que resista el calor
• Mechero
• Termómetro que pueda marcar
más de 100 grados centígrados
(termómetro de laboratorio)
• Papel milimetrado y bolígrafo
para recoger los datos
Experimentación
El objetivo es poner a prueba la hipótesis, es decir, comprobar si es o no
cierta, reproduciendo en el laboratorio el fenómeno observado. Por lo tanto, se medirán las distintas variables que intervienen en el fenómeno y se
anotarán los resultados obtenidos.
Existen dos tipos de variables: cualitativas, en las que no hay que contar ni
medir, y cualitativas, que implican medidas y cantidades.
Las matemáticas son la herramienta ideal, porque facilitan la deducción de
los resultados de una forma cuantitativa. De esta forma, el fenómeno es
descrito por un conjunto de números.
Hay que saber manejar tablas de datos, para expresar los resultados cuantitativos, y representarlos en gráficas, para poder deducir de ellos las relaciones entre las variables y los valores que te interesan para poder confirmar o
no la hipótesis de tu experimento.
Interpretación
Después de numerosas experiencias, las hipótesis confirmadas se convierten en una ley general o una teoría.
Si quieres conocer más sobre
el método científico, consulta las siguientes páginas:
• h t t p : //n e w t o n . c n i c e . m e c d .
es/3eso/mcientifico/index.htm
Difusión de las leyes o teorías encontradas
• http://quest.masa.gov/projects/
files/sciMethod_S.html
Al finalizar el proceso, el científico debe comunicar el resultado de sus experimentos y conclusiones para que el mundo pueda beneficiarse del hallazgo.
• http://www.superchicos.net/metodocientifico.htm
De esta forma, se tiene acceso a un nuevo conocimiento, y se puede intentar reproducirlo o refutarlo con otros experimentos o desarrollos de la
misma teoría. El lugar de publicación son revistas de ciencia especializadas
en áreas muy concretas: física, química, biología, etc.
ACTIVIDADES
1. Aplica el método científico en el estudio de los cambios de estado. El agua se presenta en la naturaleza en los tres estados: sólido, líquido y gaseoso; así, tu estudio se centrará en cómo y por qué se realizan esos cambios. Emite una hipótesis
y confírmala por medio de la experimentación. Anota los valores hallados en unas tablas y realiza una gráfica temperatura–tiempo. Escribe las conclusiones en tu cuaderno.
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Recuerda
1. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla indicando en cada caso la base,
el exponente y el valor de cada potencia:
Potencia
Base
Exponente
Resultado
73
(–2)5
( 32 )
3
108
(–5)4
(– 15 )
4
110
2. Resuelve en tu cuaderno las siguientes operaciones expresando el resultado
como una única potencia:
a) 47 · 43 =
e) 84 : 84 =
i) (–2) · (–2)2 =
b) 1511 : 154 =
f) (–3)10 · (–3)2 =
j)
c) 108 · 10 =
g) (–1)8 : (–1)5 =
4
d) (35) =
()()
k) ( 15 ) · ( 15 ) =
7
7
1 7· 1 2=
5
5
8
l) [(–4)
]
7 3
3
h) (510) =
2
()
n) (– 2 ) · (– 2 ) =
5
5
ñ) (– 3 ) · (– 3 ) =
2
2
o) [( 1 ) ] =
8
m)
5 2· 5 =
7 7
9
5
3
4
3 4
=
3. Simplifica las siguientes expresiones en tu cuaderno:
a) 53 · 103 =
c) 155 · 35 =
e) (–40)4 : 8 4 =
b) 47 : 27 =
d) 802 : 102 =
f) (–7) 5 · (–4) 5 =
( 15 ) · ( 23 ) =
h) (– 2 ) : ( 2 ) =
7
5
g)
5
5
8
8
4. Resuelve en tu cuaderno las siguientes operaciones con potencias:
46
a) 106 : 103 · 104 =
d) (–2) 3 · (–2) · (–2) 5 =
b) 1312 · 132 : 137 =
e)
c) 79 : (72 · 77) =
f) [(–3)4] · (–3)3 =
( 35 ) · ( 35 ) : ( 35 ) =
4
10
10
5
g) (83 · 8 6) 2 =
j) (244 : 34) · 87 =
h) [(–1) 4 : (–1) 2] 9 =
k) (157 · 152) : 59 =
i)
[( ) ( ) ]
1 5: 1
6
6
4 2
l) [(–2)11 · 1211] : (–4)11 =
UNIDAD 1
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5. Expresa como potencias de exponente positivo y calcula el valor de las siguientes potencias. Resuelve en tu cuaderno:
–2
–3
–4
b) (–6)–3
c) 5
d) – 4
e) 1
f) (–1)–4
a) 5–2
2
3
2
()
()
()
6. Resuelve en tu cuaderno las siguientes operaciones expresando el resultado como una única potencia con exponente positivo:
a) 3–5 · 37 =
c) (152)–3 =
e) 5–7 : 5–3 =
g) 2–15 : (23 · 27) =
b) 92 · 9–3 =
d) 34 : 3–10 =
f) 116 · 11–4 · 11 =
h)
[( ) ( ) ] ( )
4 3· 1
3
5
3 –2
4
: 4 =
15
7. Calcula el valor de x en cada una de las siguientes expresiones:
a) 54 · 5x = 511
b) 128 : 12x = 122
c) (3x)4 = 332
d) 103 · 10x = 10
e) 2x : 2–3 = 29
8. Completa la siguiente tabla en tu cuaderno indicando a qué conjuntos pertenecen cada uno de los siguientes números.
Número
Naturales
Enteros
Racionales
Reales
6
–12,343443444…
7,55555…
–2,113333…
1
6
9. Calcula en tu cuaderno la fracción generatriz de los siguientes números decimales:
a) 5,1
b) 0,0333…
c) 1,24444…
d) 1,25
e) 3,4212121…
10. Resuelve en tu cuaderno las siguientes operaciones con números decimales y fracciones:
g) 1 – 3 + 1,2 =
a) 0,34 + 2,1 · 1,5 =
c) 12,5 : 3,2 + 1,57 =
e) 3,3 + 1 =
6
3 2
(
b) 4,2 · (3,5 – 1,26) =
d) 23,61 + 1,01 · 3,2 =
f) 2 – 0,5 · 3 =
5
2
)
h) 2 · 0,03 + 2 =
5
3
11. Realizamos un experimento en el que queremos determinar la temperatura final de una sustancia después de aplicarle un campo magnético. Repetimos el experimento 6 veces y obtenemos los siguientes resultados:
34,7 ºC
33,1 ºC
33,7 ºC
35,1 ºC
34,5 ºC 33,0 ºC
a) Calcula el error absoluto.
b) Calcula el error relativo y el porcentaje de error.
12. Expresa las siguientes cantidades en unidades del Sistema Internacional y utilizando la notación científica. Resuelve
en tu cuaderno:
a) 400 mm
d) 5 km
g) 400 s
j) 0,0000056 dam
b) 5 780 cg
e) 670 µm
h) 57 h
k) 8 900 mA
c) 0,0098 hg
f) 0,0104 g
i) 6.700.000 dg
l) 142.700.000 km
Números reales y magnitudes físicas
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Profundiza
1. Observa el siguiente ejemplo:
()() ()() ()
2 5· 3
3
2
–2
5
2
= 2 · 2 = 2
3
3
3
7
Resuelve tú ahora las siguientes operaciones con potencias y fracciones:
a)
b)
( 57 ) · ( 75 ) =
( 35 ) · ( 53 ) =
11
7
(– 114 ) · (– 114 ) =
d) (– 3 ) · (– 4 ) =
4
3
–3
10
c)
–5
3
–6
e)
–5
f)
( 52 ) · ( 25 ) =
( 47 ) · 74 =
9
()
( )
4
7
g) 512 · 1 =
5
6
1
· 10 –3 =
h)
10
10
2. a) Completa la siguiente tabla en tu cuaderno calculando el valor de la expresión (–1)n para distintos valores de n:
Valor de n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Valor de (–1) n
b) Completa la siguiente frase en tu cuaderno:
«El valor de (–1)n es ……………… siempre que n es ……………… y es …………… siempre que n es ………………».
3. Repite el ejercicio anterior con las siguientes expresiones en tu cuaderno, escribiendo una frase similar a la escrita en el apartado b) del ejercicio anterior para cada uno de los casos:
Valor de n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Valor de (–1) n+1
Valor de n
Valor de (–1) n-1
Valor de n
Valor de (–1)2n
Valor de n
Valor de (–1)2n+1
4. Algunos números irracionales tienen unas propiedades muy interesantes, lo que les convierte en números «famosos». Busca información sobre los siguientes números irracionales y completa en tu cuaderno la siguiente tabla:
Número
Nombre
Símbolo
Está relacionado con…
3,1415926…
2,7182818…
1,6180339…
5. Expresa las unidades de las siguientes magnitudes en el Sistema Internacional de unidades:
a) aceleración = velocidad
tiempo
48
b) velocidad = espacio
tiempo
c) presión =
fuerza
superficie
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Autoevaluación
Escribe en tu cuaderno la respuesta correcta.
1. Resuelve: 26 · (28 : 22) =
b) 212
a) 22
c) 210
d) 224
c) (–7)10
d) (–7)3
2. Resuelve: [(–7)15 : (–7)3] · (–7)2 =
b) (–7)7
a) (–7)14
[( ) ]
3. Calcula: 1
5
6 3
()
a) 1
5
9
b)
()
1
5
18
c)
()
1
5
()
3
d) 1
5
2
4. Resuelve la siguiente operación con potencias: (43 · 33) : 122 =
a) 12
c) 128
b) 125
d) 124
()
5. Expresa la siguiente potencia como una potencia con exponente positivo: 3
5
()
a) 3
5
7
b)
( 53 )
7
( )
c) – 3
5
–7
( )
7
d) – 5
3
7
6. Resuelve la siguiente operación con números decimales: 0,51 + 4,51 · 1,7 =
a) 8,534
b) 85,34
c) 8,177
d) 81,77
7. Señala cuál de los siguientes números no puede escribirse en forma de fracción:
a) 0,313131313…
b) 5
c) 2,121221222…
d) 9,3244444…
8. Si el resultado de un experimento ha sido 23,4 0,5 s, ¿qué error relativo hemos cometido?
a) 0,021
b) 2,1
c) 0,468
d) 46,8
9. Señala cuál de las siguientes unidades no es una unidad del Sistema Internacional:
a) Metro (m)
b) Amperio (A)
c) Newton (N)
d) Gramo (g)
10. Expresa 56 km en unidades del Sistema Internacional y en notación científica:
a) 5,6 · 101 km
b) 56.000 m
c) 5,6 · 104 m
d) 5,6 · 103 m
Números reales y magnitudes físicas
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