Download ejercicios ecuaciones 1º y 2º grado

C.C. Cardenal Spínola
RESOLVER LAS ECUACIONES DE PRIMER GRADO
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
C.C. Cardenal Spínola
PROBLEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
1 Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años será la edad del padre tres veces
mayor que la edad del hijo?
2Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es el número?
3 La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide
30 cm?
4En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de
hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay si la reunión la componen 96
personas?
5 Se han consumido 7/8 de un bidón de aceite. Reponemos 38 l y el bidón ha quedado lleno hasta sus
3/5 partes. Calcula la capacidad del bidón.
6 Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y 116 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos
hay?
7Luís hizo un viaje en el coche, en el cual consumió 20 l de gasolina. El trayecto lo hizo en dos
etapas: en la primera, consumió 2/3 de la gasolina que tenía el depósito y en la segunda etapa, la
mitad de la gasolina que le queda. Se pide:
1.Litros de gasolina que tenía en el depósito.
2. Litros consumidos en cada etapa.
8En una librería, Ana compra un libro con la tercera parte de su dinero y un cómic con las dos
terceras partes de lo que le quedaba. Al salir de la librería tenía 12 €. ¿Cuánto dinero tenía Ana?
9 La dos cifras de un número son consecutivas. La mayor es la de las decenas y la menor la de las
unidades. El número es igual a seis veces la suma de las cifras. ¿Cuál es el número?
10Las tres cuartas partes de la edad del padre de Juan excede en 15 años a la edad de éste. Hace
cuatro años la edad de la padre era doble de la edad del hijo. Hallar las edades de ambos.
11Trabajando juntos, dos obreros tardan en hacer un trabajo 14 horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en
hacerlo por separado si uno es el doble de rápido que el otro?
12Halla el valor de los tres ángulos de un triángulo sabiendo que B mide 40° más que C y que A
mide 40° más que B.
C.C. Cardenal Spínola
RESOLVER LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7) 2
8) x + (7 − x)2 = 25
9) 7x2 + 21x − 28 = 0
10) −x2 + 4x − 7 = 0
11) 2
12) 6x −5x +1 = 0
13)
14)
15)
16)
C.C. Cardenal Spínola
RESUELTO
1
Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años será la edad del padre tres veces mayor
que la edad del hijo?
Años
x
35 + x = 3 · (5 + x )
35 + x = 15 + 3 · x
20 = 2 · x
x = 10
Al cabo de 10 años.
2
Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es el número?
3
La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 30
cm?
Altura
Base
x
2x
2 · x + 2 · 2x = 30
Altura
Base
5 cm
10 cm
2x + 4x = 30
6x = 30
x=5
C.C. Cardenal Spínola
4
En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de
hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay si la reunión la componen 96
personas?
Hombres
x
Mujeres
2x
Niños
3 · (x + 2x) = 3 · 3x = 9x
x + 2x + 9x = 96
12x = 96
x=8
Hombres
Mujeres
Niños
8
2 · 8 = 16
9 · 8 = 72
5
Se han consumido 7/8 de un bidón de aceite. Reponemos 38 l y el bidón ha quedado lleno hasta sus
3/5 partes. Calcula la capacidad del bidón.
6
Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y 116 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay?
Cerdos
Pavos
x
35 − x
4x + 2 · (35 − x) = 116
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4x + 70 − 2x = 116
2x = 46
x = 23
Cerdos
Pavos
23
35 − 23 = 12
7
Luís hizo un viaje en el coche, en el cual consumió 20 l de gasolina. El trayecto lo hizo en dos etapas:
en la primera, consumió 2/3 de la gasolina que tenía el depósito y en la segunda etapa, la mitad de la
gasolina que le queda. Se pide:
1.Litros de gasolina que tenía en el depósito.
1ª etapa
2ª etapa
2. Litros consumidos en cada etapa.
1ª etapa
2ª etapa
8
En una librería, Ana compra un libro con la tercera parte de su dinero y un cómic con las dos terceras
partes de lo que le quedaba. Al salir de la librería tenía 12 €. ¿Cuánto dinero tenía Ana?
Total
Libro
x
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Cómic
9
La dos cifras de un número son consecutivas. La mayor es la de las decenas y la menor la de las
unidades. El número es igual a seis veces la suma de las cifras. ¿Cuál es el número?
Unidades
Decenas
x
x+1
Si tenemos un número de dos cifras, por ejemplo 65 podemos descomponerlo, de este modo: 6 ·10 +
5.
Nuestro número de dos cifras es: (x +1) · 10 + x.
Como este número es seis veces mayor que la suma de sus cifras: x + x + 1 = 2x + 1, tendremos:
(x +1) · 10 + x = 6 (2x + 1)
10x + 10 + x = 12 x + 6
10 x + x - 12x = 6 - 10
−x = −4
x=4
Unidades
4
Decenas
4+1=5
Número
54
10
C.C. Cardenal Spínola
Las tres cuartas partes de la edad del padre de Juan excede en 15 años a la edad de éste. Hace cuatro
años la edad de la padre era doble de la edad del hijo. Hallar las edades de ambos.
Juan
Hace cuatro años
Hoy
Padre de Juan
x
2x
x+4
2x + 4
Edad de Juan: 32 + 4 = 36.
Edad del padre: 2 · 32 + 4 = 68.
11
Trabajando juntos, dos obreros tardan en hacer un trabajo 14 horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en
hacerlo por separado si uno es el doble de rápido que el otro?
Rápido
Tiempo
Hora de trabajo
Rápido
21 horas
Lento
x
2x
1/x
1/2x
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Lento
42 horas
12
Halla el valor de los tres ángulos de un triángulo sabiendo que B mide 40° más que C y que A mide
40° más que B.
C
x
B
x + 40
A
x + 40 + 40 = x+ 80
x + x + 40 + x+ 80 = 180;
x + x + x = 180 − 40 − 80;
3x = 60; x= 20
C = 20º
B = 20º + 40º = 60º
A = 60º + 40º = 100º
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PROBLEMAS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
1Escribir una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son: 3 y −2.
2Factorizar:
3Determinar k de modo que las dos raíces de la ecuación x2 − kx + 36 = 0 sean iguales.
4 La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos números.
5 Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años.
Calcula la edad de Pedro.
6Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las
dimensiones de la finca.
7Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la
longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m².
8Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena
uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m².
9Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que es semejante a
otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente.
10Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es
.
11Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es 580. ¿Cuáles
son esos números?
12Dos caños A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por sí solo en tres horas menos
que B. ¿Cuántas horas tarda a cada uno separadamente?
13Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medidas en centímetros tres números pares
consecutivos. Halla los valores de dichos lados.
C.C. Cardenal Spínola
14Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha. Con ella se construye una caja de 840 cm3
cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las dimensiones
de la caja.
15Un caño tarda dos horas más que otro en llenar un depósito y abriendo los dos juntos se llena en 1
hora y 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo cada uno por separado?
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RESUELTO
1
Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son: 3 y −2.
S= 3 − 2 = 1
P=3·2=6
x2 − x + 6 = 0
2
Factorizar:
3
Determinar k de modo que las dos raíces de la ecuación x2 − kx + 36 = 0 sean iguales.
b2 − 4ac = 0
k2 − 4 · 36 = 0
k2 = 144
C.C. Cardenal Spínola
4
La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos números.
x2 − Sx + P = 0
5
Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años.
Calcula la edad de Pedro.
Edad actual
x
Edad hace 13 años
Edad dentro de 11 años
Edad actual
x − 13
x + 11
21
Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las dimensiones
de la finca.
C.C. Cardenal Spínola
Semiperímetro
Base
Altura
55
x
55 − x
x · (55 − x) = 750
x2 − 55x + 750 = 0
x = 25
x = 30
Las dimensiones de la finca son 30 m y 25 m .
7
Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la longitud
de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m².
1er lado (base)
3x
2º lado (altura)
4x
3er lado
5x
1er lado
6m
2º lado
8m
C.C. Cardenal Spínola
3er lado
10 m
8
Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena
uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m².
(50 + 2x) · (34 + 2x) − 50 · 34 = 540
4x2 + 168x − 540 = 0
x2 + 42x − 135 = 0
x = 3 y x = −45
La anchura del camino es 3 m .
9
Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que es semejante a otro
rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente.
Base
Altura
48x : 12 = 4x
36x : 12 = 3x
(4x)2 + (3x)2 = 752
25x2 = 5625
x2 = 225
Base
x = 15
4 · 15 = 60 m
C.C. Cardenal Spínola
Altura
3 · 15 = 45 m
10
Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es
.
11
Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es 580. ¿Cuáles
son esos números?
1er número
x
2º número
x+2
1er número
16
2º número
18
C.C. Cardenal Spínola
12
Dos caños A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por sí solo en tres horas menos
que B. ¿Cuántas horas tarda a cada uno separadamente?
Tiempo de A
x
Tiempo de B
x+ 3
A
B
AyB
Tiempo de A
3 horas
Tiempo de B
6 horas
13
Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medidas en centímetros tres números pares
consecutivos. Halla los valores de dichos lados.
C.C. Cardenal Spínola
1ercateto
2x
2º cateto
2x + 2
Hipotenusa
2x + 4
(2x)2 + (2x + 2)2 = (2x + 4)2
4x2 + 4x2 + 8x + 4 = 4x2 + 16x + 16
4x2 − 8x − 12 = 0
x2 − 2x − 3 = 0
x = 3 y x= −1
1ercateto
6 cm
2º cateto
8 cm
Hipotenusa
10 cm
14
Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha. Con ella se construye una caja de 840 cm3
cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las dimensiones
de la caja.
6 (x − 12) · (x + 4 −12) = 840
(x − 12) · (x −8) = 140
C.C. Cardenal Spínola
x2 − 20x − 44 = 0
x = 22 y x= −2
Las dimensiones son: 26 cm y 22 cm.
15
Un caño tarda dos horas más que otro en llenar un depósito y abriendo los dos juntos se llena en 1
hora y 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo cada uno por separado?
Tiempo del 1º
x
Tiempo de 2º
x−2
1º
2º
Entre los dos
Tiempo del 1º
4 horas
Tiempo de 2º
2 horas
no es una solución, porque el tiempo empleado por el segundo caño sería negativo