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UNIDADES DIDACTICAS
DE BACHILLERATO A
DISTANCIA
DIBUJO TÉCNICO I
1º de Bachillerato
REALIZADO POR: Ana M. Lamilla Puente
I.E.S. ALTAIR Getafe
BASADO EN EL LIBRO:
DIBUJO TÉCNICO I-EDITORIAL SM
J.ÀLVAREZ /J.L.CASADO / Mª. D. GÓMEZ
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UNIDAD 1: INTODUCCIÓN AL DIBUJO TÉCNICO
PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD
El Dibujo Técnico requiere el uso de unos materiales e instrumentos para poder
ejecutarlo luego debemos conocerlos así como sus características y manejo.
De su correcta utilización del compás, la escuadra y el cartabón, la regla y los
diferentes lápices y estilógrafos, depende la calidad, limpieza y perfección del acabado
evaluable en esta asignatura.
CONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD
Indicarte el mínimo material necesario de dibujo:
Lápiz, en principio se necesitan dos: uno de dureza HB(semiblando)
para
repasar las soluciones y para la croquización y otro de dureza 2H o
3H(semiduro) para el trazado con instrumental. El uso de portaminas de
diferentes grosores es práctico pero acuérdate de usar las diferentes durezas.
Compás, mejor que tenga el husillo que sirve para abrir o cerrar los brazos y
nos da mayor precisión en el trazado y el manejo es más fácil.
Regla milimetrada, el tamaño más conveniente es de unos 30 o 50 cm.
Escuadra y cartabón, mejor no milimetradas y sin escalón, marca
recomendada Faber-Castell de unos 21 cm.
Papel para dibujo lineal satinado, tamaño DIN-A4
Transportador de ángulos y plantilla de curvas es un material opcional
Otros como sacapuntas, mejor metálico y goma blanca para mina blanda y
dura para mina dura
CRITERIO DE EVALUACIÓN
•
Distingue las propiedades y características de los materiales descritos.
•
Utiliza de forma correcta; especialmente los lápices el compás, la escuadra y el
cartabón.
•
Demuestra, mediante ejercicios prácticos, agilidad y destreza en su manejo.
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ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN
1. En una construcción grafica cualquiera ¿qué tipo de mina utilizarías, de la serie H
o de la serie B? Explica la respuesta.
2. Los formatos de papel A3 y A4, son los más utilizados en este curso,
especialmente el último. ¿Cuáles son sus medidas?
3. Clasifica los tipos de soportes que se utilizan en dibujo técnico
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SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN
1. En una construcción grafica cualquiera ¿qué tipo de mina utilizarías, de la serie H
o de la serie B? Explica la respuesta.
Las minas de la serie H son duras, y las de la serie B blandas.
El trazado general debe hacerse siempre con mina dura, incluyendo líneas y
construcciones auxiliares; sólo el resultado debe repasarse con mina blanda.
Las minas duras generan un trazado más fino, proporcionando a los dibujos mayor
precisión y limpieza, además dejan menos restos de grafito sobre el papel, por lo que hay
menos riesgo de que el dibujo se ensucie.
2. Los formatos de papel A3 y A4, son los más utilizados en este curso,
especialmente el último. ¿Cuáles son sus medidas?
Las medidas del formato A4 son 210 por 297 mm.
Las del formato A3 son 297 por 420 mm.
3. Clasifica los tipos de soportes que se utilizan en dibujo técnico.
Opacos: alisados, texturados, satinados, brillantes
Semi-opacos: vegetal, poliéster
Transparentes: acetato
Pautados: milimetrado, isométrico
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UNIDAD 2: TRAZADOS FUNDAMENTALES EN EL
PLANO
PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD
En esta unidad se estudian trazados geométricos fundamentales en el plano necesario
como base para iniciar el estudio de esta asignatura y poder conocer sus fundamentos
teóricos para luego poder aplicarlos en trabajos más complejos.
Importancia en la identificación de los diferentes lugares geométricos. De la realización
de trazados geométricos de paralelismo y perpendicularidad entre rectas, así como de
resolver operaciones con segmentos, ángulos de la circunferencia y potencia.
CONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD
APARTADO 1- PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO
Concepto de lugar geométrico: es el conjunto de puntos que gozan de una propiedad
común.
Mediatriz de un segmento: es el lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a los
extremos definidores del segmento son iguales o se define también, como la recta
perpendicular que divide al segmento en otros dos iguales.
Dos rectas son perpendiculares cuando se cortan formando ángulos rectos (90º) y son
paralelas cuando no se cortan en un punto propio, es decir, el punto de intersección se
encuentra en el infinito.
QUE TENEMOS QUE APRENDER
A) Rectas perpendiculares y paralelas con ayuda de escuela y cartabón.
B) Rectas perpendiculares y paralelas con ayuda del compás.
-
Perpendicular a una recta por un punto M perteneciente a ella.
-
Perpendicular una recta por un punto P exterior a ella.
-
Perpendicular a una semirrecta por su extremo.
-
Paralela a una recta r a una instancia dada d.
-
Paralela a una recta r por un punto dado P exterior.
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AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Observa que todos los ejercicios están basados en el concepto de mediatriz, así si
queremos hacer una perpendicular por un punto P que pertenece a la recta r o es exterior a
ella, pinchamos en el punto y con un radio auxiliar cortamos a r, en dos puntos AB. La
solución es la mediatriz de AB. La perpendicular a una semirrecta por su extremo es igual si
prolongamos r.
APARTADO 2 - ÁNGULOS
Bisectriz de un ángulo: es el lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a los lados
del ángulo son iguales o también, recta que divide a un ángulo en otros dos iguales.
QUE TENEMOS QUE APRENDER
-
Tipos de ángulos
-
Construcción de algunos iguales
-
Suma diferencia de ángulos.
-
Bisectriz con el vértice fuera del papel.
-
Trisección de un ángulo recto.
-
Construcción de algunos usuales con el compás
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Bisectriz con el vértice fuera del papel tiene otro método (ver unidad de tangencia)
APARTADO 3 - SEGMENTOS
-
Media geométrica o proporcional de dos segmentos dados es un segmento que es igual
a la raíz cuadrada del producto. X=√ a x b, o también X x X = a x b
Teorema de la Altura: la altura de un triángulo es media proporcional entre dos
segmentos en que divide la hipotenusa.
Teorema del Cateto: el cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección
sobre ella. (Ver actividades de autoevaluación)
-
Tercera proporcional de dos segmentos dados, es el cuadrado de uno de ellos dividido
por el otro. X= a x a/b
-
Cuarta proporcional de tres segmentos dados, es el producto de dos de ellos dividido
por el otro. X= a x b/c
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QUE TENEMOS QUE APRENDER
-
Suma y diferencia de dos segmentos
-
Producto de un segmento por un número.
-
División en partes iguales o proporcionales.
-
Operaciones:
Raíz cuadrada de un segmento.
Producto de dos segmentos
División de dos segmentos
-
Media proporcional, tercera proporcional y cuarta proporcional
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
-
Observa que la raíz cuadrada de un segmento se halla igual que media proporcional si
tomamos como valor de un segmento la unidad o también podríamos descomponerlo en
otros dos, por ejemplo la raíz cuadrada de 12 es igual a media proporcional de dos
segmentos de 3 y 4 (3 x 4=12), de 2 y 6, de 1 y 12.
-
Observa que producto y división de dos segmentos se halla igual que cuarta
proporcional tomando para el tercer segmento el valor de la unidad.
-
En la resolución de producto de dos segmentos, división de dos segmentos, tercera y /o
cuarta proporcional los segmentos sobre las rectas auxiliares se pueden llevar uno a
continuación del otro o podemos partir del vértice del ángulo los dos y por lo tanto la
solución también de dará a partir de ese punto.
APARTADO 4 – CIRCINFERENCIA
Una circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de otro llamado centro. Se llama radio a dicha distancia.
Otras líneas: diámetro, cuerda, secante, tangente y arco.
QUE TENEMOS QUE APRENDER
-
Circunferencia que pasa por tres puntos no alineados.
-
División de la circunferencia en “n” partes iguales.
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
-
Circunferencia que pasa por tres puntos no alineados esta relacionado con el concepto
de mediatriz.
-
División de la circunferencia en “n” partes iguales. El método general está basado en el
Teorema de Tales y es igual para realizar polígonos regulares.
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APARTADO 5 – ÁNGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA, ARCO CAPAZ
Los ángulos respecto a una circunferencia pueden ocupar distintas posiciones:
-
ángulo central, vértice centro de la circunferencia y sus lados la cortan
-
ángulo inscrito, vértice en la circunferencia y sus lados la cortan
-
ángulo semiinscrito, vértice en la circunferencia y sus lados la cortan
-
ángulo interior, vértice dentro de la circunferencia, un lado y otro la cortan
-
ángulo exterior, vértice fuera de la circunferencia y sus lados la cortan
-
ángulo semiexterior vértice fuera de la circunferencia, un lado y otro la cortan
-
ángulo circunscrito vértice fuera de la circunferencia y sus lados tangentes
Relaciones de ángulos:
-
El ángulo inscrito α y
seminscrito β si abarcan el mismo arco que el central
correspondiente su valor es la mitad, es decir, α = β/2
-
El valor del ángulo interior α es la semisuma de los centrales correspondientes β1 y
β2 es decir, α = β1 - β2 /2
-
El valor del ángulo que tienen el vértice en el exterior α es la semidiferencia de los
centrales correspondientes β1 y β2 es decir, α = β1 + β2 /2. Se cumple la misma
formula, por lo tanto, en los caso de ángulo semiexterior y en el ángulo
circunscrito.
Arco capaz de un segmento bajo un ángulo dado: es el lugar geométrico de los
puntos del plano bajo ese ángulo.
QUE TENEMOS QUE APRENDER
-
Calcular valor ángulos de formas geométricas
-
Calcular arco capaz y entender la aplicación de este concepto
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
En el arco capaz:
-
Si el ángulo es menor de 90º sale un arco peraltado
-
Si el ángulo es mayor de 90º sale un arco rebajado
-
Si el ángulo es igual a 90º entonces media circunferencia
Observa que todo arco capaz que abarca al mismo segmento AB tiene el mismo
ángulo α y su valor será la mitad del ángulo central correspondiente pues serán
ángulos inscritos en la circunferencia si completamos el arco.
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APARTADO 6 – POTENCIA, EJE RADICAL Y CENTRO RADICAL
-
Potencia de un punto P respecto de una circunferencia: es el producto de las
distancias PA y PB, siendo A y B los puntos de corte con la circunferencia de una
secante que pasa por P. Es una constante, y se cumple en el caso de la tangente.
PA x PB = PT x PT, también √ PA x PB = PT.
-
Relación de potencia con media proporcional. Observa que si PA = b, PB = a y
PT=x, entonces X=√ a x b
Casos de potencia:
1. Si el punto P es exterior la potencia es positiva
2. Si el punto P es interior la potencia es negativa
3. Si el punto P está en la circunferencia la potencia es nula.
-
Eje radical de dos circunferencias: es el lugar geométrico de los puntos del plano
que tienen igual potencia respecto ambas. Se demuestra que es perpendicular a la
unión de centros.
-
¡Cuidado! no coincide con la mediatriz de los centros, solo cuando tienen el
mismo radio. (Ver actividades de autoevaluación)
-
Centro radical de tres circunferencias: es el punto del plano que tienen igual
potencia, donde se cortan los ejes radicales.
QUE TENEMOS QUE APRENDER
-
La resolución gráfica de los diferentes ejes radicales según casos de
circunferencias: secantes, tangentes, exteriores, interiores y concéntricas.
-
La resolución gráfica del centro radical cuando tengamos tres circunferencias.
(Ver actividades de autoevaluación)
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AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Si me piden hallar una circunferencia ortogonal a tres dadas tiene por centro el
centro radical y por radio las longitudes de tangencia que son todas iguales.
CRITERIO DE EVALUACIÓN
•
Conoce las características de los trazados geométricos fundamentales.
•
Realiza construcciones gráficas relacionadas con el concepto de arco capaz.
•
Comprende las características de los trazados geométricos sobre potencia.
•
Identifica cómo y cuándo se aplica concepto de lugar geométrico a casos reales.
•
Ejecuta con exactitud los distintos trazados geométricos.
ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN
1. Dividir un segmento AB, de 5 cm., en 6 partes iguales
2. Construir el arco capaz de un ángulo de 60º respecto al segmento AB=40mm y
otro para un ángulo de135º.
3. Bisectriz de un ángulo con el vértice fuera del papel
4. División de la circunferencia en “n” partes iguales.
5. Media proporcional de dos segmentos dados. Comprueba que la solución es la
misma por los dos métodos.
6. Hallar el centro radical de tres circunferencias dadas.
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ACTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR
1. Trazar la perpendicular a una recta desde un punto exterior a ella, utilizando el
compás.
2. Trazar la perpendicular a una semirrecta por su extremo, utilizando el compás.
3. Construye con regla y compás ángulos de 60º, 75º, 15º, 120º, 135º, 45º, 22’5º.
4. Dividir un ángulo de 180º en doce partes iguales
5. Hallar la raíz cuadrada de un segmento AB = 45mm
6. Deducir el valor de un ángulo interior de un decágono estrellado. Razonar
adecuadamente la respuesta.
7. Dadas dos circunferencias de centros 0 y 0´ y con radios de 40mm y 25mm
respectivamente, hallar los puntos del eje radical, desde los cuales se ve el
segmento 00´ desde un ángulo de 90º.
8. Hallar el centro radical de tres circunferencias exteriores y de diferentes radios.
Utiliza los dos métodos que conoces.
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SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN
1. Dividir un segmento AB, de 5 cm., en 6 partes iguales
1º Por un extremo que queramos, A, trazamos una línea auxiliar formando el ángulo que
deseemos ≈ 30º.
2º Llevamos el número de divisiones, n = 6.
3º Unimos la última división con el otro extremo B.
4º Las paralelas a la recta 6B nos dan las divisiones en nuestro segmento
2. Construir el arco capaz de un ángulo de 60º respecto al segmento AB=40mm y
otro para un ángulo de135º.
1º Sobre el segmento AC, se dibuja el ángulo que nos piden, 60º o 135º.
2º Mediatriz de AB
3º Perpendicular a la prolongación del ángulo que hemos llevado sobre el extremo A
4º Se cortan en O que es el centro del arco solución
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3. Bisectriz de un ángulo con el vértice fuera del papel
1º Se dibuja una secante auxiliar a ambas rectas
2º Se dibujan las bisectrices de los ángulos que se forman y se cortan a su vez en dos puntos
3º La bisectriz es la recta que pasa por esos puntos
4. División de la circunferencia en “n” partes iguales.
1º Se divide el diámetro en tantas partes como n.
2º Con radio el diámetro y pinchando en los extremos AL, se trazan dos arcos que se cortan en
el punto M.
3º Unimos M con la segunda división del diámetro, punto 2, y corta a la circunferencia en B.
4º Se transporta la distancia AB a través de la circunferencia y comprobamos el nº de
divisiones.
NOTA: observa que este método sirve para hacer polígonos regulares, en este caso
tendríamos un endecágono.
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5. Media proporcional de dos segmentos dados. Comprueba que la solución es la
misma por los dos métodos.
Teorema de la altura
1º Colocamos los segmentos AB + CD y dibujamos arco capaz de 90º
2º Por el extremo común BC, perpendicular y corta al arco en G
3º X= (BC) G. Observa que es la altura del triángulo rectángulo
Teorema del cateto
1º Colocamos los segmentos AB - CD y dibujamos arco capaz de 90º
2º Por el extremo interior D, perpendicular y corta al arco en G
3º X= (AC) G. Observa que es el cateto del triángulo rectángulo
6. Hallar eje radical de dos circunferencias exteriores y de diferente radio.
1º Tangente común a ambas saco T y T’
2º Mediatriz de TT’ saco M
3º Por M perpendicular a la unión de centros O1O2
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7. Hallar el centro radical de tres circunferencias exteriores y de diferentes radios.
Será el punto intersección de los ejes radicales de las circunferencias dos a dos.
1º Sacamos e’ que es la ⊥ a la unión de centros por el punto de tangencia, F
2º Trazamos una circunferencia auxiliar de centro O, secantes con la O1O2. Los ejes radicales
serán las rectas AB y CD, respectivamente y ambos se cortan en el punto E.
Sacamos e que es la ⊥ a la unión de centros O1O2, por el punto E.
3º La solución es el punto intersección de e’ y e, punto G, en nuestro dibujo.
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UNIDAD 3: IGUALDAD, SEMEJANZA Y ESCALAS.
PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD
En esta unidad se presentan las relaciones métricas entre elementos geométricos que nos
permitirán definir la semejanza, siendo las escalas para la construcción de planos en dibujo
técnico, la aplicación más importante de la semejanza.
Experimentando el uso y la construcción de escalas volantes.
CONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD
APARTADO 1- IGUALDAD
QUE TENEMOS QUE APRENDER
Dos figuras son iguales cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados que se corresponden
también iguales, es decir se pueden superponer uno encima del otro.
Construcción de una figura igual a otra por distintos métodos:
- por copia de ángulos
- por coordenadas
- por radiación
- por triangulación
- por traslación (ver unidad 5)
- por cuadricula (utilizado en dibujo artístico)
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
-
Para copiar un polígono regular o inscrito en una circunferencia igual a otro primero
dibujaríamos la circunferencia y llevamos luego las medidas.
-
Elige el método más adecuado para cada caso.
APARTADO 2 - SEMEJANZA
QUE TENEMOS QUE APRENDER
Dos figuras son semejantes cuando tienen sus ángulos ordenadamente iguales y sus lados
proporcionales e inversamente semejantes cuando sus ángulos son iguales tomados en
sentido inverso y sus lados proporcionales.
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La proporcionalidad entre lados se llama razón de semejanza, Κ, así tenemos:
-
Proporcionalidad directa razón de semejanza positiva, ejemplo Κ= 2/3
-
Proporcionalidad inversa razón de semejanza negativa, ejemplo Κ= -2/3
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
La construcción de
una figura directamente semejante a otra se puede hacer por
coordenadas o tomando un punto arbitrario O, (centro de homotecia, caso particular de
semejanza que se estudiará mas adelante). Este punto también puede ser uno cualquiera
de nuestra figura.
APARTADO 3 - ESCALAS
QUE TENEMOS QUE APRENDER
-
Es la relación numérica entre el tamaño de un objeto real y su representación, ya sea en
el plano o en el espacio.
ESCALA = DIBUJO / REALIDAD
-
Tipos de escalas:
Escala de reducción, Si ese cociente es menor de uno, ejemplo E= 2/3
Escala de ampliación Si el cociente es mayor de uno, ejemplo E= 5/3
Escala natural el cociente es igual de uno, ejemplo E=1
-
Manejo y construcción de las escalas volantes o gráficas, la escala
transversal y el triángulo universal de escalas
-
Ejecutar dibujos técnicos a distinta escala, utilizando la escala gráfica
establecida previamente y las escalas normalizadas
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
La mas utilizada es la escala volante con su contra escala
CRITERIO DE EVALUACIÓN
•
Construye figuras iguales y figuras directa o inversamente semejante a otra.
•
Resuelve y aplica problemas gráficos relacionados con la semejanza.
•
Trabaja y utiliza adecuadamente con las distintas escalas.
•
Ejecuta dibujos técnicos a distinta escala, utilizando la escala gráfica establecida
previamente y las escalas normalizadas.
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ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN
1. En un dibujo, hecho a escala E: 3/2, medimos un ángulo de 60º. ¿Cuánto mide en
realidad?
2. La distancia en línea recta entre dos ciudades es de 496 Km., pero en el plano
mide 248 mm. ¿A qué escala está dibujado el plano? Razona la respuesta.
3. Construye un triángulo semejante al formado por el cartabón.
4. Dibuja la recta que pasa por el punto P y concurre con las rectas r y s
1. Traza la escala volante 7/5 con su contraescala; debe tener 9 unidades (contando
la contraescala). La unidad considerada es el milímetro; las unidades de la escala
serán de 10 mm. excepto la contraescala.
ACTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR
1. Construir dos segmentos a y b cuya suma sea 70mm y cuya razón de semejanza
sea a/b=3/4
2. Calcula la magnitud real de un segmento que a escala 1/6, mide en el dibujo
45mm.
3. En un mapa, la distancia entre Madrid y Zaragoza es de 60mm. Si la distancia real
entre ambas ciudades es de 300Km. ¿A qué escala está dibujado el mapa?
4. En un dibujo a escala 3/8 se ha tomado una longitud de 120mm. ¿A qué longitud
real corresponde?
5. ¿Qué escala elegirías para dibujar en una lámina de formato DIN A-4 (210mm x
290mm), un campo de fútbol cuyas medidas son 100 x 80mm?
6. En una lámina DIN A-4 construir unas reglas con las siguientes escalas; 1:125,
1;10.000 Y 1;500.000 y su contra escala
7. Construir una escala decimal de transversales 1:500 y medir en el a una distancia
63, 45mm.
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SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN
1. En un dibujo, hecho a escala E: 3/2, medimos un ángulo de 60º. ¿Cuánto mide en
realidad?
Los ángulos no varían con la escala, solo lo hacen las magnitudes lineales. Las figuras
semejantes tienen ángulos iguales lados proporcionales.
2. La distancia en línea recta entre dos ciudades es de 496 Km., pero en el plano
mide 248 mm. ¿A qué escala está dibujado el plano? Razona la respuesta.
La escala es E: 1:2.000.000, que sale como resultado de aplicar la formula.
3. Construye un triángulo semejante al formado por el cartabón.
1º Arco capaz de 90º
2º Introducimos ángulo de 30º en vértice B´ y corta al arco en A´
3º Unimos A´ con C´ (el ángulo A´C´B´ forma 60º)
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4. Dibuja la recta que pasa por el punto P y concurre con las rectas r y s
1º Triángulo auxiliar con vértices P, A y B
2º A partir de otro punto auxiliar A´ dibujamos un triángulo por paralelas, obtenemos B´
y luego P´
3º La recta solución es PP´, por ser figuras semejantes y donde se corten las rectas r y
s sería centro de homotecia.
5. Traza la escala volante 7/5 con su contraescala; debe tener 9 unidades (contando
la contraescala). La unidad considerada es el milímetro; las unidades de la escala
serán de 10 mm. excepto la contraescala.
1º Aplicamos el teorema de Tales y dividimos la que mide 7 en 5 partes iguales.
2º Conseguimos más unidades de la escala prolongando las dos rectas.
3º Para trazar la contraescala dividimos la primera unidad en 10 partes iguales.
Otro procedimiento, consiste en dividir numerador entre denominador para hallar la medida
de la unidad de escala 7/5= 1,4; 10 centímetros de l a escala 7/5 son 14 cm. Y se divide en diez
partes iguales.
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UNIDAD 4: POLÍGONOS.
PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD
Esta unidad comprende el estudio de polígonos. Se comienza con la definición, propiedades,
clasificación para finalmente saber construirlos. Es de suma importancia saber identificar las
características y diferencias entre los diferentes polígonos así como conocer los fundamentos
teóricos de dichos trazados para aplicarlos después en la realización de trabajos más complejos.
Los polígonos regulares, dentro de la geometría, adquiere un protagonismo, no sólo como entes
geométricos, sino como figuras que se pueden encontrar con suma facilidad la vida cotidiana, en
diseños industriales, constructivos, el mundo animal, etc.
CONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD
APARTADO 1- TRIÁNGULOS
QUE TENEMOS QUE APRENDER
-
Construcción de triángulos a partir de unos datos y conociendo sus propiedades y
clasificación.
EQUILÁTEROS Lados =y ángulos = 60º
CLASIFICACIÓN
TRIÁNGULOS
SEGÚN SUS LADOS
ISÓSCELES Dos lados y ángulos = y el otro ≠
ESCALENOS Lados y ángulos ≠
ACUTÁNGULO Ángulos < 90º
SEGÚN SUS ÁNGULOS
RECTÁNGULO Un ángulos = 90º
OBTUSÁNGULO Un ángulos > 90º
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
-
Siempre hacer una figura auxiliar para observar los datos.
-
Recordar todos los triángulos son semejantes.
-
Si entre los datos hay un lado y el ángulo opuesto normalmente se resuelve por arco
capaz.
-
Si entre los datos hay una altura el vértice estará en una paralela a ese lado.
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APARTADO 2 - CUADRILATEROS
QUE TENEMOS QUE APRENDER
-
Construcción de cuadriláteros los a partir de unos datos y conociendo sus propiedades y
clasificación
CUADRADO Diagonales = , ⊥ y lados =
CLASIFICACIÓN
PARALELOGRAMOS
RECTÁNGULO Diagonales =,NO⊥ y lados = 2 a 2
Lados ⁄⁄ 2 a 2
ROMBO Diagonales ≠ ,⊥ y lados =
ROMBOIDE Diagonales ≠ ,NO ⊥ y lados = 2 a 2
CUADRIÁTEROS
TRAPECIOS
T. ISÓSCELES Simétrico, lados NO ⁄⁄ =
2 lados ⁄⁄(bases) y 2 NO ⁄⁄ T. RECTÁNGULO 2 ángulos = 90º
T. OBLICUO Trapecio puro
TRAPEZOIDES Trapezoide puro, solo condición de 4 lados
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
-
Hacer una figura auxiliar para observar los datos
-
No todos los cuadriláteros son semejantes
-
Se pueden descomponer en triángulos y aplicar sus propiedades
APARTADO 3 – POLÍGONOS REGULARES
QUE TENEMOS QUE APRENDER
-
Definición de polígonos, clasificaciones y propiedades.
-
Construcción de polígonos regulares a partir de unos datos y conociendo sus
propiedades y clasificación
-
Podemos utilizar distintos métodos según el dato que nos den:
-
Radio de la circunferencia circunscrita
-
Apotema desde el centro al punto medio de uno cualquiera de sus lados que
coincide con el radio de la circunferencia inscrita en el polígono
-
Lado o perímetro que es la suma de todos ellos
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
-
Si conocemos el radio método general: División de la circunferencia en “n” partes
iguales, pero hay casos más rápidos si conocemos los métodos particulares así el
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hexágono coincide el radio con la medida del lado. (Ver actividades de autoevaluación)
-
Todos los polígonos regulares son semejantes y este puede ser un método general si
me dan conocido el lado o la apotema pues primero divido la circunferencia en “n”
partes iguales con un radio auxiliar y luego aplico semejanza (vista en el tema anterior)
APARTADO 4 – POLÍGONOS ESTRELLADOS
QUE TENEMOS QUE APRENDER
-
Son cóncavos. Se obtienen de unir convenientemente los vértices de polígonos
regulares convexos.
-
Regla para obtener todos los polígonos regulares estrellados de “n” lados basta
con tomar para valor del paso (forma de unir las divisiones) los números primos con “n”
e inferiores a “n” medios.
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
¡Cuidado! Tengo que empezar en un vértice y terminar en él sin levantar el lápiz, así por
ejemplo, el hexágono no tiene ningún estrellado pues no se cumple la regla y lo que
obtenemos son dos triángulos equiláteros girados 180º. (Ver más casos en actividades de
autoevaluación)
CRITERIO DE EVALUACIÓN
•
Identifica las características y diferencias entre los diferentes polígonos
•
Realiza las construcciones de triángulos, cuadriláteros, polígonos regulares y
estrellados.
•
Conocer los fundamentos teóricos de dichos trazados.
•
Aplicar dichos trazados a la realización de trabajos más complejos.
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ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN
Se pide dibujar
1. Un triángulo equilátero conocido la altura
2. Un triángulo isósceles dado el lado desigual y el ángulo opuesto
3. Un rectángulo conocida la diagonal y la suma de los lados
4. Un trapecio ABCD dados los lados y el ángulo comprendido AB=50, AD=30,
CD= 26 Y BC=27
5. Pentágono regular conocido el lado
6. Obtener los estrellados posibles del heptágono y del eneágono. ¿Cuántos
salen?
ACTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR
1. Un triángulo dados los tres lados: a=50, b=48 y c=35
2. Un triángulo isósceles dado el lado desigual y el ángulo opuesto
3. Un triángulo dados dos lados y el ángulo comprendido: a=50, c=30 y B=75º
4. Un rectángulo conocidos el lado mayor y la diagonal
5. Un romboide ABCD dados los lados y el ángulo comprendido AB=50, AD=35 Y
A=35º
6. Un romboide sabiendo que su lado mayor mide 70 y su diagonal mayor mide 100.
El ángulo que forman las dos diagonales mide 100º
7. Un trapecio sabiendo que sus dos bases miden 70 y 50 respectivamente y sus
diagonales 80 y 60
8. Un cuadrilátero inscriptible ABCD conociendo tres lados y la diagonal AB=30,
BC=20, CD=40 y AC=45
9. Un cuadrilátero inscriptible ABCD conociendo dos lados y el ángulo comprendido
entre ellos, Indicar cuantas soluciones tiene el problema y de todas ellas dibujar la
del perímetro mayor
10. Un octógono regular y todos sus estrellados. ¿Cuántos se pueden trazar y por
qué?
11. Un decágono regular conocida la apotema.
24
SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN
Dibuja:
1. Un triángulo equilátero conocido la altura
Se dibuja un triángulo equilátero 123 auxiliar y sobre la altura se lleva la que nos dan NA, se
resuelve por paralelas. (Basado en semejanza)
2. Un triángulo conocido AC = 50mm, ángulo opuesto B = 45º y ángulo C= 60º.
1º Sobre el segmento AC, se traza arco capaz de 45º, con centro donde corta la mediatriz y la
perpendicular a la prolongación del ángulo que hemos llevado sobre el extremo A
2º Con vértice C introducimos el ángulo de 60º y corta al arco capaz en B, que unimos con A,
teniendo así nuestra solución.
3. Un rectángulo conocida la diagonal y la suma de los lados
25
1º Dibuja un triángulo auxiliar para observar los datos
2º Se construye un triángulo de base AE, ángulo de 45º (pues es la mitad del ángulo de 90º) y
el otro lado la diagonal.
3º Desde el vértice C trazo perpendicular que corta a AE en el punto B.
4º Completo mi rectángulo.
Observa: Este método es igual para un triángulo rectángulo si me dan la suma de los catetos y
la diagonal
4. Un trapecio ABCD dados los lados y el ángulo comprendido AB=50, AD=30, CD=
26 Y BC=27
1º Dibuja un trapecio auxiliar para observar los datos
Observa que al igual que en el ejercicio anterior podemos construir un triángulo ya que DE=BC
y AE= AB menos CD
2º Dibújalo aplicando lo expuesto.
5. Pentágono regular conocido el lado
26
1º Mediatriz de OM, punto L
2º Pincho en L y con radio LA trazo arco que corta en P
Observa: que con está sencilla construcción sacamos:
El lado del pentágono = AP
El lado del decágono = PO
El lado del heptágono = LN siendo N donde corta la mediatriz a la circunferencia.
6. Obtener los estrellados posibles del heptágono y del eneágono. ¿Cuántos salen?
1º El heptágono tiene dos: uno de orden 2 y otro de orden 3.
Porque son los únicos números enteros menor de 7/2 y primos con 7.
2º El eneágono también tiene dos: uno de orden 2 y otro de orden 4.
Porque son los únicos números enteros menor de 9/2 y primos con 9.
27
UNIDAD 5: TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS.
PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD
Tras comenzar con las series lineales, se trata de movimientos sencillos en el plano:
translación, giro y simetría donde la figura resultante es igual que de la que partimos.
También analizaremos un caso particular de la semejanza: la homotecia y
aprenderemos a aplicar dichas transformaciones a otro tipo de problemas.
CONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD
Una transformaciones una operación o conjunto de operaciones geométricas que
permite obtener una figura plana F´ a partir de otra dada F. Se caracteriza por ser
transformaciones biunívocas.
Pueden ser:
A) Según sentido en el plano
-
directas aquellas que conservan el sentido de puntos u orientación de puntos en el
plano: traslación, giro, simetría central
-
inversas cuando no lo conservan: simetría axial
B) Según punto comparativo entre F y F´
-
Isométricas conservan las medidas tanto de ángulos como longitudinales:
traslación, giros, simetrías
-
Isomórficas conservan las formas, los ángulos pero no longitudes: figuras
homotéticas, semejantes
-
Anamórficas no mantienen las formas pero conservan los ángulos: inversión (se ve
en 2º de Bachillerato)
APARTADO 1- HOMOTECIA
Se define homotecia de centro O y razón K, siendo esta distinta de cero, a la transformación
que hace corresponder a todo punto A del plano otro A´, alineado con O y con A, de tal
forma que se verifica: OA =OA x K siendo K= constante
1. Homotético de un punto: se resuelva por el teorema de Tales, así si k = m/n, divido la
distancia del centro 0A en n partes y el punto A’ estará en la paralela por el número m.
28
2. La homotética de una recta se demuestra que es otra paralela a ella.
3. La homotética de una figura se resuelve como consecuencia de lo anterior
QUE TENEMOS QUE APRENDER
Casos de homotecia:
-Homotecia directa. Si K > 0, K es positiva y por tanto A y A´ tienen el mismo sentido (están
al mismo lado de O). Además si K < 1, A´ estará entre 0 y A
-Homotecia inversa. Si K < 0, K es negativa y por tanto A y A´ tienen distinto sentido (A´ está
al otro lado de O), aquí si K < 1, A´ estará al otro lado pero una distancia menor que OA
- Transformada de identidad. Cuando K=1, cualquier punto se transforma en si mismo.
- Simetría central. Cuando K= -1
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Desde el centro de homotecia, dibujamos rectas por cada uno de los puntos y teniendo en
cuenta los casos anteriores lo más fácil es sacar el homotético de un punto y el resto por
paralelas como en la figura con K= 1/2
En la circunferencia podemos utilizar dos radios homotéticos directos o inversos o también
utilizar las tangentes comunes:
-
Las tangentes exteriores se cortan en un punto que es centro de homotecia directa.
-
Las tangentes interiores se cortan en un punto que es el centro de homotecia
inverso.
APARTADO 2 -TRASLACIÓN
QUE TENEMOS QUE APRENDER
Es aquella transformación que nos permite pasar de una figura F a otra F´ aplicando a todos
sus puntos un desplazamiento igual, es decir, la misma magnitud, dirección y sentido
29
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
-
Por cada punto se traza paralelas a la dirección dada y tomando la magnitud con el
compás se lleva sobre cada una de ellas en el sentido pedido uniendo finalmente cada
punto como corresponde. ( Ver actividades de autoevaluación)
-
Recuerda que la figura solución es igual, siendo suficiente con trasladar un punto y
luego lados paralelos. En la circunferencia sería el centro y otro punto cualquiera, ten
esto en cuenta si nuestro polígono es regular y nos ahorraremos trabajo y mejoraremos
la precisión
APARTADO 3 - GIRO
QUE TENEMOS QUE APRENDER
Es aquella transformación que nos permite pasar de una figura F a otra F´ girando cada
punto un ángulo dado en un sentido establecido alrededor de un punto O fijo, llamado
centro de giro.
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Al igual que en los casos anteriores giro punto a punto o giro uno solo uno de ellos y dibujo
una figura igual a partir de ese punto. (Ver actividades de autoevaluación)
APARTADO 4 - SIMETRÍA
QUE TENEMOS QUE APRENDER
Hay dos tipos de simetría:
- Simetría axial o respecto de una recta r. Es aquella transformación que nos permite pasar
de una figura F a otra F´ de tal forma que a cada punto A de F le corresponde otro A´ de F´
situado al otro lado de r a la misma distancia y de tal manera que el segmento AA´ es
perpendicular a r.
- Simetría central o respecto de un punto O. Es aquella transformación que nos permite
pasar de una figura F a otra F´ de tal forma que a cada punto A de F le corresponde otro A´
de F´ situado al otro lado de O y a la misma distancia.
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
-
Basta con aplicar la definición dada. Tener en cuenta que las figuras son iguales y esto
puede ahorrarnos trazados, así, si tengo un polígono inscrito en una circunferencia lo
más práctico es simétrico del centro de la circunferencia y de otro vértice cualquiera de
dicho polígono y luego hacer la figura igual (ver diferentes métodos en la unidad 3)
30
-
¡Cuidado! en simetría axial cambia el sentido de los puntos, en este caso para que no
te confundas mejor saca el simétrico de dos para observar el movimiento.
APARTADO 5- PRODUCTOS DE MOVIMIENTOS
QUE TENEMOS QUE APRENDER
Tienen lugar cuando se aplican dos o más movimientos o transformaciones sobre la
misma figura.
-
El producto de dos traslaciones dan por resultado otra traslación
-
El producto de dos giros de centro O´ y O´´ y ángulos A y B es otro giro que tiene
por centro O y ángulo C. Su centro O se determina por la intersección de las
mediatrices de los segmentos limitados por las parejas de puntos correspondientes
inicial y final.
-
El producto de un giro y una traslación se resuelve igual que el de dos giros, no
olvidar que la traslación es un giro de centro impropio.
-
El producto de dos simetrías axiales es un giro cuyo centro es el punto
intersección de los ejes de simetría
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Se recomienda comprobar los productos vistos realizando unos ejercicios. (Ver
algunos ejemplos en las actividades de autoevaluación)
CRITERIO DE EVALUACIÓN
•
Realizar transformaciones en el plano.
•
Resuelve problemas de homotecia
•
Aplicar dichas transformaciones a otro tipo de problemas.
31
ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN
1. Obtener la figura transformada resultante de efectuar:
Una traslación según la magnitud M y la dirección en el sentido indicado, Figura1.
Un giro de 60º con respecto al punto O en sentido horario, Figura2.
2. Construye el triángulo homotético respecto del centro O, sabiendo que k= - 1´5.
3. Halla el centro de giro que ha permitido al triángulo 1 pasar a la posición 2
4. Traza los dos ejes de simetría que han sido necesarios para que la figura 1 pase a
la posición 2
32
ACTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR
1. Construye:
Un polígono igual que el dado sabiendo que es simétrico del dado respecto del centro
O. Un polígono homotético del dado, siendo el centro O y K= - 5/3
2. Unir los puntos A y B, tocando a la recta r en otro P de manera que la distancia AP
+ PB sea mínima.
B.
A.
r
3. Hallar la figura transformada de la figura 1 después de efectuar: un giro de +60º y
una homotecia de razón 3/5
4. Dado el módulo de la figura 2: 1º efectuar 4 giros sucesivos de 90º cada uno, 2º
efectuar 8 giros sucesivos de 45º cada uno, con centro en B, 3º dibujar la simetría
axial cuyo eje es la recta que determinan los puntos Ay B.
33
SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN
1. Obtener la figura transformada resultante de efectuar:
Una traslación según la magnitud M y la dirección en el sentido indicado. Figura 1
Un giro de 60º con respecto al punto O en sentido horario. Figura 2
Figura1: por cada vértice trazamos rectas paralelas a la dirección en el sentido indicado.
Tomamos la magnitud con el compás y pinchando en A obtenemos A1. Repetimos la operación
con cada punto y finalmente los unimos.
Figura 2: Unimos A con O y e introducimos el ángulo de 60º en el sentido indicado. Con radio
OA trazamos un arco para obtener A1. Repetimos la operación con cada punto y finalmente los
unimos.
2. Construye el triángulo homotético respecto del centro O, sabiendo que k= - 1,5
A1 estará en la recta AO al otro lado de O a la distancia AO + 1/2 de AO. Repito con todos los
puntos y los uno para obtener la F1.
Observa: la figura transformada mantiene los valores angulares y el paralelismo, sin embargo,
varía la orientación al ser la razón de homotecia negativa.
34
3. Halla el centro de giro que ha permitido al triángulo 1 pasar a la posición 2
Hallamos en centro de giro uniendo dos pares de puntos homólogos por medio de dos rectas y
trazamos la mediatriz en los dos segmentos. Estas se cortan en O, como vemos en la solución,
donde hemos trazado los arcos que unen los puntos homólogos.
4. Traza los dos ejes de simetría que han sido necesarios para que la figura 1 pase a
la posición 2
La mediatriz trazada en la recta que une dos puntos homólogos, como B y B”, es el eje de
simetría e que nos permite trazar el triángulo A’B’C’ (posición intermedia) con un punto doble
B” ≡ B’ en el segundo eje de simetría e’. Este es la mediatriz de la recta que une C’ con C” u
otro par de puntos homólogos.
35
UNIDAD 6: TANGENCIAS
PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD
En esta unidad además de conocer las propiedades de las tangencias realizaremos
las construcciones básicas de tangencias entre rectas y circunferencias y entre
circunferencias, situando los correspondientes puntos de tangencias.
Analizaremos ordenando todos los casos de tangencias estudiados para posteriores
aplicaciones y lo usaremos para aplicar con corrección los enlaces correspondientes.
Es un tema muy importante dentro del dibujo técnico, ya que se trata conceptos
fundamentales del mismo como son la precisión y la exactitud.
CONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD
APARTADO 1- PROPIEDADES DE LAS TANGENCIAS Y ENLACES
QUE TENEMOS QUE APRENDER
Propiedades de las tangencias:
-
Si una recta es tangente a una circunferencia el punto de tangencia, es el pie de la
perpendicular trazada por el centro de la circunferencia a la tangente.
-
Si dos circunferencias son tangentes, el punto de tangencia, está en la línea unión de
centros.
-
Todo radio perpendicular a una cuerda, la divide en dos partes iguales, es decir, que la
mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia.
-
El centro de cualquier circunferencia tangente a dos rectas se encuentra en la bisectriz
del ángulo que formen.
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Las tangencias tienen por objetivo unir circunferencias y rectas mediante otras
circunferencias y rectas. Las construcciones deben ir acompañadas de un razonamiento
para que no se olviden rápidamente.
Nota: Debemos marcar siempre el punto de tangencia entre las líneas.
36
APARTADO 2 – TRAZADO DE RECTAS
QUE TENEMOS QUE APRENDER
-
Rectas tangentes a una circunferencia que pasan por un punto:
a) El punto pertenece a la circunferencia
b) El punto es exterior a la circunferencia
-
Rectas tangentes a dos circunferencias de distinto radio
a) Tangentes exteriores
b) Tangentes interiores
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
-
Rectas tangentes a una circunferencia por un punto dado
-
Si el punto T pertenece a la circunferencia de centro O, se resuelve igual que
perpendicular a una semirrecta r= OT por su extremo siendo este el punto. (Ver unidad
2).
-
Si el punto P es exterior a la circunferencia se une con el centro O y por el punto medio
M se dibuja la circunferencia que corta a la dada en los puntos de tangencia T1T2. La
solución son las rectas PT1 y PT2.
-
Rectas tangentes a dos circunferencias de distinto radio r1 Y r2,
-
Tangentes exteriores, esta basado en el caso tangentes a una circunferencia desde un
punto P es exterior a ella, se reduce la circunferencia de radio menor r1 a un punto P y la
otra r2 – r1 = r3 a una circunferencia de radio r3. Las soluciones serán paralelas hacia a
fuera la distancia r2 a las rectas halladas.
-
Si son tangentes interiores en lugar de restar radios se suman r2 + r1 = r3 y todo igual.
Las soluciones serán paralelas hacia el interior la distancia r2 a las rectas halladas.
(Ver ejemplos en las actividades de autoevaluación).
APARTADO 3 – TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS CONOCIDO EL RADIO
QUE TENEMOS QUE APRENDER
-
A dibujar casos sencillos aplicando las propiedades de las tangencias.
-
Circunferencias que pasan por un punto P y son tangentes a una recta r:
El punto esta en la recta
37
El punto es exterior
-
Circunferencias que pasan por un punto P y son tangentes a una circunferencia de
centro O:
El punto esta en la circunferencia
El punto es exterior
-
Circunferencias tangentes a dos rectas r y s que se cortan
-
Circunferencias tangentes a una recta r y a una circunferencia de centro O.
-
Circunferencias tangentes a dos circunferencias de centro O y O’.
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Llamemos al radio dado d
-
Circunferencias que pasan por un punto P y son tangentes a una recta r:
-
Si P está en la recta los centros solución estarán en la perpendicular por P y a la
distancia d.
-
Si P es exterior los centros solución estarán en una paralela a la recta a una distancia d
y en una circunferencia con centro P y radio d.
-
Circunferencias que pasan por un punto P y son tangentes a una circunferencia de
centro O y radio r:
-
Si el P está en la circunferencia, los centros solución estarán en la recta PO y en la
circunferencia con centro P y radio d.
-
Si el punto P es exterior los centros solución estarán en una circunferencia de centro P
y radio d y en otras circunferencias de centro O y radio d - r (circunferencias solución
interiores a la dada) y radio d + r (circunferencias solución exteriores a la dada)
-
Circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan
-
Los centros solución están en la intersección de las rectas paralelas a las dadas a la
distancia d. Tiene cuatro soluciones.
-
Circunferencias tangentes a una recta y a una circunferencia.
-
Los centros solución están en las recta paralela a la dada a la distancia d y en las
circunferencias de centro O y radios radio d - r (circunferencias solución tangentes
interiores a la dada) y radio d + r (circunferencias solución tangentes exteriores a la
dada). Es el mismo método independientemente de que la recta dada sea exterior,
tangente o secante a la circunferencia dada. El ejercicio tendrá más o menos soluciones
dependiendo como estén colocados los datos.
-
Circunferencias tangentes a dos circunferencias de centros O y O’ y de radio r y s
respectivamente
-
Los centros solución para las circunferencias exteriores estarán en la intersección de
circunferencias de centro O y O’ y radios d+r y d+s.
38
-
Los centros solución para las circunferencias interiores estarán en la intersección de
circunferencias de centro O y O’ y radios d-r y d-s.
-
Observa: es el mismo método, independientemente de que las circunferencias dadas
sean exteriores, tangentes o secantes. El ejercicio tendrá más o menos soluciones
dependiendo como estén colocados los datos.
APARTADO 4 - ENLACES
QUE TENEMOS QUE APRENDER
-
Enlace entre puntos dados, conociendo el radio de uno de los arcos.
-
Enlazar rectas cualquiera con un radio dado.
-
Enlazar dos rectas paralelas mediante dos arcos de igual radio, conociendo puntos de
tangencia.
-
Enlazar dos rectas cualesquiera mediante dos arcos, conociendo el radio de uno de
ellos y los puntos de tangencia.
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
El enlace entre líneas y arcos de circunferencia se fundamenta en los mismos principios que
las tangencias, simplemente la solución va de punto a punto de tangencia.
CRITERIO DE EVALUACIÓN
•
Conoce las propiedades de tangencias y aplica correctamente el trazado de
tangencias y la determinación de los puntos de tangencias
•
Diseña caracteres gráficos en los que intervengan rectas y circunferencias
enlazadas
•
Diseña objetivos sencillos de uso cotidiano en los que intervengan casos de
tangencias
ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN
1. Trazar las tangentes exteriores e interiores a dos circunferencias.
2. Trazar las circunferencias tangentes a dos rectas s y t, conocido el radio r.
39
3. Trazar las circunferencias tangentes a dos rectas s y t, conocido el punto T de
tangencia en una de ellas.
4. Trazar las circunferencias tangentes de radio conocido r, a una rectas t y que pase
por un punto exterior P.
5. Trazar la circunferencia tangentes a otra en un punto T de ella y que pase por otro
P exterior.
6. Circunferencias exteriores de radio dado a otras dos.
ACTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR
1. Trazar las tangentes a unas circunferencias desde un punto exterior a ella.
2. Trazar tres circunferencias de igual radio, tangente interiores a un triángulo
equilátero y tangentes entre si.
3. Trazar cuatro circunferencias de igual radio, tangente interiores a otra
circunferencia y tangentes entre si.
4. Trazar cinco circunferencias de igual radio, tangente interiores a otra circunferencia
y tangentes entre si.
5. Traza las circunferencias de radio dado, que pasan por un punto y son tangentes a
otra circunferencia.
6. Dibuja la pieza mecánica de la figura determinando los centros y puntos de
tangencia.
7. Dibuja el gancho de la figura determinando los centros y puntos de tangencia.
40
SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN
1. Trazar las tangentes exteriores e interiores a dos circunferencias.
Tangentes exteriores: las circunferencias dadas, de centros O1 y O2 tienen de radios r1 y r2,
respectivamente. Con centro en O2 se traza una circunferencia de radio r2 – r1 y desde O1 se
trazan las tangentes a ella, rectas m y n. Las rectas tangentes soluciones son paralelas a ellas,
los puntos de tangencia F, G, D y E se obtienen trazando por O1 y O2 las perpendiculares a las
tangentes auxiliares.
Observa que también una vez sacados los puntos de tangencia B y C al unirlos con O2
obtenemos D y E y si trazamos radios paralelos por O1 sacamos F y G obteniendo nuestras
tangentes solución sin haber dibujado m y n.
Tangentes interiores: se resuelve como el anterior, pero trazando con centro en O2 la
circunferencia auxiliar de radio r1 + r2.
2. Trazar las circunferencias tangentes a dos rectas s y t, conocido el radio r.
41
1º Se trazan paralelas a las rectas t y s a la distancia dada r por ambos lados, estas se cortan
en los puntos O1, O2, O3 y O4, centros de las circunferencias solución.
2º Al trazar desde los centros solución radios perpendiculares a la recta dada, obtenemos los
puntos de tangencia de las circunferencias con dicha recta.
3. Trazar las circunferencias tangentes a dos rectas s y t, conocido el punto T de
tangencia en una de ellas.
1º Los centros solución O1y O2, estarán en la perpendicular a T por el punto de tangencia T y
en la bisectrices de los ángulos que forman las rectas dadas s y t con vértice V.
2º Al trazar desde los centros solución radios perpendiculares a la recta s, obtenemos los
puntos de tangencia T1 Y T2 de las circunferencias con dicha recta.
4. Trazar las circunferencias tangentes de radio conocido r, a una rectas t y que pase
por un punto exterior P.
42
1º Los centros solución O1 y O2, estarán en la paralela a t a una distancia r y
en la
circunferencia de radio r y centro P.
2º Al trazar desde los centros solución radios perpendiculares a la recta t, obtenemos los
puntos de tangencia T1 Y T2 de las circunferencias con dicha recta.
5. Trazar la circunferencia tangentes a otra en un punto T de ella y que pase por otro
P exterior.
El centros solución O’ estará en la mediatriz de los puntos PT y en la recta OT.
6. Circunferencias exteriores de radio dado a otras dos.
43
1º A r1 y r2, radios de las circunferencias dadas, le sumamos s
2º Pinchando con centros O1 y O2, trazamos arcos que se cortan O3 y O4, centros de las
circunferencias solución.
3º Al unir por medio de rectas los cuatro centros, obtenemos los puntos de tangencia de las
circunferencias solución con las dadas.
UNIDAD 7: CURVAS TÉCNICAS
PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD
Las curvas técnicas son la respuesta del dibujo geométrico que da la trayectoria o
comportamiento que algunos elementos tienen, en disciplinas tan dispares como la
mecánica o el diseño de carreteras. Las teorías surgen precisamente como
respuestas y solución a los problemas que se plantean en la práctica.
Estudiaremos las propiedades de las curvas técnicas para después dibujarlas,
distinguiendo el origen y características de cada una de ellas.
CONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD
APARTADO 1- OVALOS
QUE TENEMOS QUE APRENDER
44
-
Construcción de un óvalo conocido el eje mayor.
-
Construcción de un óvalo conocido el eje menor.
-
Construcción de un óvalo conocido los dos ejes.
-
Construcción de un óvalo inscrito en un rombo dado.
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Al ser una curva que tiene dos ejes de simetría está formada por cuatro arcos de
circunferencia iguales dos a dos. La aplicación práctica más importante en dibujo
técnico está en el trazado de perspectivas, pues suelen sustituirse, de forma
aproximada, las elipses por óvalos, sobre todo con la construcción de un óvalo inscrito
en un rombo dado. (Ver unidad 14, circunferencia en axonométrico).
APARTADO 2 - OVOIDES
QUE TENEMOS QUE APRENDER
-
Construcción de un ovoide conocido su eje.
-
Construcción de un ovoide conocido su diámetro
-
Construcción de un ovoide conocido su eje y su diámetro
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Construcción de un ovoide conocido su diámetro se realiza igual que la mitad de la
construcción de un óvalo conocido el eje menor.
(Ver actividades de autoevaluación de la unidad).
APARTADO 3 – ESPIRALES Y HÉLICES
QUE TENEMOS QUE APRENDER
-
Construcción de la espiral de Arquímedes conocido el paso.
-
Construcción de una voluta de varios centros conocido el paso.
-
Construcción de la evolvente del círculo conocido el radio
-
Construcción de una hélice cilíndrica conocido el diámetro y el paso
-
Construcción de una hélice cónica conocido el diámetro y el paso
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Estás curvas son menos utilizadas que las anteriores por lo que se recomienda conocerlas
pero no dedicarlas tanto tiempo.
45
CRITERIO DE EVALUACIÓN
•
Domina los procedimientos de construcción de las curvas estudiadas
•
Reconoce las características y particularidades de cada una de ellas
•
Aplica las construcciones en ejercicios de mayor complejidad
ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN
1. Construcción de un óvalo de cuatro centros, conociendo los ejes que miden 70 y
55mm.
2. Una conducción de aguas fecales tiene sección recta de forma ovoidal. Conocidas
las circunferencias de pie y de cabeza, se pide determinar el ovoide al trazar las
dos circunferencias laterales que faltan, al saber que estas tienen que ser
tangentes a la cabeza en T y T’, respectivamente. (ver figura actividad 6 para
enviar al tutor)
3. En un tocadiscos en funcionamiento hay un disco que tarda 6 segundos en dar una
vuelta. En el centro del disco se coloca una bolita a la que empujamos de tal
forma que recorre1,5 cm. por segundo. Dibujar la trayectoria que describe la bolita
en 12 segundos
4. Construcción de una voluta de cuatro centros sabiendo que el paso son 20 mm.
ACTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR
1. Construcción de un óvalo conociendo su eje mayor AB = 70 mm.
2. Inscribir un óvalo en un rombo conocido el lado 54 mm. y una diagonal 93 mm.
3. Construcción de un ovoide conocido su eje mayor AB = 60 mm.
4. Construcción de la espiral de Arquímedes de paso 60mm.
5. Construcción de una voluta de tres centros sabiendo que el paso son 15 mm.
6. Construcción de un ovoide dadas las circunferencias de cabeza y pie y el punto de
tangencia T en una de ellas.
46
SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN
1. Construcción de un óvalo de cuatro centros, conociendo los ejes que miden 70 y
55mm
1º Trazo los ejes perpendiculares en el punto medio O y uno AC
2º Pincho en O y con radio OA saco el punto E y pincho en C y con radio CE saco el punto F.
3º La mediatriz de AF corta al eje en los puntos G y H y saco sus simétricos I y J.
4º Los centros solución son G, H. I y J, y marco los puntos de tangencia K, L, N y M.
2. Una conducción de aguas fecales tiene sección recta de forma ovoidal. Conocidas
las circunferencias de pie y de cabeza, se pide determinar el ovoide al trazar las
47
dos circunferencias laterales que faltan, al saber que estas tienen que ser
tangentes a la cabeza en T y T’, respectivamente.
1º Se trazan los ejes DA y TT’, la semicircunferencia con centro en A es parte de la solución.
2º A partir de los puntos T y T’ trazo hacia adentro y con radio R los puntos E y F
3º Se trazan las mediatrices de los segmentos EB y FB, que cortan a la prolongación del
diámetro TT’ en los puntos G y H, que son centros de arcos solución.
4º Si unimos G y H con B, obtenemos los puntos de tangencia S y S’
3. En un tocadiscos en funcionamiento hay un disco que tarda 6 segundos en dar una
vuelta. En el centro del disco se coloca una bolita a la que empujamos de tal
forma que recorre1, 5 cm. por segundo. Dibujar la trayectoria que describe la bolita
en 12 segundos
Se trata de una espiral de Arquímedes en la que sobre el radio se han tomado distancias y
sobre la circunferencia tiempos. De tal forma que mientras la bolita en 1 segundo a recorrido
1,5 cm. en el tocadiscos ha girado 60º.
4. Construcción de una voluta de cuatro centros sabiendo que el paso son 20 mm.
48
1º divido el paso en cuatro partes iguales para construir un cuadrado y prolongo sus lados.
2º Pincho en M y con radio MQ saco el punto R.
3º Pincho en N y con radio NR saco el punto S.
4º Repito la operación para ir dando forma a nuestra voluta.
UNIDAD 8: CURVAS CÓNICAS
PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD
Una vez conocido el origen de estas curvas llamadas cónicas, veremos que son de
gran utilidad por las aplicaciones que las mismas tienen en la técnica. Se hace un
estudio pormenorizado diferenciando las distintas formas de generarse y las
características de cada una para una futura resolución de diferentes ejercicios.
Al contrario que las curvas técnicas, estas no se pueden dibujar por arcos de compás,
sino que se unen los puntos hallados a mano.
CONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD
Las cónicas son unas curvas que se obtienen al cortar un cono de revolución por un plano
de manera que si el plano de corte lo hace:
-
Cortando a todas las generatrices y no perpendicular la sección que se genera es una
elipse (si es perpendicular es una circunferencia).
-
Si cortamos por un plano paralelo a una generatriz, la cónica que se origina es una
49
parábola.
-
Cuando el plano es paralelo a dos generatrices se origina una hipérbola.
APARTADO 1 - ELIPSE
QUE TENEMOS QUE APRENDER
-
Definición es una curva cerrada, plana y cuyos puntos constituyen un lugar geométrico
que tiene la propiedad de que la suma de distancias de cada uno de sus puntos a otros
dos fijos, llamados focos es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor.
PF+ PF’ = 2a = AB = CTE.
-
Elementos y propiedades.
La elipse es simétrica respecto de los dos ejes y por tanto de su centro, el punto O.
Eje mayor = AB = 2a
Eje menor = CD = 2b
Distancia focal = FF’ = 2c
Circunferencia principal: centro en O y diámetro el eje mayor.
Circunferencia focal: su centro en F o FL y cuyo radio es el eje mayor.
Diámetros conjugados: son aquellos en que uno es el lugar geométrico de los puntos
medios de las cuerdas paralelas al otro. Hay infinitas parejas de diámetros conjugados.
Excentricidad e = c/a, valores 0 < e< 1
-
Construcción de la elipse por los diferentes métodos: por puntos (basada en la
definición, ver actividades), por afinidad y conociendo una pareja de diámetros
conjugados.
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
-
Si nos dan conocidos los ejes podemos sacar los focos pues la distancia
CF=CF’=DF=DF’=a, siendo a, la mitad del eje mayor, AB
-
Si nos dan la distancia focal FF’ y uno de los ejes AB o CD podemos hallar el otro de la
misma forma.
-
A partir de aquí sacar puntos de la curva para luego unirlos a mano es muy sencillo si
aplicamos la definición PF + PF’ = 2a y vamos tomando puntos entre los focos.
APARTADO 2 - HIPÉRBOLA
QUE TENEMOS QUE APRENDER
-
Definición es una curva plana, abierta y con dos ramas. Es el lugar geométrico de los
puntos cuya diferencia de distancias a otros dos fijos, llamados focos es constante e
50
igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje real.
PF- PF’ = 2a = AB = CTE.
-
Elementos y propiedades.
La hipérbola es simétrica respecto de los dos ejes y por tanto de su centro, el punto O.
Eje real= AB = 2a
Eje imaginario = CD = 2b
Distancia focal = FF’ = 2c
Circunferencia principal: centro en O y diámetro el eje mayor.
Circunferencia focal: su centro en F o F´ y cuyo radio es el eje mayor.
Hipérbolas conjugadas: son aquellas en que el eje real de una es el eje imaginario de la
otra.
Hipérbola equilátera cuando el eje real = al eje imaginario.
Excentricidad e = c/a, valores 1< e<∞
-
Las asíntotas de una hipérbola son tangentes a la curva en el infinito.
-
Construcción de la hipérbola por puntos (basada en la definición, ver actividades).
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
-
Si nos dan conocidos los ejes que son perpendiculares y simétricos respecto al punto
medio O, podemos sacar los focos F y F’, construimos un rectángulo ⊥ por A y B al eje
que se corta con las ⁄⁄ al eje por los puntos C y D y la distancia focal es igual a las
diagonales de este rectángulo.
-
Si nos dan la distancia focal y uno de los ejes, ejemplo CD podemos hallar el otro, AB,
inscribiendo el rectángulo de lado CD en una circunferencia de diámetro FF’.
-
A partir de aquí sacar puntos de la curva para luego unirlos a mano, es muy sencillo si
aplicamos la definición PF - PF’ = 2a. Podemos también dibujar las asíntotas, que
coinciden con las diagonales de ese rectángulo y que nunca serán rebasadas por la
curva.
APARTADO 3 - PARÁBOLA
QUE TENEMOS QUE APRENDER
-
Definición es una curva plana, abierta y de una sola rama. Es el lugar geométrico de los
puntos del plano que equidistan de un fijo F, llamado foco y de una recta d, llamada
directriz. Si llamamos a la distancia del punto a la directriz PM, se cumple:
PF= PM
-
Elementos y propiedades.
La parábola es simétrica respecto del eje, que es perpendicular a la directriz.
51
El vértice como otros puntos equidista del foco y de la directriz, siendo también la mitad
del parámetro.
El parámetro es un dato suficiente para definir la curva, es la semicuerda perpendicular
el eje en el foco, es decir, igual a la distancia del foco y del punto intersección del eje
con la directriz.
En la parábola será la tangente en el vértice la que haga de circunferencia principal y la
directriz la que haga de circunferencia focal de radio ∞.
-
Construcción de la parábola por puntos (basada en la definición, ver actividades de
autoevaluación de la unidad)
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
-
Si nos dan conocidos el foco y la directriz podemos hallar el vértice que está en el punto
medio del foco y del punto intersección del eje con la directriz, es decir, AV = VF.
-
Si nos dan el parámetro entonces FN = FA, siendo A el punto intersección del eje con la
directriz y siendo N el punto que pertenece a la parábola. N es extremo de la
semicuerda junto con F.
-
A partir de aquí sacar puntos de la curva para luego unirlos a mano es muy sencillo, solo
tenemos que aplicar la definición PF = PM, siendo M un punto intersección de la directriz
con la paralela al eje desde P.
APARTADO 4 – TANGENTES A LAS CURVAS CÓNICAS
QUE TENEMOS QUE APRENDER
-
Las tangentes en un punto de la curva se obtienen como bisectriz del ángulo formado
por los radios vectores del punto, FPM.
-
La normal es la recta perpendicular a la tangente en el punto de tangencia.
Propiedades interesantes:
-
El simétrico de un foco respecto de cualquier tangente está en la circunferencia focal del
otro foco (elipse e hipérbola) y en la directriz en la parábola.
-
Las proyecciones ortogonales en elipse e hipérbola, de los focos sobre cualquier
tangente están en la circunferencia principal. En la parábola caerá sobre la tangente en
el vértice, tv.
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Haz un dibujo para observar las propiedades explicadas.
52
Otra forma para obtener las tangentes en las curvas: dibujamos una de las circunferencias
focales y unimos FP hasta cortar a la circunferencia focal de centro F en el punto M. La
tangente solución es la mediatriz de MF’.
Recuerda: en la parábola la directriz hace de circunferencia focal
CRITERIO DE EVALUACIÓN
•
Reproduce las construcciones de las diferentes curvas
•
Conoce sus propiedades, elementos y puntos notables
•
Aplica su trazado en dibujos más complejos
•
Crea diseños utilizando dichas curvas
ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN
1. Construir por puntos una elipse. Dibuja los diferentes elementos y da se definición
con un punto.
2. Construir la elipse empleando la circunferencia principal y la circunferencia de
diámetro 2b. Datos: 2a=80mm y 2b=50mm
3. Determinar un punto de la hipérbola cuyos datos son: 2a=60mm y 2d=70mm y
dibuja la tangente en ese punto.
4. Dibuja los diferentes elementos y da la definición con un punto P de una parábola,
dibuja por P la tangente y la normal a la curva.
5. Construir una parábola cuya distancia del foco al vértice es de 15mm.
ACTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR
1. Construir por puntos la elipse cuyos ejes miden 2a=80mm y 2b=50mm
2. Construir la elipse de la que se conocen una pareja de diámetros conjugados de
80mm y 60m que forman entre si un ángulo de 60º.
3. Construir la hipérbola cuyos datos son: 2a=60mm y 2c=80mm
53
4. Determinar un punto de la hipérbola cuyos datos son: 2a=60mm y 2d=70mm y
dibuja la tangente y la normal en ese punto.
5. Construir una parábola conocido el parámetro=23 mm.
6. Construir una parábola conocido el eje, la tangente en el vértice y un punto de ella.
SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN
1. Construir por puntos una elipse. Dibuja los diferentes elementos y da se definición
con un punto.
1º Trazo los ejes perpendiculares en el punto medio O. Pincho en C y con radio a, saco F y F’.
Saco los diferentes puntos. M pertenece a la curva porque se cumple que: MF+ MF’= 2a
2º Elementos: Eje mayor AB = 2a, eje menor CD= 2b y distancia focal FF’=2c
3º Radios vectores r y r’, que cumplen r + r’ = 2a.
2. Construir la elipse empleando la circunferencia principal y la circunferencia de
diámetro 2b. Datos: 2a=80mm y 2b=50mm
54
1º Trazo los ejes perpendiculares en el punto medio O Y dibujo las dos circunferencias
2º Trazo diámetros cualquiera de la circunferencia mayor, corta a las circunferencias en los
puntos A y B. Por B paralela al eje menor y por A paralela al eje mayor, se cortan en C, punto
de la elipse.
3º Repito la operación, es más fácil si los diámetros dividen a la circunferencia en partes
iguales.
3. Determinar un punto M de la hipérbola cuyos datos son: 2a=60mm y 2d=70mm y
dibuja la tangente en ese punto.
1º M pertenece a la curva porque se cumple que: MF- MF’= 2a
2º Circunferencia focal, pincho en F y con radio 2a
3º La tangente es la bisectriz del ángulo formado por FMF’, Observa que el simétrico de F’
respecto a la tangente es el punto M’ y que está en la circunferencia focal del otro foco.
4. Dibuja los diferentes elementos y da la definición con un punto P de una parábola,
dibuja por P la tangente y la normal a la curva.
55
1º Trazo el eje perpendicular a la directriz. VF = a la distancia de V a la directriz. M pertenece a
la curva porque se cumple que: MF= M’F
2º La tangente es la bisectriz del ángulo formado por M’MF, Observa que el simétrico de F’
respecto a la tangente es el punto M’ y que está en la directriz de la parábola.
3º La normal es la perpendicular a la tangente en su punto de tangencia, M.
5. Construir una parábola cuya distancia del foco al vértice es de 15mm.
1º Trazo el eje perpendicular a la directriz. VF = VA = 15 mm.
2º Tomo puntos arbitrarios en el eje y por ellos paralelas a la directriz
3º Tomamos la distancia de esos puntos a el punto A y pinchando en F corto a la paralela
correspondiente.
4º La curva se traza a mano, con ayuda de plantilla de curvas.
56
UNIDAD 9: SISTEMA DIÉDRICO: MÉTODOS.
PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD
Tras dejar atrás la geometría plana, se comienza con el estudio de la geometría
descriptiva, es decir, se introduce una dimensión con una tercera coordenada.
Estudiaremos los elementos geométricos fundamentales como punto, recta y plano y
las relaciones que hay entre ellos como la pertenencia.
Es necesario en principio entender la necesidad y la importancia los distintos sistemas
de representación y conocer el fundamento teórico del sistema diédrico, resolviendo
problemas del punto, la recta y el plano. Importancia de la utilidad de la tercera
proyección empezando a relacionarla con las pistas de perfil.
CONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD
Finalidad: representar objetos reales de 3D en soporte plano de 2D y viceversa.
57
Fundamento: está basado en la Proyección.
ORTOGONAL
CILÍNDRICAS
Rayos
TIPOS DE
PROYECCIONES
de
Rayos
de
proyección
proyección perpendiculares al plano
paralelos entre sí.
Observador en el infinito
de proyección.
OBLICUAS
Rayos oblicuos al plano.
CÓNICAS
Rayos forman haz cónico
Sistema Diédrico
Sist.
Axonométrico
Ortogonal
Sistema acotado
Sist. Axon. Oblicuo
Perspectiva caballera
Sistema Cónico
Perspectiva cónica
desde un punto propio.
Características importantes:
-
La proporcionalidad de segmentos se cumple en la proyección cilíndrica pero por lo
general no en las proyecciones cónicas.
-
La disposición de los elementos, (observador - objeto - plano de proyección) y distancia
entre estos no influye en proyección cilíndrica pero si en las proyecciones cónicas.
APARTADO 1- REPRESENTACIÓN DEL PUNTO Y POSICIONES
El sistema diédrico utiliza dos planos de proyección PV y PH perpendiculares entre si y se
cortan en la LT, divide al espacio en cuatro cuadrantes o diedros. En la representación
diédrica se dibuja la LT y las dos proyecciones del objeto F2 (proyección vertical) Y F1
(proyección
horizontal).
Podemos hablar de los planos bisectores que pasan por la LT formando 45º con los planos
de proyección. El primer bisector atraviesa el primer y tercer cuadrante y es segundo
bisector el segundo y cuarto cuadrante.
QUE TENEMOS QUE APRENDER
El punto queda representado por sus dos proyecciones A1 y A2.
58
•
Cota es la distancia de un punto al PH (se ve reflejada en el PV). Cota positiva si el
punto esta por encima del PH, cota negativa si el punto esta por debajo del PH.
•
Alejamiento es la distancia de un punto al PV, (se ve reflejada en el PH). Alejamiento
positivo si está por delante del P V y alejamiento negativo si está por detrás del P V.
Representación de los diferentes tipos de puntos:
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Los puntos de ambas proyecciones se corresponden mediante líneas de referencia que son
perpendiculares a la LT.
Si observas su representación los puntos situados:
-
en el primer cuadrante tienen la proyección vertical por encima de la LT y la horizontal
por debajo.
-
en el segundo cuadrante tienen las dos proyecciones por encima de la LT.
-
en el tercer cuadrante tienen la proyección horizontal por encima de la LT y la vertical
por debajo, ( al revés que los situados en primer cuadrante).
-
en el cuarto cuadrante tienen las proyecciones por debajo de la LT.
-
en el PV tienen solo proyección vertical y la horizontal está sobre la LT.
-
en el PH tienen solo proyección horizontal y la vertical está sobre la LT.
59
Representación de puntos por coordenadas
El punto queda definido por sus proyecciones diédricas P(X,Y,Z) cuyo significado es (distancia
al origen, alejamiento, cota) y cuyos sentidos positivos y negativos se representan en la figura.
APARTADO 2 – REPRESENTACIÓN Y TIPOS DE RECTAS
Una recta se representa por sus dos proyecciones r1 y r2 o se puede definir por dos
puntos: A1-A2 y B1-B2
Las trazas son los puntos intersección con los planos de proyección: V y H.
QUE TENEMOS QUE APRENDER
Hallar trazas y cuadrantes por los que pasa, dibujar partes vistas y ocultas (se representa
como visto y por tanto con línea continua, la parte de la recta que pasa por primer
cuadrante), intersecciones con los planos bisectores, ángulos, etc.
Rectas oblicuas, suelen atravesar tres cuadrantes.
Observa los siguientes ejemplos de cómo hallar trazas y cuadrantes por los que pasan las
rectas oblicuas.
Posiciones particulares de las rectas:
-
Recta horizontal o ⁄⁄ al PH (r2 ⁄⁄ LT y r1 forma ángulo α en verdadera magnitud con LT)
-
Recta frontal o ⁄⁄ al PV (r1 ⁄⁄ LT y r2 forma ángulo α en verdadera magnitud con LT)
-
Recta vertical o ⊥ al PH (r2 ⊥ LT y r1 es un punto en el PH)
-
Recta de punta o ⊥ al PV (r1 ⊥ LT y r2 es un punto en el PV)
60
-
Recta ⁄⁄ a la LT(r2 ⊥ r1, quedan ⁄⁄ al a LT)
-
Recta de perfil, (r2 y r1⊥ LT, ver planos de perfil y 3ª proyección)
-
Recta que pasan o se cortan con la LT ( V y H sobre la LT)
-
Recta oblicua contenidas en los planos bisectores (r2 y r1 = α con respecto a la LT)
-
Rectas paralelas a los bisectores
-
Rectas perpendiculares a los bisectores
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Las rectas de perfil son aquellas que están contenidas en los planos de perfil, sus
proyecciones quedan superpuestas y perpendiculares a la LT por lo que hay que observar
tercera proyección para ver cuadrantes, trazas, partes vistas y ocultas, ángulo que forma
con el PV y PH, distancia a la LT, etc.
Una recta de perfil no queda definida solo al conocer sus proyecciones hay que dar dos
puntos de ella.
61
APARTADO 3 - REPRESENTACIÓN Y TIPOS DE PLANOS
Un plano se representa por sus trazas, que son la intersección con los planos de
proyecciones. El punto en el que se cortan con la LT se llama vértice de trazas.
Un plano se puede definir por:
-
Tres puntos no alineados.
-
Una recta y un punto exterior a ella.
-
Dos rectas paralelas
-
Dos rectas que se cortan (no que se crucen)
QUE TENEMOS QUE APRENDER
Hallar trazas y conocer la representación y características de los diferentes tipos de planos.
Si el plano es oblicuo, caso general atraviesa los cuatro cuadrantes
Tipo de planos:
-
Plano horizontal o paralelo al PH (solo tiene α2 ⁄⁄ LT y la figura,F1 se en verdadera
magnitud en el PH)
-
Plano frontal o paralelo al PV (solo tiene α1 ⁄⁄ LT y la figura F2 se en verdadera magnitud
en PV)
-
Plano proyectante horizontal o perpendicular al PH (α2 ⊥ LT y α1 forma ángulo ϕ en
verdadera magnitud con LT)
-
Plano proyectante verticales o perpendicular al PV (α1 ⊥ LT y α2 forma ángulo ϕ en
verdadera magnitud con LT)
-
Plano de perfil o perpendicular al PH y PV(α2 y α1 ⊥ LT, trazas confundidas, observar 3ª
proyección)
-
Plano paralelos a la LT (α2 y α1 ⁄⁄ LT, observar 3º proyección)
-
Plano que pasa por la LT, se define con un punto, (α2 y α1 contenidas en LT, observar 3ª
proyección)
62
-
Planos oblicuos perpendiculares a los bisectores.
Representación del plano mediante coordenadas.
Como en el caso del punto, nos dan tres coordenadas α(X,Y,Z) cuyo significado es distinto,
(distancia al origen al vértice del plano, alejamiento de la traza horizontal α1 en el origen,
cota de la traza vertical α2 en el origen) y cuyos sentidos positivos y negativos son iguales.
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Para hallar trazas del plano cuando me lo dan definido por dos rectas r y s, se reduce a
sacar las trazas de las rectas y P2 pasará por Vr y Vs y P1 pasará por Hr y Hs. No es
necesario sacar todas las trazas de la recta pues P1 y P2 se cortan en LT.(Ver pertenencias)
APARTADO 4- TERCERA PROYECCIÓN
QUE TENEMOS QUE APRENDER
63
Además de PV y PH se necesita un tercer plano de proyección que es de perfil y se
abate sobre el PV o PH. Aprenderemos en tercera proyección:
Representación de un punto
Representación de una recta
Representación de un plano
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Para que sea efectivo todos los puntos se deben girar en el mismo sentido. Para recordar
como quedan, si abatimos sobre el PV, trazaremos paralela a la LT por la proyección
vertical y giraremos la horizontal:
-
en el primer cuadrante se giran hacia arriba a la derecha hasta la LT Y perpendicular
hasta encontrar a la anterior paralela.
-
en el segundo cuadrante se giran hacia abajo a la izquierda hasta la LT Y perpendicular
hasta encontrar a la anterior paralela.
-
en el tercer cuadrante se giran hacia abajo a la izquierda hasta la LT Y perpendicular
hasta encontrar a la anterior paralela.
-
en el cuarto cuadrante se giran hacia arriba a la derecha hasta la LT Y perpendicular
hasta encontrar a la anterior paralela.
Evidentemente si observamos la cruz del sistema cada uno de ellos caerá en su respectivo
cuadrante.
Una aplicación inmediata de la tercera proyección es la de hallar las trazas de las rectas de
perfil, así como ángulos, cuadrantes, etc. (Ver apartado 2 de la unidad)
Los plano de perfil, paralelos a la LT y los que pasa por la LT, normalmente para trabajar
con ellos hay que hacerlo, también, en tercera proyección
APARTADO 5 - PERTENENCIAS
QUE TENEMOS QUE APRENDER
64
Pertenencias, (observa la primera imagen):
-
De un punto a una recta, un punto pertenece a una recta cuando sus proyecciones
están sobre las homónimas de la recta.(P2 sobre r2 y P1 sobre r1)
-
De una recta a un plano, una recta pertenece a un plano cuando sus trazas están sobre
las homónimas del plano. (Vr sobre α2 y Hr sobre α1)
-
De un punto a un plano, un punto pertenece a un plano cuando pertenece a una recta
de dicho plano.
Rectas singulares:
Rectas horizontales, (r1 ⁄⁄ α1)
Rectas frontales, (r2 ⁄⁄ α2)
Rectas de máxima pendiente o ⊥ a las horizontales del plano ( r1 ⊥ α1)
Rectas de máxima inclinación o ⊥ a las frontales del plano (r2⊥ α2)
Rectas de perfil (Vr sobre α2 y Hr sobre α1)
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO)
Las rectas de máxima pendiente o de máxima inclinación definen un plano.
Por otro lado con horizontales o frontales podemos sacar fácilmente una de las
proyecciones de una figura cuando me dan la otra y si me dan las dos proyecciones de la
figura puedo hallar una de las trazas del plano.
CRITERIO DE EVALUACIÓN
65
•
Comprende la necesidad y la importancia los distintos sistemas de representación.
•
Conoce los fundamentos teóricos del sistema diédrico.
•
Resuelve problemas relacionados con el punto, la recta y el plano.
•
Realiza una proyección conocida la otra de una figura dada.
•
Entiende la unidad de la tercera proyección empezando a relacionarla con las
pistas de perfil.
ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN
1. Trazar las proyecciones diédricas de estos puntos:
A, situado en el 3 cuadrante, con mayor cota que alejamiento.
B, situado en el 1 cuadrante, que solo tiene alejamiento.
C, situado en el 4º cuadrante, con mayor alejamiento que cota.
D, situado en el 2º cuadrante, con igual cota que alejamiento.
2. Hallar las trazas de las rectas r y s, conocidas sus proyecciones diédricas. Dibuja
partes vistas y ocultas. Señala cuadrantes por los que pasa.
3. Dada la recta definida por dos puntos, hallar; partes vistas y ocultas, cuadrantes
por los que pasa e intersección con los planos bisectores.
4. Trazar el plano proyectante vertical de la recta r y el proyectante horizontal de la
recta s.
66
5. Hallar el plano que determinan tres puntos no alineados.
6. Hallar el plano que determinan dos rectas que se cortan m y s, conocidas sus
proyecciones diédricas.
7. Hallar la proyección vertical del cuadrilátero dado, para que esté contenido en el
plano α.
67
ACTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR
1. Determinar las proyecciones de los diferentes puntos dados por coordenadas y
señala los cuadrantes y el dato que falta :
A (10, 30,?) está en el 3 cuadrante y pertenece al bisector
B (30, 30, 40)
C (40,?, 20) pertenece al 2º bisector
D (60, 50,?) está en la parte posterior del plano horizontal
E (70, - 15, 40)
F (-10, -20, -20)
G (-15, -15, -15)
H (30, 0, 0)
2. Dibujar las proyecciones diédricas de una recta r determinada por sus puntos: la
traza V y el punto A. Hallar su traza horizontal.
3. Dibujar la proyección vertical de la recta s de manera que corte a la recta r y pase
por el punto P
68
4. Determinar en el plano, una recta frontal f y otra recta cualquiera n que se corten
en un punto A.
5. Definir el plano determinado por dos rectas que se cortan, r y s.
6. Dada la pieza, dibujar en la cara que determinan los puntos A, B y C las siguientes
rectas:
Las horizontales que parten de los puntos D y E.
Las rectas de máxima pendiente que parten de f y G.
69
SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN
1. Trazar las proyecciones diédricas de estos puntos:
A, situado en el 3 cuadrante, con mayor cota que alejamiento.
B, situado en el 1 cuadrante, que solo tiene alejamiento.
C, situado en el 4º cuadrante, con mayor alejamiento que cota.
D, situado en el 2º cuadrante, con igual cota que alejamiento.
2. Hallar las trazas de las rectas r y s, conocidas sus proyecciones diédricas.
Dibuja partes vistas y ocultas. Señala cuadrantes por los que pasa.
1º Para sacar las trazas, prolongamos la r2 y al llegar a la LT obtenemos H2
y por esa
proyección perpendicular hasta cortarse con r1, donde obtenemos H1 o traza horizontal
de la recta. Si hago lo mismo con la r1, obtendré Vr.
2º Para ver los cuadrantes ocurre igual que con los puntos, así, si la r2 esta por encima
de la LT y r1 por debajo, el segmento esta en primer cuadrante, si las dos están por
debajo sería del cuarto, etc.
3º Se traza como visto en una recta todo lo que está en primer cuadrante.
70
3. Dada la recta definida por dos puntos, hallar; partes vistas y ocultas e
intersección con los planos bisectores.
1º Se resuelve igual que en el ejercicio anterior
2º Los puntos de intersección con los planos bisectores tendrán igual cota que
alejamiento. Con el segundo se ve directamente pues el punto donde se cortan las dos
proyecciones r1 y r2 (en este caso N, que está además en el segundo cuadrante) y si a
partir de V1 metemos el ángulo que forma la r1 con la LT obtenemos el punto M, punto
intersección con el primer bisector. Daría el mismo punto si hubiéramos metido el
ángulo en la otra proyección.
4. Trazar el plano proyectante vertical de la recta r y el proyectante horizontal de
la recta s.
1º Proyectante vertical, es ⊥ al PV, por lo que α1, queda ⊥ a la LT y α2 coincide con
r2.
2º Proyectante horizontal, es ⊥ al PH, por lo que β2, queda ⊥ a la LT y β1 coincide con
s1.
71
5. Hallar el plano que determinan dos rectas que se cortan s y n, conocidas sus
proyecciones diédricas.
1º La traza α2, contendrá a las trazas homónimas de las rectas VS y Vn.
2º La traza α1, contendrá a las trazas homónimas de las rectas HS y Hn.
6. Hallar el plano que determinan tres puntos no alineados.
Se resuelve igual que el ejercicio anterior ya que tres puntos no alineados definen dos
rectas que se cortan en un punto y por tanto un plano.
72
7. Hallar la proyección vertical del cuadrilátero dado, para que esté contenido en
el plano α.
1º Metemos a los puntos en rectas horizontales o frontales del plano y sacamos las
proyecciones de los puntos.
2º Los unimos convenientemente.
Se resuelve igual si me dan la proyección horizontal.
73
UNIDAD
10:
INTERSECCIONES,
PARALELISMO,
PERPENDICULAR Y DISTANCIAS.
PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD
Tras estudiar los elementos geométricos fundamentales como punto, recta y plano, se
trata ahora de representar la posición relativa que estos elementos pueden adoptar
entre sí, tales como: intersecciones, paralelismo, perpendicularidad, distancia, etc.
El alumno debe dibujar en el sistema diédrico, resolviendo problemas de
intersecciones, paralelismo, perpendicular y hallar verdaderas magnitudes
de
distancias entre los distintos elementos.
CONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD
APARTADO 1- INTERSECCIONES
Procedimiento general
La intersección de dos planos P y Q será una recta. Para hallarla se corta por un plano
auxiliar W y se obtiene la intersección s y t y el punto de intersección H. Repetimos la
operación con otro plano X y se obtienen las rectas l y m siendo el punto común V. Si
unimos H y V obtenemos r, recta solución. El éxito de la operación consiste en elegir en
cada sistema los planos auxiliares adecuados. En diédrico por lo general serán los propios
planos de proyección.
QUE TENEMOS QUE APRENDER
-
Intersecciones entre rectas será un punto, no es suficiente con que las proyecciones
homónimas se corten tiene que existir una única línea de referencia para el punto
común sino, las rectas no se cortan, se cruzan. También pueden ser paralelas. (Ver en
el siguiente apartado)
-
Intersecciones entre planos la intersección de dos planos es una recta común a
ambos cuyas trazas deben pertenecer simultáneamente a las trazas homónimas de
ambos planos.
74
-
Intersecciones entre rectas y planos. Método general de resolución:
1. Dibujamos plano β que contenga a la recta r, preferentemente uno de los planos
proyectantes de la recta.
2. Se halla la intersección del plano auxiliar β con el plano dado α, recta a.
3. Se determina el punto de intersección de la recta dada r y a , punto A solución
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Observa los casos particulares.
75
-
Si al hallar la intersección de dos planos las trazas no se cortan en el papel, se trazan
planos auxiliares, normalmente horizontales o verticales, cuyas intersecciones nos dan
puntos de la recta solución, ejemplo en nuestra figura el punto M.
Las secciones que produce un plano al cortar a de superficies como prismas, pirámides,
conos, etc. Se pueden hallar como intersección de recta y plano tomando cada arista o
generatrices como rectas.
APARTADO 2 – PARALELISMO
QUE TENEMOS QUE APRENDER
-
Entre rectas, las proyecciones homónimas son paralelas. Excepto rectas de perfil.
-
Entre planos, las trazas homónimas son paralelas. Excepto planos paralelos a la LT.
-
Entre recta y plano, para que una recta sea paralela aun plano debe ser paralelo a una
recta contenida en el y para que un plano sea paralelo a una recta debe contener una
paralela a ella.
76
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Aplicación: Trazar un plano paralelo a la recta r por un punto A, dibujamos una recta s que
contenga al punto y sean sus proyecciones homónimas paralelas a las proyecciones de la
recta r y cualquier plano que contenga a las trazas de la recta s será solución, hay infinitas
para que solo tenga una habría que poner otra condición por ejemplo que además sea
paralelo a la LT. (Ver actividades de autoevaluación)
APARTADO 3 – PERPENDICULARIDAD
Teoremas relativos a la perpendicularidad (teorema de las tres perpendiculares)
-
Si r es perpendicular a un plano es perpendicular a todas las rectas de dicho plano.
-
Si r y s son perpendiculares en el espacio y una de ellas es paralela al plano de
proyección, las proyecciones de r y s también son perpendiculares se corten o se
crucen.
-
Si r pertenece al plano y s es perpendicular a r, las proyecciones también son
perpendiculares.
-
Si hα es la recta intersección de los planos α y H y r es perpendicular a α tiene su
proyección perpendicular r1 a hα.
QUE TENEMOS QUE APRENDER
-
Recta perpendicular a un plano sus proyecciones son perpendiculares a las trazas
homónimas del plano.
-
Plano perpendicular a una recta sus trazas son perpendiculares a las proyecciones
homónimas de la recta.
-
Perpendicularidad entre rectas
Si la recta es horizontal la perpendicular se ve en proyección horizontal.
Si la recta es frontal la perpendicular se ve en proyección vertical.
Si la recta es oblicua la perpendicular no se ve ni en proyección horizontal ni vertical.
77
-
Perpendicularidad entre planos para que un plano sea perpendicular a otro debe
contener a una recta perpendicular a ese otro
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
-
Recta s perpendicular a otra dada r y que contenga a el punto A. Tres operaciones:
1. Por A se traza un plano P perpendicular a la recta dada r.
2. Se halla el punto intersección de la recta y el plano, punto I.
3. Se une A con I y obtenemos la recta solución s.
-
Plano P perpendicular a una r por el punto A, las proyecciones de las horizontales o de
las frontales del plano que estamos buscando son perpendiculares a una de las
proyecciones de la recta r, por lo tanto nos ayudamos de ellas.
-
Plano P perpendicular a Q y que contenga a un punto A, trazo por A una recta
perpendicular al plano Q, tiene infinitas soluciones todos los planos que contengan a la
recta r, habría que poner más condiciones (caso siguiente).
-
Plano P perpendicular a Q y que contenga a una recta r, una solución, tomamos un
punto B de r y por el trazamos una perpendicular r al plano Q. El plano solución P está
definido por las rectas s y r, que se cortan en el punto B y por lo tanto definen un plano.
APARTADO 4 – DISTANCIAS
Distancia entre dos puntos o verdadera magnitud:
-
Si el segmento es horizontal se ve verdadera magnitud en proyección horizontal pero si
además la recta es vertical entonces se ve en proyección vertical.
-
Si el segmento es frontal se ve verdadera magnitud en proyección vertical pero si
además la recta es de punta entonces se ve en proyección horizontal.
-
Si el segmento es oblicuo no se ve verdadera magnitud ni en proyección horizontal ni
en proyección vertical. Se determina abatiendo uno de los planos proyectantes, girando
o haciendo cambios de plano que veremos en la siguiente unidad.
Se resuelve rápidamente si usamos incremento de cotas o alejamiento. Si observamos
nuestro ejemplo del dibujo ∆z, es la diferencia de cotas del punto A y B, por cualquiera de
78
las dos proyecciones horizontales llevamos en una perpendicular esa medida siendo la
verdadera magnitud la hipotenusa del triángulo rectángulo que se forma.
QUE TENEMOS QUE APRENDER
Como medir en una recta oblicua una distancia a partir de un punto de esa recta
Tomamos un punto arbitrario en la recta K, obtenemos la verdadera magnitud de AK y sobre
esa línea podemos medir la distancia, que luego llevamos a las proyecciones de la recta.
Casos particulares
-
Distancia de un punto A a un plano P
1. Trazar recta r perpendicular al plano por A.
2. Hallar punto de intersección de r con el plano P, punto I.
3. Hallar verdadera magnitud AI
-
Distancia de un punto A a una recta r.
1. Trazar plano P perpendicular a la recta r y que contenga al punto A.
2. Hallar punto de intersección de r con el plano P, punto I.
3. Hallar verdadera magnitud AI
Otra forma: A y r definen un plano que podemos abatir sobre el PV o PH y ver verdadera
magnitud.
-
Distancia de una recta r paralela a un plano P.
1. Tomamos un punto cualquiera A sobre la recta.
2. Trazamos recta s por A, perpendicular al plano P.
3. Hallamos la intersección de s con el plano P, punto I.
4. Hallar verdadera magnitud AI
Otra forma: Plano Q paralelo a P y que contenga a r. (Ver distancia entre dos planos
paralelos)
79
-
Distancia entre dos rectas paralelas r y s.
1. Plano P perpendicular a ambas rectas r y s.
2. Hallar punto I y J de intersección del plano P con ambas rectas r y s.
3. Verdadera magnitud de IJ
Otra forma: dos rectas paralelas definen un plano que podemos abatir sobre el PV o PH
y ver verdadera magnitud.
-
Distancia entre dos planos paralelos P y Q.
1. Recta r perpendicular a ambos planos P y Q.
2. Hallar punto I y J de intersección de la recta r con los planos P y Q.
3. Verdadera magnitud de IJ
-
Distancia entre dos rectas que se cruzan
Esta en la perpendicular común a ambas.
Por un punto cualquiera de una de ellas se traza paralela a la otra y ambas definen un
plano, pasamos al caso ya visto de distancia de una recta r paralela a un plano P.
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Se recomienda que realices ejercicios con cada uno de los casos vistos.
80
CRITERIO DE EVALUACIÓN
•
Resuelve problemas de intersecciones, paralelismo y perpendicularidad entre
rectas, entre planos y entre recta y plano.
•
Halla secciones de superficies por intersección de rectas y planos
•
Reconoce si los elementos son paralelos o perpendiculares
•
Calcula diferentes problemas de distancias entre puntos, rectas y planos, y calcula
verdaderas magnitudes de esas distancias.
ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN
1. Hallar la intersección de los siguientes planos:
Dos planos paralelos a la LT
Dos planos concurrentes en un punto de la LT
2. Hallar la intersección de tres planos: oblicuo, proyectante vertical y el tercero
vertical.
3. Hallar el plano definido por las dos rectas paralelas dadas.
81
4. Trazar un plano paralelo a otro por un punto A.
5. Recta paralela a un plano por un punto B. Dibuja también un punto A que
pertenezca al plano dado.
6. Por un punto P traza una recta perpendicular al plano α, definido por el punto A
y su traza horizontal.
7.
Hallar la distancia de un punto A a una recta r, conocidas las proyecciones
diédricas del punto y de la recta.
82
ACTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR
1. Hallar la intersección de los planos α(-7, -4, 4) y β(4, -4, 4).Origen en el centro.
2. Por un punto dado P(8´5, 2´´5, 2´5) trazar una recta que corte a las dos r: A( 7,
5´5, 0) y B(11´5, 0, 2´5) y s: C( 3´5, -1, 0) y D(4´5, 0, 1). Origen en margen
izquierdo.
3. Trazar el plano paralelo a la recta r : A( 10, 0, 8´5) y B(14, 3, 0) y que contenga
a la recta s: C( 1, 4, 0) y D(8, 0, 7)
4. Por una recta r: A( -6, -1, -3) y B(-2, -3, -1) hacer pasar el plano perpendicular a
otro dado : α ( 4, 2, 4). Origen en el centro.
5. Hallar la verdadera magnitud de la mínima distancia existente entre el punto
P(8, 0, 0) y la recta r: A( 12, 3, 0) y B(12, 1´5, 5). Origen en margen izquierdo.
6. Comprobar si la recta r es paralela al plano α. (Figura 1)
7. Por el punto P trazar una recta perpendicular a la recta r. (Figura 2)
8. Determinar la verdadera magnitud de la distancia que hay entre el plano α y el
punto P. (Figura 3)
83
SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN
1. Hallar la intersección de los siguientes planos:
Dos planos paralelos a la LT
Dos planos concurrentes en un punto de la LT
-
Los planos paralelos a la LT, observamos en tercera proyección que se cortan en un punto
r3, y al desabatir obtenemos las proyecciones r2 y r1 solución.
-
Dos planos concurrentes en un punto de la LT, tienen las dos trazas de la recta solución en
los vértices comunes, por lo tanto hay que buscar otro punto de esa recta, M. Para ello
cortamos por un plano horizontal y lo realizamos igual que cuando las trazas del plano no
se cortan en el papel(Ver apartado? de la unidad).
2. Hallar la intersección de tres planos: oblicuo, proyectante vertical y el tercero
vertical.
La intersección de tres planos será un punto, donde se cortan las rectas dos a dos.
Por lo tanto tenemos: que la intersección de α y γ, es la recta r y la intersección de α y β,
es la recta f. Finalmente la intersección de r y f es el punto A buscado.
84
3. Hallar el plano definido por las dos rectas paralelas dadas.
Hallamos las trazas de las rectas por donde pasarán las homónimas del plano buscado.
4. Trazar un plano paralelo a otro por un punto A.
Un plano sea paralelo a otro, cuando sus trazas homónimas lo son, para ello nos
ayudamos de una horizontal o frontal del plano que vamos buscando.
5. Recta paralela a un plano por un punto B. Dibuja también un punto A que
pertenezca al plano dado.
Para que una recta sea paralela a un plano debe contener una paralela a ella. El
ejercicio tiene infinitas soluciones, si trazamos una recta cualquiera, s, contenida en el
plano y por B2 dibujamos r2 // a s2 y por B1 dibujamos r1 // a s1.
El punto A pertenece al plano porque pertenece a una recta que pertenece a él.
85
6. Por un punto P traza una recta perpendicular al plano α, definido por el punto A
y su traza horizontal.
1º Nos ayudamos de una horizontal para sacar α2, h1 // a α1 y por Vh trazamos α2.
2º Para que una recta sea perpendicular a un plano las proyecciones de la recta deben
ser perpendiculares a las trazas homónimas del plano. Entonces por P2 dibujamos r2 ⊥
a α2 y por P1 dibujamos r1 ⊥ α1.
7. Hallar la distancia de un punto A a una recta r, conocidas las proyecciones
diédricas del punto y de la recta.
1º Se traza por A un plano α ⊥ r, para ello nos ayudamos de una frontal, f.
2º Hallamos el punto de intersección de α con r, punto B.
3º Faltaría hallar verdadera magnitud por incremento de cotas o alejamiento(ver apartado
4- distancias de la unidad)
86
UNIDAD 11: ABATIMIENTOS, LOS CAMBIOS DE PLANO
Y LOS GIROS.
PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD
En esta unidad veremos las distintas operaciones que pueden efectuarse con puntos,
rectas o planos, tales como giros, abatimientos o cambios de plano. Enfocadas, entre
otras cosas, a poder calcular verdaderas magnitudes de los elementos con los que se
trabaja. También se utilizan para hallar secciones o desarrollos de cuerpos de una
manera relativamente fácil que veremos en el próximo curso.
Debemos saber aplicar el método más adecuado en cada caso según el ejercicio que
estemos realizando.
CONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD
APARTADO 1- ABATIMIENTOS
Si tenemos una figura en un plano paralelo a los de proyección, (planos horizontales o
verticales) la figura se ve en verdadera magnitud sino tenemos que abatir el plano sobre el
PH o el PV:
- Si abatimos sobre el PH la charnela será la traza horizontal del plano.
- Si abatimos sobre el PV la charnela será la traza vertical del plano.
QUE TENEMOS QUE APRENDER
-
Abatimiento de un punto supongamos que abatimos sobre el PH por la proyección
horizontal del punto se dibuja una perpendicular ala charnela y en la paralela llevamos la
cota del punto. Pinchando en la charnela giramos la distancia que corta a la
perpendicular en el punto abatido.
-
Abatimiento de una recta se resuelve abatiendo dos puntos.
En el caso de rectas singulares del plano:
- Horizontales, siendo r1 ⁄⁄ α1, entonces la r abatida se verá ⁄⁄ α1
- Frontales, siendo r2 ⁄⁄ α, entonces la r abatida se verá ⁄⁄ a la α2 abatida.
- Máxima pendiente, r1 ⊥ α1, abatida seguirá ⊥ α1
- Máxima inclinación, r2 ⊥ α2, abatida será ⊥ a la α2 abatida.
- Rectas de perfil contenidas en el mismo plano al abatirlas salen ⁄⁄.
87
Abatimiento de un plano tomamos un punto A cualquiera en la traza vertical, α2, del plano y
por A1 trazo ⊥ a la charnela, α1. Pincho en el vértice de trazas y con radio OA2 corto a la
perpendicular anterior en A0. La traza abatida es uniendo O con A0.
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
APARTADO 2 – CAMBIOS DE PLANO
El método consiste en cambiar algún plano de proyección. Han de hacerse de uno en uno y
siempre han de conservar la perpendicularidad entre planos del sistema.
QUE TENEMOS QUE APRENDER
Como cambian las proyecciones de un punto
Cambio de plano vertical, la proyección horizontal del punto no cambia y la nueva
proyección vertical está en una perpendicular a la nueva LT y a la misma cota.
Cambio de plano horizontal, la proyección vertical del punto no cambia y la nueva
proyección horizontal está en una perpendicular a la nueva LT y con el mismo alejamiento.
88
Como cambia una recta
Basta con tomar dos puntos de ella y aplicar lo estudiado para el punto.
Como cambian las trazas de un plano
Para cambian las trazas de un plano basta con tomar 3 puntos, 1 punto y una recta, 2 rectas
que se corten o sean paralelas y aplicarles el cambio correspondiente. Lo más fácil es
utilizar la traza que hace de charnela pues su cambio de plano es ella misma y un punto,
preferentemente de la otra traza y donde se cortan las dos LT. También se puede utilizar
una horizontal del plano en casos particulares. Observa las imágenes.
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Aplicaciones más utilizadas:
-
Poner un segmento o recta en posición horizontal o frontal para medir o ver verdadera
magnitud. Consiste en trazar la nueva LT // a una de las proyecciones de la recta y
aplicar el cambio de plano.
-
Convertir un plano cualquiera en proyectante horizontal o vertical para hallar secciones
más fácilmente y verdaderas magnitudes. Consiste en trazar la nueva LT ⊥ a una de las
trazas del plano y aplicar el cambio de plano correspondiente.
89
APARTADO 3 – GIROS
Consiste en girar los elementos del espacio manteniendo fijos los planos de proyección.
Para que los giros sean operativos hay que girarlos alrededor de ejes perpendiculares al PH
o al PV.
QUE TENEMOS QUE APRENDER
Como cambian las proyecciones de un punto.
El punto gira alrededor del eje vertical (recta vertical), luego gira en un plano horizontal
manteniendo su cota y el ángulo de giro se ve sobre el PH en verdadera magnitud.
El punto gira alrededor de eje horizontal (recta de punta), luego gira en un plano vertical
manteniendo su alejamiento y el ángulo de giro se ve sobre el PV en verdadera magnitud.
Giros de una recta
Para girar una recta normalmente se giran dos puntos de ella con el mismo ángulo y
sentido.
-
Cuando la recta corta con el eje de giro es suficiente con girar un punto, pues el otro
seguirá en el punto intersección con el eje.
-
Cuando la recta es paralela al eje de giro, con gira un punto es suficiente pues la nueva
proyección será paralela a la dada.
-
Cuando la recta se cruza con el eje de giro, se giran dos puntos.
Como cambian las trazas de los planos.
-
Si el eje es vertical giraremos la traza horizontal y la horizontal del plano que se corte
con el eje.
-
Si el eje es de punta giraremos la traza vertical y la frontal del plano que se corte con el
eje.
90
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Aplicación más utilizada:
-
Convertir el plano en proyectante horizontal o vertical, se toma el punto más próximo de
la traza, M y se gira hasta poner la traza ⊥ a la LT. Se une O´con V´r.
-
Poner la recta en posición horizontal o frontal para observar verdadera magnitud entre
puntos. Ejemplo frontal, por A1 proyección // a la LT y giramos el punto B1 hasta ella, r´2
es uniendo A2 y B´2.
-
Cuando la recta se cruza con el eje de giro, se toma un punto más próximo y se gira
hasta poner la proyección r´1 paralela a la LT. Luego se gira otro punto cualquiera.
91
CRITERIO DE EVALUACIÓN
•
Comprender la utilidad y finalidad práctica de estos métodos operativos
•
Aplicar adecuadamente los procedimientos a sí como su elección de abatimientos,
cambios de planos y giros, en la resolución de los ejercicios propuestos.
•
Analizar el por qué se obtiene la verdadera magnitud de figuras planas con
abatimientos
•
Elección de cambios de planos para hallar secciones con planos proyectantes por
su rapidez
•
Comprender la aplicación de giros el la determinación de la verdadera magnitud
ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN
1. Hallar la verdadera magnitud del cuadrilátero ABCD, situado en un plano
oblicuo a los dos de proyección, conociendo la proyección vertical del
cuadrilatero.
2. Hallar las proyecciones diédricas de un triángulo equilátero situado en el plano
α, conocida
la medida de su lado AB
dada en la recta r abatida que lo
contiene y la proyección vertical de ésta. Nota: el otro vértice C, tiene menor
cota que los vértices A y B.
3. Dado el segmento AP, buscar un punto B, que pertenezca a él tal que la
distancia AB=l. Resolver mediante giros.
92
4. Hallar la distancia del punto P al plano mediante giros.
5. Girar un plano oblicuo alrededor de un eje de punta el ángulo dado.
6. Hallar la verdadera magnitud del segmento AB, mediante un cambio de plano.
7. Obtener la verdadera magnitud de las vistas laterales de una pirámide con un
cambio de plano vertical.
93
ACTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR
1. Halla la verdadera magnitud de las siguientes figuras.
2. Dibujar el triángulo equilátero que tiene uno de sus lados en la recta r y que
está contenido en el plano formado por la recta r y el punto P.
3. Mediante cambios de plano, obtener el segmento que mida la distancia del
punto A a la recta r. Figura 1
4. Mediante giros obtener la verdadera magnitud del segmento AB. Figura 2
5. Calcula la verdadera magnitud del ángulo formado por las dos rectas. Figura 3
94
SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN
1. Hallar la verdadera magnitud del cuadrilátero ABCD, situado en un plano
oblicuo a los dos de proyección, conociendo la proyección vertical del
cuadrilátero.
1º Sacamos la proyección horizontal del cuadrilátero, para ello me ayudo de las
horizontales del plano.
2º Abatimos la traza α2 sobre el PH con todas las horizontales, que recordamos
quedan paralelas a la charnela α1, obteniendo los puntos en la intersección de éstas
con las perpendiculares por las proyecciones horizontales de los puntos a la charnela.
3º Dibujamos el cuadrilátero.
95
2. Hallar las proyecciones diédricas de un triángulo equilátero situado en el plano
α, conocida
la medida de su lado AB
dada en la recta r abatida que lo
contiene y la proyección vertical de ésta. Nota: el otro vértice C, tiene menor
cota que los vértices A y B.
1º Dibujamos la r1 y ayudándonos de Hr abatimos el plano sobre el PV.
2º Dibujamos el triángulo en verdadera magnitud.
3º Desabatimos sus puntos(se ha resuelto por afinidad), pero podríamos aplicar lo
explicado en el ejercicio 1.
3. Dado el segmento AP, buscar un punto B, que pertenezca a él tal que la
distancia AB=l. Resolver mediante giros.
1º Si queremos llevar una longitud l sobre una recta r a partir de un punto A de ella,
bastaría con girar un punto cualquiera, (nosotros tomaremos el punto P dado) hasta
dejarla en posición frontal.
2º Después, a partir de A’2 llevamos la longitud l, obteniendo B’2. Basta con deshacer el
giro para conseguir las proyecciones del punto solución B2 y B1.
96
4. Hallar la distancia del punto P al plano mediante giros.
1º Giraremos el plano alrededor del eje vertical (no dibujado) que pasa por el punto P,
hasta dejarlo de canto.
2º Para ello giramos α1 y la horizontal h hasta ponerla en posición frontal P1-A’1 y P2-A’2,
siendo ésta, la distancia buscada.
5. Girar un plano oblicuo alrededor de un eje de punta el ángulo dado.
1º Puesto que el eje m es de punta, lo más sencillo es girar la traza vertical Vα y la frontal f,
de éste que corta al eje.
2º La traza Vα gira un ángulo δ en el plano V, alrededor de m2, y toma la posición V’α.
3º La frontal f gira en el plano frontal tal que pertenece
y se conserva paralela y
equidistante de V’α, hallándose enseguida la nueva traza H’f de f’ y la h’α del plano.
4º De forma análoga se procedería con cualquier otra frontal como la a.
97
6. Hallar la verdadera magnitud del segmento AB, mediante un cambio de plano.
1º Dibujamos la nueva LT ⁄⁄ a la proyección horizontal.
2º En las perpendiculares a la nueva LT por las proyecciones horizontales y a partir de
la LT llevamos las cotas correspondientes de los puntos.
3º Unimos A’2 con B’2, que al estar en una recta frontal es el segmento en verdadera
magnitud.
7. Obtener la verdadera magnitud de las vistas laterales de una pirámide con un
cambio de plano vertical.
Solo es necesario situar el nuevo plano vertical paralelo a la proyección horizontal de las
arístas V1-A1 y V1-B1.
98
UNIDAD 12: SISTEMAS AXONOMÉTRICO.
PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD
Debemos entender la necesidad e importancia de los distintos sistemas de
representación y conocer los fundamentos prácticos de los sistemas axonométricos.
En esta unidad estudiaremos los nuevos sistemas basados en el sistema de
proyección cilíndrico ortogonal, igual que el sistema diédrico, pero con la ventaja de
tener una proyección directa, o lo que es lo mismo, se consigue visualizar de una
forma más rápida e intuitiva las tres dimensiones de una figura.
CONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD
APARTADO 1- ELEMENTOS Y CLASES DE SISTEMA AXONOMÉTRICO
QUE TENEMOS QUE APRENDER
Fundamentos: utiliza proyección cilíndrica ortogonal. Se establecen tres ejes coordenados
(x, y, z) dos a dos que forman un triedro recto (⊥ entre si).
Divide al espacio en ocho zonas u octantes. Planos coordenados:
-
Plano coordenado horizontal YOX
-
V Plano coordenado vertical I XOZ
-
W Plano coordenado vertical II ZOY
O Vértice del sistema
π Plano del cuadro sobre el que se proyectan ortogonalmente los ejes.
Se demuestra que O es el ortocentro del triángulo ABC y se llama Triángulo de trazas de
la perspectiva axonométrica y los ejes formarán unos ángulos α, β y γ.
99
Tipos de axonometría
El plano del cuadro puede cortar al triedro en tres posiciones distintas, dando lugar a
las tres variantes de la axonometría ortogonal, donde se formaran distintos triángulos y
habrá un coeficiente de reducción en los ejes según el tipo de axonometría.
-
Trimétrica: los tres ángulos son diferentes y por tanto también los tres ejes
tienen diferente coeficiente de reducción. El triángulo formado es escaleno.
-
Dimétrica: dos ángulos iguales y otro desigual y dos ejes mismo coeficiente de
reducción. El triángulo formado es isósceles.
-
Isométrica: los ángulos son iguales, 120 º y el coeficiente de reducción vale 0’8.
El triángulo es equilátero.
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Perspectiva dimétrica normalizada, ángulos 131º25’, 131º25 y 97º10’, donde se
redondean los coeficientes de reducción y tenemos μz=1, μx=1 y μy= 0’5. Ventajas
perspectivas agradables. Los ejes x y z no llevan reducción y el eje y reduce a la mitad.
Isométrica: la reducción existe pero, en general, no la vamos a tener en cuenta, si es
necesario, se construye la escala gráfica. Para ello sólo necesitamos trazar, en el borde del
papel, una recta que mida 0’816 x 10 = 8’16 cm. y dividirla en 10 partes iguales (teorema de
Tales).
100
APARTADO
2 – ESCALA AXONOMETRICA Y COEFICIENTE DE
REDUCCIÓN
QUE TENEMOS QUE APRENDER
Procedimiento gráfico para hallar las unidades reducidas de los ejes XYZ consiste en trazar
la escala axonométrica que corresponde a cada eje, para lo cual, abatimos dos caras del
triedro sobre el plano del cuadro.
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Abatimiento del plano YOX.
Método 1: Dibujamos un triángulo cualquiera, ABC, con lados ⊥ a los ejes de proyección y
vértices en ellos.
(O) esta en la intersección de la ⊥ de CB y del arco capaz de 90º del segmento CB
Se llevan las unidades en esos ejes (Y) y (X) que están en verdadera magnitud y se
traza ⊥ CB, que hace de charnela
Estas dividen a las proyecciones de los ejes en las unidades buscadas.
Hacemos lo mismo para sacar la reducción del eje Z.
Método 2: También podemos obtener las escalas axonométricas o la reducción
correspondiente a una medida determinada, hallando los ángulos α, β y γ que forman lo
ejes reales con el plano del cuadro.
Para abatir el eje X trazamos una semicircunferencia de diámetro BH y una perpendicular al
eje X en O hasta cortar con la semicircunferencia. Al unir con una recta (O) con B,
obtenemos el eje real (X) en verdadera magnitud y el ángulo α que éste forma con el plano
del cuadro. En el dibujo también hemos abatido el eje real (Z), hallando el ánguloγ.
101
APARTADO 3- REPRESENTACIÓN DEL PUNTO Y POSICIONES
QUE TENEMOS QUE APRENDER
Situar puntos en perspectiva axonométrica y obtener sus proyecciones.
El punto tiene 4 proyecciones: una la perspectiva o proyección directa y otra sobre cada
plano coordenado. Deben conocerse al menos dos de ellas.
Un punto puede estar en el espacio (en uno de los ocho octantes), sobre los planos
coordenados o sobre los ejes.
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
APARTADO 4 – REPRESENTACIÓN Y TIPOS DE RECTAS
QUE TENEMOS QUE APRENDER
Obtener sus proyecciones, trazas, partes vistas y ocultas y octantes por los que pasa.
Al igual que el punto, tiene 4 proyecciones: una la perspectiva o proyección directa y otra
sobre cada plano coordenado. Deben conocerse al menos dos de ellas.
Las trazas de una recta son las intersecciones con los planos coordenados. Se obtienen
como intersección de la perspectiva de la recta con cada una de ellas.
Posiciones de la recta:
-
Rectas paralelas a uno de los planos coordenados. Las horizontales son // al plano
XOY, r y r1 son //, r2 // al eje X y r3 // al eje Y.
102
-
Rectas contenidas en uno de los planos coordenados. Proyecciones confundidas
con los ejes y dos trazas.
-
Rectas perpendiculares a uno de los planos coordenados, es decir, // a uno de los
ejes coordenados y por tanto una única traza.
-
Rectas que se cortan con el eje.
-
Rectas que pasan por el origen de coordenadas. Sus proyecciones pasan por O.
-
Rectas perpendiculares al plano del cuadro y que pasan por el origen de
coordenadas. (Rectas visuales). Sus proyecciones coinciden sobre los ejes, y la
proyección directa es un punto coincidente con O.
-
Rectas perpendiculares al plano del cuadro sin pasar por el origen. (rectas paralelas
a las virtuales)
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Observa la representación de las más importantes.
103
APARTADO 5 - REPRESENTACIÓN Y TIPOS DE PLANOS
QUE TENEMOS QUE APRENDER
Se representa mediante sus trazas con los planos coordenados, cada una de ellas se corta
sobre el eje.
Posiciones particulares del plano:
104
-
Planos paralelos a uno de los planos coordenados.
-
Planos perpendiculares a uno de los planos coordenados (planos proyectantes). Son
planos útiles para hallar trazas de rectas en intersecciones.
-
Planos que pasan por un eje coordenado.
-
Plano que pasa por el origen de coordenadas.
-
Plano perpendicular al plano del cuadro(plano visual)
-
Plano paralelo al plano del cuadro.
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Pertenencias: de un punto a una recta, de una recta a un plano, y de un punto a un plano.
Igual que en el sistema diédrico. Observa la figura.
APARTADO 6- INTERSECCIONES Y PARALELISMO
QUE TENEMOS QUE APRENDER
Intersecciones:
-
Entre rectas, será un punto A, si construimos un paralelepípedo deben coincidir
también sus otras proyecciones, es decir A1 deben cortarse r1 y s1, en A2 deben
cortarse r2 y s2, etc. Sino se cruzan
-
Entre planos, se hallan los puntasen que se cortan las trazas del mismo nombre, que serán
las trazas de la recta intersección.
-
Entre rectas y planos. Recordar método para hallar intersecciones. Los planos auxiliares de
corte serán los propios planos coordenados y si fallan será preferentemente planos paralelos
a los coordenados.
Paralelismo:
-
Entre rectas, son paralelas si sus proyecciones son paralelas
-
Entre planos, son paralelos cuando lo son sus trazas correspondientes como ocurre con los
planos P y Q, R y T de la figura.
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Intersecciones y paralelismo son iguales que en sistema diédrico.
105
APARTADO 7- ABATIMIENTOS.
QUE TENEMOS QUE APRENDER
Abatimiento de los planos coordenados para obtener la verdadera magnitud de las
figuras que están en los planos del triedro. Para ello abatimos el plano sobre el plano
del cuadro que es el mismo método que hemos explicado para obtener las escalas
axonométricas.
Ver en el dibujo el abatimiento de un punto y de un segmento.
Trazado de la perspectiva isométrica y representación de figuras: polígonos regulares,
circunferencias, etc. Para trazar la perspectiva de otros polígonos regulares,
necesitamos obtener sus medidas en el polígono real, bien sea por el procedimiento
de abatir los vértices o por el de obtener las diagonales o las alturas que corten
perpendicularmente para dibujarlas paralelas a los ejes axonométricos en la
perspectiva.
106
Trazado de la perspectiva de figuras conociendo sus proyecciones diédricas. Es igual
en isométrica que en la perspectiva caballera. (Ver vistas en unidad 14)
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Ejemplos:
Triángulo y pentágono (ver en unidad 13, el método es el mismo pero el eje Y no
reduce a la mitad)
Circunferencia en perspectiva es una elipse para trazarla, en general, se inscribe en
un cuadrado cuyo lado sea igual al diámetro de la circunferencia.
En isométrica, se acepta sustituir la elipse por el óvalo inscrito en el cuadrado.
Trazado de la perspectiva de una circunferencia situada en el plano abatido XY. Se
procede al revés que cuando queremos abatirla par obtener su verdadera magnitud.
CRITERIO DE EVALUACIÓN
•
Conoce los fundamentos teóricos del sistema axonométrico y las diferentes tipos.
•
Resuelve en dicho sistema, ejercicios sobre definición de puntos, rectas y planos;
así como intersección de estos últimos
•
Dibuja piezas y figuras en perspectiva axonométrica isométrica.
107
ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN
1. Hallar el triángulo de trazas que corresponde a los ejes X, Y, Z, y trazar los ejes
axonométricos que corresponden al triángulo de trazas ABC. Determinar a que
variante del sistema axonométrico corresponden en cada caso. Figura 1.
2. Trazar las escalas axonométricas de los ejes X, Y, Z. Figura 2.
3. Hallar el ángulo γ que forma el eje z con el plano del cuadro. Figura 3.
4. Dibujar la perspectiva isométrica de las figuras representadas por sus
proyecciones diédricas ortogonales. Figuras 4,5 y 6.
108
ACTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR
1. En un sistema axonométrico XOY= 168´, ZOY=93´ y ZOY= 99º, representar los
siguientes puntos: A(3, 2, 5), B(2, 4, -3), C(-3, -2, 4), D(4, 0, -5), E(-2, 5, -4), y
F(6, 6, 6)
2. Hallar en un sistema isométrico, la intersección de los tres planos siguientes:
α(8, -9, 2), β(2, 9, 7) y δ(-8, 5, 5)
3. Hallar la intersección de los planos dados en las diferentes figuras.
4. Hallar la intersección de los planos y rectas dados en las diferentes figuras.
5. En la perspectiva isométrica, figura 1, dibuja la pieza que resulta al seccionar la
figura con un plano paralelo al eje Z que contenga a los puntos Ay B y suprimir
la parte delantera.
6. Dada la perspectiva isométrica, figura 2, hallar la sección que le produce el
plano que contiene al punto P y es paralelo al plano del cuadro.
109
SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN
1. Hallar el triángulo de trazas que corresponde a los ejes X, Y, Z, y trazar los ejes
axonométricos que corresponden al triángulo de trazas ABC. Determinar a que
variante del sistema axonométrico corresponden en cada caso. Figura 1.
2. Trazar las escalas axonométricas de los ejes X, Y, Z. Figura 2.
3. Hallar el ángulo γ que forma el eje z con el plano del cuadro. Figura 3.
4. Dibujar la perspectiva isométrica de las figuras representadas por sus
proyecciones diédricas ortogonales. Figuras 4,5 y 6.
110
UNIDAD 13: SISTEMA DE PERSPECTIVA CABALLERA.
PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD
Al igual que en la unidad anterior estudiaremos los sistemas basados en el sistema
de proyección cilíndrico, esta vez oblicuo., siendo la perspectiva caballera un caso
particular del sistema axonométrico.
Conviene resolver también, en dicho sistema, problemas de abatimientos, figuras
planas y representación de sólidos.
CONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD
APARTADO 1- AXONOMETRÍA OBLICUA
QUE TENEMOS QUE APRENDER
Fundamentos: es una axonometría oblicua sobre un plano coordenado XZ = plano del
cuadro. Los ejes X y Z están en verdadera magnitud, mientras que el eje Y se proyecta
oblicuo a los ejes X y Z en el plano del cuadro, formando con estos dos ejes ángulos que
pueden determinarse libremente (0≤ξ≤360º)
Ejes axonométricos y coeficiente de reducción: los ejes X y Z forman un ángulo de 90º, así
en la perspectiva, las aristas de la figura que tengan estas direcciones estarán en verdadera
magnitud.
El eje Y tiene un coeficiente de reducción que afectará a las aristas que tenga su dirección.
Una perspectiva caballera queda determinada si conocemos la dirección del eje Y y su
coeficiente de reducción.
111
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Llamando c al coeficiente de reducción, u a la unidad real y u´ a la unidad reducida del eje
Y, tenemos
Gráficamente, hallamos la dirección dp y el ángulo que éste forma con el plano del cuadro al
abatir el triángulo rectángulo AOA que forma la dirección de proyección con el eje Y real y el
eje Y proyectado. Para, ello conocidas las unidades u y u´ del eje Z y del eje Y,
respectivamente, centrado con el compás en O y hasta A, trazamos un arco que corte en
(A) la perpendicular trazada al eje Y desde O.
Al unir con una recta A´ con (A), obtenemos la dirección dp y el ángulo ξ que ésta forma con
el plano del cuadro.
El coeficiente de reducción de Y se suele dar en forma de fracción, eligiendo reducciones
como ½, ⅔ que resulten cómodas para realizar los trazados de las perspectivas. El
coeficiente siempre será menor que 1.
APARTADO 2- PERSPECTIVCA CABALLERA NORMALIZADA.
QUE TENEMOS QUE APRENDER
La Norma UNE 1-035-75 recomienda para el coeficiente de y ½ y los ángulos de 45º,
135º, 225º Y 315º para el ángulo α, según las vistas del cuerpo que sea necesario
representar.
Recomienda situar el alzado anterior en el plano del cuadro, quedando el cubo en
segundo triedro y el ángulo α es de 45º en vez de 135º.
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Bajo estas líneas tenemos un cubo representado con las diferentes posiciones del eje Y.
-
α = 135º. Alzado, planta superior y vista lateral izquierda.
112
-
α = 225º. Alzado, planta inferior y vista lateral izquierda.
-
α = 315º. Alzado, planta inferior y vista lateral derecha.
APARTADO
2- PERSPECTIVCA DE FIGURAS CONOCIENDO SUS
PROYECCIONES DIÉDRICAS.
QUE TENEMOS QUE APRENDER
-
Trazado de la perspectiva y representación de figuras: polígonos regulares,
circunferencias, etc. Para trazar la perspectiva de otros polígonos regulares,
necesitamos obtener sus medidas en el polígono real, bien sea por el
procedimiento de abatir los vértices o por el de obtener las diagonales o las
alturas que corten perpendicularmente para dibujarlas paralelas a los ejes
axonométricos en la perspectiva.
-
Trazado de la perspectiva de figuras conociendo sus proyecciones diédricas.
Es igual que en el sistema axonométrico.
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Trazado de la perspectiva y representación de figuras: polígonos regulares,
circunferencias, etc. Ejemplos:
Triángulo, sobre AB y por H trazamos paralela en este caso al eje Y y a partir de H
llevamos la medida de la altura a la mitad para obtener C. Terminamos el triángulo
113
Pentágono, trazamos en él la diagonal EC y la altura DH que se cortan
perpendicularmente. Por H paralela al eje Y, sacamos D, llevando la mitad de la altura
en la perspectiva. Por N paralela al eje X y llevamos distancia de los vértices E y C.
Circunferencia, consiste en inscribir la circunferencia real en un cuadrado que se sitúa
en un plano paralelo al del cuadro. Ya en la perspectiva sale un romboide e
inscribimos en él la elipse como vemos en la figura.
El segundo procedimiento consiste en abatirle plano XY y dibujar en él la
circunferencia real, el eje X actúa como charnela y el eje Y abatido es la prolongación
del eje Z. La circunferencia se divide en 8 partes iguales por los que se trazan
perpendiculares al eje X y luego paralelas al eje Y, desde los puntos de la
circunferencia se trazan perpendiculares al eje Y que corta a las paralelas anteriores
en puntos de la elipse solución.
Trazado de la perspectiva de figuras conociendo sus proyecciones diédricas.
(Ver vistas en unidad 14)
114
CRITERIO DE EVALUACIÓN
•
Reconocimiento de la relación que existe entre los sistemas axonométrico
ortogonal y oblicuo.
•
Ejecución y aplicación de sistemas análogos en la resolución de problemas
empleados en sistema diédrico, pero en axonométrico.
•
Apreciar el efecto que sobre la figura tiene la elección de las distintas aperturas
que los ejes perspectivos pueden tener y elección adecuada de estos y entre la
perspectiva isométrica o caballera.
•
Analiza la capacidad de comprensión
ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN
1. Trazar la perspectiva caballera según las proyecciones diédricas de la figura 1
con μy=1/2. Indica según las normas, el ángulo α que corresponda a esta
perspectiva.
2. Dibuja la perspectiva caballera de esta figura según sus proyecciones
diédricas. Estas nos indican que en la perspectiva deben verse la planta inferior
y la vista lateral izquierda, μy=1/2. Dibuja el ángulo α que corresponda.
3. Traza la perspectiva caballera de la figura anterior, sabiendo que μy=1/2 y el
ángulo XY= 45º.
4.
Dibuja a continuación, las proyecciones diédricas ortogonales de la figura en la
posición del ejercicio 3.
115
ACTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR
1. Representar, en perspectiva caballera (ángulo del eje Y δ= 225º y μy= 3/4), las
siguientes rectas, determinando partes vistas y ocultas: r: A(2, 3, 1) B(1, 4, 2),
s: C(0, 8, 2) D(6, 0, 5), m: E(-1, -2, 5) F(2, 7, -3), n: G(-4, -1, 4)H(2, 4, 11)).
2. Dado los tres puntos A (1´5, 3, 1) B (5, 1, -3) y C (1’5, -5, 8), dibujar en
perspectiva caballera el plano que determinan, datos: ángulo del eje Y δ= 210º
y μy= 2/3.
3. Dibuja la perspectiva caballera de la pieza de la figura 1.
4. En la perspectiva caballera, figura 2, dibujada con ángulo del eje Y δ= 225º y
μy= 1/2, hallar la intersección de la recta que une los puntos A y B con la cara
que determinan los puntos C, D y E.
5. Dibuja la pieza que resulta de seccionar la perspectiva de la figura 3 (ángulo
del eje Y δ= 225º y μy= 1/2), con el plano que contiene a los puntos A, B y C,
suprimiendo la parte de delante.
116
SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN
1. Trazar la perspectiva caballera según las proyecciones diédricas de la figura:
μy=1/2. Indica según las normas, el ángulo α que corresponda a esta
perspectiva.
2. Dibuja la perspectiva caballera de esta figura según sus proyecciones
diédricas. Estas nos indican que en la perspectiva deben verse la planta inferior
y la vista lateral izquierda, μy=1/2. Dibuja el ángulo α que corresponda.
3. Traza la perspectiva caballera de la figura anterior, sabiendo que μy=1/2 y el
ángulo XY= 45º.
4. Dibuja a continuación, las proyecciones diédricas ortogonales de la figura en la
posición del ejercicio 3.
117
UNIDAD 14: NORMALIZACIÓN, VISTAS, CORTES Y
SECCIONES
PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD
Uno de los aspectos que rigen la práctica del dibujo técnico es la creación de la
norma, ya que partimos de la base de quien solicitamos un lenguaje universal.
Consecuentemente, se hace necesario un conjunto de reglas y recomendaciones que
harán fiable la transmisión de información que se hacen en dibujo.
Conoceremos por tanto el origen y alcance actual de las normas UNE e ISO respecto
a formatos, rotulaciones y líneas y también respecto a vistas, cortes y secciones.
Aprenderemos a usar convencionalismos y simplificaciones en la representación
distintas formas.
CONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD
APARTADO 1- ESTUDIO DE LA NORMALIZACIÓN
QUE TENEMOS QUE APRENDER
La normalización es el conjunto de reglas, recomendaciones y prescripciones que
establecen los diferentes países con la finalidad de favorecer el comercio, la obtención y la
realización de objetos unificados.
Formas de expresión de la normalización son: especificaciones, reglamentos y normas que
se dividen en nacionales e internacionales.
La normalización española y elaboración de la norma UNE.
Elección de formatos. Las hojas de dibujo deben contener los siguientes elementos, (el
resto de elementos es facultativo):
-
Cuadro de rotulación. Conocer contenido y forma de rotular.
-
Recuadro que limite la zona de ejecución del dibujo.
-
Señales de centrado
118
Líneas normalizadas:
-
Línea continua gruesa, contornos y aristas visibles.
-
Línea de trazos gruesa, contornos y aristas ocultas.
-
Línea continua fina, contorno y aristas ficticias, líneas de cota y referencia, en
rayados, contornos de secciones abatidas, ejes cortos.
-
Línea continua fina a mano alzada, límite de vistas o cortes parciales, líneas de
rotura.
-
Línea de trazo y punto fina, ejes de revolución, planos de simetría, trayectorias
-
Línea de trazo y punto fina con trazos grueso en los extremos, trazas de plano de
corte
-
Línea de trazo fino y dos puntos, contorno piezas adyacentes, posiciones extremas
de piezas móviles.
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Prioridad de líneas:
-
Contornos y aristas vistas
-
Contornos y aristas ocultas
-
Trazas de plano de corte
-
Ejes de revolución y trazas de plano de simetría
-
Líneas de centro de gravedad
-
Líneas de proyección
Utilización de las líneas:
-
Líneas de ejes deben sobrepasar de los contornos de las piezas ligeramente y
circunferencias.
-
En las circunferencias los ejes deben cortarse en los centros.
119
-
Si dos líneas de trazos son paralelas y próximas se harán éstos alternados.
-
Si una línea sea vista u oculta arranca de otra no se dejan espacios.
-
Si dos o más líneas de trazos concurren en un mismo vértice, los trazos acaban en
él.
-
Una línea de trazos no corta, al cruzarse, ni a una línea vista ni a una línea oculta.
-
Los arcos de trazos acaban en los puntos de tangencia.
APARTADO 2 -CROQUIS
QUE TENEMOS QUE APRENDER
En dibujo técnico se llama croquis al trazado a mano alzada, prescindiendo de la ayuda de
los instrumentos de precisión. En ocasiones, este tipo de dibujo llega a ser tan explícito y
pormenorizado que puede proporcionar igual información que un trabajo delineado, ya que
debe reproducir lo más fielmente posible la forma y proporción del objeto.
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Proceso para trazar un croquis:
-
Observación de la estructura formal de la pieza y el análisis de las partes de que se
compone.
-
Se calculan las proporciones, vistas y secciones que se deban contemplar. Se toma
como alzado la cara que sea más representativa del cuerpo y solo se dibujan las
vistas necesarias para que quede totalmente definido.
-
Se estudia la distribución sobre el papel. Descripción del grosor de las líneas.
-
Medición del objeto.
120
APARTADO 1- VISTAS
QUE TENEMOS QUE APRENDER
Para la disposición de las 6 vistas de un cuerpo, hay dos sistemas:
-
El español y europeo (normas UNE y DIN), las figuras se proyectan en el
primer cuadrante y después de abatirlo el alzado se encuentra situado sobre la
parte superior.
-
El sistema americano (normas ASA), las figuras se proyectan en el tercer
cuadrante y después de abatirlo la parte superior queda situada sobre el
alzado.
Trazado de la perspectiva caballera e isométrica
Recordamos, en el sistema europeo, cada proyección corresponde aun punto de vista
concreto, siempre el mismo:
-
La planta debajo del alzado
-
La vista lateral derecha, a la izquierda del alzado
-
La vista lateral izquierda, a la derecha del alzado
121
De la vista lateral depende la situación del alzado y por lo tanto la posición de la figura.
Perspectiva caballera, tendremos siempre el alzado en verdadera magnitud. Te
resultará más fácil si empiezas a dibujar la perspectiva de la planta inferior y a
continuación trazas paralelas al eje Z por todos sus vértices, determinando después la
longitud de estas rectas con las alturas medidas en el alzado. Ver figura.
Perspectiva isométrica, de la vista lateral depende la situación del alzado y por lo
tanto, la posición de la figura, determinada de modo riguroso por las proyecciones
diédricas cuando sabemos interpretarlas. Se recomienda empezar haciendo un
croquis con las tres medidas fundamentales del cuerpo: longitud, anchura y altura. Se
procede como en perspectiva caballera.
Debes de practicar para adquirir visión espacial.
En este ejemplo no hemos borrado las líneas ocultas ni el proceso utilizado para trazar
la base del cilindro en perspectiva. La figura solo tiene dos vistas pues la tercera no es
necesaria por ser simétrica respecto de los dos planos que indican los ejes de la
planta.
122
APARTADO 2 – CORTES Y SECCIONES
QUE TENEMOS QUE APRENDER
Los cortes y secciones son también cambios de plano. Se trata de representaciones
convencionales en las que se supone la pieza cortada por un plano paralelo a uno de los
ejes de la figura.
En la representación de la vista seleccionada se elimina la parte que corresponde a la
sección, (la sección es solo la parte de la pieza en contacto con el plano que secciona, lo
que se dibuja es el corte), para dejar al descubierto su interior.
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
Normas:
-
La parte seccionada lleva un rayado a 45º y a 2mm. de distancia entre las líneas,
finas y de trazo continuo, que termina en el contorno. En diferentes piezas se
trazan con inclinaciones diferentes.
-
Cota dentro se interrumpe el rayado.
-
Si es de pequeño grosor se ennegrece totalmente
-
Si es una pieza muy grande se raya el alrededor del contorno y no todo el
interior.
-
No se seccionan: brazos, pernos, husillos, dientes de ruedas dentadas, tuercas,
etc. (si se cortan transversalmente si).
Tipos de cortes:
-
Si el plano de sección no coincide con los planos de simetría o se trata de una
sección quebrada, la dirección de los rayos visuales se indica con dos flechas.
-
En las piezas mecánicas, las secciones se realizan por planos horizontales o
frontales y en sección total o media sección, también llamada sección al cuarto. Esta
última tiene grandes ventajas, se ve la pieza por dentro y por fuera y ahorra tiempo a
la hora de realizar el dibujo.
-
Cuando el corte es por planos concurrentes girados, a veces el alzado puede ser
más ancho o más corto que la planta, pero no se da la confusión.
-
En piezas simétricas se puede simplificar dibujando sólo la mitad o cuarta parte.
-
En piezas de gran longitud se interrumpen las vistas ahorrando espacio.
-
Otras vistas auxiliares, basadas en los abatimientos, facilitan la comprensión de la
pieza cuando alguno de sus elementos se encuentra en un plano oblicuo. En estos
casos se representa solamente la parte oblicua de la pieza en un plano abatido, que
no se dibuja. Con esa vista y el alzado, la pieza queda bien representada, como
vemos al final de los ejemplos que muestra los dibujos a continuación.
123
124
CRITERIO DE EVALUACIÓN
•
Conocer el origen y alcance actual de las normas, valorando su necesidad e
importancia.
•
Conocer las normas UNE e ISO respecto a los formatos, rotulación y líneas.
•
Conoce las normas UNE e ISO respecto a la vistas cortes y secciones
•
Traza croquis de piezas ya diseñadas y crea otras nuevas, aplicando los tipos de línea
adecuados.
•
Visiona el interior de piezas a través de cortes y secciones.
•
Usa convencionalismos y simplificaciones más usuales en la representación de
distintas formas.
ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN
1. ¿Cuántos formatos A4 contiene un formato AO?
2. ¿Para qué se utilizan las líneas gruesas y continuas?
3. ¿Qué líneas tienen prioridad, las de trazos o los ejes?
4. ¿Cómo son las líneas de referencia?
5. ¿Qué elementos gráficos debe llevar un formato preimpreso obligatoriamente?
6. Dibuja la sección al cuarto de la figura dada.
7. Trazar las proyecciones diédricas ortogonales de las figuras representadas por
su perspectiva isométrica.
125
ACTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR
1. Dibuja alzado, planta y perfil de las piezas dadas en perspectiva, figuras 1, 2 y 3.
2. Dibuja la vista de perfil de las piezas que se representan en las figuras 4 y 5.
3. Dibuja los cortes indicados en cada pieza de las figuras 6,7 y 8.
126
SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN
1. ¿Cuántos formatos A4 contiene un formato AO?
Recordamos:
A3 = 2 x A4
A2 = 2 x A3 = 9 x A4
A1 = 2 x A2 = 8 x A4
A0 = 2 x A1 = 16 x A4
Luego el A0 contiene 16 formatos A4
2. ¿Para qué se utilizan las líneas gruesas y continuas?
Para las líneas vistas, tanto de contornos como de interiores.
3. ¿Qué líneas tienen prioridad, las de trazos o los ejes?
Tienen preferencia la de trazos sobre la de los ejes.
4. ¿Cómo son las líneas de referencia?
Son finas y continuas y pueden terminar de tres formas:
-
En círculo blanco, si la línea acaba en el interior del elemento.
-
En una flecha, si acaba en una línea del elemento.
-
En nada, si acaba en una línea de cota.
5. ¿Qué elementos gráficos debe llevar un formato preimpreso obligatoriamente?
Debe llevar: el cuadro de rotulación, el recuadro y las señales de centrado.
6. Dibuja la sección al cuarto de la figura dada.
127
7. Trazar las proyecciones diédricas ortogonales de las figuras representadas por su
perspectiva isométrica.
128
UNIDAD 15: ACOTACIÓN.
PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD
Por último haremos ver al alumno la importancia de conocer y representar formas
mediante croquis acotados, usando instrumentos de medida así como las normas UNE e
ISO respecto a la acotación para finalmente saber interpretar y representar cualquier
objeto.
CONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD
APARTADO 1- ELEMENTOS DE ACOTACIÓN
QUE TENEMOS QUE APRENDER
Acotación es el conjunto de medidas, signos y líneas que aparecen en un dibujo y que
configuran las dimensiones de una pieza.
La dimensión acotada es la medida real del objeto, sin tener en cuenta la escala a la que esté
realizado el dibujo.
Las medidas deben darse preferentemente en milímetros, cuando se trate de segmentos
y en grados cuando se acoten ángulos.
Elementos básicos de la acotación:
- Líneas de cota. Se dibujan con línea continua fina.
Se dibujan paralelas a la dimensión que se pretende acotar.
Deben colocarse como mínimo a unos 8mm. de las aristas de los cuerpos. Las líneas de
cota paralelas han de estar unas de otras a una distancia uniforme y nunca menos de 5mm.
Nunca deben rebasar las líneas auxiliares de cota ni las aristas de la pieza.
Los ejes y las aristas no deben utilizarse como líneas de cota.
- Líneas auxiliares de cota o de referencia. Se dibujan con línea continua fina.
Delimitan y son perpendiculares al segmento que se va a acotar, en casos excepcionales
se dibujan oblicuamente, pero siempre paralelas entre si.
En piezas cuyos extremos sean chaflanes o estén redondeados, se acotará entre los
puntos de intersección de las prolongaciones de las aristas.
129
Sobresalen aproximadamente unos 2mm. de las líneas de cota.
En lo posible estas líneas no deben cruzarse con otras líneas.
-
La cota. Cifra que representa numéricamente la superficie acotada.
Se debe utilizar escritura normalizada y altura adecuada.
Las medidas de longitud se indican siempre en milímetros y si está en otra unidad se debe
indicar expresamente.
No deben estar separados ni cruzados por líneas.
Las cifras de cota deben situarse siguiendo el orden de lectura de abajo hacia arriba y de
derecha a izquierda.
-
Límites de las líneas de cota. Los extremos de las líneas de cota se señalan con flechas
delimitando el segmento que se va a medir. La punta de la flecha forma unos 15º.
Si entre aristas del cuerpo o líneas de referencia no hay suficiente espacio para la flecha
de al cota, se limita por puntos o sacando las cifras fuera.
También se puede limitar por dos trazos a 45º hechos con línea más gruesa.
La línea de cota puede estar delimitada por una sola flecha en casos de radios y de
diámetros acortados.
130
APARTADO 2 – PRINCIPIOS DE ACOTACIÓN
QUE TENEMOS QUE APRENDER
-
En los dibujos figurarán todas las cotas necesarias para que quede perfectamente definido,
no omitir ninguna ni repetirla.
-
Cada cota se colocará en la vista que de mejor idea de la forma de la pieza.
-
Se debe evitar acotar sobre aristas no vistas.
-
Se evitará la acotación en el interior de las piezas. Se permite una excepción para eludir el
cruce de las líneas de cota en el interior de las vistas.
-
No sobrecargar las vistas con cotas siempre que sean deducibles por la suma o resta de
otras cotas.
APARTADO 3 – ACOTACIÓN DE CURVAS Y ÁNGULOS
QUE TENEMOS QUE APRENDER
-
Acotación de círculos. Se acotan siempre el diámetro y nunca el radio.
Las líneas de cota se colocarán preferentemente formando 45º con los ejes de
simetría de la circunferencia.
En caso de círculos concéntricos se usará la inclinación de 45º, luego de 30º y
posteriormente la de 60º siempre referidas al eje horizontal.
Las cotas llevan el signo de diámetro φ si éstos se acotan en otras vistas.
-
Acotación de radios. La línea de cota debe partir del centro del radio y tener una sola flecha
en el extremo del mismo. En el caso de no tener, un centro conocido se antepondrá a la
cifra de cota la letra R.
-
Acotación de ángulos. Las líneas de cota pasan a ser curvas, arcos de circunferencia con el
131
centro en el vértice del ángulo. Debe evitarse la acotación en el espacio comprendido entre
0 y 30º con respecto al eje horizontal ya que las cifras de cota quedarían con los números
invertidos.
-
Acotación entre centros. Cuando la figura tiene círculos que no son concéntricos, la
distancia entre los centros es una cota fundamental par situarlos en su lugar.
En acotación, ésta se determina prolongando los ejes paralelos y acotando su distancia,
como vemos en los ejemplos.
APARTADO 4 - SISTEMAS DE ACOTACIÓN
QUE TENEMOS QUE APRENDER
Para acotar una pieza correctamente se debe tener en cuenta:
El proceso de fabricación
Función a desempeñar
Comprobación o verificación de control
Según el proceso de fabricación:
-
Acotación en serie, cada elemento se acota a continuación del otro.
-
Acotación en paralelo cuando varias cotas de la misma dirección tiene en un elemento de
referencia común.
-
Acotación combinada cuando combinamos en serie y paralelo.
-
Acotación por coordenadas se utiliza en piezas que tienen varios taladros. Se elige un
origen de referencia y las coordenadas de los centros, así como el valor de los diámetros,
se colocan en una tabla junto a la pieza.
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CRITERIO DE EVALUACIÓN
•
Conocer el origen y alcance actual de las normas de acotación, valorando su
necesidad e importancia.
•
Conocer las normas UNE e ISO respecto a la acotación.
•
Representa formas mediante croquis acotados.
•
Usa convencionalismos y simplificaciones en la representación de distintas formas.
ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN
1. ¿Qué elementos intervienen en la acotación?
2. Las líneas de cota, ¿cómo deben ser respecto a las aristas que miden?
3. ¿Las circunferencias se acotan por su radio?
4. La cifra de cota, junto con los símbolos que la acompañen, ¿se pueden cortar por
alguna línea?
5. ¿En qué vistas se ponen las cotas dimensionales?
6. ¿Cómo se acota en zonas rayadas?
7. Acotar las piezas dadas.
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8. Acotar la pieza según normas, teniendo en cuenta la cota señalada.
ACTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR
1. Dada la perspectiva isométrica de las figuras 1 y 2, dibujar a escala 1:1 y acotar
las vistas, tomando como alzado la dirección A.
2. Dada la perspectiva isométrica de la pieza dibujada, figura 3, se pide: las vistas
alzado, planta y perfil de dicha pieza, a escala 1:1, en el sistema europeo,
acotándola debidamente para su correcta definición.
3. Acotar la pieza dada de las figuras 4 y 5, según normas.
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SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN
1. ¿Qué elementos intervienen en la acotación?
Las líneas de cota, líneas de proyección o auxiliares, líneas de referencia, cotas y flechas.
2. Las líneas de cota, ¿cómo deben ser respecto a las aristas que miden?
Las líneas de cota deben ser paralelas respecto a las aristas.
3. ¿Las circunferencias se acotan por su radio?
Nunca, se acotan por su diámetro.
4. La cifra de cota, junto con los símbolos que la acompañen, ¿se pueden cortar por alguna
línea?
La cifra de cota no se puede cortar por ninguna línea, es ésta la que debe interrumpirse.
5. ¿En qué vistas se ponen las cotas dimensionales?
En aquellas vistas en las que se vea mejor la forma del elemento dimensionado.
6. ¿Cómo se acota en zonas rayadas?
Hay que interrumpir el rayado para situar la cota.
7. Acotar las piezas dadas.
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8. Acotar la pieza según normas, teniendo en cuenta la cota señalada.
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