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C u r s o : Matemática
Material N° 12
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 10
UNIDAD: GEOMETRÍA
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Y ELEMENTOS SECUNDARIOS
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
DEFINICIÓN
Dos triángulos son congruentes si y sólo si existe una correspondencia entre sus vértices,
de modo que cada par de lados y ángulos correspondientes sean congruentes.
R
C
AB ≅ PQ
AC ≅ PR
CB ≅ RQ
∆ABC
≅
∆PQR
⇒
A ≅ P
B ≅ Q
C ≅ R
A
B
P
Q
EJEMPLOS
1.
Los triángulos ABC y DEF de la figura 1, son isósceles congruentes de base AB y DE ,
respectivamente. ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones es (son) verdadera(s)?
I) ∆CBA ≅ ∆FDE
II) ∆BCA ≅ ∆FDE
III) ∆BAC ≅ ∆EFD
A)
B)
C)
D)
E)
2.
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
B
D
C
fig. 1
I
II
III
I y II
II y III
E
A
F
Los triángulos ABC y FED de la figura 2, son escalenos. Si ∆ABC ≅ ∆FED, entonces
¿cuál es el valor de x?
D
C
A) 7
B) 9
C) 12
D) 15
E) Ninguna de las anteriores
x
γ
F α
fig. 2
9
12
α
A
β
β
12
B
E
3.
En la figura 3, el ∆ABC es rectángulo en C. Si ABC = 30º, CD ⊥ AB y E es punto medio
de AB , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
4.
∆ACD ≅ ∆BCD
∆EDC ≅ ∆ADC
∆AEC ≅ ∆BEC
C
fig. 3
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y III
I, II y III
A
D
E
B
Si en la figura 4, se cumple que ∆MNO ≅ ∆PQR, entonces ¿cuál de las siguientes opciones
es verdadera?
Q
A) MN = PR
B)
P
O
ON = RP
fig. 4
C) MON ≅ QPR
D) NMO ≅ QPR
R
E) NOM ≅ RPQ
5.
M
N
Dados los siguientes triángulos, ¿cuáles son congruentes?
I)
10 cm
II)
III)
10 cm
80º
6.
70º
10 cm
70º
A)
B)
C)
D)
E)
80º
70º
80º
Sólo I con II
Sólo I con III
Sólo II con III
Todos ellos.
Ninguno de ellos.
Si los polígonos ABCD y EFGH de la figura 4 son congruentes en ese orden, ¿cuál de las
siguientes alternativas es falsa?
F
C
A)
AB ≅ EF
D
E
A
H
B) DAB ≅ HEF
C) DC ≅ GH
D) ADC ≅ GFE
B
E)
AD ≅ EH
fig. 4
2
G
POSTULADOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
C
ALA: Dos triángulos son congruentes si tienen
respectivamente iguales un lado y los dos ángulos
adyacentes a ese lado.
β
α
A
C’
B
c
α
A’
C
LAL: Dos triángulos son congruentes cuando tienen
dos lados y el ángulo comprendido entre ellos
respectivamente iguales.
α
B A’
α
c
LLL: Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres
lados respectivamente iguales.
c
B A’
B’
c’
C’
γ
b
A
a’
b‘
C
γ
LLA>: Dos triángulos son congruentes cuando tiene
dos lados y el ángulo opuesto al mayor de esos lados
respectivamente iguales.
B’
c’
C’
a
b
A
B’
b’
C
c’
C’
b
A
β
b<c
b’
c
B A’
B’
c’
EJEMPLOS
1.
¿Cuál(es) de las siguientes parejas de triángulos es (son) congruentes?
I)
A)
B)
C)
D)
E)
2.
II)
III)
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y II
I, II y III
Los triángulos escalenos de la figura 1, son congruentes por el criterio
A)
B)
C)
D)
E)
ALA
LAL
LLL
LLA>
AAA
fig. 1
80º
7
7
40º
10
3
80º
4
60º
3.
En la figura 2, AB ≅ AD y CAD ≅ CAB. ¿Qué criterio permite demostrar que el
∆ABC ≅ ∆ADC?
D
A)
B)
C)
D)
E)
4.
LLL
LAL
ALA
LLA>
Falta información
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 2
B
RA es bisectriz del FRE.
R
∆FBA ≅ ∆EBA
∆FER es isósceles.
fig. 3
A
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y II
I, II y III
F
B
E
Si en la figura 4, ∆ABC ≅ ∆AED, BAF = 70º y CAF = 10º, entonces AED es igual a
C
D
A)
B)
C)
D)
E)
6.
C
Si en la figura 3, el ∆FAR ≅ ∆EAR, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
5.
A
E
10º
45º
55º
70º
80º
fig. 4
F
A
B
En la figura 5, los triángulos QNP y NQM son rectángulos en P y en M, respectivamente.
Si además son isósceles y congruentes, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
P
I)
MT + PQ = QM + QT
II)
III)
PM ≅ QN
QPM = PMN
Q
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo I y II
Sólo I y III
Sólo II y III
I, II y III
T
N
fig. 5
M
4
ELEMENTOS SECUNDARIOS DEL TRIÁNGULO
C
ALTURA
E
H = ORTOCENTRO (punto de
intersección de las alturas)
F
Es el segmento perpendicular que va
desde un vértice al lado opuesto o a su
prolongación.
H
A
B
D
C
BISECTRIZ
I = INCENTRO (punto de
intersección de las bisectrices)
γ γ
Es el trazo que divide al ángulo en dos
ángulos congruentes
I
α
α
β
β
A
B
C
TRANSVERSAL DE GRAVEDAD
Es el trazo que une un vértice con el punto
medio del lado opuesto.
OBSERVACIÓN:
Si ∆ABC rectángulo en C,
entonces CD = AD = DB .
E
F
G = CENTRO DE GRAVEDAD
(punto de intersección de las
transversales de gravedad)
G
A
B
D
C
O = CIRCUNCENTRO
(punto de intersección
de las simetrales)
SIMETRAL
Es la recta perpendicular que pasa por el
punto medio de cada lado del triángulo.
O
A
B
MEDIANA
C
FE // AB
FD // BC
Es el segmento de recta que une los
puntos medios de los lados del triángulo.
DE // AC
E
F
OBSERVACIÓN:
∆ADF ≅ ∆DBE ≅ ∆FEC ≅ ∆EFD
A
5
D
B
EJEMPLOS
1.
En el ∆ABC de la figura 1, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
C
I)
BD ≅ CD
fig. 1
2α
II)
AD ≅ BD
III)
AB ≅ BC
D
A)
B)
C)
D)
E)
2.
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
I
II
III
I y III
II y III
3α
A
α
α
B
El ∆ABC de la figura 2, BD y AE son bisectrices de los CAB y ABC, respectivamente.
Si ACB = γ, entonces el AFB es igual a
C
γ
A) 90° – γ
B) 180° – 2γ
γ
C) 90° –
2
γ
D) 90° +
2
E) 90° – 2γ
fig. 2
E
D
F
A
3.
En el ∆ABC rectángulo en C de la figura 3, CD
CDB = 106°. La medida del CAD es
B
es transversal de gravedad y
C
A)
B)
C)
D)
E)
4.
fig. 3
45º
53º
74º
90º
no se puede calcular.
A
B
D
En la figura 4, el ∆PQT es isósceles de base PT , QR es transversal de gravedad y MN es
mediana. Si PQR = 25°, entonces la medida del MNR es
P
A)
B)
C)
D)
E)
25°
40°
45°
65°
75°
T
R
N
M
fig. 4
Q
6
ALGUNOS TEOREMAS REFERENTES A UN TRIÁNGULO ISÓSCELES Y/O EQUILÁTERO
En todo triángulo isósceles coinciden los elementos secundarios correspondientes al
lado distinto.
C
CD = hc = tc = b γ = sc
= BC
AB ≠ BC
AC
α
α
B
D
A
En todo triángulo equilátero coinciden los elementos secundarios correspondientes a
cualquier lado. Además, coinciden los puntos singulares.
C
30°30°
F
E
G
30°
30°
30°
30°
A
B
D
EJEMPLOS
1.
En la figura 1, EFGH es un rectángulo. Si ∆AHD ≅ ∆CFB y ∆DGC ≅ ∆BEA, ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
BCD ≅ DAB
II)
III)
DC ≅ AB
DCG ≅ ADG
C
fig. 1
D
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo II
Sólo I y II
Sólo II y III
I, II y III
H
G
E
F
A
7
B
2.
El triángulo ABC de la figura 2, es isósceles de base AB . Si CD ⊥ AB , entonces
¿cuál(es) de los siguientes pares de triángulos son congruentes?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
3.
fig. 2
E
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y II
I, II y III
A
D
B
En el ∆ABC de la figura 3, AC ≅ BC y AD ≅ BE se puede afirmar que ∆ADC ≅ ∆BEC
por el criterio
C
A)
B)
C)
D)
E)
4.
C
∆ADE con ∆BDE
∆AEC con ∆BEC
∆ADC con ∆BDC
fig. 3
LLL
LAL
ALA
LLA>
no son congruentes.
A
D
B
E
El ∆ABC de la figura 4, es isósceles. Si BD y CE son bisectrices de los ángulos basales,
¿cuál de las siguientes alternativas es falsa?
C
D
A)
B)
C)
D)
CE ≅ BD
∆PBC es isósceles
∆EBC ≅ ∆DCB
E y D son puntos medios de AB y AC
E)
DC ≅ EB
A
P
fig. 4
E
B
5.
En la figura 5, DB es perpendicular a AC y ADB ≅ CDB. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
A
∆ABD ≅ ∆CBD
∆ADC es isósceles.
B es punto medio de AC .
fig. 5
B
Sólo I
Sólo III
Sólo I y III
Sólo II y III
I, II y III
D
C
8