Download Factores, divisores, multiplos, números primos y compuestos

4.1 - 4.2
(1)Factores, Múltiplos
y Divisores
(2) Números
compuestos y primos
Factorización
Cuando escribimos
12 = 6 x 2
decimos que 6 x 2 corresponde a una factorización de 12.
¿Existen otras factorizaciones de 12? ¿Cuál(es) ?
12 = 3 x 4
12 = 12 x 1
Hemos encontrado tres factorizaciones de dos factores para
12.
Por lo tanto los factores de 12 son: 1, 2, 3, 4, 6 y 12
Factorización
En resumen:
La factorización de un número natural es
simplemente una expresión de multiplicación con
números naturales.
Factorización - Ejercicios
Mencione todas las factorizaciones de dos
factores para 45.
5x9
15 x 3
45 x 1
¿Cuál es el conjunto de los factores de 45?
{1, 3, 5, 9, 15, 45}
Números primos y compuestos
Todo número natural mayor que 1 o es
primo o es compuesto.
Un número primo es un número que es el
producto solamente de 1 y sí mismo.
– Ejemplo: 2 = 2 × 1
– Ejemplo: 5 = 5 × 1
– Ejemplo: 7 = 7 × 1
Los primeros 12 primos son:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 y 37
Números primos y compuestos
Un número compuesto es un número
natural mayor que uno que tiene más de
dos factores.
– Ejemplo: 6 = 2 × 3, 6 x 1
– Ejemplo: 8 = 2 × 4, 8 x 1
Nota: El número 1 tiene un solo factor
positivo, por lo tanto ni es primo ni es
compuesto.
Factorización prima
Teorema de factorización única:
Todo número compuesto se puede expresar como
un producto de números primos de una forma
única, sin tomar en cuenta el orden de los
factores.
72 = 36 × 2
De éstos, sólo 2 es un factor primo.
72 = 6 x 6 × 2
De éstos, sólo 2 es un factor primo.
72 = 3 × 2 × 3 × 2 × 2
factorizacion prima
Factorización prima
La factorizacion prima se puede escribir usando
exponentes.
72 = 3 × 2 × 3 × 2 × 2
Primero, ordenamos los factores
72 = 3 × 3× 2 × 2 × 2
Luego, usamos exponenciación para
representar la multiplicación repetida.
72 = 32 × 23
factorizacion prima en notación exponencial
1-6
Árbol de factores
Un árbol de factores es un diagrama que ayuda a
determinar la factorizacón prima del un número.
1-6
Práctica
Construya un árbol de factores para determinar la
factorizacón prima del cada número.
84
120
Divisor
Si a y b son números cardinales y b  0, se dice que
a es divisible por b, o b divide a
si y sólo si el residuo es 0 cuando a es dividido por b.
Ejemplo:
132 = 12 x 11 implica que 132  12 = 11 R 0
Por lo tanto, 12 es un factor o divisor de 132 y
11 es un factor o divisor de 132
.
Ejercicios
1. La factorización prima de un número es
2 x 3 x 5. ¿A qué número le corresponde esta
factorización?
2. Si dividimos 98 entre 7 el cociente es _____ y
el residuo es _____. Por lo tanto, 7 es / no es
un factor o divisor de 98.
3. El conjunto de los divisores de 54 es:
Divisibilidad
El símbolo | , se lee “divide a”.
Ejemplo: Si escribimos 4|12 podemos leerlo
“cuatro divide a doce”.
Esto indica que al dividir 12 entre 4 el residuo es 0
y el cociente es un número natural.
•
•
•
•
•
4 es factor de 12
4 es divisor de 12
12 es divisible en 4
4 divide al 12
12 es un múltiplo de 4
Divisibilidad - Ejemplos
1. No se debe confundir el símbolo |, con el símbolo /
que se lee “dividido entre”.
2. Al realizar la división 24/6 el cociente es 4 y se
obtiene un residuo 0.
–
Como el cociente es natural y el residuo es 0,
podemos escribir 6|24.
3. Al realizar la división 23/4 se obtiene cociente 5 y
residuo 3.
–
El cociente es natural pero el residuo NO es 0.
Entonces, es FALSO escribir 4|23.
Pruebas de divisibilidad
Nombrar los
divisores de los
siguientes
números:
56:
116:
945:
1440:
Ejemplo
El númber 57,729,364,580 tiene demasiados dígitos
para la mayoría de las calculadoras. Determine si es
divisible por los siguientes:
a. 2
Si
b. 3
No
c. 5
Si
d. 6
No
e. 8
No
f.
No
9
g. 10 Si
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Propiedades de la División
Para cualquier número natural a, b, n y d, d ≠ 0,
si d | a, entonces d |(n a).
En palabras, si d es un divisor de un número
natural a, es divisor de cualquier múltiplo de a.
Si d | a, entonces el algoritmo de división asegura que
existe un número natural m, tal que 𝑎 = 𝑑 ∙ 𝑚.
Entonces, 𝑛 ∙ 𝑎 = 𝑛 ∙ 𝑑 ∙ 𝑚 = 𝑑 ∙ 𝑛 ∙ 𝑚.
Como n y m son naturales, 𝑛 ∙ 𝑚 es natural y por
definición de divisibilidad, d |(n a).
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Propiedades de la División
Para cualquier número natural a, b, n y d,
b. Si d | a, y d | b, entonces d | (a + b).
Si d | a y d | b entonces el algoritmo de división
asegura que existen números naturales m y n, tal que
𝑎 =𝑑∙𝑚yb=𝑑∙𝑛.
Entonces, 𝑎 + 𝑏 = 𝑑 ∙ 𝑛 + 𝑑 ∙ 𝑚 = 𝑑(𝑛 + 𝑚)
Por definición de divisibilidad, d |(a + b).
Por un argumento similar,
c. Si d | a, y d | b, entonces d | (a − b).
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Ejemplo
Clasificar cada uno de los siguientes enunciados
como cierto o falso, x, y, y z son cardinales.
a. Si 3 | x & 3 | y, entonces 3 | xy.
Cierto
b. Si 3 | (x + y), entonces 3 | x y 3 | y. Falso
Falso
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Número de divisores
Si
s
son primos distintos
y 𝑛1, 𝑛2, 𝑛3, . . ., 𝑛𝑘 son naturales,
entonces el producto
tiene
(𝑛1 + 1)(𝑛2 + 1) ∙ . . . ∙ (𝑛𝑘 + 1) divisores.
Ejemplo:
Determine la cantidad de divisores que tiene
72 = 23 ∙ 32 .
Según el teorema, = 23 ∙ 32
4 × 3 = 12 divisores.
tiene (3 + 1)(2 + 1) =
Número de divisores
• Ejemplo: Determine la cantidad de divisores que tiene
100,000
100,000 = 105
= (2 ∙ 5)5
= 25 55
Según el teorema, 25 55 , tiene (5 + 1)(5 + 1) =
6 × 6 = 36 divisores.
Determinar si un número es primo
Sea n un número natural, n > 1.
Si n NO es divisible entre ningún número primo, p,
tal que p2 ≤ n, entonces n es primo.
Ejemplo:
• Determine si 103 es compuesto o primo.
• Debemos dividir 103 entre números primos cuyos
cuadrados sean menor o igual a 103.
• Como 112 = 121 y 121  103, entonces debemos dividir
103 por 2, 3, 5 y 7 para determinar si es primo o no.
103÷ 2 = 51 𝑅 1
103÷ 5 = 20 𝑅 3
103 es primo.
103÷ 3 = 34 𝑅 1
103÷ 7 = 14 𝑅 5