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4.1 - 4.2 (1)Factores, Múltiplos y Divisores (2) Números compuestos y primos Factorización Cuando escribimos 12 = 6 x 2 decimos que 6 x 2 corresponde a una factorización de 12. ¿Existen otras factorizaciones de 12? ¿Cuál(es) ? 12 = 3 x 4 12 = 12 x 1 Hemos encontrado tres factorizaciones de dos factores para 12. Por lo tanto los factores de 12 son: 1, 2, 3, 4, 6 y 12 Factorización En resumen: La factorización de un número natural es simplemente una expresión de multiplicación con números naturales. Factorización - Ejercicios Mencione todas las factorizaciones de dos factores para 45. 5x9 15 x 3 45 x 1 ¿Cuál es el conjunto de los factores de 45? {1, 3, 5, 9, 15, 45} Números primos y compuestos Todo número natural mayor que 1 o es primo o es compuesto. Un número primo es un número que es el producto solamente de 1 y sí mismo. – Ejemplo: 2 = 2 × 1 – Ejemplo: 5 = 5 × 1 – Ejemplo: 7 = 7 × 1 Los primeros 12 primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 y 37 Números primos y compuestos Un número compuesto es un número natural mayor que uno que tiene más de dos factores. – Ejemplo: 6 = 2 × 3, 6 x 1 – Ejemplo: 8 = 2 × 4, 8 x 1 Nota: El número 1 tiene un solo factor positivo, por lo tanto ni es primo ni es compuesto. Factorización prima Teorema de factorización única: Todo número compuesto se puede expresar como un producto de números primos de una forma única, sin tomar en cuenta el orden de los factores. 72 = 36 × 2 De éstos, sólo 2 es un factor primo. 72 = 6 x 6 × 2 De éstos, sólo 2 es un factor primo. 72 = 3 × 2 × 3 × 2 × 2 factorizacion prima Factorización prima La factorizacion prima se puede escribir usando exponentes. 72 = 3 × 2 × 3 × 2 × 2 Primero, ordenamos los factores 72 = 3 × 3× 2 × 2 × 2 Luego, usamos exponenciación para representar la multiplicación repetida. 72 = 32 × 23 factorizacion prima en notación exponencial 1-6 Árbol de factores Un árbol de factores es un diagrama que ayuda a determinar la factorizacón prima del un número. 1-6 Práctica Construya un árbol de factores para determinar la factorizacón prima del cada número. 84 120 Divisor Si a y b son números cardinales y b 0, se dice que a es divisible por b, o b divide a si y sólo si el residuo es 0 cuando a es dividido por b. Ejemplo: 132 = 12 x 11 implica que 132 12 = 11 R 0 Por lo tanto, 12 es un factor o divisor de 132 y 11 es un factor o divisor de 132 . Ejercicios 1. La factorización prima de un número es 2 x 3 x 5. ¿A qué número le corresponde esta factorización? 2. Si dividimos 98 entre 7 el cociente es _____ y el residuo es _____. Por lo tanto, 7 es / no es un factor o divisor de 98. 3. El conjunto de los divisores de 54 es: Divisibilidad El símbolo | , se lee “divide a”. Ejemplo: Si escribimos 4|12 podemos leerlo “cuatro divide a doce”. Esto indica que al dividir 12 entre 4 el residuo es 0 y el cociente es un número natural. • • • • • 4 es factor de 12 4 es divisor de 12 12 es divisible en 4 4 divide al 12 12 es un múltiplo de 4 Divisibilidad - Ejemplos 1. No se debe confundir el símbolo |, con el símbolo / que se lee “dividido entre”. 2. Al realizar la división 24/6 el cociente es 4 y se obtiene un residuo 0. – Como el cociente es natural y el residuo es 0, podemos escribir 6|24. 3. Al realizar la división 23/4 se obtiene cociente 5 y residuo 3. – El cociente es natural pero el residuo NO es 0. Entonces, es FALSO escribir 4|23. Pruebas de divisibilidad Nombrar los divisores de los siguientes números: 56: 116: 945: 1440: Ejemplo El númber 57,729,364,580 tiene demasiados dígitos para la mayoría de las calculadoras. Determine si es divisible por los siguientes: a. 2 Si b. 3 No c. 5 Si d. 6 No e. 8 No f. No 9 g. 10 Si Copyright © 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc. Propiedades de la División Para cualquier número natural a, b, n y d, d ≠ 0, si d | a, entonces d |(n a). En palabras, si d es un divisor de un número natural a, es divisor de cualquier múltiplo de a. Si d | a, entonces el algoritmo de división asegura que existe un número natural m, tal que 𝑎 = 𝑑 ∙ 𝑚. Entonces, 𝑛 ∙ 𝑎 = 𝑛 ∙ 𝑑 ∙ 𝑚 = 𝑑 ∙ 𝑛 ∙ 𝑚. Como n y m son naturales, 𝑛 ∙ 𝑚 es natural y por definición de divisibilidad, d |(n a). Copyright © 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc. Propiedades de la División Para cualquier número natural a, b, n y d, b. Si d | a, y d | b, entonces d | (a + b). Si d | a y d | b entonces el algoritmo de división asegura que existen números naturales m y n, tal que 𝑎 =𝑑∙𝑚yb=𝑑∙𝑛. Entonces, 𝑎 + 𝑏 = 𝑑 ∙ 𝑛 + 𝑑 ∙ 𝑚 = 𝑑(𝑛 + 𝑚) Por definición de divisibilidad, d |(a + b). Por un argumento similar, c. Si d | a, y d | b, entonces d | (a − b). Copyright © 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc. Ejemplo Clasificar cada uno de los siguientes enunciados como cierto o falso, x, y, y z son cardinales. a. Si 3 | x & 3 | y, entonces 3 | xy. Cierto b. Si 3 | (x + y), entonces 3 | x y 3 | y. Falso Falso Copyright © 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc. Número de divisores Si s son primos distintos y 𝑛1, 𝑛2, 𝑛3, . . ., 𝑛𝑘 son naturales, entonces el producto tiene (𝑛1 + 1)(𝑛2 + 1) ∙ . . . ∙ (𝑛𝑘 + 1) divisores. Ejemplo: Determine la cantidad de divisores que tiene 72 = 23 ∙ 32 . Según el teorema, = 23 ∙ 32 4 × 3 = 12 divisores. tiene (3 + 1)(2 + 1) = Número de divisores • Ejemplo: Determine la cantidad de divisores que tiene 100,000 100,000 = 105 = (2 ∙ 5)5 = 25 55 Según el teorema, 25 55 , tiene (5 + 1)(5 + 1) = 6 × 6 = 36 divisores. Determinar si un número es primo Sea n un número natural, n > 1. Si n NO es divisible entre ningún número primo, p, tal que p2 ≤ n, entonces n es primo. Ejemplo: • Determine si 103 es compuesto o primo. • Debemos dividir 103 entre números primos cuyos cuadrados sean menor o igual a 103. • Como 112 = 121 y 121 103, entonces debemos dividir 103 por 2, 3, 5 y 7 para determinar si es primo o no. 103÷ 2 = 51 𝑅 1 103÷ 5 = 20 𝑅 3 103 es primo. 103÷ 3 = 34 𝑅 1 103÷ 7 = 14 𝑅 5