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Con su estudiante, encuentre gráficos y
estadísticas resumidas en periódicos y
revistas. Hable sobre los mensajes
expresados en estos gráficos y análisis de
datos. Pídale a su estudiante que escriba
durante 10 días la cantidad de minutos que
pasa cada día en actividades no relacionadas
con la escuela (tales como ver televisión o
escuchar música). Juntos hagan un diagrama
de líneas y bloques doble y comparen cómo
su estudiante está pasando su tiempo libre.
Use los datos recolectados sobre las actividades de tiempo libre para hacer un gráfico
de dispersión que conteste a la pregunta: “¿El
tiempo invertido en la actividad 1 depende del
tiempo invertido en la actividad 2?”
Terminología:
Diagrama de líneas y bloques: Un
diagrama que resume datos usando la
mediana, cuartiles superior e inferior y
valores extremos.
Censo: Grupo de datos de cada miembro de una población.
Resumen de cinco números: Mínimo,
cuartil inferior, mediana, cuartil superior,
máximo de un conjunto de datos.
Rango intercuartil: La diferencia entre el
primer y el tercer cuartil.
Medidas de centro: Valores numéricos
usados para describir la agrupación de
datos en un conjunto. Media, mediana, y
moda son medidas de centro comunes.
Medidas de variación: Valores numéricos usados para describir la extensión o
dispersión de los datos en un conjunto.
Rango y rango intercuartil son medidas
comunes.
Dato aberrante: Un valor que está muy
lejos de la mayoría de los valores en un
conjunto de datos.
Parámetro: Una característica medida
de una población.
Cuartiles: Números que dividen los
datos en cuartos cuando los datos en un
conjunto están en orden.
Muestra: Una parte seleccionada de
una población.
Diagrama de dispersión: Un gráfico de
un conjunto de pares ordenados.
Estadística: Una característica medida
de una muestra.
Archivos Relacionados:
www.ceismc.gatech.edu/csi
Manejando la Información
Los estudiantes:
•
•
•
•
•
•
Séptimo Grado 1 de 7
Formularán preguntas respondidas por datos y recolectarán datos de una muestra y de
una población para responder las preguntas
Mostrarán datos en los gráficos apropiados, incluyendo diagramas de líneas y bloques y
diagramas de dispersión
Analizarán la información usando medidas de centro y medidas de variación
Describirán cómo un cambio en una variable afecta otra variable
Hablarán de cómo el tamaño de una muestra afecta las estadísticas de la muestra
Compararán conjuntos de datos usando gráficos y estadísticas
Casos del salón de clase:
1. La siguiente lista muestra qué tan viejos son los carros (en años) en el estacionamiento
de los profesores y los empleados:
4, 9, 9, 8, 7, 1, 5, 4, 4, 4, 7, 6, 7, 23. Encuentre el resumen de 5-números y construya un
diagrama de líneas y bloques. Identifique al menos una característica interesante.
Caso Cerrado - Evidencia:
Resumen de 5-Numeros
Mínimo
Cuartil inferior
Mediana
Cuartil superior
Máximo
1
4
6,5
8
23
2 4
6 8
23
75% de los carros tienen 8 años o menos. Un carro,
probablemente un clásico, es un dato aberrante con 23 años.
2. ¿Quién bebe más sodas: los estudiantes de séptimo grado o sus padres? Haga una encuesta
para recolectar datos y responder esta pregunta, muestre los datos apropiadamente, y analice los
resultados para responder la pregunta.
Caso Cerrado - Evidencia:
S
Yo entrevisté a 24 estudiantes de séptimo grado y a
uno de sus padres. Me di cuenta que los estudiantes
P
de séptimo grado tomaban más sodas al día que sus
padres. La media de sodas para los estudiantes de
séptimo grado fue 2 comparado con 1,46 sodas al día
que tomaban sus padres. Como se muestra en el dia1
2
3
4
5
grama de líneas y bloques a la derecha, el mero mayor
de sodas de los estudiantes fue 5 pero el número mayor
Latas
de
Soda
Cans of Soda
de los padres fue solo 4. El número menor para ambos
grupos fue 0, pero 29% de los padres respondieron “0”
(es decir, ellos no tomaban sodas). También para los
padres la mediana fue solo 1, lo que significa que el
50% de mi muestra tomaba una soda o menos al día.
Para los estudiantes la mediana fue 2, así que el 50%
de los estudiantes que entrevisté tomaba 2 sodas o
menos al día y el 50% tomaba 2 o más.
En el gráfico de la izquierda, yo coloqué las respuestas de los
padres en el eje horizontal y las respuestas de los estudiantes
en el eje vertical porque quería ver si el número de sodas que
los estudiantes tomaban dependía del número de sodas que
tomaban los padres.
Debido a que los puntos casi que marcan una línea, creo que
mientras más sodas tomen los padres más sodas tomarán sus
hijos. Parece existir una asociación positiva.
Respuestas de los Estudiantes
Investigaciones Adicionales:
Kathy Cox, State Superintendent of Schools
Respuestas de los Padres
3. Abby, Ben, y Carlos hicieron la encuesta de las sodas mencionada anteriormente. Abby le
preguntó a 12 personas en el bus camino a casa. Ben entrevistó a 35 personas en el centro
comercial. Y Carlos llamó a 65 personas por teléfono. Explique cómo el tamaño de las diferentes muestras y las técnicas de la entrevista podrían afectar los resultados.
Caso Cerrado - Evidencia:
Abby solo entrevistó a 12 personas. Su muestra es pequeña y proviene de un grupo limitado.
Puede que no refleje con precisión las características reales de la población. Ben entrevistó
a más personas, pero solo a aquellos que pudieron llegar al centro comercial. La muestra de
Ben puede que no represente a la gente que compra por Internet. Carlos entrevistó a una
muestra relativamente grande y por eso debería poder evitar un impacto de comportamientos
inusuales. La mayoría de la gente en los Estados Unidos tiene teléfono así que la muestra
de Carlos permitiría que todos los miembros de la población estén representados. Si él seleccionó los números de teléfono al azar, no debería haber sesgo en la muestra. Yo creo que
la muestra de Carlos será una representación adecuada de la población de los estudiantes
de séptimo grado y sus padres.a
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Investigaciones Adicionales:
Usando información del libro de bebé de su
estudiante, trabaje con ella para hacer un gráfico
de dispersión de su altura a través del tiempo.
¿Cuándo creció más rápido? ¿Cómo luciría
el gráfico si no hubiera habido crecimiento en
un período de tiempo en particular? ¿Podría el
gráfico disminuir? ¿Qué querra decir?
Busque tablas y gráficos de dispersión en
periódicos y revistas. Con su estudiante, identifique las variables. ¿Cuál es independiente?
¿Cómo lo sabe? Explique cómo se relacionan
las variables. Hable acerca de lo que muestra
el gráfico. ¿Podría una tabla proveer la misma
información?
Identifique relaciones entre cantidades cambiantes en las experencias diarias y explique
cuál cantidad depende de la otra. Por ejemplo,
considere la temperatura y la hora del dia, las
pulgadas de lluvia y la altura de la grama, el
precio de ir a cine y el número de personas
que asiste. ¿Es probable que las relaciones
sean lineales (que tengan una tasa constante
de cambio)? ¿Están aumentando (cuando una
aumenta aumenta la otra)?
Usando los resultados de los partidos de fútbol
Americano, rete a su estudiante a que escriba
expresiones algebráicas que pudieran producir
esos resultados. Para un resultado de 28, un
equipo pudo haber hecho 4t + 4p (4 touchdowns
y 4 puntos después) o 2t + 2p + 4f + 1s donde f
representa un gol y s significa seguridad.
Terminología:
Expresión algebráica: Frase matemática
que involucra al menos una variable.
Variable dependiente: La cantidad que se
mide o se cuenta y cuyo valor se determina
por la variable independiente.
Ecuación: Una oración matemática que
muestra que dos expresiones representan el
mismo valor.
Kathy Cox, State Superintendent of Schools
Patrones y Relaciones:
Los estudiantes:
•
•
•
•
•
•
Séptimo grado 2 de 7
Recolectarán, organizarán y pondrán en un gráfico datos que relacionen dos variables.
Analizarán gráficos y tablas para determinar relaciones entre cantidades
Representarán relaciones con descripciones, tablas, gráficos, y ecuaciones.
Traducirán frases verbales a expresiones algebráicas y simplificarán usando propiedades de
números reales.
Usarán propiedades de igualdad en suma y multiplicación para resolver ecuaciones lineales.
Resolverán problemas definiendo una variable, escribiendo y resolviendo una ecuación, e
interpretando la solución en el contexto del problema.
Casos del salón de clase:
1. La siguiente tabla muestra los pesos de plástico (en libras) botado a la basura por una
muestra de los habitantes de las casas, así como el número de personas que residen en las
casas. Haga un gráfico de dispersión y hable sobre la relación entre las variables.
Plastico (lb)
1,27
1,41
2,19
2,83
2,19
1,81
0,85
3,05
Residentes
2
3
3
6
4
2
1
5
Caso Cerrado - Evidencia:
Plastic v.Household size
Yo pienso que la cantidad de plástico botado depende del
4
número de personas en la casa. Así que las libras de plástico
serán la variable dependiente y el número de personas en la
Plastic
(lbs)
casa será la variable independiente. El número de personas
que residen en la casa será mi eje horizontal y el plástico (libras) 2
será el eje vertical. Debido a que los valores de mi información
son pequeños, yo haré mi escala numérica en incrementos de
1. Debido a que el número de las personas que residen en la
casa es medido en números enteros (no tenemos 2,3 casas) la
información es discreta y no conectará los puntos. Cuando miro
5
el gráfico veo que los puntos suben de izquierda a derecha; esto
Household size
indica que la relación entre el número de personas que viven en
la casa y las libras de plástico botado aumentan. Más gente bota
más plástico. Los puntos parecen formar una línea. Así que la
relación es lineal. Eso quiere decir que la cantidad de plástico
botado aumenta casi lo mismo cada vez que hay una persona
adicional habitando en la casa. La relación entre los números de
personas que habitan las casas y las libras de plástico botado es
lineal y se incrementa.a
2. Esta tiene cuatro primos. a representa la edad de Esta. Represente las edades de sus
primos con expresiones algebráicas en términos
de la edad de Esta. Si Esta tiene 10 años ¿cuántos años tienen sus primos?
A. Paul tiene cuatro años más que el doble de la edad de Esta.
B. Sara es dos años menor que Paul.
C. Mona tiene la mitad de la edad de Sara.
D. La edad de Luis es 100 años menos que el cuadrado de la edad de Mona.
Caso Cerrado - Evidencia:
Edades de los Primos
Paul: 2a + 4
2•10 + 4 = 20 + 4 = 24
Variable independiente: La cantidad que se
mide o se cuenta y cuyo valor es asignado.
Sara: Paul -2 = (2a + 4) - 2 = 2a + 4 -2 =2a + 2
2•10 + 2 = 22
Ecuación lineal: Una ecuación en la cual
todas las variables tienen exponentes de uno
y ninguna de las variables es multiplicada por
otras variables.
Mona: 1/2 (Sara) =1/2 ( 2a + 2) = a + 1
10 + 1 = 11
Luis: (Mona)2 -100 = (a + 1)2 -100
(10 + 1)2 - 100 = 112 - 100 = 121 - 100 = 21
Número racional: Un número que puede ser
escrito como a/b donde a y b son números
enteros pero b no es igual a 0.
Números reales: Todos los números
racionales e irracionales.
Variable: Un símbolo (a menudo una letra)
que representa un número.
Archivos Relacionados:
www.ceismc.gatech.edu/csi
3. Kiki quiere comprar un reproductor de música (MP3). Ella ha ahorrado $22 hasta ahora. Ella gana
$20 a la semana como tutora de sus vecinos más jovenes. Ella ahorra $14 de sus ganancias cada
semana. Si el MP3 cuesta $158,00, ¿cuándo lo podrá comprar Kiki? (Demuestre cómo lo sabe).
Caso Cerrado - Evidencia:
$ que ella tiene + $ que ella ha ahorrado por semana x número de semanas > costo del MP3.
Yo sé los valores de todo en la oración anterior excepto el número de semanas.
Así que w = número de semanas. Entonces yo substituyo para obtener:
22 + 14 • w > 158
Yo empiezo a resolver restando
-22
-22
14w > 136
Al final yo divido entre 14
w > 9,71 ≈ 10
Kiki tendrá suficiente dinero para comprar el MP3 en 10 semanas.
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.6
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Investigaciones Adicionales:
Ayúdele a su estudiante a anotar los cambios
diarios en dos o tres acciones de la bolsa de
valores.
Juegue juegos de mesa y de cartas con
números positivos y negativos tales como
Monopolio, Integer War y Spades.
Al mirar juegos de fútbol Americano guíe a
su estudiante a anotar las yardas ganadas y
perdidas.
Hable sobre las aplicaciones en la vida real de
números positivos y negativos tales como la
temperatura, la chequera, y la altura sobre y
bajo el nivel del mar.
Terminología
Valor absoluto: La distancia entre un
número y cero en la recta númerica.
|-8| =|8| = 8
Inverso aditivo: El valor sumado a un
número para que el resultado sea cero.
Un número y su inverso aditivo forman
un par cero.
Razonamiento Racional
Los estudiantes:
Compararán y organizarán números positivos y negativos, los colocarán en la recta numérica,
los colocarán en el plano de coordenadas, y usarán valor absoluto para explorar la relación
entre un número y su inverso aditivo
• Investigarán números positivos y negativos en contextos reales y desarrollarán modelos y
algoritmos para realizar operaciones con ellos
• Aplicarán propiedades de números reales y el orden de las operaciones para simplificar y
evaluar expresiones algebráicas involucrando números racionales positivos y negativos
• Resolverán problemas al escribir y resolver ecuaciones e interpretar sus soluciones.
Casos del salón de clase:
1. En el juego de fútbol de la semana pasada los Warriors perdieron el mismo número de
yardas en cada una de tres jugadas consecutivas. En el primer “down” el balón estaba en la
línea de la yarda 34. En el cuarto “down” el balón estaba en la línea de la yarda 22. Dibuje
un modelo para representar este problema y utilícelo para averiguar cuántas yardas se perdieron por cada “down”
Caso Cerrado - Evidencia:
Linea de la yarda 34
Yardas perdidas
Linea de la yarda 22
Yardas perdidas
Enteros: El conjunto de números enteros y
sus opuestos {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
Números negativos: El conjunto de
números menores que 0.
Números opuestos: Dos números
diferentes que tienen el mismo valor
absoluto -5 y 5
Yardas perdidas
Yardas perdidas
Entonces
Números naturales: El conjunto de
números {1, 2, 3, 4, …}
Séptimo Grado 3 de 7
•
Propiedad distributiva: La suma de dos
sumandos multiplicados por un número
serán la suma del producto de cada
sumando y el número.
a(b+c) = ab + ac
Inverso multiplicativo: El valor multiplicado por un número que da un producto de
1. Los recíprocos son inversos multiplicativos. Los inversos multiplicativos siempre
tienen el mismo signo.
Kathy Cox, State Superintendent of Schools
12 yardas
Yardas perdidas
Yardas perdidas
12÷3 = 4 yardas perdidas en cada “down”
y = Las yardas perdidas en cada “down.”
34 + 3y = 22
-34
-34
3y = -12
3
3 y = -4
Los Warriors perdieron 4 yardas en cada “down”.
Caso Cerrado - Evidencia:
2
2
1
3
1
2.2.2.
Graph
these
numbers
on
auna
number
lineline
andand
answer
thethe
questions:
, -0.6,
-1 -1, 1.5,
0, -1
Grafique
estos
números
enon
numérica
y responda
las
preguntas:
Graph
these
numbers
a recta
number
answer
questions:
, -0.6,
, 1.5,
0, -1.
3
2
5
3
3 3
2
3
5
.
Which
number
hashas
greater
absolute
value:
1.51.5
or -1
do do
you
know?
A.A. ¿Qué
número
tiene
elthe
valor
absoluto
más grande:
lo sabe?
A.
Which
number
the
greater
absolute
value:
or -1?? How
?¿Cómo
How
you
know?
5 5
B. B.
Which
of the
fractions
andand
mixed
numbers
represent
terminating
decimals?
do do
youyou
know?
Which
of the
fractions
mixed
numbers
represent
terminating
decimals?How
How
know?
B. ¿Cuál de las fracciones y números mixtos representan decimales finitos?
-1 1 /2
_
-1 3 /5
_
_- 2
- 0 .6
_
-1
_
0
_
2 /3
_
1
_
1 .5
_
2
_
Caso Cerrado – Evidencia:
3
3
3
1.5 = 1.5 Debido
Since a
1.6
is farther
the right
A. -1 =1 = 1.6
number
than 1.5, -1
> 1.5 .
A.
que
1,6 estátomás
haciaon
la the
derecha
en line
la recta
5
5
5
Números positivos: El conjunto de
3
numérica
que 1.5, -1 > 1.5 .
1.5
= 1.5 Since
1.6 is que
farther
números
mayores
0. to the right on the number
line than
Cuadrante: Una de las cuatro secciones
en la cuales el plano de coordenadas se
divide por los ejes x y y.
5
1
3
Since the
denominators
of thesede
mixed
numbers
are
factors
100 (or de
a power
Debido
a que
los denominadores
estos
números
mixtos
sonoffactores
100 (oof 10),
the
numbers
terminating
-1.5decimales
and –1.6finitos:
respectively.
unamixed
potencia
de 10),represent
los númerous
mixtosdecimals:
representan
-1,5 y -1,6 respectivamente.
B.
B. -1 2 and -1
5
Números racionales: El conjunto de
números que puede ser escritos a/b donde
a y b son enteros y b≠0.
3. Evalúe las siguientes expresiones cuando a = -3, b = 5, y c = -4.
Números cardinales: El conjunto de
números {0, 1, 2, 3, 4, …}
Caso Cerrado - Evidencia:
A. -3 -4 -2 . 5 = 2
Par cero: Un número y su opuesto. La
suma de un par cero es 0. -7 + 7 = 0
Archivos Relacionados:
www.ceismc.gatech.edu/csi
A. ac - 2b
.
B. 4a2 - 1
C. 2(b - c)-6a
D. 3b + (7- a)2-5b
. (-3)2 -1=35
C. 2(5-(-4)) - 6 . -3=36
D. 3 . 5 + (7 - (-3))2 - 5 . 5 = 90
B. 4
Book’em:
The Number Devil - A Mathematical Adventure por Hans Magnus Enzensberger
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Investigaciones Adicionales:
Busque patrones en telas, papel de pared,
cobertura de pisos, arquitectura, etc. en los
cuales una forma básica se repite a través de
giros, reflexiones o deslizamientos. Pídale a
su estudiante que identifique estas transformaciones.
Pídale a su estudiante que haga diseños que
usen reflexiones, giros, o deslizamientos de
una forma básica y que le explique cómo hizo
el diseño.
Pídale a su estudiante que cree una tarjeta
usando solamente un compás y una regla
(sugerencia: considere copos de nieve; son
formas hexagonales.)
Observe mientras que su estudiante hace
diferentes polígonos regulares con su compás
y su regla.
Reflexión, Deslizamiento y Giro
Los estudiantes:
Séptimo Grado 4 de 7
• Analizarán las propiedaddes de reflexiones (inversiones), traslaciones (deslizamiento), y
rotaciones (giros).
• Construirán reflexiones, traslaciones y rotaciones usando geometría coordinada.
• Explorarán relaciones de reflexiones, traslaciones, y rotaciones usando tecnología
apropiada y manipuladores.
Casos del salón de clase:
1.
a. En una cuadrícula trace el triángulo con los vértices A (-3, 3), B (-2, 4), y C (-1, 1).
Extienda BA a M (-4, 2).
b. Deslice la figura para crear su imagen en las coordenadas (x+4, y-2).
c. Refleje la figura usando el eje y como la línea de reflexión.
Nombre los vértices y escriba las coordenadas.
d. Rote la figura 90° en sentido de las manecillas del reloj alrededor del origen y
nombre los vértices. Escriba las coordenadas.
Caso Cerrado - Evidencia:
Archivos Relacionados:
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B
_
_
preimage
Angulo de rotación: La cantidad de rotación alrededor de un punto fijo.
Bisector: Un bisector divide un segmento
o ángulo en dos partes iguales.
Angulos y lados correspondientes:
_
Angulos y lados de figuras que
tienen las _B
_
preimage
mismas posiciones relativas en las figuras.
A
_
_
Simétria lineal: Una propiedad
de una
figura que permite que la figura sea
M
_
exactamente igual cuando se dobla
por la
mitad.
Simétria de punto: Una propiedad de una
figura que permite que la figura se alinie
consigo misma después de que ha sido
-5
_
rotada alrededor de un punto
fijo.
Reflexión: Una transformación que invierte
una figura sobre una línea de reflexión.
Línea de reflexión: Una línea que actúa
_ un espejo o bisector perpendicular
como
_
de manera que los puntos correspondientes estén a la misma distancia del espejo.
Rotación: Una transformación que “gira”
una figura alrededor de un punto fijo a
través de un ángulo dado y una dirección
dada.
Traslación: Una transformación que
desliza cada punto de una figura la misma
distancia en la misma dirección.
Transformación: La representación o
movimiento de todos los puntos de la figura
en un plano de acuerdo a una operación
común.
__
D
(_
1.00_
1.00_
)
:_
,_
E_
_
(_
2.00_
2.00_
)
:_
,_
F_
_
(_
3.00_
-1.00_
)
:_
,_
_4
Terminología:
Congruente: Objetos que tienen el mismo
tamaño, forma y medida.
A~
= B denota que A es congruente a B.
Kathy Cox, State Superintendent of Schools
_4
A
_
E
_
_2
M
_
D
_
_
_2
M'
_
_-5
_-5
_5
C
_
_
image b
b. traslación
derecha_5 4 unidades, hacia abajo _10
2 unidades
_-2
a. preimagen B
_
_
preimage
H
_
4
_
_
image
d
_-4
M
_
2
_
M'
_
_4
_-2
A_
_
G
_10
F
_
M'
_
J
_
K
_
_2
_-4
J
_
C
_
_
image c
__
G
(_
3.00_
3.00_
)
:_
,_
H_
_
(_
2.00_
4.00_
) _-6
:_
,_
J_
_
(_
1.00_
1.00_
)
:_
,_
_-5
c. Reflexión sobre el eje y
-2
_
_-8
L
_
C
_
_-6
C
J_
_
(_
3 .00 _
3.00 _
)
:_
,_
__
K
(_
4 .00 _
2 .00 _
)
:_
,_
L:__
_
(_
1 .00 _
1 .00 _
)
,_
_5
_10
_10
d. Rotación al rededor del origen
_-2
2. Muchas construcciones se basan en triángulos congruentes.
Identifique los triángulos congruentes en la figura de la derecha
y diga cómo se usan para apoyar la construcción geométrica.
-4
_
_5
A
B
D
Perpendicular bisector of AB
Caso Cerrado - Evidencia:
ABC y BDA son congruentes y ACD y BDC son congruentes.
Debido a que los triángulos son congruentes, todas las partes
~
-6
_
correspondientes son congruentes: _1 ~
= _2 y _3= _4.
_-4
C
A
_-6
3
1
2
O
4
D
B
Entonces _AOC debe ser congruente con _AOD porque son los
terceros ángulos en los triángulos congruentes DOA y COA.
Debido a que estos ángulos forman una línea, la suma de sus medidas es 180 grados, y debido a que son congruentes, cada ángulo
debe ser 90 grados. Esto significa que AB_CD. COA~
= COB.
Así que AO ~
= BO. Esto significa que CD biseca AB, es decir lo corta
en dos segmentos iguales.
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Investigaciones Adicionales:
Cuando usted saque copias en una papelería,
mire la función de agrandamiento/reducción.
Pídale a su estudiante que explique cómo
debería programarse la fotocopiadora para
agrandar un documento y para reducirlo.
Busque en su cocina objetos que sean similares
tales como platos. Pídale a su estudiante que
determine el factor de escala relacionando dos
de estos objetos y que determine la razón de
sus áreas.
Ayúdele a su estudiante a medir el largo y el
ancho de un objeto grande como por ejemplo
un carro. Pídale que determine las dimensiones
de un modelo de ese objeto usando un factor de
escala de 1:64.
Cuando usted y su estudiante lean el periódico,
mida el largo de la cabeza de alguien en
una foto. Mida el largo de su propia cabeza.
¿Qué factor de escala podría haber usado el
periódico? ¿Qué tan larga sería la cabeza de su
mascota si estuviera en la foto?
Encuentre la escala localizada en la leyenda
de un mapa de los Estados Unidos. Calcule la
distancia desde su casa hasta Washington D.C.
Con su estudiante vea la película Honey I
Shrunk the Kids. Hable con su estudiante sobre
el factor de escala usado. ¿Cómo se afectaría
el área de la superficie (o piel) de los niños si se
encogiera por este factor de escala? ¿Cómo se
afectaría su volumen o peso?
Terminología:
Figuras congruentes: Figuras que tienen
el mismo tamaño y la misma forma.
Dilatación: Transformación que cambia el
tamaño de una figura, pero no su forma.
Proporción: Una equación que afirma que
dos razones son iguales.
Razón: Comparación de dos cantidades
por división. Una razón puede escribirse
r/s, r.s, o r a s.
Factor de escala: La razón de dos longitudes de cualquier lado correspondiente
de dos figuras similares.
Figuras similares: Figuras que tienen la
misma forma pero no necesariamente el
mismo tamaño.
Archivos Relacionados:
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Kathy Cox, State Superintendent of Schools
Manteniéndose en Forma
Los estudiantes:
Séptimo Grado 5 de 7
•
•
Agrandarán o reducirán formas geométricas usando un factor de escala dado
Dada una figura en el plano de coordenadas, determinarán las coordenadas que resulten de una dilatación
• Compararán la similitud de figuras geométricas y describirán las similitudes haciendo
una lista de las partes correspondientes
• Describirán las relaciones entre los factores de escala, las razones de longitud, y las
razones de área de figuras geométricas similares
• Usarán factores de escala, razones de longitud, y razones de área para determinar las
longitudes de los lados y las áreas de figuras geométricas similares
Casos del salón de clase:
n'' = 1.50 cm
1. El siguiente diagrama muestra dos polígonos similares.
8
Figure B
6
4
Figure A
2
5
10
15
20
A. Escriba una regla para encontrar la coordenada de un punto en la Figura B desde un punto
correspondiente en la Figura A.
B. Escriba una regla para encontrar la coordenada de un punto en la Figura A desde un punto
correspondiente en la Figura B.
C. ¿Cuál es el factor de escala de la Figura A a la Figura B? ¿Cómo se relacionan los perímetros y las áreas?
Caso Cerrado - Evidencia:
A. (x, y) —> (2x, 2y)
B. (x, y) —> (0,5x, 0,5y)
C. El factor de escala de la Figura A a la Figura B es 2 a 1. Los perímetros se relacionan por
el mismo factor de manera que el perímetro de la Figura B es dos veces más largo que el
perímetro de la Figura A. El área de la Figura B es cuatro veces el área de la Figura A porque
las áreas están relacionadas por el cuadrado del factor de escala (2/1)2
2. Su rector quiere colgar un cartel para felicitar al equipo de baloncesto en su temporada. El
dibujo en el cartel es de 8 pulgadas por 15 pulgadas. Si el ancho del cartel va a ser de tres
pies, ¿qué tan largo debería ser el cartel?
Caso Cerrado - Evidencia:
3 pies = 36 pulgadas. Debido a que el cartel y el dibujo serán similares, sus lados
deben ser proporcionales.
Largo = 15 pulgadas = ___x___
Ancho
8 pulgadas
36 pulgadas
Yo puedo resolver la ecuación multiplicando ambos lados de la ecuación por 36.
36• 15 = 36 • x 8
36
El cartel debería ser de 67,5 pulgadas de largo.
67,5 = x
3. La figura de la derecha es un vitral compuesto de 8 triángulos
congruentes. ¿Cuál es la razón del perímetro del área sombreada al
perímetro del vitral? ¿Cuál es la razón de sus áreas?
Caso Cerrado – Evidencia:
El perímetro del área sombreada es 4 unidades. El vitral tiene un perímetro de 8 unidades, así que la razón es 4:8 o 1:2. Debido a que el área
sombreada está compuesta de dos triángulos congruentes y el vitral está
compuesto de ocho triángulos, la razón de sus áreas es 2:8 o 1:4.
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Investigaciones Adicionales:
Busque relaciones directas y hable de ellas
con su estudiante. Por ejemplo, si a usted
le pagan por hora, ¿cómo cambiarán sus
entradas si cambia el número de horas que
usted trabaja?
Examine cuentas de ahorro con su estudiante.
¿Cómo cambia la cantidad de interés ganado
(en un capital dado a una tasa fija) cuando
cambia el tiempo?
Revise con su estudiante la cuenta de su teléfono o de su celular. ¿Cómo cambia la cuenta
cuando se usan minutos adicionales?
Busque relaciones inversas y hable de ellas
con su estudiante. Por ejemplo, en un viaje
¿cómo cambia el tiempo de viaje cuando
usted cambia su velocidad?
En un viaje en carro, seleccione un objeto distante como por ejemplo un poste de teléfono.
Pídale a su estudiante que note cómo la altura
del objeto parece cambiar cuando su carro se
acerca al objeto. Hable de la relación entre la
distancia y la altura aparente.
Terminología:
Constante de proporcionalidad:
Un valor, k, que no cambia; indica
la relación entre las variables. En
una proporción directa, k = la razón
de las variables. En una proporción
inversa, k = el producto de las
variables.
Variación directa: Una relación entre
2 variables en la cual una es la
constante multiple de la otra. x y y
son directamente proporcionales si
y=kx donde k denota una constante
de proporcionalidad y k≠0. La
variación directa a veces se llama
proporción directa.
Variación inversa: Una relación
entre 2 variables en la cual el
producto es una constante. x y y son
inversamente proporcionales, si xy=k
donde k denota una constante. La
variación inversa a veces se llama
variación indirecta o proporción
indirecta.
Book’em:
Capítulo 5 en The Man Who Counted
por Malba Tahan
Archivos Relacionados:
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Valores que Varían
Los estudiantes:
Séptimo Grado 6 de 7
•
•
Recolectarán, organizarán y pondrán en un gráfico datos que relacionen dos variables
Dibujarán y usarán manipulativas para demostrar una comprensión conceptual
de proporción
• Resolverán problemas usando racionamiento proporcional
• Reconocerán y representarán proporciones directas e inversas en diferentes formas
• Determinarán e interpretarán la constante de proporcionalidad
• Explicarán cómo un cambio en una variable afecta otra
Casos del salón de clase:
1. Jean está viajando y anotando la distancia y el tiempo como se muestra .
Tiempo (hrs)
0,75
1,5
2
3
3,5
250
42
84
112
168
196
Coloque la información en un gráfico y describa la relación entre
distancia y tiempo. Si la relación es proporcional, determine la
constante de proporcionalidad. Escriba una ecuación para
representar la relación; úsela para predecir qué tan lejos ella irá en 8
horas.
Caso Cerrado - Evidencia:
La distancia y el tiempo tienen una relación directamente proporcional.
Cuando aumenta el tiempo la distancia aumenta por un múltiplo de
56. La constante de proporcionalidad es distancia/tiempo o 56 millas
por hora.
La relación puede representarse con D = 56t
Donde D =distancia viajada y t = tiempo viajado.
Entonces D = 56 * 8 = 448 millas viajadas en 8 horas.
Distancia (millas)
Distancia
Distance
(mi.)
200
150
100
50
Time
Tiempo(hr.)
(hr. )
5
2. Tony acaba de hornear 24 galletas las cuales él planea dárselas a sus amigos. El puede tener
1,2,3, o más amigos. Haga una tabla para mostrar cuántas galletas obtendrá cada amigo si ellos
comparten por partes iguales. Coloque la información en su tabla y describa su gráfico. Si la
relación entre el número de amigos y el número de galletas es proporcional, determine la
constante de proporcionalidad. Escriba una ecuación para representar la relación y úsela para
predecir cuántas galletas obtendrá cada persona si Tony comparte con 30 amigos.
Caso Cerrado - Evidencia:
No. de amigos
1
2
3
4
6
12
No. de galletas
24
12
8
6
4
2
20
Número
deoflos
Number
Cookies
Cookies
15
El número de amigos y el número de galletas varía
inversamente. Cuando los amigos aumentan, las galletas
por amigo disminuyen. La constante de proporcionalidad 10
es 24. f•c = 24 donde f = no. de amigos y c = no. de galletas
por amigo. Para 30 amigos, 30c = 24 y c = 4/5 galleta.
5
3. Taneisha y Marcus van a tener una fiesta.
A. Taneisha esta haciendo la bebida. Su receta
necesita 3 tazas de jugo de piña por cada 5 tazas
10
20
de ginger ale. ¿Cuántas tazas de cada ingrediente
Número of
deFriends
amigos
Number
necesitará para hacer 120 tazas de la bebida?
B. Cuando Marcus llena el contenedor de la bebida, nota que a medida que llegan más invitados, cada invitado obtiene menos onzas de la bebida. Cuando hay 6 invitados presentes,
una jarra provee 5 onzas de la bebida por cada invitado. Cuando hay 10 invitados presentes,
la jarra provee 3 onzas para cada invitado. ¿Cuántas onzas caben en la jarra?
Caso Cerrado - Evidencia:
La relación entre el jugo de piña y la bebida es una proporción directa como lo es la relación
entre el ginger ale y la bebida. Hay 3 tazas de jugo y 5 tazas de ginger ale por cada 8 tazas
de la bebida.
Jugo = 3 = j Bebida 8 120
ginger ale = 5 = g
bebida
8 120
Taneisha necesita 45 tazas de jugo y 75 tazas de ginger ale. La relación entre los invitados
y las cantidades servidas es inversa. Debido a que 6×5oz = 30oz y 10×3oz = 30oz, 30 es la
constante de proporcionalidad y el total de onzas que caben en la jarra.
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Investigaciones Adicionales:
Invite a su estudiante a que le ayude a hacer
la cena. ¿Qué formas de dos dimesiones
puede él hacer al cortar un pepino, una zanahoria, un pedazo grande de queso y gelatina
de arándano agrio (cranberry)?
Pídale a su estudiante que identifique objetos
tridimensionales (3-D) en el vecindario.
Pregúntele cómo podrían construirse los objetos al amontonar formas de dos dimensiones
(2-D). Entonces hable de cómo sería el corte
transversal si el objeto fuera cortado por un
plano. Por ejemplo, una chimenea puede ser
un prisma rectangular recto. Podría construirse al amontonar rectángulos congruentes.
Cuando la chimenea se corta por el plano del
techo, el corte transversal es un paralelogramo. Piense en el campanario de una iglesia,
un hidrante, y buhardillas.
Juegue una versión avanzada de “I Spy”. Los
objetos espiados deben ser descritos como
figuras planas trasladadas o rotadas a través
del espacio. Por ejemplo, un cesto de basura
puede ser un trapezoide con bases de 8 pulgadas y 12 pulgadas y altura de 14 pulgadas
rotadas alrededor de su línea media.
Terminología:
Corte transversal: Una figura plana
obtenida al cortar un sólido con un plano.
Cilindro: Un objeto tridimensional con dos
bases circulares congruentes paralelas.
Caras laterales de una pirámide: Caras
que se interceptan en el vértice.
Caras laterales de un prisma: Caras que
no son las bases del sólido.
Figura oblicua: Prismas y cilindros con
bases que no están alineadas una directamente encima de la otra. Pirámides y
conos con cúspides que no están alineadas
encima del centro de la base.
Poliedro: Una colección de polígonos
unidos en sus bordes. Cada uno de estos
polígonos se llama “cara”.
Prisma: Un poliedro con dos caras congruentes y paralelas y que las demás caras son
paralelogramos.
Figura recta: Prismas y cilindros con bases
que están alineadas una directamente
encima de la otra. Pirámides y conos en los
cuales la cúspide está en la línea
perpendicular que pasa a través del centro
de la base.
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Cortes y Sombras
Los estudiantes:
•
•
Séptimo Grado 7 de 7
Crearán objetos tridimensionales (3-D) trasladando (moviendo) y/o rotando (volteando) figuras
planas de dos dimensiones
Explorarán cortes transversales de dos dimensiones (2-D) de cilindros, conos, pirámides, y prismas
Casos del salón de clase:
1. Construya un rectángulo de cartón que no sea un cuadrado. Nombre las vértices en orden
A, B, C, D. Recorte el rectángulo y rótelo 360° alrededor del lado AD.
a. ¿Qué forma obtuvo?
b. ¿Cuál es el volumen de la forma?
c. ¿Cuál es el área de la superfice?
Caso Cerrado - Evidencia:
a. La forma que obtengo es un cilindro.
A
D
Tiene dos bases circulares. b. El volumen
A
D
3 cm
dice qué tanto espacio ocupa el cilindro.
Se puede calcular al multiplicar el área de
C
8 cm
B
C
B
una de las bases por la altura.
V =πr2•h ≈ 3.14 •32 • 8 =223.2 cm3.
c. El área de la superficie dice cuántos centímetros cuadrados se necesitarían para cubrir el cilindro. Los extremos de mi cilindro están abiertos asi que su superfice es solamente el lado o área
lateral. La red de un cilíndro es un rectángulo con dimensiones: largo = circunferencia de la base
del cilíndro y ancho = altura del cilíndro. De esta manera, el área lateral = 2πr• h ≈ 2 •3,14 • 3 • 8 =
150,72 cm2.
2. Ponga el rectángulo del caso 1 en una superfice plana y trasládelo vertical o diagonalmente,
pero no horizontalmente.
a. ¿Qué forma obtuvo?
b. ¿Cuál es el volumen de la forma?
c. ¿Cuál es el área de la superficie?
d. ¿Son el volumen y el área de la superficie en este ejemplo iguales a las del caso1?
Por favor explique.
e. ¿Cómo cambiaría el sólido al trasladarse en una dirección diferente?
Caso Cerrado - Evidencia:
G
H
E
F
6 cm
a. Yo formé un prisma rectangular recto. Tiene 6 caras rectangulares.
D
A
Los pares de caras opuestos son rectángulos paralelos y congruentes.
b. Yo trasladé el rectángulo original 6 cm.
C 3 cm
B
8 cm
Mi prisma ocupa lwh = 8•3•6 = 144 cm3.
c. Tendré que cubrir 2 caras que son 3 • 8 cm y 2 caras que son 3•6 cm
y 2 caras que son 6 •8 cm. SA = 2•3 •8 + 2• 3 • 6 + 2 • 6 • 8 = 48 + 36 + 96 = 180cm2.
d. Los volúmenes y las superfices de las áreas no son las mismas. Aunque ambos sólidos empezaron con el mismo rectángulo, las transformaciones han creado diferentes formas y estas formas
tienen diferentes dimensiones que resultan en diferentes volúmenes y áreas de superficie
e. Si yo traslado un rectángulo a través del espacio perpendicular al plano que contiene el rectángulo original, obtendré un prisma rectangular recto. Si traslado el rectángulo en una dirección
que no es perpendicular al plano original, obtendré un prisma rectangular oblicuo. Sus bases son
rectángulos y sus caras laterales son parelelogramos no rectangulares.
3. Haga un cono con plastilina. Use seda dental para hacer cortes.
a. Nombre las formas de 2 dimensiones (2 - D) que usted puede hacer y algunas que no puede
hacer con cortes individuales.
b. Haga un corte paralelo a la base, en la mitad de la distancia que hay entre la base y el vértice.
Compare la forma superior con su cono original.
Caso Cerrado - Evidencia:
a. De un cono, puedo hacer círculos y elipses. No puedo hacer ningún polígono porque los
polígonos tienen lados derechos y los conos son curvos.
b. Mi cono original y la mitad superior de mi corte son conos similares.
El corte transversal es un círculo con un radio de 1/2 del largo del radio de
la base del cono original.
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