Download Álgebra 14‐15 Algoritmo Gauss Hoja de trabajo 1
Document related concepts
Transcript
Álgebra14‐15AlgoritmoGaussHojadetrabajo1 En esta hoja trabajaremos con los conceptos básicos del cálculo matricial: tipos de matrices, operaciones con matrices, determinantes, rangos y sistemas de ecuaciones. 1. Se consideran las siguientes matrices: 4 1 3 1 2 3 1 3 0 1 3 A , B 0 2 0 , C 2 1 3 2 , D 1 1 , E , F 0 2 1 7 2 6 0 0 1 1 4 0 7 3 1 0 2 0 1 1 1.1. Indicar el tamaño (nxm) de cada una de ellas: Tamaño A B C D E F 2x3 3x3 1x4 3x2 2x2 3x3 1.2. Dar el valor de los siguientes elementos de algunas de ellas: a12 a31 c14 c41 d22 e11 f13 3 no existe 2 no existe 1 1 3 1.3. ¿Cuáles de las anteriores matrices son cuadradas? ¿De qué orden es cada una? Son matrices cuadradas B (orden 3), E (orden 2) y F (orden 3). 1.4. ¿Alguna de las anteriores matrices es triangular superior? B y F son matrices triangular superior, pues bajo la diagonal (elementos akk ) todos los elementos son 0. 1 0 0 1.5. ¿Alguna de ellas es la matriz identidad? No. Por ejemplo, la matriz identidad de orden 3 es I 3 0 1 0 0 0 1 1.6. Hallar las siguientes matrices traspuestas: 1 2 t A 3 1 0 7 , 1 0 0 t B 2 2 0 3 0 1 2 1 t C 3 2 , 1.7. Calcular las siguientes sumas y productos: 5 2 1 0 5 B F 0 5 0 ; At D 2 0 2 1 45 0 0 2 7 1 0 0 7 6 21 ; BF 0 1 0 ; E A 14 12 42 0 0 1 E + A = imposible (han de ser de igual tamaño) (la suma de matrices sí es conmutativa) A E = imposible (sólo se pueden multiplicar una matriz de tamaño nxk por otra de tamaño kxm, y el resultado es de tamaño nxm; el producto de matrices no es conmutativo) 1.8. Indicar si alguna de esas matrices es inversa de otra y justificar adecuadamente la respuesta. B F 1 y F B 1 , pues el producto B F I 3 . (La inversa de una matriz A es aquella que verifica AA‐1 = A‐1A = In ). 1 Álgebra14‐15AlgoritmoGaussHojadetrabajo1 1.9. ¿Cuáles de las anteriores matrices no tienen inversa? ¿Por qué? A, C y D no tienen inversa porque no son matrices cuadradas. E no tiene inversa porque su determinante es 0. 1.10. ¿De cuáles de esas matrices se puede calcular el determinante? ¿De cuáles no? ¿Por qué? Hallar su valor en los casos en los que se pueda. Sólo se puede hallar el determinante de matrices cuadradas. En este caso, det(B)=2 , det(E)=0 , det(F)=1/2 . 1.11. ¿De cuáles de esas matrices se puede calcular el rango? ¿De cuáles no? ¿Por qué? Hallar su valor en los casos en los que se pueda. De cualquier matriz se puede hallar el rango. rg(A)=2 , rg(B)=3 , rg(C)=1 , rg(D)=2 , rg(E)=1 , rg(F)=3. 1.12. Dar una definición de determinante para una matriz general AMn(K) y una definición de rango para una matriz general BMnxm(K). (Libro, pg 32): El determinante de una matriz cuadrada A de orden n es el elemento de K, denotado por det(A), obtenido a partir de la expresión det(A) si n 1 a11 n (1) i 1 i 1 ai1 det( Ai ) si n 1 , siendo Ai la matriz que se obtiene suprimiendo la primera columna y la fila i‐ésima de la matriz A. Esta expresión recibe el nombre de desarrollo del determinante por los adjuntos de la primera columna y la forma de calcularlo es recursiva. En particular, para n = 2 el determinante de una matriz genérica es a det 11 a21 a12 a11a22 a21a12 a22 y para n = 3 su expresión coincide con la obtenida mediante la regla de Sarrus, como se ilustra en la figura siguiente: Sumandos con signo + Sumandos con signo Rango de A, y se denota rg (A), al tamaño de la mayor submatriz1 cuadrada de A con determinante no nulo. Por convenio, el rango de la matriz nula de cualquier orden es 0. 1.13. Si A = (F1, F2, ..., Fn) representa una matriz AMn(K) cuyas filas son Fi para i =1, ..., n, indicar si son verdaderas o falsas (V / F) las siguientes propiedades de los determinantes: a) det(At) = det(A). Verdadera b) det(A1) = det(A). Falsa. Se verifica det A det(1 A) 1 c) det(F1, ..., Fi, ..., Fn) = det(F1, ..., Fi, ..., Fn) con K. Verdadera. 1 Denominamos submatriz de otra matriz A a cualquier matriz que se obtiene de suprimir filas y/o columna completas de A. 2 Álgebra14‐15AlgoritmoGaussHojadetrabajo1 d) det(F1, ..., Fi, ..., Fj, ..., Fn) = det(F1, ..., Fj, ..., Fi, ..., Fn). Falso. El determinante cambia de signo si se intercambian filas o columnas. e) Si det(A) = 0 entonces A tiene una fila de ceros. Falso. Ver ejemplo de la matriz E del principio. Sí es verdadero que si una matriz A tiene una fila de ceros entonces det(A)=0. f) Si A tiene dos filas proporcionales entonces det(A) = 0. Verdadero. g) det(F1, ..., Fi, ..., Fj, ..., Fn) = det(F1, ..., Fi, ..., Fj + Fi, ..., Fn) con K. Es decir, si a una fila le sumamos una proporcional a otra fila el valor del determinante no varía. Verdadero h) Si A es una matriz triangular de orden n entonces det(A) = a11 + a22 +... + ann . Falso. No es la suma sino el producto de los elementos de la diagonal: det(A) = a11 a22 ... ann i) Si A = B C siendo A, B y C matrices cuadradas entonces det(A) = det(B) det(C). Verdadero j) A es inversible det(A) = 1. Falso. Una matriz tiene inversa sí y solo si su determinante es distinto de 0. 1.14. Escribir los siguientes sistemas de ecuaciones en forma matricial y hallar su solución: x 2 z 1 1 0 2 x 1 x 5 x + y z 2 1 1 1 y 2 ( solución) y 5 , 0 1 1 z 3 z 2 y z 3 x y z t 1 y z t 2 x yt 0 x 2 y z 2t 2 y 2z t w 5 x yzw6 x y z w 2 x z 3t 2 w 3 1 0 1 1 1 1 1 2 1 1 0 1 1 x 1 x 1 y 1 1 y 2 ( solución) , 1 z 0 z 1 t 2 t 2 x 0 1 2 1 1 5 y 1 1 1 0 1 z 6 1 1 1 0 1 2 t 1 0 1 3 2 3 w x 2 y 3 4 3 ( solución) z 4 , R 4 5 t 3 4 w (en la siguiente página resolvemos este último sistema por el método de Gauss) 3 Álgebra14‐15AlgoritmoGaussHojadetrabajo1 Hallamos la forma escalonada de la matriz ampliada del sistema, por el método de Gauss: 0 1 2 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 3 2 5 1 1 1 0 1 a11 0 6 0 1 2 1 1 2 1 1 1 0 1 F1 F2 3 1 0 1 3 2 1 1 1 a33 0 1 1 1 0 1 6 hacemos ceros bajo a33 0 1 2 0 1 2 1 1 5 0 0 6 0 0 6 2 2 18 F4 : F4 1 F3 3 0 0 0 2 2 4 14 0 0 y 2z t w 5 x yzw6 El sistema x y z w 2 x z 3t 2 w 3 0 1 2 8 3 6 hacemos 1 1 1 0 1 ceros 5 bajo a11 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 0 F3 : F3 F1 3 F : F F 0 1 0 3 3 4 4 1 22 0 6 ahacemos ceros 5 bajo a22 8 F3 : F3 2 F2 9 F : F F 4 4 2 6 1 5 ( forma escalonada ) 2 18 10 8 3 1 w 6 x y z y 2z t w 5 tiene las mismas soluciones que 6 z 2t 2w 18 8 10 t w 8 3 3 . Despejamos las incógnitas correspondientes al primer elemento no nulo de cada fila. x yz w6 y 2z t w 5 x 6 y zw y 5 2z t w 1 1 1 6 z 2t 2 w 18 z 18 2t 2w 3 t w 3 3 6 10 5 8 10 3 t w 8 t 8 w 3 w. 3 4 3 3 8 Si quedan incógnitas sin despejar, se le asigna un parámetro perteneciente al cuerpo K (en este caso R), y vamos sustituyendo “de abajo a arriba”: w , con R , 5 5 t 3 t 3 w 4 4 1 1 1 5 1 5 1 3 z 3 t w z 3 3 3 1 4 3 3 3 4 3 12 3 4 3 5 3 3 5 y 5 2 z t w y 5 2 4 3 5 8 3 1 4 4 4 2 4 3 3 3 3 x 6 y z w x 6 4 6 4 1 2 4 4 4 4 La solución la expresamos: [ x 2 , 3 3 5 y , z 4 , t 3 , w ], R . 4 4 4 4