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UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
Dpto. de Termodinámica y Fenómenos de Transferencia
Termodinámica de Materiales (TF-1122)
GUIA DE PROBLEMAS RESUELTOS (versión a corregir)
Prof. Miguel Rondón
1.
2.
3.
Para cualquier proceso real espontáneo la entropía crece (V) (por ser real)
Una sustancia incompresible que experimenta un proceso isentrópico la temperatura permanece constante (V)
dS=Cv.ln(T2/T1), si dS=0 (isentrópico), entonces; T1 debe ser = T2
El DS para un gas ideal durante un proceso a P=cte es función de la diferencia de temperaturas entre el estado inicial
y final (F) (dS=Cvln(T2/T1) .. no es la diferencia sino el logaritmo del cociente)
2

1
Q
T
4. En un sistema durante un proceso irreversible DS es mayor que:
(V) (Ssistema=(Sprod+Stransf))
5. En un sistema aislado y reversible, el S es mayor que cero (F) (es igual a cero)
6. Describa un proceso reversible.
7. Mencione tres tipos de procesos irreversibles.
8. Para un ciclo termodinámico ¿el trabajo neto es necesariamente cero? Explique
9. ¿Es posible comprimir un gas ideal isotérmicamente en un dispositivo adiabático tipo cilindro-pistón? Explique
Un mol de gas ideal a P=cte=2atm es enfriado desde 100 hasta 25°C. Cuanto es el trabajo realizado. Si
Cp=3cal/°Cmol calcule Q y DU
U = Q+W
Q = mCpDT = 1mol (3cal/mol°C) (25-125)°C = - 300 cal
W = -PdV = 2atm (V2-V1) = 2atm (nRT2/P2 – nRT1/P1)
Como 2atm =P2 = P1 queda
W = - nR(T2-T1) = 1mol (2 cal/mol.K) (298-398)K = 200 cal
U = - 300 + 200 = -100 cal
Un elemento metálico de 0,05 Kg de peso a 200°C se pone en contacto con 0,4 Kg de agua a 20°C. Cual
es la T de equilibrio del sistema mezclado?, si Cp del agua=4.1886 J/kg°C y la del metal es 453 J/kg°C.
Qsist = - Qalred
Qmetal = -Qagua
mmetCpmet(Tf-Ti)m = mH2OCpH2O(Tf-Ti)H2O
0.05kg(453J/kg°C)(Tf-473) = 0,4kk(453J/Kg°C)(Tf-293)
22.65Tf-10713 = -1680Tf +492240
Despejando Tf = 504656/1702 = 296.5K = 23.5°C
Un mol de gas ideal se mantiene a 0°C en una expansión de 3lts a 10 lts. a) Cual es el trabajo realizado
por el gas durante la expansión? b) Que cantidad de calor se transfiere en ese proceso c) Cual es la
presión del sistema en ese punto. d) Si el gas es devuelto al volumen a P= constante, cual es el trabajo?.
a) dW=-PdV
Presión
nRT
W    PdV  
dV  nRT ln( V2 / V1 )
V
Proceso parte A
Isoterma 273K
= -1mol (8.314 J/molK)(273K)ln(10/3) = -2700 J
b) …
c) …
d) W = -P(Vf-Vi) = nRTi/Vf ( Vf-Vi) = 1mol (8,314
J/molK) (273K)/10lts (3lts-10lts) = 1600 J
Proceso parte B
Volumen
3 lts
10 lts
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Un mol de gas ideal realiza 3000 J de trabajo sobre su entorno cuando se expande a T=cte. Pf=1atm y
Vf=25lts. Determine Q, Vi y T.
DU = Q+W
PV=RT
CvdT = Q+W
0 = Q-3000J
T=PV/R = 1atm 25lts/ 0.082 atm.lt/molK = 304K
W    PdV  
nRT
dV  nRT ln( V2 / V1 )
V
-3000 J = - 1mol(8.314 J/molK)(304K)ln(25lts/Vi) de donde
25lts
Despejando Vi =
e
Q = 3000J
3000J
8.314 x 304
3000 J
 ln( 25 / Vi)
8.314 J / molK * 304 K
= 7.62 lts
Calcule S cuando un mol de un gas ideal a 298K se comprime a T=cte hasta 1000 atm.
dS = CP/T dT - VdP
como T=cte y =1/T para un gas ideal
 RT  1
 dPT
 P T
dST= - 
Cancelando T e integrando: S = - R ln (P2/P1) = 8.314 Joules/mol.K x ln (1000/1) = -57.4 Joules/mol.K
Calcule el cambio de entropía cuando un mol de gas ideal se expande hasta 2 veces su volumen inicial a
temperatura constante.
Necesitamos una ecuación de tipo S=S(T,V) . Debemos derivarla entonces:
S=S(T,V)
Con esta ecuación:
dS=MdT + NdV
a T=cte, dT=0
dS=MdT + N(VdT-VdP)
dS=()dV
juntando terminos
de la forma simplificada de  y  para gases ideales:
dS= (P/T) dV
dS=(M+NV)dT-NVdP
de la Ec. de S en función de T y P
Usando la ec. de estado para poner P en función de
V y sabiendo que T=cte y n=1mol
dS=Cp/T dT –VdP
dS = (R/V)dV
Igualando coeficientes:
Integrando: DS = Rln(V2/V1)
NV = -V => N=
S = 8.314 atm.lt/mol.Kxln(Vf/Vi) =
M-NVa=Cp/T
S = 8.314 atm.lt/mol.K ln(2) = 2.9 J/mol.K
M=Cp/T-V2/ = Cv/T
Por lo tanto : dS=Cv/T dT + dV
Un gas ideal se comprime a una presión constante de 0.8 atm desde 9 lts hasta 2 lts. En el proceso, 400
Joules de energía salen como calor. Determine:
(a) ¿Cuál es el trabajo realizado sobre el gas? (b) ¿Cuál es el cambio de energía interna?
Solución:
a) W=-PdV …W=P(V2-V1) = 0.8atm (2-9) lts = -5.6 atm.lts x(8.314/0.082) = 567,8 Joules
b) U = Q+W = - 400 J + 567.8 J = 167.8 Joules
Un Kg de aluminio se calienta a presión atmosférica de modo que su temperatura aumenta de 22 a
44ºC. Encuentre (a)El trabajo realizado sobre el aluminio y (b)La energía agregada por calor (c)El
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cambio de su energía interna. Al = 12x10-7 atm-1, Al = 70,5x10-6 K-1. Densidad del Aluminio=2700
Kg/m3. CPAl = 20.6+12.4x10-3T (Joules/molK)
Solución:
a) W = -PdV = -P(VdT-VdP) =- PVdT = -1atm (1Kg)/(2700 Kg/m3)(1000lt/m3)(70,5x10-6 K-1)(22K)
W=5.74x10-4 atm.lt x(8.314/0.082) = -0.0582 Joules
b) Dos posibilidades
1) Integrando
Q = 1000g/(27 g/mol) x ((20.6*317+(12.4x10 3
(317)2)/2) - 20.6*295+12.4x10-3(295)2/2))
Q = 37.04 moles x ((6530+623) – (6077+539))
Joules/mol = 37.04 x (7153-6616)
= 19.890 Joules
ó 2) A través de Cp Promedio:
Cp a 22C = 20.6+12.4x10-3(295) = 24,26
Cp a 44C = 20.6+12.4x10-3(317) = 24,53
Cp prom = (24.531+24.258)/2= 24,395
Q = mCPdT =
1000g/(27 g/mol) 24.3945 Joules/mol.K (317-295)K
= 19.877 Joules
c) U = Q+W = 1989 - 0.0176 = 19.889,98 Joules
Un sistema permite un control programado del volumen y la presión del gas que contiene. El sistema es
llenado con un mol de gas helio con unas condiciones iniciales de 20 lts y 1 atm de presión. En el
proceso, el helio es comprimido reversiblemente hasta 10 lts a lo largo del camino dado por la relación:
V= 30 – 10P
P (atm) y V (lts)
Determine:T1 y T2 (b) Q (c) S (d) W y (e) U
Solución:
a) T1=P1V1/nR= 1atmx20lts/(1molx(0.082atm.lt/mol.K))=244K
P2=30-10P2=30-10x2= 2atm
T2=P2V2/nR= 2atmx10lts/(1molx(0.082atm.lt/mol.K))=244K
b) Q=TdS=T((Cp/T)dT-VadP) = CpdT – T(V/T)dP= CpdT-VdP = (3/2)RdT-(30-10P)dP
Q = (3/2)R(T2-T1) - ((30xP2-(10xP22)/2) – (30xP1-(10xP12)/2)) = - ((30x2-10x4/2)–(30x1-10x1/2))
Q = - 15 atm.lts
c) Dos posibilidades
Q=TdS => S=Q/T = -15atm.lts/244K
S = 0.0614 atm.lt/K x(8.314/0.082) J/atm.lt
S = 6.23 J/mol.K
La cual no es 100% correcta, pero aceptable, porque
T no es constante

dS = ((Cp/T)dT-VdP) = Cp(T2-T1) – (V/T)dP
dS = -(nR/P)dP = -nR/P dP
S = nRln(P2/P1) =1molx0.082atmlt/molK.ln(20/10)
S = 0,0568 atm.lt/K = 5,76 J/mol.K
La cual es mas correcta, dado que todas las
términos involucrados son variables de estado.
d) W=-PdV = ((V-30)/(-10))dV = (V/10-3)dV = (V2/20-3V) evaluado entre 20 y 10 lts
W=(102/20-3x10)-((202/20-3x20) = (5-30)-(20-60)=-25+40 = 15 atm.lts
e) U=Q+W = -15 atm.lts + 15 atm.lts = 0 atm.lts
Resultado esperado teniendo en cuenta que U es una función de estado que, para un gas ideal, depende solo de
la diferencia entre la temperatura inicial y final.
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Un sistema permite un control programado de la presión y el volumen del gas que contiene. El sistema
es llenado con un mol de helio con una condición inicial de P=1atm y V=18 lts. Es comprimido
reversiblemente hasta 12 litros a través de un programa dado por la relación:
V = 20 - 2P2
P en atmósferas y V en litros.
Determine: (a) T1 y T2 (b) Q (c) S (d) W y (e) U (f) H (g) F (h) G
Solución:
(a)
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Derive la relación entre la energía libre de Helmholtz con la entropía y la temperatura.
F=F(S,T)
dF=MdS+NdT
dF= M((Cp/T)dT-VdP)+NdT
Juntando términos
dF=(MCp/T+N)dT-MVdP
Por otra parte F=F(P,T) es
dF=(S+PV)dT-PdP
Igualando coeficientes:
MCp/T+N = S+PV
(1) y
MV

(2)
De(2) M = P
Sustituyendo en (1)
N = S + P(V-()Cp/T)
Finalmente:
dF = P()dS + (S+ P(V-()Cp/T))dT
Un mol de gas ideal se mantiene a 0ºC durante una expansión desde 2 hasta 8 lts. ¿Cuanto trabajo es
realizado sobre el gas?
W = -PdV = -RT/V dV
W=-RTln(V2/V1)=- 0.082 atm.lt/mol.K(273K)ln(8/2) = -31.05 atm.lt (8.314/0.082)= -3148 Joules
Derive las ecuaciones: U=U(S,V), H=(H(S,P). Escriba las cuatro relaciones de coeficientes y las 2
relaciones de Maxwell.
U=U(S,V)
dU=MdS+NdV
(2)
dS = Cp/TdT-VdP
dV= VdT-VdP
Sustituyendo :
dU=M(Cp/TdT-VdP)+N(VdT-VdP)
Juntando términos:
dU =(MCp/T+NV)dT + (Mv-NV)dP
Por otra parte,
dU(T,P)=(Cp-PV)dT+V(P-T)dP
Igualando terminos:
MCp/T+NV= Cp-PV
Mva-NVb= V(P-T)
De donde M=T y N=-P
Finalmente sustituyendo en (2):
dS=TdS-PdV
La cual no es otra que la misma ecuación combinada
de la primera y segunda ley
H=H(S,P)
H=MdS+NdP
dH=TdS-VdP
Estime la presión requerida para mantener una muestra de Aluminio sin expansión cuando es
calentado desde 25ºC hasta 100ºC.. Al=70.5x10-6 K-1 . Al=12x 10-7 atm-1
Solución:
Se debe utilizar la relación V=V(T,P)
dV=(VdT – VdP)
Si se requiere mantener el material sin expansión .. dV=0
Queda: PvdT = VdP
Simplificando V de ambos lados de la ecuación: dT=dP
70 .5 x10 6
(373  298 ) = 4406 atm
Separando e integrando: dP = ()dT => P = ()(T2-T1) =
12 x10 7
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Un mol de Al2O3 a 25ºC ocupa 25,715 cm3 a P=1atm. Su coeficiente de expansión térmica es 26x10-6 K-1
y su coeficiente de compresibilidad es 8x10-6 atm-1. Estime su volumen si T=400ºC y P=1000 atms.
Solución:
A partir de la relación V=V(T,P)
dV=VdT - VdP => dV = V(adT-bdP)
Separando variables: dV/V = adT-bdP
ln (Vf/Vi) = 25,715cm3 x26x10-6 K-1 (673-298)K – 25,715cm3 x 8x10-6 atm-1(1000-1)atm
V= 0,2507 cm3 – 0,2055 cm3 = 0,0452 cm3
Calcule el cambio de energía interna cuando 12 litros de Argon a 273K y 1 atm se comprime hasta
V2=6 litros con P2= 10 atm. Resuelva el problema de dos maneras.
a) Aplique el procedimiento par derivar U=U(P,V) e integre entre P y V iniciales y finales.
b) Utilice la información dada para calcular la temperatura final del gas y aplique la relacion general
dU=CVT. Asuma CV=(3/2)R para este gas monoatomico
Solución:
1atm.12lts
nAr = PV/RT =
= 0,536 moles
atm.lt
0.082
.273K
mol.K
(a) U=U(P,V)
(b) P1V1T2 = P2V2T1
dU=MdP+NdV
(2)
PV T
10atm.6lts .273K
T2 = 2 2 1 =
= 1365 K
dV= VdT-VdP
1atm.12lts
P1 V1
Sustituyendo :
dU=MdP+N(VdT-VdP)
dU = CvT => U = 3/2 R (T2-T1)
Juntando términos:
U = (3/2) x 8.314 J/mol.K x (1365-273)K
dU =NVdT+(M-NV)dP
U = 0,536moles x 13618 J = 7300 J
Por otra parte,
dU(T,P)=(Cp-PV)dT+V(P-T)dP
Son iguales.
Igualando terminos:
dT: Cp-PV= NV
N=Cp/V-P = 5RT/2V-P = (3/2)P
dP: M-NV=V(P-T)
M=NV =3/2PV/P = (3/2)V
dU=(3/2) (VdP+PdV)
dU=(3/2) d(PV) = (3/2)(P2V2-P1V1)
U = 0,536 moles 3/2 (10x6 – 1x12) = 72 atm.lt
U = 72 atm.lt x 8.314/0.082 = 7300 J
Compare los cambios de entropía en los siguientes casos.
a) Un mol de nickel calentado a 1atm desde 300K hasta 1300K
b) Un mol de nickel a 300K es comprimido a T=cte de 1 a 1000atm. CP nickel = 17 + 0,029xT (J/mol.K),
Ni= 39x10-6 K-1
Solución:
dS=Cp/TdT-VadP
a P=cte, dP=0, por tanto
dS=(Cp/T)dT
dS=Cp/TdT-VadP
a T=cte, dT=0, por tanto
dS=-VdP
V= 1/8.9 =0,11cm3/g x 58,7g/mol=6,62 cm3/mol
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Ni= 39x10-6 K-1
17  0,029xT
dS=
dT
S=- 6,62x10-3 lt/mol x 39x10-6 K-1 (1000-1)atm
T
S=-2.57x10-4 atmlt/K x 8.314/0.082 = -0,026 J/K
Integrando
S=17xln(T2/T1)-0,029(T2-T1)
S=17xln(1300/300)-0,029(1300-300) = 53,9 J/K
Calcule el cambio de entropía a P=cte de1 mol de Cobre calentado desde 298K hasta 1000K. Que
cantidad de calor hay que suministrar para realizar ese calentamiento? Cp=22.6+6.3x10-3T
Solución
dQ = TdS
dS=Cp/TdT-VdP
a P=cte, dP=0, por tanto
dQ = T(Cp/TdT-VdP)
dS=(Cp/T)dT
a P=cte => dP=0
DS = (22.6/T + 6.3x10-3)dT
dQ = mCpdT
DS = 22.6xln(1000/298) + 6.3x10-3(1000-298)
Integrando
DS = 31,78 J/K
Q = 1mol (22.6x(T2-T1)) + -3.15x10-3(T22-T12)
Q= 18735 Joules
Un recipiente de volumen constante contiene 5 kg de aire a 200 kPa y 327°C. El aire se enfría hasta
27°C. Suponga Calor especifico constantes Cv = 0.718 kJ/kg.K, Determine el cambio de entropía del
sistema y su presión final
Estime un valor para coeficiente de expansión térmica a P=1atm del agua líquida promedio entre 25 y
50°C, si su volumen molar a 25°C es de 18,071 y 18,234 cm3/mol a 25 y 50°C respectivamente
2500 esferas de aluminio de 8mm de diámetro se templan calentándolas primero hasta 900°C y
enfriándolas posteriormente hasta 100°C con el aire del ambiente, determine el calor transferido
durante el enfriamiento
Un mol de hidrógeno a 1 atmósfera de presión y 25ºC se comprime isotérmicamente hasta que su
volumen se reduce a la mitad. Calcule: a) El trabajo realizado b) El calor transferido c) La variación
de energía interna
Si se suministra 10000 J de calor, a presión atmosférica, a 1 kg de un material metálico. Cual es la
temperatura final si se trata de: a) aluminio, b) hierro. c) Cual de los dos metales se expande mas?
Calcule y grafique la superficie que representa la relación para la entropía del gas nitrógeno como
función de la temperatura y la presión (P,T) en el rango comprendido entre (1atm, 300K) y (10atm,
1000K). Como el nitrógeno es biatómico Cp=(7/2)R. Asuma gas ideal en todo el dominio.
Calcule y grafique las superficies que representan las variaciones con la presión y el volumen de:
(a) La energía interna de un mol de gas nitrógeno
(b) La entalpía de un mol de nitrógeno
Cubriendo el rango desde (1atm, 22.4 lts) - (10atm, 8.2 lts). Dibuje las curvas iso-energía.
Estime la presión requerida para mantener una muestra de PVC sin expansión cuando es calentado
desde 25ºC hasta 100ºC.
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Estime el incremento de presión requerido para impartir un Joule de trabajo mecánico, comprimiendo
un mol de titanio a 25ºC. Que incremento de presión es requerida para impartir un Joule de trabajo a
un mol de alumina a 25ºC.
Compare los valores del coeficiente:
 F 

 para un gas monoatómico ideal y para hierro puro.
 S V
Calcule y grafique la energía libre de Gibbs para el polietileno en un rango de temperatura entre 298K
y 398K a P=1atm.
Calcule y grafique la energía libre de Gibbs para el gas oxigeno como función de la temperatura y la
presión en un rango desde (298K, 10-10 atm) hasta (1000K, 100atm).Utilice (298K, 1atm) como el punto
cero para los cálculos. La entropía absoluta del O2 a 298K y 1 amt es 205 (J/mol-K), asuma que
CP=34,6 (J/mol-K) y es independiente de P y T.
Utilice una hoja de cálculo para calcular y graficar la forma en que depende la entalpía, energía libre
de Gibbs y la entropía en función de la temperatura a una atmosfera de presión. Asuma la entropía
absoluta de la sustancia a 298K y los valores a, b y c de la expresión empírica de la capacidad
calorífica:
CP = a + bT +
c
T2
Calcule, H, S y G (con respecto a 298K) como función T a P=1atm para: a) Argon, b) Aluminio
Evalúe la derivada parcial
 H 

 en términos de variables experimentales
 G  S
En un intento por producir Tungstenato de Bario (BaWO 4) por conversión auto catalítica, una mezcla
de un mol de BaO2 y WO2 se calienta hasta 1100K, en cuyo punto ocurre la ignición y la reacción:
BaO2 + WO2 = BaWO4
Sucede espontáneamente hasta completarse. Asumiendo que el sistema está aislado de manera que las
perdidas de calor sean despreciables. Estime el T que acompaña esta reacción.
Cinco moles de un gas ideal a 300°C entran en contacto con 10 moles del mismo gas a 200°C, dentro de
un recipiente adiabático de 2m3. Si la mezcla se realiza de forma isobárica irreversible. Determine:
a) el cambio de entropía en el sistema al lograr el equilibrio termodinámico
b) la presión final del sistema
Dato: cp del gas 7/2 R.
Solucion:
T1
n1
300
Tf
cv
506,333333
T2
5
n2
200
R
12,471
V
10
cp
8,314
20,785
2
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delta s1
delta s2
delta total
12,8545355 14,1545487 1,30001321
P2
pF (kpa)
31572,415
31,572
Calcule el trabajo realizado por un mol de agua que se condensa a T y P constantes de 100°C y 1atm. Si
en el proceso se desprenden 40657 Joules de calor, cual es el cambio de energía interna.
Solución:
a) dW=-PdV =>W=-P(V2-V1)
En la condensación P y T son constantes pero V cambia de volumen de vapor al volumen de líquido.
Vvap es aprox. a Vgas ideal = nRT/P = 1molx0.082atm.lt/mol.K*373K/1atm = 30.6 lts
Vliq = 1mol x 18g/mol /958 Kg/m3 / 1000/g/Kg x 1000lts/m3 = 0.0187 lts
W= - 1atm x (0.0187-30.6)lts = 30.56 atm.lt x 8.314/0.082 = 3098,6 Joules
b) U = Q+ W = -40657 + 3098,6 = - 37558,4 Joules
UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
Dpto. de Termodinámica y Fenómenos de Transferencia
Termodinámica de Materiales (TF-1122)
GUIA DE PROBLEMAS RESUELTOS (versión a corregir)
Prof. Miguel Rondón
El fabricante de una goma sintética micro porosa impermeable, aplicable al sello de uniones metálicas,
afirma que este material tiene una densidad de 480 Kg/m3 y que disminuye su volumen en un 35%
cuando es sometido a 400psi de presión.
Asumiendo que el factor de compresibilidad no
cambia con la presión, si el coeficiente se
expansión térmica es de 500x10-6 K-1 y si la
presión absoluta en función de la profundidad se
calcula mediante:
P = 1 atm +  agua de mar. g . Profundidad
Calcule y grafique el valor del diámetro de:
(a) una esfera de este material y de
(b) una burbuja de gas
a 500, 1000, 2000 mts bajo el nivel del mar. Tome
en ambos casos que el diámetro de las esferas en
la superficie (1atm y 22°C) es de 1,0 cm. Compare
y comente sus resultados.
Solución:
Asumiendo que la temperatura aproximadamente constante encuentre una expresión para calcular el
trabajo realizado sobre una burbuja de gas entre la superficie y cualquier profundidad bajo el nivel del
mar