Download elementos secundarios de un triangulo y poligonos

ELEMENTOS SECUNDARIOS DE UN TRIÁNGULO
PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LOS ELEMTOS SECUNDARIOS
Alturas: Las tres alturas de un triángulo se intersectan en un mismo punto, llamado Ortocentro
(H).
Bisectrices: Las tres bisectrices se intersectan en un mismo punto llamado Incentro (I), que es el
centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.
Transversales de gravedad: Las tres transversales de gravedad se intersectan en un mismo punto
llamado centro de gravedad o baricentro (G) del triángulo.
Observaciones
1)
Al unir el centro de gravedad del triángulo ABC con los tres vértices del triángulo, éste
queda dividido en tres triángulos congruentes (de igual área).
2) El centro de gravedad divide al triángulo ABC en seis triángulos congruentes.
Simetrales: Las tres simetrales se intersectan en un mismo punto llamado circuncentro(O), que es
el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo.
Medianas
Propiedades:
1) ma // a , mb // b , mc // c
2)
Poligono: es una figura plana cerrada formada por segmentos. Los polígonos se pueden clasificar
en:
a)
Cóncavos: son los aquellos polígonos que por lo menos tengan un ángulo interior mayor
a 180 grado.
b)
Convexos: son los aquellos polígonos que todos sus ángulos interiores son menores a
180 grados.
c)
Polígono irregular.-Sus lados tienen longitudes diferentes.
d)
Polígono regular.-Es equilátero (igual lados) y a su vez equiángulo (igual ángulos).
Ej.: cuadrado, triángulo equilátero, pentágono regular, etc.
NOMBRE DE POLIGONOS SEGÚN EL NÚMERO DE LADOS
 Triángulo:
 Cuadriláteros:
 Pentágono:
 Hexágonos:
 Heptágono:
 Octógono:
 Eneágono:
 Decágono:
 Endecágono:
 Dodecágono:
 Pentadecágono:
 Icoságono:
3 lados
4 lados
5 lados
6 lados
7 lados
8 lados
9 lados
10 lados
11 lados
12 lados
15 lados
20 lados
Propiedades de los polígonos en general:
Existen algunas propiedades para todo tipo polígono (regular e irregular).
a)
En todo polígono de "n" lados, la suma de los ángulos interiores está dada por la
relación:
180 (n - 2)
b)
En cualquier polígono, independiente del n° de lados, la suma de sus exteriores es 360°
Suma ángulos exteriores = 360°
c)
lados)
El n° de diagonales que se pueden trazar desde un vértice está dado por: (n = n° de
d
d)
n = n°
=
n-3
El nº de diagonales que se pueden trazar en un polígono es:
D =
nn  3
2
de lados
Propiedades de los polígonos regulares:
1)
El valor de un ángulo interior se obtiene mediante la siguiente fórmula:
Ejemplo: calculemos la medida de un ángulo interior de un hexágono (polígono de 6 lados)
regular:
Angulo int. =
Si n = 6, entonces
2)
180º n  2
n
180º n  2 180º 6  2 180 º* 4
=
=
= 30 * 4 = 120º
n
6
6
El valor de un ángulo exterior se obtiene mediante la siguiente fórmula
Angulo ext. =
360º
n
Ejemplo: en el ejemplo anterior, cada ángulo exterior mide:
360º
= 60º
6
EJERCICIOS
1)
En el triángulo ABC de la figura,  = 100º,  = 110º y CD es altura. ¿Cuánto
mide  ?
A)
B)
C)
D)
E)
30º
40º
50º
60º
70º
2)
En el triángulo DEF de la figura,  = 130º ,  = 80º y EH es altura. Entonces “x”
en función de “y” es:
A)
B)
C)
D)
E)
y=x
y = 2x
y = 3x
x = 4y
y = 5x
3)
En el triángulo ABC de la figura, AD es bisectriz del
BAC , EAC  100º yABC  60º .¿Cuánto mide el ángulo ADC?
A)
60º
B) 70º
C) 80º
D) 90º
E)
100º
4)
En el triángulo ABC de la figura, AD = CD ,  DBC = 50º y CD es transversal de
gravedad. ¿Cuánto mide el ángulo ACD?
a.
b.
c.
d.
e.
40º
50º
80º
90º
100º
5) En el triángulo MNP de la figura, HNP  120º , DME  150º yNE es bisectriz del ángulo
MNP. Entonces “z” en función de “w” es:
6) En el triángulo MNT de la figura, MP = 8cm. QN = 12cm. PQ es mediana. Entonces MN –
MT es:
a.
2cm.
b.
4cm.
c.
6cm.
d.
8cm.
e.
10cm.
7) En el triángulo PQR de la figura, RQ = 12cm, RE = x + 3 y DE es mediana. ¿Cuánto mide
x?
a.
2cm.
b.
3cm.
c.
4cm.
d.
5cm.
e.
6cm.
8) En el triángulo DFE de la figura, H y G son los puntos medios de EF y DE
respectivamente, HI  EF y GJ  DE. Si DK + KE + KF = 54cm. , entonces KE mide:
a.
b.
c.
d.
e.
6cm.
9cm.
18cm.
27cm.
36cm.
9) En el triángulo ABC de la figura, G es centro de gravedad. Si AD = 24cm.,entonces GD mide:
a.
b.
c.
d.
e.
6cm.
8cm.
12cm.
16cm.
18cm.
10) En el triángulo ABC de la figura, G es centro de gravedad. Si GD = 3x , entonces CD es:
a.
b.
c.
d.
e.
4x
5x
6x
7x
9x
11) Si el triángulo ABC de la figura es rectángulo en C, entonces el complemento del
complemento
de x mide:
a.
b.
c.
d.
e.
22º
36º
44º
46º
134º
12) En el triángulo ABC de la figura, EF y DG son simetrales de los lados AB y AC
respectivamente;  DGE = 30º. ¿Cuánto mide  ?
13) En el triángulo ABC de la figura, se traza la transversal DE, ¿cuánto mide el ángulo x?
a.
b.
c.
d.
e.
63º
70º
117º
103º
Ninguna de las anteriores
14) El ángulo BAD es ángulo exterior del triángulo ABC. Si AE es bisectriz del ángulo BAC,
entonces AEC + ACE =
a. 30º
b.
50º
c.
60º
d.
120º
f.150º
15) En la figura, DAC = CAB. Entonces el x mide:
a.
b.
c.
d.
e.
80º
100º
110º
120º
140º
16) El polígono en que la suma de los ángulos interiores es 540° es un:
a. eneágono
b.
hexágono
c.
nonágono
d.
pentágono
e.
ninguna de las anteriores
17) ¿Cuántas diagonales tiene un decágono regular?
a. cinco
b.
seis
c.
ocho
d.
diez
e.
once
18) La figura es hexágono regular. El ángulo x mide:
a. 120º
b.
c.
d.
e.
150º
200º
240º
270º
19) La figura es un hexágono regular. "O" es el centro de la figura. El ángulo x mide:
a)
b)
c)
d)
e)
120°
200°
240°
300°
270°
20. La figura es un cuadrilátero cualquiera. La suma de los ángulos "x" e "y" vale:
a) 160°
b) 120º
c) 80º
d) 40º
e) 320º
21. En el pentágono regular ABCDE se traza la diagonal EC. ¿Cuánto mide el ángulo DEC?
a) 30°
b) 36°
c) 45°
d) 60°
e) 72°
22. El número de diagonales que pueden trazarse desde un vértice de un hexágono es:
a. 4
b.
9
c.
6
d.
27
e.
ninguna de las anteriores
23. Un polígono regular cuyo ángulo exterior mide 40° tiene:
a. 12 lados
b.
9 lados
c.
7 lados
d.
6 lados
e.
4 lados
24. Dos polígonos regulares con igual número de lados, se puede afirmar que:
i. Tienen ángulos interiores respectivamente iguales.
ii. Tienen áreas iguales.
iii. Son congruentes.
a. Sólo I.
b. Sólo II.
c. Sólo III.
d. Sólo I y II.
e. Sólo II y III.
a.
b.
c.
d.
e.
25. El número de diagonales que pueden trazarse desde un vértice de un heptágono es:
4
6
7
9
ninguna de las anteriores
26.
a.
b.
c.
d.
e.
¿cuánto mide los ángulos exteriores de la figura?
60°
80°
90°
120°
360°
27.
¿qué clasificación recibe la figura?
a. Cuadrilátero regular
b. Octógono regular
c. polígono regular
d. polígono convexo
e. polígono cóncavo