Download PARTE 1 ÁNGULOS Y RELACIONES MÉTRICAS EN LA

MATERIAL DE APOYO PARA LA PREPARACIÓN EN EL
CONTENIDO DE GEOMETRÍA PLANA.
APUNTES PARA UNA EXPERIENCIA
PARTE 1
ÁNGULOS Y RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
ELABORADO POR
M.Sc. ROGER RIVERÓN RIVAS
2010
1
PRELIMINARES
La resolución de problemas de geometría plana, siempre ha sido una de las
mayores dificultades que evidencian los alumnos en los exámenes de ingreso a la
Educación Superior. Gran parte de los docentes atribuyen estas insuficiencias al
pobre desarrollo del pensamiento lógico que logran sus alumnos en el aprendizaje
de la Geometría; sin embargo por la experiencia de este autor, en un gran número
de casos el problema está dado en una inadecuada comprensión de los datos
geométricos que ofrece el problema; es por ello, que muchos de los estudiantes
ante un texto que identifique un paralelogramo sean capaces de escribir en el
desarrollo de la pregunta un sinnúmero de característica de este cuadrilátero
convexo, sin poder organizar las mismas en función de los datos para llegar a los
resultados que se necesitan para el caso.
De ahí que muchas veces se olvida que para resolver un problema geométrico,
dada la naturaleza de los conceptos geométricos que intervienen en todos los
ejercicios que se aborda este
contenido, se hace necesario analizar
detalladamente cada uno de los datos que me ofrece el problema y su relación
con elementos que se pueden deducir de los mismos, pues desde que comienzas
la lectura del texto del problema debes tener presente que la recepción de
cualquier información (y sobre todo la de texto geométrico)se realiza por uno de
los canales: la vista o el oído, es decir escuchamos lo que leemos y observamos lo
que vemos de esa lectura.
SECCIÓN 1
Conceptos esenciales que se deben tener en cuenta en la solución de ejercicios
sobre el contenido ángulos, ordenados alfabéticamente:
1. Ángulos.
2. Polígonos y sus propiedades.
3. Relaciones métricas en la circunferencia.
4. Igualdad y semejanza de triángulos.
2
5. Grupo de Teoremas de Pitágoras y de las transversales..
6. Fórmulas para el cálculo de áreas de figuras planas.
Contenidos
en el programa vigente para el ingreso a la Educación Superior
relacionados con la geometría plana
 Cálculo en figuras planas (incluyendo ejercicios en que se aplique la
trigonometría).
 Demostración de posiciones relativas entre rectas, de la igualdad de longitudes
de segmentos y de la igualdad de amplitudes de ángulos.
Para los ejercicios de cálculo y demostración se aplicarán los contenidos relativos
a:
 Ángulos. Ángulos opuestos por el vértice, adyacentes, de lados respectivamente paralelos o perpendiculares y entre paralelas. Polígonos y sus
propiedades. Ángulos en la circunferencia: central, inscrito y semiinscrito.
 Relaciones métricas en la circunferencia.
 Igualdad y semejanza de triángulos. Grupo de Teoremas de Pitágoras y de las
transversales.
 Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera
 Fórmulas para el cálculo de áreas de figuras planas (incluyendo ejercicios en
que se aplique la trigonometría).
3
Una
información básica y necesaria sobre algunos de los conceptos
anteriores:.
ÁNGULOS
SEGÚN SU AMPLITUD
Nombre
Que debe cumplir
Ángulo agudo
  90 0
Ejemplo

Ángulo recto
  90 0

Ángulo obtuso
90 0    180 0

Ángulo llano
  180 0

4
ÁNGULOS
SEGÚN SU POSICIÓN
Nombre
Que debe cumplir
Ejemplo
Que cumplen
Tienen en común el vértice y
un lado.
Ángulos
consecutivos
 ,  
La amplitud de un ángulo
formado por dos o más
ángulos consecutivos es la
suma de las amplitudes de los
ángulos que la forman.
Ángulos
adyacentes
Dos ángulos consecutivos a un
lado de una recta.
 ,  
180 0    

 ,  
Ángulos opuestos
por el vértice
  



Tienen el mismo vértice y sus
lados
son
semirrectas
opuestas

 

5
ÁNGULOS
s
r
t
1
2
Ángulos Correspondientes:
Están situados en diferentes
regiones y al mismo lado de
la secante.
Son iguales
6
1
y
5
Ángulos alternos: ángulos
situados en la misma región
y a diferentes lados de la
secante.
5
8
7
s SECANTE
Que cumplen
Ejemplo: ángulos
ángulos 3 y 8
3
4
r t
Características
Ejemplo: ángulos
ángulos 3 y 6
1
y
Son iguales
7
Ángulos
conjugados:
Ángulos que están situados
en la misma región y al
mismo lado de la secante.
Suman 180 0
Ejemplo: ángulos 3 y 5 y
ángulos 1 y 8
6
TRIÁNGULOS
SEGÚN SUS ÁNGULOS
Nombre
Definición
Acutángulo
Todos sus ángulos agudos
Rectángulo
Tiene un ángulo recto
Obtusángulo
Tiene un ángulo obtuso
Ejemplo
PARA TODOS LOS TRIÁNGULOS SE CUMPLE QUE
En todo triángulo a lados iguales se oponen ángulos iguales
En todo triángulo a ángulos iguales se oponen lados iguales
En todo triángulo a mayor ángulo se opone mayor lado y viceversa.
En todo triángulo, cada lado es menor que la suma de los otros dos lados y mayor que la
diferencia.
La suma de los ángulos interiores es de 180 0
La amplitud de todo ángulo exterior es igual a la suma de las amplitudes de los dos ángulos
interiores no adyacente a el.
7
TRIÁNGULOS
SEGÚN SUS LADOS
Nombre
Definición
Escaleno
Todos sus lados son diferentes
Isósceles
Tiene al menos dos lados iguales
Equilátero
Tiene sus tres lados iguales
Ejemplo
8
1. De acuerdo a tus conocimientos sobre ángulos responde las interrogantes que
se indican en cada una de las filas de las tablas que aparecen a continuación.
a)
En la figura A, O, C son puntos alineados, OD y OE semirrectas de origen O.
Señale de ser posible
a) Un par de ángulos adyacentes
D
b) Un par de ángulos opuestos por el vértice.
c) Un par de ángulos consecutivos
RESPONDE Y ARGUMENTA
A
O
C
d) ¿Existirá entre los ángulos señalados
alguno para el cual se cumpla que su
coseno es igual a cero?.
e) ¿Para cuál de los ángulos señalados se
puede afirmar que su coseno es
negativo?.
E
f) ¿Será posible seleccionar dos ángulos de
los señalados que al calcular su seno el
resultado
sea
el
mismo sen ___  sen ___  ?.
9
b)
En la figura A, O, E y B, O, F son dos tríos de puntos alineados, OD , OB y OE semirrectas de
origen O , OB y OD bisectrices de los ángulos AOC y COE .
Señale de ser posible en la figura:
a) Dos ángulos iguales.
b) Dos ángulos adyacentes.
c) Dos ángulos opuestos por el vértice.
d) Un ángulo opuesto por el vértice O al ángulo
B
BOC
A
e) Un ángulo cuya amplitud sea mayor de 180 0 .
f) Un ángulo para el cual al calcular su seno el
resultado sea cero.
C
g) Un ángulo recto.
h) Si el AOC  87,4 0 . Calcule la amplitud de la
O
suma de los ángulos BOC y COD .
i) ¿Será posible que un ángulo dado tenga más
de
F
D
E
un
ángulo
opuesto
por
el
vértice?.
Justifique.
j) ¿Para un ángulo dado será posible encontrar
más
de
un
ángulo
adyacente
a
este?.Justifique.
k) En dos rectas que se corten, cuántos ángulos
llanos diferentes se pueden formar.
10
c)
En la figura ABCD
es un paralelogramo la recta
contiene a la diagonal AC . Si el
r
DBA  75 .
0
Seleccione y argumente su selección en cada caso
a) Dos parejas de ángulos
x1
y
x 2 , x3
y
x 4 que
no tengan vértices en común, de manera que se
cumpla que:
r
x1  x2  1800
x3  180 0  x 4
A
Pares de ángulos que cumplan que:
D
B
C
 ___
y
 ___
sen ___  sen ___
 ___
y
 ___
 ___  CDA   ___
 ___
y
 ___
cos  ___   cos  ___
 ___ y  ___
A área del
A  CD  BC sen ___
paralelogramo
A  CD  BC sen ___
 ___   ___
 ___
y
 ___
 ___   ___ 
 ___   ___
 ___
y
 ___
sen ___   ___   0
11
d)
En la figura la recta r contiene al lado EB del rombo ABEF , los puntos C , D, E G y
C, A y
B están alineados D  AC .
SELECCIONE EN CADA CASO
a) Dos parejas de ángulos que no tengan vértices
en común, de manera que se cumpla que:
r
A
B
C
 ___   ___  1800
D
E
F
G
UN PAR DE ÁNGULOS
QUE CUMPLEN
 ___
y
 ____
que sean correspondientes
 ___
y
 ____
que
sean
iguales
respectivamente al CAF
 ___
y
 ____
que sean iguales al ADC y
ninguno de los dos este en
posición de opuesto por el
vértice con el mismo.
 ___
y
 ____
Que su seno sea igual a cero.
6 ángulos diferentes
ARGUMENTA TU SELECCIÓN
Que la suma de los tres
primeros
 ___   ___   ___ se
a igual a la suma de los tres
restantes
 ___   ___   ___
12
e) Completa cada una de las casillas en blanco según se indica.
Situación
En un
Figura de análisis
El ángulo obtuso
triángulo
rectángulo isósceles
se
ha
trazado
Se cumple que
que forma la
bisectriz trazada con el lado del
la
triángulo tiene una amplitud de:
bisectriz de unos de
los ángulos bases
Situación
En
Figura de análisis
ABC
un
isósceles
se
ha
trazado la bisectriz a
Se cumple que
Una de las fórmulas para calcular
el
área
del
ABC
elementos dados es:
uno de los ángulos
interiores
descomponiendo
triángulo
en
al
dos
triángulos
rectángulos.
13
con
los
Situación
Figura de análisis
Responde
ABC
¿Cuál es el valor del área del
isósceles se conoce
triángulo, sí su perímetro es de
que
21u ?.
En
un
uno
de
sus
ángulos exteriores es
de 1200
Situación
Figura de análisis
Responde
Si el perímetro del BDC es de
80,1cm y el del ACE 160,2cm
Los
puntos
C , D, E , F pertenecen a
la recta r , los puntos
B, D, G están alineados,
el
BDC
AE BD
r
a) Clasifica el ABE
sus lados.
F
isósceles,
y
el
b) Calcule el área del EBC .
E
ABD  1200 .
D
A
B
según
C
14
Situación
Figura de análisis
Responde
a) Calcule el área sombreada.
ABFE
es
un
paralelogramo
,
el
ABE es rectángulo e
isósceles y EC bisectriz
del ángulo BEF .
E
F
D
A
Situación
En un triángulo
rectángulo los ángulos
agudos están en la
razón de 5:4.
B
C
Figura de análisis
Responde
¿Cuánto miden estos ángulos?
.
15
Situación
Figura de análisis
Responde
En un triángulo uno de
los ángulos es el 50%
de uno de los otros dos
1
y el 33 % del tercero.
3
Determina la medida del
ángulo
menor
de
este
triángulo.
Elabora una situación
que se corresponda
con los elementos que
ofrece la figura de al
lado
Figura de análisis
plantea 2
interrogantes y
resuélvelas
.
E
x
x
.
150
350
A
B
C
D
16
En la
punto
entre
AC y
figura F es el
de intersección
los segmentos
DB .
Elabore según
datos que ofrece
figura de análisis,
relaciones entre
elementos que
ofrecen.
FIGURA DE ANÁLISIS
C
D
los
la
5
los
se
60 0
F
40 0
B
A
.
17
f) De acuerdo a tus conocimientos sobre triángulos y cuadriláteros
completa
las líneas en blanco en la columna B en cada caso para que se cumpla lo
declarado en cada una de las filas de la tercera columna..
REALIZA LA FIGURA DE ANÁLISIS DEL
ABC
Determina y señala en la figura lo
que necesites para que se
cumpla que:
La fórmula para calcular el área del
ABC es:
AABC 
AC  ____
2
ARGUMENTE
 ,  y  son
los
ángulos
interiores del
triángulo
isósceles
ABC y
La amplitud del ángulo formado por la
bisectriz del
 y el lado
BC
es
______ 450
, , 
ARGUMENTE
90 0    180 0
entonces
Un ángulo exterior agudo en el ABC
es el ángulo
 ____
ARGUMENTE
18
REALIZA LA FIGURA DE ANÁLISIS DEL
ABC
Determina y señala en la figura lo
que necesites para que se
cumpla que:
La altura relativa a cualquiera de los
tres lados del triángulo se puede
determinar por la expresión
h  _________
La fórmula para calcular el área del
ABC se puede determinar por la
expresión
AABC  _________
 ,  y  son
los
ángulos
interiores del
triángulo
equilátero
ABC
¿Qué relación se puede establecer
entre el segmento determinado por el
pie de la altura relativa al lado AB con
el vértice B y el lado BC ?.
__________
______
entonces
el perímetro del ABC es
22,4 u calcula la razón entre el área del
ABC y el triángulo formado por los
Si
puntos medios de cada lado de este
triángulo.
19
SECCIÓN
2
Conceptos
esenciales que se deben tener en cuenta en la solución de
ejercicios sobre las relaciones métricas en la circunferencia.
Ángulo central
Ángulo inscrito.
Ángulo seminscrito.
Arco.
Cincuncentro.
Circunferencia
Cuerda.
Diámetro.
Incentro.
Radio
Una
información básica y necesaria sobre algunos de los conceptos
anteriores:.
CIRCUNFERENCIA
es
el
conjunto
de
puntos del plano que están a la misma
O
distancia de un punto fijo O que es el centro
de la circunferencia. La distancia del centro
r
de la circunferencia a cualquiera de sus
puntos se llama radio (r)
20
CUERDA Segmento de recta que tiene sus puntos extremos sobre la misma
circunferencia. CD
DIÁMETRO es toda cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.  AB 
ARCO
Segmento
de
circunferencia
delimitado por dos de sus puntos. AB
CINCUNCENTRO
es
el
A
punto
de
intersección de las mediatrices, además es
O
C
el centro de la circunferencia que contiene a
los
tres
vértices
del
triángulo
B
(la
circunferencia circunscrita es única para tres
D
puntos no alineados).
INCENTRO es el punto de intersección de las bisectrices y es el centro de la
circunferencia que es tangente a los tres lados del triángulo (la circunferencia
inscrita es única para cada triángulo). .
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
 ÁNGULO CENTRAL
AOB
: Tiene su vértice en el centro de la
circunferencia.
D
En la misma circunferencia o en circunferencias iguales,
a ángulos centrales iguales corresponden arcos iguales.
C
AOB  COD  AB  CD
B
O
En una misma circunferencia o en circunferencias
A
iguales, a arcos iguales corresponden ángulos centrales
iguales.
AB  CD  AOB  COD
21
En
una circunferencia o en circunferencias iguales, a
ángulos centrales (arcos) iguales corresponden cuerdas
D
iguales y viceversa.
C
AB  CD AOB  COD  AB  CD
B
O
En
una circunferencia o en circunferencias iguales, a
mayor cuerda corresponde mayor arco.
A
 AC  AB  AC  AB
ÁNGULO INSCRITO: Su vértice pertenece a la circunferencia y sus lados la
intersecan en otros dos puntos.
M
AMB ángulo inscrito.
O
A
B
La amplitud de un ángulo inscrito en una circunferencia es
igual a la mitad de la amplitud del arco correspondiente.
1


 AMB  AB 
2


B
A
Los ángulos inscritos en una circunferencia a los cuales les
corresponde el mismo arco son iguales.
C
1


 ABD  ACD  AOD 
2


O
D
22
TEOREMA DE TALES
Todo ángulo inscrito
ABC  sobre
el diámetro de la
B
0
circunferencia AC es de 90 .
A
C
O
D
ÁNGULO SEMINSCRITO: Su vértice pertenece a la circunferencia, un lado es una
cuerda y el otro es la tangente cuyo punto de tangencia es el
B
vértice del ángulo.
MAT  ángulo seminscrito
O
M
T
A
Los ángulos inscritos y seminscritos
corresponde el mismo arco son iguales.
que
le
MAT  MBA
23
EJERCICIO 1 De acuerdo a tu estudio de los ángulos y las relaciones entre los mismos en la
circunferencia, realiza los siguientes ejercicios según se indica.
Situación
Figura de análisis
Responda y argumente
De acuerdo a los puntos dados
seleccione en la figura:
D
pertenecen
a
a) Dos ángulos rectos.
C
Los puntos A, B, C y D
b) Dos ángulos para los cuales se
la
cumpla que:
circunferencia de centro
O, el
BAC tiene un
 ____  2 ___ ____  ____ 
O
amplitud de 600 y los
segmentos AC
y
BD
c) Dos segmento paralelos.
A
d) Dos triángulos isósceles.
B
se interceptan en O.
e) Dos triángulos equiláteros.
f) Dos triángulos escalenos.
g) Clasifique
el
cuadrilátero
ABCD.
Situación
Figura de análisis
Responda y argumente
La recta AC pasa por el
centro
de
C
la
circunferencia de centro
b) Clasifique el AOB según sus
O, D pertenece a la recta
AC, el
a) Clasifique el BOC según sus
D ángulos.
lados.
arco AB tiene
c) ¿Qué relación , ,  existe
0
una amplitud de 130 .
O
B
entre el AOB y el BCD ?
A
24
Situación
Los
puntos
pertenecen
A,
Figura de análisis
B,
a
C
A
Responda y argumente
C
la
circunferencia de centro
a) Clasifica el ABC según
BAO tiene un
O, el
amplitud
de
20 0
O
sus lados.
y
AOC  1000
B
Situación
Figura de análisis
Responda y argumente
a) Selecciona de los ángulos
determinados en la figura
dos ángulos centrales de
una misma amplitud.
Los puntos A, B, C Y D
pertenecen
a
la
b) Con los puntos dados en la
O
A
D
circunferencia de centro
O, el
de un triángulo rectángulo.
BOA  OCB , F
pertenece a la cuerda
BC y AD diámetro.
figura determina los vértices
B
F
C
c) ¿Según los datos que te
ofrece
el
posible
ejercicio
afirmar
es
que
OF  BC ?.
d) Clasifique
el
cuadrilátero
ABCD.
25
Situación
Figura de análisis
Responda y argumente
La recta AC pasa por el
Coloque el signo según la
centro
relación que existe entre:
O
de
la
circunferencia, las rectas
DA y DC son tangentes
a la circunferencia en los
puntos
A
y
B
O
A
a) ADC
   
COB
b) ADO
  
ODB
c) CAD
   
DBO
C
respectivamente.
B
d) Si OB  BC
clasifique el
ABD según sus lados.
D
Situación
Figura de análisis
Los puntos A, B y C
pertenecen
a
Responda y argumente
a) Clasifica el
la
ABC
según
sus lados..
A
circunferencia de centro
b) Pruebe que:
O, de manera que:

AB  BC  CA
 ¿La recta que contiene
O
B
senBCO  cos BCA
C
al segmento AO ,
es
perpendicular
la
a
cuerda BC ?.
c) Si la longitud del radio de
la circunferencia dada es de
2,34cm . Calcule el área del
ABC
26
Situación
Figura de análisis
Responda y argumente
Figura de análisis
Responda y argumente
1. 1987-1988,I)
En
la
BE // AC
figura,
y
DE // AB
a) Prueba
que
CAB  DEB
Situación
2. (1987-1988,II)En
la
figura, ABCD es un
cuadrado, P es el punto
AB
medio
de
y
CM  DP .
a) Prueba
que
ADP  DCM
27
Situación
Figura de análisis
Responda y argumente
Figura de análisis
Responda y argumente
4. (1988-1989,II)En
la
figura,
ABC
es
rectángulo en B, D
pertenece al segmento
AC y M es el pie de la
perpendicular
trazada
desde D hasta AB .
a) Pruebe
que
los
triángulos ABC
y
AMD tienen sus
ángulos
interiores
respectivamente
iguales.
Situación
5. (1988-1989,I
Pyong
Yang) En la figura,
CA  AB ,
DE  CA ,
E CA y CA es la
bisectriz del BCD.
a) Prueba
que
los
ángulos CDE
y
tienen la
CBA
misma amplitud.
28
Situación
Figura de análisis
Responda y argumente
6. (1988-1989,II
Pyong
Yang) En la figura,
F  AB  EC, ABCD
es un paralelogramo y E
es el punto medio de
AD .
a) Seleccione
tres
parejas de ángulos
alternos
entre
paralelas.
b) Seleccione
dos
triángulos con los
ángulos
interiores
iguales
respectivamente
29