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MODULO 04
*. Interprete los siguientes gráficos y asigne valor de probabilidad a cada elemento componente y a cada
operación identificada
*. Investigar las demostraciones de las siguientes operaciones
*. : Cual es el espacio muestral del experimento:
a. Lanzamos una moneda para observar, si cae del lado de cara o del lado de sello:
b. Lanzar un par de dados, marcados c/u con los números 1,2,3,4,5 y 6
c. En una mesa hay un juego (28 fichas) de dominó, se voltea una ficha para observar sus números
d. En el lanzamiento de un dado, cual es la probabilidad de
Si un experimento se repite n veces
*. Investigar si esto es cierto:
presenta el suceso A, entonces es de esperarse que:
, de las cuales m veces se
*. Calcular el valor de probabilidad para los conjuntos y las operaciones mostradas
*. Un lanzamiento de dos dados. Si:
- A : (suma sea mayor que 5 pero menor que 10)
- B : (la suma sea mayor que 8)
-
entonces,
*. A un grupo de personas se le pregunta sobre la intención de voto para las próximas elecciones.
p(vote dado que es masculino)=
p(vote dado que es femenino)=
*. Cómo se demuestra la Independencia Estadística
,-Una bolsa contiene 4 esferas blancas 3 azules y 5 rojas.
A.-Si se saca una esfera al azar, calcular las probabilidades:
a)Que sea blanca
e) Que no sea blanca
b)Que sea azul
f) Que sea negra
c)Que no sea azul
g)Que no sea blanca ni azul
d)Sea roja o azul
h)Que sea blanca, azul o roja
B.- Si se sacan 3 esferas simultáneamente al azar, calcule las siguientes probabilidades.
a) Que sean azules
e) A lo mas 2 sean azules
b)Que sean blancas
f) Como máximo una sea blanca
c) Que sean rojas
g) Que sea una de cada color
d)A lo menos una sea roja
h) Que 2 sean blancas y una roja.
, Se extraen al azar y sin reemplazar cuatro letras de la palabra Mississippi, Calcular la probabilidad de que:
Las cuatro sean i.
A lo sumo hayan dos consonantes.
Se forme la palabra mipi
a) 1/330
b) 31/66
c) 1/330
, Se tiene 11 libros para colocar en un estante, de los cuales se sabe que 5 son de ingeniería, 4 de
matemáticas y 2 de química. Calcular la probabilidad de que:
Los libros de cada materia estén juntos.
Los libros de cada materia estén todos juntos en el orden: química, ingeniería matemáticas.
a) 1/1.155
b) 1/6930
, Tres artículos se escogen al azar de un total de 15, de los cuáles se sabe 5 son defectuosos. Hallar la
probabilidad de que:
Ninguno sea defectuoso.
Exactamente uno sea defectuoso.
Por lo menos uno sea defectuoso.
a) 24/91
b) 45/91
c) 67/91
, Se selecciona al azar tres libros de un estante que contiene 5 novelas, 3 libros de poemas y un diccionario.
Calcular las probabilidades de que:
Se seleccione el diccionario.
Se seleccionen 2 novelas y un libro de poemas.
a) 1/3
b) 5/14
, Los alumnos de un curso se escogen al azar, uno tras otro para rendir un examen. Hallar la probabilidad de
que niños y niñas queden alternados si:
El curso tiene 4 niños y tres niñas.
El curso tiene 3 niños y tres niñas.
a) 1/35
b) 1/10
, Cuántos números de hasta 4 cifras pueden formarse con los dígitos del 0 al 9 si:
Los dígitos pueden repetirse.
Los dígitos no pueden repetirse.
El último dígito debe ser cero y los dígitos restantes no deben repetirse.
a) 10.000 (los números del 1 al 9.999 mas el cero)
b) 5.040
c) 504.
, Se forman señales colocando banderas de diferentes colores una tras otra en un asta. Si se tienen 5
banderas distintas, hallar el número de señales distintas que se pueden trasmitir con:
3 de las banderas.
4 de las banderas.
Todas las banderas.
Una o más de las banderas.
a) 60
120
120
d) 325
,
 4
 4
 4
 4
 4
(a  b) 4   a 4 b 0   a 3 b1   a 2 b 2   a 1 b 3   a 0 b 4 
0
1 
 2
3 
 4
 a 4  4a 3 b  6a 2 b 2  4ab 3  b 4
Supongamos que 20 miembros de una organización se dividirán en tres comités: Reglamento, Presupuesto,
Actividades. Los comités de Reglamento y de Presupuesto tendrán 8 miembros cada uno y el comité de
Actividades tendrá 4. ¿De cuántas maneras se pueden asignar los miembros a esos comités?
Dividimos esta tarea en tres partes. Primero seleccionamos los miembros del comité de Reglamento. Esto
puede hacerse de 20C8 formas distintas. Una vez seleccionados los miembros de ese comité, procedemos a
seleccionar miembros del comité de Presupuesto. Ahora sólo quedan 12 miembros de la organización
disponibles, por lo cual el número de formas de seleccionar los miembros del comité de Presupuesto es 12C8.
De paso hemos seleccionado los miembros del comité de Actividades, pues lo constituyen las 4 personas que
quedan. Usando el coeficiente binomial, esto se puede hacer de 4C4 formas distintas. Usamos el principio
básico de conteo para obtener el resultado. Entonces el número de maneras de asignar los miembros a los
comités es
20
 20 12  4 
C 8 *12 C 8 *4 C 4       62.355.150 
 8  8  4 
En una carrera de carros participan 20 corredores. Teniendo en cuenta que no es posible llegar la mismo
tiempo, de cuántas maneras podrán llegar a la meta los tres primeros?
Los veinte corredores son m1,m2,...,m20. Para la primera posición (campeón) hay 20 posibilidades; para la
segunda posición (subcampeón) hay 19 posibilidades, y para el tercer puesto hay 18 posibilidades.
Observamos el diagrama de árbol del margen, por tanto, hay 20*19*18=6840 formas distintas de quedar los
tres primeros clasificados. A estos distintos grupos ordenados de tres corredores, elegidos de entre los 20 que
tenemos, lo llamaremos variaciones de 20 elementos tomando de a tres cada vez
Formas de clasificarse 20 corredores para obtener los tres primeros puestos: 20*19*18.
, ¿De cuántas formas se puede colocar en el tablero de ajedrez 8 torres?
A diferencia del problema 7, aquí no se impone la condición de que las torres no puedan comerse unas a
otras. Por esto, simplemente debemos escoger 8 casillas cualesquiera de las 64 del tablero de ajedrez. Esto
se
puede hacer de C128 = 64!/(8!*56!)=4328284968
, Supongamos que se quiere transmitir el resultado del campeonato mediante un telegrama formado por k
puntos y rayas. ¿Cuál es el menor número de símbolos necesarios para hacerlo?
Sabemos que de k puntos y rayas se pueden formar 2k distribuciones diferentes. Por esto, el menor número
de símbolos que haces posible la transmisión de la información requerida debe ser tal que se cumpla la
desigualdad 2k≥4084080. Resolviéndola, obtenemos que k>=22. Así, pues, para transmitir los resultados del
campeonato mediante puntos y rayas, es necesario utilizar no menos de 22 símbolos.
, Un domador de fieras quiere sacar a la arena del circo 5 leones y 4 tigres. Un tigre no puede ir detrás de
otro. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir las fieras?
Ubiquemos primeramente todos los leones de forma que entre dos de ellos haya un intervalo. Esto se puede
hacer de 5!=120 formas. El número de intervalos es igual a 4. Si agregamos a estos dos lugares más: delante
de todos los leones y detrás de ellos, se obtienen 6 lugares, en los cuales se pueden colocar los tigres, no
estando ningún par de tigres juntos. Como el orden de los tigres tiene importancia, el número de formas de
distribuciones es igual al de arreglos de 6 elementos tomados de a 4, es decir,
, Se construye una escalera que conduce del punto A al B. La distancia AC es igual a 4.5 m, y la CB, a 1.5m.
La altura de cada escalón es igual a 30cm, y su ancho, a un múltiplo entero de 50cm. ¿De cuántas maneras
se puede construir la escalera?
De las condiciones dadas se aprecia que la escalera debe tener 5 escalones. Además, como 4.5/0.5=9,
tenemos 10 lugares en donde se puede hacer un escalón. De esta manera, hay que escoger 5 lugares entre
10. Esto se puede hacer de C105=10!/(5!*5!)=252 formas
, En un estante hay 12 libros. ¿De cuántas formas se pueden escoger 5 de estos de modo que no haya dos
juntos?
Este problema se reduce al que acabamos de resolver. Cifremos cada elección de los libros mediante una
sucesión de ceros y unidades. Precisamente, a cada libro dejado le pondremos en correspondencia un 0, y a
cada uno tomado, un 1. Como resultado, se obtiene una sucesión de 5 unidades y 7 ceros. Además, como no
se pueden tomar libros que estaban juntos, en la sucesión obtenida no habrá dos unidades seguidas. Pero el
número de sucesiones formadas por 5 unidades y 7 ceros, en los que no hay dos unidades juntas, es igual a
, V3,2= 3*2 = 6 que podría ser un grupo de tres socios, por Abe (A), Diego (D) y Ver (V) entre los cuales se van a
designar dos cargos importantes: Representante Legal y tesorero. Si la primera posición es para el Representante legal y la
segunda para el tesorero tenemos las siguientes posibilidades:
(A,D), (A,V)
(D,A), (D,V)
(V,A),(V,D)
Para este caso siempre quedaría uno de ellos sin un cargo, porque son 3 elementos (n=3) tomados 2 cada vez (m=2). Si
todos quieren quedar con un cargo, digamos ahora que entre los 3 socios (n=3) se van a elegir como Presidente de la Mesa
directiva y los cargos de Representante Legal y tesorero. En este caso tenemos V3,3 así, V3,3 = 3·2·1=6 también 6
posibilidades, pero ahora tenemos:
(A,D,V), (A,V,D) (D,A,V), (D,V,A) (V,A,D), (V,D,A)
y así cada uno de los socios tiene un cargo y estarán felices.
¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 sin que se repita ninguna cifra?.
Como el número 123 es diferente del número 321, luego influye el orden y además no se puede repetir ninguna cifra. Por
lo tanto debemos calcular el número de variaciones de nueve elementos (n=9) tomando tres cada vez (m=3), V 9,3 = 9·8·7
= 504 números distintos.
Variaciones con repetición. Lanzamos cuatro veces consecutivas una moneda obteniendo en cada caso una
Cara (C) o Sello (S). Cuántos resultados distintos podremos obtener?
Resultados distintos que se obtienen al lanzar cuatro veces una moneda: 2 · 2 · 2 · 2 = 2 4 = 16. De la misma forma,
podemos hallar el número de resultados distintos que se obtienen al lanzar:
- Una vez una moneda
2
- Dos veces una moneda
2 · 2 = 22 = 4
- Tres veces una moneda
2 · 2 · 2 = 23 = 8
- Cinco veces una moneda 2 · 2 · 2 · 2 = 25.= 32
- En n veces una moneda
2 · 2 · 2... · 2 = 2n.
* ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 si se pueden repetir las
cifras?. Tenemos que hallar el número de variaciones con repetición de 10 elementos tomados de a tres, es decir, VR 10,3 =
103 = 1000
Ahora bien, de estos 1000 números habrá muchos que inicien con cero como por 035, 099, 001 por lo cual no se pueden
considerar de tres cifras. Por esto debemos descontar estos números, y tendremos:
VR10,3 - VR10,2 = 103 - 102 = 1000 - 100 = 900
* , Se lanzan tres dados de distintos colores una vez. ¿Cuántos resultados distintos se pueden obtener?. Son VR 6,3 = 63 =
216 resultados diferentes.
* , Cinco amigos que están en una piscina, después de haberse lanzado por el deslizadero gigante, observan que cada vez
que llegan a la parte superior para el nuevo lanzamiento hacen cola en distinto orden. ¿De cuántas formas podrán hacer
cola para arrojarse de nuevo?
Observe que para la primera posición hay cinco personas, cuatro para la segunda, etc. De esta forma tenemos que el
número de formas distintas de hacer cola es, V5,5 = 5! = 5·4·3·2·1 = 120
Como observamos, en este caso intervienen a la vez todos los elementos y únicamente varía el orden de colocación.
* , Queremos permutar (arreglar) las letras abc. Cuáles arreglos se obtienen? abc, acb, bac, bca, cab y cba. Son 6
permutaciones diferentes. También hubiéramos podido decir son 3 letras diferentes a, b y c por lo tanto son 3!
permutaciones, o sea 3*2*1=6
Vemos que hay efectivamente 3 opciones para la primera posición (cualquiera de las letras a, b o c, luego quedan sólo dos
opciones para la segunda posición (por si se escogió a para la primera posición, quedarían b o c para la segunda
posición), y quedaría una sola letra para la tercera posición.
, En un campeonato suramericano de Fútbol llegan a un cuadrangular final los cuatro seleccionados de Brasil, Argentina,
Colombia y Uruguay. Formar las diferentes clasificaciones para los cuatro primeros puestos del torneo. ¿Cuántas hay?
Representamos por sus iniciales a cada seleccionado y mediante un diagrama de árbol se obtiene:
De aquí vemos que hay P4 = 4! = 4·3·2·1 = 24 clasificaciones distintas.
, De cuántas formas puede cespro.com colocar a 3 programadores de sistemas en 3 diferentes ciudades. Si los
programadores están disponibles para cualquiera de 5 ciudades.
Entonces se tienen 3 programadores disponibles pero hay 5 posibles ciudades a donde ellos pueden ir. ¿De cuántas formas
podríamos ubicarlos?. Tenemos 60 formas posibles de ubicarlos en las 5 ciudades. Parece que de todos modos va tocar
pensar bien dónde ubicarlos...
, ¿Cuántas palabras se pueden formar con ocho letras de forma que dos de ellas estén siempre juntas y guardando el
mismo orden?
Como las dos letras siempre van a estar juntas y en el mismo orden, las podemos considerar como si fuera una sola letra.
Por esta razón es una permutación realmente de sólo siete elementos:
P7 = 7! = 7·6·5·4·3·2·1 = 5040 palabras diferentes
: ¿De cuántas formas se pueden sentar nueve personas en una mesa circular?
Hay que tener en cuenta que una vez sentadas, si trasladamos a cada persona un asiento a la izquierda obtendremos una
posición idéntica a la anterior. Por ello dejamos fija una persona y permutamos todas las demás:
P8 = 8! = 8·7·6·5·4·3·2·1 = 40320 formas distintas
, Supongamos que queremos hacer un arreglo de luces, con 4 bombillas amarillas, 3 bombillas azules y 3
rojas. En total se tienen 10 bombillas. Pero, ¿qué arreglos de colores puedo tener?.
, Imaginemos que tenemos 5 monedas de 100 centavos, de las cuales dos están en posición de cara y tres en posición de
Sello. ¿Cuántas ordenaciones diferentes podremos formar en las que siempre estén dos en posición de cara y tres en
posición de Sello?
Las ordenaciones posibles son: (CCSSS, CSCSS, CSSCS, CSSSC, SCCSS, SCSCS, SCSSC, SSCCS, SSCSC, SSSCC)
LECCIÓN 06. INTRODUCCIÓN A LOS CONJUNTOS
, Sea el experimento E : lanzar una moneda y un dado (en ese orden).
Exprese por extensión el espacio muestral.
Exprese por extensión los eventos.
b1) A = { aparecen caras y un número par}
b2) B = { aparece un número primo}
b3) C = { Aparecen sellos y un número impar}
b4) A o B ocurren.
b5) B y C ocurren.
b6) Solamente B ocurre.
b7) No ocurre B
a) S = { (c,1),(c,2),....(c,6),(s,1),(s,2)...(s,6)}
b1) A = {(c,2), (c,4),(c,6)}
b2) B = {(c,2),(c,3),(c,5),(s,2),(s,3),(s,5)}
b3) C = { (s,1),(s,3),(s,5)}
b4) A  B = {(c,2),(c,3),(c,4),(c,5),(c,6),(s,2),(s,3),(s,5)}
b5) B  C = { (s,3),(s,5)}
b6) B-( A  C) = B  (A  C)’ = { (c,3),(c,5),(s,2)}
b7) B’ = { (c,1),(c,4),(s,1),(s,4),(s,6)}
, Sea el experimento E : lanzar 2 dados simultáneamente. Se definen los eventos: A = { obtener una suma
impar} ; B = { obtener por lo menos un seis}
Escriba el espacio muestral
Escriba los eventos señalados matemáticamente y por extensión.
Escriba A  B por extensión.
Escriba A  B
Escriba A - B
Escriba A ‘
Escriba en palabras los eventos c, d, e y f.
b) A = { (x,y) / x + y = impar}
= {(1,2).(1,4),(1,6),(2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),
(4,1),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,1),(6,3),(6,5)}
B = { (x,y) / x =6 v y = 6}
= { (6,1),(1,6),(6,2),(2,6),(6,3),(3,6),(6,4),(4,6),(6,5),(5,6),(6.6)}
g) A  B = { obtener suma impar ó obtener por lo menos un seis}
A  B = obtener suma impar y por lo menos un seis
A - B
= obtener suma impar pero ningún seis 
A,
=
Obtener suma par 
, Sean A y B eventos cualquiera de un espacio muestral S. Escribir en notación de conjunto y representar en
un diagrama de Venn, los siguientes eventos.
Ocurre A
Ocurre solo A
A o B ocurren , pero no ambos
A o B ocurren
Ocurre A y B
Si ocurre A , también ocurre B
Ocurre A o no ocurre B
4.- En una facultad el 25 % de los estudiantes reprobó matemáticas, el 15 % reprobó estadística y el 10 %
reprobó ambas materias. Se selecciona un estudiante al azar, calcular las probabilidades siguientes:
Que halla reprobado al menos una materia.
Que halla reprobado solo matemáticas.
c) Que halla aprobado ambas asignaturas
d) Que halla aprobado solo estadística.
a)
b)
c)
d)
30 %
15 %
70 %
95 %
6.-
a)
b)
100
0.0384
, - En una encuesta realizada a 200 personas adultas se les consultó si tenían hijos y si poseían trabajo,
obteniéndose los siguientes resultados:
-75 personas respondieron que tenían hijos
-80 respondieron que tenían solamente trabajo.
-35 respondieron que no poseían trabajo, pero si tenían hijos.
Represente la información en un diagrama de Venn.
Cuál es la probabilidad que una persona elegida al azar:
b1) Trabaje y tenga hijos.
b2) Tenga trabajo.
b3) No tenga hijos ni trabaje.
Se escogen personas hasta que una responde que tiene hijos o tiene trabajo, eligiendo hasta un máximo de
5 personas.
c1) Describa el espacio muestral.
c2) Calcule la probabilidad de escoger a lo más a tres personas.
b1)
b2)
b3)
c2)
0.2
0.6
0.225
0.03923
, El departamento de préstamos de una Institución Financiera ha efectuado una encuesta entre sus afiliados,
como parte de un estudio para la determinación de prioridades en la asignación de préstamos. Se obtuvieron
2.600 respuestas con los siguientes resultados:
-800 afiliados son casados.
-1.000 afiliados habitan en casa arrendada.
-950 perciben ingresos inferiores a $ 150.000 mensuales
-200 son casados no habitan en casa arrendada y perciben ingresos superiores a $ 150.0000 mensuales.
-350 son casados y habitan en casa arrendada.
-230 son solteros , habitan en casa arrendada y tienen ingresos inferiores a $ 150.000
-350 son casados y perciben ingresos inferiores a $ 150.000.
Se pide determinar:
El número de afiliados casados, que habitan en casa arrendada y perciben ingresos inferiores a $ 150.0000.
Si se elige un afiliado al azar. Cuál es la probabilidad de que sea casado, viva en casa arrendada y perciba
ingresos inferiores a $ 150.000.
, Para tres eventos A, B y C de un espacio muestral S, se conocen las siguientes probabilidades:
P(A  B)= x
; P(B)=y
; P ( C  A’ ) = w
P(A  C)=z
; P ( A  B ) = 0 ; P ( B  A’  C’ ) = 0
Calcular las siguientes probabilidades.
Ocurra al menos un evento
Ocurra a lo mas un evento
Ocurra ningún evento.
Ocurra solo el evento A.
Ocurra solo un evento.
, Determinar el espacio muestral y el espacio de sucesos del experimento aleatorio que consiste en lanzar una moneda y
anotar el resultado de la cara superior.
, En el experimento que consiste en extraer una carta de una baraja española consideremos el suceso A = "Salir figura".
¿Cuándo diremos que se ha realizado el suceso A?
, Un fabricante de computadoras dispone de 5 terminales, de las cuales hay dos defectuosas. Se sacan
aleatoriamente 2 para verificar. Desarrolle considerando: D1 y D2 las terminales no defectuosas y las buenas
como B1, B2 y B3
Una lista de espacio muestral: Los eventos simples son: E1=(D1,D2), E2=(D1,B1), E3=(D1,B2), E4=(D1,B3),
E5=(D2,B1), E6=(D2,B2), E7=(D2,B3), E8=(B1,B2), E9=(B1,B3), E10=(B2,B3), por tanto el espacio muestral
es S=(E1,E2,...,E10)
Sea A es un formato que se llena con las notaciones de las terminales son defectuosas. Elabore una lista de
los eventos de A: Evento A=(E8,E9,E10)
Construya el diagrama de Venn para el caso A
E1, E2, E3, E4, E5,
E6, E7, E8, E9, E10
Asigne valores de probabilidad referente a este experimento: P(E)=1/10, para cualquier evento
Probabilidad de A: P(A)=P(E8)+P(9)+P(E10)=3/10
, Los tipos de grupos sanguíneos humanos son: A, B, AB y O, y cada individuo puede tener un factor Rh,+ o . Un técnico laboratorista anota el tipo de sangre de los pacientes. Elabora una lista del espacio muestral de
este experimento
, Un vehículo llega a un crucero y puede girar a la derecha o a la izquierda o continuar de frente. El
experimento consiste en observar las direcciones que toma un vehículo en este crucero. Elabore una lista del
espacio muestral. Si los puntos tienen igual valor de probabilidad de ocurrencia, cual es la probabilidad de que
un vehículo cambie de dirección
, Se hace lanzamiento de un dado y una moneda. Construya el espacio muestral
Verifique: S=[1C,2C,3C,4C,5C,6C,1S,2S,3S,4S,5S,6S]
, La intersección de conjuntos se define,
Verifique A  B  x / .x  A  x  B
. La unión de conjuntos se define,
Verifique
A  B  x / .x  A  x  B
, El conjunto complemento de A, A´ se define como
Verifique, El conjunto de elementos que le faltan a A para ser el conjunto Universal
*. El espacio muestral asociado al experimento de lanzar una moneda y anotar el resultado de la cara superior
es E=(C, S)
*. El experimento consiste en lanzar dos monedad sobre una mesa y anotar los resultados de las caras
superiores tiene por espacio muestral, E = (CC, CS, SC, SS)
Ejercicio. Una empresa produce componentes electrónicos. La probabilidad de que un
componente se averíe en un periodo de tiempo dado es 0,01. Su estado (Averiado o funcionando)
se comprueba con un ensayo que cumple que, cuando el componente funciona, la probabilidad de
que el ensayo diga lo contrario es 0,05, pero si el componente está averiado el ensayo no se
equivoca. Si el ensayo indica que el componente está averiado, ¿Cuál es la probabilidad de que
realmente lo esté?
Ejercicio. Una máquina consta de tres componentes en serie, cada uno de los cuales tiene una
probabilidad de fallo de 0,01.
a). Calcular la probabilidad de que la máquina funcione.
b). Por motivos de seguridad se decide colocar otros tres componentes, en paralelo con los
primeros, para reducir el riesgo de avería de la máquina. Por motivos económicos, estos
componentes de seguridad son de inferior calidad y tienen una probabilidad de averiarse de 0,05.
Suponiendo que todos los componentes actúan independientemente, ¿cuál de las dos alternativas
presentadas a continuación presenta mayor fiabilidad?
Ejemplo, Se forman signos que consisten de una figura geométrica (circunferencia, cuadrado,
triángulo o hexágono), una letra y una cifra. ¿Cuántos signos de este tipo pueden formarse?
Aquí se puede elegir, en primer termino, una figura geométrica. Esta elección se puede hacer de
cuatro maneras (disponemos en total de cuatro figuras). Luego hay que escoger una de las 27
letras y, por ultimo, una de las 10 cifras. En total, se obtienen 4 x 27 x 10 = 1080 combinaciones.
Ejemplo, ¿De cuantas formas se pueden escoger dos fichas de domino, de las 28 que hay, de
forma que se puedan aplicar una a la otra (es decir, de modo que se encuentre el mismo número
de tantos en ambas fichas)?. Cual es la
Escojamos primeramente una ficha. Esto se puede hacer de 28 maneras. Aquí, en 7 casos la ficha
elegida será un “doble”, es decir, tendrá la forma 00, 11, 22, 33, 44, 55, 66, y en 21 casos será una
ficha con distinto número de tantos (por ejemplo 05, 13, etc.). En el primer caso, la segunda ficha
se puede elegir de 6 maneras (por ejemplo, si en el primer paso fue elegida la ficha 11, en el
segundo se puede tomar una de las fichas 01, 12, 13, 14, 15, 16). En el segundo caso, la segunda
ficha se puede escoger de 12 maneras (para la ficha 35 servirán las 03, 13, 23, 33, 43, 63, 50, 51,
52, 54, 55, 56). Según la regla del producto, en el primer caso obtenemos 7 x 6 = 42 elecciones, y
en el segundo, 21 x 12 =252. Esto significa, según la regla de la suma, que tendremos 42 + 252
=294 formas de elegir el par. Observación. El razonamiento efectuado se consideró también el
orden en que se elegían las fichas. Por esto, cada par de fichas figuraba dos veces.
Se realiza un experimento aleatorio que consiste en la extracción de una carta de una baraja española. Se pide
hallar las siguientes probabilidades
a) "Obtener un oro"
b) "Obtener un as"
El espacio muestral del experimento está formado por los 40 resultados posibles correspondientes a cada una
de las cartas de la baraja. A continuación formamos los sucesos de los cuales nos piden estimar la
probabilidad.
a) O = "Obtener un oro" = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, S, C, R) → p (O) = 10/40 = 1/4
b) A = "Obtener un as" = (1E, 1C, 1B,10) → p (A) = 4/40 = 1/10
En este caso los subíndices son E =Espada, C = Copas, B = Bastos, O = Oro
Consideremos el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos datos y anotar la suma de los puntos de las
caras superiores. Hallar la probabilidad de los siguientes sucesos
a) Obtener suma de igual a 8
b) Obtener suma menor o igual a 4
Espacio muestral del experimento E= ((1,1),(1,2), (1,3),..,(2,2), (2,3),...,(6,1),...,(6,6))
Por tanto, el número de casos posibles de casos es 36
a) S8 = ((2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2))→ p (S8) = 5/36
b) S≤4= ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1),(2,2),(3,1)) → p ( S ≤4) =6/36 = 1/6
Ejemplo, Para el experimento aleatorio de tirar un dado, el espacio muestral es 
este espacio el conjunto de sucesos es P() = {, {1}, {2}, ..
una probabilidad hay que asignar un número a todos esos sucesos.
Sin embargo si se ha asignado a los sucesos elementales P({1})= P({2})= ...= P({6})= 1/6, por la propiedad
ii), p.e. la probabilidad del suceso {1, 3} es P({1,3})= P({1})+ P({3})=2/6.
Ejemplo, Un 15% de los pacientes atendidos en un hospital son hipertensos, un 10% son obesos y un 3% son
hipertensos y obesos. ¿Qué probabilidad hay de que elegido un paciente al azar sea obeso o hipertenso?
A = {obeso} B = {hipertenso}
A  B = {hipertenso y obeso}
A  B = {obeso o hipertenso}
P(A) = 0,10; P(B) = 0,15; P(A  B) = 0,03
P(A  B) = 0,10 + 0,15 - 0,03 = 0,22
LECCIÓN 09. PROBABILIDAD CONDICIONAL
Ejemplo, El número de errores X que una mecanógrafa comete por página es una variable aleatoria con
función de probabilidad
P(X  x)  e 2 * 2 x / x!
x00,1,...
Si la página tiene x erratas, el número de minutos Y, que emplea en revisar y corregir dicha página, es una
variable con distribución
1 / 5

P(Y  y / X  x )  3 / 5
1 / 5

si y  1  x
si y  2  x
si y  3  x
Encuentra las probabilidades de
a. que se necesiten 4 minutos para revisar y corregir una página tomada al azar
b. si se han empleado 5 minutos en la revisión y corrección, cual es la probabilidad de que tuviera tres errores
a.
b.
Ejemplo, se tira un dado y sabemos que la probabilidad de que salga un 2 es 1/6. Si incorporamos nueva
información (por ejemplo, alguien nos dice que el resultado ha sido un número par) entonces la probabilidad
de que el resultado sea el 2 ya no es 1/6. P (B/A) es la probabilidad de que salga el número 2 (suceso B)
condicionada a que haya salido un número par (suceso A).
P(A  B). es la probabilidad de que salga el dos y número par. P(A) es la probabilidad a priori de que salga
un número par. Por tanto, P(A  B).) = 1/6 y P (A) = ½, entonces, P (B/A) = (1/6) / (1/2) = 1/3. Luego, la
probabilidad de que salga el número 2, si ya sabemos que ha salido un número par, es de 1/3 (mayor que su
probabilidad a priori de 1/6).
Ejemplo, En un estudio sanitario se ha llegado a la conclusión de que la probabilidad de que una persona
sufra problemas coronarios (suceso B) es el 0,10. Además, la probabilidad de que una persona sufra
problemas de obesidad (suceso A) es el 0,25 y la probabilidad de que una persona sufra a la vez problemas de
obesidad y coronarios (suceso intersección de A y B) es del 0,05. Calcular la probabilidad de que una persona
sufra problemas coronarios si está obesa (probabilidad condicionada P(B/A)).
P(A  B) = 0,05, o sea, P (A) = 0,25, entonces, P (B/A) = 0,05 / 0,25 = 0,20
Ejemplo, Una mujer es portadora de la enfermedad de Duchenne ¿Cuál es la probabilidad de que su próximo
hijo tenga la enfermedad?
Según las leyes de Mendel, todos los posibles genotipos de un hijo de una madre portadora (xX) y un padre
normal (XY) son xX, xY, XX, XY y tienen la misma probabilidad. El espacio muestral es  = {xX, xY, XX,
XY} el suceso A={hijo enfermo} corresponde al genotipo xY, por tanto, según la definición clásica de
probabilidad P(A) = 1/4 = 0,25
La mujer tiene el hijo y es varón ¿qué probabilidad hay de que tenga la enfermedad?
Se define el suceso B = {ser varón} = {xY, XY} la probabilidad pedida es P(A/B) y aplicando la definición
anterior P(B) = 0,5; A  B = {xY}; P(A B) = 0,25; P(A/B) = 0,25/0,5 = 0,5
Si sabemos que es varón, el espacio muestral ha cambiado, ahora es B. Por lo tanto se puede calcular P(A/B)
aplicando la definición clásica de probabilidad al nuevo espacio muestral P(A/B) = 1/2 = 0,5
Ejemplo, Se sabe que el 50% de la población fuma y que el 10% fuma y es hipertensa. ¿Cuál es la
probabilidad de que un fumador sea hipertenso?
A = {ser hipertenso} B = {ser fumador} A  B = {ser hipertenso y fumador} P(A/B) = 0,10/0,50 = 0,20
Obsérvese que los coeficientes falso-positivo y falso-negativo de las pruebas diagnósticas son probabilidades
condicionadas.
Ejemplo, Para un hijo de una mujer portadora de Duchenne, el sexo y la enfermedad ¿son independientes?
Según vimos en el Ejemplo el espacio muestral es  = {xX, xY, XX, XY}
Definimos los sucesos A = {varón} = {xY, XY}; B = {enfermo} = {xY}
A  B = {xY} por lo tanto P(A) = 0,5; P(B) = 0,25; P(A  B) = 0,25  P(A) P(B) NO son independientes.
Ejemplo, Se sabe por estudios previos que el 0,1% de la población tiene problemas vasculares. Un estudio
sobre individuos con problemas vasculares revela que el 20% de ellos son placas de ateroma. Si el 10% de los
individuos con placas de ateroma está expuesto a muerte súbita por desprendimiento de trombos ¿qué
probabilidad tiene un individuo cualquiera de estar expuesto a muerte súbita por desprendimiento de trombos
de una placa de ateroma?
A1 = {problemas vasculares}; A2 = {placas de ateroma}; A3 = {expuesto a muerte súbita por ....} P(A1) =
0,001; P(A2/A1) = 0,20; P(A3/A1  A2) = 0,1 P(A1 A2  A3) = 0,001 x 0,20 x 0,1 = 0,000002
Ejemplo, Una urna contiene 10 bolas, de las cuales 3 son rojas, 5 verdes y 2 azules. Se extraen al azar 3
bolas. Calcular la probabilidad de que la primera sea azul, y las otras dos verdes.
Definimos A1 = {la 1ª bola es azul}; A2 = {la 2ª bola es verde}; A3 = {la 3ª bola es verde} P(A1) = 2/10
aplicando la definición clásica de probabilidad, puesto que hay 10 bolas y 2 son verdes. P(A2/A1) = 5/9; si la
primera bola extraída es azul, en la urna quedan 9 bolas, 5 de ellas verdes. P(A 3/A1  A2) = 4/8; si la primera
bola extraída es azul y la segunda verde en la urna quedan 8 bolas, 4 de ellas verdes. P(A1  A2  A3) =
2/10 x 5/9 x 4/8 = 1/18
PROBABILIDAD TOTAL
Ejemplo, Estudiamos el suceso A (porcentaje de varones mayores de 40 años casados) y el suceso B (varones
mayores de 40 años con más de 2 hijos) y obtenemos la siguiente información: Un 35% de los varones
mayores de 40 años están casados. De los varones mayores de 40 años y casados, un 30% tienen más de 2
hijos (suceso B condicionado al suceso A).
Calcular la probabilidad de que un varón mayor de 40 años esté casado y tenga más de 2 hijos (suceso
intersección de A y B). Por lo tanto, P (A) = 0,35, P (B/A) = 0,30
P(A  B) = 0,35 * 0,30 = 0,105. Es decir, un 10,5% de los varones mayores de 40 años están casados y tienen
más de 2 hijos.
Ejemplo, Estudiamos el suceso A (alumnos que hablan inglés) y el suceso B (alumnos que hablan alemán) y
obtenemos la siguiente información: Un 50% de los alumnos hablan inglés.
De los alumnos que hablan inglés, un 20% hablan también alemán (suceso B condicionado al suceso A).
Calcular la probabilidad de que un alumno hable inglés y alemán (suceso intersección de A y B). Por lo tanto,
P (A) = 0,50, y P (B/A) = 0,20
P(A  B) = 0,50 * 0,20 = 0,10, es decir, un 10% de los alumnos hablan inglés y alemán.
Ejemplo, En una urna hay papeletas de tres colores, con las siguientes probabilidades de ser elegidas: a)
Amarilla: probabilidad del 50%, b) Verde: probabilidad del 30%, y c) Roja: probabilidad del 20%. Según el
color de la papeleta elegida, podrás participar en diferentes sorteos.
Así, si la papeleta elegida es: a) Amarilla: participas en un sorteo con una probabilidad de ganar del 40%; b)
Verde: participas en otro sorteo con una probabilidad de ganar del 60%, o c) Roja: participas en un tercer
sorteo con una probabilidad de ganar del 80%.
Con esta información, ¿qué probabilidad tienes de ganar el sorteo en el que participes?
Las tres papeletas forman un sistema completo: sus probabilidades suman 100%, luego,
P (B) = (0,50 * 0,40) + (0,30 * 0,60) + (0,20 * 0,80) = 0,54
Por tanto, la probabilidad de ganar el sorteo es del 54%.
Ejemplo, Van a cambiar a tu jefe y se barajan diversos candidatos: a) Abe, con una probabilidad del 60%, b)
Ver, con una probabilidad del 30%, y c) Diego, con una probabilidad del 10%.
En función de quien sea tu próximo jefe, la probabilidad de que te suban el sueldo es la siguiente: a) Si sale
Abe: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 5%, b) Si sale Ver: la probabilidad de que te suban el
sueldo es del 20%, o c) Si sale Diego: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 60%.
En definitiva, ¿cual es la probabilidad de que te suban el sueldo?
Los tres candidatos forman un sistema completo
P (B) = (0,60 * 0,05) + (0,30 * 0,20) + (0,10 * 0,60) = 0,15
Por tanto, la probabilidad de que te suban el sueldo es del 15%.
LECCIÓN 10. TEOREMA DE BAYES
Ejemplo, El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana: a) Que llueva:
probabilidad del 50%, b) Que nieve: probabilidad del 30%, y c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.
Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente, a) Si
llueve: probabilidad de accidente del 10%, b) Si nieva: probabilidad de accidente del 20%, o c) Si hay niebla:
probabilidad de accidente del 5%.
Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estábamos en la ciudad no sabemos que tiempo
hizo (nevó, llovió o hubo niebla). El teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades: Las
probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se denominan probabilidades a
priori (lluvia con el 60%, nieve con el 30% y niebla con el 10%).
Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso A
cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que se denominan probabilidades a posteriori.
a)
Probabilidad de que estuviera lloviendo:
P(A i / B) 
0.50  0.20
 0.714
(0.50  0.20)  (0.30  0.10)  (0.20  0.05)
La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del accidente (probabilidad a posteriori)
es del 71,4%.
b) Probabilidad de que estuviera nevando:
P(A i / B) 
0.30  0.10
 0.214
(0.50  0.20)  (0.30  0.10)  (0.20  0.05)
La probabilidad de que estuviera nevando es del 21,4%.
c)
Probabilidad de que hubiera niebla:
P(A i / B) 
0.20  0.05
 0.071
(0.50  0.20)  (0.30  0.10)  (0.20  0.05)
La probabilidad de que hubiera niebla es del 7,1%.
INDEPENDENCIA DE SUCESOS
Ejemplo: la probabilidad de que haga buen tiempo (suceso A), condicionada a que al tirar una moneda salga
cara (suceso B), es igual a la propia probabilidad del suceso A.
Ejemplo, Sean los dos sucesos: P(A) = la probabilidad de que haga buen tiempo es del 0,4, y P(B) = la
probabilidad de tener un accidente es del 0,1, y P(A  B) = la probabilidad de que haga buen tiempo y tener
un accidente es del 0,08
Veamos si se cumple alguna de las condiciones señaladas:
P (B/A) = P(A  B) / P (A) = 0,08 / 0,4 = 0,2 (que no es igual a P (B))
P (A/B) = P(A  B) / P (B) = 0,08 / 0,6 = 0,133 (que no es igual a P (A))
P(A  B) = 0,08 (que no es igual a P (A) multiplicado por P (B))
Por lo tanto, no se cumple ninguna de las tres condiciones señaladas por lo que estos dos sucesos no son
independientes, sino que existe algún grado de dependencia entre ellos.
1
Un servicio de urología en el que el 38,2% de los pacientes a los que se les practica una biopsia prostática
presentan una hiperplasia benigna (HB), el 18,2% prostatitis (PR) y en un 43,6% el diagnóstico es de cáncer
(C). La probabilidad de que en un paciente que se somete a una biopsia de próstata no se confirme el
diagnóstico de cáncer prostático será igual a:
PHB ó PR   PHB   PPR   0,382  0,182  0,564
Es decir, en un 56,4% de los casos se logra descartar un diagnóstico maligno. De modo equivalente, la
probabilidad anterior podría haberse calculado como la probabilidad del suceso contrario al del diagnóstico de
cáncer:
PHB ó PR  P C  1  PC   1  0,436  0,564
Nótese la importancia del hecho de que los sucesos anteriores sean mutuamente excluyentes. Sin esta
condición, la ley de adición no será válida. Por ejemplo, se sabe que en una determinada Unidad de Cuidados
Intensivos (UCI) el 6,9% de los pacientes que ingresan lo hacen con una infección adquirida en el exterior,
mientras que el 13,7% adquieren una infección durante su estancia en el hospital.
 
1
Tomado de Pértegas Díaz S, Pita Fernández S. Unidad de Epidemiología Clínica y Bioestadística. Complexo Hospitalario-Universitario
Juan Canalejo. A Coruña (España)