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CAPITULO 13
EL MODELO DE BOHR II
13-1 ATOMOS HIDROGENOIDEOS
Como hemos visto, la teoría de Bohr es limitada y hasta ahora solo la hemos aplicado
al átomo de hidrogeno. Sin embargo, la utilidad de la teoría de Bohr se puede
extender, considerando los átomos hidrogenoideos. Estos son átomos con cargas
nucleares Ze, pero en los que solo un electrón gira alrededor del núcleo. Incluyen
átomos como el helio ionizado una vez He+ (en el cual Z=2), el litio ionizado dos veces
Li2+ (Z=3), etc. La ecuación de la fundamental segunda ley de Newton en este caso es:
F 1
1

40
Ze 2 m.v 2

r
r2
La segunda ecuación básica es la misma ecuación del momento angular utilizada
cuando la teoría de Bohr se aplico al átomo de hidrógeno:
L  m.v.r  nh
La tabla 13-1 da una lista de ecuaciones útiles para el hidrogeno y para los átomos
hidrogenoideos que pueden ser comparadas. Note que donde quiera que e 2 aparece
para el átomo de hidrogeno, simplemente se le remplaza por Ze 2 para los átomos
hidrogenoides.
Para el mismo valor del numero cuantico n, el radio de la orbita electrónica en un
átomo hidrogenoideo es menor que el del correspondiente en el átomo de hidrogeno
por un factor 1 . Los niveles de energía para la misma n se hacen más negativos por
Z
un valor de 1/Z2.
Tabla 13-1 Comparación del hidrogeno y de los átomos
Hidrogenoides según la teoría de Bohr
Hidrogeno
Hidrogenoideo
40 n 2 h 2
rn 
me 2
40 n 2 h 2
rn 
mZe 2
En  
R
me 4
32  0 h
2
me
2
2
4
64 h  0 c
3
3
2
 1
1 
 R 2  2 
n

nt 
 f
1

1
1
  2 13,6eV
2
n
n
En  
R' 
me 4
32  0 h
2
2
mZ 2 e 4
64 h  0 c
3
3
2
2

1
1
  2 13,6eV
2
n
n
 RZ 2
 1
1 
 RZ 2  2  2 
n

nt 
 f
1
Figura 13-1
Comparación de los niveles de energía del H y del He+
E∞= 0
n=5
n=4
E8= -0.85 eV
n=8
n=7
n=3
n=6
E6= -1.51eV
n=2
n=5
E5= -2.08eV
E4= -3.40eV
n=4
n=3
n=1
n=2
Serie de Lyman
Hidrogeno
E3= -6.04eV
E2= -13.6eV
Serie de Pickering
Helio ionizado una vez (He+)
En particular, para el helio ionizado una vez He+ (Z=2), la energía del estado base es
E1=-(13.6/12).22 = -54.4 eV. Para n=2, el nivel de energía para el H+ es E2= -(13.6/22).22
= -13.6 eV, que coincide con el E1= -13.6 eV del estado base del hidrogeno. También,
para el He+, E4= -(13.6/42).22= -3.40 eV, que coincide con el estado n=2, del hidrogeno,
E2= -3.40 eV. Por lo tanto, una transición de n=2 a n=1 en el hidrogeno libera un fotón
de la misma longitud de onda que una transición de n=4 a n=2 en el He+. Estas
transiciones se ilustran en la figura 13-1. Muchas líneas de la serie de Lyman del
hidrogeno (transiciones a n=1) coinciden con algunas de las líneas de la serie
Pickering (transiciones a n=2) del He+; esta fue una fuente de confusión para los
primeros espectros copistas. La constante de Rydberg R y por lo tanto el numero de
onda
k  1 , son Z2 veces mayores en el He+ que en el H para cualquier transición



dada ni  n f .
13-2 CORRECCION PARA EL MOVIMIENTO NUCLEAR
Hasta ahora, en la teoría de Bohr se ha supuesto que el núcleo masivo esta
esencialmente en reposo y que el electrón gira alrededor de el. Una imagen mas
realista de el átomo de hidrógeno, mostrada en la figura 13-2, sitúa al electrón de
masa m y al protón de masa M girando ambos alrededor de su centro de masa común
c. si re y rn son las distancias respectivas del electrón y del núcleo a su centro de
masa. La figura 13-2 muestra que:
r  re  rn
(13-3)
De la definición de centro de masa,
Mrn  mre
Y estas dos ecuaciones dan:
 M 
re  
r
M m
 m 
rn  
r
M m
(13-5) y (13-6) respectivamente
Figura 13-2
El electrón y el núcleo giran alrededor de su centro de masa común
(13-4)
Masa reducida,  
mM
mM
 M

re  
r
M m
m


rn  
r
M m
La aplicación del segundo postulado de Bohr proporciona ahora el momento angular
con respecto al centro de masa como
L  Mv n rn  mve re
(13-7)
donde vn  rn y ve  re son las velocidades lineales respectivas del núcleo y del
electrón. La ecuación (13-7) se puede escribir
L  Mrn  mre  nh
2
2
(13-8)
Al sustituir la expresión para rn y re dadas por las ecuaciones (13-5) y (13-6) en la
ecuación (13-8) dan
r 2  nh
donde

(13-9) y (13-10) respectivamente
mM

m  M
Es llamada la masa reducida.
La ecuación (13-9) es similar a la ecuación (12-9), L  mvr  nh , que fue
desarrollada ignorando el movimiento del núcleo. Esta similitud es más evidente si
suponemos un estado estacionario y escribimos
L  mr 2  nh
(13-11)
ya que v  
La ecuación básica (13-9) es ahora idéntica a la ecuación 812-9), excepto que la masa
del electrón se a reemplazado por la masa reducida  . Se puede ver fácilmente que
la ecuación (13-11) es solo una aproximación, ya que M>m y
  mM m  M   m
La energía potencial del sistema es
v
1
40

e2
r
Y la energía cinética es
K

2
1
1
2
mve  Mv n
2
2
mr
2
2
e
2
 Mrn
2

Que después de ciertas simplificaciones se puede escribir en la forma
K
1
 2 r 2
2
(13-12)
Ahora, aplicando la segunda ley de Newton al movimiento del electrón, podemos
escribir
2
v
1 e2
 2  m e  m  re
40 r
re
Y usando la ecuación (13-5),
1
40

e2
mM

 2r
2
m  M 
r
e2
 2   2 r
40 r
(13-13)
1
De la ecuación 813-9), podemos concluir que
 nh
e2
 2   
2
40 r
  r
1
2

 r

Y los radios de las orbitas estacionarias son
r
40 n 2 h 2
  e2
(13-14)
Que se identifica con la ecuación (12-11), donde m es reemplazada por µ.
Combinando las ecuaciones (13-12) y (13-13) obtenemos la energía cinética
k
1
1 e2
   2  r 2 
2
80 r
Y la energía total, cinética mas potencial, toma la forma
E
1 e2
80 r
O, cuando r=rn de la ecuación (13-14) se sustituyen,
E
  e4  1 
 2
2
32 2  0 h 2  n 
(13-15)
Aplicando la formula de Bohr para una transición entre un estado inicial de energía Ei y
un estado final Ef (donde Ei> Ef) obtenemos la frecuencia del fotón emitido en la forma
v
c


Ei  E f
h
Y cuando se usa la expresión para la energía dada por la ecuación (13-15) obtenemos
v
  e4
2
64 3 h 3 0
 1
1 


n 22 n 2 
i 
 f
(13-16)
Así, la longitud de onda del fotón es
1


 1
  e4
1 


2
2
2
64 3 h 3 0 c  n f
ni 


(13-17)
2
Con la constante de Rydberg dada ahora evidentemente por
R 
  e4
2
64 3 h 3 0 c
(13-18)
La longitud de onda se escribe ahora mas correctamente en la forma
 1
1 
 R  2  2 
n

ni 
 f
1
(13-19)
La razón de Rµ a la constante de Rydberg R (recuérdese la ecuación 12-18), con
corrección para el movimiento nuclear, es
R
R


m

1
1 m
1
(13-20)
M
Una comparación de los niveles de energía con y sin correcciones para el movimiento
nuclear dados por las ecuaciones (13-15) y (12-14), respectivamente, muestra que
para el mismo valor de n, los niveles de energía calculados con las correcciones son
menos negativos que los niveles correspondientes sin correcciones; o sea,
En (con corrección) > En (sin corrección).
Consecuentemente, los niveles de energía con las correcciones están ligeramente
desplazados en la dirección positiva, como se muestra en la figura 13-3.
Una comparación de las ecuaciones (13-19) y (12-19) también muestra que

1
1
 
  (concorrección )    (sin corrección ) 


Esto significa que cuando se toma en cuenta las correcciones anteriores, las
longitudes de onda calculadas de los fotones emitidos son ligeramente mayores. Un
nuevo calculo de la constante de Rydberg da ahora
R  1.0973731 *10 7 m 1 (con corrección)
(sin corrección)
R  1.0967758 *10 7 m 1
Figura 13-3
Niveles de energía del átomo de hidrogeno con y sin correcciones para el movimiento
nuclear. Los niveles de energía en (a) están hechos a escala, pero las diferencias
mostradas en (b) se han exagerado para que pueda apreciarse
E∞
n=∞
E∞
E5
n=5
E5
E4
n=4
E4
E3
n=3
E3
E2
n=2
E2
E1
n=1
E1
(a) sin corrección
(b) con corrección
El átomo de deuterio D, un21 isótopo del hidrógeno, tiene un núcleo compuesto de un
protón y un neutrón. Ya que la masa del neutrón es apenas ligeramente distinta de la
del protón, la masa reducida del deuterio es
D 
m
1 m
2M
(13-21)
lo que hace a µD>µ. Ya que la constante Rydberg es directamente proporcional a la
masa reducida, es evidente que la constante de Rydberg para el deuterio es
ligeramente mayor que para el hidrogeno; o sea, RµD>Rµ. Esta pequeña discrepancia
jugo un importante papel en el descubrimiento del deuterio (hidrogeno pesado) por el
físico estadounidense H. C. Urey. Este descubrimiento le mereció el Premio Nobel en
1934.
13-3 EL EXPERIMENTO DE FRANCK-HERTZ – INTERPRETACION
Una demostración directa e impresionante de la existencia de los estados
estacionarios discretos postulados por la teoría del átomo de Bohr fue proporcionada,
por primera vez, por un experimento diseñado por James Franck (1882-1964) y
Gustav Hertz (1887). Para una mejor comprensión de las conclusiones de este
experimento revisemos brevemente la excitación e iotización de los átomos en los
niveles “ópticos”.
202
En un átomo pesado tal como el mercurio Hg,80los electrones en las capas interiores
del átomo son difíciles de desalojar, debido a la fuerte atracción electrostática del
núcleo. Tienen energía de enlaces típicos en el rango de unos pocos KeV.
Los electrones exteriores (de valencia) están parcialmente resguardados del núcleo
por los electrones de las capas
interiores que actúan como pantalla. Así,
la energía de enlace de estos electrones es solo de unos pocos eV. En el experimento
de Franck-Hertz, solo están implicados los electrones exteriores de valencia y el nivel
de energía correspondiente a uno de estos electrones se muestra en la figura 13-4.
Estos niveles de energía se llaman usualmente Niveles Ópticos, porque cualquier
transición entre los niveles involucra fotones con longitudes de onda en la región
visible o casi visible del espectro
Figura 13-4
Niveles ópticos de energía para el electrón de valencia del
202 Hg
80
E∞= 0
J
EJ
I
EI
H
EH
(1)
(2)
Ee=4,88 eV
(3)

hc
 2536
Ee
EG= -10.42 eV
G
En la figura 13-4, la energía del electrón de valencia en el estado base (G) es EG= 10.42 eV. I es el segundo estado excitado, J es el tercer estado excitado y así
sucesivamente. La energía requerida para elevar al electrón desde el estado base
hasta el primer estado excitado H (línea 1 en la figura 13-4) es
E e  E H  EG
E e  5.44  (10.42)eV
E e  4.88eV
Y es llamada primer potencial de excitación del mercurio. Si por alguna razón se eleva
el átomo de mercurio al primer estado excitado, el electrón regresara en un tiempo
muy corto (alrededor de 10-8 seg.) al estado base (línea 2). En esta transición será
emitido un fotón (3) de energía Ee=4.88eV y de longitud de onda λ=h.c/Ee = 2536 A.
De la misma figura 13-4, la energía de ionización es 10.42 eV.
Considere el caso de un haz de electrones lentos que viajan a través de vapor de
mercurio a baja presión. Si la energía cinética de los electrones es menor de 4.88 eV,
la colisión será elástica; o sea, la energía cinética transnacional será conservada. Los
electrones perderán algo de energía cinética de acuerdo con la expresión*. (*Ver D.
Halliday y R. Resnick. Física para estudiantes de ciencia e ingeniería, Wiley, Nueva
Cork, 1960, Cap. 10)
4mM
K
(m  M ) 2
4m
K 
K
M
K 
(13-22)
Donde m es la masa del electrón, M la masa del átomo de mercurio y K=0.5mv2 es la
energía cinética del electrón incidente. Esta perdida K de energía cinética es muy
pequeña, ya que m<M. La energía K es transferida al átomo de mercurio y aparece
como su energía de retroceso, representada esquemáticamente por
Β
Electrón lento
+
A
Átomo en reposo
Á
Átomo con algo de
energía de retroceso
+
β
electrón más lento
K2=K1 - K
Ya que K es tan pequeña, el electrón experimentara muchas colisiones a lo largo de
una trayectoria en zigzag antes de llegar al reposo (figura 13-15).
Sin embargo, si la energía cinética del electrón es mayor que EH – EG = 4.88eV, puede
ocurrir una colisión inelástica, en la cual parte de la energía cinética se transfiere al
átomo en forma de energía interna, elevando al electrón desde el estado base al
primer estado excitado, EH. La energía cinética del electrón después de la colisión
inelástica es
K 2  K1  ( E H  EG )  K1  4.88eV
La situación se representa esquemáticamente en la forma
A
A
m
a) Antes
K 2  K1  K
M
b) Después
El electrón se
vuelve muy
lento
Figura 13-15
Colisiones elásticas de electrones de energía K1<4.88eV con un átomo de mercurio en
reposo. La energía de retroceso de un átomo es K  K1  K 2 , donde K2<K1 es la
energía cinética de un electrón después de la colisión. El electrón describe una
trayectoria en zigzag en el vapor de mercurio.
Β
+
A
K1 > EH – EG átomo en reposo y en el estado base
K1 > 4.88eV
A*
+
átomo excitado
K2 = K1 – (EH – EG)
β
A
+
hv
Estado
fotón
base
emitido
  2536 A
Un segundo proceso tiene lugar inmediatamente después de la colisión (la vida de un
estado excitado es cerca de 10-8seg). El átomo excitado A* regresara al estado base
con la emisión de un fotón de energía EH – EG = 4.88eV (ver figura 13-4) y longitud de
onda   2536 A . Si K1, la energía del electrón incidente, es apenas ligeramente
mayor que 4.88eV, entonces K2 > 4.88eV y pueden tener lugar mas colisiones
inelásticas. Si K1 >> 4.88eV, entonces K2 > 4.88eV y pueden tener lugar otras
colisiones inelásticas.
13-4 EL EXPERIMENTO DE FRANCK-HERTZ – INTERPRETACION
Los mecanismos discutidos atrás fueron verificados experimentalmente por Frank y
Hertz en 1914 usando el arreglo experimental mostrado esquemáticamente en la
figura 13-6(a). El tubo T de la figura contiene vapor de mercurio a baja presión y a una
temperatura de 1500 aproximadamente. El tubo contiene un filamento F, alimentado
por la batería C, una rejilla G, y una palanca P. Entre el filamento y la rejilla existe un
potencial acelerado V  que puede variarse entre 0 y 60 V. Entre la placa P y la rejilla
G hay un pequeño potencial retardador Vr (alrededor de 0.5V). Finalmente, un
electrómetro D muy sensible en serie con la placa mide la corriente de placa que es
cerca de 10-9ª.
Figura 13-6
(a) Montaje experimental para el experimento de Franck-Hertz. (b) Corriente de placa
contra el voltaje acelerador en el experimento de Franck-Hertz. La separación entre
dos picos consecutivos cualesquiera es alrededor de 4.9 V.
Cuando el potencial acelerador V  es aumentado, la corriente de placa aumenta
como se ve en la figura 13-6(b).
A medida que V  es incrementado, la corriente de placa aumenta en cualquier tubo
electrónico, con la excepción de que ocurre una merma significativa en la corriente de
placa cada vez que el potencial acelerador aumenta aproximadamente 5 V. Algunos
de los electrones con energía ligeramente mayores que 4.88 eV experimentaran
colisiones inelásticas y quedaran con tan poca energía que no podran alcanzar la
placa, debido a la presencia del potencial retardador. Si V  es incrementado por 5 V
adicionales, algunos de los electrones que quedaron casi sin energía cinética
experimentaran otra colisión inelástica y no alcanzaran la placa. Esto explica el
segundo valle a un potencial aproximadamente 5 V mayor que para el primer valle. Por
lo tanto, este segundo valle corresponde a aquellos electrones que han experimentado
dos colisiones inelásticas y así sucesivamente. Cada vez que hay una colisión
inelástica, los átomos de mercurio serán excitados y regresaran al estado base por la
emisión de fotones. Usando técnicas espectroscópicas, se encontró que la longitud de
onda de radiación procedente del tubo era de 2536 A, correspondiente a transiciones
del primer estado excitado del mercurio al estado base. Este resultado, junto con el
hecho de que la diferencia en energía entre dos valles consecutivos es cerca de 4.9 V,
muestra de forma muy convincente la existencia de niveles de energía discretos en el
átomo de mercurio. También es posible, usando voltajes diferentes y una mejor
resolución, medir la excitación de otros niveles de energía atómica. Es perfectamente
comprensible que a Franck y Hertz se les concediera el premio Nobel de física (1925)
por este trabajo.
PROBLEMAS
13-1 Sin tomar en cuenta las correcciones debidas al movimiento del núcleo, (a)
calcule para el helio ionizado una vez He+ el valor de la constante de Rydberg, e (b)
los niveles de energía para n = 1,2,3, etc (c) dibuje un diagrama de niveles de energía
para el He+ junto a otro del hidrogeno. ¿Qué concluye usted de la comparación de
estos diagramas?
13-2 Repita los cálculos del problema 13-1 usando litio doblemente ionizado Li2+
13-3 Aplique la teoría de Bohr al He+ y calcule para cada orbita n = 1,2,3 (a) el radio,
(b) la frecuencia de revolución (c) la velocidad lineal del electrón (d) la energía total del
electrón, € el momento angular y (f) la razón v/c, y decida si puede usarse o no el
tratamiento clásico.
13-4 Repita el problema 13-3 usando Li2+.
13-5 (a) Calcule el primero y segundo potenciales de excitación para el
helio ionizado una vez He+.
(b) Que longitudes de ondas serán emitidas cuando el He+ regrese al estado
base desde estos estados excitados.
13-6 El tritio
3
H, un isótopo del hidrogeno con un núcleo de un protón y dos
1
neutrones, esta mezclado con hidrogeno ordinario. ¿Cuál es la resolución del
instrumento espectroscópico que separa apenas las líneas H  observadas?
13-7 Determinar la longitud de onda de las primeras dos líneas del helio ionizado una
vez, que corresponden a las primeras dos líneas de la serie de Balmer.
13-8 Un tubo como el de la figura 13-6(a) contiene gas de hidrogeno en lugar de vapor
de mercurio. Suponga que solo están implicados los primeros potenciales de
excitación y determine (a) el potencial acelerador de los electrones antes de que
pueda observar el primer valle en la corriente de placa, (b) la longitud de onda de la luz
producida por el tubo.
13-9 Para el átomo de positronio (ver capitulo 5) calcule (a) la masa reducida, (b) la
constante de Rydberg y (c) algunas líneas de la serie de Balmer y el limite de la serie.
13-10 Cuando se usa gas de Hidrogeno en el experimento de Franck-Hertz, figura 136(a) la primera y segunda línea de Lyman aparecen cuando la energía de los
electrones excedentes excede la energía cuántica de la segunda línea de Lyman, pero
es menor que la de la tercera. ¿Cuál es el potencial acelerador de los electrones que
producirán las primeras tres líneas de la serie de Lyman?
13-11 ¿Cuánta energía se requiere para liberar completamente un electrón del helio
ionizado una vez, si el electrón se encuentra originalmente en el estado base? ¿Si el
electrón esta en el estado n=3?
Tercera Parte
El átomo
Fue realmente lo más increíble que jamás me haya ocurrido en mi vida. Casi tan
increíble como si ustedes dispararan un proyectil de 15 pulgadas contra una hoja de
papel y regresando les pegara
ERNEST RUTHERFORD
Antecedentes de la ciencia moderna 1940
Esta cita es un comentario de Rutherford a los resultados de los experimentos de
Mariden sobre la dispersión de partículas  por núcleos de oro. El análisis de
Rutherford de las causas de tan poco usuales dispersiones condujo a su
“descubrimiento” del núcleo del átomo. No paso mucho tiempo antes de que Bohr
postulase el modelo del átomo “moderno”. La ecuación de Schrodinger y la mecánica
cuentita refinaron aun más el modelo del átomo hasta alcanzar los conceptos que
usamos hoy.
CAPITULO 14
LA ECUACION DE SCHRODINGER I
14-1 LA RADIACION DEL CUERPO NEGRO
Hemos visto que la descripción del movimiento de un cuerpo, dada por la mecánica
clásica, es inadecuada cuando la velocidad de un cuerpo se aproxima a la velocidad
de la luz. Para este caso, las limitaciones de la mecánica clásica nos llevan a adoptar
la mecánica relativista. Otra limitación de la mecánica clásica aparece cuando
estudiamos materiales de dimensiones muy pequeñas dentro del mundo microscópico
de la estructura atómica y nuclear y de las partículas elementales. Es aquí donde la
exitosa mecánica cuántica, y su versión moderna, la teoría cuántica del campo, se
hacen cargo a partir de enfoques clásicos.
Podemos rastrear el origen de los conceptos cuánticos asta alrededor de 1900,
cuando exista un enigma no explicado, relativo a las longitudes de onda del espectro
de la luz emitida por los cuerpos sólidos calentados. A pesar de los intentos de
notables físicos de aquel tiempo, la sola teoría clásica no podía explicar
adecuadamente la forma de la curva de la potencia radiada por un cuerpo negro como
función de la longitud de onda. El concepto idealizado de un cuerpo negro, un cuerpo
teórico que absorbe toda luz de cualquier longitud de onda que incide sobre el, fue
concebido para simplificar el problema. Este concepto hace a un lado los parámetros
que dependen de la clase particular de solidó que emite luz. Una aproximación
experimental consiste en usar un pequeño agujero en la pared de una cavidad que se
calienta (figura 14-1). La luz emitida a través de este agujero es casi igual a la que
seria emitida por un cuerpo negro ideal, calentado.
Como sabemos que la luz tiene carácter ondulatorio, es razonable suponer que la luz
en el cuerpo negro sea emitida por osciladores armónicos. Podemos construir
cuidadosamente un modelo que permita a estos “osciladores” tener cualquier
frecuencia y que a la luz que hay dentro de la cavidad del cuerpo negro parezca como
ondas estacionarias extendiéndose de pared a pared. Este modelo conduce a la ley de
distribución de Rayleigh-jeans, el espectro de luz radiada por el cuerpo negro tiene
una distribución de energía de
   d  8kT
d
4
(14-1)
donde   es la densidad de energía por unidad de longitud de la radiación, en un
pequeño rango d de longitudes de onda centrado en la longitud de onda particular
 , T es la temperatura absoluta, y k es la constante de Boltzman. Se encontró que
esta ley describía el espectro de la radiación del cuerpo negro muy bien para grandes
valores de  ; pero se puede ver que con longitudes de onda muy cortas y en
particular si las longitudes de ondas son arbitrariamente cortas, la densidad de energía
d se vuelve muy grande y se aproxima al infinito. Esto obviamente no sucede, ya
que solo una cantidad fija y finita de energía es radiada por unidad de tiempo por el
cuerpo negro, que solo contiene una cantidad fija y finita de energía.
En esta encrucijada en el desarrollo de la teoría, Max Planck hizo las siguientes
radicales suposiciones:
1. Los osciladores en el cuerpo negro no emiten luz continuamente sino en el proceso
de cambios de sus amplitudes; una transición de una amplitud mayor a otra más
pequeña da por resultado la emisión de luz, mientras que una transición de amplitud
mayor constituye el proceso de absorción de luz por el oscilador.
2. Un oscilador puede emitir energía al campo de radiación u absorberla de el en
unidades de energía llamados cuantos cuya magnitud es hv , donde h es una
constante (ahora llamada de Planck) y v es la frecuencia del oscilador.
Estas suposiciones condujeron a Planck a la siguiente ley de distribución de la energía
(la ley de distribución de energía de Planck fue presentada el 19 de octubre de 1900
ante la Sociedad Física de Berlín):
  d 
d
c1
5 e c
2
Donde c1  2c h
2
2T
(14-2)
1
y c 2  hc
k
son constantes (ver figura-). Aquí el término
exponencial en el denominador ase que la densidad de energía tienda a cero para
longitudes de onda extremadamente cortas. Esta es la distribución que se observa en
las mediciones de laboratorio de los espectros del cuerpo negro. La suposición de
Planck de que la radiación interacciona con la materia a través de unidades o cuantos
de energía hv y no por una absorción continua, fue usada por Einstein en 1905 para
explicar con éxito el efecto fotoeléctrico.
Se a demostrado que la luz, de la que ya hemos apuntado que despliega muchas
propiedades ondulatorias como la difracción y la interferencia, tiene también
propiedades corpusculares, al mostrar que su energía es transportada en pequeños y
discretos paquetes de energía hv. La teoría especial de la relatividad nos obliga ahora
a asociar una masa efectiva hv
c2
y un momento   h

hv
c
con cada fotón.
Experimentos adicionales con ases de luz muy débiles en intentos por trabajar con
fotones aislados, y con haces muy estrechos para investigar la cuestión de posibles
dispersiones laterales de un fotón a medida que viaja en un haz, vinieron a comprobar
el modelo del fotón. Se encontró que un fotón no se dispersa, sino que permanece
pequeño en dimensiones laterales todo el tiempo. Estos experimentos fueron
coronados por el descubrimiento de A. H. Compton (ver capitulo 8) de que los fotones
de rayos X son dispersados por los electrones como si fueran pequeñas partículas
elásticas de masa efectiva hv
c2
y un momento hv
c
La naturaleza dual de la luz fue verificada por observaciones experimentales, e
incorporada dentro de una teoría física tan moderna como la electrodinámica cuántica.
Podemos preguntarnos, si un paquete de energía radiante (un Fotón) tiene algunas
propiedades típicas de una partícula material, cuando una partícula (tal como un
electrón) se mueve, ¿no tendrá también propiedades asociadas con una “frecuencia”
y, por lo tanto, con una longitud de onda? La respuesta a esta pregunta es afirmativa,
como probo en 1927 con el experimento de Davisson Germen (capitulo 10), en el cual
se encontró un patrón de difracción cuando una corriente de rápidos electrones caía
sobre la superficie de un cristal.
Este concepto se desarrollo entre los físicos en las primeras décadas del siglo veinte,
especialmente después del éxito de la teoría de Bohr, que aplicaba las suposiciones
de Planck a los niveles de energía de los átomos y conducía a misterios aun más
profundos. Por ejemplo los niveles de energía del helio neutro no podían obtenerse
con la teoría de Bohr, mientras que los del Hidrogeno ajustaban perfectamente.
El concepto de Broglie de una longitud de onda   h
p
asociada con un electrón de
momento p probó ser de utilidad inmediata, al discutir los estados de la energía y el
momento de los electrones en los átomos. Proporciono una información del problema,
en el cual los estados fijos y definidos de la energías en un átomo están asociados con
las longitudes de onda de de Broglie de los electrones del átomo. En estos estados la
onda del electrón es “estática” o “estacionaria” en su distribución alrededor del núcleo.
Posteriormente los experimentos verificaron las longitudes de onda de de Broglie para
protones, neutrones y átomos.
Ahora asociamos una onda de de Broglie a cualquier partícula u objeto material.
La dualidad ondulatorio-corpuscular exhibida por las partículas y la radiación no
presenta un conflicto, como se supuso originalmente: ahora concebimos ambas
formas de comportamiento simplemente como manifestaciones de la materia.
Los cuántos descritos por Planck representan unidades discretas de energía, dadas
por la ecuación (10-1) en la forma
E = hv
Entonces, improbable como era para muchos en aquel tiempo, Bohr propuso que los
niveles de energía de toda la materia son de esta misma forma. En el caso particular
de un fotón, hay una onda electromagnética asociada, para la cual la amplitud del
campo electromagnético esta dada por  E ( x, t ) . El campo electromagnético es la
fuente de información acerca de cantidades tan concretas como el momento lineal y la
energía de un fotón. En general, para cualquier partícula dada, ya sea un fotón o un
electrón, hay un campo material asociado cuya amplitud esta dada por una función
 ( x, t ) , conocida como función de onda. El campo material es también la fuente de
información de cantidades tales como el momento lineal y la energía de partículas,
tales como los electrones o las partículas  . La frecuencia y longitud de onda
asociadas con el campo material son determinadas a partir de v  E
h
y  h
p
respectivamente.
14-2 FUNCIONES DE ONDA
La intensidad de una onda es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda. De
aquí que la intensidad de campo material asociado a una partícula sea proporcional al
cuadrado de la amplitud  ( x, t ) del campo material. Ya que la función de onda puede
ser compleja (puede contener números complejos de la forma a + ib donde i   1 ,
la intensidad es proporcional a
 ( x.t )
2
  *
(14-3)
en la cual  * es el complejo conjugado de  .
¿Cuál es el significado físico de la función de onda? ¿Qué característica del carácter
corpuscular de la materia puede ser medida por la función de onda? Se encontrara
que la función de onda es una cantidad física, tanto como lo es el campo eléctrico o
magnético. La función de onda debe describir algo acerca de la localización de la
partícula en el universo espacio-tiempo, ya que es más probable que la partícula esta
localizada en aquellos lugares en que la intensidad es grande. Max Born le ha dado el
siguiente significado: La función de onda tiene una interpretación probabilística y 
2
es proporcional a la probabilidad por unidad de longitud de encontrar a la partícula en
un punto y en un instante dado. La probabilidad de encontrar a la partícula en un punto
y en un instante dado. La probabilidad de encontrar a la partícula dentro de un
elemento de longitud dx es
 *  dx
(14-4)
Más precisamente, esta expresión es normalizada en la forma

 *  dx  1
(14-5)

Ya que la probabilidad de encintrar a la partícula en alguna parte es 1 (esto representa
certidumbre).
En el caso general,    ( x, y, z , t ) y  *  dxdydz es la probabilidad de encontrar
una partícula en un elemento de volumen dv  dxdydz y
 

   *  dv  1
    
Debido a la relación de incertidumbre, los principios determinísticos de la mecánica
clásica deben ser abandonados. O sea, no podemos predecir exactamente el
movimiento subsiguiente de la partícula, porque la posición y la velocidad de la
partícula no pueden ser medidas simultáneamente con precisión absoluta. Lo único
que podemos hacer es evaluar la probabilidad por unidad de volumen de encontrar
una partícula en una posición dada y en un tiempo dado.
14-3 LA ECUACION DE SCHRODINGER
ERWIN SCHRODINGER abordo la dualidad corpuscular ondulatoria de la naturaleza
adoptando las relaciones de de Broglie y Planck,   h
p
y vE
h
y definiendo la
energía total de la partícula por
E
p2
V
2 mo
En esta ecuación mo es la masa de reposo, K 
(14-6)
p2
2mo
es la energía cinética clásica,
y p es el momento lineal de la partícula. Note que esta es una forma no relativista de la
energía, y que no se ha incluido la energía de reposo E 0  m0 c 2 .
La velocidad de grupo del paquete de ondas, a partir de la ecuación (10-9), es
v g  d
dk
donde   2  v es la frecuencia angular y k  2
 es la constante de
propagación.
En las ecuaciones (10-8) Y (10-9) también se mostró que
vg 
d dE

dk
dp
Cuando la energía E se expresa por medio de la ecuación (14-6), la velocidad de
grupo toma la forma

dE d  p 2
p

vg 

 V  
v
dp dp  2m0
 m0
Así, desde el punto de vista de Schrodinger, la velocidad de grupo sigue siendo igual a
la velocidad de la partícula. Incidentalmente, debemos recordar que en el capitulo 10
también se mostró que para un fotón la velocidad de grupo es igual a la velocidad c de
la luz.
La velocidad de fase de una partícula libre resultara diferente cuando se compare el
enfoque de Schrodinger con el de de Broglie. De la teoría de de Broglie.
h E E mc 2 c 2
 
 , pero la expresión de Schrodinger para la energía
ph p
mv
v
hE E
  v 

ph p
v ph    v 
v ph
y
p2
v ph 
E

p
2 m0
p
v


p
2 m0 2
Donde la función V de la energía potencial se ha hecho igual a cero, que es el caso de
una partícula libre.
La ecuación de “onda-material” unidimensional que relaciona la teoría de de Broglie y
la función de onda.
h 2  ( x, t )
 ( x, t )

 V ( x, t )  ih
2
2m x
t
(14-7)
es conocida como la ecuación de Schrodinger. Aunque Schrodinger desarrollo esta
ecuación a partir de una intuición del carácter ondulatorio de la materia, no es
derivable a partir de primeros principios. Esta ecuación, como la segunda ley de
Newton, es en si un primer principio. Esta forma particular de la ecuación es conocida
como ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo, debido a que la energía
potencial es lo suficientemente general para ser función tanto de la posición como del
tiempo.
Finalmente, ciertos requisitos deben fijarse para que la función de onda constituya una
herramienta útil en la descripción del mundo físico.
1. debe ser consistente con las siguientes relaciones:
h
p
E
v
h
p2
E
V
2m
2. Debe ser lineal en  ( x, t ) ; o sea  1 ( x, t ) ,  2 ( x, t ) ,….., n ( x, t ) son soluciones de

la ecuación de Schrodinger, entonces
n
 ( x, t )  a1 1  a 2 2  ......  a n n   ai i
donde a1, a2,…,an son constantes,
i 1
también debe ser una solución.
3. La función  ( x, t ) / x también debe ser lineal
4. la función  ( x, t ) , así como su derivada  ( x, t ) / x , deben ser de buen
comportamiento: o sea, deben ser de valor único, finito y continuo
5. Cuando x     , entonces  ( x, t ) debe tender a cero
lim  ( x, t )  0
x   
En 1925 WERNER HEISENBERG desarrollo un modelo matemático de algebra
matricial para tratar los mismos problemas mecano-cuánticos que la ecuación de
Schrodinger. El enfoque era nuevo y difícil y paso cierto tiempo antes de que los
físicos se dieran cuenta de que ambas formas de abordar el problema eran
equivalentes, aunque estuvieran expresadas en lenguajes matemáticos diferentes.
14-3(a) CORRIENTE DE PROBABILIDAD
Hemos dicho que  * es la probabilidad por unidad de volumen o densidad de
probabilidad de encintrar una partícula en un punto y en un instante dado. Podemos
justificar esta aserción considerando el movimiento de una partícula y haciendo una
analogía con la electrodinámica clásica. El principio de la conservación de carga nos
dice que la cantidad neta de carga eléctrica existente en el universo, debe permanecer
inalterada (conservarse) cualquiera que sean los procesos que ocurre en el universo.
Partiendo de la ecuación de continuidad para campos variables en el tiempo
J  

t
(14-1a)
Multiplicando a ambos lados por dv  dxdydz e integrando en todo el espacio

   Jdv    t dv
(14-2a)
Ya que el tiempo es un parámetro, podemos intercambiar el orden de integración y
diferenciación
d
   Jdv   dt    dv
(14-3a)
Ahora podemos utilizar el teorema de la divergencia
   Adv   A  dS
v
(14-4a)
s
Para cambiar la primera integral de volumen a una integral de superficie, obteniendo
d
 J  dS   dt  dv
(14-5a)
s
Si no existe cargas ni corrientes en el infinito, la integral superficial se desvanece,
además sabemos que   dv  q , así que


dq
0
dt
O bien
q     dv  cons tan te
(14-6a)
que es la ley de conservación de la carga.
Si consideramos ahora la ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo (14-7), en
una sola dimensión para simplificar los cálculos;

h 2  2 *
 *
 V  ih
2
2m x
t
(14-7a)
y obteniendo su complejo conjugado cambiado  por  * y reemplazando i por  i ,
tendremos
h 2  2 *
 *
  * V  ih
2
2m x
t
Multiplicando (14-7ª) por  * y (14-8a) por

(14-8a)
 , obtenemos
h2
 2

 * 2   * V  ih *
2m
t
x
2
2
h
*
 *


   V *  ih
2
2m
t
x

(14-9a)
(14-10a)
Restando (14-10a) de (14-9a) nos da

h2 
 2
 2 * 

 * 

 * 2 
  ih *


2 
2m 
t
t 
x
x 

Recordando la definición de derivada de un producto y simplificando, obtenemos
h 
 2
 2 *  

  ( * )

 * 2 
2i  m 
x
x 2  t
O bien
ih 
 2
 2 *  
 * 2  
  ( * )
2m 
x
x 2  t
(14-11a)
Integrando entre los puntos a y b
ih  

 * 


 *
dx    *dx

2m a x 
x
x 
t a
b
b
O bien

ih 

 * 
 *  dx 
*



t a
2m 
x
x  a
b
b
(14-12a)
Para interpretar esta ecuación usaremos las analógicas que podamos establecer con
la electrodinámica clásica. Comparando con la ecuación (14-3a), si en esta ecuación la
integral nos daba la carga total dentro de un volumen dado, la integral en la ecuación
(14-12a) nos dará la probabilidad total que existe en la región comprendida entre los
puntos a y b (ver figura 14-1(a)). Si aquella ecuación (14-3a), nos daba la razón de
cambio o flujo de probabilidad o corriente de probabilidad en la región comprendida
entre los puntos a y b. Puesto que nuestra densidad de probabilidad se refiere a una
partícula, vamos ahora a considerar una partícula libre de energía E y momento p, que
describiremos por medio de la función de onda
  Ae
E 

i  kx  t 
h 

Cuyo complejo conjugado es
 *  A* e
E 

 i  kx  t 
h 

En estas ecuaciones k 
2mE
h
Buscamos ahora las parciales que aparecen en el segundo miembro de la ecuación
(14-12a); estas son:

E
i  kx   t

 ikA  e  h   ik
x

E
i  kx   t
 *
 ikA  e  h   ik *
x
Sustituyendo ahora en el segundo miembro de la ecuación (14-12a) obtenemos

ih
 * ik    ik *ba
 *  dx 

t a
2m
b
b
 ih


2ik * 
 2m
a
b
 kh

   * 
 m
a
Pero
kh
2h

v
m 2  m
Por lo tanto

 *  dx  v * ba
t a
b
(14-13a)
 ( * ) a v a  ( * ) b vb
Para interpretar este resultado recordemos que la teoría electromagnética nos dice
que
ρv = corriente = razón de flujo de la carga, donde ρ es la densidad de carga eléctrica y
v es la velocidad de flujo de las cargas. Por analogía con este producto, podemos
decir que el flujo de probabilidad o corriente de probabilidad para una partícula libre
puede tomar la forma
S 
ih
ik *  ik *   v *  donde S nos representa la corriente de
2m
probabilidad. En el caso general S quedaría definida por
S 
ih 

 * 
*


2m 
x
x 
(14-14a)
El signo menos se necesita para concordar con la ecuación (14-13a).
Por lo tanto, así como la ecuación (14-15a) nos expresa una forma general de la ley de
conservación de la carga, podemos expresar la conservación de la probabilidad en la
forma

 *  dx  S a  S b
t a
b
(14-15a)
que nos dice que la razón de cambio de la probabilidad en la región comprendida entre
los puntos a y b es igual a la diferencia entre la corriente de probabilidad que entra y
sale de la misma región.
Esta ecuación resulta interesante para el caso de partículas que no son libres, es decir
aquellas que están sujetas a alguna fuerza, o, en otras palabras, aquellas para las
cuales la función de la energía potencial V(x,t) es distinta de cero y depende tanto del
tiempo como del espacio.
EJEMPLO 14-1: Calcule
onda  
la corriente de probabilidad correspondiente a la función de
e ikr
donde r 2  x 2  y 2  z 2 . Examine S para grandes valores de r e
r
interprete el resultado.
SOLUCION: Extendiendo la ecuación (14-14a) a tres dimensiones, para este caso
toma la forma
S 
ih
 *    * ya que  no depende del tiempo. Para encontrar el
2m
gradiente. Evaluaremos primero las derivadas que implica

  e ikr
 
x x  r
 xeikr (ikr  1)
 
r3

En la misma forma obtenemos 
y
y 
z
, sustituyendo sus expresiones
respectivas en la del gradiente, y multiplicando por la función correspondiente,
obtenemos
 ikr  1 
ix  jy  kz
4
 r 
 ikr  1 
 r' 3 
 r 
 *   
 ikr  1 

3
 r 
En forma similar encontramos   *  r ' 
La sustitución de estos resultados en la expresión para la corriente de probabilidad da
S
 r'
ih  r '

( 2ikr ) 
3

2m  r

kh
v2

r
'
mr 2
r2
Hemos definido a S como un flujo o corriente de probabilidad, corrientes que estaba
caracterizada por la aparición de v en la expresión de S. El resultado que hemos
obtenido viene a confirmar tal interpretación. Vemos que cuando r  , S  0 , lo
cual resulta bastante lógico, ya que nuestra expresión inicial para corresponde a la
amplitud de una onda esférica, y en el infinito la corriente de probabilidad para tal oda
al abarcar una superficie infinita debe naturalmente reducirse a cero.
14-4 LA ECUACION DE SCHRODINGER INDEPENDIENTE DEL TIEMPO
Empezaremos mostrando que para un campo material una función de onda de la
  h Et  px
forma  ( x, t )  A exp  i
(14-8)
es una solución de la ecuación de Schrodinger (14-7) independiente del tiempo y que
representa la descripción mecano-cuántica de una partícula libre con una energía total
E y un momento lineal p. Ya que la partícula es libre, tanto E como p son constantes;
están relacionados por
p2
E
 V  cons tan tes , de acuerdo con el punto de vista de Schrodinger dado por
2m
la ecuación (14-6). En el caso no relativista, la masa de reposo m de la partícula libre
es una constante y la energía potencial también. Para una partícula que no es libre de
un campo conservativo, V = V(x) es independiente del tiempo y p es una variable, pero
la energía total E es una constante.
La segunda derivada de la ecuación (14-8) con respecto a la posición es
 2 ( x, T )
p2


 ( x, t )
x 2
h2
(14-9)
y la diferenciación con respecto al tiempo da
 ( x, t )
E
 i  ( x, t )
t
h
(14-10)
Reemplazando las ecuaciones (14-9) y (14-10) en la ecuación (14-7) dependiente del
tiempo, 
h 2  2 ( x, T
 ( x, t )
 V ( x, t )  ih
2
2m t
t
obtenemos

h2  p2
 E

 2  ( x, t )  V ( x, t )  ih  i  ( x, t )
2m  h
 h


Cancelando el factor común  y simplificando, obtenemos

p2
 V lo que prueba que la ecuación (14-8) es una solución de la ecuación de
2m
E
Schrodinger dependiente del tiempo y representa la descripción matemática de una
partícula libre.
Ahora consideraremos de nuevo la ecuación (14-8), y la escribiremos en la siguiente
forma
   A  e
lpx

h
 e  iEt h 




(14-11)
en la cual se han reparado las variables x y t. Si la parte espacial es
 ( x)  A.e
ipx
h
(14-12)
La ecuación (14-11) se puede escribir en la forma
 ( x, t )   ( x).e
 iEt
h
(14-13)
Diferenciando ahora dos veces con respecto a la posición, obtenemos
 2 ( x, t ) d 2 ( x) iEt h

e
dx 2
dx 2
(14-14)
La diferencial con respecto al tiempo da
 ( x, t )
i
iEt
  E ( x).e h
t
h
(14-15)
Sustituyendo las ecuaciones (14-13), (14-14) y (14-15) en la ecuación (14-7)
obtenemos

h 2 d 2 x  iEt h
iEt
iEt 
 i
.e
 V x .e h  ih  E ( x).e h 
2
2m dx
 h

Finalmente, cancelando el factor e

h d  ( x)
 V ( x)  E ( x)
2m dx 2
2
iEt
h
y simplificando llegamos a
2
(14-16)
Que es la ecuación de Schrodinger independiente del tiempo o de “estado
estacionario”.
Algunas veces resulta más conveniente escribir la ecuación (14-16) en la forma
d 2 ( x) 2m
 2 ( E  V )  0
dx 2
h
En esta ecuación,  (x ) también es llamada función de onda. V(x) es la función de
potencial, no contiene al tiempo en forma explicita, y E, la energía total de la partícula
es una constante.
PROBLEMAS
14-1 Una función de onda  ( x)  An sen(2nx ) es definida solamente dentro de la
L
regio 0=<x=<L. Use la condición de normalización para evaluar la constante An.
14-2
Determine
la
constante
 nx  
.e
 L 
  x, t   An sen
iE0 t
h
An
para
la
función
de
onda
definida dentro de la región o=<x=<L
14-3 Para la función de onda en el problema 14-2, la probabilidad de encontrar a la
b
partícula dentro del rango (a,b)(0=<a<b=<L) es
 * .dx .
(a) determine la
a
probabilidad de encontrar la partícula dentro de las dimensiones x = 0 a x = L/4. (b)
¿Cuál es el promedio de la probabilidad por unidad de longitud?
 i h  pxX  Et 
14-4 pruebe que  x, t  A.e
es una solución de la ecuación de
Schrodinger. ¿es    * también una solución?
 
14-5 Muestre si  x, t   Asen(kx  .t ) es o no una solución de la ecuación de
Schrodinger.

x, t
14-6 Es
Schrodinger?
  A1e i t cos k1 x
1
cada una soluciones de la ecuación de


14-7 Muestre que para una partícula libre  x, t   A cos kx 
donde k 
2mE
h
E 
E 

t   iAsen kx  t 
h 
h 

es una solución de la ecuación de Schrodinger.
14-8 Para un electrón con una longitud de onda de de Broglie de 1.0A, determine (a) la
velocidad del grupo, (b) la velocidad de fase (de Broglie), (c) la velocidad de fase
(Schrodinger).