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Número entero 1 INTRODUCCIÓN Número entero, cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales y sus opuestos. El conjunto de los números enteros se designa por Z: Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…} Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo…). Se llama valor absoluto de un número entero a, a un número natural que se designa |a| y que es igual al propio a si es positivo o cero, y a -a si es negativo. Es decir: si a > 0, |a| = a ; por ejemplo, |5| = 5; si a < 0, |a| = -a ; por ejemplo, |-5| = -(-5) = 5. El valor absoluto de un número es, pues, siempre positivo. Las operaciones suma, resta y multiplicación de números enteros son operaciones internas porque su resultado es también un número entero. Sin embargo, dos números enteros sólo se pueden dividir si el dividendo es múltiplo del divisor. 2 SUMA DE NÚMEROS ENTEROS Para sumar dos números enteros se procede del siguiente modo: Si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos, y al resultado se le pone el signo que tenían los sumandos: 7 + 11 = 18 -7 - 11 = -18 Si tienen distintos signos, es decir, si un sumando es positivo y el otro negativo, se restan sus valores absolutos y se le pone el signo del mayor: 7 + (-5) = 7 - 5 = 2 -7 + 5 = - (7 - 5) = -2 14 + (-14) = 0 La suma de números enteros tiene las propiedades siguientes: Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) Conmutativa: a+b=b+a Elemento neutro: el cero es el elemento neutro de la suma, a+0=a Elemento opuesto: todo número entero a, tiene un opuesto –a, a + (-a) = 0 3 MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y el resultado se deja con signo positivo si ambos factores son del mismo signo o se le pone el signo menos si los factores son de signos distintos. Este procedimiento para obtener el signo de un producto a partir del signo de los factores se denomina regla de los signos y se sintetiza del siguiente modo: +·+=+ +·-=-·+=-·-=+ La multiplicación de números enteros tiene las propiedades siguientes: Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c) Conmutativa: a·b=b·a Elemento neutro: el 1 es el elemento neutro de la multiplicación, a·1=a Distributiva de la multiplicación respecto de la suma: a · (b + c) = a · b + a · c 4 RESTA DE NÚMEROS ENTEROS Para restar dos números enteros se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo: a - b = a + (-b) Por ejemplo: 5 - (-3) = 5 + 3 = 8 -2 - 5 = (-2) + (-5) = -7 Enciclopedia Microsoft ® Encarta ® 2002. © 1993-2001 Microsoft Corporation. Fracción 1 INTRODUCCIÓN Fracción, el cociente indicado de dos números enteros que se llaman numerador, a, y denominador, b. Ha de ser b ≠ 0. Por ejemplo, en la fracción el denominador, 5, indica que son “quintas partes”, es decir, denomina el tipo de parte de la unidad de que se trata; el numerador, 3, indica cuántas de estas partes hay que tomar: “tres quintas partes”. Si el numerador es múltiplo del denominador, la fracción representa a un número entero: Si el numerador no es múltiplo del denominador, la fracción representa a un número fraccionario, es decir, a un número no entero. 2 EQUIVALENCIA Dos fracciones y son equivalentes, y se expresa si a · b′ = b · a′. Así, porque 21 · 12 = 9 · 28 = 252. 3 SIMPLIFICACIÓN Si el numerador y el denominador de una fracción son divisibles por un mismo número, d, distinto de 1 o -1, al dividirlos por d se obtiene otra fracción equivalente a ella. Se dice que la fracción se ha simplificado o se ha reducido: Por ejemplo: La fracción 4 es el resultado de simplificar dividiendo sus términos por 10. FRACCIÓN IRREDUCIBLE Se dice que una fracción es irreducible si su numerador y su denominador son números primos entre sí. La fracción es irreducible. La fracción no es irreducible porque se puede simplificar: 5 REDUCCIÓN A COMÚN DENOMINADOR Reducir dos o más fracciones a común denominador es obtener otras fracciones respectivamente equivalentes a ellas y que todas tengan el mismo denominador. Si las fracciones de las que se parte son irreducibles, el denominador común ha de ser un múltiplo común de sus denominadores. Si es el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de ellos, entonces se dice que se ha reducido a mínimo común denominador. Por ejemplo, para reducir a común denominador las fracciones se puede tomar 90 como denominador común, con lo que se obtiene: Es decir, es el resultado de reducir las tres fracciones anteriores a un común denominador: 90. Pero si en vez de 90 se toma como denominador común 45, que es el m.c.m. de 3, 9 y 5, entonces se obtiene que es el resultado de reducir las tres fracciones a su mínimo común denominador. 6 SUMA DE FRACCIONES Para sumar dos o más fracciones se reducen a común denominador, se suman los numeradores de éstas y se mantiene su denominador. Por ejemplo: 7 PRODUCTO DE FRACCIONES El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de sus numeradores y cuyo denominador es el producto de sus denominadores: 8 INVERSA DE UNA FRACCIÓN La inversa de una fracción es otra fracción, , que se obtiene permutando el numerador y el denominador. El producto de una fracción por su inversa es igual a 1: 9 COCIENTE DE FRACCIONES El cociente de dos fracciones es el producto de la primera por la inversa de la segunda: 5 DECIMALES El concepto de valores posicionales se puede extender para incluir a las fracciones. En vez de escribir ?, o dos décimos, se puede utilizar una coma decimal (,) de manera que 0,2 representa también a la fracción. Del mismo modo que las cifras a la izquierda de la coma representan las unidades, decenas, centenas..., aquéllas a la derecha de la coma representan los lugares de las décimas (s), centésimas (t), milésimas (1/1.000) y así sucesivamente. Estos valores posicionales siguen siendo potencias de 10, que se escriben como 10-1, 10-2, 10-3... En general, un número como 5.428,632 se denomina quebrado o fracción decimal, y 0,632 representa Este número se lee como: “cinco mil cuatrocientos veintiocho coma seiscientos treinta y dos”. Raíz cuadrada 1 INTRODUCCIÓN Raíz cuadrada, de un número a, es otro número b tal que b2 = a: Los números reales positivos tienen dos raíces cuadradas; por ejemplo, 5 y –5 son las raíces cuadradas de 25. La expresión aplicada a un número real positivo representa (por convenio) a su raíz cuadrada positiva. Por tanto, para referirnos a las raíces cuadradas de 2 pondremos y -. La única raíz cuadrada del cero es él mismo. Los números negativos no tienen ninguna raíz cuadrada en el campo de los números reales, pues el cuadrado de un número real es siempre positivo o cero. La raíz cuadrada de un número cuadrado perfecto es un número natural. Se dice que la raíz es exacta. Por ejemplo, son raíces exactas La raíz entera de un número n es el mayor número natural cuyo cuadrado es menor o igual a n. Así, la raíz cuadrada entera de 200 es 14 porque 142 = 196 < 200 mientras que el cuadrado de 15 supera a 200. 2 MÉTODO PARA HALLAR LA RAÍZ CUADRADA ENTERA DE UN NÚMERO Para hallar la raíz cuadrada entera de un número, por ejemplo 465.685, se procede como se explica a continuación. 1. Se separan grupos de dos cifras, de derecha a izquierda: 2. Se halla la raíz cuadrada entera del primer grupo (el de la izquierda) y se resta de él su cuadrado. 3. A la derecha del resto (10), se baja el grupo siguiente (56). Del número obtenido se separa la cifra de la derecha (6) y el número que queda a su izquierda (105) se divide por el doble de la parte de la raíz hallada hasta ese momento (2·6 = 12). El cociente entero de esa división (8) se escribe a la derecha del duplo de la raíz hallada (12), y el número resultante (128) se multiplica por ese mismo cociente (128·8 = 1024). El resultado se resta del bloque anterior (1056 - 1024 = 32). El cociente obtenido (8) se pone en la parte superior obteniendo una nueva raíz parcial (68). En algunos casos, en este proceso hay que introducir una corrección. Por ejemplo, si el número fuera 461.685, el primer resto sería 1016. A partir de aquí se procedería así: el cociente entero entre 101 y 12 es 8; el producto 128·8 = 1024 es mayor que 1016 y, por tanto, la cifra obtenida (8) no es válida: hay que rebajarla en una unidad (7). Con esta corrección se seguiría así: 127·7 = 889; 1016 – 889 = 127 El valor de la raíz parcial sería 67 y el correspondiente resto 127. En este punto, se continúa el proceso. 4. Se vuelve a bajar el grupo siguiente y se procede como en el paso anterior. La raíz entera es 682 y el resto 561. La comprobación es sencilla: 6822 + 561 = 465.124 + 561 = 465.685. Enciclopedia Microsoft ® Encarta ® 2002. © 1993-2001 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos. Potencia (matemáticas) 1 INTRODUCCIÓN Potencia (matemáticas), producto formado mediante sucesivas multiplicaciones de un número, letra o expresión algebraica por sí misma. En la potencia an, a es la base y n el exponente. 2 POTENCIAS DE EXPONENTE NATURAL Si el exponente es un número entero mayor que 1, se define: an = a ·…· a (n factores) En especial, a1 = a. Las propiedades de las potencias de exponente natural son las siguientes: 1. am · an = am + n Por ejemplo, 52 · 54 = 56 2. (a · b)n = an · bn Por ejemplo, (2 · 5)3 = 23 · 53 3. (am)n = am · n Por ejemplo, (32)5 = 310 4. Si m > n, Por ejemplo, Si m < n, Por ejemplo, 5. Por ejemplo, 3 POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO Si n >0, se define Por ejemplo, Para n = 0, a0 = 1; por ejemplo, 170 = 1. Las propiedades de las potencias de exponente entero son las mismas que las de exponente natural. Es decir, aunque el exponente sea un entero negativo, las propiedades siguen siendo las mismas. Sólo la propiedad 4 se puede poner de forma más sencilla y general: 4. Si m y n son dos números enteros cualesquiera, y a ≠ 0, Por ejemplo, 4 POTENCIAS DE EXPONENTE FRACCIONARIO Si m y n son enteros, n ≥ 2, se define Por ejemplo, Las propiedades de las potencias de exponente fraccionario son las mismas que las de exponente entero. Enciclopedia Microsoft ® Encarta ® 2002. © 1993-2001 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos. Reservados todos los derechos. Ecuación 1 INTRODUCCIÓN Ecuación, igualdad en la que intervienen una o más letras, llamadas incógnitas. Es decir, es una igualdad entre expresiones algebraicas. Las expresiones que están a ambos lados del signo igual son los miembros de la ecuación: primer miembro el de la izquierda, segundo miembro el de la derecha. Se llama solución de una ecuación a un valor de la incógnita, o a un conjunto de valores de las incógnitas, para los cuales se verifica la igualdad. Una ecuación puede tener una, ninguna o varias soluciones. Por ejemplo: 3x – 7 = x + 1 es una ecuación con una incógnita. Tiene una única solución: x = 4. x2 + y2 + 5 = 0 es una ecuación con dos incógnitas sin solución, pues la suma de dos cuadrados es un número positivo a partir del cual no se puede obtener 0 sumándole 5. 2x + 3y = 15 es una ecuación con dos incógnitas que tiene infinitas soluciones, algunas de las cuales son x = 0, y = 5; x = 3, y = 3; x = 30, y = -15. Dos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen las mismas soluciones o ambas carecen de solución. Así, la ecuación 3x – 7 = x + 1 es equivalente a 2x – 8 = 0 porque ambas tienen como solución única x = 4. 2 TIPOS DE ECUACIONES Las ecuaciones con una incógnita suelen tener un número finito de soluciones. Las ecuaciones con varias incógnitas, sin embargo, suelen tener infinitas soluciones; por ello, estas ecuaciones interesa estudiarlas cuando forman sistemas de ecuaciones. Las ecuaciones con una incógnita pueden ser de distintos tipos: polinómicas, racionales, exponenciales, trigonométricas… Las ecuaciones polinómicas son de la forma P(x) = 0, donde P(x) es un polinomio en x. O bien, son de tal forma que al trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión. 3x3 - 5x2 + 3x + 2 = 0 es una ecuación polinómica. Las ecuaciones polinómicas de primer grado, ax + b = 0, se llaman ecuaciones lineales. 5x + 7 = 3 es lineal y también lo es (x - 5)2 + 3 = x2 - 1 porque al desarrollar y simplificar se obtiene -10x + 29 = 0. Las ecuaciones polinómicas de segundo grado, ax2 + bx + c = 0, se llaman cuadráticas. Son ecuaciones de este tipo: x2 - 5x + 3 = 0, (x – 2)2 + 7x =5 + x. Las ecuaciones radicales son aquellas en las que la incógnita está bajo un signo radical, como Las ecuaciones racionales son ecuaciones en las que aparecen cocientes de polinomios; por ejemplo: En las ecuaciones exponenciales la incógnita está en un exponente: 2x + 4x + 1 - 18 = 0 En las ecuaciones trigonométricas la incógnita está afectada por alguna función trigonométrica; por ejemplo: sen (p/4 + x) – cos x = 1 3 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES Resolver una ecuación es hallar su solución o soluciones, o bien concluir que no tiene solución. Para resolver una ecuación, se pasa a otra equivalente cuya fisonomía sea más sencilla. Así, mediante una serie de pasos sucesivos se llega a una última ecuación del tipo x = s en la que la incógnita está despejada (es decir, aislada en el primer miembro), con lo que la solución es evidente. Por ejemplo, para resolver la ecuación 5x – 6 = 3x + 12 se procede como se explica a continuación. Para pasar los términos en x al primer miembro y los números al segundo miembro, se resta en ambos miembros 3x y se suma 6, con lo que queda: 5x – 3x = 12 + 6 Y simplificando, 2x = 18. Para despejar la x se divide por 2 en ambos miembros: x = 18/2 = 9 La solución es, evidentemente, x = 9. Sin embargo, hay tipos de ecuaciones para cuya resolución se requieren técnicas especiales. Es el caso, por ejemplo, de las ecuaciones cuadráticas y bicuadradas. 1 Resolución de ecuaciones cuadráticas La expresión general de una ecuación cuadrática (polinomio de segundo grado) es: ax2 + bx + c = 0 con a ≠ 0. Para resolverla se aplica la fórmula: Por ejemplo, la ecuación 2x2 + 5x – 3 = 0 de coeficientes a = 2, b = 5, c = -3, se resuelve así: Hay dos soluciones: x1 = 1/2; x2 = -3. Esta misma ecuación se podría haber resuelto despejando la x. Para ello, se multiplica la ecuación por 2: 4x2 + 10x – 6 = 0 Se pasa el 6 al segundo miembro: 4x2 + 10x = 6 Se suman 25/4 para completar un cuadrado perfecto (el cuadrado de una suma) en el primer miembro: 4x2 + 10x + 25/4 = 6 + 25/4 Simplificando: (2x + 5/2)2 = 49/4 Extrayendo la raíz cuadrada y recordando que si A2 = B2 entonces A = ±B: 2x + 5/2 = ±7/2 Como consecuencia del signo ±, la igualdad da lugar a dos ecuaciones: 2x + 5/2 = 7/2 2x + 5/2 = -7/2 Resolviéndolas se obtiene: 4x + 5 = 7 → 4x = 2 → x1 = 1/2 4x + 5 = -7 → 4x = -12 → x2 = -3 Siguiendo este largo proceso se obtienen las mismas soluciones que mediante la fórmula inicial. Es claro que la aplicación de ésta es un procedimiento mucho más cómodo. De hecho, la fórmula se obtiene algebraicamente a partir de la ecuación general mediante un proceso similar al que se ha seguido para resolver esta ecuación concreta. Las ecuaciones de segundo grado de los tipos siguientes se llaman incompletas porque les falta uno de los términos: ax2 + bx = 0 ax2 + c = 0 Se pueden resolver aplicando la fórmula general, pero es más cómodo resolverlas despejando directamente la x. En el primer caso, ax2 + bx = 0 → (ax + b)x = 0 Una solución es x = 0 y la otra se obtiene resolviendo la ecuación lineal ax + b = 0. Por ejemplo: 3x2 + 5x = 0 → (3x + 5)x = 0 Las soluciones son: x = 0; x = -5/3. En el segundo caso, ax2 + c = 0 → ax2 = -c → x2 = -c/a Por ejemplo: 3x2 - 17 = 0 → 3x2 = 17 Las soluciones son: 2 Resolución de ecuaciones bicuadradas Se llama bicuadrada la ecuación de la forma: ax4 + bx2 + c = 0 (1) es decir, una ecuación polinómica de cuarto grado que no tiene términos de grado impar. Si se realiza el cambio de variable x2 = y, con lo cual x4 = y2, entonces se transforma en una ecuación de segundo grado: ay2 + by + c = 0 (2) Cada una de sus soluciones puede dar lugar a dos, una o ninguna solución de la ecuación inicial. Así, si y es solución de la ecuación (2), se verifica que: si y1 > 0 , entonces x1 = √y1, x2 = -√y1 son raíces de (1); si y1 = 0 , también x1 = 0 es raíz de (1); si y1 < 0 , x2 = y1 no da lugar a ninguna solución real de x. Por ejemplo, la ecuación bicuadrada: x4 - x2 – 12 = 0 se transforma, mediante el cambio de variable x2 = y, en la ecuación de segundo grado: y2 - y - 12 = 0 Cuyas soluciones son y1 = 4, y2 = -3 Para y1 = 4: x2 = 4 Luego, x1 =2, x2 = -2 son soluciones de la ecuación bicuadrada. Para y2 = -3: x2 = -3 Por tanto, las únicas raíces de la ecuación x4 - x2 - 12 = 0 son x1 = 2, x2 = -2. Enciclopedia Microsoft ® Encarta ® 2002. © 1993-2001 Microsoft Corporation. Logaritmo R Logaritmo, en matemáticas, es el exponente o potencia a la que un número fijo, llamado base, se ha de elevar para dar un número dado. Por ejemplo, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2. Esto se escribe como log10 100 = 2. Los logaritmos fueron originalmente inventados para simplificar los procedimientos aritméticos de multiplicación, división, potencias y extracción de raíces, pero actualmente tienen muchas aplicaciones tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. Las primeras tablas de logaritmos fueron publicadas por separado por el matemático escocés John Napier en 1614 y por el suizo Justus Byrgius en 1620. La primera tabla de logaritmos comunes (los de base 10) fue compilada por el matemático inglés Henry Briggs. A menudo se utiliza un sistema de logaritmos en los que la base es el número trascendente e; son los llamados logaritmos naturales, logaritmos neperianos o simplemente neperianos, y normalmente se escriben como "ln" en vez de "loge". Un antilogaritmo es la base elevada a la potencia del número dado. Por ejemplo, el antilogaritmo de 2 en base 10 es 102 = 100. El uso de los logaritmos se puede entender más fácilmente utilizando una serie de potencias del número 2: 21, 22, 23, 24, 25 y 26, que son la sucesión 2, 4, 8, 16, 32 y 64. Los exponentes 1, 2, 3, 4, 5 y 6 son los logaritmos en base 2 de estos números. Para multiplicar dos números de esta sucesión, basta con sumar los logaritmos de los números y después calcular el antilogaritmo de la suma, que es igual a la base elevada a la suma. Usando este procedimiento, para multiplicar 16 por 4, primero vemos que los logaritmos de 16 y 4 son 4 y 2 respectivamente, la suma de los logaritmos 4 y 2 es 6, y el antilogaritmo de 6 es 64, el producto buscado. Para dividir, se restan los logaritmos. Así, para dividir 32 por 8, se resta 3 de 5, que da 2 que es el logaritmo del cociente, 4. Para elevar un número a una potencia cualquiera, se multiplica el logaritmo del número por la potencia deseada y se calcula el antilogaritmo. De esta manera, para hallar 43: log2 4 = 2, 3 × 2 = 6, antilog 6 = 64, que es 4 a la tercera potencia. La extracción de raíces se calcula dividiendo el logaritmo del radicando por la raíz. Para calcular la raíz quinta de 32: log2 32 = 5, 5 : 5 = 1, antilog 1 = 2, que es la raíz quinta de 32. El principal problema al construir una tabla de logaritmos es conseguir que los intervalos entre dos valores sucesivos sean lo suficientemente pequeños. En los ejemplos anteriores los valores eran las potencias 2, 4, 8,..., que están bastante alejados entre sí, por lo que no son útiles para multiplicar números grandes. Usando procedimientos matemáticos avanzados, se puede calcular el logaritmo de cualquier número en cualquier base, y existen tablas de logaritmos muy detalladas. Un logaritmo está formado por un número entero y una fracción decimal, llamados característica y mantisa respectivamente. En el sistema de los logaritmos comunes— base 10— el logaritmo de 7 tiene característica 0 y mantisa 84510 (con cinco cifras decimales correctas) por lo que se escribe 0,84510. El logaritmo de 70 es 1,84510; el logaritmo de 700 es 2,84510. El logaritmo del número 0,7 es -0,15490, que se escribe a veces como 9,84510 - 10 para simplificar los cálculos. Hoy en día las tablas de logaritmos han sido sustituidas por calculadoras y ordenadores con funciones logarítmicas. Enciclopedia Microsoft ® Encarta ® 2002. © 1993-2001 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos. eservados todos los derechos. Trigonometría 1 INTRODUCCIÓN Trigonometría, rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Etimológicamente significa ‘medida de triángulos’. Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en los que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, es decir, una distancia que no podía ser medida de forma directa, como la distancia entre la Tierra y la Luna. Se encuentran notables aplicaciones de las funciones trigonométricas en la física y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el flujo de corriente alterna. Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana y la trigonometría esférica. 2 TRIGONOMETRÍA PLANA Se ocupa fundamentalmente de la resolución de triángulos planos. Para ello, se definen las razones trigonométricas de los ángulos y se estudian las relaciones entre ellas. 1 Razones trigonométricas de ángulos agudos La base de la trigonometría está en las razones trigonométricas, valores numéricos asociados a cada ángulo, que permiten relacionar operativamente los ángulos y lados de los triángulos. Las más importantes son seno, coseno y tangente, que se definen a continuación. En un ángulo de un triángulo rectángulo, ABC, se llama seno de , y se escribe sen , al cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa: Análogamente se definen el coseno (cos) como cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa, y la tangente (tg) como el cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente: Hace no muchos años existían tablas numéricas en las que se daban los valores de las razones trigonométricas de una gran cantidad de ángulos. En la actualidad, con una calculadora científica se obtienen con toda precisión los valores de las razones trigonométricas de cualquier ángulo. Las razones trigonométricas de un ángulo cumplen las siguientes propiedades: Aunque el ángulo pertenezca a otro triángulo rectángulo de lados distintos al anterior, los valores obtenidos para sen , cos y tg son los mismos. Es decir, las razones trigonométricas de un ángulo no dependen del triángulo sobre el que se midan. Esto es debido a que dos triángulos rectángulos con un mismo ángulo agudo son semejantes y, por tanto, los cocientes, a/c, b/c, a/b coinciden en ambos. Las razones trigonométricas sen y cos de un mismo ángulo guardan la siguiente relación fundamental: (sen )2 + (cos )2 = 1 En vez de (sen )2 se acostumbra a escribir sen2 , y lo mismo con las demás razones trigonométricas. Por eso, la igualdad anterior se suele expresar así: sen2 + cos2 = 1 Las razones sen , cos y tg se relacionan entre sí del siguiente modo: 2 Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera Para definir las razones trigonométricas de ángulos cualesquiera (de 0º a 360º) se empieza situando el ángulo en la llamada circunferencia goniométrica, una circunferencia de radio 1 con su centro, O, situado sobre unos ejes coordenados: El vértice del ángulo se sitúa en O y el primero de sus lados, a, sobre la parte positiva del eje de las X. El segundo lado, b, se abre girando en sentido contrario a las agujas del reloj. Este segundo lado corta a la circunferencia goniométrica en un punto, P, cuyas coordenadas son c = cos y s = sen . Es decir, P(cos , sen ). La tg = t se sitúa sobre la recta r, tangente a la circunferencia en U, y queda determinada por el punto T en que el lado b, o su prolongación, corta a r. Según esta definición, las razones trigonométricas sen, cos y tg toman valores positivos o negativos según el cuadrante en el que se encuentre el ángulo . En la figura siguiente se resumen los signos de las tres razones: Los ángulos 90º y 270º no tienen tangente, pues para ellos el segundo lado no corta a la recta r. Las razones trigonométricas de ángulos no agudos cumplen las mismas relaciones que las de los ángulos agudos: sen2 + cos2 = 1 3 Otras razones trigonométricas A partir de las razones trigonométricas sen, cos y tg se definen la cosecante (cosec), la secante (sec) y la cotangente (cot) del siguiente modo: Estas razones trigonométricas no están definidas cuando el denominador es cero. Por ejemplo, sec no está definida para = 90º ni para = 270º, pues cos 90º = 0 y cos 270º = 0. La cotangente es cero donde la tangente no está definida, es decir, cot 90º = 0 y cot 270º = 0. Estas tres razones trigonométricas se sitúan en la circunferencia goniométrica como se indica en la figura: 4 Relaciones entre las razones trigonométricas de algunos ángulos Si dos ángulos son complementarios (suman 90º) sus razones trigonométricas están relacionadas. También lo están las de los ángulos suplementarios (los que suman 180º) y las de los opuestos (los que suman 360º). A continuación se dan las relaciones fundamentales entre ellas. Ángulos complementarios, y 90º - : sen (90º - ) = cos cos (90º - ) = sen tg (90º - ) = cos /sen = 1/tg Ángulos suplementarios, y 180º - : sen (180º - ) = sen cos (180º - ) = -cos tg (180º - ) = -tg Ángulos opuestos, y -: sen (-) = -sen cos (-) = cos tg (-) = -tg Ángulos que difieren en 180º, y + 180º: sen ( + 180º) = -sen cos ( + 180º) = -cos tg ( + 180º) = tg 5 Resolución de triángulos Las razones trigonométricas de ángulos agudos sirven para resolver triángulos rectángulos, es decir, para averiguar uno de sus elementos desconocidos a partir de algunos otros conocidos. Por ejemplo, si se conoce la hipotenusa, h, y un ángulo , se puede calcular el cateto opuesto, c, a ese ángulo, mediante el seno, puesto que al ser sen = c/h se obtiene que c = h sen . Los teoremas del seno y del coseno permiten resolver triángulos oblicuángulos. Por ejemplo, si se quiere conocer el lado c de un triángulo del que se conocen los otros dos lados a y b, y el ángulo, C, opuesto al lado desconocido, el teorema del coseno permite calcularlo: c2 = a2 + b2 – 2ab·cos C O bien, si se conocen un lado, a, y los ángulos de un triángulo, se puede hallar otro lado, b, mediante el teorema del seno: De aquí, despejando b se obtiene: 6 Funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas se obtienen a partir de las razones trigonométricas de la forma siguiente: El ángulo se expresa en radianes. Por tanto, los 360º de una circunferencia pasan a ser 2 radianes. Se considera que cualquier número real puede ser la medida de un ángulo. Sus razones trigonométricas se relacionan con las razones de los ángulos comprendidos en el intervalo [0, 2) del siguiente modo: si x - x’ = k · 2, k número entero, entonces sen x = sen x’, cos x = cos x’, tg x = tg x’. Es decir, si dos números difieren en un número entero de veces 2, entonces tienen las mismas razones trigonométricas. De este modo se obtienen las funciones trigonométricas y = sen x, y = cos x, y = tg x, llamadas también funciones circulares. Sus representaciones gráficas son: Las otras funciones trigonométricas, y = cosec x, y = sec x, y = cot x, por la relación que tienen con las tres anteriores, se representan con ellas en las figuras siguientes: Todas las funciones trigonométricas son periódicas: sen, cos, sec y cosec tienen periodo 2, mientras que tg y cot tienen periodo . 7 Funciones inversas La expresión “y es el seno de θ” o y = sen θ, es equivalente a la expresión “θ es el ángulo cuyo seno es igual a y”, lo que se expresa como θ = arcsen y, o también como θ = sen-1y. La función arcsen (que se lee arco seno) es la función inversa o recíproca de la función sen. Las otras funciones inversas, arccos y, arctg y, arccot y, arcsec y, y arccosec y, se definen del mismo modo. En la expresión y = sen θ o θ = arcsen y, un valor dado de y genera un número infinito de valores de θ, puesto que sen /6 = sen 5/6 = sen ((/6) + 2) =…= , teniendo en cuenta que los ángulos /6 y 5/6 son suplementarios. Por tanto, si θ = arcsen , entonces θ = (/6) + n 2 y θ = (5/6) + n 2, para cualquier entero n positivo, negativo o nulo. El valor /6 se toma como valor principal o fundamental del arcsen . Para todas las funciones inversas, se suele dar su valor principal. Existen distintas costumbres, pero la más común es que los valores principales de las funciones inversas estén en los intervalos que se dan a continuación: -/2 ≤ arcsen y ≤ /2 0 ≤ arccos y ≤ -/2 < arctg y < /2 0 < arccosec y < -/2 < arcsec y < /2 0 < arccot y < 3 TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA La trigonometría esférica, que se usa sobre todo en navegación y astronomía, estudia triángulos esféricos, es decir, figuras formadas por arcos de circunferencias máximas contenidos en la superficie de una esfera. El triángulo esférico, al igual que el triángulo plano, tiene seis elementos: los tres lados a, b, c, y los tres ángulos A, B y C. Sin embargo, los lados de un triángulo esférico son magnitudes angulares en vez de lineales, y dado que son arcos de circunferencias máximas de una esfera, su medida viene dada por el ángulo central correspondiente. Un triángulo esférico queda definido dando tres elementos cualesquiera de los seis, pues, al igual que en la geometría plana, hay fórmulas que relacionan las distintas partes de un triángulo, que se pueden utilizar para calcular los elementos desconocidos. Por ejemplo, el teorema del seno adopta la siguiente forma para triángulos esféricos: La trigonometría esférica es de gran importancia para la teoría de la proyección estereográfica y en geodesia. Es también el fundamento de los cálculos astronómicos. Por ejemplo, la solución del llamado triángulo astronómico se utiliza para encontrar la latitud y longitud de un punto, la hora del día, la posición de una estrella y otras magnitudes. 4 HISTORIA La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a haber trigonometría en las matemáticas. En el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea compiló una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Comenzando con un ángulo de 7° y yendo hasta 180° con incrementos de 7°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. Esta tabla es similar a la moderna tabla del seno. No se sabe con certeza el valor de r utilizado por Hiparco, pero sí se sabe que 300 años más tarde el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico sexagesimal (base 60) de los babilonios. Tolomeo incorporó en su gran libro de astronomía el Almagesto, una tabla de cuerdas con incrementos angulares de °, desde 0° hasta 180°, con un error menor que 1/3.600 de unidad. También explicó su método para compilar esta tabla de cuerdas, y a lo largo del libro dio bastantes ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. Tolomeo fue el autor del que hoy se conoce como teorema de Menelao para resolver triángulos esféricos, y durante muchos siglos su trigonometría fue la introducción básica para los astrónomos. Quizás al mismo tiempo que Tolomeo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, al contrario que el seno utilizado en la actualidad, no era una proporción, sino la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas. A finales del siglo VIII los astrónomos árabes habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India, y prefirieron trabajar con la función seno. En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Varios matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, lo que dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas. Los árabes también incorporaron el triángulo polar en los triángulos esféricos. Todos estos descubrimientos se aplicaron a la astronomía y también se utilizaron para medir el tiempo astronómico y para encontrar la dirección de la Meca, lo que era necesario para las cinco oraciones diarias requeridas por la ley islámica. Los científicos árabes también compilaron tablas de gran exactitud. Por ejemplo, las tablas del seno y de la tangente, construidas con intervalos de 1/60 de grado (1 minuto) tenían un error menor que 1 dividido por 700 millones. Además, el gran astrónomo Nasir al-Dìn al-Tusì escribió el Libro de la figura transversal, el primer estudio de las trigonometrías plana y esférica como ciencias matemáticas independientes. El occidente latino se familiarizó con la trigonometría árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano. Durante el siguiente siglo, el también astrónomo alemán Georges Joachim, conocido como Rético, introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas. El matemático francés François Viète incorporó el triángulo polar en la trigonometría esférica y encontró fórmulas para expresar las funciones de ángulos múltiples, sen nθ y cos nθ, en función de potencias de sen θ y cos θ. Los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje gracias al matemático escocés John Napier, quien inventó los logaritmos a principios del siglo XVII. También encontró reglas mnemotécnicas para resolver triángulos esféricos, y algunas proporciones (llamadas analogías de Napier) para resolver triángulos esféricos oblicuos. Casi exactamente medio siglo después de la publicación de los logaritmos de Napier, Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos; además, Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos. Enciclopedia Microsoft ® Encarta ® 2002. © 1993-2001 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos. Álgebra de Boole Álgebra de Boole, rama de las matemáticas con propiedades y reglas similares, aunque diferentes, al álgebra ordinaria. Es útil, entre otras cosas, para la lógica y para la teoría de conjuntos. Formalmente, el álgebra de Boole es un sistema matemático compuesto por un conjunto de elementos, llamado habitualmente B, junto a dos operaciones binarias, que se pueden escribir con los símbolos y . Estas operaciones están definidas en el conjunto B y satisfacen los siguientes axiomas: 1. Ambas operaciones son asociativas. Esto es, cualesquiera que sean los elementos x, y, z de B, se cumple que (x y) z = x (y z) (x y) z = x (y z) 2. Ambas operaciones son conmutativas. Esto es, para cualquier pareja de elementos x, y del conjunto B, se cumple que xy=yx xy=yx 3. Cada una de las operaciones y es distributiva con respecto a la otra. Esto es, para tres elementos cualesquiera x, y, z del conjunto B, se cumple que x (y z) = (x y) (x z) y que x (y z) = (x y) (x z) 4. En el conjunto B existe un elemento neutro bien definido para cada una de las operaciones y . Estos elementos se representan habitualmente con los símbolos 0 y 1, son distintos y tienen la propiedad de que 0x=x 1x=x para cualquier elemento x del conjunto B. 5. A cada elemento x del conjunto B le corresponde otro elemento llamado complementario de x, que normalmente se representa con el símbolo x′. El elemento x′ cumple las siguientes propiedades con respecto a las dos operaciones y : x x′ = 0 x x′ = 1 Esta estructura recibe este nombre en honor al matemático inglés George Boole, que la describió en 1854 en su obra Investigación sobre las leyes del pensamiento. Las dos operaciones y se pueden representar con otra pareja cualquiera de símbolos; +, y se utilizan a veces en vez de ; ×, ^, , ·, en vez de . Veamos un ejemplo de un álgebra de Boole. Sea X un conjunto de elementos y sea P(X) el conjunto de todos los posibles subconjuntos del conjunto X. P(X) se denomina normalmente conjunto de las partes del conjunto X. P(X) junto con la unión () y la intersección () de conjuntos forma un álgebra de Boole. En realidad, cualquier álgebra de Boole se puede representar como un álgebra de conjuntos (véase Teoría de conjuntos). Dada la simetría de los axiomas con respecto a las dos operaciones y sus respectivos elementos neutros, se puede demostrar el llamado principio de dualidad, que afirma que cualquier proposición algebraica verdadera deducible a partir de los axiomas del álgebra de Boole es también verdadera si se intercambian las operaciones y y los elementos neutros 1 y 0 en la proposición. Dos de los muchos teoremas que se pueden deducir a partir de los axiomas del álgebra de Boole y que son de gran importancia son las leyes de Morgan, que dicen que (x y)′ = x′ y′ y que (x y)′ = x′ y′ Los elementos que forman el conjunto B de un álgebra de Boole pueden ser objetos abstractos o cosas concretas como números, proposiciones, conjuntos o redes eléctricas. En el desarrollo original de Boole, los elementos de su álgebra eran una colección de proposiciones, o simplemente oraciones gramaticales con la propiedad de ser verdaderas o falsas. Las operaciones eran, esencialmente, la disyunción y la conjunción, que se escriben con los símbolos y ^ respectivamente. Si x e y representan dos proposiciones, entonces la expresión x y (leída "x o y") es verdadera si y sólo si o x o y o ambas son verdaderas. La proposición x ^ y (leída "x e y") es verdadera si y sólo si ambas son verdaderas. En esta álgebra de Boole, el complementario de un elemento o proposición es simplemente la negación de la proposición. Un álgebra de Boole de proposiciones y una de conjuntos están muy relacionadas. Por ejemplo, sea p la afirmación "la bola es azul", y sea P el conjunto de todos los elementos para los que la proposición es verdadera, es decir, el conjunto de las bolas azules. P es el conjunto verdad de la proposición p. De esta manera, si P y Q son los conjuntos verdad de las proposiciones p y q, entonces el conjunto verdad de la proposición p q es claramente P Q y para p ^ q el conjunto verdad es P Q. El álgebra de Boole tiene muchas aplicaciones prácticas en las ciencias físicas, especialmente en la informática y en la electrónica. A continuación se expone un ejemplo del uso del álgebra de Boole en la teoría de circuitos electrónicos. Sean p y q dos proposiciones, es decir, oraciones afirmativas que son o verdaderas o falsas (pero no las dos cosas al mismo tiempo). Si cada una de las proposiciones p y q se asocia con un interruptor que está cerrado si la afirmación es verdadera y abierto si es falsa, entonces la proposición p ^ q se representa en el circuito conectando los interruptores en serie. La corriente circulará por este circuito si y sólo si ambos interruptores están cerrados, esto es, si ambas p y q son verdaderas. De la misma manera, otro circuito se puede usar para representar p q. En este caso los interruptores tienen que estar conectados en paralelo, con lo que la corriente circula si o p o q o ambas son verdaderas (interruptores cerrados). Proposiciones más complejas darán lugar a circuitos más complicados. Enciclopedia Microsoft ® Encarta ® 2002. © 1993-2001 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos. Estadística 1 INTRODUCCIÓN Estadística, rama de las matemáticas que se ocupa de reunir, organizar y analizar datos numéricos y que ayuda a resolver problemas como el diseño de experimentos y la toma de decisiones. 2 HISTORIA Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de estadística, pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de personas, animales o cosas. Hacia el año 3000 a.C. los babilonios usaban pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos sobre la producción agrícola y sobre los géneros vendidos o cambiados mediante trueque. En el siglo XXXI a.C., mucho antes de construir las pirámides, los egipcios analizaban los datos de la población y la renta del país. Los libros bíblicos de Números y Crónicas incluyen, en algunas partes, trabajos de estadística. El primero contiene dos censos de la población de Israel y el segundo describe el bienestar material de las diversas tribus judías. En China existían registros numéricos similares con anterioridad al año 2000 a.C. Los griegos clásicos realizaban censos cuya información se utilizaba hacia el 594 a.C. para cobrar impuestos. El Imperio romano fue el primer gobierno que recopiló una gran cantidad de datos sobre la población, superficie y renta de todos los territorios bajo su control. Durante la edad media sólo se realizaron algunos censos exhaustivos en Europa. Los reyes caloringios Pipino el Breve y Carlomagno ordenaron hacer estudios minuciosos de las propiedades de la Iglesia en los años 758 y 762 respectivamente. Después de la conquista normanda de Inglaterra en 1066, el rey Guillermo I de Inglaterra encargó la realización de un censo. La información obtenida con este censo, llevado a cabo en 1086, se recoge en el Domesday Book. El registro de nacimientos y defunciones comenzó en Inglaterra a principios del siglo XVI, y en 1662 apareció el primer estudio estadístico notable de población, titulado Observations on the London Bills of Mortality (Comentarios sobre las partidas de defunción en Londres). Un estudio similar sobre la tasa de mortalidad en la ciudad de Breslau, en Alemania, realizado en 1691, fue utilizado por el astrónomo inglés Edmund Halley como base para la primera tabla de mortalidad. En el siglo XIX, con la generalización del método científico para estudiar todos los fenómenos de las ciencias naturales y sociales, los investigadores aceptaron la necesidad de reducir la información a valores numéricos para evitar la ambigüedad de las descripciones verbales. En nuestros días, la estadística se ha convertido en un método efectivo para describir con exactitud los valores de datos económicos, políticos, sociales, psicológicos, biológicos o físicos, y sirve como herramienta para relacionar y analizar dichos datos. El trabajo del experto estadístico no consiste ya sólo en reunir y tabular los datos, sino sobre todo en el proceso de “interpretación” de esa información. El desarrollo de la teoría de la probabilidad ha aumentado el alcance de las aplicaciones de la estadística. Muchos conjuntos de datos se pueden aproximar, con gran exactitud, utilizando determinadas distribuciones probabilísticas; los resultados de éstas se pueden utilizar para analizar datos estadísticos. La probabilidad es útil para comprobar la fiabilidad de las inferencias estadísticas y para predecir el tipo y la cantidad de datos necesarios en un determinado estudio estadístico. 3 MÉTODOS ESTADÍSTICOS La materia prima de la estadística consiste en conjuntos de números obtenidos al contar o medir elementos. Al recopilar datos estadísticos se ha de tener especial cuidado para garantizar que la información sea completa y correcta. El primer problema para los estadísticos reside en determinar qué información y en que cantidad se ha de reunir. En realidad, la dificultad al compilar un censo está en obtener el número de habitantes de forma completa y exacta; de la misma manera que un físico que quiere contar el número de colisiones por segundo entre las moléculas de un gas debe empezar determinando con precisión la naturaleza de los objetos a contar. Los estadísticos se enfrentan a un complejo problema cuando, por ejemplo, toman una muestra para un sondeo de opinión o una encuesta electoral. El seleccionar una muestra capaz de representar con exactitud las preferencias del total de la población no es tarea fácil. Para establecer una ley física, biológica o social, el estadístico debe comenzar con un conjunto de datos y modificarlo basándose en la experiencia. Por ejemplo, en los primeros estudios sobre crecimiento de la población, los cambios en el número de habitantes se predecían calculando la diferencia entre el número de nacimientos y el de fallecimientos en un determinado lapso. Los expertos en estudios de población comprobaron que la tasa de crecimiento depende sólo del número de nacimientos, sin que el número de defunciones tenga importancia. Por tanto, el futuro crecimiento de la población se empezó a calcular basándose en el número anual de nacimientos por cada 1.000 habitantes. Sin embargo, pronto se dieron cuenta que las predicciones obtenidas utilizando este método no daban resultados correctos. Los estadísticos comprobaron que hay otros factores que limitan el crecimiento de la población. Dado que el número de posibles nacimientos depende del número de mujeres, y no del total de la población, y dado que las mujeres sólo tienen hijos durante parte de su vida, el dato más importante que se ha de utilizar para predecir la población es el número de niños nacidos vivos por cada 1.000 mujeres en edad de procrear. El valor obtenido utilizando este dato mejora al combinarlo con el dato del porcentaje de mujeres sin descendencia. Por tanto, la diferencia entre nacimientos y fallecimientos sólo es útil para indicar el crecimiento de población en un determinado periodo de tiempo del pasado, el número de nacimientos por cada 1.000 habitantes sólo expresa la tasa de crecimiento en el mismo periodo, y sólo el número de nacimientos por cada 1.000 mujeres en edad de procrear sirve para predecir el número de habitantes en el futuro. 4 POBLACIÓN, INDIVIDUO, CARÁCTER El primer campo de actuación de la estadística, como se ha visto, es la demografía. De esta ciencia ha tomado la nomenclatura (población, individuo…). Se llama población al conjunto de todos los elementos cuyo conocimiento interesa. Cada uno de esos elementos es un individuo. Si se está estudiando el resultado de ciertos experimentos químicos, cada uno de esos experimentos será un individuo estadístico y el conjunto de todos los posibles experimentos en esas condiciones será la población. Cada individuo puede ser descrito mediante uno o varios caracteres. Por ejemplo, si los individuos son personas, el sexo, el estado civil, el número de hermanos o su estatura son caracteres. Y si el individuo es una reacción química, el tiempo de reacción, la cantidad de producto obtenido o si éste es ácido o básico serán posibles caracteres que pueden analizarse. Un carácter puede ser cuantitativo si es medible numéricamente o cualitativo si no admite medición numérica. El número de hermanos y la estatura son caracteres cuantitativos mientras que el sexo y el estado civil son caracteres cualitativos. Los distintos valores que puede tomar un carácter cuantitativo configuran una variable estadística. La variable estatura, en cierta población estadística, toma valores en el intervalo 147-205; y la variable número de hermanos toma los valores 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8. Una variable estadística como esta última es discreta, ya que sólo admite valores aislados. Una variable estadística es continua si admite todos los valores de un intervalo, como ocurre con la estatura. 5 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA La estadística descriptiva analiza, estudia y describe a la totalidad de individuos de una población. Su finalidad es obtener información, analizarla, elaborarla y simplificarla lo necesario para que pueda ser interpretada cómoda y rápidamente y, por tanto, pueda utilizarse eficazmente para el fin que se desee. El proceso que sigue la estadística descriptiva para el estudio de una cierta población consta de los siguientes pasos: Selección de caracteres dignos de ser estudiados. Mediante encuesta o medición, obtención del valor de cada individuo en los caracteres seleccionados. Elaboración de tablas de frecuencias, mediante la adecuada clasificación de los individuos dentro de cada carácter. Representación gráfica de los resultados (elaboración de gráficas estadísticas). Obtención de parámetros estadísticos, números que sintetizan los aspectos más relevantes de una distribución estadística. 6 ESTADÍSTICA INFERENCIAL La estadística descriptiva trabaja con todos los individuos de la población. La estadística inferencial, sin embargo, trabaja con muestras, subconjuntos formados por algunos individuos de la población. A partir del estudio de la muestra se pretende inferir aspectos relevantes de toda la población. Cómo se selecciona la muestra, cómo se realiza la inferencia, y qué grado de confianza se puede tener en ella son aspectos fundamentales de la estadística inferencial, para cuyo estudio se requiere un alto nivel de conocimientos de estadística, probabilidad y matemáticas. Enciclopedia Microsoft ® Encarta ® 2002. © 1993-2001 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.