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Cuarto de secundaria Colegio Particular “Esclavas del Sagrado Corazón de Jesús” ¿Qué es una razón trigonométrica de un ángulo agudo? RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS Las razones trigonométricas de un ángulo agudo son aquellos cocientes que se establecen entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo con respecto de uno de sus ángulos agudos. Con respecto del ángulo “α” en la figura anterior, el cateto opuesto es “c”, el cateto adyacente es “b” y la hipotenusa es “a”, así se definen: En este capítulo definiremos las razones trigonométricas llamadas: Seno, Coseno, Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante, abreviadas de la siguiente manera: sen, cos, tg, ctg, sec y csc. TRIÁNGULO RECTÁNGULO c a Se cumplen: • 0 < < 90º ; 0 < • c<a ; b<a RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES = COMPLEMENTARIO Son aquellos triángulos rectángulos donde conociendo las medidas de sus ángulos agudos, se puede saber la proporción existente entre sus lados. Como por ejemplo: sen = cos tg = ctg sec = csc Es aquel que posee un ángulo cuya medida es igual a 90º (recto). Los lados que determinan el ángulo recto se denominan catetos y el tercer lado hipotenusa. Además los otros ángulos del triángulo son agudos. De la figura: α y β : Ángulos agudos b y c : Catetos a : Hipotenusa Siempre y cuando: b < 90º Teorema de Pitágoras “En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa” Es decir: b2 + c2 = a2 ceteto.opuesto a sen hipotenusa c cateto.adyacente b cos hipotenusa c cateto.opuesto a tag cateto.adyacente b cateto.adyacente b cot ag cateto.opuesto a hipotenusa c sec cateto.adyacente b hipotenusa c csc cateto.opuesto a 45º a Siempre y cuando: 30º a 2a 45º + = 90º 60º a (Complementarios) a 53º 5a 3a 74º 25a c 16º 4a 24a a B PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 7a 37º a a b a APLICACIÓN 1 Si: sen 2x = cos 80º. 75° 15° A C 4a RECÍPROCAS sen . csc = 1 Calcular: “x” 82º 90º (P. Complementarios) cos . sec = 1 a 2x + 80º = 90º x = 5º 8º tg . ctg = 1 7a Prof. Edwin Meza Flores Geometría Analítica “Amar, adorar y servir” Cuarto de secundaria Colegio Particular “Esclavas del Sagrado Corazón de Jesús” 03. APLICACIÓN 10. Hallar “x” si : Del gráfico, obtener "tgx" Calcular: E = sen230º + tg37º cos(2x – 10º) sec(x + 30º) = 1 a) 10º b) 20º c) 30º Reemplazando valores: d) 40º 2 3 1 E 4 2 1 3 4 4 E1 2 Evaluar: E sen 45º cos 60º a) 1/2 d) 1/5 csc 30º b) 1/3 e) 1/7 c) 1/4 Reemplazando: 2 04. Del gráfico, obtenga "tgx"; si el triángulo ABC es equilátero. 2 2 1 1 2 2 1 4 2 2 2 2 a) 0,2 d) 0,8 07. b) 0,4 e) 1 c) 0,6 02. b) 3 e) 1/2 Del gráfico, calcular tg 15 º a) 17º d) 30º a) 3 /2 c) 3 /4 d) 3 /5 05. Del gráfico, obtenga "tgx": b) e) a) 1/2 d) 1/6 3 /3 b) 1/3 e) 1/7 08. En el gráfico: "tgx". 3 /6 c) 1/5 AD 2DC . Calcular c) 2/3 "tgx", a) 0 d) b a) 0,25 d) 0,225 b) 0,175 e) 0,125 c) 0,375 a) 1,1 d) 1,4 Prof. Edwin Meza Flores c) 3 06. b) 1,2 e) 1,5 c) 1,3 Si: ABCD es un cuadrado; calcular "tgx". c) a b) 2 e) -1 c) 0 Calcular: E 2senA 3tgC Calcular : Cos 3x a) 1 b) 1/2 c) 3 d) 3 /2 Geometría Analítica b) 1/3 e) 1/2 14. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se cumple que: 2tgA = cscC 9. Si : tg 3x . ctg(x + 40º) = 1. b) 2 e) 5 c) 28º 13. En un triángulo rectángulo ABC recto en B reducir: E = (secA - senC)ctgA - cosC a) 1 d) 3 si: AN 2 NB a) 1 d) 4 b) 20º e) 34º 12. En un triángulo ABC recto en C simplificar: E = a . ctgA – c . senB Del gráfico, calcular "tgx": a) 1/3 d) 3/2 11. Determine “x” : sec(2x - 8) = sen 40º csc 40º + ctg 75 º Del gráfico, calcular "tgx". PROBLEMAS PROPUESTOS 01. e) 50º a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3 e) 3/5 “Amar, adorar y servir” Cuarto de secundaria Colegio Particular “Esclavas del Sagrado Corazón de Jesús” 15. Del gráfico calcular “x”. Si: 3 tgB 2 B tg 4x + 2 a) 1 b) 2 c) 3 19. Si: A sec2 45º Es aquel ángulo formado por la línea horizontal y visual cuando el objeto se encuentra por debajo de la línea horizontal a) 0 d) 2 7x + 1 e) 5 16. Si: sec x 7 b) 1 e) -2 c) -1 ANGULOS VERTICALES 2 Calcular: E tg x 42 senx a) 10 d) 18 b) 12 e) 20 Son aquellos ángulos definidos en el plano vertical, formado por la línea visual (línea de mira) y la línea horizontal. c) 14 Los ángulos verticales pueden ser: 17. Del gráfico E 3 (tg tg) hallar: ANGULO DE ELEVACION ctg 2 a) 2 m b) 3 c) 5 Es el ángulo formado por la línea horizontal y visual cuando el objeto se encuentra por encima de la línea horizontal 2m d) 2 3 e) 15 a) 1 d) 3/4 b) 2 e) 4/3 c) 1/4 ANGULO DE DEPRESION Prof. Edwin Meza Flores PRACTICA DIRIGIDA 1. Desde la parte alta de un edificio de 30m de altura se observa un auto estacionado con un ángulo de depresión de 60º. ¿A que distancia del pie del edificio se encuentra el auto? 2. Desde un punto en tierra ubicado a 32m de la base de un muro se observa su parte mas alta con ángulo de elevación de 37º. Si nos acercamos xm, el ángulo de elevación tiene tangente 2,4. Calcular x metros 3. Un jugador de baloncesto de 2m de altura se encuentra a 8m de la base del aro. Si el jugador observa el aro con un ángulo de elevación de 37º. Encuentre la altura a la que se encuentra el aro del suelo. 18. Calcular: E = (sen30º + cos60º)tg37º Geometría Analítica y desde el suelo una persona observa el avión con un ángulo de elevación de . Determine la altura a la que vuela el avión. 5. Calcula la longitud de una antena que se encuentra en la azotea de un edificio de 30m de altura, si desde un punto del plano horizontal que pasa por la base del edificio las elevaciones angulares de la parte superior e inferior de la antena son “x” e “y” respectivamente, tal que tg x = 40 y tg y =15 Calcular: E 6sen sec2 C d) 4 sec 60º tg tg tg 4. Desde un avión se observa la base de un edificio con un ángulo de depresión de a 12 metros de la base del edificio 6. Un observador situado a 30m sobre el nivel del mar observa una lancha con un ángulo de depresión “x”, si la lancha se aleja en línea recta del observador una distancia igual a 10m el nuevo ángulo de depresión será de 37º. ¿Cuánto es el valor de la tg x? 7. Desde un punto P en tierras observa la azotea de un edificio con un ángulo de elevación de 30º y acercándose 20m en línea recta se observa el punto anterior con un ángulo de elevación de 45º. Determinar la altura del edificio. 8. Una persona de 1,50 m de estatura observa un árbol con un ángulo de depresión de 30º, su base y con un ángulo de elevación de 60º, su parte superior. Calcular la altura del árbol. 9. Una torre esta al pie de una colina cuya inclinación con respecto a la horizontal es de 15º. Pedro se encuentra en la colina a 18m de la base de la torre y observa a esta bajo un ángulo de 60º. ¿Cual es la altura de la torre?. “Amar, adorar y servir”