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Cuarto de secundaria
Colegio Particular “Esclavas del Sagrado Corazón de Jesús”
¿Qué es una razón trigonométrica de un
ángulo agudo?
RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS AGUDOS
Las razones trigonométricas de un ángulo agudo
son aquellos cocientes que se establecen entre
las longitudes de los lados de un triángulo
rectángulo con respecto de uno de sus ángulos
agudos.
Con respecto del ángulo “α” en la figura
anterior, el cateto opuesto es “c”, el cateto
adyacente es “b” y la hipotenusa es “a”, así se
definen:
En este capítulo definiremos las razones
trigonométricas llamadas: Seno, Coseno,
Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante,
abreviadas de la siguiente manera: sen, cos, tg,
ctg, sec y csc.
TRIÁNGULO RECTÁNGULO

c
a

Se cumplen:
• 0 < < 90º ; 0 <
• c<a ; b<a
RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS NOTABLES
=
COMPLEMENTARIO
Son aquellos triángulos rectángulos donde
conociendo las medidas de sus ángulos
agudos, se puede saber la proporción
existente entre sus lados.
Como por ejemplo:
sen = cos
tg = ctg
sec = csc
Es aquel que posee un ángulo cuya medida es
igual a 90º (recto). Los lados que determinan el
ángulo recto se denominan catetos y el tercer
lado hipotenusa. Además los otros ángulos del
triángulo son agudos.
De la figura:
α y β : Ángulos agudos
b y c : Catetos
a : Hipotenusa
Siempre y cuando:
b
< 90º
Teorema de Pitágoras
“En un triángulo rectángulo la suma de los
cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de
la hipotenusa”
Es decir:
b2 + c2 = a2
ceteto.opuesto a
sen 

hipotenusa
c
cateto.adyacente b
cos  

hipotenusa
c
cateto.opuesto
a
tag 

cateto.adyacente b
cateto.adyacente b
cot ag 

cateto.opuesto
a
hipotenusa
c
sec  

cateto.adyacente b
hipotenusa
c
csc  

cateto.opuesto a
45º
a
Siempre y cuando:
30º
a
2a
45º
 +  = 90º
60º
a
(Complementarios)
a
53º
5a
3a
74º
25a

c
16º
4a
24a
a
B

PROPIEDADES DE LAS
RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS
7a
37º
a
a
b
a
APLICACIÓN 1
Si:
sen 2x = cos 80º.
75°
15°
A
C
4a
RECÍPROCAS
sen . csc = 1
Calcular: “x”
82º
90º (P. Complementarios)
cos . sec = 1
a
2x + 80º = 90º  x = 5º
8º
tg . ctg = 1
7a
Prof. Edwin Meza Flores
Geometría Analítica
“Amar, adorar y servir”
Cuarto de secundaria
Colegio Particular “Esclavas del Sagrado Corazón de Jesús”
03.
APLICACIÓN
10. Hallar “x” si :
Del gráfico, obtener "tgx"
Calcular: E = sen230º + tg37º
cos(2x – 10º) sec(x + 30º) = 1
a) 10º b) 20º c) 30º
Reemplazando valores:
d) 40º
2
3
1
E  
4
2
1 3

4 4

 E1
2
Evaluar: E  sen 45º cos 60º
a) 1/2
d) 1/5
csc 30º
b) 1/3
e) 1/7
c) 1/4
Reemplazando:
2
04. Del gráfico, obtenga "tgx"; si el triángulo
ABC es equilátero.
 2
2 1

 1

 2 
2
1


 4 2 
2
2
2
a) 0,2
d) 0,8
07.
b) 0,4
e) 1
c) 0,6
02.
b) 3
e) 1/2
Del
gráfico,
calcular
tg 15 º
a) 17º
d) 30º
a)
3 /2
c)
3 /4
d)
3 /5
05.
Del gráfico, obtenga "tgx":
b)
e)
a) 1/2
d) 1/6
3 /3
b) 1/3
e) 1/7
08. En el gráfico:
"tgx".
3 /6
c) 1/5
AD  2DC .
Calcular
c) 2/3
"tgx",
a) 0
d) b
a) 0,25
d) 0,225
b) 0,175
e) 0,125
c) 0,375
a) 1,1
d) 1,4
Prof. Edwin Meza Flores
c) 3
06.
b) 1,2
e) 1,5
c) 1,3
Si: ABCD es un cuadrado; calcular "tgx".
c) a
b) 2
e) -1
c) 0
Calcular: E  2senA  3tgC
Calcular : Cos 3x
a) 1
b) 1/2
c) 3
d) 3 /2
Geometría Analítica
b) 1/3
e) 1/2
14. En un triángulo rectángulo ABC
recto en B se cumple que: 2tgA =
cscC
9. Si : tg 3x . ctg(x + 40º) = 1.
b) 2
e) 5
c) 28º
13. En un triángulo rectángulo ABC
recto en B reducir:
E = (secA - senC)ctgA - cosC
a) 1
d) 3
si:
AN  2 NB
a) 1
d) 4
b) 20º
e) 34º
12. En un triángulo ABC recto en C
simplificar:
E = a . ctgA – c . senB
Del gráfico, calcular "tgx":
a) 1/3
d) 3/2
11. Determine “x” :
sec(2x - 8) = sen 40º csc 40º +
ctg 75 º
Del gráfico, calcular "tgx".
PROBLEMAS PROPUESTOS
01.
e) 50º
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
e) 3/5
“Amar, adorar y servir”
Cuarto de secundaria
Colegio Particular “Esclavas del Sagrado Corazón de Jesús”
15. Del gráfico calcular “x”. Si:
3
tgB 
2
B
tg
4x + 2
a) 1
b) 2
c) 3
19. Si:
A
 sec2 45º
Es aquel ángulo formado por la línea
horizontal y visual cuando el objeto se
encuentra por debajo de la línea horizontal
a) 0
d) 2
7x + 1
e) 5
16. Si: sec x  7
b) 1
e) -2
c) -1
ANGULOS VERTICALES
2
Calcular: E  tg x  42 senx
a) 10
d) 18
b) 12
e) 20
Son aquellos ángulos definidos en el plano
vertical, formado por la línea visual (línea
de mira) y la línea horizontal.
c) 14
Los ángulos verticales pueden ser:
17. Del
gráfico
E  3 (tg  tg)
hallar:
ANGULO DE ELEVACION
ctg
2
a) 2
m
b) 3
c) 5
Es el ángulo formado por la línea
horizontal y visual cuando el objeto se
encuentra por encima de la línea
horizontal
2m
d) 2 3



e) 15
a) 1
d) 3/4
b) 2
e) 4/3
c) 1/4
ANGULO DE DEPRESION
Prof. Edwin Meza Flores
PRACTICA DIRIGIDA
1. Desde la parte alta de un edificio de
30m de altura se observa un auto
estacionado con un ángulo de depresión de
60º. ¿A que distancia del pie del edificio
se encuentra el auto?
2. Desde un punto en tierra ubicado a 32m
de la base de un muro se observa su parte
mas alta con ángulo de elevación de 37º.
Si nos acercamos xm, el ángulo de
elevación tiene tangente 2,4. Calcular x
metros
3. Un jugador de baloncesto de 2m de
altura se encuentra a 8m de la base del aro.
Si el jugador observa el aro con un ángulo
de elevación de 37º. Encuentre la altura a
la que se encuentra el aro del suelo.
18. Calcular:
E = (sen30º + cos60º)tg37º
Geometría Analítica
y desde el suelo una persona observa el
avión con un ángulo de elevación de
. Determine la altura a la que vuela el
avión.
5. Calcula la longitud de una antena que se
encuentra en la azotea de un edificio de
30m de altura, si desde un punto del plano
horizontal que pasa por la base del edificio
las elevaciones angulares de la parte
superior e inferior de la antena son “x” e
“y” respectivamente, tal que tg x = 40 y tg
y =15
Calcular: E  6sen  sec2 
C
d) 4
sec 60º
tg 
tg

tg 
4. Desde un avión se observa la base de un
edificio con un ángulo de depresión de
a 12 metros de la base del edificio
6. Un observador situado a 30m sobre el
nivel del mar observa una lancha con un
ángulo de depresión “x”, si la lancha se
aleja en línea recta del observador una
distancia igual a 10m el nuevo ángulo de
depresión será de 37º. ¿Cuánto es el valor
de la tg x?
7. Desde un punto P en tierras observa la
azotea de un edificio con un ángulo de
elevación de 30º y acercándose 20m en
línea recta se observa el punto anterior con
un ángulo de elevación de 45º. Determinar
la altura del edificio.
8. Una persona de 1,50 m de estatura
observa un árbol con un ángulo de
depresión de 30º, su base y con un ángulo
de elevación de 60º, su parte superior.
Calcular la altura del árbol.
9. Una torre esta al pie de una colina cuya
inclinación con respecto a la horizontal es
de 15º. Pedro se encuentra en la colina a
18m de la base de la torre y observa a esta
bajo un ángulo de 60º. ¿Cual es la altura
de la torre?.
“Amar, adorar y servir”