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Polígonos
Competencia matemática y competencias en ciencia y tecnología
1
POLÍGONOS
Un polígono es una figura cerrada y plana limitada por un
mínimo de tres segmentos rectilíneos, formando una línea
poligonal que denominamos contorno del polígono. Los
polígonos con los lados y ángulos iguales se llaman regulares y pueden inscribirse o circunscribirse en una circunferencia.
1.1 Elementos de cualquier polígono
Q
Fig. 1
Elementos lineales
– Lado. Cada uno de los segmentos que configuran la
forma poligonal; por ejemplo, AB y CD, en la figura
1. Sus intersecciones definen los vértices del polígono,
puntos A, B, D...
– Diagonal. Es el segmento que une dos vértices no consecutivos del polígono. Su número, en un polígono de
n lados, viene dado por la fórmula n (n – 3) / 2.
– Apotema. Es el segmento perpendicular a un lado trazado desde el centro del polígono (Fig. 2). En los polígonos regulares, su valor coincide con el radio de la
circunferencia inscrita en el polígono.
– Radio. Es el segmento trazado desde el centro a uno de
los vértices. En los polígonos regulares es igual al radio
de la circunferencia que lo circunscribe.
– Altura. Es la distancia de un vértice al lado opuesto o
la distancia entre dos lados paralelos, dependiendo del
tipo de polígono (Fig. 3).
– Perímetro. Es el contorno formado por el conjunto de
todos sus lados. Numéricamente es igual a la suma de
las longitudes de los lados.
Fig. 2
Fig. 3
27
2
Polígonos
Geometría
Q
Elementos angulares
– Ángulo interior. Es el determinado por dos lados consecutivos: ángulo _ de la figura 4. En un polígono convexo de n lados su suma es 180º · (n – 2).
– Ángulo exterior. Es el formado por un lado y la prolongación del contiguo: ángulo `. Cada ángulo interior
y el exterior correspondiente son suplementarios.
– Ángulo central. Tiene el vértice en el centro del polígono y los lados pasan por dos vértices consecutivos:
ángulo a de la figura 4. En un polígono regular de n
lados su valor es 360º / n.
Fig. 4
1.2 Clasificación
POLÍGONOS
Triángulos (tres lados)
Cuadriláteros (cuatro lados)
Regulares
Convexos
(ángulos y lados iguales)
Pentágonos (cinco lados)
(ángulos interiores
inferiores a 180º)
Irregulares (ángulos
y lados desiguales)
Hexágonos (seis lados)
Otros (se denominan según
el número de lados)
Equiláteros
Cóncavos
(lados iguales)
(mínimo un ángulo interior
superior a 180º)
No equiláteros
(lados desiguales)
28
Polígonos estrellados
Polígonos
Geometría
2
TRIÁNGULOS
Un triángulo es un polígono de tres lados. La intersección
de cada dos lados define la posición de un vértice, que
designamos con letras mayúsculas: A, B y C (Fig. 5). Designamos cada lado con una letra minúscula coincidente con
la del vértice opuesto.
2.1 Propiedades y clasificación
Q
Para que podamos construir un triángulo con tres segmentos cualesquiera, se ha de cumplir que la longitud
de cada segmento sea menor que la suma de los
otros dos y mayor que su diferencia. En las figuras 6
y 7 vemos la comprobación gráfica de esta propiedad.
Fig. 6
Q
Q
Fig. 5
Fig. 7
La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es
siempre 180º.
Cada ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma
de los otros dos interiores no adyacentes (Fig. 8).
Fig. 8
29
2
2
Polígonos
Geometría
– Según sus lados, podemos clasificar los triángulos como sigue:
EQUILÁTERO
Con los tres lados y los tres ángulos iguales.
ISÓSCELES
Con dos lados iguales y uno desigual.
ESCALENO
Con los tres lados diferentes.
Es el triángulo regular.
– Según sus ángulos, podemos clasificar los triángulos del siguiente modo:
ACUTÁNGULO
Los tres ángulos son agudos.
RECTÁNGULO
Tiene un ángulo recto. Los lados que
OBTUSÁNGULO
Uno de sus ángulos es obtuso.
lo forman son los catetos y el opuesto
es la hipotenusa.
Ejemplo de la utilización del triángulo como forma constructiva en la cubierta del Esplanade Theatre
que Michael Wilford y su equipo de arquitectos levantaron en el año 2002 en Singapur.
30
Polígonos
Geometría
2.2 Rectas y puntos notables de un triángulo
A cualquier triángulo podemos trazarle cuatro rectas con
los puntos de intersección y las propiedades que vemos a
continuación (en el triángulo equilátero, rectas y puntos,
son coincidentes):
Q
Bisectrices. En los ángulos interiores de un triángulo,
podemos trazar tres bisectrices que se cortan en un punto equidistante de los tres lados, al cual denominamos
incentro y que es el centro de la circunferencia inscrita* en el triángulo (Fig. 9).
Las bisectrices de los ángulos exteriores de un triángulo
se cortan dos a dos en los centros de las circunferencias exinscritas*, puntos C1, C2 y C3. Estas circunferencias son tangentes a un lado y a la prolongación de los
otros dos (Fig. 10).
Q
Fig. 9
Mediatrices. Las tres mediatrices de los lados de un
triángulo se cortan en un punto que se llama circuncentro y que, por ser equidistante de los tres vértices,
es el centro de la circunferencia circunscrita* (Fig.
11). Según el tipo de triángulo, el circuncentro puede
estar situado en el exterior o en el interior del triángulo.
Fig. 10
Fig. 11
31
2
2
Polígonos
Geometría
Q
Medianas. Las medianas son los segmentos que unen
cada vértice con el punto medio del lado opuesto. Se
cortan en un punto llamado baricentro (Fig. 12).
La mediana BT y la paralela a ella trazada por el punto medio M dividen a la mediana AN en tres partes
iguales, dos de la cuales quedan entre el vértice A y el
baricentro BC y una, entre el baricentro y el lado. Esta
posición del baricentro es la misma si consideramos
cada una de las otras dos medianas.
Uniendo los puntos medios de los lados, resulta un
triángulo MNT de lados paralelos al triángulo ABC y
cuyas longitudes son la mitad de las del correspondiente lado paralelo.
Q
Alturas. Las alturas de un triángulo son los segmentos
trazados perpendicularmente desde un vértice al lado
opuesto o a su prolongación. Las tres alturas se cortan
en un punto llamado ortocentro.
Fig. 12
Si unimos en la figura 13 los pies de las alturas, puntos
D, E y F, resulta un nuevo triángulo que se denomina
órtico del triángulo inicial ABC. Las alturas de un triángulo son bisectrices de su triángulo órtico y, por tanto,
el ortocentro del triángulo ABC coincide con el incentro del órtico.
Fig. 13
Paul Klee, Castillo y sol. 1928. Óleo sobre tela. Detalle.
32
Polígonos
Geometría
2.3 Construcción de triángulos
Tres datos son suficientes para construir un triángulo; este
número puede ser inferior si se conoce alguna de las propiedades geométricas del triángulo. Vemos a continuación
algunos casos representativos.
Q
Dados los tres lados
Situamos uno de los lados y, haciendo centro en sus
extremos, trazamos dos arcos, cada uno con un radio
igual a la longitud de uno de los otros lados. La intersección de estos arcos determina la posición del tercer
vértice (Fig. 14).
Fig. 14
Q
Dados dos lados y el ángulo comprendido
Por los extremos de uno de los lados conocidos transportamos un ángulo igual al dado. Sobre la semirrecta
que define el segundo lado del ángulo, trasladamos la
longitud del otro lado. De este modo, quedan determinados los tres vértices del triángulo (Fig. 15).
Fig. 15
Q
Dados dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos
Trazamos un segmento de longitud arbitraria y, tomando como vértice cada uno de sus extremos, trasladamos
los ángulos B y C dados para construir el triángulo ABC
semejante al que estamos buscando.
Sobre el lado CA, y a partir de C, llevamos la longitud
b dada; así determinamos el vértice A'. Por este punto
trazamos una paralela al lado AB del triángulo auxiliar,
que nos determina la posición del vértice B' (Fig. 16).
Fig. 16
33
2
2
Polígonos
Geometría
Q
Construcción de un triángulo equilátero dada su
altura
Con un segmento MN cualquiera como lado, determinamos el tercer vértice T de un triángulo equilátero
auxiliar. A partir del punto medio de la base y sobre la
altura del triángulo MNT, llevamos la altura h dada.
De esta manera, determinamos el vértice C del triángulo solución. Por este punto trazamos paralelas a los
lados TM y TN para determinar, respectivamente, las
posiciones de los vértices A y B del triángulo (Fig. 17).
Fig. 17
Q
Dados un lado, la altura correspondiente y la mediana de otro lado
Situamos el lado dado como base y le trazamos dos
paralelas, la primera a una distancia igual a su altura y
la segunda, que denominamos paralela media, a una
distancia igual a la mitad de la altura.
Desde el extremo B de la base, y con un radio igual a
la mediana, describimos un arco que corte la paralela
media; por este punto, desde el extremo C de la base,
hacemos que pase el segundo lado del triángulo. El
punto de intersección con la otra paralela determina la
posición del vértice A del triángulo solución (Fig. 18).
Fig. 18
Q
Dados un lado y dos alturas, una en relación con el
lado conocido
Trazamos una paralela al lado b conocido, a una distancia igual a la altura correspondiente hb. Con centro en el
punto medio de b y radio b/2 trazamos un arco (capaz
de 90º) y seguidamente otro desde A y con radio ha.
La intersección de los dos arcos anteriores determina un
punto que, unido al extremo C, define la posición del
lado a del triángulo. El punto en el que el lado a corta
la paralela inicial nos define la posición del tercer vértice
B del triángulo (Fig. 19).
Fig. 19
34
Polígonos
Geometría
Q
Dados un lado, la mediana correspondiente y el ángulo opuesto
En relación con el lado dado, trazamos el arco capaz correspondiente a
su ángulo opuesto, también conocido.
Haciendo centro en el punto medio de
a, y con un radio igual a la mediana
conocida, trazamos un arco que corta
el arco capaz en dos puntos, posiciones
del vértice A de dos posibles triángulos
solución (Fig. 20).
Fig. 20
Q
Dados un lado y las medianas de los
otros dos
Mediante construcciones auxiliares determinamos las 2/3 partes de las longitudes de las medianas conocidas. Estos
segmentos, a partir de los extremos A
y C del lado, son los radios que nos sirven para determinar el baricentro Bc del
triángulo.
Unimos A y C con el baricentro Bc y
prolongamos estos segmentos hasta
completar la longitud real de cada una
de las medianas; por cada extremo libre
de las medianas ma y mc hacemos pasar, respectivamente, los lados a y c que
completan el triángulo (Fig. 21).
Q
Fig. 21
Dados dos ángulos y el radio de la
circunferencia circunscrita
En cada extremo de un segmento cualquiera construimos uno de los ángulos
dados para representar un triángulo
auxiliar semejante al solicitado. Buscamos su circuncentro y trazamos la
circunferencia de radio dado (Fig. 22).
Unimos el circuncentro con uno de
los vértices del triángulo hasta cortar
la circunferencia; a partir de este punto, trazamos paralelas a los lados del
triángulo auxiliar para obtener el triángulo inscrito.
Fig. 22
35
2
Polígonos
Geometría
3
CUADRILÁTEROS
Cuadrilátero es el nombre genérico que se da a cualquier
figura poligonal cerrada compuesta por cuatro lados. La
suma de los cuatro ángulos interiores es 360º. Cada par
de vértices opuestos define una diagonal.
TRAPECIOS
PARALELOGRAMOS
Descripción
TRAPEZOIDES
2
36
Nombre
Figura
3.1 Clasificación y características
Agrupamos los cuadriláteros según las condiciones de paralelismo que hay entre los lados que lo integran:
Lados
Ángulos
Diagonales
Iguales y
perpendiculares
Cuadrado
Iguales
Todos de 90º
Iguales
dos a dos
Todos de 90º
Rectángulo
Iguales y
oblicuas
Iguales
Iguales dos
a dos
Diferentes y
perpendiculares
Romboide
Iguales
dos a dos
Iguales dos
a dos
Diferentes y oblicuas
Isósceles
Iguales los
no paralelos
Iguales dos
a dos
Iguales y oblicuas
Rectángulo
Todos
diferentes
Dos de 90º
Diferentes y
oblicuas
Escaleno
Todos
diferentes
Todos
diferentes
Diferentes y
oblicuas
Iguales
dos a dos
Dos iguales
Diferentes y
perpendiculares
Lados
paralelos
dos a dos
Rombo
Dos lados
paralelos, que
denominamos
bases
Ningún lado
paralelo
Biisósceles
Polígonos
Geometría
3.2 Cuadriláteros inscribibles y circunscritos
Siempre es posible trazar una circunferencia que pase por
los vértices de un triángulo, pero con un cuadrilátero no
sucede lo mismo. Para que un cuadrilátero sea inscribible
en una circunferencia es necesario que sus ángulos opuestos sean suplementarios (Fig. 23).
Fig. 23
En cualquier cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, la suma de las longitudes de dos lados opuestos es
igual a la suma de los otros dos (Fig. 24).
Las longitudes de las dos tangentes trazadas desde un
punto exterior a una circunferencia son iguales. Si lo aplicamos a la figura anterior, tendremos:
AB + CD = (x + y) + (v + z)
AD + BC = (x + v) + (y + z)
Así se demuestra que las dos sumas de parejas de lados
opuestos son iguales.
Fig. 24
3.3 Construcción de cuadriláteros
Q
Un rectángulo, dados la diagonal y un lado
Dibujamos una circunferencia que tenga como diámetro
la diagonal dada. Con un radio igual al lado conocido,
y haciendo centro en los extremos del diámetro, describimos dos arcos que cortan la circunferencia por los
puntos 1 y 2. Estos puntos, junto con los extremos del
diámetro, determinan los cuatro vértices del rectángulo
(Fig. 25).
Fig. 25
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2
2
Polígonos
Geometría
Q
Un rombo, dadas sus diagonales
Situada una de las diagonales, en la figura 26 la diagonal D, trazamos la mediatriz. A partir del punto medio
y hacia cada dirección llevamos la longitud d/2 correspondiente a la mitad de la otra diagonal; de este modo,
obtenemos los vértices C y D, que, unidos a los extremos A y B de la primera diagonal, completan los cuatro
vértices del rombo.
Fig. 26
Q
Un romboide, dados sus lados y el ángulo comprendido
A partir de un punto A construimos un ángulo igual al
conocido, _, y sobre sus lados llevamos las longitudes L
y I correspondientes a los lados del romboide. De esta
manera definimos los vértices B y C.
Por C trazamos una paralela al lado L y por B, al otro
lado; ambas paralelas se cortan en el punto D, que completa el trazado (Fig. 27).
Fig. 27
Q
Un trapecio rectángulo, dados la base, el lado oblicuo y el ángulo comprendido
Por uno de los extremos de la base trazamos el ángulo
_dado y por el otro, uno de 90º. Sobre el segundo lado
del ángulo _, llevamos la longitud del lado oblicuo y,
por su extremo, trazamos una paralela a la base que,
cuando se corta con la perpendicular trazada inicialmente, nos determina la posición del cuarto vértice del
trapecio (Fig. 28).
Fig. 28
38
Polígonos
Geometría
Q
Un trapecio isósceles, dadas la base mayor, la altura y la diagonal
Determinamos la mediatriz de la base mayor B y, sobre
ella, medimos un segmento igual a la altura h. Por su
extremo trazamos una paralela a la base.
Los vértices de la base menor se obtienen en la intersección de esta paralela con los arcos de radio iguales
a la diagonal d y con centro en los extremos de la base
mayor (Fig. 29).
Fig. 29
Q
Un trapecio escaleno, dados sus cuatro lados
Disponemos el segmento mayor AB como base del
trapecio; a partir del extremo A, llevamos la longitud
CD, que utilizaremos como base menor, y obtenemos
el punto T. Haciendo centro en T y en B, con radios
iguales a las longitudes de los otros lados, trazamos dos
arcos que se cortarán en la posición del vértice C.
El cuarto vértice D se encuentra a una distancia de C
igual al segmento CD, medida sobre la paralela a AB
trazada por el vértice C (Fig. 30).
Fig. 30
Q
Un trapezoide, dados tres lados y dos ángulos
Del trapezoide ABCD (Fig. 31), conocemos los lados
AB, BC, y AD, y los ángulos A y C.
En uno de los extremos del segmento AB, construimos
un ángulo igual a A y, con la medida del lado AD, determinamos el vértice D. Respecto a los vértices B y D
determinamos el arco capaz de un ángulo igual a C; la
posición del cuarto vértice quedará determinada con un
arco de centro B y radio igual al lado BC.
Fig. 31
39
2
2
Polígonos
Geometría
4
CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS
REGULARES
Un polígono regular se suele construir a partir de uno de
estos dos datos: el radio de su circunferencia circunscrita
o su lado. Veremos los diferentes procedimientos de resolución en los siguientes apartados:
4.1 Construcciones a partir del radio de
la circunferencia circunscrita
Q
Construcción general
Con el radio conocido, describimos una circunferencia
y trazamos el diámetro vertical. Dividimos este diámetro
en tantas partes como las que queramos realizar sobre
la circunferencia, o en tantas partes como vértices ha de
tener el polígono: 7 en el ejemplo de la figura 32.
Con centro en los extremos del diámetro, y un radio
igual a su longitud, trazamos dos arcos que se cortan
en los puntos M y N. Por estos puntos y por divisiones alternas del diámetro, hacemos pasar semirrectas
auxiliares que, en la intersección con la circunferencia,
señalan las divisiones correspondientes a los vértices del
polígono inscrito.
Fig. 32
Q
Construcciones particulares
– Triángulo y hexágono. Tomando como unidad el mismo radio con el que hemos trazado la circunferencia,
esta queda dividida en seis partes iguales (Fig. 33). Si
las unimos alternativamente, obtenemos un triángulo
equilátero, y si las unimos de manera consecutiva, un
hexágono regular.
La mediatriz de uno de los lados del hexágono cortará
la circunferencia en un punto que, unido con uno de los
extremos de este lado del hexágono, es el lado I12 de un
dodecágono también inscrito en la circunferencia inicial,
como los otros dos polígonos.
Fig. 33
40
Polígonos
Geometría
– Cuadrado y octógono. Si trazamos dos diámetros
perpendiculares, la circunferencia queda dividida en
cuatro partes, que son los vértices del cuadrado inscrito
(Fig. 34).
Las mediatrices de cada lado dividen la circunferencia
en ocho partes iguales, que son los vértices del octógono regular inscrito. Con nuevas mediatrices a los lados
del octógono, podemos dividir la circunferencia en dieciséis partes iguales.
Fig. 34
– Pentágono y decágono. A partir del radio dado, dibujamos la circunferencia trazando dos diámetros perpendiculares (Fig. 35). Determinamos el punto medio M del
radio OA; con centro en este punto y un radio igual a la
distancia MB, trazamos un arco que corte en el punto
N el diámetro horizontal.
El segmento NB es el lado I5 del pentágono y NO es
el lado I10 del decágono. Estos segmentos, trasladados
sobre la circunferencia, nos permiten determinar los
vértices de los dos polígonos regulares e inscritos.
Fig. 35
– Heptágono. A partir del radio dibujamos la circunferencia y, en ella, dos diámetros perpendiculares. Trazamos la mediatriz del radio OA, que corta la circunferencia en el punto N (Fig. 36). El segmento MN es el lado
del heptágono que, trasladado sobre la circunferencia,
nos permite completar el heptágono regular.
Fig. 36
41
2
2
Polígonos
Geometría
4.2 Construcciones a partir del lado
Q
Construcciones generales
Con centro en los extremos A y B del lado
conocido, y un radio igual a su longitud,
describimos dos arcos que se cortan en el
punto O6. Con el mismo radio y centro en
O6 trazamos una circunferencia; la mediatriz de AB intercepta sobre esta circunferencia el punto O12 (Fig. 37).
Dividimos el radio O6O12 en seis partes
iguales; cada división es el centro de una
circunferencia que, con un radio igual a su
distancia hasta A o B, permite inscribir un
polígono de número de lados 7, 8, 9…
Fig. 37
En la figura 38, describimos otro proceso gráfico para
construir un polígono regular a partir del lado. Trazamos un polígono auxiliar de cualquier medida, con el
mismo número de lados que el que queremos construir
con el lado I dado.
Unimos el centro O del polígono auxiliar con cada uno
de los vértices; sobre uno de los lados o sobre su prolongación, el 3-4 en la figura, llevamos la magnitud del
lado I y por su extremo trazamos una paralela al radio
O-4 hasta cortar en el punto C la prolongación del radio
O-3. Llevamos la magnitud O-C sobre las prolongaciones de los otros radios y obtenemos así los vértices A,
B, D y E, que completan el polígono del lado l.
Fig. 38
42
Polígonos
Geometría
Q
Construcciones particulares
– Triángulo. Situamos el centro en los extremos A y B del
lado y, con un radio igual a su longitud, trazamos dos
arcos que se cortan en un punto equidistante de A y B;
este punto es el vértice C del triángulo (Fig. 39).
Fig. 39
– Cuadrado. Por uno de los extremos A del lado, trazamos una perpendicular sobre la que llevamos la longitud I4 de este; así obtenemos el punto D. Por D y
B trazamos paralelas, respectivamente, a los lados AB
y AD. La intersección de estas paralelas determina el
cuarto vértice C del cuadrado (Fig. 40).
Fig. 40
– Pentágono. Por el extremo B del lado, trazamos una
perpendicular y un arco de radio igual a su longitud;
ambos se cortan en el punto N (Fig. 41). Con centro
en el punto medio M del lado AB, describimos un arco
de radio igual a la distancia MN, hasta que corte en el
punto P la prolongación del lado. El segmento AP es el
valor de la diagonal del pentágono.
Situamos el centro en A y, con un radio igual a la distancia hasta P, trazamos un arco que corte el trazado en
primer lugar en el vértice C y a la mediatriz del lado AB
en el vértice D. El vértice E se encuentra a la distancia I5
de los vértices ya conocidos, A y D.
Fig. 41
43
2
2
Polígonos
Geometría
– Hexágono. En el hexágono regular son iguales el lado
y el radio de la circunferencia circunscrita. En una circunferencia de radio igual al lado I6 llevamos seis veces
la magnitud del lado; obtendremos de este modo los
seis vértices del hexágono inscrito (Fig. 42).
Fig. 42
– Heptágono. Determinamos la mediatriz del lado AB
conocido del heptágono (Fig. 43). Situamos el centro
en el extremo A y tomamos como radio la magnitud del
lado; describimos un arco que corte en N la prolongación del segmento AB y en S su mediatriz.
Con centro en N y un radio igual a la distancia SM,
trazamos un arco que corte en el punto G al trazado
anteriormente de centro en el vértice A. Las mediatrices
de los segmentos AB y AG se cortan en el punto O;
este punto es el centro de la circunferencia que, pasando por A, B y G, contiene también los cuatro vértices
restantes del heptágono.
Fig. 43
– Octógono. Con centro en el punto medio M del lado
AB del octógono (Fig. 44), dibujamos una semicircunferencia que pase por sus extremos y que corte a su
mediatriz en el punto 1.
Utilizamos el punto 1 como centro para trazar una circunferencia que pase por A y B, y que corte la mediatriz de AB en el punto O8. Este punto es el centro de
una circunferencia que, pasando por A y B, inscribirá al
octógono. Llevamos la medida del segmento AB sobre
ella y unimos los puntos de división.
También podemos dibujar el octógono sabiendo que
cada ángulo interior es de 135º (el exterior correspondiente de 45º) y que los lados opuestos son paralelos.
Fig. 44
44
Polígonos
Geometría
5
POLÍGONOS ESTRELLADOS
Imaginemos una circunferencia dividida en n partes iguales. Si unimos cada división con la siguiente, obtenemos
el polígono convexo; pero si pasamos dos, tres… p divisiones, de manera que volvamos al punto inicial después
de pasar por todas las divisiones, el polígono se denomina
estrellado. El número p de divisiones que saltamos para ir
de un vértice al siguiente se denomina paso del polígono
estrellado.
Para averiguar si un polígono tiene construcción de estrellado, y saber qué valor de paso podemos utilizar para unir
los vértices, buscamos los números enteros menores que
la mitad del número n de sus vértices, diferentes de 1, que
no sean divisores del número de vértices.
En el heptágono de la figura 45, los números enteros más
pequeños que la mitad de sus vértices son el 1, el 2 y el 3.
Con p = 1, obtenemos el heptágono convexo; por p = 2 y
por p = 3, no divisores del número de vértices, obtenemos
los dos polígonos estrellados posibles.
6
Fig. 45
Podemos generar nuevas formas a partir de otras más
elementales por sustracción y adición de partes (Fig. 47).
Ejemplos evidentes de esto son los mosaicos creados por
el artista y matemático holandés M. C. Escher, inspirados
en los mosaicos de la Alhambra.
En general, el módulo es concebido para repetirse y generar, de este modo, una forma compuesta mayor: las series
modulares, que se aplican en el mundo del diseño, del
interiorismo y de la decoración.
MÓDULOS Y REDES
Cuando partimos de una forma elemental, que denominamos módulo o tesela*, y la repetimos de manera seriada
en filas y columnas hasta cubrir el plano, obtenemos una trama con aspecto de cenefa o mosaico a la que genéricamente llamamos red. El uso de colores y la repetición con cierto
ritmo acentúa la impresión de red organizada (Fig. 46).
Para cubrir totalmente el plano con formas geométricas,
estas han de tener como base polígonos regulares y, de
estos, serán válidos únicamente los que tienen un ángulo
interior que sea divisor de 360º (el triángulo equilátero, el
cuadrado y el hexágono).
Mosaico nazarí. Alhambra de Granada, siglos XIII-XV.
M. C. Escher, mosaico de lagartijas en tres colores
generado por la rotación de un triángulo.
Fig. 46
Fig. 47
45
2
2
Polígonos
Geometría
La figura 48 reproduce el mosaico de la pajarita del Patio
de los Arrayanes de la Alhambra de Granada. Partiendo de
un triángulo equilátero, su contorno está delimitado por
arcos de circunferencia en vez de por segmentos rectos.
Este contorno aparece geometrizado en la construcción de
la figura 49.
La pajarita es el más conocido de los polígonos nazaríes.
El plano se completa con otros elementos decorativos de
construcción geométrica, como pueden ser polígonos estrellados. Este mosaico es un ejemplo de las posibilidades
creativas y decorativas que se pueden conseguir con la
combinación de formas geométricas.
Mosaico nazarí. Alhambra de Granada, siglos XIII-XV.
Fig. 48
Fig. 49
El mosaico nazarí: la sublime
belleza de la geometría
Nos narran las crónicas medievales
que la corte de los sultanes nazaríes
del reino de Granada reunió, entre
los siglos XIII y XV, a la flor y nata
de los matemáticos y geómetras
del mundo musulmán. Estos
sabios idearon técnicas y procesos
matemáticos para transformar las
formas poligonales elementales
en módulos más complejos, que
los artesanos de Granada supieron
trasladar con maestría a los
mosaicos geométricos que decoran
la Alhambra.
46
ACTIVIDADES
TRIÁNGULOS
1 Dibuja un triángulo isósceles dados los lados iguales,
55 mm, y la altura, 40 mm.
13 Dibuja las figuras combinadas de distintos triángulos,
según las cotas que se indican (Figs. 51, 52 y 53).
2 Construye un triángulo isósceles de 20 mm de base,
cuyo ángulo opuesto mida 15º.
3 De un triángulo rectángulo se conocen la longitud de un
cateto, 40 mm, y la medida de su ángulo opuesto, 75º.
Dibuja el triángulo.
4 Dibuja un triángulo del cual se conocen las longitudes
de los lados, 40 y 30 mm, y el ángulo opuesto al más
pequeño de ellos, 45º.
5 Construye un triángulo cuyos lados miden 40 y 35 mm,
y la altura correspondiente al mayor de ellos es de
20 mm.
6 De un triángulo se conocen dos de sus ángulos interiores, 30º y 75º, y el lado comprendido entre ambos
ángulos es de 35 mm. Determina el triángulo.
7 Dibuja un triángulo del cual se conocen las longitudes
de sus dos alturas, 40 y 45 mm, y el lado correspondiente a la más pequeña de ellas mide 50 mm.
8 De un triángulo se conocen la longitud de un lado,
40 mm, y las longitudes de las medianas correspondientes a los otros dos lados, 50 y 75 mm. Determina
el triángulo.
9 Construye un triángulo del cual conocemos el valor del
ángulo A = 60º, hb = 110mm y ha = 90 mm.
10 Construye un triángulo del que conocemos el lado AB
= 8 cm y la posición del baricentro, que se halla a 4 y
6 cm de los vértices A y B, respectivamente.
11 Construye un triángulo sabiendo que el radio de la circunferencia circunscrita es de 45 mm, la altura correspondiente a un lado b es de 60 mm y otro lado a mide
75 mm.
12 Dibuja un triángulo del que conocemos un lado a = 55
mm, la mediana mb = 48 mm y la altura hb = 40 mm
correspondientes al lado b.
47
ACTIVIDADES
CUADRILÁTEROS
14 Determina un rectángulo del que se conocen las medidas de las diagonales, 60 mm, y el ángulo que forman
entre ellas, 120º.
MÓDULOS Y REDES
27 A partir del módulo de la figura, construye una red
suficiente a su alrededor para que sea apreciable la
repetición del módulo inicial (Fig. 54).
15 Construye un rombo con un lado de 25 mm y con una
de sus diagonales de 40 mm.
16 Construye un romboide cuyas diagonales midan 60 y
40 mm y que, al cortarse, determinen un ángulo de
60º.
17 Dibuja un trapecio rectángulo cuyas bases midan 45 y
30 mm y tenga una altura de 20 mm.
18 Construye un trapecio isósceles de base mayor 45 mm,
altura de 25 mm y diagonal de 45 mm.
19 Dibuja un trapezoide biisósceles con un lado de 25 mm,
en el cual una de las diagonales mida 60 mm y uno de
los ángulos iguales sea de 135º.
20 Construye un trapecio escaleno de bases 50 y 25 mm,
cuyos ángulos adyacentes a la base sean de 60º y 75º.
POLÍGONOS
21 Construye un triángulo regular cuya altura sea 45 mm.
22 Dibuja un cuadrilátero regular cuya diagonal mida
40 mm.
23 Determina un cuadrado circunscrito en una circunferencia de 30 mm de diámetro.
24 Dibuja un hexágono cuya apotema mide 35 mm.
25 En una circunferencia de 40 mm de radio, dibuja todos
los polígonos estrellados posibles de 10 lados. Comienza todos los polígonos a partir de la misma división de
la circunferencia.
26 Construye un polígono regular de 16 lados y de 3 cm de
lado; después, dibuja un polígono estrellado de paso 5.
48
28 A partir del módulo de la figura, construye una red
hasta ocupar la totalidad del cuadrado que lo rodea
(Fig. 55 y 56).
OBJETIVO UNIVERSIDAD
TRIÁNGULOS
29 Dados el segmento AB y el punto E:
Dibuja el triángulo ABC, sabiendo que el ángulo en
el vértice C es de 60º y está situado a la distancia más
corta posible del punto E.
Representa la circunferencia inscrita en el triángulo
ABC (Fig. 57).
34 Determina el triángulo ABC de manera que el ángulo
CAB sea de 45º, el punto P sea el incentro del triángulo, la magnitud del lado AB sea de 10 cm y el punto B
esté situado en el lado derecho del punto P (Fig. 59).
35 Dibuja un triángulo rectángulo con los siguientes datos: la altura sobre la hipotenusa es de 40 mm y la
proyección de un cateto sobre la hipotenusa, 32 mm.
Señala el ortocentro, el baricentro, el circuncentro y el
incentro.
36 Dados el segmento AB y el punto M, dibuja el triángulo
rectángulo ABC, sabiendo que el ángulo en el vértice B
es recto y que el punto M es su circuncentro (Fig. 60).
30 Dibuja un triángulo ABC sabiendo que:
El ángulo en el vértice B es igual a 45º.
El ángulo en el vértice C es igual a 30º.
La altura ha (perpendicular al lado BC) es de 5 cm.
31 Construye un triángulo escaleno conocidos un lado,
a = 140 mm, y las alturas correspondientes a los otros
dos lados, hb = 80 mm y hc = 100 mm.
32 Dibuja un triángulo del que se conocen los puntos
medios de los lados (Fig. 58).
37 De un triángulo rectángulo se conoce la hipotenusa BC
y el punto de corte sobre ella de la bisectriz del ángulo
A (Fig. 61).
38 Construye la figura ABCDE teniendo en cuenta los
siguientes datos:
En el triángulo BCD, el lado CD = 70 mm; la altura
sobre BD = 55 mm; la altura sobre CD = 60 mm.
En el triángulo ABD, la mediana sobre AD = 65 mm
En el triángulo ADE, el ángulo en E = 90º; el lado
AD = 100 mm; la altura sobre DA = 30 mm; el lado
DE es mayor que el lado AE (Fig. 62).
33 Dibuja un triángulo sabiendo que dos de sus ángulos
miden 75º y 60º y que la circunferencia inscrita tiene
un radio de 20 mm.
49
OBJETIVO UNIVERSIDAD
39 Construye la figura 63 con los siguientes datos:
a) Triángulo BEC
BE = 100 mm
Altura sobre BC = 85 mm
Mediana sobre BE = 85 mm
b) Triángulo ABE
Altura sobre AE = 70 mm
Altura sobre AB = 60 mm
c) Triángulo CDE
Altura sobre CE = 50 mm
Altura sobre CD = 88 mm
CUADRILÁTEROS
40 Construye un rectángulo conocida la diferencia entre
sus lados, que es igual a 20 mm, y el ángulo entre las
diagonales, a = 75º.
41 Dibuja un rombo conocido el ángulo agudo que forman sus lados al cortarse, 45º, y la separación entre
sus lados paralelos, que es de 40 mm. Clasifica los
cuadriláteros.
42 Construye un romboide de lados a = 40 mm, b = 60 mm
y diagonal menor de 50 mm.
43 Construye un romboide sabiendo que el lado mayor
AB = 90 mm; la diagonal menor BC = 68 mm y el ángulo entre las diagonales es _ = 120°.
44 Dibuja un trapecio dadas las bases, a = 55 mm y
b = 25 mm, y los lados no paralelos, c = 30 mm y
d = 28 mm.
45 Construye un trapecio sabiendo que la diferencia de sus
lados paralelos es BC-AD= 50 mm, siendo AB = 30,
BD = 40 y CD = 40 mm.
50
46 Representa un paralelogramo ABCD conocidos la diagonal, AC = 126 mm, la mínima distancia entre los lados, AB y CD = 45 mm, y su perímetro, 288 mm.
47 Construye un cuadrilátero ABCD inscriptible en una
circunferencia de modo que AB = 20, BD = 60 y AD =
50 mm, siendo BC = CD.
48 Delinea en escala 1:1.000 el plano de la finca ABCD,
sabiendo que AB = 90 m, BC = 60 m, CD = 75 m, el
ángulo en A = 75º y el ángulo en D = 90º (Fig. 64).
POLÍGONOS REGULARES
49 Dibuja un pentágono regular de apotema igual a 4 cm.
50 Construye un hexágono regular sabiendo que la distancia entre dos lados paralelos es igual a 80 mm.
51 Dibuja un heptágono regular estrellado de paso 3 que
esté inscrito en una circunferencia de centro O y radio
36 mm.
52 Dibuja un octógono regular inscrito en un cuadrado de
diagonal d = 70 mm.
MÓDULOS Y REDES
53 Dibuja la tracería regular que se muestra en la figura 65.
La perspectiva cónica
Conciencia y expresiones culturales
Los seres humanos conocemos el mundo que nos rodea a
través de la información que facilitan los sentidos. En este
conocimiento juegan un papel importante las imágenes
que obtenemos a través de la vista; imágenes que intenta
reproducir la percepción fotográfica y que imitamos cuando realizamos una perspectiva cónica.
1
PERCEPCIÓN VISUAL Y FOTOGRAFÍA
1.1 La visión humana
Los humanos vemos una única escena tridimensional apreciando la profundidad, que sitúa unas formas en relación
con otras; el responsable de esta apreciación es la visión
binocular.
En el ojo humano, que es una estructura esférica (Fig. 1),
cabe destacar los siguientes elementos:
• Párpado: al abrirse o cerrarse, permite o impide el paso
de la luz.
• Pupila: controla la cantidad de luz que entra en el ojo.
• Cristalino: tiene forma de lente biconvexa y se acomoda automáticamente para ver enfocados objetos situados a diferentes distancias.
• Retina: es la capa más interna del globo ocular; la percepción se realiza por la excitación de unos receptores,
conos y bastones, que transforman la energía de radiación en impulsos nerviosos que el nervio óptico transmite al cerebro; allí son descodificados y dan lugar a la
percepción visual.
Músculo recto medial
Párpado
Retina
Nervio óptico
Córnea
Arteria
Iris
Pupila
Cristalino
Cámara
posterior
Párpado
Esclerótica
Músculo recto medial
Fig. 1
163
9
La perspectiva cónica
Sistemas de representación
Formación de las imágenes en el ojo
Pupila
Retina
Imagen formada
en la retina
Nervio
óptico
Córnea
Objeto
Cristalino
Fig. 2
Cuando miramos un objeto, el cristalino forma en la retina una imagen real e invertida del objeto (Fig. 2). Las
imágenes de las dos retinas se transmiten a las regiones
asociadas de la corteza cerebral; el cerebro fusiona ambas
imágenes para obtener una representación única que permite percibir la profundidad o tercera dimensión.
1.2 La fotografía
La palabra fotografía deriva de dos raíces griegas: photos,
luz, y graphos, escribir; por tanto, fotografía significa escribir con la luz. Su nacimiento se sitúa en la primera mitad del siglo XIX, cuando el francés Joseph Niépce realiza,
en 1826, la primera fotografía de la historia: un paisaje
tras ocho horas de exposición. De los conocimientos científicos que permiten llegar a este hecho, destacamos dos:
• La cámara oscura: consiste en una caja vacía en la
que solo entra luz por un orificio practicado en una de
sus paredes; los rayos de luz proyectan las imágenes
del exterior sobre la cara opuesta del orificio.
Se conoce desde Aristóteles, en el siglo IV antes de Cristo, pero es en el Renacimiento cuando algunos artistas
la utilizan para realizar mejor sus dibujos en perspectiva. Durante el siglo XVII se fabricaban móviles, de un
tamaño suficiente para que el pintor, en su interior, dibujara con lápiz sobre la imagen proyectada (Fig. 3).
• Materiales sensibles a la luz: la necesidad de dibujar sobre la imagen proyectada desaparece al descubrir
materiales, como el nitrato de plata, que se ennegrecen con la luz. La permanencia de la imagen se logró
con el descubrimiento, hacia 1819, del hiposulfito de
sodio como fijador de las sales de plata.
Fig. 3
164
La perspectiva cónica
Sistemas de representación
A partir de aquí, se suceden numerosos avances que
desarrollan la fotografía, con hitos importantes como
el descubrimiento del daguerrotipo*, la aparición de la
Kodak n.º 1, la fotografía en color, la cámara portátil, la
réflex*, etc., hasta llegar a la fotografía digital. Con variaciones y mejoras sucesivas, todas las cámaras fotográficas tienen unos elementos comunes, con las siguientes
equivalencias respecto al ojo humano:
OJO HUMANO
ELEMENTO DE LA CÁMARA
Cristalino
Objetivo
Párpado
Obturador
Pupila
Diafragma
Retina
Plano focal
FUNCIÓN EN LA FOTOGRAFÍA
Grupo de lentes que concentran los rayos de luz emanados del objeto
que se quiere fotografiar
Dispositivo mecánico que controla el tiempo de exposición a la luz
(apertura del diafragma)
Permite la entrada de luz en la cámara
Superficie sobre la que se forma, en el interior de la cámara, la imagen
del objeto que queremos fotografiar
De manera esquemática, en la figura 4, vemos el proceso
de formación de la imagen fotográfica. Esta imagen tiene
las mismas características que la visión monocular del ojo
humano, que intentamos reproducir al realizar una perspectiva cónica:
• Ante dos objetos iguales, vemos más pequeño el que
está más alejado del observador.
• En determinados casos, las rectas paralelas se ven convergentes al alejarse de la posición del observador.
• Los elementos más lejanos quedan situados por encima
de los más cercanos.
Fig. 4
2
FUNDAMENTOS DE LA PERSPECTIVA
CÓNICA
La historia de los sistemas de representación es una búsqueda continua para representar la profundidad del mundo real sobre superficies planas. En 1415, el arquitecto
florentino Brunelleschi formuló las leyes de la perspectiva
central, tal como recoge Alberti en su obra De pictura
(1435). Llama la atención la introducción de un método
científico en el campo artístico de la representación pictórica.
Alberti propone unas reglas para pintar lo que ve el ojo
humano y basa su método en el llamado velo de Alberti
(Fig. 5). Si se coloca entre la escena y el ojo una pantalla
de vidrio, su intersección con cada rayo proyectante de-
Fig. 5
165
9
9
La perspectiva cónica
Sistemas de representación
termina sobre esta un punto de la escena. Los puntos de
esta sección (Fig. 6) definen una imagen parecida a la escena inicial y semejante también, pero sin invertir, a la de
la imagen que se forma sobre la película de una cámara
fotográfica.
Alberti introduce términos como proyección y sección, que
están en la base de lo que aún hoy conocemos como sección plana de la pirámide visual. Su método, enriquecido
con las aportaciones de Da Vinci, Piero della Francesca y
Durero, permitirá conseguir trazados perfectos desde un
punto de vista geométrico.
Fig. 6
2.1 Elementos por considerar
Los elementos descritos en los apartados anteriores, que
intervienen en la generación de una imagen en perspectiva cónica, los complementamos en la geometrización representada en la figura 7 explicada a continuación:
• Plano del cuadro, PQ: es el plano que determina la
sección plana de la pirámide visual y sobre el que se
forma la imagen en perspectiva. Está situado entre los
objetos que se han de representar y el punto de vista.
• Plano geometral, PG: es un plano horizontal, perpendicular al del cuadro en el que se apoyan tanto el observador como los objetos por representar.
• Plano del horizonte, PH: se trata de un plano paralelo
al geometral, que contiene el punto de vista.
• Línea de tierra, LT: es la intersección de los planos
geometral y del cuadro.
• Línea del horizonte, LH: es la intersección de los planos del horizonte y del cuadro.
• Punto de vista, V: representa la posición del observador y el vértice de la pirámide visual que, al cortarse con
el PQ, forma la imagen perspectiva de los objetos.
• Punto principal, P: es la proyección ortogonal sobre el
plano del cuadro del punto de vista V; está situado en
la línea del horizonte, LH.
• Puntos de distancia (en la perspectiva cónica de un
punto de fuga): son dos puntos D y D’ situados sobre la
LH, uno a cada lado del punto principal P.
Fig. 7
166
La perspectiva cónica
Sistemas de representación
Los elementos anteriores, considerando el plano del cuadro como plano de trabajo, quedan dispuestos en la forma esquemática de la figura 8. La distancia entre LH y LT
equivale a la altura desde la que miramos el objeto que
queremos representar y el segmento PV es la distancia del
punto de vista al plano del cuadro.
Fig. 8
2.2 Tipos de perspectiva cónica
La imagen formada en el plano del cuadro produce en los
sentidos la misma impresión de realidad que la visión de
este objeto desde un punto de vista determinado, con las
deformaciones y reducciones fruto de la distancia y de la
altura de observación.
La posición del objeto en relación con el plano del cuadro
determina las características de la perspectiva y el tipo de
imagen que obtenemos. Como presentación y clasificación de la perspectiva cónica, vemos la representación de
un mismo objeto en los tres supuestos siguientes:
• Perspectiva frontal, o de un punto de fuga. Cuando
el objeto por representar tiene una cara paralela al plano del cuadro. Las aristas perpendiculares a PQ concurren en el punto principal P, mientras que las paralelas,
verticales u horizontales, se mantienen en esta posición
(Fig. 9).
• Perspectiva oblicua, o de dos puntos de fuga. Cuando
ninguna de las caras del objeto es paralela al plano del
cuadro. Las aristas oblicuas a PQ concurren en los puntos
de fuga F y F’ situados en LH, mientras que las paralelas
verticales se mantienen en esta posición (Fig. 10).
Fig. 9
Fig. 10
• Perspectiva oblicua, de tres puntos de fuga. Cuando
ninguna de las caras o aristas del cuerpo es paralela al
plano del cuadro. Hay un punto de fuga para cada una
de las tres direcciones del espacio (Fig. 11).
Fig. 11
167
9
9
La perspectiva cónica
Sistemas de representación
2.3 Variaciones y tipologías
de la perspectiva cónica
La imagen directa que tenemos de un objeto depende de la posición desde la cual lo miramos. En el
caso de la perspectiva cónica sucede lo mismo y esta
posición se concreta en los parámetros siguientes:
• Posición del plano del cuadro, PQ: define la
posición del observador respecto al objeto, escogiendo las caras que nos interesa destacar. En la
figura 10, al no tener caras paralelas al plano del
cuadro, se consigue la visión simultánea de dos
caras del objeto, con una mejor comprensión de
su geometría.
• Altura del punto de vista: es la altura desde la
que se mira el objeto y determina cómo lo vemos,
desde arriba o desde abajo; llevado al extremo,
podríamos llegar a realizar representaciones similares al picado o contrapicado fotográfico.
Se refleja en la separación entre las líneas de horizonte y de tierra, LH y LT. En las figuras 12 y 13
representamos un cubo en el que, manteniendo
iguales los otros parámetros, varía la altura desde
la que se observa.
• Distancia de observación: es la separación desde la que miramos el objeto, más cerca o más
lejos (valores extremos de este parámetro provocarían las mismas deformaciones que un gran angular o un teleobjetivo).
Se refleja en la distancia entre los puntos principal
y de vista, P y V. En los dos cubos representados
en la figura 14, manteniendo iguales los otros parámetros, vemos el efecto de utilizar valores diferentes de la distancia de observación PV.
Fig. 12
Fig. 13
Fig. 14
168
La perspectiva cónica
Sistemas de representación
3
CONSTRUCCIÓN DE PERSPECTIVAS
FRONTALES
3.2 Perspectiva de formas planas
Comenzamos por situar un segmento en perspectiva
(Fig.15). Esta construcción nos servirá para medir distancias.
3.1 Disposición de los parámetros de
la perspectiva
Nuestro plano de dibujo es el plano del cuadro; empezaremos por situar los elementos de referencia para el trazado
de la perspectiva:
• Dos rectas paralelas, LH y LT, con una separación entre
ambas igual a la altura desde la que se observa el objeto.
• Punto principal P, y puntos de distancia D y D’ situados
sobre LT. Las distancias PD y PD’ son iguales entre sí e
iguales a la distancia entre P y el punto de vista V.
En la perspectiva frontal, el punto principal P es el punto
de fuga de las rectas horizontales que forman 90° con el
plano del cuadro. Los puntos de distancia D y D’ lo son de
las rectas horizontales que forman 45° con el plano del
cuadro; se utilizan para medir distancias sobre las rectas
que concurren en P.
La distancia AT representa la separación del punto A de la
línea de tierra, LT; dado que este segmento es perpendicular a LT, su representación en perspectiva fugará al punto
P; sobre el segmento TP determinaremos la posición del
punto A en perspectiva.
Las magnitudes medidas sobre LT son siempre magnitudes reales. Medimos sobre LT el segmento T(A), igual a
la distancia TA, y unimos (A) con el punto de distancia D;
la intersección con el segmento TP define la posición del
punto A’, perspectiva frontal del punto A.
El triángulo perspectivo T(A)A’ es rectángulo e isósceles, y
los segmentos T(A) y TA’ representan la misma magnitud.
Por tanto, TA’ representa la magnitud de TA, siendo A’ la
posición perspectiva del punto A.
Fig. 15
169
9
9
La perspectiva cónica
Sistemas de representación
• Cuadrado, en posición horizontal,
con un lado coincidente con LT
El cuadrado de la izquierda (Fig. 16) tiene el
lado AE sobre LT, por lo que estará en verdadera magnitud. Los dos lados perpendiculares, AB y EC, fugarán al punto principal P.
Sobre las rectas que concurren en P llevaremos
la magnitud reducida del lado del cuadrado.
Unimos E con D y la intersección con AP determina la posición de B’. El lado B’C’ se mantiene paralelo al lado AE en la cónica frontal.
• Cuadrado horizontal separado de LT, pero
con dos lados paralelos
El cuadrado de la derecha (Fig. 16) se halla por
detrás de PQ, con dos lados paralelos a LT. Prolongamos los otros lados, AB y EC, hasta su intersección con LT, desde donde fugan al punto P.
Fig. 16
Para situar los vértices en perspectiva trazamos
la diagonal AC, que prolongamos hasta su intersección con LT en el punto R. El segmento
RD’ determina la posición de los vértices A’ y
C’; por estos vértices trazamos paralelas a LT
para determinar los otros dos vértices, E’ y B’,
y completar el cuadrado en perspectiva.
• Cuadrado horizontal con un vértice en LT
y girado un ángulo cualquiera
Trazamos una LT auxiliar, paralela a LT y a cualquier distancia de ella, respecto a la que dibujamos el cuadrado auxiliar ABCE, figura 17. Por
cada uno de los vértices del cuadrado trazamos
perpendiculares a LT y, desde los puntos de intersección, rectas que fugarán al punto principal P. Para situar sobre estas rectas los vértices
B’, C’ y E’, nos valemos de la perpendicular 1-2
que pasa por E, como línea de referencia.
Para determinar el vértice B’, por el vértice B
del cuadrado auxiliar trazamos una paralela a
LT hasta cortar el segmento 1-2; con centro
en 1 trazamos el arco 1b. Desde el punto b,
perpendicularmente a LT, determinamos la
posición (b), que unida al punto de distancia
D, intercepta sobre el segmento 2P el punto b’, desde el que, mediante una paralela a
LT, determinamos B’. De forma similar, hallaremos la posición perspectiva del vértice C’ y
E’; el vértice A’ estará situado sobre LT. Los
vértices A’B’C’E’ determinan la posición del
cuadrado en perspectiva.
170
Fig. 17
La perspectiva cónica
Sistemas de representación
• Circunferencia situada en un plano horizontal
Respecto de LT dibujamos la circunferencia auxiliar en
verdadera magnitud y el cuadrado circunscrito, ABCE,
que nos servirá como referencia (Fig. 18). Situamos el
cuadrado en perspectiva (cuadrilátero ABC’E’); utilizando el procedimiento para trazar la elipse dados los diámetros conjugados, determinamos los puntos 1’, 2’, 3’
y 4’ que, unidos a mano alzada, determinan la posición
de la circunferencia en perspectiva cónica frontal.
En la circunferencia auxiliar, mediante las diagonales AC
y BE, determinamos los cuatro puntos de intersección
con la circunferencia y su centro O. Estas diagonales,
puestas en perspectiva, determinan los puntos 1’, 2’, 3’
y 4’ y el centro O’ de la elipse (observamos la posición
desplazada de este en el cuadrilátero ABC’E’).
Fig. 18
3.2 Perspectiva de sólidos
Los procedimientos utilizados en el apartado anterior son
generalizables a cualquier forma plana, y están en la base
de los trazados necesarios para situar sólidos en perspectiva, de los que veremos algunos ejemplos:
• Perspectiva frontal de un cubo
El primer cubo, figuras 19 y 20, tiene la cara ABCE situada en el plano del cuadro, por lo que estará en verdadera
magnitud. Por los vértices de esta cara trazamos rectas
perpendiculares a ella que, en perspectiva frontal, fugarán al punto P. Para situar sobre una de estas rectas, la
AP en la figura, la magnitud de la arista del cubo, unimos
el vértice B con el punto de distancia D y en su intersección tenemos la posición perspectiva G’ de un nuevo
vértice del cubo.
A partir de G’, trazamos la paralela y la perpendicular a
LT que nos definen, respectivamente, la posición de los
vértices I’ y H’. A partir de estos hallamos la posición
del vértice J’. Cuando unimos los vértices para definir
el cubo tal como aparece en la figura 20, diferenciamos, mediante el tipo de línea, las aristas vistas y las
ocultas.
Fig. 19
Fig. 20
171
9
9
La perspectiva cónica
Sistemas de representación
El segundo cubo, figuras 21 y 22, tiene la cara ABCE
paralela al plano del cuadro, pero a una distancia d por
detrás de él. A partir de un punto 1 cualquiera de LT,
situamos las verdaderas magnitudes de la distancia d
(punto A) y de la arista del cubo (punto B); desde este
último, sobre una perpendicular a LT, determinamos el
punto E (con la verdadera magnitud de la arista).
Fig. 21
Desde los puntos A, B y E fugamos al punto principal P;
el segmento 1-D’ determina la posición perspectiva de
los vértices A’ e I’; a partir de ellos, mediante paralelas
y perpendiculares a LT, completamos los vértices y las
aristas del cubo tal como vemos, finalmente, en la figura 22.
• Perspectiva frontal de un sólido cualquiera
El sólido de la figura 23, del que conocemos las vistas
acotadas, es el que pondremos en perspectiva cónica
frontal. Conviene, previamente, imaginarse la pieza y
la orientación más conveniente para que la perspectiva
refleje todos los detalles con claridad.
Comenzamos por situar la planta en perspectiva (Fig.
24), con el lado AB en LT y sus perpendiculares fugando a P. Para llevar sobre BP la profundidad b de
la figura, la medimos sobre LT a partir del punto B y
unimos el otro extremo con el punto de distancia D; la
intersección con BP nos sitúa la posición del vértice C’.
La paralela a LT, trazada desde C’, intercepta sobre AP
la posición del cuarto vértice E’ de la planta.
Desde el vértice A levantamos una recta perpendicular
a LT, sobre la que situamos en verdadera magnitud las
alturas de la figura tomadas del alzado. De esta manera
obtenemos la arista AG, fugando el extremo G a P. La
vertical levantada desde E’ nos determina la arista E’H’
(las verticales AG y E’H’ representan la altura c de la
pieza, en dos posiciones perspectivas diferentes).
A partir de la figura 24 resulta fácil completar la perspectiva; así lo hemos llevado a cabo en la figura 25. Por
el punto J de la altura correspondiente a 1/3 c, trazamos una paralela a LT hasta cortar las verticales levantadas desde B y desde el punto medio de AB, puntos
M y N desde los que fugamos nuevamente a P. A partir
de los vértices disponibles en la planta, podemos determinar los vértices y las aristas restantes para completar
la representación del sólido.
172
Fig. 22
Fig. 23
La perspectiva cónica
Sistemas de representación
Fig. 25
4
Fig. 24
CONSTRUCCIÓN DE PERSPECTIVAS
OBLICUAS
4.1 Disposición de los parámetros de
la perspectiva
Los datos para construir una perspectiva oblicua son
la altura y la distancia desde las que miramos el objeto,
además de las vistas y cotas de este. El proceso previo al
trazado de una perspectiva de dos puntos de fuga F y F’,
que representan los extremos laterales de un campo de
visión de 90°, supone situar sobre el papel del dibujo los
elementos que vemos en la figura 26 y que, paso a paso,
situaremos del siguiente modo:
1. Líneas de tierra y de horizonte, LT y LH, separadas una
distancia igual a la altura de observación.
2. Sobre LH marcamos el punto principal P y, sobre la perpendicular a la línea de tierra trazada por este punto,
situamos el punto de vista V a una distancia PV igual a
la de observación.
3. Desde V trazamos dos rectas perpendiculares entre sí
que, al cortarse con LT, nos definen la posición de los
puntos de fuga, F y F’. En relación con la horizontal, estas rectas suelen formar ángulos de 30° y 60°, según la
cara del objeto que queramos destacar; estos ángulos
son los mismos que formará la planta con el plano del
cuadro.
4. Cada punto de fuga tiene asociado un punto métrico.
Con un arco de circunferencia de centro en F y radio
igual al segmento FV, determinamos sobre LH el punto
métrico M correspondiente al foco F; el punto métrico
M’, correspondiente al otro foco F’, se determina con
un arco de radio igual al segmento F’V y de centro F’.
Fig. 26
173
9
9
La perspectiva cónica
Sistemas de representación
4.2 Perspectiva oblicua de formas
planas
Podemos situar un objeto en perspectiva cónica oblicua mediante dos métodos diferentes:
puntos métricos y proyecciones visuales.
Utilizaremos ambos para poner en perspectiva un cuadrado; esta forma geométrica (o un
rectángulo) la podemos circunscribir a cualquier forma plana irregular para realizar más
fácilmente la representación en perspectiva.
• Por el método de los puntos métricos
En la figura 27 hemos dispuesto un cuadrado en perspectiva cónica oblicua, con
uno de sus vértices en la línea de tierra. Los
lados perpendiculares, AB y AD, fugarán
desde A a cada uno de los puntos de fuga.
Para situar sobre AF’ y AF la medida del
lado del cuadrado, hemos de llevar la magnitud real sobre la línea de tierra, segmentos A(B) y A(D), y unir los extremos (B) y
(D) con el punto métrico correspondiente.
De esta manera, el segmento (B)M’, al cortarse con AF’, nos determina el punto B’.
De forma similar, obtendremos la posición
del vértice D’.
Para hallar la posición perspectiva del
cuarto vértice, desde B’ trazamos la paralela perspectiva a AD’ (un segmento que,
partiendo de B’, fuga al mismo punto que
AD’) y desde D’ trazamos la paralela perspectiva a AB’; la intersección de B’F y D’F’
determina la posición del vértice C’.
• Por el método de proyecciones visuales
En la figura 28 hemos dispuesto un cuadrado en perspectiva cónica oblicua, situado
tras el plano del cuadro. Primero situamos
los parámetros perspectivos: las líneas LH y
LT, y los puntos P y V. Dibujamos un cuadrado real auxiliar sobre LH con la separación e inclinación en relación con el PQ solicitados. Los pasos seguidos para ponerlo
en perspectiva han sido:
1. Las paralelas trazadas por el punto de
vista V a los lados AD y AB del cuadrado auxiliar, cuando se cortan con la LH,
determinan los focos F y F’.
2. Unimos V con los vértices del cuadrado
auxiliar, determinando en la intersección con LH los puntos 1, 2, 3 y 4.
174
Fig. 27
Fig. 28
La perspectiva cónica
Sistemas de representación
3. Prolongamos los lados AB y AD del cuadrado hasta
la LH, y desde aquí trazamos perpendiculares a LH
hasta que corten por A1 y A2 la línea de tierra.
4. Unimos A1 con F’ y A2 con F; su intersección es la
posición perspectiva A’ del vértice A del cuadrado.
5. Las perpendiculares a LH desde los puntos 1 y 4,
cuando se cortan con A’F y A’F’, determinan, respectivamente, la posición de los vértices D’ y B’.
6. Desde D’ y B’ trazamos paralelas perspectivas (concurrentes en el mismo punto de fuga) a los lados A’B’
y A’D’; su intersección es el vértice C’, que permite
completar la perspectiva del cuadrado A’B’C’D’.
4.3 Perspectiva oblicua de sólidos
Utilizaremos los dos métodos anteriores para determinar
la perspectiva oblicua de dos cuerpos diferentes. En ambos casos, primero situaremos la planta en perspectiva y,
después, la altura de los vértices que la tengan, midiendo
los valores reales de estas en relación con la línea de tierra;
mediante paralelas perspectivas, las trasladaremos a la posición correspondiente.
• Prisma hexagonal regular por el método
de proyecciones visuales
Por encima de LH dibujamos la planta hexagonal en
verdadera magnitud (Fig. 29) y le circunscribimos un
rectángulo para referir más fácilmente sus vértices a la
perspectiva. El proceso seguido para representar el prisma ha sido el siguiente:
1. Desde el punto de vista, trazamos paralelas a los
lados del rectángulo circunscrito al hexágono para
definir los focos F y F’.
2. Prolongamos los lados 1-4 y 3-4 del rectángulo hasta su
intersección con LH, y desde ahí trazamos perpendiculares a LH hasta que corten por 41 y 42 la línea de tierra.
3. Unimos 41 con F’ y 42 con F; la intersección de estos
segmentos determina el vértice 4’ del rectángulo.
4. Unimos V con los vértices 1 y 3 del rectángulo circunscrito y, por los puntos de intersección con LH,
bajamos perpendiculares que, cuando se corten con
4’F y con 4’F’, determinarán la posición de los vértices 1’ y 3’ del rectángulo.
Fig. 29
175
9
9
La perspectiva cónica
Sistemas de representación
5. Desde 1’ y 3’ trazamos paralelas perspectivas, respectivamente, a los lados 4’3’ y 4’1’; su intersección
define el vértice 2’, que completa el rectángulo en
perspectiva.
6. Sobre los lados del rectángulo 1’2’3’4’ hemos de situar los vértices del hexágono. Para ello unimos V
con cada uno de sus vértices y, desde los puntos de
intersección con LH, trazamos perpendiculares a LT
para determinar sobre el lado correspondiente de
1’2’3’4’ los vértices de la base hexagonal.
7. Con la planta ya en perspectiva, nos falta llevar la
altura del prisma a sus diferentes vértices. Unimos F’
con D’ y A’ y prolongamos la recta hasta que corte
la línea de tierra por el punto Q (Fig. 30); por este
punto levantamos una perpendicular a LT igual a
la altura en verdadera magnitud y unimos el extremo R con F’. Los segmentos QF’ y RF’ son paralelos
perspectivos; las verticales levantadas por A’ y D’,
cuando se cortan con RF’, determinan segmentos de
igual longitud que QR.
8. Repetimos el proceso para situar la altura del prisma sobre los otros vértices de la base inferior. Con
la altura en perspectiva en todos ellos, realizaremos
la unión de los extremos superiores para obtener la
segunda base del prisma.
9. Resaltaremos el resultado en perspectiva, diferenciando las aristas vistas y ocultas según el punto de
vista de la perspectiva.
Fig. 30
176
La perspectiva cónica
Sistemas de representación
• Escaleras en perspectiva por el método de
los puntos métricos
Pondremos en perspectiva cónica oblicua un tramo de
cuatro escalones, más un pequeño rellano. Además de
los parámetros de la perspectiva, suponemos que conocemos las dimensiones de la escalera: la huella a de cada
uno de los peldaños y la altura u, así como la profundidad 3a del rellano y el ancho m del conjunto.
Situamos (Fig. 31) las líneas de tierra y de horizonte, LT
y LH, a una distancia igual a la altura de observación
y el segmento PV igual a la distancia de observación.
Desde V, con ángulos de 60° y 30°, determinamos los
puntos de fuga, F y F’ y, a partir de estos, los puntos
métricos M y M’.
Situamos la escalera con el vértice A coincidente con el
plano del cuadro; desde este punto trazamos las perpendiculares perspectivas que fugan a F y F’. Sobre la línea
de tierra, a la derecha de A, llevamos la magnitud real de
las huellas de los cuatro peldaños y la del rellano y, hacia
la izquierda, el ancho m de la escalera; verticalmente, a
partir de A, llevamos la altura u de uno de los peldaños.
Para situar los valores de las huellas en perspectiva, unimos los extremos de los segmentos a1, a2, a3, etc. con
M’, y en su intersección con AF’ determinamos el valor
perspectivo. A continuación, mediante el punto métrico
M y sobre AF, llevamos la magnitud perspectiva de la
anchura m de la escalera.
Fig. 31
177
9
9
La perspectiva cónica
Sistemas de representación
A partir de la vertical con la altura u del primer peldaño,
fugamos otra vez a F y F’, y desde el punto 1’ de AF’
levantamos una vertical para determinar, en perspectiva,
la huella del primer peldaño. Desde este punto fugamos
también a F y, repitiendo el proceso por el otro extremo
de la escalera, habremos completado el primer peldaño.
En la figura 32 hemos completado el trazado de la perspectiva del tramo de escaleras; para determinar la altura del resto de peldaños, hemos fugado a F’ desde cada
una de las divisiones marcadas con la altura u sobre la
vertical trazada por A, hasta determinar la intersección
con la vertical correspondiente levantada por las divisiones 2', 3', 4'.
Fig. 32
Una mirada con perspectiva
En el año 1415, el arquitecto
florentino y teórico de la perspectiva
renacentista Filippo Brunelleschi
realizó un famoso experimento para
demostrar que la perspectiva cónica
era el sistema de representación más
parecido a la visión humana y la que
mejor imitaba la realidad.
Pintó minuciosamente el edificio del
Baptisterio de Florencia en un cuadro
pequeño, y practicó un agujero en
medio. Se colocó frente al edificio
sujetando la pintura. Situó un espejo
frente al cuadro que reflejara la
imagen pintada. ¡Y al mirar por el
agujero comprobó que la pintura y la
realidad encajaban y se confundían de
un modo prodigioso!
178
A C TI V I D A D E S
CÓNICA FRONTAL
1 Realiza la perspectiva de un cuadrado de 35 mm de lado
colocado sobre el plano geometral, con sus lados formando un ángulo de 45° con el plano del cuadro y uno
de los vértices situado sobre este y 10 mm a la izquierda
de la línea del punto de vista. La altura de visión es de
50 mm y la distancia de visión es de 60 mm.
5 Dibuja la perspectiva frontal de la figura 36, a escala
doble, a partir de los datos del enunciado y situando el
punto A’-A’’ en el punto A del papel.
2 Dibuja una perspectiva frontal de un cubo de 30 mm
de arista, situando el punto de vista a 54 mm de la cara
vertical más próxima y a una altura de 60 mm.
3 Realiza la perspectiva frontal de una pirámide regular
de base pentagonal apoyada sobre el plano geometral.
Los lados del pentágono miden 30 mm y la altura de la
pirámide es de 60 mm. La altura de visión es de 84 mm
y la distancia de visión, de 102 mm.
4 Realiza la perspectiva frontal de las figuras 33, 34 y 35,
a escala doble, a partir de los datos del enunciado. Sitúa
el punto A’-A’’ en el punto A del papel.
6 Representa en cónica frontal la figura 37 dada por sus
vistas. Datos de situación: distancia principal = 55 mm,
distancia entre LT y LH = 45 mm. El punto A está 25
mm a la izquierda del punto de vista. Cotas en milímetros. Dibuja a escala doble.
7 Dadas las proyecciones de la figura 38, dibuja la perspectiva cónica frontal, a escala doble, a partir de los
datos del enunciado y situando el punto A’-A’’ en el
punto A del papel.
CÓNICA OBLICUA
8 En perspectiva cónica oblicua, dibuja un cubo de 60
mm de arista apoyado en el plano geometral de manera
que las caras verticales del cubo formen 30° y 60° con
el plano del cuadro; sitúa la arista vertical más cercana a
40 mm del plano del cuadro y 30 mm a la izquierda del
plano principal (lámina en posición horizontal).
179
A C TI V I D A D E S
9 Realiza la perspectiva oblicua de las figuras 39, 40 y 41,
a escala doble, a partir de los datos del enunciado.
11 Realiza la perspectiva cónica oblicua de la figura 43, a
escala doble, según los datos del enunciado. Sitúa la
figura a partir de la posición del punto N.
12 Realiza la perspectiva cónica oblicua de la figura 44 a
partir del punto de vista indicado y según los datos del
enunciado. Lámina en formato apaisado.
13 Dibuja la perspectiva cónica oblicua de la figura 45 a
partir de los datos del enunciado. Cotas en milímetros.
Lámina en formato apaisado.
10 Dibuja la perspectiva cónica oblicua del sólido representado en la figura 42. El punto de vista V está situado a 70 mm del plano del cuadro y a 65 mm sobre el
plano geometral, en el que se apoya. Cotas en milímetros.
14 A partir de las vistas de la figura 46, dibuja la perspectiva cónica oblicua según los datos del enunciado.
Lámina en formato apaisado.
180
O B J E TI VO U N I V E RS I DA D
15 Definido el sistema cónico por la línea de tierra LT, la
línea del horizonte LH, el punto principal P y el abatimiento sobre el plano del cuadro del punto de vista (V),
se pide: dibujar la perspectiva cónica de la figura plana dada por su abatimiento sobre el plano del cuadro,
sabiendo que esta figura está situada sobre el plano
geometral, por detrás del plano del cuadro (Fig. 47).
16 Dadas las proyecciones diédricas de la figura, dibuja
a escala 1:1 la perspectiva lineal central de plano del
cuadro vertical, considerando el punto de vista V, la
línea de tierra LT y la línea del horizonte LH (Fig. 48).
17 Dibuja a escala 2:1 la perspectiva lineal central de plano π del cuadro vertical, desde el punto de vista V, dados la línea de tierra, la línea del horizonte y el punto
N (Fig. 49).
18 Dadas las proyecciones diédricas de la figura, dibuja la
perspectiva lineal central, a escala 1:1, desde el punto
de vista V y considerando el plano del cuadro vertical p,
la línea de tierra LT y la línea del horizonte LH (Fig. 50).
19 Dadas las proyecciones de la figura 51, dibuja la perspectiva cónica oblicua, según los datos siguientes:
a. Distancia P-V = 70 mm
b. Altura V (distancia LT-LH) = 100 mm
c. Cotas en milímetros
20 Dadas las proyecciones diédricas de la figura 52, realiza la perspectiva lineal del plano del cuadro vertical
π desde el punto de vista V, considerando la línea de
tierra LT, la línea del horizonte LH y el punto N de los
datos. Escala de realización 1:1.
181
O B J E TI VO U N I V E RS I DA D
21 Dadas las proyecciones de la figura 53, dibuja la perspectiva cónica oblicua siguiente:
a. Distancia P-V = 110 mm
b. Altura V (distancia LH-LT) = 110 mm
c. Cotas en milímetros
22 Dadas las proyecciones diédricas, dibuja la perspectiva
lineal del plano del cuadro vertical π, desde el punto
de vista PV, considerando la línea de tierra LT, la línea
del horizonte LH y el punto N. Escala 1:1 (Fig. 54).
23 Dadas las proyecciones diédricas de la figura 55, dibuja
la perspectiva lineal del plano del cuadro vertical π desde el punto de vista V, considerando la línea de tierra
LT, la línea del horizonte LH y el punto N. Escala 1:1.
182
24 Dadas las proyecciones de la figura 56, dibuja la perspectiva cónica oblicua siguiente:
a. Distancia P-V = 120 mm
b. Altura V (distancia LH-LT) = 170 mm
c. Cotas en milímetros
25 Dadas las proyecciones de la figura 57, dibuja la perspectiva cónica oblicua siguiente:
a. Distancia P-V = 115 mm
b. Altura V (distancia LH-LT) = 90 mm
c. Cotas en milímetros
26 Dadas las proyecciones diédricas de la figura 58, dibuja
la perspectiva lineal de plano de cuadro vertical π desde el punto de vista V, considerando la línea de tierra
LT, la línea del horizonte LH y el punto N. Escala 1:1.