Download Interiores
Document related concepts
Transcript
0S3MTLA11.05 15/2/11 12:08 P gina 72 Polinomios El 26 de septiembre del 2010 se celebró el gran Premio de Singapur, la 15.ª prueba del mundial de Fórmula 1. La carrera constaba de 61 vueltas a un circuito de 5 067 m de longitud. Fernando Alonso, el automovilista español, hizo una carrera espectacular que le dio la victoria, con lo cual se situó en segunda posición del campeonato a tan solo 11 puntos del líder, el australiano Mark Webber. Pilotos Tiempo Tiempo (h) 1. Fernando Alonso 1h 57' 53" 1,964 2. Sebastian Vettel 1h 57' 55" 1,965 3. Mark Webber 1h 58' 26" 1,973 4. Jenson Button 1h 58' 27" 1,974 5. Nico Rosberg 1h 58' 43" 1,979 a) Calcula la distancia total en km que tienen que recorrer todos los pilotos para completar el gran Premio. b) ¿Qué expresión algebraica nos permite calcular la velocidad media de los pilotos en esta carrera? c) Halla la velocidad media de los cinco primeros pilotos clasificados en este gran Premio. 0S3MTLA11.05 15/2/11 12:09 P gina 73 Recuerda y resuelve Qué es una expresión algebraica. Las expresiones algebraicas se utilizan para traducir enunciados al lenguaje matemático. Por ejemplo, si queremos expresar «el doble de la suma de un número más seis», utilizaríamos números y letras combinados mediante operaciones matemáticas. La expresión algebraica sería: 2 (n 6) 1 Si designamos un número cualquiera por x, escribe una expresión para: a) El triple del número. b) Una quinta parte de x. c) La mitad del cuadrado de ese número. 2 Relaciona en tu cuaderno cada enunciado con su expresión algebraica: I) 2n 1 a) Un número par II) x, x 1 b) Un número impar c) Un número y el que le sigue III) 3a d) El triple de un número IV) 2z Qué es un monomio. Un monomio es el producto de un número (coeficiente) por una o más indeterminaciones elevadas a exponentes naturales (parte literal). El grado de un monomio es la suma de los exponentes de la parte literal. Así, el coeficiente de 4x5 es 4; su parte literal, x5 , y su grado, 5. O bien, el coeficiente de xy2 es 1; su parte literal, xy2 , y su grado, 1 2 3. Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal. 3 Indica el coeficiente, la parte literal y el grado de cada monomio: a) 2x3 d) 10y7 b) x6 e) 62m3 c) 3x2y3 f) 1 mn2 4 4 Indica cuáles de los siguientes monomios son semejantes: 5x2, 4y, 5p2, 2y5, 12x5, 9y, x2 Cómo se opera con monomios. Para sumar, o restar, dos monomios semejantes, se suman o se restan los coeficientes y se deja la misma parte literal: 7x4 9x4 16x4; 6y3 11y3 5y3 Las propiedades de las operaciones con potencias son: am an amn; am ⬊ an amn (k am )n kn amn; a0 1; a1 a Para multiplicar o dividir dos monomios, se multiplican o se dividen sus coeficientes y sus partes literales: 7x2 (5x3) 35x23 35x5 4 x2 2 (4x ) ⬊ (2x) 2x 2 x 5 Reduce, cuando sea posible, las siguientes expresiones a un solo monomio: a) 9y3 11y3 b) x2 5x2 c) 3x2 2x 6 Opera y simplifica estas potencias: a) x2 x4 d) a4 a 2 b) z4 ⬊ z5 e) y9 ⬊ y2 c) (2a2 )5 f) ((45 ) 2 )2 7 Opera y simplifica: a) 6x4 3x2 d) 2y5 (4y4 ) b) − x7 9x e) (2x4 )3 c) (6x3 ) ⬊ (3x) f) (3x2 ) ⬊ (2x) Polinomios 73 0S3MTLA11.05 15/2/11 12:09 P gina 74 1 Expresiones algebraicas Observa y resuelve Observa las siguientes situaciones: a) Ángel y Rocío deciden repartir mensualmente la paga a sus hijos de la siguiente manera: 2 € al mes por cada año de su edad actual. ¿Cómo podría cada uno de sus hijos saber la paga total mensual que le corresponde? b) Un profesor de Educación Física cronometra a sus alumnos mientras corren 100 metros. ¿Cómo podrá determinar a qué velocidad han realizado la prueba sus alumnos? c) Una persona construye en su casa una piscina de fondo circular. ¿Cómo podría calcular cuántos litros de agua necesitará para llenarla? Las expresiones que permiten resolver las situaciones anteriores son: a) Paga mensual 2n, donde n es la edad de cada hijo. b) Velocidad 100/t; donde t es el tiempo en segundos de cada alumno. c) Volumen r2h, donde r es el radio, y h, la altura en dm de la piscina. Recuerda Cuando en una expresión algebraica dos letras, o un número y una letra, están juntos sin ningún signo intermedio, significa que se están multiplicando. Así: Una expresión algebraica es una combinación de operaciones aritméticas en las que intervienen números y letras. Las letras se denominan variables o indeterminadas. E J E R C I C I O S R E S U E LT O S ab significa «a por b» 1 2x significa «2 por x» a) La mitad de la suma de dos números enteros consecutivos. Traduce al lenguaje algebraico los siguientes enunciados: n (n 1) , donde n es el primer número. 2 b) El precio de una camiseta que ha sido rebajada un 20 %. 0,8p, donde p es el precio inicial. 1.1. Valor numérico de una expresión algebraica ¿Cuántos litros de agua necesitaremos para llenar una piscina que tiene 30 dm de profundidad y 50 dm de radio? Tan solo tenemos que sustituir los valores en la fórmula: V r2h 502 30 235 619 L El valor numérico de una expresión algebraica para determinados valores de las variables es el resultado de sustituir las variables por su valor y realizar las operaciones indicadas. E J E R C I C I O S R E S U E LT O S 2 Calcula el valor numérico para cada una de las expresiones del ejercicio resuelto anterior para n 10 y p 25. a) 10 (10 1) 10,5 2 b) 0,8 25 20 74 UNIDAD 5 0S3MTLA11.05 15/2/11 12:09 P gina 75 Actividades 1 쐌 Escribe la expresión algebraica correspondiente a cada uno de los siguientes enunciados: a) La mitad de la diferencia de dos números. b) Un tercio de un número. c) La suma del cubo de un número más cinco. d) El siguiente de un número natural. 6 쐌 Halla en cada caso el valor numérico para x 3: a) x 5 c) x2 1 e) 3x x2 b) 2x 6 d) 5(x 5) f) (1 x)2 쐌 Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas para cada uno de los valores dados: 7 e) La suma de dos números impares consecutivos. a) x3 2x2 2x 1, para x2, x 1, x 0 y x 2. f) El producto de dos números pares consecutivos. b) 1 5x 1 , para x 1, x y x 0. 2x 5 a) El espacio recorrido por un coche que se desplaza a una velocidad constante v durante un tiempo t. c) 2(x 3) 1 2x , para x 2 y x 1. 2 5 b) El perímetro de un cuadrado de lado x. 8 c) La hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son a y b. a) x y, para x 3 e y 5. d) El área de un rectángulo que tiene por lados n y p. b) 2x y3 3z, para x 1, y 2 y z 2. 쐌 Asocia cada uno de los siguientes enunciados con una expresión algebraica de las indicadas abajo: c) a2 3a b2, para a a) La quinta parte de la suma de un número y el triple de su cuadrado. 9 2 쐌 Escribe la expresión que permite calcular: 3 b) La suma de la quinta parte de un número y el triple de su cuadrado. c) El doble de la suma de un número al cuadrado y otro número. d) La suma del doble de un número al cuadrado y otro número. x 3x2 5 쐌 Escribe la expresión algebraica que permite hallar lo indicado en cada apartado y después calcúlala para el valor dado: a) El volumen de un cubo de arista x, para x 1 m. b) La velocidad media de un coche que recorre s km en t min, para s 30 km y t 25 min. c) El perímetro de un rombo de lado a, para a 3 cm. 10 쐌쐌 La familia de María gasta mensualmente una quinta f) La suma de los cubos de dos números. 쮿 1 y b 3. 2 d) El área de un círculo que tiene por radio r, para r 2 dm. e) El cubo de la suma de dos números. 쮿 x3 y3 쐌 Averigua en cada caso el valor numérico de estas expresiones algebraicas para los valores indicados: 쮿 (x y)3 쮿 2x2 y 쮿 2( x2 y) 쮿 1 x 3x2 5 쐌쐌 Escribe un enunciado para cada una de las siguientes expresiones algebraicas: 4 parte de sus ingresos en alimentación, la mitad del resto en pagar préstamos al banco y 300 € en otros gastos. Escribe una expresión que indique los gastos mensuales de la familia. Si los ingresos de la familia de María son de 2 500 €, ¿a cuánto ascienden los gastos? a) x y d) x2 y2 g) x2 y2 쐌쐌쐌 Encuentra la expresión algebraica del área y del perímetro de cada una de estas figuras. Después halla su valor para a 5 cm, b 4 cm y h 2 cm. b) x y e) (x y)2 h) 2x2 a) c) (x y)2 f) 3x 2y2 i) (3x 2y)2 쐌 Indica la expresión algebraica que permite contestar a la pregunta planteada en cada caso: 11 5 b) a) Si una camiseta cuesta p euros, ¿qué precio tienen 3 camisetas con el 20 % de descuento? b) Si ahora tienes y años, ¿qué edad tendrás dentro de 6 años? ¿Y qué edad tenías hace 4 años? c) c) La entrada a un parque temático cuesta x euros, y montar en cada atracción, y euros; ¿cuánto te gastarías si montas en 5 atracciones? Polinomios 75 0S3MTLA11.05 15/2/11 12:09 P gina 76 2 Notación de un polinomio Un polinomio se suele designar por una letra mayúscula seguida de las variables entre paréntesis. Polinomios Observa las siguientes expresiones algebraicas: 2x 5y 5x2 2x 1 4ab a 2 7z3 z2 8 5 Todas las expresiones están formadas por sumas y/o restas de monomios. Ejemplos: P(x) 2 x2 3 Un polinomio es la suma de dos o más monomios no semejantes. Cada uno de estos monomios se llama término. Q(a, b) 3ab4 4ab Así, por ejemplo: x2 3x 6 es un polinomio. Sin embargo, 1 兹x 2 3 兹x2 no es un polinomio. 3 x 쮿 Se define el grado de un polinomio como el mayor de los grados de sus términos. 쮿 El monomio de mayor grado se denomina término principal, y el de grado 0, término independiente. 쮿 Al polinomio con dos términos se le denomina binomio. E J E R C I C I O S R E S U E LT O S 3 Dados los siguientes polinomios, determina el grado, el término principal y el término independiente. Polinomio Grado Término principal Término independiente 3ab2 4a b 3 3ab2 0 4x2 5x 1 2 4x2 1 Polinomios ordenados Si los términos de un polinomio figuran en orden creciente, o decreciente, de sus grados, se dice que es un polinomio ordenado. Son ejemplos de polinomios ordenados los siguientes: 2.1. Valor numérico de un polinomio Observa el siguiente polinomio: P(x) 3x2 2x 1 Si sustituimos la x por 2, obtendremos el valor numérico del polinomio: P(x 2) 3 22 2 2 1 15 P(x) x4 3x3 x 1 Q(x) 3 6x 3x4 El valor numérico de un polinomio, para x a, es el número que resulta al sustituir la variable x por el valor a. Polinomios completos Cuando un polinomio tiene términos de todos los grados intermedios entre el término principal y el independiente, recibe el nombre de polinomio completo. E J E R C I C I O S R E S U E LT O S 4 Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios para los valores indicados. a) P(x) 3x3 2x2 1 , para x 1. P(1) 3 (1)3 2 (1)2 1 4 Un polinomio ordenado y completo es, por ejemplo, este: b) Q(x, y) 2x2y 3xy 5y, para x 1 e y 2. x4 3x3 2x2 x 1 Q(1, 2) 2 12 2 3 1 2 5 2 12 76 UNIDAD 5 0S3MTLA11.05 15/2/11 12:09 P gina 77 Actividades 12 쐌 Escribe un polinomio de grado 6 que tenga cinco tér- minos, el coeficiente del término de grado 2 igual a 1 y como término independiente 0. 13 쐌 Ordena de forma creciente los términos de los si- guientes polinomios: 18 쐌 Calcula los valores numéricos de estos polinomios para los valores que se indican: a) P(x) 5x3 3x2 3x 1, para x 1 y x 1. b) Q(x) x4 x2 5x 3, para x 0 y x 3. c) R(x) 3x2 5x 2, para x 2 y x 3. a) P(x) 5x2 4x5 3x 2x4 x3 8 d) S(x) 5x2 4, para x 2 y x 1. b) Q(x) 5x3 x2 19 쐌쐌 Asocia cada polinomio con un valor de la variable c) R(x) 5x4 8x6 x3 3 14 쐌 Ordena de forma decreciente los términos de los poli- nomios e indica después los términos, el término independiente y el grado: 2 a) P(x) x3 x2 3 y con su valor numérico para dicho valor: 1. P(x) 3x2 2x 1 2. P(x) 2x3 x2 x 2 3. P(x) 2x3 5x2 x 2 4. P(x) 5x2 2 b) Q(x) 3x4 3x 2x3 1 3 2 c) S(x) x2 5x7 8x5 2 3 15 쐌 Contesta a las siguientes indicaciones: a) Polinomio cuyos términos están escritos en orden creciente de sus grados. I) x0 II) x2 III) x 1 IV) x 3 a) 2 b) Determina qué representa el número 2 en el polinomio P(x) 3x2 8x 1. b) 20 c) Lo son los monomios que tienen la misma parte literal. d) 98 d) Polinomio con dos términos. c) 6 20 쐌 Indica cuáles de las siguientes expresiones algebrai- e) Monomio de grado 0 de un polinomio. f) ¿Qué nombre reciben los números 3, 8 y 1 en el polinomio P(x) del apartado b)? cas son polinomios y, en caso de que no lo sean, explica por qué: a) 5x3 2x g) Polinomio al que no le falta ningún término. 16 쐌 Indica si está completo cada uno de estos polinomios y, en caso contrario, señala qué términos le faltan: a) A(x) 5x 3x 2x 8x 2 x x 3 6 2 4 5 1 b) B(x) 8x3 x2 5x 5 c) C(x) 3x4 7x2 4 x3 쐌 Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios para el valor dado en cada caso: 17 b) 5 3x2 x x 2 c) 5x3 x2 x 5 21 쐌 ¿Cuántos términos tiene un polinomio completo de grado 3? ¿Y uno de grado 4? ¿Y uno de grado 15? ¿Y si el grado es n? 22 쐌쐌 Contesta si las siguientes afirmaciones son verdade- ras o falsas y razona tu respuesta: a) P(x) 2x2 3, para x 1. a) Un polinomio completo siempre está ordenado. b) P(x) x3 2x 1, para x 0. b) Un polinomio ordenado tiene que tener término independiente. 1 c) P(x) 8x2 3, para x . 2 c) Un polinomio no puede tener el mismo valor numérico para dos valores distintos de la variable. 1 d) P(x) x2 3x 3, para x 2. 2 d) Un polinomio no puede tener dos valores numéricos distintos para un mismo valor de la variable. 2 1 e) P(x) x3 3x , para x 3. 9 3 e) El polinomio P(x) 3x3 2x2 x es un polinomio incompleto. Polinomios 77 0S3MTLA11.05 15/2/11 12:09 P gina 78 3 Operaciones con polinomios 3.1. Suma y resta de polinomios Para sumar dos polinomios, sumamos sus monomios semejantes y dejamos indicadas las sumas de los monomios no semejantes. Te n e n c u e n t a + Q(x) P(x) 3x3 4x2 3x P(x) Q(x) 2x2 5x 1 P(x) Q(x) 3x3 2x2 2x 1 El opuesto de un polinomio es el resultante de cambiar los signos a todos sus coeficientes. Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo a todos los términos del polinomio que están dentro del paréntesis. Por ejemplo: Así, el polinomio opuesto de Q(x) 2x2 5x 1 es Q(x) 2x2 5x 1. 3 (2x2 3) 3 2x2 3 Para restar dos polinomios, se suma al primero el opuesto del segundo. + Q(x) P(x) 3x3 4x2 3x P(x) Q(x) 2x2 5x 1 P(x) Q(x) 3x3 6x2 8x 1 Actividades 23 쐌 Dados los siguientes polinomios, realiza las sumas indicadas: con coeficientes racionales: P(x) 2x3 5x2 2x 1 Q(x) x2 x 3 R(x) 5x 6x 2x 3x 4 S(x) 3x 1 4 27 쐌쐌 Realiza las siguientes operaciones de polinomios 3 2 a) 冢 2x 3x 2冣 冢 2x 3x 1冣 b) 冢 2x 3x 2冣 冢 2x 3x 1冣 c) 冢 5x 2x 3冣 冢2x 5x 冣 d) 冢 5x 2x 3冣 冢2x 5x 冣 e) 冢 8x 2x 4 冣 冢4x 8x 4 冣 冢x 8 冣 2 a) Q(x) S(x) c) Q(x) R(x) e) P(x) Q(x) R(x) b) P(x) R(x) d) P(x) Q(x) f) P(x) Q(x) S(x) 24 쐌 Dados los siguientes polinomios, efectúa las operacio- nes indicadas: P(x) 2x2 5x 3 Q(x) 5x2 2 R(x) 3x2 x 4 3 3 2 2 2 2 3 3 1 1 1 4 2 1 4 2 1 3 1 3 1 1 2 2 a) P(x) Q(x) g) P(x) Q(x) R(x) b) P(x) Q(x) h) Q(x) R(x) P(x) c) P(x) R(x) i) P(x) Q(x) R(x) d) P(x) R(x) j) P(x) [Q(x) R(x)] e) Q(x) R(x) k) Q(x) [P(x) R(x)] para obtener cada uno de los siguientes? f) Q(x) R(x) l) P(x) [Q(x) R(x)] a) 3x2 c) 4x e) 5 b) 3x2 d) 0 f) 5x2 x 3 25 쐌 Realiza las operaciones, teniendo en cuenta que los polinomios no están completos: 3 2 5 3 1 2 3 1 2 1 28 쐌쐌 ¿Qué polinomio se debe sumar a P(x) 3x2 4x 5 29 쐌쐌 ¿Qué polinomio se resta a Q(x) 2 x4 x3 3x2 5 a) ( 5x 6x 4) (2x 3x 2x 1) para obtener cada uno de los siguientes polinomios? b) (5x4 6x 4) (2x4 3x2 2x 1) a) x4 5x3 c) 0 e) 5x4 2x c) (2x 5) (8x3 2x2 5x) b) 2x4 8 d) x3 x f) 10x 9 4 4 2 d) (5x5 7x3 2) (8x4 3x3 x) (2x 5) 26 쐌 Efectúa estas operaciones, teniendo en cuenta que los polinomios no están ordenados: a) (9x x2 3x4 1) (5 2x3 3x) b) (8x x6 4x3 ) (3x2 7x x2 ) 78 UNIDAD 5 30 쐌쐌쐌 Copia y escribe los elementos que faltan: a) P(x) 앮x 5x3 x2 앮 x 6 4 Q(x) 앮x3 5x2 5 P(x) Q(x) 3x4 x3 앮 x2 4x 앮 b) A(x) x5 앮 x4 앮 x3 3x 4 B(x) 앮x5 2x3 3x2 2x 앮 A(x) B(x) 7x5 2x4 x3 앮 x2 앮x 12 0S3MTLA11.05 15/2/11 12:09 P gina 79 3.2. Producto de polinomios Potencias de polinomios Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio del primer polinomio por cada uno de los monomios del otro y después se suman los términos semejantes. Las potencias de un polinomio son un caso particular de la multiplicación de polinomios. Veamos un ejemplo: E J E R C I C I O S R E S U E LT O S 5 Calculemos 冤P(x)冥 3 , siendo P(x) x2 1 Multiplica P(x) Q(x) siendo P(x) 4x 2 y Q(x) x3 3x2 2x 1 . Vamos a resolverlo de dos formas distintas: 冤P(x)冥 3 (x2 1)3 (x2 1) (x2 1) (x2 1) ( x2 1) (x4 x2 x2 1) ( x2 1) ( x4 2 x2 1) x6 2 x4 x2 x4 2 x2 1 x6 3x4 3 x2 1 Método 1: P(x) Q(x) (4x 2) (x 3x 2x 1) 4x (x3 3x2 2x 1) 2 (x3 3x2 2x 1) 4x4 12x3 8x2 4x 2x3 6x2 4x 2 4x4 14x3 14x2 8x 2 3 2 Método 2: P(x) x3 3x2 2x 1 Q(x) 4x 2 2 P(x) & 4x P(x) & P(x) Q(x) & 2x 6x 4x 2 3 2 4x4 12x3 8x2 4x 4x4 14x3 14x2 8x 2 Actividades 31 쐌 Realiza las siguientes multiplicaciones de un mono- mio por un polinomio: faltan en la siguiente multiplicación: a) 2( x3 2x2 5x 3) d) x(x3 2x2 5x 3) b) 2x(x3 2x2 5x 3) c) 2x2 (x3 2x2 5x 3) c) 冢 冣冢 冣 1 3 5 x 2x 3 x2 5 3 33 쐌쐌 Copia en tu cuaderno y completa los elementos que f) 冢 冣 冢 4 3 27 x x2 x 3 2 9 6 3x3 앮 x2 x 4 앮x 冣 a) (5x 1) (2x 4) 2 앮x 15x 앮 x4 25x3 5x2 20x 앮x 앮 앮 x 앮 4 32 쐌쐌 Efectúa estas multiplicaciones de polinomios: 앮x 앮 ⴛ 3 3 x 2 앮 x 12 34 쐌쐌 Realiza las operaciones y simplifica: a) 2(x 3) 5(x 3) b) (3x2 1) (3 x) b) (x 1) (x 3) (2x 1) (x 3) c) (2 x) (x2 3x 1) c) 5x(x3 1) (x4 2x2 3) (2x3 ) d) (2x 3) (x3 3x 2) d) (6x2 3x) (x2 2) (2x2 1) (x2 4) e) ( 3x3 3x 2) (x 1) e) [(x2 2x 3) (x2 2x 3)] (x2 x) f) (3x 2) (x3 x2 2x 1) f) [(7x3 2x2 ) (5x3 2x2 )] (x4 3) g) (x3 2x2 3x 5) (x2 5x) 35 쐌 Dados los polinomios A(x), B(x) y C(x), realiza las ope- h) (x 1) (x 4) (x 3) raciones indicadas: i) (1 x) (1 x2 ) (1 x3 ) A(x) 3x2 x 1 B(x) 5x2 2x C(x) x 3 j) (2x 3x 2) (5x 1 3x ) a) 2A(x) B(x) C(x) d) [A(x) C(x)] B(x) k) (5x 3x 2) (5x 3x 2) b) A(x) [B(x) 3C(x)] e) 2A(x) [B(x) C(x)] l) (x 3x 2) (5x 3x 2) c) A(x) B(x) C(x) f) C(x) [A(x) B(x)] 2 2 2 3 2 2 m) (x4 2x2 1) (x3 x 1) n) (3x3 2x2 2x 7) (4x5 1) 36 쐌 Calcula los siguientes cubos: a) (x 1)3 b) (x 2)3 c) (2x 1)3 d) (3x 2)3 Polinomios 79 0S3MTLA11.05 15/2/11 12:09 P gina 80 3.3. Identidades notables Observa y resuelve ¿Cómo se puede expresar con un polinomio el área de este cuadrado? El lado del cuadrado mide a b; por tanto, su área será (a b)2 . Si te fijas en la figura, verás que: (a b) a 2ab b 2 2 a Supongamos que tenemos dos monomios, A y B, y queremos calcular el cuadrado de la suma, (A B)2 , y el cuadrado de la diferencia, (A B)2 , de esos monomios. a) ¿Qué resultado obtendrías? b) ¿Puedes simplificar este resultado? 2 Realizamos los productos: b (A B)2 (A B) (A B) A A A B B A B B A2 2AB B2 (A B)2 (A B) (A B) A A A B B A B B A2 2AB B2 a2 ab El cuadrado de la suma de dos monomios es igual al cuadrado del primero más el doble del producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo: a (A B)2 A2 2AB B2 b2 ab b E J E R C I C I O S R E S U E LT O S ¿Cómo se puede expresar con un polinomio el área del cuadrado azul? 6 Calcula (3x2 2x5 )2 . (3x2 2x5 )2 (3x2 )2 2 3x2 2x5 (2x5 )2 9x4 12x7 4x10 El lado del cuadrado azul mide a b; por consiguiente, su área será (a b)2 . Fíjate ahora en la figura y verás que: (a b)2 a2 2ab b2 El cuadrado de la diferencia de dos monomios es igual al cuadrado del primero menos el doble del producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo: (A B)2 A2 2AB B2 a b E J E R C I C I O S R E S U E LT O S 7 Calcula (2x x3 )2 . (2x x3 )2 (2x)2 2 2x x3 (x3 )2 4x2 4x4 x6 (a b)2 a ab Observa y resuelve ab b2 b Queremos calcular ahora el producto de la suma de dos monomios por su diferencia, es decir, (A B) (A B). ¿Qué obtenemos? Realizamos el producto: (A B) (A B) A A A B B A B B A2 B2 La suma de dos monomios por su diferencia es igual a la diferencia de sus cuadrados: (A B) (A B) A2 B2 E J E R C I C I O S R E S U E LT O S 8 Calcula (7x5 2x6 ) (7x5 2x6 ) . (7x5 2x6 ) (7x5 2x6 ) (7x5 )2 (2x6 )2 49x10 4x12 80 UNIDAD 5 0S3MTLA11.05 15/2/11 12:10 P gina 81 Actividades 37 쐌 Utiliza las identidades notables para calcular los 44 쐌쐌쐌 Expresa como producto de dos factores: siguientes cuadrados de binomios: 1 4 f) (5x 1) a) 4x2 12x 9 d) x2 x g) (x2 4y)2 b) x2 625 e) x4 8x2 16 c) (2x 3)2 h) (x2 4y)2 c) 25x2 10x 1 f) 9x4 1 d) (2x 3)2 i) (3x2 5x3 )2 e) (5x 1) j) (2x 3x) a) (x 2) 2 b) (x 2) 2 2 2 2 45 쐌쐌 Copia en tu cuaderno y completa estas expresiones, sabiendo que se trata de identidades notables: 2 38 쐌쐌 Utiliza las identidades notables para calcular estos cuadrados de binomios: a) 冢 1 2x5 x3 7 冣 b) 冢 1 4 2 3 x x 3 5 c) 冢 3 2 2 3 x x 2 3 d) 冢 1 2 2 x x 2 3 2 冣 2 冣 冣 a) (앮 앮 )2 36x2 12x 앮 b) (앮 앮 )2 x4 9 앮 c) (앮 5 )2 4x2 앮x 앮 2 d) (2x4 앮 )2 앮 앮 81 2 e) (앮 앮) (앮 앮) x6 49 f) (앮 3) (앮 3) 16x2 앮 39 쐌 Utiliza las identidades notables para calcular las siguientes multiplicaciones de binomios: 46 쐌 Halla el valor numérico de las siguientes expresiones a) (x 1) (x 1) d) (2x2 5) (2x2 5) para x 3 e y 2 y empareja las que den el mismo resultado. ¿Qué observas? b) (x 3) (x 3) e) (4x2 3) (4x2 3) a) (x y )2 f) x2 y2 c) (3x 1) (3x 1) f) b) 4(x y) g) x2 2xy y2 c) (x y )2 h) x2 y2 d) (x y) (x y) i) x2 2xy y2 e) (5x2 y2 ) 4x2 j) 4x 4y 冢 冣冢 3 3 x 3x2 x 3x2 2 2 冣 40 쐌쐌 Calcula: a) (x 1)2 y (1 x)2 b) (3x2 x)2 y (x 3x2 )2 2 c) (x 2y) y (2y x) 47 쐌 Expresa con un polinomio el área de cada una de estas figuras: 2 a) x1 ¿Podrías sacar alguna conclusión a la vista de los resultados que has obtenido? Justifícala. x1 de una suma de dos monomios: b) a) x 2x 1 d) x 2xy y b) x 4x 4 e) 4x2 4x 1 c) x2 6x 9 f) 9x2 12x 4 2 2 2 2 42 쐌쐌 Expresa estos polinomios como el cuadrado de la diferencia de dos monomios: a) x2 10x 25 d) x2 2xy y2 b) 4x2 4x 1 e) 25x2 10x 1 c) 9x2 12x 4 f) 4x2 8x 4 43 쐌쐌 Expresa los siguientes binomios como la suma de dos monomios por su diferencia: x2 41 쐌쐌 Expresa los siguientes polinomios como el cuadrado x2 48 쐌 Copia y completa las siguientes expresiones para que sean el cuadrado de un binomio: a) x2 2x 앮 c) x2 6x 앮 b) 4x2 앮 25 d) 앮x2 4x 1 49 쐌쐌 Desarrolla los productos y simplifica el resultado: a) (x2 2x)2 (x2 2x)2 b) 4(x2 2x) (2x2 2x) (2x2 2x) c) (2x3 x)2 (4x6 x2 ) a) x2 4 d) 9x2 49 b) x2 25 e) 16 x2 d) (2x2 3x5 )2 (3x3 2x) (7x 1) c) 4x2 100 f) 64 36x2 e) 3[(x 1)2 x2 ] (3x3 )2 Polinomios 81 0S3MTLA11.05 15/2/11 12:10 P gina 82 3.4. División de polinomios División de un polinomio entre un monomio Grados de los polinomios que intervienen en una división Para dividir un polinomio entre un monomio, se divide cada término del polinomio entre el monomio. Al dividir polinomios, hay que tener en cuenta que: 쮿 El grado del dividendo tiene que ser mayor o igual que el grado del divisor. E J E R C I C I O S R E S U E LT O S 9 쮿 El grado del resto ha de ser menor que el del divisor. Calcula (9x6 3x5 6x2 ) ⬊ (3x2 ). ( 9x6 3x5 6x2) ⬊ ( 3x2) ( 9x6) ⬊ (3x2 ) (3x5 ) ⬊ ( 3x2 ) (6x2 ) ⬊ (3x2 ) 3x4 x3 2 쮿 El grado del cociente es la diferencia entre el del dividendo y el del divisor. División entera de polinomios La división entera de polinomios es similar a la división entera de números reales. Observa cómo se divide P(x) 3 x5 5 x4 4 x2 3x 1 entre Q(x) x2 2x: 1. Se comprueba que ambos polinomios están ordenados y se deja un espacio donde falte un término de algún grado. Actividades 2. Se divide el término principal 50 쐌 Realiza las siguientes divisiones: a) (2x 6) ⬊ 2 del dividendo entre el término principal del divisor: 3x5 5x4 4x2 3x 1 x2 2x 3x5 5x4 4x2 3x 1 x2 2x 3x3 3x5 5x4 3x5 6x4 x4 4x2 3x 1 x2 2x 3x3 3x5 ⬊ x2 3x3 b) ( 2x5 5x7) ⬊ x2 Este resultado es el primer término del cociente. c) ( 5x4 x3 15x) ⬊ 5x 51 쐌 Efectúa estas divisiones de po- linomios: 3. Se multiplica 3x3 por cada término del divisor, y el resultado se le resta al dividendo. a) (2x 5x 3) ⬊ (x 3) 4x2 3x 1 2 b) (2x4 3x3 2x 8) ⬊ (2x 3) 4. Se repite el proceso hasta que c) (10x3 2x2 5x) ⬊ (2x2 3) el polinomio obtenido tenga un grado menor que el divisor. d) (9x4 3x3 x2 ) ⬊ (3x 1) 52 쐌 Divide los polinomios indica- dos y comprueba el resultado utilizando la expresión D d c r. a) D(x) x9 x7 x5 x3 x2 1 y d(x) x2 1 b) D(x) 2x5 4x4 7x3 2x2 d(x) 2x3 x y 53 쐌쐌 Calcula el resto de una divi- sión de la que conoces el dividendo, D(x); el divisor, d(x); y el cociente, C(x): 쮿 D(x) 3x3 4x2 2x 쮿 d(x) 3x x 2 쮿 C(x) x 1 82 UNIDAD 5 3x5 5x4 4x2 3x 1 3x5 6x4 4x2 3x 1 x4 x4 2x3 2x3 4x2 3x 1 2x3 4x2 3x 1 x2 2x 3x3 x2 2x En la división de polinomios se cumple que el dividendo, D(x), es igual al producto del divisor, d(x), por el cociente, C(x), más el resto, r(x): D(x) r(x) d(x) & D(x) d(x) C(x) r(x) C(x) E J E R C I C I O S R E S U E LT O S 10 Comprueba en la división del ejemplo anterior que se cumple que D(x) d(x) C(x) r(x). Dividendo: D(x) 3x5 5x4 4x2 3x 1; Divisor: d(x) x2 2x; Cociente: C(x) 3x3 x2 2x; Resto: r(x) 3x 1. d(x) C(x) r(x) (x2 2x) (3x3 x2 2x) (3x 1) 5 (3x x4 2x3 6x4 2x3 4x2 ) (3x 1) 3x5 5x4 4x2 3x 1 0S3MTLA11.05 15/2/11 4 12:10 P gina 83 Factorización de polinomios Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios de menor grado. Factorizar mediante identidades Piensa y deduce Observa las siguientes expresiones: A(x) x2 4 B(x) x4 x2 C(x) x2 8x 16 ¿Cómo podrías transformar estas sumas en productos? Cuando un polinomio sea el resultado de desarrollar una identidad notable, se puede volver a dicha identidad y así factorizar el polinomio: A(x) x2 4 (x 2) (x 2) B(x) x4 x2 (x2 x) (x2 x) C(x) x2 8x 16 x2 2 4x 42 (x 4)2 La división exacta Observa ahora esta división exacta de polinomios: 2x3 5x2 2x 2x3 x2 4x2 2x 4x2 2x 0 2x 1 x2 2x La división es exacta cuando el resto es 0, por lo que: Dividendo Divisor Cociente Por consiguiente: 2x3 5x2 2x (2x 1) (x2 2x). Cuando un polinomio puede ser dividido de forma exacta, se puede factorizar así: Dividendo Divisor Cociente & D(x) d(x) C(x) Actividades 54 쐌 Identifica identidades notables y factoriza: a) x8 4x6 4x4 b) x6 6x4 9x2 c) 9x4 x2 Sacar factor común Observa que en el polinomio P(x) 12x5 6x3 10x2 todos los términos contienen la expresión 2x2: P(x) 2 6 x2 x3 2 3 x2 x 2 5 x2 Por tanto, es posible extraer este factor común a todos los términos del polinomio y escribir: P(x) 2x2 (6x3 3x 5) Extrae factor común en los polinomios. a) A(x) 9xy8 12x5y3 3x2 A(x) 3x (3y8 4x4y3 x) (x3 3x2 x 3) ⬊ (x 3) Utiliza el resultado para factorizar el dividendo. 56 쐌 Saca factor común: a) 12x6 6x2y b) 24x2y 2x3y4 E J E R C I C I O S R E S U E LT O S 11 55 쐌 Divide la expresión: b) B(x) 3x2 4x3 x B(x) x (3x 4x2 1) c) 15x4 5x2 5 d) 18x3 6x2 3x e) a2b2c2 ab2 b2c Polinomios 83 0S3MTLA11.05 15/2/11 12:10 P gina 84 Estrategias para resolver problemas Resolver casos particulares Una Unaforma formade deafrontar resolver un un problema problema es buscar es resolver todos casoslosparticulares casos posibles. que te permitan generalizar hasta conseguir tu objetivo. Problema A partir de dados de 1 cm de arista queremos formar cubos cuya arista mida 1 cm, 2 cm, 3 cm, … Encuentra una expresión algebraica que indique el número de dados necesarios para formar cada cubo en función de la medida de su arista. Resolución 1. Vamos a resolver el problema para cubos cuya arista valga 1 cm, 2 cm y 3 cm. 쮿 Con un solo dado formamos el cubo cuya arista vale 1 cm. 쮿 Para el cubo de 2 cm de arista, necesitamos 8 dados. 쮿 Para el cubo de 3 cm de arista, necesitamos 27 dados. 2. Intentamos deducir una regla de formación a partir de los casos particulares: 쮿 El cubo de 1 cm de arista tiene 1 planta formada por 1 dado. 쮿 El cubo de 2 cm de arista tiene 2 plantas formadas por 22 dados cada una. 쮿 El cubo de 3 cm de arista tiene 3 plantas formadas por 32 dados cada una. 3. Intentamos generalizar los resultados obtenidos: Un cubo cuya arista sea de n unidades tendrá n plantas y cada una de esas plantas será un cuadrado de lado n, es decir estará formada por n2 dados. Luego, para formar el cubo de n cm de arista necesitaremos n n2 n3 dados. Otros problemas 쐌쐌 ¿Cuántos cuadrados 2 2 como el marcado en rojo puedes colorear en la figura? Escribe una expresión algebraica que exprese el número de cuadros 2 2 incluidos en una figura cuyo lado esté formado por n cuadrados. 1 84 UNIDAD 5 0S3MTLA11.05 15/2/11 12:10 P gina 85 Ejercicios y problemas Expresiones algebraicas 1 쐌 Expresa algebraicamente estos enunciados: Monomios. Operaciones con monomios 7 쐌 Indica cuál es el grado, el coeficiente y la parte literal a) El cubo de la suma de tres números. de los siguientes monomios y escribe luego un monomio semejante a cada uno de ellos: b) El producto de dos números menos el producto de sus cuadrados. c) Diez unidades menos la suma de dos números impares consecutivos. b) 3a2 a) a c) 2x3y5 d) 3 3 x 7 8 쐌 Realiza las siguientes sumas de monomios: d) La quinta parte del doble de la suma de dos números. e) El doble de un número más la quinta parte de otro. a) 5x 7x 3x c) 2 2 1 3 x x 3x2 x2 5 5 5 f) La diferencia entre el doble de un número y el triple de otro. b) x5 5x2 3x2 x5 d) 1 3 5 2 x x 2x2 3x2 3 4 g) La diferencia de los cubos de dos números. 9 쐌 Efectúa los productos: h) Cinco unidades más que el diez por ciento de un número. a) 2y2 (3y2 ) 2 쐌쐌 Escribe un enunciado para cada expresión: b) a) 2x y d) (x y) b) 2(x y) e) x2 y2 3 2 3 쐌쐌 Indica algebraicamente el perímetro y el área de cada una de estas figuras: 2x 1 c) a pendiente y el grado de cada uno de los siguientes polinomios: a d) c) 5x x6 9x8 5 4 7 d) 2x5 x3 18x2 x 2 11 쐌 Escribe un polinomio que sea: 2 a1 b) 2x3 4x4 6x a) Completo, ordenado, creciente y de grado 5. b) Incompleto, de grado 10, que tenga 2 como coeficiente del término de grado 5 y cuyo término independiente valga 0. 3a b) d) a2b 8ab (8a3 ) a) 3x2 5x 6 x4 3 2x 1 a) 1 2 2 x y 4xyz 2 Polinomios 10 쐌 Indica los términos, los coeficientes, el término inde- f) x2 y c) 兹xy2 c) 3x (5x2 ) 3x4y x 12 쐌쐌 Calcula, en cada caso, el valor de a para que el valor y 2 3x 2 3x numérico del polinomio sea el indicado: a) P(x) 3x2 x a & P(1) 9 2x x 3x 2 x5 4 쐌쐌 Comprueba la siguiente igualdad para los valores n 5 y n 10: (1 n) n 123…n 2 5 쐌쐌 Escribe la expresión algebraica que permite calcular el volumen de un cubo de arista x. Halla el volumen para x 1, x 3 y x 5. ¿Tiene sentido calcular el volumen para x 2? ¿Por qué? 6 쐌쐌 Escribe la expresión algebraica que permite calcular el precio final de un artículo que cuesta p euros después de una rebaja del 20 %. Halla el precio final para p 15 €. b) Q(x) x4 x2 x a & Q(2) 21 c) R(x) x3 2x a & R(0) 5 d) S(x) ax 5 & S(2) 11 Operaciones con polinomios 13 쐌 Realiza estas sumas y restas: a) (2x2 3x 9) (3x2 5x 2) b) (2x2 3x 9) (3x2 5x 2) c) (2x2 3x 9) (3x2 5x 2) d) (5x4 8x3 2) ( x2 5) (x4 x 3) e) 冢 2x 4x 2 冣 冢 2x 2x x 冣 1 5 3 2 1 5 5 4 2 Polinomios 85 0S3MTLA11.05 15/2/11 12:11 P gina 86 Ejercicios y problemas 14 쐌 Realiza las siguientes multiplicaciones: 20 쐌 Opera y simplifica: a) (5x2) (4x) a) (x 2 )2 (x 2 )2 b) 冢 52x 冣 冢 104 x 冣 3 b) (x 2 )2 (x 2 )2 5 c) (1 3x )2 4(4 2x )2 c) ( 3x2 2x 1) (2x 1) d) (3x 2) (3x 2) x(3 5x )2 d) (x 5x 2) (x 3x) 3 4 2 e) 3 e) (3x5 2x4 x3 5x2 7) ( 2x5 3x2 2) 15 쐌 Opera y simplifica estas expresiones: f) a) 2(x 5) 10 冢 1 1 x 2 3 冣 2 2 冢x 2 冣 冢x 2 冣 冢x 2 冣 1 1 2 1 los resultados utilizando D d c r: c) x( x3 2x 3) 3(x 1) a) ( 2x3 3x2 4x) ⬊ (x 1) d) 7(x2 2) 5x3 x 1 (x 3)(x 1) b) ( 2x5 x4 5x3 2x2 ) ⬊ (x2 1) e) (x 1) (x 1) (x 1)2 16 쐌쐌 Opera las siguientes expresiones y reduce a una sola fracción: a) x 1 2x 3 4 4 b) 2x 2x x2 3 6 c) 2 x x2 1 2x 3x2 2 3 6 c) (8x4 24x3 13x2 4x) ⬊ (x 2) d) (10x5 5x4 4x3 2x2 2x 1) ⬊ (2x 1) Factorización de polinomios 22 쐌 Utiliza las identidades notables para factorizar los siguientes polinomios: 冢 冣 1 4 5 x (x2 2) (2x 3) d) 2 3 3 17 쐌 Dados los polinomios P(x), Q(x) y R(x), realiza las operaciones indicadas: P(x) 3x 5x 1 Q(x) x 2x 3 2 3 R(x) 2x 2 2 a) P(x) Q(x) R(x) c) P(x) Q(x) R(x) b) [P(x) Q(x)] R(x) d) P(x) [Q(x) R(x)] 18 쐌 Dados P(x) x2 x 2 y Q(x) 2x2 3x 1, halla las siguientes potencias: a) [P(x)] 冣 2 21 쐌쐌 Efectúa las divisiones de polinomios y comprueba b) 5(x 2) 6(x 3) 2 冢 1 x5 3 b) [P(x)] 3 c) [Q(x)] 2 d) [Q(x)] 19 쐌 Calcula: 4 a) x2 2x 1 d) x4 2x2 1 b) 9x2 12x 4 e) x4 4x2 4 c) 25x2 20x 4 f) 1 2 1 1 x x 9 3 4 23 쐌 Factoriza los siguientes polinomios expresándolos como una suma por diferencia de monomios: a) 9x2 36 c) 4x2 b) 49 x2 d) x4 1 1 16 e) 25x2 81 f) 1 4 x x2 4 24 쐌 Comprueba que las siguientes divisiones son exactas y utilízalas para factorizar el dividendo: a) ( x3 2x2 x) ⬊ (x 1) b) ( x4 2x3 4x 4) ⬊ ( x2 2) a) (x 5 )2 g) (3x 2) (3x 2) 25 쐌쐌 Factoriza las siguientes expresiones extrayendo factor común: b) (3x 7 )2 h) ( 6x2 5x )2 a) 2x3 3x2 10x c) (x 5) (x 5) i) ( x3 5x2 )2 b) 5x3 15x 20 d) (x2 1 )2 j) (x2 1) (x2 1) c) 6x4 4x3 12x2 e) 冢 冣冢 f) 冢 5x 2冣 冣 1 1 x3 x3 2 2 7 86 UNIDAD 5 k) 冢 l) 冢2x 4 冣 2 1 x3 x 7 3 冣 2 d) 3(x 5) 5(x 5) 8(x 5) e) x2 (x2 3) 3x(x2 3) 4(x2 3) 2 f) 2 2 1 1 x x 3 3 3 0S3MTLA11.05 15/2/11 12:11 P gina 87 Ejercicios y problemas Problemas con expresiones algebraicas 26 쐌 El primero de tres números consecutivos es a 1. Calcula el producto de los tres números. 27 쐌 Luis tiene x años, y su madre, el triple que él. ¿Qué edad tendrá Luis dentro de siete años? ¿Y su madre? Resuelve el problema para x 14. 28 쐌 La altura de un rectángulo es 3 m menor que su base. ¿Cuál será la expresión de su área? Calcula el área en el caso de que la base mida 12 m. 29 쐌쐌 Escribe en lenguaje algebraico el desarrollo del siguiente juego y simplifica el resultado para explicar cómo se puede averiguar el número inicial: Piensa un número, súmale 2, multiplica el resultado por 10, divide lo que te dé entre 5, resta 4 al resultado, anota lo que obtienes finalmente. 30 쐌쐌 En un jardín hay el doble de petunias que de geranios. Si se siembran cinco geranios más y se transplanta a otro jardín una tercera parte de las petunias, ¿qué expresión refleja el total de plantas que tiene ahora el jardín? ¿Cuántas plantas habrá al final si al principio había 24 petunias? 31 쐌쐌쐌 Una clase de 3.° de ESO comienza el curso con x chicos e y chicas. A las dos semanas, María y Ana se cambian de colegio, al tiempo que cinco chicos vienen a estudiar a esa misma clase. Al mes, la clase va a visitar un museo junto con otros grupos, de manera que se dobla el número de chicos, mientras que el de chicas se incrementa en 21. En el primer turno de visita solo dejan entrar a una cuarta parte de los chicos y a un tercio de las chicas: Escribe la expresión algebraica que indica el número de chicos y chicas que entra al museo en ese turno. Evaluación Traduces un enunciado a una expresión algebraica, y viceversa 1 Escribe una expresión algebraica que traduzca los Realizas operaciones con polinomios 6 Efectúa las operaciones indicadas: P(x) 2x3 5x2 x 3 siguientes enunciados: Q(x) x2 6x 4 a) El triple de la diferencia de dos números. R(x) 4x 1 b) El cuadrado de un número impar. 2 Redacta un enunciado que se corresponda con las a) P(x) Q(x) R(x) e) 2P(x) 5R(x) siguientes expresiones: b) P(x) Q(x) f) Q2(x) c) R(x) [P(x) Q(x)] g) R3(x) d) R2(x) h) Q(x) R(x) a) 兹x y b) x2 y2 Hallas el valor numérico de una expresión algebraica 3 Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para el valor de la variable indicada: 7 Realiza la siguiente división de polinomios: (6x5 5x4 x3 6x 3) ⬊ (2x 1) a) 6x 4, para x 2. Factorizas polinomios 8 Encuentra identidades notables y úsalas para factori- y b) 2x , para x 5 e y 9. 3 zar los siguientes polinomios: c) 6x2y, para x 1 e y 0. a) x4 6x5 9x6 d) 2 兹x6 , para x 2. b) 4x6 x2 Identificas los elementos de un polinomio y calculas valores numéricos 4 Escribe un polinomio ordenado y completo de grado 5 cuyo término principal tenga por coeficiente 2 y cuyo término independiente sea 6. 1 2 3 2 5 Dado el polinomio P(x) x3 x2 x , calcula P(1), P(1) y P(0). 9 Extrae factor común en las siguientes expresiones: a) 3a3b2 6ab 12a2 b) 8x5y 4x4y4 12x3y2 4x3y 10 Utilizando la división del ejercicio 7, factoriza el siguiente polinomio: 6x5 5x4 x3 6x 3 Polinomios 87