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Polinomios
El 26 de septiembre del 2010 se celebró el gran Premio de
Singapur, la 15.ª prueba del mundial de Fórmula 1. La
carrera constaba de 61 vueltas a un circuito de 5 067 m
de longitud. Fernando Alonso, el automovilista español,
hizo una carrera espectacular que le dio la victoria, con
lo cual se situó en segunda posición del campeonato a
tan solo 11 puntos del líder, el australiano Mark Webber.
Pilotos
Tiempo
Tiempo (h)
1. Fernando Alonso
1h 57' 53"
1,964
2. Sebastian Vettel
1h 57' 55"
1,965
3. Mark Webber
1h 58' 26"
1,973
4. Jenson Button
1h 58' 27"
1,974
5. Nico Rosberg
1h 58' 43"
1,979
a) Calcula la distancia total en km que
tienen que recorrer todos los pilotos
para completar el gran Premio.
b) ¿Qué expresión algebraica nos
permite calcular la velocidad media
de los pilotos en esta carrera?
c) Halla la velocidad media de
los cinco primeros pilotos clasificados
en este gran Premio.
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Recuerda y resuelve
Qué es una expresión algebraica.
Las expresiones algebraicas se
utilizan para traducir enunciados
al lenguaje matemático.
Por ejemplo, si queremos expresar
«el doble de la suma de un número
más seis», utilizaríamos números
y letras combinados mediante
operaciones matemáticas.
La expresión algebraica sería:
2 (n 6)
1 Si designamos un número cualquiera por x, escribe una expresión para:
a) El triple del número.
b) Una quinta parte de x.
c) La mitad del cuadrado de ese número.
2 Relaciona en tu cuaderno cada enunciado con su expresión algebraica:
I) 2n 1
a) Un número par
II) x, x 1
b) Un número impar
c) Un número y el que le sigue
III) 3a
d) El triple de un número
IV) 2z
Qué es un monomio.
Un monomio es el producto de
un número (coeficiente) por una
o más indeterminaciones elevadas a
exponentes naturales (parte literal).
El grado de un monomio es la suma
de los exponentes de la parte literal.
Así, el coeficiente de 4x5 es 4; su
parte literal, x5 , y su grado, 5. O bien,
el coeficiente de xy2 es 1; su parte
literal, xy2 , y su grado, 1 2 3.
Dos monomios son semejantes si
tienen la misma parte literal.
3 Indica el coeficiente, la parte literal y el grado de cada monomio:
a) 2x3
d) 10y7
b) x6
e) 62m3
c) 3x2y3
f)
1
mn2
4
4 Indica cuáles de los siguientes monomios son semejantes:
5x2, 4y, 5p2, 2y5, 12x5, 9y, x2
Cómo se opera con monomios.
Para sumar, o restar, dos monomios
semejantes, se suman o se restan los
coeficientes y se deja la misma parte
literal:
7x4 9x4 16x4; 6y3 11y3 5y3
Las propiedades de las operaciones
con potencias son:
am an amn; am ⬊ an amn
(k am )n kn amn; a0 1; a1 a
Para multiplicar o dividir dos
monomios, se multiplican o se dividen
sus coeficientes y sus partes literales:
7x2 (5x3) 35x23 35x5
4 x2
2
(4x ) ⬊ (2x) 2x
2 x
5 Reduce, cuando sea posible, las siguientes expresiones a un solo
monomio:
a) 9y3 11y3
b) x2 5x2
c) 3x2 2x
6 Opera y simplifica estas potencias:
a) x2 x4
d) a4 a 2
b) z4 ⬊ z5
e) y9 ⬊ y2
c) (2a2 )5
f) ((45 ) 2 )2
7 Opera y simplifica:
a) 6x4 3x2
d) 2y5 (4y4 )
b) − x7 9x
e) (2x4 )3
c) (6x3 ) ⬊ (3x)
f) (3x2 ) ⬊ (2x)
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Expresiones algebraicas
Observa y resuelve
Observa las siguientes situaciones:
a) Ángel y Rocío deciden repartir mensualmente la paga a sus hijos de la
siguiente manera: 2 € al mes por cada año de su edad actual. ¿Cómo podría
cada uno de sus hijos saber la paga total mensual que le corresponde?
b) Un profesor de Educación Física cronometra a sus alumnos mientras corren
100 metros. ¿Cómo podrá determinar a qué velocidad han realizado la
prueba sus alumnos?
c) Una persona construye en su casa una piscina de fondo circular. ¿Cómo
podría calcular cuántos litros de agua necesitará para llenarla?
Las expresiones que permiten resolver las situaciones anteriores son:
a) Paga mensual 2n, donde n es la edad de cada hijo.
b) Velocidad 100/t; donde t es el tiempo en segundos de cada alumno.
c) Volumen r2h, donde r es el radio, y h, la altura en dm de la piscina.
Recuerda
Cuando en una expresión algebraica
dos letras, o un número y una letra,
están juntos sin ningún signo intermedio, significa que se están multiplicando. Así:
Una expresión algebraica es una combinación de operaciones aritméticas en
las que intervienen números y letras. Las letras se denominan variables o
indeterminadas.
E J E R C I C I O S R E S U E LT O S
ab significa «a por b»
1
2x significa «2 por x»
a) La mitad de la suma de dos números enteros consecutivos.
Traduce al lenguaje algebraico los siguientes enunciados:
n (n 1)
, donde n es el primer número.
2
b) El precio de una camiseta que ha sido rebajada un 20 %.
0,8p, donde p es el precio inicial.
1.1. Valor numérico de una expresión algebraica
¿Cuántos litros de agua necesitaremos para llenar una piscina que tiene
30 dm de profundidad y 50 dm de radio?
Tan solo tenemos que sustituir los valores en la fórmula:
V r2h 502 30 235 619 L
El valor numérico de una expresión algebraica para determinados valores de
las variables es el resultado de sustituir las variables por su valor y realizar las
operaciones indicadas.
E J E R C I C I O S R E S U E LT O S
2
Calcula el valor numérico para cada una de las expresiones del ejercicio
resuelto anterior para n 10 y p 25.
a)
10 (10 1)
10,5
2
b) 0,8 25 20
74 UNIDAD 5
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Actividades
1 쐌 Escribe la expresión algebraica correspondiente a
cada uno de los siguientes enunciados:
a) La mitad de la diferencia de dos números.
b) Un tercio de un número.
c) La suma del cubo de un número más cinco.
d) El siguiente de un número natural.
6
쐌 Halla en cada caso el valor numérico para x 3:
a) x 5
c) x2 1
e) 3x x2
b) 2x 6
d) 5(x 5)
f) (1 x)2
쐌 Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas para cada uno de los valores dados:
7
e) La suma de dos números impares consecutivos.
a) x3 2x2 2x 1, para x2, x 1, x 0 y x 2.
f) El producto de dos números pares consecutivos.
b)
1
5x 1
, para x 1, x y x 0.
2x
5
a) El espacio recorrido por un coche que se desplaza a una
velocidad constante v durante un tiempo t.
c)
2(x 3) 1 2x
, para x 2 y x 1.
2
5
b) El perímetro de un cuadrado de lado x.
8
c) La hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos
son a y b.
a) x y, para x 3 e y 5.
d) El área de un rectángulo que tiene por lados n y p.
b) 2x y3 3z, para x 1, y 2 y z 2.
쐌 Asocia cada uno de los siguientes enunciados con
una expresión algebraica de las indicadas abajo:
c) a2 3a b2, para a
a) La quinta parte de la suma de un número y el triple de
su cuadrado.
9
2
쐌 Escribe la expresión que permite calcular:
3
b) La suma de la quinta parte de un número y el triple de
su cuadrado.
c) El doble de la suma de un número al cuadrado y otro
número.
d) La suma del doble de un número al cuadrado y otro
número.
x 3x2
5
쐌 Escribe la expresión algebraica que permite hallar lo
indicado en cada apartado y después calcúlala para el valor
dado:
a) El volumen de un cubo de arista x, para x 1 m.
b) La velocidad media de un coche que recorre s km en t
min, para s 30 km y t 25 min.
c) El perímetro de un rombo de lado a, para a 3 cm.
10 쐌쐌 La familia de María gasta mensualmente una quinta
f) La suma de los cubos de dos números.
쮿
1
y b 3.
2
d) El área de un círculo que tiene por radio r, para r 2 dm.
e) El cubo de la suma de dos números.
쮿 x3 y3
쐌 Averigua en cada caso el valor numérico de estas
expresiones algebraicas para los valores indicados:
쮿 (x y)3
쮿 2x2 y
쮿 2( x2 y)
쮿
1
x 3x2
5
쐌쐌 Escribe un enunciado para cada una de las siguientes expresiones algebraicas:
4
parte de sus ingresos en alimentación, la mitad del resto en
pagar préstamos al banco y 300 € en otros gastos. Escribe
una expresión que indique los gastos mensuales de la familia.
Si los ingresos de la familia de María son de 2 500 €, ¿a cuánto
ascienden los gastos?
a) x y
d) x2 y2
g) x2 y2
쐌쐌쐌 Encuentra la expresión algebraica del área y del
perímetro de cada una de estas figuras. Después halla su
valor para a 5 cm, b 4 cm y h 2 cm.
b) x y
e) (x y)2
h) 2x2
a)
c) (x y)2
f) 3x 2y2
i) (3x 2y)2
쐌
Indica la expresión algebraica que permite contestar a la pregunta planteada en cada caso:
11
5
b)
a) Si una camiseta cuesta p euros, ¿qué precio tienen 3 camisetas con el 20 % de descuento?
b) Si ahora tienes y años, ¿qué edad tendrás dentro de
6 años? ¿Y qué edad tenías hace 4 años?
c)
c) La entrada a un parque temático cuesta x euros, y montar en cada atracción, y euros; ¿cuánto te gastarías si
montas en 5 atracciones?
Polinomios
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2
Notación de un polinomio
Un polinomio se suele designar
por una letra mayúscula seguida
de las variables entre paréntesis.
Polinomios
Observa las siguientes expresiones algebraicas:
2x 5y
5x2 2x 1
4ab a
2
7z3 z2 8
5
Todas las expresiones están formadas por sumas y/o restas de monomios.
Ejemplos:
P(x) 2 x2 3
Un polinomio es la suma de dos o más monomios no semejantes. Cada uno
de estos monomios se llama término.
Q(a, b) 3ab4 4ab
Así, por ejemplo:
x2 3x 6 es un polinomio.
Sin embargo,
1
兹x
2
3
兹x2 no es un polinomio.
3
x
쮿 Se define el grado de un polinomio como el mayor de los grados de sus
términos.
쮿 El monomio de mayor grado se denomina término principal, y el de grado
0, término independiente.
쮿 Al polinomio con dos términos se le denomina binomio.
E J E R C I C I O S R E S U E LT O S
3 Dados los siguientes polinomios, determina el grado, el término principal
y el término independiente.
Polinomio
Grado
Término
principal
Término
independiente
3ab2 4a b
3
3ab2
0
4x2 5x 1
2
4x2
1
Polinomios ordenados
Si los términos de un polinomio figuran en orden creciente, o decreciente, de sus grados, se dice que
es un polinomio ordenado.
Son ejemplos de polinomios ordenados los siguientes:
2.1. Valor numérico de un polinomio
Observa el siguiente polinomio:
P(x) 3x2 2x 1
Si sustituimos la x por 2, obtendremos el valor numérico del polinomio:
P(x 2) 3 22 2 2 1 15
P(x) x4 3x3 x 1
Q(x) 3 6x 3x4
El valor numérico de un polinomio, para x a, es el número que resulta al
sustituir la variable x por el valor a.
Polinomios completos
Cuando un polinomio tiene términos de todos los grados intermedios entre el término principal
y el independiente, recibe el nombre de polinomio completo.
E J E R C I C I O S R E S U E LT O S
4
Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios para los valores
indicados.
a) P(x) 3x3 2x2 1 , para x 1.
P(1) 3 (1)3 2 (1)2 1 4
Un polinomio ordenado y completo es, por ejemplo, este:
b) Q(x, y) 2x2y 3xy 5y, para x 1 e y 2.
x4 3x3 2x2 x 1
Q(1, 2) 2 12 2 3 1 2 5 2 12
76 UNIDAD 5
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Actividades
12 쐌 Escribe un polinomio de grado 6 que tenga cinco tér-
minos, el coeficiente del término de grado 2 igual a 1 y
como término independiente 0.
13 쐌 Ordena de forma creciente los términos de los si-
guientes polinomios:
18 쐌 Calcula los valores numéricos de estos polinomios
para los valores que se indican:
a) P(x) 5x3 3x2 3x 1, para x 1 y x 1.
b) Q(x) x4 x2 5x 3, para x 0 y x 3.
c) R(x) 3x2 5x 2, para x 2 y x 3.
a) P(x) 5x2 4x5 3x 2x4 x3 8
d) S(x) 5x2 4, para x 2 y x 1.
b) Q(x) 5x3 x2
19 쐌쐌 Asocia cada polinomio con un valor de la variable
c) R(x) 5x4 8x6 x3 3
14 쐌 Ordena de forma decreciente los términos de los poli-
nomios e indica después los términos, el término independiente y el grado:
2
a) P(x) x3 x2
3
y con su valor numérico para dicho valor:
1. P(x) 3x2 2x 1
2. P(x) 2x3 x2 x 2
3. P(x) 2x3 5x2 x 2
4. P(x) 5x2 2
b) Q(x) 3x4 3x 2x3 1
3 2
c) S(x) x2 5x7 8x5
2 3
15 쐌 Contesta a las siguientes indicaciones:
a) Polinomio cuyos términos están escritos en orden creciente de sus grados.
I)
x0
II)
x2
III) x 1
IV) x 3
a) 2
b) Determina qué representa el número 2 en el polinomio
P(x) 3x2 8x 1.
b) 20
c) Lo son los monomios que tienen la misma parte literal.
d) 98
d) Polinomio con dos términos.
c) 6
20 쐌 Indica cuáles de las siguientes expresiones algebrai-
e) Monomio de grado 0 de un polinomio.
f) ¿Qué nombre reciben los números 3, 8 y 1 en el polinomio P(x) del apartado b)?
cas son polinomios y, en caso de que no lo sean, explica por
qué:
a) 5x3 2x
g) Polinomio al que no le falta ningún término.
16 쐌 Indica si está completo cada uno de estos polinomios
y, en caso contrario, señala qué términos le faltan:
a) A(x) 5x 3x 2x 8x 2 x x
3
6
2
4
5
1
b) B(x) 8x3 x2 5x
5
c) C(x) 3x4 7x2 4 x3
쐌 Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios para el valor dado en cada caso:
17
b)
5
3x2 x
x
2
c) 5x3 x2 x
5
21 쐌
¿Cuántos términos tiene un polinomio completo
de grado 3? ¿Y uno de grado 4? ¿Y uno de grado 15? ¿Y si el
grado es n?
22 쐌쐌 Contesta si las siguientes afirmaciones son verdade-
ras o falsas y razona tu respuesta:
a) P(x) 2x2 3, para x 1.
a) Un polinomio completo siempre está ordenado.
b) P(x) x3 2x 1, para x 0.
b) Un polinomio ordenado tiene que tener término independiente.
1
c) P(x) 8x2 3, para x .
2
c) Un polinomio no puede tener el mismo valor numérico
para dos valores distintos de la variable.
1
d) P(x) x2 3x 3, para x 2.
2
d) Un polinomio no puede tener dos valores numéricos
distintos para un mismo valor de la variable.
2
1
e) P(x) x3 3x , para x 3.
9
3
e) El polinomio P(x) 3x3 2x2 x es un polinomio incompleto.
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3
Operaciones con polinomios
3.1. Suma y resta de polinomios
Para sumar dos polinomios, sumamos sus monomios semejantes y dejamos indicadas las sumas
de los monomios no semejantes.
Te n e n c u e n t a
+
Q(x) P(x) 3x3 4x2 3x
P(x) Q(x) 2x2 5x 1
P(x) Q(x) 3x3 2x2 2x 1
El opuesto de un polinomio es el resultante de cambiar los signos a todos sus
coeficientes.
Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo a todos los
términos del polinomio que están
dentro del paréntesis. Por ejemplo:
Así, el polinomio opuesto de Q(x) 2x2 5x 1 es Q(x) 2x2 5x 1.
3 (2x2 3) 3 2x2 3
Para restar dos polinomios, se suma al primero el opuesto del segundo.
+
Q(x) P(x) 3x3 4x2 3x
P(x) Q(x) 2x2 5x 1
P(x) Q(x) 3x3 6x2 8x 1
Actividades
23 쐌 Dados los siguientes polinomios, realiza las sumas
indicadas:
con coeficientes racionales:
P(x) 2x3 5x2 2x 1
Q(x) x2 x 3
R(x) 5x 6x 2x 3x 4
S(x) 3x 1
4
27 쐌쐌 Realiza las siguientes operaciones de polinomios
3
2
a)
冢 2x 3x 2冣 冢 2x 3x 1冣
b)
冢 2x 3x 2冣 冢 2x 3x 1冣
c)
冢 5x 2x 3冣 冢2x 5x 冣
d)
冢 5x 2x 3冣 冢2x 5x 冣
e)
冢 8x 2x 4 冣 冢4x 8x 4 冣 冢x 8 冣
2
a) Q(x) S(x)
c) Q(x) R(x)
e) P(x) Q(x) R(x)
b) P(x) R(x)
d) P(x) Q(x)
f) P(x) Q(x) S(x)
24 쐌 Dados los siguientes polinomios, efectúa las operacio-
nes indicadas:
P(x) 2x2 5x 3
Q(x) 5x2 2
R(x) 3x2 x 4
3
3
2
2
2
2
3
3
1
1
1
4
2
1
4
2
1
3
1
3
1
1
2
2
a) P(x) Q(x)
g) P(x) Q(x) R(x)
b) P(x) Q(x)
h) Q(x) R(x) P(x)
c) P(x) R(x)
i) P(x) Q(x) R(x)
d) P(x) R(x)
j) P(x) [Q(x) R(x)]
e) Q(x) R(x)
k) Q(x) [P(x) R(x)]
para obtener cada uno de los siguientes?
f) Q(x) R(x)
l) P(x) [Q(x) R(x)]
a) 3x2
c) 4x
e) 5
b) 3x2
d) 0
f) 5x2 x 3
25 쐌 Realiza las operaciones, teniendo en cuenta que los
polinomios no están completos:
3
2
5
3
1
2
3
1
2
1
28 쐌쐌 ¿Qué polinomio se debe sumar a P(x) 3x2 4x 5
29 쐌쐌 ¿Qué polinomio se resta a Q(x) 2 x4 x3 3x2 5
a) ( 5x 6x 4) (2x 3x 2x 1)
para obtener cada uno de los siguientes polinomios?
b) (5x4 6x 4) (2x4 3x2 2x 1)
a) x4 5x3
c) 0
e) 5x4 2x
c) (2x 5) (8x3 2x2 5x)
b) 2x4 8
d) x3 x
f) 10x 9
4
4
2
d) (5x5 7x3 2) (8x4 3x3 x) (2x 5)
26 쐌 Efectúa estas operaciones, teniendo en cuenta que
los polinomios no están ordenados:
a) (9x x2 3x4 1) (5 2x3 3x)
b) (8x x6 4x3 ) (3x2 7x x2 )
78 UNIDAD 5
30 쐌쐌쐌
Copia y escribe los elementos que faltan:
a) P(x) 앮x 5x3 x2 앮 x 6
4
Q(x) 앮x3 5x2 5
P(x) Q(x) 3x4 x3 앮 x2 4x 앮
b) A(x) x5 앮 x4 앮 x3 3x 4 B(x) 앮x5 2x3 3x2 2x 앮
A(x) B(x) 7x5 2x4 x3 앮 x2 앮x 12
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3.2. Producto de polinomios
Potencias de polinomios
Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio del primer polinomio por cada uno de los monomios del otro y después se suman los términos semejantes.
Las potencias de un polinomio son
un caso particular de la multiplicación de polinomios. Veamos un
ejemplo:
E J E R C I C I O S R E S U E LT O S
5
Calculemos 冤P(x)冥 3 , siendo P(x) x2 1
Multiplica P(x) Q(x) siendo P(x) 4x 2 y Q(x) x3 3x2 2x 1 .
Vamos a resolverlo de dos formas distintas:
冤P(x)冥 3 (x2 1)3 (x2 1) (x2 1) (x2 1) ( x2 1) (x4 x2 x2 1) ( x2 1) ( x4 2 x2 1) x6 2 x4 x2 x4 2 x2 1 x6 3x4 3 x2 1
Método 1:
P(x) Q(x) (4x 2) (x 3x 2x 1) 4x (x3 3x2 2x 1) 2 (x3 3x2 2x 1) 4x4 12x3 8x2 4x 2x3 6x2 4x 2 4x4 14x3 14x2 8x 2
3
2
Método 2:
P(x) x3 3x2 2x 1
Q(x) 4x 2
2 P(x) &
4x P(x) &
P(x) Q(x) &
2x 6x 4x 2
3
2
4x4 12x3 8x2 4x
4x4 14x3 14x2 8x 2
Actividades
31 쐌 Realiza las siguientes multiplicaciones de un mono-
mio por un polinomio:
faltan en la siguiente multiplicación:
a) 2( x3 2x2 5x 3)
d) x(x3 2x2 5x 3)
b) 2x(x3 2x2 5x 3)
c) 2x2 (x3 2x2 5x 3)
c)
冢
冣冢 冣
1 3
5
x 2x 3 x2
5
3
33 쐌쐌 Copia en tu cuaderno y completa los elementos que
f)
冢 冣 冢
4
3
27
x x2 x 3
2
9
6
3x3 앮 x2 x 4
앮x
冣
a) (5x 1) (2x 4)
2
앮x
15x
앮 x4
25x3
5x2
20x
앮x
앮
앮 x
앮
4
32 쐌쐌 Efectúa estas multiplicaciones de polinomios:
앮x 앮
ⴛ
3
3
x
2
앮
x 12
34 쐌쐌 Realiza las operaciones y simplifica:
a) 2(x 3) 5(x 3)
b) (3x2 1) (3 x)
b) (x 1) (x 3) (2x 1) (x 3)
c) (2 x) (x2 3x 1)
c) 5x(x3 1) (x4 2x2 3) (2x3 )
d) (2x 3) (x3 3x 2)
d) (6x2 3x) (x2 2) (2x2 1) (x2 4)
e) ( 3x3 3x 2) (x 1)
e) [(x2 2x 3) (x2 2x 3)] (x2 x)
f) (3x 2) (x3 x2 2x 1)
f) [(7x3 2x2 ) (5x3 2x2 )] (x4 3)
g) (x3 2x2 3x 5) (x2 5x)
35 쐌 Dados los polinomios A(x), B(x) y C(x), realiza las ope-
h) (x 1) (x 4) (x 3)
raciones indicadas:
i) (1 x) (1 x2 ) (1 x3 )
A(x) 3x2 x 1
B(x) 5x2 2x
C(x) x 3
j) (2x 3x 2) (5x 1 3x )
a) 2A(x) B(x) C(x)
d) [A(x) C(x)] B(x)
k) (5x 3x 2) (5x 3x 2)
b) A(x) [B(x) 3C(x)]
e) 2A(x) [B(x) C(x)]
l) (x 3x 2) (5x 3x 2)
c) A(x) B(x) C(x)
f) C(x) [A(x) B(x)]
2
2
2
3
2
2
m) (x4 2x2 1) (x3 x 1)
n) (3x3 2x2 2x 7) (4x5 1)
36 쐌 Calcula los siguientes cubos:
a) (x 1)3
b) (x 2)3
c) (2x 1)3
d) (3x 2)3
Polinomios
79
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12:09
P gina 80
3.3. Identidades notables
Observa y resuelve
¿Cómo se puede expresar
con un polinomio el área
de este cuadrado?
El lado del cuadrado mide a b;
por tanto, su área será (a b)2 . Si
te fijas en la figura, verás que:
(a b) a 2ab b
2
2
a
Supongamos que tenemos dos monomios, A y B, y queremos calcular el cuadrado de la suma, (A B)2 , y el cuadrado de la diferencia, (A B)2 , de esos
monomios.
a) ¿Qué resultado obtendrías?
b) ¿Puedes simplificar este resultado?
2
Realizamos los productos:
b
(A B)2 (A B) (A B) A A A B B A B B A2 2AB B2
(A B)2 (A B) (A B) A A A B B A B B A2 2AB B2
a2
ab
El cuadrado de la suma de dos monomios es igual al cuadrado del primero
más el doble del producto del primero por el segundo más el cuadrado del
segundo:
a
(A B)2 A2 2AB B2
b2
ab
b
E J E R C I C I O S R E S U E LT O S
¿Cómo se puede expresar
con un polinomio el área
del cuadrado azul?
6
Calcula (3x2 2x5 )2 .
(3x2 2x5 )2 (3x2 )2 2 3x2 2x5 (2x5 )2 9x4 12x7 4x10
El lado del cuadrado azul mide
a b; por consiguiente, su área será (a b)2 . Fíjate ahora en la figura
y verás que:
(a b)2 a2 2ab b2
El cuadrado de la diferencia de dos monomios es igual al cuadrado del
primero menos el doble del producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo:
(A B)2 A2 2AB B2
a
b
E J E R C I C I O S R E S U E LT O S
7
Calcula (2x x3 )2 .
(2x x3 )2 (2x)2 2 2x x3 (x3 )2 4x2 4x4 x6
(a b)2
a
ab
Observa y resuelve
ab
b2
b
Queremos calcular ahora el producto de la suma de dos monomios por su diferencia, es decir, (A B) (A B). ¿Qué obtenemos?
Realizamos el producto:
(A B) (A B) A A A B B A B B A2 B2
La suma de dos monomios por su diferencia es igual a la diferencia de sus
cuadrados:
(A B) (A B) A2 B2
E J E R C I C I O S R E S U E LT O S
8
Calcula (7x5 2x6 ) (7x5 2x6 ) .
(7x5 2x6 ) (7x5 2x6 ) (7x5 )2 (2x6 )2 49x10 4x12
80 UNIDAD 5
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12:10
P gina 81
Actividades
37 쐌 Utiliza las identidades notables para calcular los
44 쐌쐌쐌 Expresa como producto de dos factores:
siguientes cuadrados de binomios:
1
4
f) (5x 1)
a) 4x2 12x 9
d) x2 x
g) (x2 4y)2
b) x2 625
e) x4 8x2 16
c) (2x 3)2
h) (x2 4y)2
c) 25x2 10x 1
f) 9x4 1
d) (2x 3)2
i) (3x2 5x3 )2
e) (5x 1)
j) (2x 3x)
a) (x 2)
2
b) (x 2)
2
2
2
2
45 쐌쐌
Copia en tu cuaderno y completa estas expresiones, sabiendo que se trata de identidades notables:
2
38 쐌쐌 Utiliza las identidades notables para calcular estos
cuadrados de binomios:
a)
冢
1
2x5 x3
7
冣
b)
冢
1 4 2 3
x x
3
5
c)
冢
3 2 2 3
x x
2
3
d)
冢
1 2 2
x x
2
3
2
冣
2
冣
冣
a) (앮 앮 )2 36x2 12x 앮
b) (앮 앮 )2 x4 9 앮
c) (앮 5 )2 4x2 앮x 앮
2
d) (2x4 앮 )2 앮 앮 81
2
e) (앮 앮) (앮 앮) x6 49
f) (앮 3) (앮 3) 16x2 앮
39 쐌 Utiliza las identidades notables para calcular las
siguientes multiplicaciones de binomios:
46 쐌 Halla el valor numérico de las siguientes expresiones
a) (x 1) (x 1)
d) (2x2 5) (2x2 5)
para x 3 e y 2 y empareja las que den el mismo resultado.
¿Qué observas?
b) (x 3) (x 3)
e) (4x2 3) (4x2 3)
a) (x y )2
f) x2 y2
c) (3x 1) (3x 1)
f)
b) 4(x y)
g) x2 2xy y2
c) (x y )2
h) x2 y2
d) (x y) (x y)
i) x2 2xy y2
e) (5x2 y2 ) 4x2
j) 4x 4y
冢
冣冢
3
3
x 3x2 x 3x2
2
2
冣
40 쐌쐌 Calcula:
a) (x 1)2 y (1 x)2
b) (3x2 x)2 y (x 3x2 )2
2
c) (x 2y) y (2y x)
47 쐌 Expresa con un polinomio el área de cada una de
estas figuras:
2
a)
x1
¿Podrías sacar alguna conclusión a la vista de los resultados
que has obtenido? Justifícala.
x1
de una suma de dos monomios:
b)
a) x 2x 1
d) x 2xy y
b) x 4x 4
e) 4x2 4x 1
c) x2 6x 9
f) 9x2 12x 4
2
2
2
2
42 쐌쐌 Expresa estos polinomios como el cuadrado de la
diferencia de dos monomios:
a) x2 10x 25
d) x2 2xy y2
b) 4x2 4x 1
e) 25x2 10x 1
c) 9x2 12x 4
f) 4x2 8x 4
43 쐌쐌 Expresa los siguientes binomios como la suma de
dos monomios por su diferencia:
x2
41 쐌쐌 Expresa los siguientes polinomios como el cuadrado
x2
48 쐌
Copia y completa las siguientes expresiones para
que sean el cuadrado de un binomio:
a) x2 2x 앮
c) x2 6x 앮
b) 4x2 앮 25
d) 앮x2 4x 1
49 쐌쐌 Desarrolla los productos y simplifica el resultado:
a) (x2 2x)2 (x2 2x)2
b) 4(x2 2x) (2x2 2x) (2x2 2x)
c) (2x3 x)2 (4x6 x2 )
a) x2 4
d) 9x2 49
b) x2 25
e) 16 x2
d) (2x2 3x5 )2 (3x3 2x) (7x 1)
c) 4x2 100
f) 64 36x2
e) 3[(x 1)2 x2 ] (3x3 )2
Polinomios
81
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P gina 82
3.4. División de polinomios
División de un polinomio entre un monomio
Grados de los polinomios que
intervienen en una división
Para dividir un polinomio entre un monomio, se divide cada término del
polinomio entre el monomio.
Al dividir polinomios, hay que tener
en cuenta que:
쮿 El grado del dividendo tiene que
ser mayor o igual que el grado del
divisor.
E J E R C I C I O S R E S U E LT O S
9
쮿 El grado del resto ha de ser menor que el del divisor.
Calcula (9x6 3x5 6x2 ) ⬊ (3x2 ).
( 9x6 3x5 6x2) ⬊ ( 3x2) ( 9x6) ⬊ (3x2 ) (3x5 ) ⬊ ( 3x2 ) (6x2 ) ⬊ (3x2 ) 3x4 x3 2
쮿 El grado del cociente es la diferencia entre el del dividendo y el
del divisor.
División entera de polinomios
La división entera de polinomios es similar a la división entera de números reales. Observa cómo se divide P(x) 3 x5 5 x4 4 x2 3x 1 entre
Q(x) x2 2x:
1. Se comprueba que ambos polinomios están ordenados y se
deja un espacio donde falte un
término de algún grado.
Actividades
2. Se divide el término principal
50 쐌 Realiza las siguientes divisiones:
a) (2x 6) ⬊ 2
del dividendo entre el término
principal del divisor:
3x5 5x4
4x2 3x 1
x2 2x
3x5 5x4
4x2 3x 1
x2 2x
3x3
3x5 5x4
3x5 6x4
x4
4x2 3x 1
x2 2x
3x3
3x5 ⬊ x2 3x3
b) ( 2x5 5x7) ⬊ x2
Este resultado es el primer término del cociente.
c) ( 5x4 x3 15x) ⬊ 5x
51 쐌 Efectúa estas divisiones de po-
linomios:
3. Se multiplica 3x3 por cada término del divisor, y el resultado
se le resta al dividendo.
a) (2x 5x 3) ⬊ (x 3)
4x2 3x 1
2
b) (2x4 3x3 2x 8) ⬊ (2x 3)
4. Se repite el proceso hasta que
c) (10x3 2x2 5x) ⬊ (2x2 3)
el polinomio obtenido tenga
un grado menor que el divisor.
d) (9x4 3x3 x2 ) ⬊ (3x 1)
52 쐌 Divide los polinomios indica-
dos y comprueba el resultado utilizando la expresión D d c r.
a) D(x) x9 x7 x5 x3 x2 1
y d(x) x2 1
b) D(x) 2x5 4x4 7x3 2x2
d(x) 2x3 x
y
53 쐌쐌 Calcula el resto de una divi-
sión de la que conoces el dividendo, D(x); el divisor, d(x); y el cociente, C(x):
쮿 D(x) 3x3 4x2 2x
쮿 d(x) 3x x
2
쮿 C(x) x 1
82 UNIDAD 5
3x5 5x4
4x2 3x 1
3x5 6x4
4x2 3x 1
x4
x4 2x3
2x3 4x2 3x 1
2x3 4x2
3x 1
x2 2x
3x3 x2 2x
En la división de polinomios se cumple que el dividendo, D(x), es igual al
producto del divisor, d(x), por el cociente, C(x), más el resto, r(x):
D(x)
r(x)
d(x) & D(x) d(x) C(x) r(x)
C(x)
E J E R C I C I O S R E S U E LT O S
10 Comprueba en la división del ejemplo anterior que se cumple que
D(x) d(x) C(x) r(x).
Dividendo: D(x) 3x5 5x4 4x2 3x 1; Divisor: d(x) x2 2x; Cociente:
C(x) 3x3 x2 2x; Resto: r(x) 3x 1.
d(x) C(x) r(x) (x2 2x) (3x3 x2 2x) (3x 1) 5
(3x x4 2x3 6x4 2x3 4x2 ) (3x 1) 3x5 5x4 4x2 3x 1
0S3MTLA11.05
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4
12:10
P gina 83
Factorización de polinomios
Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios de
menor grado.
Factorizar mediante identidades
Piensa y deduce
Observa las siguientes expresiones:
A(x) x2 4
B(x) x4 x2
C(x) x2 8x 16
¿Cómo podrías transformar estas sumas en productos?
Cuando un polinomio sea el resultado de desarrollar una identidad notable,
se puede volver a dicha identidad y así factorizar el polinomio:
A(x) x2 4 (x 2) (x 2)
B(x) x4 x2 (x2 x) (x2 x)
C(x) x2 8x 16 x2 2 4x 42 (x 4)2
La división exacta
Observa ahora esta división exacta de polinomios:
2x3 5x2 2x
2x3 x2
4x2 2x
4x2 2x
0
2x 1
x2 2x
La división es exacta cuando el resto es 0, por lo que:
Dividendo Divisor Cociente
Por consiguiente: 2x3 5x2 2x (2x 1) (x2 2x).
Cuando un polinomio puede ser dividido de forma exacta, se puede factorizar
así:
Dividendo Divisor Cociente & D(x) d(x) C(x)
Actividades
54 쐌 Identifica identidades notables
y factoriza:
a) x8 4x6 4x4
b) x6 6x4 9x2
c) 9x4 x2
Sacar factor común
Observa que en el polinomio P(x) 12x5 6x3 10x2 todos los términos
contienen la expresión 2x2:
P(x) 2 6 x2 x3 2 3 x2 x 2 5 x2
Por tanto, es posible extraer este factor común a todos los términos del
polinomio y escribir:
P(x) 2x2 (6x3 3x 5)
Extrae factor común en los polinomios.
a) A(x) 9xy8 12x5y3 3x2
A(x) 3x (3y8 4x4y3 x)
(x3 3x2 x 3) ⬊ (x 3)
Utiliza el resultado para factorizar el
dividendo.
56 쐌 Saca factor común:
a) 12x6 6x2y
b) 24x2y 2x3y4
E J E R C I C I O S R E S U E LT O S
11
55 쐌 Divide la expresión:
b) B(x) 3x2 4x3 x
B(x) x (3x 4x2 1)
c) 15x4 5x2 5
d) 18x3 6x2 3x
e) a2b2c2 ab2 b2c
Polinomios
83
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15/2/11
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P gina 84
Estrategias para resolver problemas
Resolver casos particulares
Una
Unaforma
formade
deafrontar
resolver un
un
problema
problema
es buscar
es resolver
todos
casoslosparticulares
casos posibles.
que te
permitan generalizar hasta
conseguir tu objetivo.
Problema
A partir de dados de 1 cm de arista queremos formar cubos cuya arista mida 1 cm,
2 cm, 3 cm, … Encuentra una expresión algebraica que indique el número de
dados necesarios para formar cada cubo en función de la medida de su arista.
Resolución
1. Vamos a resolver el problema para cubos cuya arista valga 1 cm, 2 cm y 3 cm.
쮿 Con un solo dado formamos el cubo cuya arista vale 1 cm.
쮿 Para el cubo de 2 cm de arista, necesitamos 8 dados.
쮿 Para el cubo de 3 cm de arista, necesitamos 27 dados.
2. Intentamos deducir una regla de formación a partir de los casos particulares:
쮿 El cubo de 1 cm de arista tiene 1 planta formada por 1 dado.
쮿 El cubo de 2 cm de arista tiene 2 plantas formadas por 22 dados cada una.
쮿 El cubo de 3 cm de arista tiene 3 plantas formadas por 32 dados cada una.
3. Intentamos generalizar los resultados obtenidos:
Un cubo cuya arista sea de n unidades tendrá n plantas y cada una de esas
plantas será un cuadrado de lado n, es decir estará formada por n2 dados. Luego,
para formar el cubo de n cm de arista necesitaremos n n2 n3 dados.
Otros problemas
쐌쐌 ¿Cuántos cuadrados 2 2 como el marcado en rojo puedes colorear en la figura? Escribe una expresión algebraica que
exprese el número de cuadros 2 2 incluidos en una figura cuyo
lado esté formado por n cuadrados.
1
84 UNIDAD 5
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12:10
P gina 85
Ejercicios y problemas
Expresiones algebraicas
1 쐌 Expresa algebraicamente estos enunciados:
Monomios. Operaciones con monomios
7 쐌 Indica cuál es el grado, el coeficiente y la parte literal
a) El cubo de la suma de tres números.
de los siguientes monomios y escribe luego un monomio
semejante a cada uno de ellos:
b) El producto de dos números menos el producto de sus
cuadrados.
c) Diez unidades menos la suma de dos números impares
consecutivos.
b) 3a2
a) a
c) 2x3y5
d)
3 3
x
7
8 쐌 Realiza las siguientes sumas de monomios:
d) La quinta parte del doble de la suma de dos números.
e) El doble de un número más la quinta parte de otro.
a) 5x 7x 3x
c)
2 2 1
3
x x 3x2 x2
5
5
5
f) La diferencia entre el doble de un número y el triple de
otro.
b) x5 5x2 3x2 x5
d)
1 3 5 2
x x 2x2 3x2
3
4
g) La diferencia de los cubos de dos números.
9 쐌 Efectúa los productos:
h) Cinco unidades más que el diez por ciento de un número.
a) 2y2 (3y2 )
2 쐌쐌 Escribe un enunciado para cada expresión:
b)
a) 2x y
d) (x y)
b) 2(x y)
e) x2 y2
3
2
3 쐌쐌 Indica algebraicamente el perímetro y el área de
cada una de estas figuras:
2x 1
c)
a
pendiente y el grado de cada uno de los siguientes polinomios:
a
d)
c) 5x x6 9x8
5
4
7
d) 2x5 x3 18x2 x
2
11 쐌 Escribe un polinomio que sea:
2
a1
b) 2x3 4x4 6x a) Completo, ordenado, creciente y de grado 5.
b) Incompleto, de grado 10, que tenga 2 como coeficiente del término de grado 5 y cuyo término independiente
valga 0.
3a
b)
d) a2b 8ab (8a3 )
a) 3x2 5x 6 x4 3
2x 1
a)
1 2 2
x y 4xyz
2
Polinomios
10 쐌 Indica los términos, los coeficientes, el término inde-
f) x2 y
c) 兹xy2
c) 3x (5x2 ) 3x4y
x
12 쐌쐌 Calcula, en cada caso, el valor de a para que el valor
y
2
3x
2
3x
numérico del polinomio sea el indicado:
a) P(x) 3x2 x a & P(1) 9
2x
x
3x 2
x5
4 쐌쐌 Comprueba la siguiente igualdad para los valores
n 5 y n 10:
(1 n) n
123…n
2
5 쐌쐌 Escribe la expresión algebraica que permite calcular
el volumen de un cubo de arista x. Halla el volumen para
x 1, x 3 y x 5. ¿Tiene sentido calcular el volumen para
x 2? ¿Por qué?
6 쐌쐌 Escribe la expresión algebraica que permite calcular
el precio final de un artículo que cuesta p euros después de
una rebaja del 20 %. Halla el precio final para p 15 €.
b) Q(x) x4 x2 x a & Q(2) 21
c) R(x) x3 2x a & R(0) 5
d) S(x) ax 5 & S(2) 11
Operaciones con polinomios
13 쐌 Realiza estas sumas y restas:
a) (2x2 3x 9) (3x2 5x 2)
b) (2x2 3x 9) (3x2 5x 2)
c) (2x2 3x 9) (3x2 5x 2)
d) (5x4 8x3 2) ( x2 5) (x4 x 3)
e)
冢 2x 4x 2 冣 冢 2x 2x x 冣
1
5
3
2
1
5
5
4
2
Polinomios
85
0S3MTLA11.05
15/2/11
12:11
P gina 86
Ejercicios y problemas
14 쐌 Realiza las siguientes multiplicaciones:
20 쐌 Opera y simplifica:
a) (5x2) (4x)
a) (x 2 )2 (x 2 )2
b)
冢 52x 冣 冢 104 x 冣
3
b) (x 2 )2 (x 2 )2
5
c) (1 3x )2 4(4 2x )2
c) ( 3x2 2x 1) (2x 1)
d) (3x 2) (3x 2) x(3 5x )2
d) (x 5x 2) (x 3x)
3
4
2
e) 3
e) (3x5 2x4 x3 5x2 7) ( 2x5 3x2 2)
15 쐌 Opera y simplifica estas expresiones:
f)
a) 2(x 5) 10
冢
1
1
x
2
3
冣 2
2
冢x 2 冣 冢x 2 冣 冢x 2 冣
1
1
2
1
los resultados utilizando D d c r:
c) x( x3 2x 3) 3(x 1)
a) ( 2x3 3x2 4x) ⬊ (x 1)
d) 7(x2 2) 5x3 x 1 (x 3)(x 1)
b) ( 2x5 x4 5x3 2x2 ) ⬊ (x2 1)
e) (x 1) (x 1) (x 1)2
16 쐌쐌 Opera las siguientes expresiones y reduce a una sola
fracción:
a)
x 1 2x 3
4
4
b)
2x 2x x2
3
6
c)
2 x x2 1 2x 3x2
2
3
6
c) (8x4 24x3 13x2 4x) ⬊ (x 2)
d) (10x5 5x4 4x3 2x2 2x 1) ⬊ (2x 1)
Factorización de polinomios
22 쐌 Utiliza las identidades notables para factorizar los
siguientes polinomios:
冢 冣
1 4
5
x (x2 2) (2x 3)
d)
2 3
3
17 쐌 Dados los polinomios P(x), Q(x) y R(x), realiza las
operaciones indicadas:
P(x) 3x 5x 1
Q(x) x 2x 3
2
3
R(x) 2x
2
2
a) P(x) Q(x) R(x)
c) P(x) Q(x) R(x)
b) [P(x) Q(x)] R(x)
d) P(x) [Q(x) R(x)]
18 쐌 Dados P(x) x2 x 2 y Q(x) 2x2 3x 1, halla las
siguientes potencias:
a) [P(x)]
冣
2
21 쐌쐌 Efectúa las divisiones de polinomios y comprueba
b) 5(x 2) 6(x 3)
2
冢
1
x5
3
b) [P(x)]
3
c) [Q(x)]
2
d) [Q(x)]
19 쐌 Calcula:
4
a) x2 2x 1
d) x4 2x2 1
b) 9x2 12x 4
e) x4 4x2 4
c) 25x2 20x 4
f)
1 2 1
1
x x
9
3
4
23 쐌 Factoriza los siguientes polinomios expresándolos
como una suma por diferencia de monomios:
a) 9x2 36
c) 4x2 b) 49 x2
d) x4 1
1
16
e) 25x2 81
f)
1 4
x x2
4
24 쐌 Comprueba que las siguientes divisiones son exactas
y utilízalas para factorizar el dividendo:
a) ( x3 2x2 x) ⬊ (x 1)
b) ( x4 2x3 4x 4) ⬊ ( x2 2)
a) (x 5 )2
g) (3x 2) (3x 2)
25 쐌쐌 Factoriza las siguientes expresiones extrayendo
factor común:
b) (3x 7 )2
h) ( 6x2 5x )2
a) 2x3 3x2 10x
c) (x 5) (x 5)
i) ( x3 5x2 )2
b) 5x3 15x 20
d) (x2 1 )2
j) (x2 1) (x2 1)
c) 6x4 4x3 12x2
e)
冢
冣冢
f)
冢 5x 2冣
冣
1
1
x3 x3
2
2
7
86 UNIDAD 5
k)
冢
l)
冢2x 4 冣
2
1
x3 x
7
3
冣
2
d) 3(x 5) 5(x 5) 8(x 5)
e) x2 (x2 3) 3x(x2 3) 4(x2 3)
2
f)
2 2 1
1
x x
3
3
3
0S3MTLA11.05
15/2/11
12:11
P gina 87
Ejercicios y problemas
Problemas con expresiones algebraicas
26 쐌 El primero de tres números consecutivos es a 1.
Calcula el producto de los tres números.
27 쐌 Luis tiene x años, y su madre, el triple que él. ¿Qué
edad tendrá Luis dentro de siete años? ¿Y su madre? Resuelve
el problema para x 14.
28 쐌 La altura de un rectángulo es 3 m menor que su
base. ¿Cuál será la expresión de su área? Calcula el área en
el caso de que la base mida 12 m.
29 쐌쐌 Escribe en lenguaje algebraico el desarrollo del
siguiente juego y simplifica el resultado para explicar cómo
se puede averiguar el número inicial:
Piensa un número, súmale 2, multiplica el resultado por 10,
divide lo que te dé entre 5, resta 4 al resultado, anota lo que
obtienes finalmente.
30 쐌쐌 En un jardín hay el doble de petunias que de geranios. Si se siembran cinco geranios más y se transplanta a
otro jardín una tercera parte de las petunias, ¿qué expresión
refleja el total de plantas que tiene ahora el jardín? ¿Cuántas
plantas habrá al final si al principio había 24 petunias?
31 쐌쐌쐌 Una clase de 3.° de ESO comienza el curso con x
chicos e y chicas. A las dos semanas, María y Ana se cambian
de colegio, al tiempo que cinco chicos vienen a estudiar a
esa misma clase. Al mes, la clase va a visitar un museo junto
con otros grupos, de manera que se dobla el número de
chicos, mientras que el de chicas se incrementa en 21. En el
primer turno de visita solo dejan entrar a una cuarta parte
de los chicos y a un tercio de las chicas:
Escribe la expresión algebraica que indica el número de chicos y chicas que entra al museo en ese turno.
Evaluación
Traduces un enunciado a una expresión
algebraica, y viceversa
1 Escribe una expresión algebraica que traduzca los
Realizas operaciones con polinomios
6 Efectúa las operaciones indicadas:
P(x) 2x3 5x2 x 3
siguientes enunciados:
Q(x) x2 6x 4
a) El triple de la diferencia de dos números.
R(x) 4x 1
b) El cuadrado de un número impar.
2 Redacta un enunciado que se corresponda con las
a) P(x) Q(x) R(x)
e) 2P(x) 5R(x)
siguientes expresiones:
b) P(x) Q(x)
f) Q2(x)
c) R(x) [P(x) Q(x)]
g) R3(x)
d) R2(x)
h) Q(x) R(x)
a) 兹x y
b) x2 y2
Hallas el valor numérico de una expresión
algebraica
3 Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para el valor de la variable indicada:
7 Realiza la siguiente división de polinomios:
(6x5 5x4 x3 6x 3) ⬊ (2x 1)
a) 6x 4, para x 2.
Factorizas polinomios
8 Encuentra identidades notables y úsalas para factori-
y
b) 2x , para x 5 e y 9.
3
zar los siguientes polinomios:
c) 6x2y, para x 1 e y 0.
a) x4 6x5 9x6
d) 2 兹x6 , para x 2.
b) 4x6 x2
Identificas los elementos de un polinomio
y calculas valores numéricos
4 Escribe un polinomio ordenado y completo de grado
5 cuyo término principal tenga por coeficiente 2 y cuyo
término independiente sea 6.
1
2
3
2
5 Dado el polinomio P(x) x3 x2 x , calcula P(1),
P(1) y P(0).
9 Extrae factor común en las siguientes expresiones:
a) 3a3b2 6ab 12a2
b) 8x5y 4x4y4 12x3y2 4x3y
10 Utilizando la división del ejercicio 7, factoriza el
siguiente polinomio:
6x5 5x4 x3 6x 3
Polinomios
87