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ASIGNATURA
TRIGONOMETRIA
PROFESORA: Eblin Martínez M.
GUÍA Nº 02
GRADO: 10°
ESTUDIANTE:
PERÍODO:2
DURACIÓN: 20 horas
LOGRO: Resuelve problemas de tipo trigonométrico a través de la resolución de triángulos
rectángulos y la aplicación del teorema de Seno y Coseno.
INDICADORES DE LOGRO:
Soluciono triángulos rectángulos encontrando la medida de sus ángulos y lados.
Aplico el teorema de seno y Coseno en la resolución de triángulos rectángulos.
Resuelvo problemas que se modelan a través de triángulos.
OBJETIVO: Desarrollar un proceso de comprensión en la resolución de problemas relacionados
con triángulos.
COMPETENCIA: Resuelvo y propongo situaciones de la vida diaria que tengan solución a través
de triángulos.
RETOS DE INGENIO
SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Solucionar un triángulo rectángulo es hallar la medida de:
B




Los tres lados
Los tres ángulos
Su perímetro y,
Su área.
Perímetro: a + b + c
c
a
Area: (base x altura)/ 2
A
b
C
EJEMPLO. RESOLVER EL SGTE TRIÁNGULO RECTÁNGULO:
B
12 cm
c
36º
A
b
C
SOLUCIÓN: La suma de los ángulos internos es 180º, el
ángulo recto sabemos que mide 90º, por lo tanto el ángulo B
será: 90º - 36º = 54º.
Para hallar el lado b, utilizamos la tangente de 36º:
tan 36º = CO = 12 cm
CA
b
De donde, b = 12 cm/ tan 36º = 16.52 cm.
La hipotenusa, se puede hallar por teorema de Pitágoras ó por cualquier razón
trigonométrica donde intervenga su valor: sen 36º = 12 cm/ c  c = 12/sen 36º
c = 20.42 cm.
Area: (base x altura)/ 2 = 99.12 cm2
Perímetro: a + b + c = 12 cm + 16.52 cm + 20.42 cm = 48.94 cm
Nota: Para hallar la medida de cualquier ángulo, teniendo su seno, coseno ó
tangente, podemos proceder en la calculadora de la siguiente forma: Shift  Tan
(sen ó cos)
=(
)  Shift  “º” = ____. Lo que equivale a encontrar el
valor del ángulo mediante la función inversa sen-1, cos-1, tan-1 para ese valor.
TALLER N°1
1.
Soluciona los siguientes triángulos rectángulos:
B
A
25
7
c
c
B
c
A
C
5
C
c
28º
C
b
c
a
12
a
48
A
B
A
B
C
52º
A
B
6,5
3cm
4 cm
C
85
6
100
D
¿Será rectángulo el triángulo ABC?
A
80
B
2. Calcula la medida de la diagonal de un cubo de 4 cm de arista.
3. Una escalera de 9 m de longitud se apoya sobre una pared. La escalera
forma un ángulo de 54º con el suelo. Calcula la distancia entre el pie de la
escalera y la pared.
4. Las bases de un trapecio isósceles miden 6 cm y 4 cm. El ángulo de la
base mide 60º. Calcula el área del trapecio. AT = (B1 + B2 /2) x h.
5. En una carretera para una distancia horizontal de 150 m, se ascienden 12
m. Calcula el desnivel en grados.
Ángulo de elevación
Ángulo de depresión
6. A cierta hora el sol se observa con un ángulo de elevación de 55º. Calcula
la altura de un árbol que proyecta una sombra de 10.89 m.
7. Desde un punto situado 30 m arriba en un faro se observa una pequeña
embarcación con un ángulo de depresión de 33º. Calcula la distancia, al pie
del faro, a que se encuentra la embarcación.
8. Desde la ventana de un edificio, a 46 m de altura, se observa un automóvil
con un ángulo de depresión de 55º. Calcula la distancia que hay desde el
automóvil hasta la base del edificio.
9. A cincuenta metros de la base de un edificio se observa la base de la
chimenea con un ángulo de elevación de 56º y el punto más alto de la
chimenea se observa con un ángulo de elevación de 64º. Calcular la
longitud de la chimenea.
50 m
C
10. Desde un avión que vuela a 1860 m de altura se observa una embarcación
con un ángulo de depresión de 31º y desde el mismo plano, en sentido
opuesto se observa el puerto con un ángulo de depresión de 53º. Calcula la
distancia que separa a la embarcación de la costa.
TEOREMA DEL SENO
En un triángulo cualquiera, las longitudes de los lados son proporcionales a los
senos de sus ángulos opuestos.
B
Para el triángulo, se cumplen cualquiera de las tres relaciones:
c
a
= b
Sen A
Sen B
a
=
c.
Sen A
Sen C
b
=
c.
Sen B
Sen C
a
A
C
b
EJEMPLO. RESOLVER EL SGTE TRIÁNGULO RECTÁNGULO MEDIANTE EL
TEOREMA DEL SENO:
C
SOLUCIÓN: Utilizando la ley del Seno,
40 cm
B
b
45º
a
= b
Sen A
Sen B
60º
c

40 cm
Sen 60º
=
b
Sen 45º

b
=
40 cm x sen 45º
Sen 60º
A
De donde, b = 32.5 cm
Además, C = 180º - (45º + 60º) = 180º - 105º = 75º
Para hallar c, aplicamos el teorema del srno con la ec. 2 ò la ec. 3:
a
=
c.
Sen A
Sen C

40 cm
Sen 60
=
c.
Sen 45º
 c = 44.5 cm
ACTIVIDAD N°1:
1. Resuelve cada triángulo aplicando ley del Seno de acuerdo a los valores
indicados:
a.
b.
c.
d.
e.
b = 70 cm, < A = 30º, < C = 105º
c = 60 cm, < A = 50º , < B = 75º
a = 7cm, b = 6cm, A = 30º
< A = 30º, B = 60º, a = 20 cm
a = 10 cm, <B = 53º, c = 12 cm
TEOREMA DEL COSENO
En todo triángulo el cuadrado de la longitud de un lado es igual a la suma de los
cuadrados de las longitudes de los otros dos, menos el doble producto de ellas por
el coseno del ángulo que forman dichos lados.
Para el triangulo, se cumplen cualquiera de las tres relaciones siguientes:
a2 = b2 + c2 - 2 b c Cos A
b2 = a2 + c2 - 2 a c Cos B
c2 = a2 + b2 - 2 a b Cos C
EJEMPLO:
B
c
a
A
C
b
Dado el triángulo ABC, si a = 12 cm, b = 8 cm y <C = 36º. Determinar c.
Solución.
Dibujemos un triángulo y ubiquemos los valores conocidos. Usando la fórmula:
B
c
36º
A
c2 = a2 + b2 - 2 a b Cos C
c = (12 cm)2 + (8 cm)2 - 2 (12 cm) (8 cm) Cos 36º
c2 = 52.7 cm2
c = 7.25 cm
a = 12 cm
2
C
b = 8cm
Con el valor de a, < C, b y c, se pueden encontrar los ángulos A y B mediante la
ley de los Senos.
ACTIVIDAD N° 2:
1.
Dado el triángulo ABC, resuélvelo en cada caso si:
a)
b)
c)
d)
e)
a = 20 cm, b = 30 cm, < C = 45º
b = 8cm, c = 5cm, <A = 60º
a = 40 cm, c = 50 cm, <B = 120º
a = 24, b = 16 cm, <C = 45º
a = 21 cm, b = 24 cm, c = 27 cm
2.
Completa la siguiente tabla de las funciones Seno, Coseno y Tangente.
(Grafícalas en hoja milimetrada)
< º
360
Sen
Cos
Tan
330 300
<  15º
º
Sen
Cos
Tan
30º 45º
- 270 - 240 - 210 - 180 - 150 - 120 90
60º
90º
60
45
- 30 15
120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º
3. DETERMINA:
a.
b.
c.
d.
II.
¿Cuál de las funciones anteriores no es continua? ¿En qué puntos esa
función no está determinada y por qué?
¿Para qué intervalos la función Seno crece y para qué intervalos decrece?
¿Para qué intervalos la función Coseno crece y para qué intervalos
decrece?
¿Para qué intervalos la función Tangente crece y para qué intervalos
decrece?
¿Cuál es el período, amplitud y desfase de cada una de las funciones
anteriores?
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