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Funciones reales de variable real. Funciones elementales: situaciones en las que aparecen.
FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. FUNCIONES
ELEMENTALES: SITUACIONES EN LAS QUE
APARECEN. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Índice
1. INTRODUCCIÓN............................................................................................................................................................2
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL............................................................................................................. 2
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN MEDIANTE UNA CORRESPONDENCIA....................................................................... 2
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL.............................................................................................3
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS DEL CONJUNTO DE FUNCIONES.........................................................................4
3. ALGUNOS ASPECTOS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.............................................................. 6
֎ CARÁCTER DISCRETO O CONTINUO DE LAS FUNCIONES...............................................................................6
֎ SIMETRÍAS DE FUNCIONES......................................................................................................................................6
֎ LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...........................................................................................................6
֎ ACOTACIÓN DE FUNCIONES.................................................................................................................................... 7
֎ RESTRICCIÓN Y AMPLIACIÓN DE FUNCIONES................................................................................................... 8
֎ CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE FUNCIONES. MÁXIMOS Y MÍNIMOS...............................................8
֎ CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD DE FUNCIONES .PUNTOS DE INFLEXIÓN................................................... 9
֎ FUNCIONES PERIÓDICAS........................................................................................................................................10
4. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES............................................................................................................................... 10
5. FUNCIÓN INVERSA.................................................................................................................................................... 11
6. CONSTRUCCIÓN DE FUNCIONES........................................................................................................................... 12
7. FUNCIONES ELEMENTALES.....................................................................................................................................15
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Funciones reales de variable real. Funciones elementales: situaciones en las que aparecen.
1. INTRODUCCIÓN.
Uno de los matemáticos que primero utilizó el término de función fue Leibniz, para él y
para los matemáticos del siglo XVIII, el concepto de funcional lo identificaban con el de una
fórmula algebraica sencilla, y la dependencia de sus variables.
Uno de los grandes éxitos fue el descubrimiento de que las funciones elementales podían
expresarse como serie de potencias. El símbolo f (x)
con el que se expresa hoy en día una
función de una variable, fue utilizado por primera vez por el matemático suizo Leonhard Euler
(1707-1783) en “los Commentarii de San Petesburgo”.
La definición actual de función, se asocia al matemático Dirichlet (1805-1859), que la
introdujo en 1837, aunque también fue dada simultáneamente por Lobatchevsky (1792-1856).
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN MEDIANTE UNA CORRESPONDENCIA
 Dados dos conjuntos X e Y, decimos que
Γ
es una CORRESPONDENCIA de X en
Y, cuando Γ es un subconjunto del producto cartesiano X x Y. Donde:
X x Y ={(x , y ): x∈X , y∈Y }
Y denominamos Origen e Imagen de la correspondencia a los conjuntos:
OrgΓ ={x∈X :(x , y)∈Γ}
ImgΓ={y∈Y :(x , y)∈Γ}
En el caso de que la correspondencia cumpla:
Si(x , y) ,( x , y ’)∈Γ  y = y ’
 Decimos que Γ
numéricos, decimos que
Γ
es una APLICACIÓN. Y en el caso de que los conjuntos X e Y sean
es una FUNCIÓN. Y el caso de que X e Y sean conjuntos reales,
decimos que Γ es una función real de variable real.
2
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Funciones reales de variable real. Funciones elementales: situaciones en las que aparecen.
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
 Una función real f
de variable real, es una aplicación de un conjunto real X en otro
conjunto real Y, tales que a cada elemento x de X, le corresponde un único elemento y de Y,
mediante la aplicación f .
La formulación o notación habitual es la siguiente:
f : X→Y : x→ y
tal que si
y=f ( x) e
y ’=f ( x ) y = y ’
Además, podemos destacar algunos conjuntos importantes:
Dominio de f =
Df ={x ∈ X⊂ℝ : f (x)∈Y }
Recorrido o imagen de f = Im f ={ y∈Y ⊂ℝ:∃ x∈D f tal que f ( x)= y }
Gráfico de f = Graf {(x , y )∈ X x Y ⊂ℝ x ℝ y=f (x )}
Muchas de las funciones reales que empleamos es posible representarlas en el plano
mediante el conjunto de puntos de su gráfico. Sin embargo, hay ocasiones en las que no se puede
representar, como por ejemplo la función:
{
}
f :(0,1)→ {0, 1}: x → f ( x)= 0 si x∈ℚ
0 si x∉ℚ
La mayoría de las ocasiones, una función viene expresada solo son su expresión algebraica
y=f (x) , tomado como conjunto inicial
X =Df
y al conjunto final Y =Im f
Dada la función
f : X → Y : x → y=f (x)
Decimos que f es;
◦ Inyectiva
⇔
Si ∀ y , y '∈Y tal que y =f ( x )=f (x ')= y ' ⇒ x=x '
◦ Sobreyectiva
⇔
Si ∀ y ∈Y ∃ x∈X tal que f (x)= y
◦ Biyectiva
⇔
f es inyectiva y sobreyectiva
Ejemplo.- La función f (x)=√ x
la función
g( x)=x2
función biyectiva
es una función inyectiva pero no sobreyectiva en
es una función sobreyectiva y no inyectiva, y la función
ℝ ,
h( x )=x 3 es una
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ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS DEL CONJUNTO DE FUNCIONES
Sea C el conjunto de funciones reales de variable real:
C={f : X →Y : f es una función , X , Y ⊂ℝ}
podemos definir dos estructuras algebraicas importantes.
1.- Con las operaciones de suma + de funciones y producto dadas por:
+:C x C →C :(f , g)→ f + g
:C x C →C :( f , g)→ f g
Donde:
(f + g)(x )=f ( x)+ g(x ); ∀ x ∈ X
(f g)( x)=f ( x )g( x); ∀ x∈X
(C ,+ ,) tiene estructura de anillo conmutativo
Fácilmente, se comprueba que
(C , + ) es un grupo conmutativo con elemento neutro la función
nula ( o( x)=0,∀x∈ X ), y con elemento opuesto de cada función
(− f )( x)=− f ( x) ,∀x∈ X ), y que (C *=C−o ,)
unidad la función identidad ( I ( x)= x ,∀x∈ X
f
la función − f
(
es semigrupo conmutativo, con elemento
). Y además, se cumple la propiedad distributiva
del producto respecto de la suma ( f (g+ h)= f g+ f h ,∀ f , g ,h∈C ).
2.- Con las operaciones de suma + de funciones y producto externo * de elementos de un cuerpo K (
habitualmente
K=ℝ ) dado por:
*: K x C → C :(k , f )→ k∗f
Donde: (k∗f )( x )=k f (x)
(C ,+ ,*)k
tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo K.
Ya que (C , +) tiene estructura de grupo conmutativo, y la operación * cumple:
1.- a∗(f + g)=(a∗f )+(b∗g)∀ a∈K , ∀ f , g∈C
( a∗(f (x)+(g( x))=a f ( x)+b g(x)∀ x ∈X)
2.- (a+b)∗f =( a∗f )+( b∗g)∀ a ,b∈K , ∀ f ∈C
( (a+b)∗f (x )=af ( x )+ b f ( x) ∀ x∈ X )
Funciones reales de variable real. Funciones elementales: situaciones en las que aparecen.
3.- a∗(b∗f )=(a b)∗g ∀ a , b∈K , ∀ f ∈C
(a∗(b∗f ( x)))=(a b)f ( x )∀ x∈ X ¿
4.- 1∗f =f ∀ f ∈C
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3. ALGUNOS ASPECTOS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.
֎ CARÁCTER DISCRETO O CONTINUO DE LAS FUNCIONES
Si Dom f es discreto (finito o numerable), se cumple Im f es un conjunto discreto.
EJEMPLO: f :ℕ→ ℝ: x → f (x )=
1
x
Si Dom f es un intervalo:
Si Im f
es un conjunto discreto, decimos que f es una función discreta.
Si Im f
es un intervalo real, decimos que f es una función continua.
EJEMPLO: f :[1,10 ]→ ℝ : x → f ( x)=[x ] es discreta, mientras que
g :[1,10]→ℝ : x → g( x )=x 2 es continua
֎ SIMETRÍAS DE FUNCIONES
f (x) es una función PAR si f (x)=f (−x)
∀ x ∈Dom f .
f (x) es una función IMPAR si f ( x)=−f (−x )
EJEMPLO: f ( x)=x 2
∀ x ∈Dom f .
es una función par, mientras que
3
g(x)=x
es una función
impar
֎ LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Una función f
tiene límite finito L en un a, cuando:
∀ ε>0, ∃δ>0 tal que si |f (x) – f (a)|<ε se cumple |x – a|< δ
Que en el caso de funciones continuas, su representación gráfica, se interpreta, como:
“conforme nos aproximamos al punto a, tanto por la izquierda, como por la derecha los valores de
f son cada vez más próximos”.
Una función f
tiene límite en a∈Dom f
Una función f
es continua en un intervalo I, si es continua en todo a∈I .
EJEMPLO:
f ( x)=∣x∣ es continua en 0
decimos que la función f es continua en a.
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Funciones reales de variable real. Funciones elementales: situaciones en las que aparecen.
En el caso de funciones continuas en un intervalo I, podemos representar su gráfica en el
plano, mediante una línea continua.
Conviene destacar que en ocasiones, se utilizan funciones continuas como, aproximación a
otro tipo de funciones continuas o discretas mas complejas, para estimar valores próximos. En este
caso denominamos funciones de interpolación.
a∈ Dom f , si existe es la pendiente de la
La definición intuitiva de derivada en un punto
recta tangente a f en el punto (a , f (a)) .
EJEMPLO: La función f (x)=|x| no es derivable en
por la izquierda, la pendiente de la recta tangente a
f
en
x=0 , ya que si nos aproximamos a 0
(0,0)
es negativa, y si nos aproximamos
por la derecha es positiva.
El estudio de las funciones continuas se efectúa, mediante el estudio de sus funciones
derivadas, y de sus segundas derivadas, ya que dependiendo del signo de dichas funciones, se
deduce el crecimiento, decrecimiento, concavidad, convexidad, extremos relativos o puntos de
inflexión de la función. También, se utiliza la función derivada, junto con el límite funcional y la
integral, para el estudio analítico de las características y propiedades más relevantes de las
funciones, o para construcción de funciones.
EJEMPLO: La función
g(x)=x
es la función derivada de f ( x)=
x2
.
2
֎ ACOTACIÓN DE FUNCIONES
Una función real está acotada superiormente, cuando existe un
M ∈ℝ , tal que
f (x)≤ M ∀x ∈Dom f
Una función real está acotada inferiormente, cuando existe un m ∈ℝ , tal que
f (x)≥ M ∀x ∈Dom f
Una función real está acotada, cuando lo está superior e inferiormente.
EJEMPLO: La función
f (x)= sen x
esta acotada tanto inferiormente como superiormente.
Cuando una función f está acotada superiormente por un conjunto S, es decir que para cualquier
x∈ Dom f
pertenece al
f (x)≤ s
Dom f
para cualquier
s∈S , al mínimo de S, se le denomina Supremo de f si no
y Máximo de f si pertenece al
dom f ,
7
8
Funciones reales de variable real. Funciones elementales: situaciones en las que aparecen.
Cuando una función f está acotada inferiormente por un conjunto I, es decir que para cualquier
x∈ Dom f
pertenece al
f (x)≥i
Dom f
para cualquier
i∈ I , al máximo de I, se le denomina Infimo de f si no
y Mínimo de f si pertenece al
Dom f .
֎ RESTRICCIÓN Y AMPLIACIÓN DE FUNCIONES
Si f es una función de dominio D, y existen dos conjunto A, B, tales que
A⊂D ⊂B , Si
g : A →ℝ : x → g( x)= f (x ) y h: B →ℝ : x → h(x )= f ( x)
están bine definidas las funciones:
decimos que g es una restricción de f y h una ampliación.
EJEMPLO:
1
f (n)= ; n∈ℕ
n
es una restricción de
f (x)=
1
x
֎ CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE FUNCIONES. MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Una función
f (x)
Una función
f (x)
elementos
x 1, x 2 ∈I
es creciente si al aumentar el valor de x aumenta el valor de
f (x)
es creciente en el intervalo I cuando, cuando para cualquier par de
⇒ que
si x 2 > x 1
f (x 2 )> f (x 1 )
Una función
f (x)
es decreciente si al aumentar el valor de x disminuye el valor de
Una función
f (x)
es decreciente en el intervalo I cuando, cuando para cualquier par de
f (x)
elementos
x 1, x 2 ∈I
⇒ que
si x 2 > x 1
f (x)= x
EJEMPLO: La función
g( x)=− x
f ( x 2 )< f ( x 1 )
es una función creciente, mientras que la función
es una función decreciente.
Una función f : D→ℝ
f (x0 )≥f (x) para todo
x0
cuando
t i e n e u n mínimo absoluto en el punto
x0
cuando
x∈ D .
Una función f : D→ℝ
f ( x0 )≤f (x) para todo
t i e n e u n máximo absoluto en el punto
x∈D .
Una función f : D→ℝ
tiene un máximo local (relativo si es derivable) en
∃ E(x 0 ,r )⊂D ,r > 0 tal que para cualquier
x∈E(x 0 ,r ) , se cumple f (x0 )≥f (x) .
x 0∈ D
si
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Funciones reales de variable real. Funciones elementales: situaciones en las que aparecen.
Una función f : D→ℝ
tiene un mínimo local (relativo si es derivable) en
∃ E(x 0 ,r )⊂D ,r > 0 tal que para cualquier
x 0∈D
si
x∈E(x 0 ,r ) , se cumple . f ( x0 )≤f (x)
EJEMPLOS:
La función f ( x)=(−x ²+1)
tiene un máximo absoluto en
La función f ( x)=(x ²+1) tiene un mínimo absoluto en
x=0 .
x=0 .
La función f ( x)=−|x| tiene un máximo local en el intervalo
[−1,1] , en concreto en
x=0 . Además, este máximo es también máximo global.
La función f (x)=|x| tiene un mínimo local en el intervalo
[−1,1] , en concreto en
x=0 . Además, este mínimo es también mínimo global.
֎ CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD DE FUNCIONES .PUNTOS DE INFLEXIÓN.
Una función f : D→ℝ
E( x 0 , r)⊂D ,r > 0
e s convexa en el punto
tal que para cualquier
x 0∈ D
si existe un entorno de
x∈E(x 0 ,r ) , la recta tangente a
f
en el punto
(x ₀, f ( x ₀)) , está por debajo de f (x) .
Una función f : D→ℝ
E( x 0 , r)⊂D ,r > 0
e s cóncava en el punto
tal que para cualquier
x 0∈ D
si existe un entorno de
x∈E(x 0 ,r ) , la recta tangente a
f
en el punto
(x ₀, f ( x ₀)) , está por encima de f ( x) .
No existe una universalidad en esta definiciones, ya que otros autores denominan cóncava a
la función convexa, y convexa a la función cóncava.
Para el estudio, de la convexidad y concavidad de una función
f , utilizamos el signo de
la su segunda derivada.
Una función f : D→ℝ
entorno de
E( x 0 , r)⊂D ,r > 0
∀ x ∈E( x 0 , r ), con x > x 0
E(x 0 , r)⊂D ,r > 0
∀ x ∈E( x 0 , r ), con x > x 0
EJEMPLOS:
tal que
∀ x ∈E( x 0 , r ), con x < x 0
x 0∈ D
f (x)
si existe un
es convexa
y
f (x) es cóncava.
Una función f : D→ℝ
entorno de
tiene un punto de inflexión en el punto
tiene un punto de inflexión en el punto
tal que ∀ x ∈E( x 0 , r ), con x < x 0
f (x) es convexa.
x 0∈ D
f ( x)
si existe un
es cóncava y
Funciones reales de variable real. Funciones elementales: situaciones en las que aparecen.
La función f ( x)=x ² es convexa en todo ℝ .
La función f ( x)=ln x
La función f ( x)=x ³
es cóncava en (0,+∞) .
tiene un punto de inflexión en
x=0
La función f ( x)=−|x| tiene un máximo local en el intervalo
[−1,1] , en concreto en
x=0 . Además, este máximo es también máximo global.
La función f (x)=|x| tiene un mínimo local en el intervalo
[−1,1] , en concreto en
x=0 . Además, este mínimo es también mínimo global.
֎ FUNCIONES PERIÓDICAS
Las funciones periódicas son aquellas que existe un número real r, denominado periodo tal
que f ( x)=f ( x+ r) para todo
x∈ Dom f .
EJEMPLO
La función f (x)=sen x es una función periódica de periodo
2π
4. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES.
Dadas dos funciones reales de variable real de la forma:
f : X → Y : x → y=f ( x)
Se denomina función compuesta
g: Y → Z : y → z=g ( y)
g∘ f
a la función:
g∘ f : X → Z : x → z=g ∘ f (x)=g ( f ( x))
Que en términos de correspondencia se representa por:
{(x , z):∃ y∈Y ⊂ℝ:(x , y )∈Γ⊂X x Y , ( y , z)∈ Δ⊂Y x Z} .
F Existen conjuntos de funciones donde la operación de composición es invariante. Por
ejemplo, si los conjuntos X, Y, Z son intervalos de R, y las funciones f y g son continuas o
derivables, entonces la función compuesta
g∘ f es también continua o derivable.
F Es también fácil comprobar, que la operación de composición es asociativa bajo las
condiciones apropiadas. Es decir: (h ∘g) ∘f =h ∘(g ∘f ) , siempre que estén bien definidas f, g y h.
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Funciones reales de variable real. Funciones elementales: situaciones en las que aparecen.
F Como aplicación de la operación de composición de funciones, podemos comentar la
resolución numérica de ecuaciones del tipo
f ( x)=x , Mediante el método de aproximaciones
sucesivas, siempre que sea una aplicación contractiva (de un intervalo en si mismo):
Dada una función real f : X → X , se puede obtener una solución aproximada de la
ecuación f (x)=x , tomando un elemento
x 0 apropiado y construyendo la sucesión:
x 1=f (x 0 ) , x 2=f ( x 1)=(f ∘ f )(x 0 ) , … , x n=f ( x n – 1)=(f ∘…n … ∘ f )( x 0 ) .
Además la solución es el limite de
x n cuando n tiende a infinito.
Por ejemplo, la aplicación f ( x)=
1
4
x+
2
x
( )
es una aplicación contractiva en el intervalo
{1,3 } , y por el teorema del punto fijo, existe un
x∈{1, 3}
tal que f (x)=x , tomando
x 0=1,5 obtenemos:
x=lim n−→%infi (f ∘ f ∘ (n) ∘f )(x 0)
...
Que se obtiene a partir de n=4 , ya que:
f (1,5)=2,08333333 ; f ( f (1,5))=2,00166667 ;
f (f ( f (1,5)))=2,00000069; f (f (f (f (1,5))))=2
5. FUNCIÓN INVERSA.
f : X → Y : x → y=f ( x)
es biyectiva si para cada
Podemos definir la función
g : y → X : y → x=g( y ) .
Una función real de variable real
∃! X ∈X , tal que
y∈Y
f (x)= y
Además, a dicha función se le denomina función inversa de la función f, y se representa por
g=f −1
Se comprueba fácilmente que:
(f ∘ f −1)( y )= y forrell y ∈f ( X)
(f −1 ∘f )( x )=x forrell y∈ X
EJEMPLO: La función inversa de e x es la función log x (log = logaritmo neperiano)
Hay que observar que si f es una aplicación sobreyectiva y no inyectiva, la correspondencia
si existe, pero al no cumplirse la condición de aplicación no existiría la función
f –1 .
f –1
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Funciones reales de variable real. Funciones elementales: situaciones en las que aparecen.
EJEMPLO: La función sen – 1 x
solo existe si consideramos: sen x : [ r , r + π ) , siendo r
un número real cualquiera.
Un caso particular de funciones que no tienen inversa, son las funciones periódicas (es decir
aquellas que existe un número real r, denominado periodo tal que f(x) = f(x+r) para todo xÎ A Ì
R), sin embargo si consideramos la función restringida a un intervalo de longitud r si existe función
inversa como se sucede con la función sen x.
6. CONSTRUCCIÓN DE FUNCIONES.
A partir de funciones sencillas podemos construir otras funciones más complejas, unas veces
utilizando las operaciones de su estructura algebraica, y otras veces utilizando funciones utilizadas
en el análisis matemático.
CONSTRUCCIONES ALGEBRAICAS
 De las operaciones de suma y producto de funciones identidad y constantes, se generan
una clase importantísima de funciones denominadas funciones polinómicas o funciones lineales.
Una función f
es polinómica si existen n+1 números reales
a0 , a1 , ..., a n
tales que:
y=f (x)=a0 +a 1 x+ ...+ an xn
El conjunto de tales polinomios, con las operaciones suma y producto, se denominado anillo de
polinomios ℝ[ x] , y tienen propiedades similares al anillo de los números enteros. Además, al
igual que ocurre con el anillo de números enteros, mediante la división de números no nulos
construimos el cuerpo de los números racionales.
 En el cuerpo ℝ[ x] , mediante la división de polinomios no nulos construimos el cuerpo
de funciones racionales ℝ(x) , es decir, una función g es racional cuando es de la forma:
y=g( x )=
p (x)
q ( x)
Con
p( x) , q ( x) funciones polinómicas y q ( x)≠0 .
 A partir de la función inversa de la potencia entera, de una función racional
siendo
p( x) ,
g( x)=
p( x )
,
q ( x)
q ( x) dos polinomios primos podemos construir las funciones irracionales, es
decir una función h es irracional si h es de la forma:
√
y=h( x)= n
p (x)
q (x)
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Funciones reales de variable real. Funciones elementales: situaciones en las que aparecen.
y=x 2
EJEMPLO: La función
y=√ x
3
es una función polinómica, mientras que a función
es una función irracional.
CONSTRUCCIONES MEDIANTE SERIES
 A partir de una sucesión de funciones
{f n ( x )}
podemos obtener una nueva función como
limite de dicha sucesión (cuando dicho límite existe). Un caso particularmente importante, es
cuando dicha sucesión de funciones es el límite de una serie funcional, es decir cuando
f
es de la
forma:
n
f (x)=∑ ai f i (x ) ; ai ∈ℝ , i=1, 2,... , n
i=1
y
{f i (x)}ni=1 es una sucesión de funciones.
Un criterio importante en la teoría de funciones, es la siguiente:
El criterio de Weirstrass, dice si
|f n (x)|≤M n ∀ n∈ℕ y ∀ x∈ A⊂ℝ , entonces, si la serie
∞
∑ Mi f i(x )
converge la serie f (x)
i=1
converge absolutamente y uniformemente en el conjunto
A.
EJEMPLOS:
∞
Las series de potencias, que son de la forma
y=∑ ai (x−x 0)i
i=0
constituyen una de las
clases más relevantes de las Matemáticas. Por ejemplo
∞
e =∑
x
i=0
xi
i!
∞
sen x=∑
i=0
(−1)i x 2 i−1
(2i−1)!
Las series de Fourier, que son de la forma:
∞
∞
i=0
i=0
y=c + ∑ ai . sen (i. ω . x)+ ∑ b i . cos( i. ω . x) ; ω∈[ 0,2 π )
Y básicamente se utilizan en el estudio de fenómenos ondulatorios de la Física.
CONSTRUCCIONES MEDIANTE INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN
La operación de integración se emplea con frecuencia en la construcción de funciones. Uno de los
ejemplos más elementales, es la función logaritmo natural que se define como:
log x= ∫ (1 /t) dt ; x> 0
[1, x )
Otro tipo importante de funciones construida mediante integrales y mediante una función conocida
g(t,x) son las funciones de la forma:
Funciones reales de variable real. Funciones elementales: situaciones en las que aparecen.
log x= ∫ g(t , x )dt
[a , b )
Un ejemplo particularmente importante de este tipo en Física es la transformada de Fourier:
f ( x)=
∫
e i .t . x g (t )dt
[−∞,+∞ )
De enorme importancia en óptica, electromagnetismo o teoría de sonido. Y en Estadística, en el
caso de que g(t) sea una función de probabilidad absolutamente continua, f(x) es la función
característica de probabilidad.
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Funciones reales de variable real. Funciones elementales: situaciones en las que aparecen.
7. FUNCIONES ELEMENTALES.
Una función elemental, es aquella que puede obtenerse de forma explícita mediante un
número finito de operaciones aritméticas o mediante la composición de funciones principales
elementales. Siendo las funciones principales elementales:
Funciones constante ( y=c ), potenciales ( y=x r ), exponenciales ( y=r x ), logarítmicas (
y=log a ( x) ), trigonométricas ( y=sen x , y=cos x , y=tan x , y =sec x , y=cosc x , y =cotan x )
y sus inversas ( y=arcsen x , y=arccos x , y=arctan x , y=arcsec x , y =arccosc x , y=arccotan x )
Las funciones elementales se dividen en las siguientes clases:
Funciones polinómicas, de la forma:
y=P( x )=an x n+ …+a ₁ x+a 0
Funciones racionales, de la forma:
y=r ( x )=
Funciones irracionales, de la forma:
m
y=√ r ( x ) ; r es función racional
P( x )
; P y Q son funciones polinómicas
Q(x)
Funciones trascendentes, que son las funciones elementales que no son racionales ni irracionales. Es
decir, todas las funciones trigonométricas y sus inversas y la función exponencial y logarítmica .

Un tipo de funciones elementales, son las funciones hiperbólicas, en la gráfica están
representados el seno y el coseno hiperbólicos.
Siendo:
sh x=
e x – e− x
2
ch x=
e x + e−x
2
Es inmediato destacar la condición de finitud en el número de
operaciones permitidas para generar una función elemental.
Así por ejemplo, algunas funciones no elementales se pueden desarrollar como series infinitas de
funciones elementales.
DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE FUNCIONES ELEMENTALES
A través de los teoremas del cálculo diferencial y de las expresiones de las derivadas de las
funciones principales elementales, puede demostrarse que la derivada de una función elemental es
15
16
Funciones reales de variable real. Funciones elementales: situaciones en las que aparecen.
también una función elemental. Sin embargo, no sucede lo mismo con la integración, ya que por
ejemplo las integrales de la forma:
∫
1
√ a + a x +...+a
o
1
n
x
n
dx ; con n > 2
ex
∫ x dx
No pueden expresarse, en general, en términos de funciones elementales. En este sentido, tales
integrales, que existen en dominios apropiados, definen nuevas funciones que no son elementales.
Un ejemplo importante de funciones no elementales son las llamadas funciones elípticas, que
juegan un papel fundamental en la teoría de funciones analíticas y aparecen en muchas aplicaciones
físicas (por ejemplo en el movimiento del péndulo).
APLICACIONES DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES
Habitualmente usamos las funciones reales, aun cuando no seamos conscientes de ello, pues en
ocasiones, cuando utilizamos cifras numéricas asociadas a resultados numéricos estamos utilizando
funciones reales. Sin embargo, con el estudio y el conocimiento de dichas funciones, se puede
prever algunos resultados. Las funciones, son de gran utilidad en el estudio de problemas
relacionados con la mayoría de los campos científicos: económico, social, médico, físico, químico,
médico, etc.
Las funciones elementales aparecen ampliamente en todas las ramas de las Matemáticas y en sus
aplicaciones en otras ciencias. No solo como resultado final de proceso de análisis, sino también
como componentes de otros tipos más generales de funciones, incluso muchas funciones no
elementales admites desarrollos límite en términos de funciones elementales. Entre algunas de las
aplicaciones de las funciones elementales podemos señalar:
 Las funciones lineales se emplean:
•
En el estudio simple de oferta y la demanda, mediante la fórmula P(x) = m x + b, donde
P(x) es el precio de la cantidad x de un cierto producto del mercado y m y b son constantes
reales.
•
En algunos fenómenos médicos, como por ejemplo en el experimento psicológico de
Stenberg, en la recuperación de información, utilizando la reacción de una persona R = 38
N + 397 en milisegundos, donde N es el conjunto de memoria.
 Las funciones cuádráticas se emplean en muchas aplicaciones tanto en matemáticas como en
físicas, por ejemplo en el estudio de la aceleración de los movimientos uniformes o en caída libre
de los cuerpos. También, los biólogos utilizan las funciones cuadráticas, para estudiar el efecto
nutricional de los organismos.
Funciones reales de variable real. Funciones elementales: situaciones en las que aparecen.
 Las funciones cuádráticas se emplean en
•
Programación Matemática, en el estudio de sistema lineales de optimización, que en
algunas ocasiones representan problemas estadísticos de decisión o juegos matemáticos
finitos.
•
En Cálculo Numérico, como funciones de aproximación de otras funciones más complejas.
 La función logarítmica se utiliza:
•
En Geología, la función de la forma log x / K, (log = logaritmo neperiano), se utiliza para
medir la magnitud de los terremotos, donde K es una constante y x es la amplitud de un
sismógrafo estándar localizado a 100 km.
•
En Física, se utiliza la función L = 10 Log (I/Io), para el cálculo de cantidad de ruido en un
ambiente determinado (decibelios por segundo), donde I es la intensidad de sonido por
unidad de área por segundo, e Io es la intensidad de sonido más baja que se puede apreciar
por el oído humano.
 La función exponencial se utiliza:
•
En el estudio del comportamiento de poblaciones de seres vivos, por ejemplo la función de
la forma P(t) = K e -  t, donde K es la población inicial,  una constante y t el tiempo
transcurrido, representa la función de evolución de una población.
•
También se utiliza en infinidad de ramas de las Matemáticas, como sucede con la función de
distribución de probabilidad de Gauss, o con la función característica de cualquier función
de distribución de probabilidad.
 Las funciones trigonométricas se utilizan:
•
En topografía, para determinar diferencias de altura entre diversos terrenos, utilizando para
ello las razones trigonométricas.
•
También se emplea para el estudio del comportamiento de los rayos de luz, cuando
atraviesan un determinado material.
•
Tanto en Geometría euclídea, como en Geometría diferencial, las funciones trigonométricas
son funciones básicas que describen infinidad de curvas, como la circunferencia o la elipse,
o superficies como la esfera. Y las funciones hiperbólicas, que son combinaciones sencillas
de exponenciales, se utilizan para describir paramétricamente la hipérbola o superficies
como el paraboloide.
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Funciones reales de variable real. Funciones elementales: situaciones en las que aparecen.
EJEMPLOS:
•
La circunferencia de radio 1 y centro el origen de coordenadas. La podemos representar
mediante coordenadas paramétricas como:
α (t )=(cos t , sen t); t ∈ [0,2 π )
Si queremos calcular el área S del sector
utilizar las coordenadas polares
r (t)
OAB , podemos
(distancia al origen
en función del ángulo t=AOB ):
t
S=
•
t
1
∫ r 2 (t) dt=12 ∫ (cos 2 t+ sen2 t) dt=t2
2 0
0
La hipérbola
x 2 – y2 =1 admite ecuaciones paramétricas de la rama situada en el primer y
tercer cuadrante de la forma α (t )=(ch t , sh t) ; t ∈ ℝ
Si queremos calcular el área S del sector
OAP , podemos utilizar las coordenadas polares
r (θ) (distancia al origen en función del ángulo t=AOP ):
Teniendo en cuenta las siguientes relaciones:
sh t
=th t ⇒θ= Arc tg (tg θ)=Arc tg(th t)
ch t
2
1
1
ch t
1
1
⇒ d θ=d Arc tg (th t )=
.
.
dt
=
. 2 . dt= 2
. dt
2
2
2
2
2
1+th t ch t
ch t + sh t ch t
ch t + sh t
tg θ=
ch² t – sh² t =1
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Funciones reales de variable real. Funciones elementales: situaciones en las que aparecen.
t
S=
Será:
t
1
∫ r 2 (θ)d θ=12 ∫ (ch 2 t + sh 2 t). 2 1 2 . dt= 2t
2 0
ch t+ sh t
0
En Física.- Los desarrollos de Fourier, mediante funciones trigonométricas, describen fenómenos
ondulatorios. Y los modelos lineales de la Física, como la desintegración radioactiva o la ley de
enfriamiento de Newton son regidas por funciones exponenciales.
EJEMPLO:
Si una partícula P se mueve (en sentido contrario a las agujas del reloj) sobre una
circunferencia de radio r, y de centro el origen de
coordenadas, a una velocidad angular ω (con movimiento
uniforme), si denominamos ϕ₀ y ϕ , el ángulo inicial y el
ángulo, que forma la partícula con el eje OX positivo,
obtendremos la siguiente ecuación (en función del tiempo):
ϕ=ϕ₀ +ω t
Y teniendo en cuenta que el periodo del movimiento T, es el
tiempo que tarda un punto auxiliar en dar una vuelta completa
a la circunferencia, es decir:
Será:
ϕ=ϕ₀ +
2π
2π
T = ω ⇒ω=
T
2π
t
T
Y se denomina ecuación del movimiento vibratorio armónico. Muchos fenómenos físicos
siguen un movimiento vibratorio armónico, tales como la propagación del sonido y de la luz.
También, en un circuito de corriente alterna, la fuerza electromotriz E, viene expresada por:
E=E o sen (ω t )
Y la intensidad I que circula por el en cada instante:
E Eo
I = = sen ωt =I o sen ωt .
R R
También, aparecen las funciones trigonométricas en el estudio del movimiento del péndulo
simple, el cual consta de una masa
cuerda sin masa de longitud
s=L θ
m , que oscila de un lado a otro, sobre el extremo de una
L . Y llamando  al ángulo girado, la longitud del arco
y la velocidad de masa es:
v=
OP
es
ds
=L d θ/ dt
dt
En el punto P (centro de masa m), la suma de la energía cinética y potencial debe de ser constante,
como consecuencia del teorema de conservación de energía.
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Funciones reales de variable real. Funciones elementales: situaciones en las que aparecen.
2
( )
La energía cinética es:
1
1
dθ
Ec = ⋅m⋅v 2 = ⋅m⋅L2
2
2
dt
Y la energía potencial
E p =m⋅g⋅h=m⋅g⋅L (1−cosθ)
Y teniendo en cuenta el teorema de conservación de energía, se cumplirá:
2
( )
1
dθ
E p + E c=m⋅g⋅L(1−cosθ)+ ⋅m⋅L2
2
dt
Diferenciando esta ecuación queda:
( ddtθ) ²=−gL senθ
Que es la ecuación del péndulo simple.
Las funciones circulares, también se utiliza para calcular el producto escalar y el producto vectorial
en Geometría, por ejemplo, en la representación gráfica plana de fuerzas. El trabajo realizado por
una fuerza constante F al desplazar su punto de aplicación de forma rectilínea viene dado por el
producto escalar:
Donde, ω
W= F  r (t )=|F|cosω
es el ángulo que forman los vectores
r (t)
"de desplazamiento, en función del
tiempo t" y la fuerza F.
O también, para calcular el producto vectorial de dos vectores planos a y b, si α es el ángulo
formado entre ellos. El módulo del producto vectorial es:
|a x b|=|a||b|sen α
Y con esta fórmula podemos calcular, por ejemplo el módulo de la fuerza de Lorentz, producida
por una carga eléctrica q en movimiento, a una velocidad v, y dentro de una campo magnético B,
mediante:
|F|=|q v x B|=q|v||B|senα
Donde α es el ángulo entre q v y B.
 Las funciones Hiperbólicas son fundamentales en Matemáticas. Por analogía con las funciones
trigonométricas, cabe señalar su importancia en la Geometría diferencial, proporcionando
una
parametrización natural de algunas curvas como la hipérbola, así como en el estudio de funciones
complejas. Desde el punto de vista de la Física, estas funciones aparecen de manera fundamental en
la teoría de la relatividad, y en particular en el estudio de transformaciones de Lorentz, mediante las
fórmulas:
t ’(u)=t (u)ch u+ x(u) shu ;
x ’(u)=t (u) sh u+ x(u)ch u .
Que juegan un papel importante en rotaciones en función espacio-tiempo, que imprescindibles para
entender fenómenos como la conexión eléctrico y magnético.