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Matemáticas 5º
Matemáticas I.
Bloque I: ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA
Los números reales
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real
Los números reales, concepto y características. Estructura algebraica, orden, representación en la recta
♦ Expresión decimal. Aproximación y estimación. Notación científica.
♦ Distancia. Valor absoluto.
♦ Intervalos y entornos. Unión e intersección.
♦ Radicales. Propiedades.
♦ Logaritmos. Concepto y propiedades operativas.
Álgebra
♦ Polinomios. Divisibilidad de polinomios. Regla de Ruffini.
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Procedimientos de factorización de polinomios. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.
♦ Fracciones algebraicas. Equivalencia. Simplificación. Operaciones.
♦ Ecuaciones: solución, equivalencia, tipos.
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Ecuaciones de 2º grado y bicuadradas. Resolución.
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Ecuaciones polinómicas de cualquier grado. Resolución.
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Ecuaciones racionales e irracionales. Resolución.
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Ecuaciones en valor absoluto. Resolución.
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Ecuaciones logarítmicas y exponenciales. Resolución.
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Ecuaciones con dos o más incógnitas. Interpretación gráfica.
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Sistemas de ecuaciones: solución, equivalencia, tipos.
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Sistemas de ecuaciones lineales. Resolución algebraica e interpretación gráfica. Método de Gauss.
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Sistemas de ecuaciones no lineales. Resolución.
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Resolución de problemas utilizando ecuaciones y sistemas.
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Desigualdades e inecuaciones. Propiedades de la relación de orden en los números reales.
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Inecuaciones con una incógnita: polinómicas, racionales, con valor absoluto.
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Sistemas de inecuaciones con una incógnita.
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Inecuaciones con dos incógnitas. Interpretación gráfica.
Bloque II: GEOMETRÍA
Razones trigonométricas
♦ Medida de un ángulo en radianes. Factor de conversión de grados sexagesimales a radianes.
♦ Definición de las razones trigonométricas de un ángulo.
♦ Relación entre las razones trigonométricas.
♦ Razones trigonométricas de los ángulos notables.
♦ Reducción de las razones trigonométricas. Fórmulas de ángulos asociados.
♦ Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos.
♦ Razones trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad.
♦ Transformación de sumas y diferencias de senos o cosenos en productos.
♦ Simplificación de expresiones trigonométricas y demostración de identidades.
♦ Ecuaciones y sistemas de ecuaciones trigonométricas.
Resolución de triángulos
♦ Resolución de triángulos rectángulos.
♦ Teorema de los senos y del coseno.
♦ Resolución de triángulos oblicuángulos.
Álgebra
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♦ Área de un triángulo. Fórmula de Herón.
♦ Aplicaciones de la resolución de triángulos a problemas geométricos diversos.
Números complejos
♦ Necesidad de ampliación del campo numérico. Números imaginarios. Números complejos.
♦ Complejos opuestos y conjugados.
♦ Representación gráfica de un número complejo. Afijo de un número complejo.
♦ Operaciones con complejos en forma binómica.
♦ Otras expresiones de un número complejo: forma polar y trigonométrica.
♦ Operaciones en forma polar y trigonométrica. Fórmula de Moivre.
♦ Raíces de un complejo. Interpretación geométrica.
♦ Aplicaciones de los números complejos a la resolución de problemas geométricos y ecuaciones
algebraicas sencillas.
Vectores en el plano
♦ Vectores en el plano. Elementos de un vector.
♦ Operaciones con vectores: Suma y resta. Producto de un número por un vector.
♦ Combinación lineal de dos vectores. Dependencia lineal.
♦ Bases de V2. Coordenadas de un vector respecto de una base. Operaciones con coordenadas.
♦ Producto escalar. Propiedades. Proyección ortogonal de un vector.
♦ Expresión analítica del producto escalar. Cálculo del módulo de un vector y del ángulo de dos
vectores.
♦ Ortogonalidad.
Geometría analítica plana
♦ Puntos y vectores. Sistema de referencia afín.
♦ Coordenadas del vector que une dos puntos. Condición de tres puntos alineados.
♦ Cálculo del punto medio de un segmento y del simétrico de un punto respecto de otro.
♦ Ecuaciones de la recta: vectorial, paramétricas, continua, punto-pendiente, general, explícita
Resolución de triángulos
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♦ Determinación de una recta.
♦ Haz de rectas.
♦ Paralelismo y perpendicularidad.
♦ Posiciones relativas de dos rectas en el plano.
♦ Ángulo de dos rectas.
♦ Distancias entre puntos, punto y recta, y rectas.
♦ Utilización de programas informáticos de geometría dinámica para construir e investigar relaciones
geométricas.
Lugares geométricos. Cónicas
♦ Lugar geométrico en el plano: Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo. Cónicas.
♦ La circunferencia. Ecuaciones de la circunferencia.
♦ Posiciones relativas de una recta y de una circunferencia.
♦ Potencia de un punto respecto de una circunferencia. Posiciones relativas de punto y circunferencia.
♦ La elipse: definición geométrica, elementos característicos y ecuación canónica.
♦ La hipérbola: definición geométrica, elementos característicos y ecuación canónica.
♦ La parábola: definición geométrica, elementos característicos y ecuación canónica.
♦ El método de completar cuadrados.
♦ Tangente y normal a una cónica en uno de sus puntos.
Bloque III: ANÁLISIS DE FUNCIONES
Funciones elementales
♦ Concepto de función. Formas de expresarla: enunciado, ecuación, tabla, gráfica, a trozos.
♦ Dominio y recorrido de una función. Cálculo de dominios de funciones.
♦ Puntos de corte de la gráfica con los ejes coordenados. Simetrías y periodicidad.
♦ Monotonía: funciones crecientes y decrecientes. Extremos relativos y absolutos.
Geometría analítica plana
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♦ Curvatura. Puntos de inflexión.
♦ Operaciones con funciones: suma, producto y composición. Función inversa.
♦ Transformaciones elementales de funciones.
♦ Funciones polinómicas, parte entera, valor absoluto, racionales, irracionales, exponenciales,
logarítmicas, trigonométricas
Límites de funciones. Continuidad
♦ Límite de una función en un punto. Límites laterales.
♦ Propiedades de los límites.
♦ Límites infinitos y límites en el infinito. Comportamiento asintótico de una función.
♦ Cálculo elemental de límites. Indeterminaciones.
♦ Continuidad de funciones. Discontinuidades. Tipos de discontinuidad.
Derivada de una función
♦ Tasa de variación media de una función en un intervalo. Interpretación geométrica.
♦ Tasa de variación puntual. Derivada de una función en un punto. Significado geométrico.
♦ Ecuación de la recta tangente a una curva en un punto. Puntos de tangente horizontal.
♦ Función derivada. Derivadas sucesivas.
♦ Derivabilidad y continuidad. Funciones derivables.
♦ Derivadas de funciones elementales. Reglas de derivación.
♦ Aplicación de la derivada al estudio de la monotonía y extremos relativos de una función.
♦ Aplicación de la derivada al estudio de la curvatura y al cálculo de los puntos de inflexión.
♦ Aplicaciones físicas: velocidad y aceleración.
♦ Representación gráfica de una función.
♦ Interpretación y análisis de funciones sencillas, expresadas de manera analítica o gráfica, que
describan situaciones reales.
♦ Uso de programas informáticos para el estudio de funciones y sus gráficas.
Funciones elementales
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Bloque IV: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Distribuciones bidimensionales
♦ Repaso de conceptos asociados a distribuciones estadísticas de variables unidimensionales.
♦ Variable estadística bidimensional. Tablas de doble entrada.
♦ Representaciones gráficas. Nube de puntos.
♦ Distribuciones marginales y condicionadas.
♦ Medias y desviaciones típicas marginales.
♦ Medida de la correlación. Covarianza. Coeficiente de correlación lineal.
♦ Regresión. Regresión lineal. Estimación.
Combinatoria
♦ Números factoriales y combinatorios.
♦ Técnicas de recuento.
♦ Variaciones ordinarias y con repetición.
♦ Permutaciones ordinarias y con repetición.
♦ Combinaciones.
♦ Triángulo de Pascal o de Tartaglia.
♦ Binomio de Newton.
Probabilidad
♦ Experimentos aleatorios. Espacio muestral.
Derivada de una función
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♦ Sucesos. Tipos de sucesos. Espacio de sucesos. Operaciones con sucesos.
♦ Frecuencia y probabilidad. Ley de los grandes números.
♦ Definición axiomática de probabilidad. Propiedades de las probabilidades.
♦ Probabilidades “a priori” y “a posteriori”.
♦ Cálculo de probabilidades mediante la regla de Laplace y diagramas de árbol.
♦ Probabilidad condicionada. Sucesos independientes. Tablas de contingencia.
♦ Probabilidad de sucesos compuestos en experiencias independientes o dependientes.
♦ Probabilidad total. Teorema de Bayes.
Distribuciones de probabilidad
♦ Variable aleatoria discreta.
♦ Funciones de probabilidad y de distribución.
♦ Parámetros de una variable aleatoria discreta: media y varianza.
♦ Distribución binomial. Media y desviación típica. Manejo de tablas.
♦ Cálculo de probabilidades de sucesos binomiales simples y compuestos.
♦ Variables aleatorias continuas. Función de densidad. Función de distribución. Distribución normal.
♦ Distribución normal estándar. Tipificación de la variable. Cálculo de probabilidades utilizando las
tablas.
♦ Cálculo de probabilidades en sucesos normales, simples y compuestos, en contextos reales.
♦ Aproximación de la binomial a la normal.
♦ Utilización de la hoja de cálculo para realizar gráficos y cálculos estadísticos.
Probabilidad
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