Download Un circuito de corriente alterna (ca) está formado por elementos

13 CORRIENTE ALTERNA (RLC EN SERIE)
OBJETIVOS
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




Para un circuito de corriente alterna LRC en serie:
Medir la corriente eficaz
Medir voltajes eficaces en el condensador y en la bobina
Medir la impedancia total
Medir indirectamente la resistencia óhmica total
Medir las reactancias capacitiva e inductiva
Por medio de operaciones con fasores, contrastar los resultados
experimentales con la teoría
MATERIALES






Tablero electrónico de entrenamiento
Condensador
Dos bobinas distinguidas con los números 1 y 2
Dos tester digitales
Fuente de corriente alterna de voltaje variable
Cables y conectores
PARTE TEÓRICA
Un circuito de corriente alterna (ac) está formado por elementos eléctricos y una
fuente de alimentación de voltaje alterno. En la figura 1 se muestra el diagrama de un
circuito de ac con un solo elemento resistivo. Si la fuente de voltaje alterno es del tipo
sinusoidal:
E = E0sent
donde  es la frecuencia angular (   2f ).
El voltaje a través de la resistencia es también, una función sinusoidal de la forma:
V  V0 sent
(1)
con
V0 = E0
Que oscila entre los valores extremos instantáneos: +V0 y –V0 siendo V0 el voltaje pico.
1
La corriente a través de la resistencia también varía en forma sinusoidal:
I
V V0

sent  I 0 sent
R R
(2)
donde I0 es la corriente pico. La figura 2 muestra las gráficas del voltaje y de la corriente,
en función del tiempo. Observa que están en fase, esto es: alcanzan valores de cero y
valores extremos al mismo tiempo.
Fig. 1
Fig. 2
Como la corriente oscila entre + V0 y –V0 en cada ciclo, y el valor promedio de la
función sen(2f )t en uno o más ciclos completos es cero, la corriente promedio es cero.
Pero, el hecho de que la corriente promedio sea cero, no significa que no haya
calentamiento por efecto joule, esto es; disipación de energía. La disipación de energía
instantánea se obtiene utilizando la corriente instantánea:
P  I 2 R  I 02 Rsen 2 2ft 
(3)
Como el cuadrado de la corriente siempre es positivo, el valor promedio de la
potencia instantánea: I 2 R es diferente de cero.
El promedio de I 2 es:
y, el promedio de
I 2  I 02 sen 2 2ft   I 02 sen 2 2ft 
sen 2 
1
1  cos 2   1
2
2
Tenemos para la potencia media:
P 
1 2
I0 R
2
(4)
Escribiendo la potencia media para la corriente alterna como se expresa en los
circuitos de corriente directa ( P  I 2 R ) tenemos:
2
2
P  I rms
R
(5)
donde:
I rms 
I0
2
 0.707 I0
(6)
Al valor I rms se lo denomina corriente eficaz o corriente rms (siglas que en ingles
significan raíz cuadrática media). Por un razonamiento similar se deduce el voltaje eficaz o
voltaje rms
V
Vrms  0  0.707V0
(7)
2
La ley de Ohm para un circuito de corriente alterna se escribe:
Vrms  I rms R
(8)
para los efectos de disipación de energía, un circuito ac es equivalente uno de corriente
directa (dc) por el cual circule una corriente continua I de valor I = Irms y esté sometido a
un potencial V = Vrms
CIRCUITO CAPACITIVO
Conectemos una fuente de fuerza electromotriz de
corriente alterna con una capacitancia pura, formando el
circuito que se muestra en la figura 3. Aplicando la regla de
las mallas se tiene
E
 VC  0
V0 sent  
donde
Q
0
C
respecto del tiempo:
VC 
Q
C
entonces;
y Q  CV0 sent 
I
(9)
Fig. 3
La corriente I es la derivada de Q
dQ
 CV0 cost 
dt
(10)


con la identidad trigonométrica cos   sen   se puede escribir la corriente como:
2



I  CV0 sen  
2

(11)
I 0  CV0
Así, se tiene para la corriente un valor pico igual a:
(12)
Por analogía con el circuito resistivo, para el cual, la relación correspondiente es:
3
V0
. La resistencia efectiva de un circuito capacitivo, llamada reactancia capacitiva
R
Xc, tiene unidades de ohms y se define como
I0 
XC 
1
C
(13)
La ecuación (12) toma la forma
I0 
V0
y, para la corriente eficaz:
XC
V
(14)
I rms  rms
XC
La ecuación 11 muestra que en un circuito
puramente capacitivo, la corriente adelanta al

o 90º. En la figura 4 se grafica este
2
comportamiento.
voltaje en
Fig. 4
CIRCUITO INDUCTIVO
Ahora, en el circuito alimentado por la fuerza electromotriz ac, remplazamos el
capacitor por un inductor (Fig. 5). Repitiendo el procedimiento anterior, aplicamos la
regla de las mallas para los potenciales en una trayectoria cerrada
V0 sen(t )  VL  0
V0 sen(t )  L
dI
0
dt
VL  L
donde

dI 
dI
dt
V0
sent dt
L
Integrando esta ecuación obtenemos para la corriente:
Fig.5
I 
V0
cos(t )
L


Usando la identidad trigonométrica cos    sen  
2

I
V0


sen t  
L 
2
(15)
La corriente pico a través del inductor es:
4
I0 
V0
L
y, la corriente eficaz:
I rms 
Vrms
L
(16)
Con argumentos similares a los usados en el circuito anterior, tenemos para la
resistencia efectiva en un circuito puramente
inductivo el valor L . A esta resistencia efectiva se
le llama reactancia inductiva XL, tiene unidades de
ohms y se define como:
X L  L
(17)
La ecuación 15 muestra que en un circuito
puramente inductivo, la corriente se retrasa

o 90º. En la figura 6 se
2
grafica este comportamiento.
respecto al voltaje en
Fig. 6
CIRCUITO LRC EN SERIE
Estudiaremos ahora un circuito que contiene los tres elementos en serie, una
resistencia R, un condensador C y un inductor L (Fig. 7).
VR, VL y VC representan los voltajes en cada uno de estos
elementos en un instante determinado. Con la notación:
VR0, VL0 y VC0, representaremos los voltajes máximos
(pico) de estos voltajes alternos. Los voltajes a través de
cada uno de estos elementos seguirán las relaciones de fase
que se describieron en las secciones anteriores. Es decir,
VR estará en fase con la corriente, VL adelantará a la
corriente en 90º y VC estará retrasado con relación a la
corriente en 90º. Asimismo, en cualquier tiempo el voltaje
total E suministrado por la fuente será igual a
Fig. 7
E = VR  VC  VL
Pero; como los diferentes voltajes no están en fase (alcanzan su valor máximo en
diferentes tiempos), la suma de los voltajes eficaces o rms no es igual al voltaje rms de la
fuente, ni la suma de los voltajes pico es igual al voltaje pico de la fuente. Esta
característica de los circuitos de corriente alterna, obliga a tomar en cuenta las relaciones de
fase entre voltajes y corrientes cuando se opera matemáticamente con estas magnitudes.
Para determinar los voltajes en cada elemento debemos conseguir la corriente total
del circuito en serie, la cual debe ser la misma para todos los componentes. Así, la
corriente en cada elemento tiene la misma fase, aunque los voltajes tengan diferentes
relaciones de fase.
5
Por comodidad tomaremos para la corriente I  I 0 senwt .
Para analizar este tipo de circuito LRC es
conveniente hacerlo mediante un diagrama fasorial, en
el cual, tanto los voltajes, como las corrientes se
representan por medio de una flecha o fasor (como
vectores en el plano) en un sistema cartesiano “xy”
(Fig. 8). La longitud de cada flecha roja representa la
magnitud del voltaje pico a través de cada elemento.
VR 0  I 0 R
VL 0  I 0 X L ,
VC 0  I 0 X C
Fig. 8
La corriente I0 se representa con la flecha azul que hace con el eje “x” un ángulo
  t . Como VR0 está en fase con la corriente, el fasor que lo representa tiene igual
dirección que la corriente. Puesto que VL0 precede a la corriente en 90º, también se
adelanta a VR0 en 90º .VC0 se retrasa 90º respecto a la corriente, en consecuencia, también
lo hace respecto de VR0 . Conforme transcurre el tiempo, el ángulo   t aumenta y todo
el diagrama gira en contra de las agujas del reloj, manteniendo las relaciones de fases
constantes.
Por medio de esta representación fasorial, se puede encontrar el voltaje total V
sumando los tres fasores, de la misma manera como se suman vectores. En la figura 9 se
muestra el voltaje resultante de la suma de VL y VC y en la figura 10 el fasor
correspondiente al voltaje total V cuyo valor pico V0 está dado por:
V0  VR20  VL 0  VC 0   I 02 R 2  I 0 X L  I 0 X C 
2
2
 I 0 R 2  X L  X C 
2
Fig. 9
 I0Z
(18)
Fig. 10
Donde Z, por la ley de Ohm, corresponde a la resistencia efectiva al paso de la
corriente. Esta resistencia efectiva del circuito ac, recibe el nombre de impedancia. Para el
circuito en serie la impedancia Z está dada por:
6
Z  R  X L  X C 
2
2
1 

 R  L 

C 

2
2
(19)
Los valores pico I0 y eficaz Irms, de la corriente son respectivamente
I0 
V0
Z
I rms 
(20)
Vrms
Z
(21)
VOLTAJE EN EL INDUCTOR (VL )
Voltaje eficaz en el inductor. El voltaje eficaz ( Vrms ) está dado por:
VLrms  I rms X L 
VrmsL
1 

R 2   L 

C 

2
(22)
VOLTAJE EN EL CONDENSADOR (VC )
Voltaje eficaz en el inductor De igual manera que para el inductor, encontramos que el
voltaje eficaz (VCrms), en el condensador es:
Vrms
VCrms  I rms X C 


C R 2   L 
1 

C 
2
(23)
VOLTAJE EN LA RESISTENCIA ( VR)
Voltaje eficaz en la resistencia:
VRrms  I rms R 
Vrms R
1 

R 2   L 

C 

2
(24)
7
PARTE EXPERIMENTAL
Se estudiará el comportamiento de un
circuito ac compuesto con los elementos R, L y C
en serie, donde la resistencia R del circuito, se
debe principalmente a la resistencia eléctrica del
enrollado de la bobina L, por eso, la denotaremos
como RL. Esta resistencia se puede considerar
conectada en serie. El esquema del montaje se
muestra en la figura 11, donde los elementos están
conectados en serie a una fuente de tensión alterna
de amplitud variable
Hz.
0
y frecuencia fija f = 60
Fig. 11
En este circuito, como ya fue indicado, la resistencia eléctrica RL puede considerarse
conectada en serie, y la impedancia del elemento: bobina más su resistencia, es la
impedancia de un circuito RL en serie. O sea; una resistencia RL más una reactancia
inductiva XL:
Z1  R 2   X L   R 2  L 
2
2
(25)
En consecuencia, el voltaje eficaz VLR(rms) está dado por la relación:
VLR ( rms)  I rms RL2  X L2  I rms RL2   2 L2
(26)
ACTIVIDADES DURANTE LA SESIÓN DE PRÁCTICA
Fig.12
Fig. 13
8
El análisis y procesamiento de los datos se hará en el libro de Excel: “Circuito de
Corriente Alterna”
ACTIVIDAD 1
1. El circuito mostrado en la figura 11, lo encontrarás montado, solo debes cuidar que
esté conectado a una sola bobina; la indicada con el número 1. El circuito está
alimentado con una fuente variable (0-15 V) de voltaje alterno y frecuencia fija de
60 Hz.
2. Los terminales donde medirás el voltaje de salida de la fuente y los voltajes del
condensador y de la bobina, están debidamente indicados en el tablero de
conexiones.
3. Revisa que el control del voltaje de la fuente esté en posición de mínima salida
antes de prenderla.
4. La corriente en el circuito, la medirás con el tester identificado con “A”, este tester
debe estar en la modalidad de miliamperímetro para corriente alterna y en la escala
de 400 mA (Fig.12)
5. El tester que se usa como voltímetro (identificado con “V”) debe estar en la
modalidad de voltaje alterno y en la escala de 20 V (Fig. 13)
6. Prende la fuente y sube el voltaje lentamente hasta que el amperímetro indique una
corriente de 380 mA aproximadamente (no excedas de 390 mA)
7. Mide el voltaje de salida de la fuente (Fig. 14), el voltaje en el condensador (Fig.
15) y en la bobina (Fig. 16), y la corriente en el circuito (tester “A”). Recuerda que
todas estas medidas, corresponden a valores eficaces.
Fig. 14
Fig. 15
Fig. 16
8. Repite 12 veces el paso 7, bajando cada vez el voltaje de la fuente, hasta llegar, más
o menos, a 3.4 mA, lo que corresponde a un voltaje de salida de la fuente de 0.06 V
aproximadamente.
9. Cuando termines de medir, baja el voltaje de la fuente hasta el mínimo y apágala.
10. De las ecuaciones: 19, 21, 23 y 26, podemos despejar los valores de C, RL y L, en
función de las magnitudes medidas, lo que corresponde a las siguientes expresiones:
C
I rms
;
VCrms
L
1
2VCrms I rms
V
2
LR ( rms )
2
2
 VCrms
 Vrms

9
 VLR ( rms)
RL  
 I rms
2
 
1
2
2
2 
  
VLR
( rms )  VCrms  Vrms 

  2VCrms I rms


2
 VLR ( rms)
 
 I rms
2

  L 2

11. Con la ayuda del Excel, encuentra los valores de C, RL y L con sus respectivos
errores estándar.
12. Compara por medio de la diferencia porcentual, cada uno de los valores medidos
con su valor indicado en el tablero o en la bobina.
Diferencia porcentual 
Valor medido   Valor indicado   100
Valor indicado
ACTIVIDAD 2
13. Cambia la bobina que estabas usando, por las dos bobinas conectadas en serie (la 1
con la 2)
14. Repite los pasos del 6 al 11 y mide la resistencia equivalente RLE y la inductancia
equivalente LE , de las dos bobinas en serie
15. Usando los valores nominales indicados en las bobinas, calcula los valores
equivalentes de la resistencia y de la inductancia, predichos por la teoría:
RLE = RL1 + RL2
y,
LE = L1 + L2
16. Compara por medio de la diferencia porcentual, cada uno de los valores medidos
con su valor calculado.
Diferencia porcentual 
Valor medido   Valor calculado   100
Valor calculado
17. Apaga la fuente y los tester e imprime tu informe.
ACTIVIDAD 3 (APLICACIÓN TEÓRICA)
Para un circuito RLC en serie, se estudiará el comportamiento en función de la
frecuencia de las siguientes variables: la resistencia debida a la bobina, o reactancia
1
inductiva X L  L . La resistencia del condensador o reactancia capacitiva X C 
C
Y, la resistencia total del circuito o impedancia Z
1 

2
Z  R 2   X L  X C   R 2  L 

C 

2
10
Un circuito RLC en serie tiene una resistencia óhmica R = 1000 Ω, y cuando se le
aplica un voltaje alterno de frecuencia f = 2000 Hz, las reactancias capacitiva e inductiva
adquieren igual magnitud, esto es: |XL| = |XC |= 1884 Ω.
1.- Encuentre los valores del condensador y de la inductancia.
2.- Elabore una tabla que muestre los valores de XL, XC y Z, para f = 200, 300, 600, 800,
1.000, 1.200, 1.500, 2.000, 2.500, 3.000, 4.000, 6.000, 7.000, 9.000 y 10.000 Hz.
3.- En un mismo gráfico representa las curvas correspondientes a: XL, XC y Z en función de
ω
4.- Analiza cuál de las reactancias predomina en las bajas frecuencias, y cuál en las altas
frecuencias.
5.- ¿Para qué frecuencia la impedancia es mínima y cuánto vale?
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