Download Suma y resta de números decimales

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Números
1.
Los números reales
2.
Operaciones con números enteros y racionales
3.
Números decimales
4.
Potencias de exponente entero
5.
Radicales
6.
Notación científica y unidades de medida
7.
Errores
Índice del libro
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Números
1. Los números reales
DESDE LOS NÚMEROS NATURALES HASTA LOS NÚMEROS REALES
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Números
2. Operaciones con números enteros y racionales
SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS
 Para sumar dos números enteros del mismo signo, se suma el valor absoluto
de dichos números y se añade al resultado el signo de los sumandos.
EJEMPLO
( 4 )  ( 7)  11( 1)  ( 6)  7
 Para sumar dos números enteros de distinto signo, se restan sus valores
absolutos (el mayor menos el menor) y se añade al resultado el signo del
número de mayor valor absoluto.
EJEMPLO
( 5)  ( 2)  3( 10 )  ( 4 )  6
 Para restar dos números enteros solo tienes que sumar al primero el opuesto
del segundo. Para obtener el opuesto de un número entero simplemente
debes cambiarle el signo.
EJEMPLO ( 4 )  ( 5)  ( 4 )  ( 5)  1( 11)  ( 3) ( 11)  ( 3)  8
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Números
2. Operaciones con números enteros y racionales
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
 Para multiplicar o dividir dos números enteros, basta con que multipliques o
dividas el valor absoluto de los números y añadas al resultado el signo en
función de las reglas de los signos.
Reglas de los signos para la
multiplicación
Reglas de los signos para la
división
Positivo ⋅ Positivo = Positivo
Positivo : Positivo = Positivo
Positivo ⋅ Negativo = Negativo
Positivo : Negativo = Negativo
Negativo ⋅ Positivo = Negativo
Negativo : Positivo = Negativo
Negativo ⋅ Negativo = Positivo
Negativo : Negativo = Positivo
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Números
2. Operaciones con números enteros y racionales
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES
 Para sumar y restar fracciones debes conseguir que todas las fracciones
tengan el mismo denominador. Para ello buscarás la fracción equivalente a
cada una de ellas que tenga como denominador el mínimo común múltiplo
de todos los denominadores.
EJEMPLO
2 5 8 15 23
4 3
8 3
5 1
        

3 4 12 12 12
5 10 10 10 10 2
 El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador y
denominador son el producto de los numeradores y denominadores de
dichas fracciones respectivamente.
EJEMPLO
7 4 7  4 28
6
6 2 6  2 12
 
   2   

3 5 3  5 15
5
5 1 5 1 5
 Para realizar el cociente de dos fracciones debes multiplicar la primera por la
inversa de la segunda. Para obtener la inversa basta con cambiar el
numerador por el denominador, y viceversa.
EJEMPLO
5 1 5  4 20 10
 


6 4 6 1 6
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Números
3. Números decimales
CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS DECIMALES
Números decimales exactos
Son los que tienen un número finito de cifras decimales.
2 ,115 ,050 ,0075
EJEMPLO
Números decimales periódicos puros
Su parte decimal está formada por un grupo de cifras que se repite de forma
indefinida. A este grupo de cifras se le llama periodo.
EJEMPLO 5 ,333333
 5 ,3periodo 310 ,061061
 10 ,061periodo 061
Números decimales periódicos mixtos
Su parte decimal está formada por un grupo de cifras que no se repite y otro
que sí. El que se repite se llama periodo y el que no se repite anteperiodo.
EJEMPLO 4 ,2555555
 4 ,25periodo525 ,0363636
 25 ,036periodo36
Números irracionales
Son los que tienen infinitas cifras decimales pero estas no siguen una pauta
determinada, es decir, no hay un periodo que se repita indefinidamente.
EJEMPLO
π  3 ,14159265  2  14 ,41421356
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Números
3. Números decimales
SUMA, RESTA Y MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
Suma y resta de números decimales
Se resuelven de la misma forma que con números enteros teniendo cuidado
de alinear las comas de ambos números.
EJEMPLO
102 ,544123 ,45
72 ,534 ,139
175 ,04489 ,311
Multiplicación de números decimales
Multiplicamos sin tener en cuenta las comas y se añade la coma al resultado
para que tenga tantas cifras decimales como los factores en conjunto.
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Números
3. Números decimales
DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
División de números decimales
Repasamos la división de números decimales.
EJEMPLO
Dividir 350,62 : 12,8
1. Eliminamos la coma
del divisor:
3506 ,2 128
2. Colocamos la coma
3. Continuamos
en el cociente
dividiendo:
cuando «bajamos» la
primera cifra decimal
del dividendo:
3506 ,2 128
94627 ,
502
3506 ,2 128
94627 ,3
502
118
Cociente:27 ,3
Resto:1 ,18
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Números
3. Números decimales
FRACCIÓN GENERATRIZ
Fracción generatriz de un decimal exacto
En el numerador se escribe el número decimal sin coma y en el denominador,
la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga.
EJEMPLO
0 ,125 
125 1

1000 8
Fracción generatriz de un decimal periódico puro
En el numerador se escribe el número sin coma hasta el final del periodo y se
le resta la parte entera, en el denominador se ponen tantos nueves como
cifras tenga el periodo.
EJEMPLO
1 ,3 
13  1 12 4


9
9 3
Fracción generatriz de un decimal periódico mixto
En el numerador se escribe el número sin coma hasta el final del periodo y se
le resta la parte entera y el anteperiodo; en el denominador se ponen tantos
nueves como cifras tenga el periodo y tantos ceros como cifras tenga el
anteperiodo.
EJEMPLO
2 ,16 
216  21 195 13


90
90
6
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Números
3. Números decimales
REDONDEO
Se denomina redondeo a eliminar las cifras decimales a partir de una señalada.
Si la primera cifra que eliminamos es 5 o mayor, sumamos 1 a la última
cifra que se escribe.
Si la cifra es menor que 5, la última cifra que se escribe permanece igual.
EJEMPLO
Redondeamos a las centésimas
4 ,1678  4 ,17
0 ,0232  0 ,02
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Números
4. Potencias de exponente entero
POTENCIAS
DE
EXPONENTE ENTERO
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Números
5. Radicales
RADICAL DE ÍNDICE n, O RAÍZ N-ÉSIMA
Se denomina radical de índice n de un número a, o raíz n-ésima de un
número a, al número que elevado a n nos da a.
De esta forma, diremos que b es la raíz n-ésima de a siempre que bn = a
n
EJEMPLO
Resolver
3
a  bsiempre queb n  a
216
1. Descomponemos
el radicando en
factores primos:
216 2
108 2
54 2
27 3
9 3
3 3
1
2. Como es una raíz cúbica,
intentamos agrupar los factores en
tres grupos iguales:
216  23  33  63
3
216  3 63  6
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Números
5. Radicales
PRODUCTO Y DIVISIÓN DE RADICALES
A la hora de operar con radicales resultan muy útiles las siguientes expresiones
que nos permiten convertir cualquier radical en una potencia de índice
fraccionario:
n
1
n
m
n
a  a  a  a 
n
m
EJEMPLO
Resolver
3
11  115
1. Expresamos los radicales como
potencias de exponente
fraccionario:
3
1
3
11  11  11  11
5
5
2
2. Resolvemos aplicando las
propiedades de las potencias:
1
3
5
2
11  11  11
1 5

3 2
17
6
 11  6 1117
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Números
5. Radicales
EXTRACCIÓN DE FACTORES DE UN RADICAL
Utilizando la expresión que convierte los radicales en potencias, podemos
simplificar determinadas expresiones extrayendo factores de una raíz.
Cada vez que tengamos n factores iguales dentro de una raíz n-ésima podemos
sacar estos factores como uno solo que multiplica la raíz.
EJEMPLO
Resolver
180
1. Descomponemos el radicando en
factores primos:
180 2
90 2
45 3
15 3
5 5
1
180  22  32  5
2. Como se trata de una raíz
cuadrada, cada pareja de
factores se convierte en un factor
fuera de la raíz:
180  22  32  5  2  3  5  6  5
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Números
5. Radicales
SUMA Y RESTA DE RADICALES
Solo podemos sumar radicales si al extraer factores de ellos resultan ser el
mismo radical multiplicado por distintos números.
Si esto no es así y los radicales son distintos, lo único que podemos hacer es
dejar la operación indicada.
EJEMPLO
Resolver
45  3 20  11 63
1. Descomponemos
todos los radicandos
en factores primos:
2. Extraemos todos los
factores que sea
posible en cada
radical:
45  3  5
45  32  5  3 5
20  2  5
20  2  5  2 5
63  32  7
63  3  7  3 7
2
2
2
2
3. Sumamos y restamos
los radicales que sean
iguales:
45  3 20  11 63
3 5  3  2 5  11  3 7
3 5  6 5  33 7
9 5  33 7
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Números
6. Notación científica y unidades de medida
POTENCIAS DE BASE 10 Y EXPONENTE ENTERO
106  1000000
105  100000
10 4  10000
103  1000
102  100
101  10
100  1
10 1  0 ,1
10 2  0 ,01
10 3  0 ,001
10 4  0 ,0001
10 5  0 ,00001
10 6  0 ,000001
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Números
6. Notación científica y unidades de medida
NOTACIÓN CIENTÍFICA
Un número está expresado en notación científica cuando está escrito de la
siguiente forma:
a,bc
 10n
EJEMPLO
 Masa de un protón
mprotón = 0,00000000000000000000000000167 kg = 1,67 ⋅ 10–27 kg
EJEMPLO
 Distancia de la Tierra al Sol
d = 150 000 000 km = 1,5 ⋅ 108 km
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Números
6. Notación científica y unidades de medida
UNIDADES DE MEDIDA
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Una unidad de medida es un valor de una determinada magnitud que se
establece como patrón.
Para medir dicha magnitud comparamos lo que medimos con la unidad de
medida y determinamos cuántas veces la contiene.
Cada unidad de medida tiene un símbolo asociado.
Para cada unidad de medida podemos definir múltiplos y submúltiplos.
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Números
6. Notación científica y unidades de medida
UNIDADES DE MEDIDA
Algunas unidades de medida de magnitudes de físicas
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Números
6. Notación científica y unidades de medida
UNIDADES DE MEDIDA
Algunas unidades de medida múltiplos y submúltiplos
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Números
7. Errores
ERROR ABSOLUTO
Consiste simplemente en comparar, mediante una resta, el valor que hemos
obtenido con uno de referencia que consideramos exacto o verdadero.
Habitualmente este valor de referencia es la media de las mediciones que
hayamos hecho.
Al medir en diferentes ocasiones una magnitud obtenemos distintos valores.
Podemos considerar que la media de esos valores es el valor exacto de
nuestra medición. Lo denominamos VE
La diferencia entre cada medida y este valor exacto es el error absoluto de
cada medida.
Si realizamos la media de todos esos errores absolutos tenemos el promedio
del error absoluto. Se denomina EA
El resultado de un experimento se escribe como:
VE ± EA
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Números
7. Errores
ERROR RELATIVO Y PORCENTAJE DE ERROR
Para decidir si un error es importante o no, utilizamos el error relativo.
Se denomina ER y se calcula dividiendo el error absoluto EA entre el valor
considerado exacto de nuestra medición VE
ER 
EA
VE
Si lo multiplicamos por 100, obtenemos el porcentaje de error
%error  ER  100