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TEMA 10. CINEMÁTICA
GUIÓN DEL TEMA
INTRODUCCIÓN
1. VECTOR DE POSICIÓN. ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO.
2. VELOCIDAD.
3. ACELERACIÓN. COMPONENTES INTRÍNSECAS.
4. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.)
5. MOVIMIENTO
RECTILÍNEO
UNIFORMEMENTE
ACELERADO (M.R.U.A.). CAÍDA LIBRE.
6. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS.
6.1. MOVIMIENTO DE UNA BARCA AL CRUZAR UN RÍO.
6.2. MOVIMIENTOS PARABÓLICOS.
7. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (M.C.U.)
8. MOVIMIENTO
CIRCULAR
UNIFORMEMENTE
ACELERADO (M.C.U.A.)
INTRODUCCIÓN
• La mecánica es la parte de la física que estudia
las relaciones entre las fuerzas y los
movimientos. Se divide en dos partes:
cinemática y dinámica.
• La cinemática estudia el movimiento sin tener
en cuenta las fuerzas que lo provocan.
• La dinámica estudia los efectos que producen
las fuerzas sobre el movimiento.
1. VECTOR DE POSICIÓN. ECUACIÓN
DEL MOVIMIENTO.
• Movimiento y reposo son conceptos relativos.
• Se necesita un sistema de referencia SR
previo, para analizar si algo se mueve (cambia
de posición).
• Si elegimos un SR situado en el origen de
coordenadas, el vector de posición nos indica
la posición del móvil.

 

r  xi  yj  zk
1. VECTOR DE POSICIÓN. ECUACIÓN
DEL MOVIMIENTO.
1. VECTOR DE POSICIÓN. ECUACIÓN
DEL MOVIMIENTO.
• Las diferentes posiciones ocupadas por un
móvil forman la trayectoria.
• Llamamos ecuación del movimiento al vector
de posición cuando se expresa en función del

tiempo. 


r (t )  x(t )i  y (t ) j  z (t )k



2
• EJEMPLO:
r  4ti  (t  1) j (m)
• También se pueden expresar las coordenadas:
x = 4t
y = t2 - 1
1. VECTOR DE POSICIÓN. ECUACIÓN
DEL MOVIMIENTO.
• Si eliminamos el tiempo de dichas ecuaciones
obtenemos la ecuación de la trayectoria.
x = 4t
x2
y
1
16
y = t2 – 1
• Llamamos vector desplazamiento al vector que
tiene su origen en la posición inicial y su
extremo en la posición final.
 

r  r (t )  r (t0 )
1. VECTOR DE POSICIÓN. ECUACIÓN
DEL MOVIMIENTO.
1. VECTOR DE POSICIÓN. ECUACIÓN
DEL MOVIMIENTO.
• Llamamos espacio recorrido ∆s a la distancia
medida sobre la trayectoria entre la posición inicial y
final.
• El espacio recorrido y el módulo del vector
desplazamiento sólo son iguales si el movimiento es
rectilíneo y sin cambio de sentido.
• EJEMPLO 1.
El vector de
posición de una
partícula



r  (2t 2  t )i  (3t  1) j  4k
móvil es
Calcula el vector desplazamiento entre t = 1 s y t =
2 s.
2. VELOCIDAD
• Llamamos velocidad al cambio de posición
por unidad de tiempo. En el SI se mide en m/s.
• Es una magnitud vectorial.
• Llamamos velocidad media en un determinado
intervalo de tiempo al vector:


r
vm 
t
• EJEMPLO 2. Calcula la velocidad media del
móvil del ejemplo 1.
2. VELOCIDAD
• Si los intervalos anteriores se hacen infinitamente
pequeños se obtiene la velocidad instantánea:


dr
v 
dt

v
• Es tangente a la trayectoria.
• No se trata de un cociente sino de una operación
matemática que se llama derivada. A continuación
veremos unos ejemplo de derivadas sencillas.
2. VELOCIDAD
•
•
•
•
•
•
EJEMPLOS DE DERIVADAS SENCILLAS
5
su derivada es
0
t
su derivada es
1
5t
su derivada es 5
t2 su derivada es 2t
5t2 su derivada es 10t
1
f (t ) su derivada es
f ' (t )
2
f (t )
2. VELOCIDAD
• EJEMPLO 3. Calcula la velocidad instantánea
para t = 3 s, del móvil del ejemplo 2.
• El módulo del vector velocidad es la rapidez v
del móvil.
• EJEMPLO 4. Calcula la rapidez del móvil
anterior.
2. VELOCIDAD
• Si conocemos la expresión del espacio recorrido
sobre la trayectoria en función del tiempo
podemos conocer la rapidez media o
instantánea (coloquialmente velocidad).
s
vm 
t
ds
v
dt
2. VELOCIDAD
• EJERCICIO 1. El vector de posición de un móvil es:



3
r  (2t  t  5)i  (5t  2) j (m)
Calcula la velocidad en el instante t = 2 s.
• EJERCICIO 2. La posición del móvil en función del tiempo
viene dada por la siguiente expresión:
s(t) = t2 - 5t + 3 (m)
a) Calcula el desplazamiento entre los instantes t = 0 s y t =
3 s.
b) La velocidad media en dicho intervalo.
c) La velocidad instantánea en función del tiempo.
d) La velocidad a los 3 s.
3. ACELERACIÓN. COMPONENTES
INTRÍNSECAS
• Se define la aceleración como el cambio del
vector velocidad por unidad de tiempo. En el
SI se mide en m/s2.



v
• Aceleración media am 
t
• Aceleración instantánea


dv
a 
dt
• EJEMPLO 5. Calcula la aceleración del móvil
del ejemplo 3 para t = 3 s.
3. ACELERACIÓN. COMPONENTES
INTRÍNSECAS
• La aceleración se puede expresar en función de
unas componentes referidas a un SR situado en
el propio móvil. Se llaman componentes
intrínsecas.
Son
dos,
la
aceleración
tangencial y la aceleración normal o
centrípeta.
at

v

an

a
3. ACELERACIÓN. COMPONENTES
INTRÍNSECAS
• La aceleración tangencial mide el cambio de
rapidez o módulo del vector velocidad por
unidad de tiempo.
• La aceleración normal mide el cambio de
dirección por unidad de tiempo.
• Hay dos modos para calcular ambas
componentes:
• MODO 1

2
at 
dv
dt
an 
v
R
a 2  at2  an2
3. ACELERACIÓN. COMPONENTES
INTRÍNSECAS
MODO 2
at  a·cos 

 
a·v  a ·v ·cos 
an  a·sen
Las componentes intrínsecas se pueden expresar
de manera vectorial:


at  at ·uv
  
an  a  at
3. ACELERACIÓN. COMPONENTES
INTRÍNSECAS
• EJEMPLO 6. En un determinado instante, la
velocidad de una partícula es de 5 m/s, su
aceleración es 10 m/s2, y el ángulo entre ambos
vectores es 30º. Determine las componentes
intrínsecas y el radio de curvatura.
EJERCICIOS PARA PRACTICAR
EJERCICIO 3. La velocidad de
un móvil,
en un instante


determinado es v  72i  21 j (m/s). La
aceleración del móvil en este instante es:



a  38i  41 j (m/s2)
Halla el módulo y las componentes tangencial y
normal de la aceleración en ese instante.
EJERCICIO 4. El vector de posición de un móvil es:



(m)
r  2ti  (t  3) j
Calcula la ecuación de la trayectoria, el desplazamiento,
la velocidad media entre los instantes t = 1 s y t = 4 s.
2
EJERCICIOS PARA PRACTICAR
EJERCICIO 5. El vector de posición de un móvil es:



2
r  8ti  (20  6t  5t ) j (m)
a) Halla la velocidad instantánea y la aceleración en
función del tiempo.
b) ¿Qué tipo de movimiento tiene el móvil?
c) Calcula el ángulo que forma el vector velocidad y el
vector aceleración a los 2 s.
EJERCICIO 6. El vector de posición de un móvil es:



2
2
r  2t i  (5  t  3t ) j (m)
Calcula la aceleración tangencial y normal a los 2 s de
iniciado el movimiento.
4. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
UNIFORME (M.R.U.)
• Trayectoria recta (an = 0) y rapidez constante (at
= 0).
• El vector velocidad es constante.
  
• La ecuación del movimiento es: r  r0  v·(t  t0 )
• Si nos movemos en el eje OX podemos trabajar
escalarmente:
x  x0  v·(t  t0 )
4. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
UNIFORME (M.R.U.)
GRÁFICA x-t
GRÁFICA v-t
4. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
UNIFORME (M.R.U.)
• EJEMPLO 7. Dos puntos P y Q distan 300 m. De P
sale un móvil y se dirige hacia Q a 15 m/s. Otro
móvil sale de Q, 4 s más tarde, y se dirige hacia P a
25 m/s. Determina numérica y gráficamente el
instante y la posición en que se cruzan.
• EJERCICIO 7. Un móvil parte de la posición inicial
20 m en el instante 0 s, y se desplaza con una
velocidad constante de 20 m/s en sentido positivo.
Otro móvil sale en su persecución dos segundos
más tarde desde la posición 0 m con una velocidad
de 30 m/s. Determina numérica y gráficamente
dónde se encontrarán.
5. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE
ACELERADO (M.R.U.A.). CAÍDA LIBRE.
• Trayectoria recta (an=0) y el módulo de la
velocidad cambia de manera uniforme (at=k≠0).

• Su aceleración a es constante
y
tiene
la
misma

dirección que la velocidad v .
• La ecuaciones del movimiento son:
  
1
r  r0  v0 ·(t  t0 )  ·a·(t  t0 ) 2
2
  
v  v0  a·(t  t0 )
5. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE
ACELERADO (M.R.U.A.). CAÍDA LIBRE.
• Si nos movemos en el eje OX podemos trabajar
escalarmente:
1
x  x0  v0 ·(t  t0 )  ·a·(t  t0 ) 2
2
v  v0  a·(t  t0 )
v 2  v02  2·a·( x  x0 )
5. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE
ACELERADO (M.R.U.A.). CAÍDA LIBRE.
GRÁFICA x-t
GRÁFICA v-t
5. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE
ACELERADO (M.R.U.A.). CAÍDA LIBRE.
• EJEMPLO 8. Un tren que se mueve a 18 km/h,
tarda un minuto en alcanzar una velocidad de 108
km/h, aumentando uniformemente su velocidad.
Calcula la aceleración y el desplazamiento realizado
en ese tiempo.
• EJERCICIO 8. Un coche que se mueve a 90 km/h,
frena y en una distancia de 40 m se detiene.
Calcula:
a) La aceleración de frenado.
b) El tiempo que tarda en pararse.
5. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE
ACELERADO (M.R.U.A.). CAÍDA LIBRE.
• EJERCICIO 9. Desde dos puntos A y B separados una
distancia de 110 m, se dirigen uno al encuentro del otro,
dos móviles. El que sale de A parte del reposo y lleva
una aceleración de 4 m/s2. El otro sale de B dos
segundos más tarde y se dirige hacia A con una
velocidad constante de 20 m/s. ¿Dónde se encontrarán?
• EJERCICIO 10. Un hombre corre con la mayor
velocidad que puede alcanzar, 6 m/s, para tomar un tren
que está a punto de partir. Cuando se encuentra en el
andén a 32 m de la escalerilla del último vagón, el tren
se pone en marcha con una aceleración constante de
0,5 m/s2. ¿Conseguirá el hombre alcanzar el tren?
5. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE
ACELERADO (M.R.U.A.). CAÍDA LIBRE.
• La caída libre es un caso particular de M.R.U.A.
• Si el SR se toma en la parte más baja, la aceleración
a = - g = - 9,8 m/s2, positivas las velocidades cuando se
mueve hacia arriba y negativas cuando se mueva hacia
abajo.
• Las ecuaciones son:
y  y0  v0 ·(t  t 0 ) 
1
·g·(t  t 0 ) 2
2
v  v0  g·(t  t0 )
v 2  v02  2·g·( y  y0 )
5. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE
ACELERADO (M.R.U.A.). CAÍDA LIBRE.
• EJEMPLO 9. Desde una altura de 9 m se lanza
verticalmente y hacia arriba un cuerpo con una
velocidad inicial de 12 m/s. Calcula:
a) La altura y la velocidad a los 2 s.
b) El tiempo en llegar al suelo.
c) La altura máxima alcanzada.
• EJERCICIO 11. Un punto A se encuentra en la misma
vertical que otro punto B, a 60 m de altura sobre éste.
Desde A se deja caer un cuerpo. Dos segundos después
se lanza otro cuerpo verticalmente hacia arriba desde B,
con una velocidad de 20 m/s. ¿A qué altura chocarán
ambos cuerpos?
5. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE
ACELERADO (M.R.U.A.). CAÍDA LIBRE.
• EJERCICIO 12. Desde un punto situado a 30 m de
altura sobre el suelo se lanza verticalmente y hacia
abajo un cuerpo con una velocidad de 2 m/s. Un
segundo más tarde se lanza desde un punto del
suelo, situado en la misma vertical, un cuerpo con
una velocidad de 20 m/s. ¿Dónde se encontrarán?
• EJERCICIO 13. Desde un globo que se encuentra a
100 m de altura sobre el suelo y que asciende con
velocidad constante de 6 m/s, se deja caer un
objeto. ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo?
5. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE
ACELERADO (M.R.U.A.). CAÍDA LIBRE.
• EJERCICIO 14. Desde lo alto de una torre se deja caer una
piedra sin velocidad inicial. Dos segundos más tarde se lanza
otra piedra desde la misma posición con una velocidad inicial
de 25 m/s, dirigida verticalmente hacia abajo. Calcula la altura
de la torre sabiendo que ambas llegan al suelo
simultáneamente y que la resistencia del aire es
despreciable. ¿Cuál será la velocidad que alcanzará cada
una de ellas?
• EJERCICIO 15. Desde el suelo, se lanza verticalmente y
hacia arriba un cuerpo con velocidad de 50 m/s. Dos
segundos más tarde desde un punto situado a una altura de
125 m en la misma vertical que el primero, se lanza
verticalmente y hacia abajo un cuerpo con un velocidad de 5
m/s. Calcula dónde se encontrarán.
5. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE
ACELERADO (M.R.U.A.). CAÍDA LIBRE.
• EJERCICIO 16. Desde un punto situado a 45 m de
altura sobre el suelo se lanza verticalmente y hacia
abajo un cuerpo con velocidad de 2 m/s. Un
segundo más tarde se lanza, verticalmente y hacia
arriba, desde un punto del suelo, situado en la
misma vertical, un cuerpo con velocidad de 30 m/s.
¿Dónde se encontrarán?
• EJERCICIO 17. Desde un globo que se encuentra a
120 m de altura sobre el suelo y que asciende con
velocidad constante de 5 m/s, se deja caer un
objeto. ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo?
5. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
UNIFORMEMENTE
ACELERADO (M.R.U.A.).
CAÍDA LIBRE.
EJERCICIO 18. De un
tubo
de
calefacción
gotea agua al suelo, que
se encuentra a 2,20 m
de distancia. Las gotas
caen
a
intervalos
regulares, llegando la
primera gota al suelo
cuando
comienza a
caer la quinta. Calcula la
posición de cada una de
las gotas, cuando una
de ellas está llegando al
suelo.
6. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS.
• La composición de movimientos cumple el principio de
Galileo, que nos indica que algunos movimientos
pueden
descomponerse
en
movimientos
independientes. (“Si sobre un móvil actúan
simultáneamente dos o más movimientos, el cambio
de la posición es independiente de que actúen
simultánea o sucesivamente”).
• En estos casos, el tratamiento vectorial nos permite
resolver mucho más fácilmente.
• Un ejemplo es el movimiento de una barca al cruzar
un río, ya que el movimiento se descompone en dos
movimientos, el debido a la corriente y el debido al
motor de la barca.
6.1. MOVIMIENTO DE UNA
BARCA AL CRUZAR UN
RÍO.
Se cumple:
  
r  r0  v·(t  t0 )
EJEMPLO 10. Un barquero
trata de cruzar un río de 100 m
de anchura poniendo rumbo
perpendicular a la orilla
opuesta con velocidad de 1,3
m/s. La velocidad de la
corriente es de 0,5 m/s.
Calcula:
a) La posición y la velocidad
de la barca a los 7 s.
b) El tiempo que tardará en
atravesar el río.
c) ¿En qué punto de la orilla
opuesta desembarcará?
6.2. MOVIMIENTO PARABÓLICO.
• Otro ejemplo de composición de movimientos es el
movimiento parabólico.
• Tanto si se trata de un tiro horizontal (α = 0º), como si
se trata de un tiro oblicuo (α ≠ 0º), se cumplen las
ecuaciones.
  
  
1
2
v  v0  a·(t  t0 )
r  r0  v0 ·(t  t0 )  ·a·(t  t0 )
2
• Donde:



r  xi  yj



v  vx i  v y j



v0  v0 ·cos  ·i  v0 ·sen · j


a  9,8 j (m / s 2 )
6.2 MOVIMIENTO
PARABÓLICO.
TIRO HORIZONTAL
RECUERDA:
- CUANDO LLEGA AL SUELO
y=0
- EL ÁNGULO DEL LANZAMIENTO ES
α=0
EJEMPLO 11. Un avión que
vuela a 500 m de altura y a
900 km/h, deja caer un
objeto pesado en el
instante en que sobrevuela
un punto P de una llanura.
¿A qué distancia de P
chocará el objeto contra el
suelo si la resistencia del
aire es despreciable?
6.2. MOVIMIENTO PARABÓLICO.
TIRO HORIZONTAL.
EJERCICIO 19. Desde un acantilado de 60 m de altura se lanza un cuerpo
horizontalmente con velocidad 20 m/s. Calcula:
a) La posición y la velocidad a los 2 s del lanzamiento.
b) El tiempo que tarda en llegar a la superficie del agua.
c) ¿A qué distancia medida desde el pie del acantilado llega al agua?
d) ¿Con qué velocidad entra en el agua?
EJERCICIO 20. Desde la terraza de un edificio de 30 m de altura se lanza
horizontalmente una piedra con una velocidad inicial de 40 m/s.
a) Expresa los vectores de posición y velocidad en función del tiempo.
b) Calcula a qué distancia del edificio chocará contra el suelo.
c) La velocidad de impacto con el suelo.
EJERCICIO 21. Desde una altura de 80 m se lanza un cuerpo horizontalmente. ¿Qué
velocidad inicial habrá que comunicarle para que caiga al suelo a una distancia de
50 m, medida horizontalmente?
6.2. MOVIMIENTO PARABÓLICO.
TIRO HORIZONTAL.
EJERCICIO 22. Desde la terraza de un edificio de 45 m de altura se
lanza un objeto en una dirección horizontal y perpendicular a la
pared del edificio de enfrente. Si la anchura de la calle es de 30 m y
el objeto impacta contra dicho edificio a una altura de 15 m del
suelo, calcula:
a) La velocidad inicial aplicada a dicho objeto.
b) El vector velocidad del objeto en el momento del impacto.
EJERCICIO 23. Un avión que vuela a 740 m de altura y a 360 km/h,
deja caer un objeto pesado en el instante en el que sobrevuela un
punto P de una llanura. ¿A qué distancia de P chocará el objeto
contra el suelo si la resistencia del aire es despreciable?
EJERCICIO 24. Desde una altura de 5 m se lanza un cuerpo
horizontalmente, ¿qué velocidad inicial habrá que comunicarle para
que caiga al suelo a una distancia de 8 m, medida horizontalmente?
6.2. MOVIMIENTO
PARABÓLICO.
TIRO OBLICUO.
• Si el lanzamiento se realiza
desde el suelo, también
podemos utilizar las siguientes
ecuaciones que nos facilitan
los cálculos:
xmáx
ymáx
v02 ·sen 2

g
v02·sen 2

2g
•También podemos trabajar
teniendo en cuenta que:
- Cuando se alcanza la altura
máxima Vy= 0
- Cuando se llega al suelo
y=0
6.2. MOVIMIENTO PARABÓLICO.
TIRO OBLICUO.
• EJERCICIO 25. Se lanza un cuerpo oblicuamente hacia arriba con
una velocidad de 32 m/s, que forma un ángulo de 30º con la
horizontal.
a) ¿A qué distancia del punto de partida caerá si el suelo es
horizontal?
b) ¿Cuál será su velocidad 2 s después de lanzarlo?
c) Calcula la altura máxima que alcanza.
• EJERCICIO 26. Calcula la velocidad con que debemos lanzar un
proyectil si el ángulo de tiro es 37º y queremos que el alcance sea
de 1000 m.
• EJERCICIO 27. El arquero que encendió la llama olímpica lanzó la
flecha en una dirección que formaba un ángulo de 53º con la
horizontal. ¿Con qué velocidad la impulsó si debía llegar a la
antorcha, situada a 80 m de distancia y a 50 m por encima del nivel
en que se encontraba?
6.2. MOVIMIENTO PARABÓLICO.
TIRO OBLICUO.
• EJERCICIO 28. Calcula la velocidad con que
debemos lanzar oblicuamente un proyectil si el
ángulo de tiro es 53º si queremos que tenga un
alcance de 500 m.
• EJERCICIO 29. ¿Con qué velocidad debemos
lanzar oblicuamente un objeto formando un
ángulo de 60º con la horizontal, si queremos
que impacte en un blanco situado a 30 m de
distancia y 40 m de altura?
6.2. MOVIMIENTO
PARABÓLICO.
TIRO OBLICUO DESDE CIERTA
ALTURA.
EJERCICIO 30. Desde una
altura de 50 m sobre el suelo,
se
lanza
un
cuerpo
oblicuamente hacia arriba con
una velocidad inicial de 25 m/s,
que forma un ángulo de 37º
con la horizontal. Suponiendo
nula la resistencia con el aire,
determina:
a) El vector de posición en
función del tiempo.
b) El punto en el que
chocará
contra
la
superficie horizontal del
suelo.
c) La velocidad del móvil en
función del tiempo.
d) La velocidad de impacto
en el suelo.
e) La altura máxima que
alcanzará el móvil.
6.2. MOVIMIENTO PARABÓLICO.
TIRO OBLICUO DESDE CIERTA ALTURA.
• EJERCICIO 31. Desde un edificio de 40 m de altura, se lanza
un cuerpo oblicuamente y hacia abajo con una velocidad de
10 m/s, que forma un ángulo con la horizontal de 37º. Calcula
el vector velocidad del móvil en el instante en que llega al
suelo. ¿A qué distancia del edificio choca contra el suelo?
• EJERCICIO 32. Desde una altura de 60 m sobre el suelo, se
lanza un cuerpo oblicuamente hacia arriba con una velocidad
inicial de 50 m/s, formando un ángulo de 53º con la
horizontal.
a) El vector de posición en función del tiempo.
b) El punto en que chocará contra el suelo.
c) La velocidad en función del tiempo.
d) La altura máxima que alcanzará el móvil.
7. MOVIMIENTO CIRCULAR
UNIFORME (M.C.U.)
7. MOVIMIENTO CIRCULAR
UNIFORME (M.C.U.)
• Trayectoria circular (an = K ≠ 0) y rapidez
constante (at = 0).
• La aceleración normal o centrípeta es la
responsable del cambio de dirección. Mide el
cambio de dirección por unidad de tiempo.
v2
an 
R
• Como hemos visto en el tema anterior, la
aceleración normal se dirige al centro de giro.
7. MOVIMIENTO
CIRCULAR UNIFORME
(M.C.U.)
Medimos los ángulos en
grados
sexagesimales
(ejemplo: 30º), pero en
Física se utiliza otra
unidad, el radián (rad). Es
la unidad del SI.
Un radián es un ángulo
central,
tal
que
la
longitud del arco es igual
al radio.
360º = 2π rad
180º = π rad
1 rev = 2π rad
7. MOVIMIENTO
CIRCULAR UNIFORME
(M.C.U.)
A partir del ángulo girado
se puede calcular el arco
sobre la circunferencia Δs,
s  ·R
Permite
conocer
la
distancia recorrida Δs por
un vehículo con ruedas de
radio R, que giran un
determinado número de
vueltas.
N º vueltas 

2
7. MOVIMIENTO CIRCULAR
UNIFORME (M.C.U.)
• La velocidad angular ω se define como el
ángulo descrito por unidad de tiempo.


t
• Se mide en rad/s, en el SI.
• También se mide en revoluciones por minuto
rpm (rev/min) o revoluciones por segundo rps
(rev/s).
• Ejemplo. Pasar 740 rpm a rad/s.
7. MOVIMIENTO CIRCULAR
UNIFORME (M.C.U.)
• El período T es el tiempo que tarda en dar
una vuelta. Se mide en segundos s.


t

1vuelta

2
T

T 
2

• La frecuencia del movimiento f es el número
de vueltas por segundo. Es el inverso del
período.
• Se mide en hertzios (Hz) o en s-1.
n º vueltas
1
f 
 f 
t
T
7. MOVIMIENTO CIRCULAR
UNIFORME (M.C.U.)
• EJEMPLO. Una rueda gira a 2000 rpm. Calcula
cuánto tiempo tarda en dar una vuelta y cuántas
vueltas da por segundo.
• EJERCICIO 33. Un disco tarda 4 s en dar un
giro completo alrededor de un eje perpendicular
que pasa por su centro. Calcula la velocidad
angular en rad/s y en rev/min.
7. MOVIMIENTO CIRCULAR
UNIFORME (M.C.U.)
• La relación entre la velocidad lineal v (m/s) y la
velocidad angular ω (rad/s) es la siguiente:
s ·R
v

 ·R
t
t

v  ·R
• En un sólido rígido que gira, la velocidad lineal de
sus puntos será mayor cuanto mayor sea el radio.
• EJERCICIO 34. Las ruedas de un vehículo tienen
un radio de 40 cm. ¿Cuántas revoluciones por
minuto da la rueda cuando el vehículo se desplaza
a 54 km/h? ¿Cuál es el valor de la aceleración
normal de un punto de la periferia de la rueda?
7. MOVIMIENTO
CIRCULAR UNIFORME
(M.C.U.)
EJEMPLO. Consideremos dos
puntos situados en un disco de
20 cm de radio. Un punto está
situado en la periferia y el otro
punto a 12 cm del centro. Si el
disco gira a 33 rpm, ¿qué punto
gira
con
mayor
velocidad
angular? ¿Y cuál con mayor
velocidad lineal?
Calcula la velocidad angular y la
lineal.
EJERCICIO 35. Un punto A de
una rueda, que gira con M.C.U.,
está situado a 20 cm del eje de
rotación y tiene una velocidad
lineal de 8 m/s.
Calcula la velocidad lineal de
otro punto B, de la misma rueda,
que se encuentra a 30 cm del
eje.
7. MOVIMIENTO
CIRCULAR UNIFORME
(M.C.U.)
EJEMPLO. Indica qué
polea gira con mayor
velocidad angular, si la
correa de transmisión tiene
una velocidad de 5 cm/s.
7. MOVIMIENTO
CIRCULAR UNIFORME
(M.C.U.)
EJERCICIO 36. Calcula la
velocidad lineal en km/h de
un punto situado en:
a) En el ecuador.
b) En Torrevieja a 38º de
latitud norte.
DATO.
Radio de la Tierra = 6370 km
8. MOVIMIENTO CIRCULAR
UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.C.U.A.)
• Cuando un cuerpo en rotación cambia su velocidad
angular ω, entonces decimos que posee una
aceleración angular α. Se mide en rad/s2.
• La aceleración angular media se calcula:     0
t  t0
• Como en el M.C.U.A. la aceleración angular es
constante se cumple:
  0  ·(t  t0 )
1
   0  0 ·(t  t0 )  · ·(t  t0 ) 2
2
8. MOVIMIENTO CIRCULAR
UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.C.U.A.)
• Cuando no se conoce el tiempo podemos utilizar:
 2   2  2··(  0 )
0
• Las componentes intrínsecas de la aceleración
también se pueden expresar en función de magnitudes
angulares:
at   ·r
an   ·r
2
8. MOVIMIENTO CIRCULAR
UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.C.U.A.)
• EJEMPLO. Sobre una rueda de 50 cm de diámetro que
gira a 2400 r.p.m., actúa una fuerza de frenado que hace
que se pare en 30 segundos. Calcula: a) La aceleración
angular de frenado. b) El número de vueltas que da la
rueda hasta que se para.
• EJERCICIO 37. Una rueda de 0.1 m de radio está
girando con una velocidad angular de 4π rad/s, cuando se
le aplican los frenos y se detiene en 4 s. Calcular: a) La
aceleración angular. b) En el instante t =1 s, la posición y
la velocidad angular del la rueda. c) La velocidad lineal
del móvil en ese instante. d) Las componentes tangencial
y normal de la aceleración en dicho momento.
8. MOVIMIENTO CIRCULAR
UNIFORMEMENTE ACELERADO
(M.C.U.A.)
• EJERCICIO 38. Calcula la velocidad angular, la
velocidad lineal, la aceleración angular, la aceleración
tangencial y la aceleración centrípeta de la Luna,
sabiendo que da una vuelta completa alrededor de la
Tierra en 28 días y que la distancia Tierra-Luna es
384104 km. Considera la trayectoria circular.
• EJERCICIO 39. Una rueda de 70 cm de diámetro parte
del reposo y va aumentando su velocidad
uniformemente hasta alcanzar una velocidad angular de
10 rad/s en 20 s. Calcular:
a) La aceleración angular.
b) El ángulo girado en ese tiempo.
c) La velocidad lineal de un punto de la periferia en ese
instante.
8. MOVIMIENTO CIRCULAR
UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.C.U.A.)
• EJERCICIO 40. Un tocadiscos gira a razón de 33
rpm. Se interrumpe la corriente y como
consecuencia del rozamiento aparece una
aceleración angular negativa de 0,5 rad/s2. Calcule:
a) El tiempo que tarda en pararse.
b) El número de vueltas que da en ese tiempo.
• EJERCICIO 41. La velocidad angular de una rueda
disminuye uniformemente desde 10000 hasta 500
rpm en 10 s. Calcule:
a) Su aceleración angular.
b) El número de vueltas en ese periodo.
c) El tiempo total que tardaría en pararse.