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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Objetivos:
Identificar las identidades trigonométricas
fundamentales.
Aplicar las identidades fundamentales, en
la demostración y simplificación de
expresiones trigonométricas.
RELACIONES FUNDAMENTALES ENTRE LAS FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO
Usando el círculo Trigonométrico unitario se deduce que las
funciones trigonométricas son:
y
sen   y
1
x
cos    x
1
y
tan  
x
1
csc  
y
1
sec  
x
x
cot  
y
RELACIONES INVERSAS:
Del gráfico anterior se deduce lo siguiente:
sen. csc  1
cos.sec  1
tan . cot   1
1
csc  
sen
1
sen 
csc 
1
sec  
cos 
1
cos  
sec 
1
tan  
cot 
1
cot α 
tan α
RELACIONES DE COCIENTES:
También del gráfico anterior se deduce lo siguiente:
Si
y
tan  
x
; pero
sen  y
;
cos   x
sen
tan  
cos 
x
cot  
y
; pero
cos   x
cos 
cot  
sen
;
sen  y
RELACIONES PITAGÓRICAS:
En el  rectángulo se tiene:
y 2  x2  1
(teorema de Pitágoras)
De lo que se deduce lo siguiente:
sen   cos   1
2
2
1  tan   sec 
2
2
1  cot   csc 
2
2
Las relaciones deducidas anteriormente reciben el nombre
de identidades trigonométricas fundamentales, y son
las fichas con las cuales vamos a jugar para simplificar
expresiones trigonométricas y demostrar identidades
trigonométricas.
DEFINICIÓN: Una identidad trigonométrica es una igualdad
que se cumple para cualquier valor del ángulo.
DEMOSTRAR una identidad es un proceso de comprobar si
una identidad es realmente una identidad, para lo cual se
hacen transformaciones, se usan las identidades
fundamentales.
SIMPLIFICAR una expresión trigonométricas consiste en
convertir la expresión original en otra más simple y
elemental.
CONSEJOS AL DEMOSTRAR:
1. Algunas veces, conviene expresar las funciones en términos
de seno y coseno.
2. También, realizar operaciones aritméticas y
algebraicas(factorización y/o simplificación).
3. Ó utilizar algún artificio si es necesario.
4. Trabajar con el miembro más complejo para convertirlo en el
otro.
DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES
TRIGONOMÉTRICAS
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 1: 𝐷𝑒𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 9𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 − 5𝑡𝑎𝑛2 𝜃 = 5 + 4𝑠𝑒𝑐 2 𝜃
Demostración
9𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 − 5𝑡𝑎𝑛2 𝜃 = 9𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 − 5(𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 − 1), ya que
= 9 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 − 5𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 + 5

𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 = 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝜃

𝑡𝑎𝑛2 𝜃 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 − 1
, destruyendo paréntesis
= 4𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 + 5
Reduciendo términos semejantes
= 5 + 4𝑠𝑒𝑐 2 𝜃
Ordenando
Con lo que hemos demostrado la identidad trigonométrica
2
2
ejemplo 2: demuestre la siguiente identidad trigonométrica Tan x  Sen x  Csc x  Sec x
DEMOSTRACIÓN
𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑠𝑐𝑥 = 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙
1
𝑠𝑒𝑛𝑥
= 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙
= 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 1
= 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥
1
𝑠𝑒𝑛𝑥
sustituyendo 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 𝑝𝑜𝑟
1
𝑠𝑒𝑛𝑥
, cancelando seno nos queda
Ya que 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥
Con lo que hemos demostrado la identidad trigonométrica
Ejemplo 3.- demostrar la siguiente identidad.
Sen 2 x  Cos 2 x  Sen x  Csc x
Como
que :
Sen 2 x  Cos 2 x  1 y Csc x 
1  Sen x 
1
Sen x
, si los sustituimos, tenemos
1
Sen x
1
Simplificamos senos, 1  Sen x 
Sen x
y tenemos que: 1  1
Con lo que queda demostrada la identidad trigonométrica.
1
2

Cos
x 1
2
Csc x
Ejemplo 4.- Demostrar la siguiente identidad:
1
2
Csc
x

Como
Sen 2 x , sustituimos y nos queda:

1
 Cos 2 x  1
1
Sen 2 x

Multiplicando medios y extremos obtenemos: 1  Sen 2 x  Cos 2 x  1
Que equivale a: Sen² x + Cos² x =
1
Como Sen² x + Cos² x = 1 , sustituyendo llegamos a: 1 = 1
Con lo que queda demostrada la identidad trigonométrica.
Ejemplo 5.- Demostrar la siguiente identidad:
Sacando común denominador tenemos:
Como Cos 2 x  Sen 2 x  1
y
Csc 2 x 
1
Sen 2 x
Cos 2 x
2

1

Csc
x
2
Sen x
Cos 2 x  Sen 2 x
 Csc 2 x
2
Sen x
,obtenemos la siguiente igualdad:
1
1

Sen 2 x Sen 2 x
Con lo que hemos demostrado la identidad trigonométrica