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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Objetivos: Identificar las identidades trigonométricas fundamentales. Aplicar las identidades fundamentales, en la demostración y simplificación de expresiones trigonométricas. RELACIONES FUNDAMENTALES ENTRE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO Usando el círculo Trigonométrico unitario se deduce que las funciones trigonométricas son: y sen y 1 x cos x 1 y tan x 1 csc y 1 sec x x cot y RELACIONES INVERSAS: Del gráfico anterior se deduce lo siguiente: sen. csc 1 cos.sec 1 tan . cot 1 1 csc sen 1 sen csc 1 sec cos 1 cos sec 1 tan cot 1 cot α tan α RELACIONES DE COCIENTES: También del gráfico anterior se deduce lo siguiente: Si y tan x ; pero sen y ; cos x sen tan cos x cot y ; pero cos x cos cot sen ; sen y RELACIONES PITAGÓRICAS: En el rectángulo se tiene: y 2 x2 1 (teorema de Pitágoras) De lo que se deduce lo siguiente: sen cos 1 2 2 1 tan sec 2 2 1 cot csc 2 2 Las relaciones deducidas anteriormente reciben el nombre de identidades trigonométricas fundamentales, y son las fichas con las cuales vamos a jugar para simplificar expresiones trigonométricas y demostrar identidades trigonométricas. DEFINICIÓN: Una identidad trigonométrica es una igualdad que se cumple para cualquier valor del ángulo. DEMOSTRAR una identidad es un proceso de comprobar si una identidad es realmente una identidad, para lo cual se hacen transformaciones, se usan las identidades fundamentales. SIMPLIFICAR una expresión trigonométricas consiste en convertir la expresión original en otra más simple y elemental. CONSEJOS AL DEMOSTRAR: 1. Algunas veces, conviene expresar las funciones en términos de seno y coseno. 2. También, realizar operaciones aritméticas y algebraicas(factorización y/o simplificación). 3. Ó utilizar algún artificio si es necesario. 4. Trabajar con el miembro más complejo para convertirlo en el otro. DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 1: 𝐷𝑒𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 9𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 − 5𝑡𝑎𝑛2 𝜃 = 5 + 4𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 Demostración 9𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 − 5𝑡𝑎𝑛2 𝜃 = 9𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 − 5(𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 − 1), ya que = 9 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 − 5𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 + 5 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 = 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝜃 𝑡𝑎𝑛2 𝜃 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 − 1 , destruyendo paréntesis = 4𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 + 5 Reduciendo términos semejantes = 5 + 4𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 Ordenando Con lo que hemos demostrado la identidad trigonométrica 2 2 ejemplo 2: demuestre la siguiente identidad trigonométrica Tan x Sen x Csc x Sec x DEMOSTRACIÓN 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑠𝑐𝑥 = 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙ 1 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙ = 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 1 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 1 𝑠𝑒𝑛𝑥 sustituyendo 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 𝑝𝑜𝑟 1 𝑠𝑒𝑛𝑥 , cancelando seno nos queda Ya que 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 Con lo que hemos demostrado la identidad trigonométrica Ejemplo 3.- demostrar la siguiente identidad. Sen 2 x Cos 2 x Sen x Csc x Como que : Sen 2 x Cos 2 x 1 y Csc x 1 Sen x 1 Sen x , si los sustituimos, tenemos 1 Sen x 1 Simplificamos senos, 1 Sen x Sen x y tenemos que: 1 1 Con lo que queda demostrada la identidad trigonométrica. 1 2 Cos x 1 2 Csc x Ejemplo 4.- Demostrar la siguiente identidad: 1 2 Csc x Como Sen 2 x , sustituimos y nos queda: 1 Cos 2 x 1 1 Sen 2 x Multiplicando medios y extremos obtenemos: 1 Sen 2 x Cos 2 x 1 Que equivale a: Sen² x + Cos² x = 1 Como Sen² x + Cos² x = 1 , sustituyendo llegamos a: 1 = 1 Con lo que queda demostrada la identidad trigonométrica. Ejemplo 5.- Demostrar la siguiente identidad: Sacando común denominador tenemos: Como Cos 2 x Sen 2 x 1 y Csc 2 x 1 Sen 2 x Cos 2 x 2 1 Csc x 2 Sen x Cos 2 x Sen 2 x Csc 2 x 2 Sen x ,obtenemos la siguiente igualdad: 1 1 Sen 2 x Sen 2 x Con lo que hemos demostrado la identidad trigonométrica