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Álgebra y Geometría Analítica
"LA RECTA EN EL PLANO"
INTRODUCCIÓN
Existen problemas del área de la Economía y de la Administración, que se resuelven
mediante el planteo y resolución de modelos matemáticos. Algunos de estos
modelos son ecuaciones lineales de oferta, demanda, costos, etc. Estos son casos
particulares de los llamados modelos lineales.
A modo de ejemplo supongamos la siguiente situación :
 Un fabricante de bicicletas desea conocer la relación que existe entre
el precio por unidad, p, y la cantidad de bicicletas ofrecidas al
mercado, x. Para ello, le solicita a un especialista un "estudio de
mercado", quien luego de realizarlo, le informa que la relación entre x
y p puede responder a un modelo lineal con dos variables.
El fabricante dispone además de la siguiente información:

cuando el precio unitario es $ 100 se ofrecen
al mercado 150 unidades

cuando el precio unitario es $200 se ofrecen
al mercado 450 unidades
La pregunta que se plantea el fabricante es la siguiente :
Con los datos disponibles, ¿ qué cantidad corresponde ofrecer al mercado
cuando el precio unitario es $150?
Para aplicar modelos lineales es preciso conocer conceptos matemáticos
relacionados con la recta, limitando el tema de interés a la recta en el plano.
Para hacer el abordaje de este tema el alumno deberá contar con conocimientos
previos sobre:

Elementos de trigonometría

Vectores

Resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
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MAPA CONCEPTUAL
Relación entre el lenguaje analítico y el geométrico
LA RECTA EN EL
PLANO
ECUACIONES DE LA
RECTA
Ecuación
General
Ecuación
Explícita
Ecuación del
haz de rectas
Ecuación
Segmentaria
POSICIONES RELATIVAS ENTRE
RECTAS. INTERSECCIÓN DE DOS
RECTAS
Rectas
concurrentes
Rectas
Perpendiculares
DISTANCIA DE UN PUNTO A
UNA RECTA
Rectas
Paralelas
Distancia entre rectas
paralelas
Rectas
coincidentes
APLICACIONES A LA ECONOMÍA Y
ADMINISTRACIÓN
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La recta en el plano
1. Ecuaciones de la Recta
1.1 Ecuación general de la recta
Volvamos al ejemplo presentado en la introducción y recordemos la información
disponible:
La relación entre las variables x y p se supone que responde a un
modelo lineal, cuya representación gráfica es una recta.
Cuando el precio unitario es $100, se ofrecen al mercado 150 unidades.
Cuando el precio unitario es $200, se ofrecen al mercado 450 unidades.
Interpretemos esta situación gráficamente:
Con los datos disponibles, la pregunta del fabricante es:
¿Qué cantidad corresponde ofrecer al mercado cuando el precio unitario es
$150?
La respuesta puede ser leída en el gráfico :
“el punto C (x, 150) de la recta tiene abscisa x=300”
Vale decir:
"Cuando el precio unitario es $150 le corresponde ofrecer 300 bicicletas"
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¿ Podremos encontrar un modelo lineal que nos proporcione la
OBSERVEMOS:
misma respuesta que hemos hallado geométricamente?
Comencemos haciendo ciertas observaciones en el gráfico anterior :


La recta r
dirección.
es la recta sostén del vector AB, por lo tanto tienen la misma
AB tiene las siguientes componentes:
AB = (450-150,200-100) = (300 ,100)
 Un vector perpendicular al AB , llamémoslo n , puede ser : n= (-1, 3)
Lo verificamos:
AB x n = (300,100) x (-1,3)= 300(-1)+100. 3 = 0
 También se puede ver en el siguiente gráfico, que la condición que debe cumplir
un punto C(x,p) para pertenecer a la recta que pasa por el punto A(150,100) es:
n x AC =0
p
Escribiendo
los
vectores
por
sus
componentes y resolviendo el producto
escalar se obtiene :
n
(-1,3) x (x-150, p-100) = 0
C (x, p)
-x+150+3p-300 = 0
A(150,100)
-x+3p-150=0
0
x
Este es el modelo lineal que responde a la
relación entre x y p en el problema del
fabricante.
El modelo obtenido: -x+3p-150=0 es la
ecuación general de la recta que pasa
por el punto A(150 ; 100) y es
perpendicular al vector (-1 ; 3) .
Con este modelo podemos responder a la pregunta del fabricante, reemplazando p
por 150 y despejando x :
Modelo:
reemplazando p:
despejando x :
-x + 3p - 150 = 0
-x + 3 . 150 - 150 = 0
-x + 450 - 150 = 0
-x + 300 = 0
x = 300
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¿Cómo generalizamos formalmente este modelo?
Nos proponemos encontrar la ecuación general de una recta r que cumpla con
las dos condiciones siguientes:
 r pase por un punto conocido que simbolizamos P1 (x1,y1)
 r sea perpendicular a un vector conocido que simbolizamos n =(a,b)
Interpretemos esta situación gráficamente:
y

n = (a;b)
r
n  a, b   0 vector perpendicular a r
 P1 (x1 ,y1)
punto fijo  r
 P (x , y)
punto genérico de la
recta, tal que P P1

vector contenido en la
recta r y distinto del
vector nulo
P (x;y)
y1
0
P1 (x 1;y 1)
x1
P1 P
x
P1 P es un vector contenido en la recta r, por lo tanto es perpendicular al vector n :
P1 P  n  P1 P  n  0 ésta es la condición que deben cumplir "los puntos
P pertenecientes a r ", tal que P  P1.
¿Y si P=P1? Notemos que en este caso P1 P1 es el vector nulo, entonces
también se cumple : P1 P1  n  0
Esta condición nos permite definir la recta r como el siguiente conjunto de puntos:
r =  P ( x, y ) / P1 P x n  0 
Escribiendo los vectores P1 P y n por sus componentes y resolviendo su producto
escalar obtenemos “la ecuación general de la recta” :
P1 P x n = (x – x1, y – y1) x (a , b) = a (x – x1) + b (y – y1) =
= ax + by + (-a x1 – b y1) = ax + by + c = 0 ecuación general de la recta
Este término es un n° real conocido que llamamos “ c ”
Definimos la recta r como el siguiente conjunto de puntos:
r = P(x,y) / ax + by + c = 0
"ax+by+c=0" es la ecuación general de la recta y
los números a, b, c, son sus coeficientes
Luego:
“Un punto P(x,y) del plano pertenece a la recta r, si y sólo si
satisface la ecuación: ax + by + c = 0”
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 Observación :
ax + by + c = 0 es una ecuación lineal de 1º grado en las variables x e y
Propuesta de trabajo
Determinar si los puntos :
 A(0,2)
 B(-1,1)
 C(3,4)
pertenecen a la recta cuya ecuación es :
2x - 3y + 6 = 0
Significado geométrico de los coeficientes de la ecuación general de la recta
► Los coeficientes a y b son las componentes del vector “ n = (a,b)”,
perpendicular a la recta ; se lo llama “vector normal a la recta ”.
► El coeficiente c, llamado término independiente, se interpreta geométricamente de
la siguiente manera:
▪ Sea P(x,y) un punto cualquiera de la recta , por lo tanto verifica la
ecuación: ax + by = -c
▪ Sea  la distancia del origen de coordenadas a la recta.
▪ Interpretamos esta situación gráficamente:
Observar que  es el módulo del vector proyección del vector OP sobre el vector n
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 = Pr oy n OP = OP x no = ( x, y )  (
=
ax  by
=
n
c
n

a b
a
b
, ) =
x y =
n n
n
n
c
n
Vale decir :
c
 =

c  n
n
Interpretamos esta última igualdad del siguiente modo :
c, en valor absoluto, es proporcional a la distancia del origen a la recta.
Piensa y responde: ¿cuándo c es exactamente la distancia del origen a la recta ?

Observaciones :
1. Las rectas dibujadas son paralelas, difieren sólo en su distancia al origen, por lo
tanto sus ecuaciones difieren sólo en el valor del término independiente c.
y
0
c=
y+ 1
+b
x
a
r 1)
=0
+c 2
by
+
ax
r 2)
n = (a;b)
c3 =0 porque r3 pasa por el
origen
0
c=
y+ 3
+b
x
)a
r3
=0
+c 4
by
+
)ax
r4
x
0
2. Si la recta pasa por el origen de coordenadas, su ecuación es:
ax + by = 0
3. La ecuación ax+by+c = 0 es la ecuación de una recta si y sólo si n =(a,b)0
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Propuesta de trabajo
Teniendo en cuenta las observaciones anteriores, verifica gráficamente
cuáles de las siguientes rectas son paralelas o coincidentes:
 3x – 2y + 4 = 0
 3x – 2y + 2 = 0
 3x – 2y
=0
 2x – 3y
=0
 9x – 6y + 6 = 0
Síntesis
La ecuación general de la recta es:
r) ax + by + c = 0 ;
n  ( a, b) es el vector normal a r
donde
c es proporcional a la distancia del
origen de coordenadas a la recta:
c   n
r pasa por el origen  c = 0
Ejemplos
1
Dados n = (4,2) y el punto P0 (-2,6)
a) Encontrar la ecuación general de la recta que pasa por P 0 y es normal a n
b) Verificar si A (1,1) y B (2, -2) pertenecen a la recta obtenida en a).
c) Interpretar a) y b) gráficamente.
Resolución
a) Ecuación general de la recta:
r) ax + by + c = 0 ; n = (a,b)
Reemplazo n = (a,b) por n = (4,2) obtenemos:
4x + 2y + c = 0  familia de rectas perpendiculares a n
P0 (-2,6)  r  4 (-2) + 2 (6) + c = 0  c = -4
Rta: r) 4x + 2y –4 = 0
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b) Para saber si un punto pertenece a dicha recta bastará verificar si sus
coordenadas satisfacen la ecuación encontrada:
4 . 1 + 2 . 1 - 4 = 2  0  A (1,1)  r
4 . 2 + 4 . (–2) – 4 = 0  B (2,-2)  r
c) Interpretación gráfica:
y
6
P0(-2,6)
n=(4,2)
2
A (1,1)
2
-2
0
x
-2
B (2,-2)
r)4x+2y-4=0
2
Una compañía fabrica dos productos y dispone de 120 hs semanales para su
elaboración. Cada unidad del producto A requiere 3 horas de trabajo; cada unidad
del producto B requiere 2,5 horas de trabajo.
a) Encontrar la ecuación que permita producir “x” unidades de A e “y” unidades de B,
disponiendo para su elaboración de 120 hs semanales de trabajo.
b) ¿Cuantas unidades de A pueden fabricarse si se decide elaborar 30 unidades de
B?
c) Si la gerencia decide fabricar un único artículo ¿cuál será la cantidad máxima de
A y cual será la cantidad máxima de B que puede elaborarse?
Resolución
a) Total de horas para elaborar “x” unidades del producto A + total de horas para
elaborar “y” unidades del producto B = 120
Rta: 3x +2,5y = 120
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b) Si se fabrican 30 unidades de B  y = 30. Luego:
3x + 2,5 . 30 = 120
3x = 45
x = 15
Rta: Si se elaboran 30 unidades del producto B se podrán fabricar 15
unidades de A.
c) Si solo se fabrica el producto A entonces y = 0. Luego:
3x = 120
x = 40
Si sólo se fabrica el producto B entonces x = 0. Luego:
2,5 y = 120
y = 48
Rta: En las 120 horas de trabajo se podrán fabricar sólo 40 artículos del
producto A o sólo 48 artículos del producto B.
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Casos particulares de la ecuación general de la recta: ax + by + c =0
Los distintos casos se presentan a continuación y se producen cuando se anulan
algunos de los coeficientes de la ecuación general de la recta :
► Sea a  0 , b  0, c  0 , entonces la ecuación ax + by = 0 corresponde a una
recta que pasa por el origen de coordenadas y su dirección está dada por su vector
normal n = a, b .
► Sea a = 0 , b  0, c  0 , entonces el vector normal a la recta es:
n = 0, b = b.0,1 = b j  n // j  r  j  r es paralela al eje X
Luego, la ecuación correspondiente a una recta paralela al eje x es :
r) by+c = 0
► Si a = 0 , b  0 , c = 0 , entonces:
r) by = 0 ,  x 
r) y = 0 ,  x

r) y = -c / b,  x
es la ecuación del eje X
► Sea a  0 , b = 0, c  0 entonces el vector normal a la recta es:
n = a,0 = a.1,0 = ai  n // i  r  i  r es paralela al eje Y
Luego la ecuación correspondiente a una recta paralela al eje y es:
r) ax+c = 0 
r)x = -c / a ;  y
► Si a  0 , b = 0 , c = 0 , entonces :
r) ax = 0 ,  y

r) x = 0 ,  y
es la ecuación del eje Y
► Si a = 0 , b = 0 , c  0, entonces ningún punto satisface la ecuación, siendo su
conjunto solución el conjunto vacío.
► Si a = 0 , b = 0 , c = 0, entonces todo punto del plano satisface la ecuación, por
lo tanto la misma no corresponde a una recta.
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1.2. Ecuación Segmentaria
Partimos de la ecuación general de la recta: ax+by+c=0  ax+by = -c
Si c es distinto de cero, es posible dividir ambos miembros de la ecuación por -c:
ax  by  c

c
c
a
b
x
y
x
y 1 

1
c c
c
c
a
b
Simbolizando
x y
 1
p q

;
a 0 ; b0 ; c0
c
c
 p ;
 q , se obtiene:
a
b
ésta es la “ecuación segmentaria de la recta”
Observaciones :
1. Esta forma de la ecuación de la recta tiene sentido, bajo los supuestos:
a  0; b  0; c  0 ; vale decir que se eliminan las rectas paralelas a los ejes
coordenados y las que pasan por el origen de coordenadas.
Luego :
“las rectas que pasan por el origen de coordenadas y las que son
paralelas a los ejes coordenados no tienen ecuación segmentaria”.
2. En la ecuación segmentaria:
 p es la abscisa del punto de intersección de la recta con el eje X
 q es la ordenada del punto de intersección de la recta con el eje Y
Interpretación gráfica:
Podemos observar en la ecuación segmentaria que :
Si x=0 ; y = q  P1(0,q) es el punto de intersección de la recta con
el eje Y
Si y=0 ; x = p  P2(p,0) es el punto de intersección de la recta con
el eje X
3. La ecuación segmentaria es útil para graficar la recta.
13
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1.3 Ecuación Explícita de la recta
Nos planteamos el problema de encontrar la ecuación de una recta que pase por
un punto dado P1 (x1;y1) y que forme con el semieje positivo del eje x un ángulo
también conocido  :
R



P1 (x1;y1) es un punto fijo, conocido de la recta.
P(x;y) es un punto genérico de la recta.
 es el ángulo que forma la recta con el sentido positivo del eje X.
En el triángulo rectángulo P1RP sabemos que se verifica la siguiente relación:
y  y1
tg 
m
x  x1
y  y1  m( x  x1 )
y  mx  mx1  y1
mx (y( y1–mx
mx)1 )
yy=mx+

1 
1
|_______|  es un número   conocido, lo llamamos h

r) y  mx  h
es la “ecuación explícita de la recta ”
si x = 0  y = h
“h” se llama ordenada al origen de la recta.
“m” se llama pendiente o coeficiente angular de la recta
También se llega a esta ecuación a partir de la ecuación general de la recta,
despejando “y”, suponiendo b  0.
Propuesta de trabajo
Partiendo de la ecuación general de la recta, encuentra su ecuación explícita.
Sugerencia: despeja “y” en la ecuación general.
¿Toda recta del plano puede ser expresada en forma explícita?. Justifica tu
respuesta.
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Como resultado de la propuesta anterior, se puede hacer la siguiente

Observación :
Hemos visto que uno de los casos particulares de la ecuación general de la recta se
presenta cuando b=0 :
c
r) ax  c  0  r) x 
 y , ecuación de la recta paralela al eje “y”
a

Cons tan te
Luego :
r) ax + c = 0 es la ecuación de una recta paralela al “eje Y”, la cual no tiene forma
explícita .
¿Porqué?:
Observar que en este caso, el ángulo  que la recta forma con el sentido positivo
del eje X es igual a 90º y la tg 90º no existe; por lo tanto no existe m = tg  y en
consecuencia las ecuaciones de las rectas paralelas al eje Y no tienen forma
explícita .
y
r)x= -c
a
0
-c
a
y
x
Síntesis
La ecuación explícita de la recta es :
m es la pendiente de r ; m = tg , donde
 es el ángulo que forma la recta con el
sentido positivo del eje X.
h es la ordenada al origen de r.
r) y  mx  h ;
Si la recta es paralela al “eje Y”, entonces la recta no tiene ecuación explícita.
Si la recta es paralela al “eje X”, entonces su ecuación explícita es : r) y = h ;  x
Si la recta pasa por el origen de coordenadas su ecuación explícita es : r) y = mx
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1.4 Ecuación del Haz de Recta
¿A qué llamamos haz de rectas con centro en un punto dado P1(x1,y1)?
Es el conjunto de todas las rectas
que pasan por P1
En el gráfico se seleccionó una recta cualquiera del haz y se consideró el ángulo 
que la recta forma con el sentido positivo del eje X.
tg 
y  y1
m
x  x1
Al dibujar las distintas rectas del haz, se observa
que m es la pendiente de cualquiera de esas
y  y1  m( x  x1 ) rectas que pasan por P1
Vale decir que haciendo variar m, se obtienen todas las rectas del haz con
excepción de la recta perpendicular al eje x ¿por qué?
Recordar que el ángulo de 90° no tiene tangente, por lo cual no existe un valor
numérico “m” para dicha recta, cuya ecuación es: x=x1 ;  y
Síntesis
Todas las rectas del haz están representadas por las ecuaciones:
 y  y1  m( x  x1 )

 x  x1 ;  y
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2. Posiciones relativas entre rectas . Intersección de dos rectas
2.1. Rectas Concurrentes: Son rectas que tienen un único punto en común
r1) a1x+b1y+c1 = 0
y1
P1 (x1 , y1)
x1
r2) a2x+b2y+c2 = 0
Observamos en la figura que:
P1(x1,y1)  r1  Verifica su ecuación: a1x1+b1y1+c1 =0
P1(x1,y1)  r2  Verifica su ecuación: a2x1+b2y1+c2 =0
Luego el punto de intersección de r1 con r2 , P1(x1,y1) , debe verificar el siguiente
sistema de “dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, x e y” :
a1 x  b1 y  c1  0
S
a 2 x  b2 y  c2  0
Analíticamente, el punto P1(x1,y1) lo encontraremos resolviendo el sistema
planteado por alguno de los métodos conocidos.
En este caso, el sistema S es compatible con una única solución.
Su conjunto solución es el conjunto formado por el par ordenado de
números reales (x1,y1) .
2.2. Rectas Perpendiculares:
Sean r1) a1x+b1y+c1=0 tal que n 1=(a1,b1) 0
r2) a2x+b2y+c2=0 tal que n 2=(a2,b2) 0
Si r1 es perpendicular a r2 entonces sus vectores normales, n 1 y n 2 , son
perpendiculares
r1  r2  n1  n2 
 n1 x n2  0  a1 , b1   a 2 , b2   0 
 a1 .a2  b1b2  0 Condición de
perpendicularidad entre r1 y r2
r1) a1x+b1y+c1 = 0
Observamos en la figura que también en
este caso el sistema S es compatible
con una única solución, pues dos rectas
perpendiculares son un caso particular
de dos rectas concurrentes.
n1 =(a1,b1)
n2 =(a2,b2)
r2) a2x+b2y+c2 = 0
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2.3. Rectas Paralelas:
Observamos en la figura :
n1  a1 , b1   0
0
y
b 1)
(a 1;
n 1=
+
ax
r 1) 1
b 2)
(a 2;
n 2=
=
+c 1
b 1y
+c 2
b 2y
x+
) a2
r2
0
n 2  a 2 , b2   0
=0
x
r1 // r2  n1 // n2      {0} / n1   n2 
 a1 ; b1   a2 ; b2   (a1  a2 y b1  b2 ) 
a1 b1
a
b

 ( 1   y 1  ) 
a2  0 ; b2  0
a2 b2
a2
b2
Condición de paralelismo entre r1 y r2
En este caso, el sistema S es incompatible.
Su conjunto solución es el conjunto vacío.
intersección entre r1 y r2.
Observar que no existe punto de
2.4. Rectas Coincidentes:
Si r1 es coincidente con r2:
( a1  a2 b1  b2 ; c1  c2 ;   0) 
y
r 1
a1 b1 c1

 ; a2  0; b2  0; c2  0
a2 b2 c2
r2
0
x
En este caso el sistema S, es compatible con infinitas soluciones. Su conjunto
solución es el conjunto formado por los infinitos pares ordenados de números
reales (x,y) que verifican las ecuaciones de r1 y r2 .
Propuesta de trabajo
Justifica que si dos rectas
r1)a1x+b1y+c1=0 y r2)a2x+b2y+c2=0
a1 b1 c1
 
son coincidentes , entonces :
; a2  0; b2  0; c2  0
a2 b2 c2
¿Cómo expresar las condiciones de paralelismo y de perpendicularidad cuando las
ecuaciones de las rectas están expresadas en forma explícita?
Propuesta de trabajo
r1) y  m1x  h1  r1) m1x  y  h1  0
Sean:
r2 ) y  m2 x  h2  r2 ) m2 x  y  h2  0
Demuestra que en este caso, las condiciones son las siguientes:
 De paralelismo:
m1  m2
1
 De Perpendicularidad: m1  
m2
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Síntesis
►Dadas las rectas r1 y r2 cuyas ecuaciones generales son las siguientes:
r1) a1 x  b1 y  c1  0 / n1  (a1 , b1 )  0
r2 ) a2 x  b2 y  c2  0 / n 2  (a 2 , b2 )  0
 Condición de paralelismo entre r1 y r2 :
a1 b1

( a1  a2 ; b1  b2 ;   0) 
; a2  0  b2  0
a 2 b2
 Si r1 es coincidente con r2:
a
b
c
( a1  a2 ; b1  b2 ; c1  c2 ;   0)  1  1  1 ; a2  0; b2  0; c2  0
a2 b2 c2
 Condición de perpendicularidad entre r1 y r2 :
a1a2  b1b2  0
►Si las ecuaciones están expresadas en forma explícita:
r1 ) y  m1 x  h1 ; r2 ) y  m2 x  h2
entonces las condiciones son las siguientes :
 De paralelismo: m1  m2
 De perpendicularidad: m1  
1
; m2  0
m2
Ejemplo 1
Dado el siguiente par de rectas : r1 ) 2 x  4 y  24
y r2 ) 9 x  3 y  3
a) Analizar si r1 es paralela a r2 . En el caso que no lo sean, encontrar el punto de
intersección de ambas rectas.
b) Verificar gráficamente la conclusión obtenida en el punto a)
Resolución
a)
Observando los vectores normales a r1 y r2, y recordando que
a
b
c
r1 r2  1  1  1 resulta :
a2 b2 c2
2 4

 las rectas del sistema no son paralelas
n1  ( 2,4) ; n 2  (9,3) ;
9 3
Para encontrar el punto de intersección de ambas rectas planteamos el sistema:
2 x  4 y  24

9 x  3 y  3
19
Álgebra y Geometría Analítica
"LA RECTA EN EL PLANO"
Elegimos un método para resolverlo, por ejemplo, el de eliminación por suma o
resta :
3(2 x  4 y )  24.3

4(9 x  3 y )  3.4
resolviendo obtenemos :
 30x  60  x  2
sustituimos x  2 en cualquiera de las dos ecuaciones y obtenemos :
 4 y  28
y7
 P1(2,7) es el punto de intersección de r1 con r2
El sistema es compatible con solución única.
El conjunto solución del sistema es : {(2,7)} .
b) Gráficamente
Ejemplo 2
Dados los siguientes dos pares de rectas, r1 y r2 , cuyas ecuaciones son :
i)
ii)
r1 ) 2 x  4 y  7  0
r2 ) 4 x  8 y  1  0
r1 ) 5 x  y  3  0
r2 )  10 x  2 y  6  0
Encontrar el conjunto solución del sistema formado por las ecuaciones de r1 y r2 en
cada caso .
Interpretar gráficamente cada situación.
20
Álgebra y Geometría Analítica
"LA RECTA EN EL PLANO"
Resolución
i) Observando los vectores normales a r1 y r2 , n1  (2,4) ; n2  (4,8) , resulta :
2 4 7

  las rectas del sistema son paralelas
4 8 1
Otra manera de razonar :
1
7

y  x

2 x  4 y  7  0

2
4


4 x  8 y  1  0
y  1 x  1

2
8
Las rectas del sistema tienen igual pendiente, ½, y distinta ordenada al origen,
por lo tanto son paralelas.
El sistema es incompatible.
Su conjunto solución es el conjunto vacío : 
ii) Observando los vectores normales a r1 y r2 , n1  (5,1) ; n2  (10,2) , resulta :
5
1
3


 las rectas del sistema son coincident es
 10
2
6
El sistema es compatible con infinitas soluciones. El conjunto solución del
sistema es : { (x,y)2 / y= 5x+3, x }
Propuesta de trabajo
Interpretar gráficamente el Ejemplo 2
Síntesis
¿Cuál es la relación entre el lenguaje geométrico y el analítico?
¿Cómo interpretamos analíticamente la intersección de dos rectas en el plano?
¿Cómo interpretamos un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas?
Cada ecuación del sistema representa una recta en el plano. Luego :
 las rectas son concurrentes
El sistema es compatible con solución única
El sistema es compatible con infinitas soluciones  las rectas son coincidentes
El sistema es incompatible
 las rectas son paralelas
21
Álgebra y Geometría Analítica
"LA RECTA EN EL PLANO"
3. Aplicación del concepto de distancia
3.1 Distancia de un punto a una recta
P1

P2
Se llama distancia de un punto P1 a una recta r, a la
“longitud del segmento determinado por P1 y el pie de la
perpendicular trazada por P1 a r”. Se simboliza con la letra
.
90
°
r
Podemos interpretar esta definición a partir de la figura:
  P1 P2  0 ;   0  P1  r

Observacion :
 es un número no negativo
3.2 Distancia de un punto dado P1(x1,y1) a una recta de ecuación conocida.
P1 (x1 , y1)
P0(x0 , y0)
Nos planteamos el problema: encontrar una “expresión” que nos permita hallar
el valor de . Nos ayudamos con la figura para interpretar nuestro problema:
 P1(x1;y1) es un punto conocido  r
 Po(xo;yo) es un punto cualquiera de la recta, por lo tanto verifica su
ecuación: ax0 + by0 = -c 
 Observamos que  es el módulo de la proyección de P0 P1 sobre n
Luego :
a b
  Pr oy n P0 P1  P0 P 1  n 0  ( x1  x 0 , y1  y 0 )  ( ; ) 
n n

a
n

( x1  x 0 ) 
b
n
( y1  y 0 ) 

1 
ax1  by1  (ax 0  by 0 ) 
 
n 
c 

1
n
(ax1  ax 0  by1  by 0 ) 
ax1  by1  (c)
n
22

ax1  by1  c
n
Álgebra y Geometría Analítica
"LA RECTA EN EL PLANO"
  Pr oy n Po P1 
por lo tanto:

ax1  by1  c
a2  b2
Observación :
Origen del sistema de coordenadas
c
Si P1 ( x1 , y1 )  O(0,0)   
= distancia del origen a la recta,
a2  b2
resultado ya obtenido al hacer la interpretación geométrica de “c”
Síntesis
El valor de la distancia del punto P1 ( x1 , y1 ) a la recta de ecuación
r ) ax  by  c  0 se obtiene con la siguiente expresión:

Si P1 ( x1 , y1 ) = O 0,0


ax1  by1  c
a2  b2
c
a2  b2
Ejemplo
Hallar la distancia del punto P1 (2,5) a la recta r )2 x  3 y  4  0
Resolución
P1 (2,5)  r
r )2 x  3 y  4  0  n  (2,3)

2.2  3.5  4
13

7
13

7
13
Rta: la distancia del punto
P1 (2,5) a la recta es
7
13
3.3 Distancia entre dos rectas paralelas
Sean r1 )
tal que r1
a1 x  b1 y  c1  0 y r2 ) a2 x  b2 y  c2  0
r2 , vale decir se verifica que:
a1  a2 ; b1  b2 ;   0
Observamos en la figura que
r1
r2  es posible
calcular la distancia entre ambas rectas, tomando un
punto perteneciente a una de ellas y calculando la
distancia de dicho punto a la otra.
23
Álgebra y Geometría Analítica
"LA RECTA EN EL PLANO"
Ejemplo
Dadas las rectas r1) y r2 ) , verificar si son paralelas y en caso de serlo
encontrar la distancia entre ellas:
5
r1) 5 x  2y  24  0 ; r2 ) y   x  15
2
Resolución
r1) 5 x  2y  24  0  n1  (5,2)
5
5
r2 ) x  y  15  0  n 2  ( ,1)
2
2
a1 b1

 2  r1 r2
a2 b2
 Tomemos un punto P1 ( x1 , y1 )  r2 :
5
Si x1  2  y1   .2  15  y1  10
2
Luego P1 (2,10)  r2

 La distancia entre r1 y r2 es igual a la distancia entre P1 y r1.
Aplicando la fórmula correspondiente obtenemos:

5  2  2  10  24
29
=
6
29
=
Rta: la distancia entre las dos rectas es
24
6
29
6
29
Álgebra y Geometría Analítica
"LA RECTA EN EL PLANO"
5. Aplicaciones a la Economía y Administración
En la práctica algunas ecuaciones de oferta y de demanda son aproximadamente
lineales y se pueden ajustar por una recta.
5.1. Ecuación lineal de demanda:
p (precio unitario)
p0
h
x+
m
p=
x0
x (cantidad de unidades demandadas)
r) p=mx+p0 es una ecuación lineal de demanda (caso normal), si se cumplen
las siguentes condiciones:
x0 ; p0
m < 0 ; p0 > 0

Observación :
Sólo se considera ecuación de demanda la parte de la recta que se
encuentra en el 1° cuadrante
Casos no normal:
p
p
x=x 0  p
p0
x0
x
p=p0  p
x
No varía la cantidad demandada, cualquiera sea el
precio (artículo de 1° necesidad)
Síntesis
La ecuación lineal de demanda es:
p  mx  p0
25
No varía el precio cualquiera sea la
cantidad demandada.
El precio no depende de la cantidad
demandada.
Siendo
x0 ; p0
m < 0 ; p0 > 0
Álgebra y Geometría Analítica
"LA RECTA EN EL PLANO"
Ejemplo:
a)
b)
Los clientes demandan 40 unidades de un producto cuando el precio es
de $12 por unidad, y 25 unidades cuando el precio es de $18 por unidad.
Encontrar la ecuación lineal de demanda en forma analítica y gráfica.
Hallar el precio por unidad cuando se requieren 30 unidades.
Resolución:
a) la pendiente de la recta que pasa por P1(40,12) y P2(25,18) es:
18  12
2
m

25  40
5
La ecuación de demanda es :
p=mx+p0
reemplazando en ella, el valor obtenido para la pendiente y las
coordenadas de un punto perteneciente a la recta, obtenemos p 0 :
2
12=  .40  p 0
5
p0 = 28
2
p   x  28
Luego:
Ecuación Lineal de Demanda
5
Gráficamente:
b) Cuando x=30
2
p   .30  28
5
p  16
Rta: Cuando se requieren 30 unidades, el precio es 16$ por unidad.
26
Álgebra y Geometría Analítica
"LA RECTA EN EL PLANO"
5.2 Ecuación lineal de oferta
p (precio unitario)
m
p=
h
x+
p0
0
x0
x (cantidad de unidades ofrecidas)
r) p=mx+p0 es una ecuación lineal de oferta (caso normal), si se cumplen las
siguentes condiciones:
x0 ; p0
m>0

Observación :
Sólo se considera ecuación de oferta la parte de la recta que se encuentra en el 1°
cuadrante.
Casos considerados no normal:
p
p
x=x 0  p
0
x=x 0
p=p0  p
p0
x
No varía la cantidad ofrecida,
cualquiera sea el precio.
x
0
No varía el precio cualquiera sea la
cantidad ofrecida
Síntesis
La ecuación lineal de oferta es:
p=mx +p0
Siendo
x0
m>0
; p0
Ejemplo
Un fabricante de zapatos colocará en el mercado 50 (cientos de pares) cuando el
precio es de $50 el par y 100 (cientos de pares) cuando el precio es $75 el par.
a) Encontrar la ecuación lineal de oferta, en forma analítica y gráfica.
27
Álgebra y Geometría Analítica
"LA RECTA EN EL PLANO"
b) Hallar el precio de cada par de zapatos, cuando se ofrecen al mercado 80 (cientos
de pares).
Resolución
a) la pendiente de la recta que pasa por P1(50,50) y P2(100,75) es:
75  50
1
m

100  50 2
La ecuación de oferta es :
p=mx+p0
reemplazando en ella, el valor obtenido para la pendiente y las coordenadas de
un punto de paso de la recta, obtenemos p0:
1
75= .100  p 0
2
p0 = 25
1
p  x  25
Luego :
Ecuación Lineal de Oferta
2
Gráficamente
b) Cuando x=80
1
p= 25  .80
2
p=65
Rta: El precio de cada par de zapatos es
de $65, cuando son ofrecidos 80 (cientos
de pares)
5.3 Punto de equilibrio de mercado
Se dice que existe equilibrio de mercado cuando a un mismo
precio unitario la cantidad demandada por el mercado coincide
con la cantidad ofrecida en el mismo.

Observación :
el punto de equilibrio debe pertenecer al primer cuadrante.
28
Álgebra y Geometría Analítica
"LA RECTA EN EL PLANO"
Síntesis
Dadas r1) p  m1 x  p01 (Ecuación de Oferta)
r2) p  m2 x  p0 2 (Ecuación de Demanda)
El punto de equilibrio de mercado se obtiene resolviendo el sistema:
p  m1 x  p0 1
S
PE ( x E , p E )  1° Cuadrante
p  m 2 x  p0 2
Ejemplo:
Las ecuaciones de demanda y de oferta de un producto son respectivamente:
x p

 1 ; p=2x+1
5 10
a) Encontrar en forma analítica las coordenadas del punto de equilibrio de
mercado.
b) Verificar gráficamente la solución obtenida en a).
Resolución
a) El punto de equilibrio, PE , tal que PE   r1  r2 se obtiene resolviendo el sistema:
x p
1
 
 5 10
p  2x  1
Elegimos el método de sustitución para resolverlo:
x 2x  1

1
5
10
2x  2x  1  10
4 x  1  10
x
9
4
9
en cualquiera de las dos ecuaciones:
4
9
p  2.  1
4
11
p
2
9 11
El punto de equilibrio de mercado es PE( , )
4 2
b)
Sustituyendo x 
29
Álgebra y Geometría Analítica
"LA RECTA EN EL PLANO"
5.4 Otras aplicaciones:
Ejemplo:
Una compañía fabrica dos productos diferentes, A y B. La elaboración de cada
unidad del producto A cuesta 6 $ y la elaboración de cada unidad del producto B
cuesta 4$. La compañía insiste en que los costos totales de los dos productos deben
ser de 300$.
a) Hallar la ecuación lineal que exprese la siguiente relación: el costo total de
fabricar x unidades del producto A e y unidades del producto B sea igual a
300$.
b) Si la compañía aceptó producir un pedido de 40 unidades del producto A:
¿Cuántas unidades del producto B deberán fabricarse si los costos totales se
mantienen en 300$?
Resolución
a) El costo total para fabricar “x” unidades de A más el costo total para fabricar “y”
unidades de B es igual a 300, se expresa mediante la siguiente ecuación:
6 x+ 4y = 300
b) Si aceptó producir 40 unidades de A, vale decir x=40, obtenemos:
6 (40) + 4y = 300
y = 15
Rta.: Manteniendo los costos totales en 300$, deberán fabricarse 15 unidades del
producto B.
30
Álgebra y Geometría Analítica
"LA RECTA EN EL PLANO"
ACTIVIDADES DE APLICACIÓN
1- Decir cuales de los siguientes puntos pertenecen a la recta de ecuación 2x-3y-3=0 :
M1(3,1); M2(2,3); M3(6,3); M4(-3,3); M5(3,-1); M6(-2,1)
2- Los puntos P1, P2 y P3 pertenecen a la recta r) 3x-2y-6=0. Sus abscisas son respectivamente 4; 0 y 2.¿ Cuáles
son las ordenadas de los mismos ?
3- Dados los puntos P (2,3) y Q(-1,0), hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto Q y es perpendicular al
vector PQ .
4- Encontrar la ecuación de la recta que verifica las condiciones que se establecen en cada uno de los siguientes
casos:
a) Pasa por el punto P(-1,4) y es paralela al vector v =(2,-1)
b) Pasa por el punto B(-2,5) y es paralela al eje x.
c) Forma un ángulo de 45º con el semieje positivo de las x y corta al de ordenadas en el punto
M(0,-1).
d) Pasa por los puntos A(3,-3) y B(3,4).
e) Intercepta a los ejes coordenados en los puntos P(3,0) y Q(0,7).
5- Determinar la ecuación de la recta que tiene pendiente m=5 y pasa por el punto P(-2,4). Graficarla y si es
posible remarcar la parte que corresponde a oferta o demanda.
6- Dadas las rectas r1) 2x-3y+1=0 y r2) y=3/4 x + 1/2 , hallar el ángulo que forman r 1 y r2.
7- Calcular la distancia solicitada en cada uno de los siguientes casos:
a) Entre las rectas r1) 3x-4y-10=0 y r2) 6x-8y=-5.
b) Entre el punto P(1,3) y la recta de ecuación 5x-12y+26=0
8- Sean las rectas r1) y= 1/2 x +1 ; r2) 2x+y=2 :
a) Graficarlas.
b) Remarcar si es posible la parte de las mismas correspondientes a oferta o demanda.
c) Si r1 y r2 determinan un punto de equilibrio de mercado, hallar analíticamente sus coordenadas.
9- Un fabricante entrega 5000 unidades de un artículo por mes cuando el precio unitario es 50$. Si el precio baja
a 35$ solo se entregan 2000 unidades.
a) Hallar la ecuación lineal de oferta y graficarla.
b) Indicar el precio P0 a partir del cual la empresa ofrece el artículo.
c) Si el fabricante ofrece 3000 unidades ¿ cuál es el precio unitario del artículo en el mercado?
10- Colocar VERDADERO O FALSO según corresponda:
a) El punto P(2,-1) pertenece a la recta de ecuación y=3x+1
b) La distancia del origen de coordenadas a la recta de ecuación 2x-y+3 = 0 es  =
c) La ecuación 2x+8y+1=0 es una ecuación de oferta.
d) El punto E(-1,5) puede considerarse de equilibrio de mercado.
e) Las rectas r1)2x+3y=0 y r2) y=-2/3x son perpendiculares.
31
3
.
5
Álgebra y Geometría Analítica
"LA RECTA EN EL PLANO"
AUTO EVALUACIÓN
1)Completar:
a)La recta r)2x-3y = 9 corta al eje x en el punto A(...,...) y al eje y en el punto B(...,...)
b)La ecuación explícita de la recta 3x = -1/2 y+3 es ....
c)La ecuación de la recta paralela a r)0.5x+3y = 7 y que pasa por el origen de coordenadas es....
d) La ecuación de la recta perpendicular a r)-x+2y-4 = 0 y que pasa por el origen de coordenadas es....
2) Coloque una cruz en la casilla correspondiente a la respuesta que Ud. considere correcta:
2.1 El punto que pertenece a la recta de ecuación 2x-y = 0 y dista del origen 5 unidades es:
a) A(-5/3, -10/3) 
b) B(-2,-1) 
c) C(-1,-2) 
d) ninguno de los anteriores 
2.2 La recta perpendicular a r)2x-3y=5 que pasa por el punto P(2,-1) tiene por ecuación:
a) 3x+2y = 4 
b)3x+2y = 8 
c) 3x-2y = -4 
d)
ninguno
de
los
anteriores 
2.3 La pendiente de la recta que pasa por el punto P(-2,1) y es perpendicular a la recta de ecuación
5x-3y+2 = 0 es:
a) 5/3 
b) -3/5 
c) 2 
d ) ninguno de los anteriores 
2.4 Las rectas r1) 3x =2y-4 y r2) 3x+2y+4 = 0 son :
a) coincidentes

b) paralelas no coincidentes 
c) perpendiculares

d) ninguno de las anteriores 
2.5 El valor del coseno del ángulo que forman entre sí las rectas r 1)y = 2x+4 y
r2) x-y+1=0 es:
a)
3
10

b)
1
2

c)
3
2

d) ninguno de los anteriores

2.6 La ecuación 3x+4y-12=0 representa :
a) una ecuación de oferta

b) una ecuación de demanda

c) una ecuación de oferta o demanda (caso no normal)

d) ninguno de los anteriores

2.7 El punto de equilibrio de mercado determinado por las rectas
r 1) x+y=5 y
r2) 4x- 2y =11 es:
a) A(1,4) 
b) B(1, 3.5) 
c) C(3.5, 1.5) 
d) ninguno de los anteriores

2.8 La distancia entre las rectas r1) 2x-y+5 = 0 y r2) y = 2x+1/2 es :
a)
9 20
20

b)
20
9

c)
d) ninguno de los anteriores

2.9 Las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto P1(1,2) son :
a) y= m(x-1) + 2

b) y-1= m(x-2)

c) y-2= m(x-1) ; x =1  y 
d) ninguno de los anteriores 
3
4

3) La pendiente de la recta que pasa por los puntos P 1(2, 5) y P2(3, k) es 4 . Encontrar el valor de k.
4) Dada la ecuacón lineal en las variables x e y :
x y
2x  3 y
 10 
, hallar la pendiente y
2
3
la
ordenada al origen de la recta que dicha ecuación representa . Decir además si puede ser considerada una
ecuación de oferta o de demanda.
32
Álgebra y Geometría Analítica
"LA RECTA EN EL PLANO"
R
Reessppuueessttaass aa llaass aaccttiivviiddaaddeess ddee aapplliiccaacciióónn
1 M1  r ; M3  r ; los demás puntos no pertenecen a r
2 P1(4,3) ;
P2 (0,-3) ;
P3 (2,0)
3 y=-x-1
4 a) x+2y-7=0
b) y=5 ;  x
c) y=x-1
d) x=3 ;  y
e) 7x+3y=21
5 y=5x+6
6 3º 8’ 19’’
7 a) 5/2
b)5/13
8 a) queda para el alumno
b) r1 es de oferta ; r2 es de demanda ( sólo en el primer cuadrante)
c) E ( 0.4 , 1.2 )
9 a) p= (1/200)x + 25
b) p0 =25
c) 40$
10 a) F
b)V
c)F
d)F
e)F
R
Reessppuueessttaass aa llaass aaccttiivviiddaaddeess ddee llaa aauuttooeevvaalluuaacciióónn
Ej. 1
a) A(4.5 , 0) ;
b) y = - 6x +6
c) 0.5x + 3y = 0
d) 2x + y = 0
B( 0 ; -3)
Ej. 2
Ej. 3
Ej. 4
2.1
C( -1 ,-2)
2.2
3x+2y=4
2.3
m=-3/5
2.4
ninguna de las anteriores
2.5
–3/ 10
2.6
ecuación de demanda
2.7
C(3.5 , 1.5)
2.8
 =(920) /20
2.9
y-2=m(x-1)
x=1; y
k=9
m = 7/3 ; h= -20
33