Download pauta de laboratorio n° 6 - Universidad de Concepción
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Ingeniería Civil en Telecomunicaciones Universidad de Concepción Trabajo Final Estadística Aplicada TEL 2006-2 Grupo N°1 1) La señal x(t) del problema 8.4.5 se aplica a un rectificador de media onda, por lo que la salida y(t) se define con: y (t ) a) Encuentre y grafique la fda de Y. b) Encuentre y grafique la fdp de Y. c) Encuentre la media y la varianza de Y. 2) La fdp de la amplitud X de cierta señal x(t) está dada por Px(x) = k exp (-|.x|). a) Grafique la fdp de X. b) Determine y grafique la fda de X. c) La señal x(t) se aplica a la entrada de un amplificador con ganancia unitaria; la salida correspondiente es y(t). Sin embargo, este amplificador no puede aceptar los (ocasionales) picos de alta tensión en la señal de entrada y se satura ("recorta") en los niveles Y = ±A. Determine y grafique la fdp y la fda de la salida, Y. 3) En el proceso aleatorio z (t ) X cos( wct) Ysen(wct ) , X e Y son V.A. gaussianas independientes, cada una con media cero y varianza 2 . a) Determine mz y z2 b) ¿Es valido su resultado si solo se sabe que X e Y no están correlacionadas y que tienen media cero e iguales varianzas? 4) Determine y grafique la fdp de y = A cos x, donde X está uniformemente distribuida en (-,). [Sugerencia: Considere los intervalos (-, 0) y (0, ) en forma separada.] Ingeniería Civil en Telecomunicaciones Universidad de Concepción Grupo N°2 5) Cierto transmisor operado en forma remota se programa para que se apague si los eventos A y B (p. ej., tensiones por encima de la tolerancia) ocurren de manera simultánea, o si ocurre el evento C. La probabilidad de que ocurra A es de 0.001, la probabilidad de que ocurra B es de 0.002 y la probabilidad de que ocurra C es de 10-5. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se apague el transmisor? b) Si P(A/B) = 0.01, ¿son los eventos A y B estadísticamente independientes? c) ¿Cuál es el valor de P(B/A)? 6) La fdp conjunta de las variables aleatorias X, Y está dada como: pxy ( x, y) x exp 055( x 2 y) u( x)u( y) a) ¿Son X e Y estadísticamente independientes? Explique. b) Determine el valor de la constante k. c) Encuentre P(X < 2 , Y < 2). d) Determine px(x) y p y ( y ) . 7) Sean X e Y los niveles de concentración en ppm de dos contaminantes en una determinada porción de un estanque de agua. Si la función de densidad conjunta de probabilidad esta dada por: ( x y ) / 8000, 0 x, y 20 f ( x, y ) 0 cov (cov: cualquier otro valor) Y si el nivel de concentración observado de Y es de 10 ppm, obtener la probabilidad de que el nivel de concentración de X sea, a lo mas, 14 ppm. Obtener la media, la varianza condicional de X para Y=10ppm. 8) (a)Escriba la fdp gaussiana bivariada, en la forma más simplificada posible, para mx = my= 1; x Y 1; E[XY] = 1 + 3 /2. b) Escriba px(x) y py(y) para este caso. Ingeniería Civil en Telecomunicaciones Universidad de Concepción Grupo N°3 9) Una característica importante en los amplificadores lineales para potencia de salida (p. ej., en sistemas de audio) es cuan bien responden a picos súbitos en el material de programación sin recortar la señal de salida. Suponga aquí que la potencia promedio necesaria de dicho amplificador es de 5 W. Nos interesa encontrar la potencia pico (instantánea) necesaria si la señal se recorta, en promedio, no más del 0.01% del tiempo. Por ejemplo, la potencia pico necesaria para cumplir con esta condición para una entrada senoidal sería (5)( 2 )2 = 10 W. Determine la potencia pico requerida si la distribución de la señal de entrada se puede describir por medio de una variable aleatoria con media cero y es a) uniformemente distribuida; b) gaussiana; c) laplaciana es decir, px ( x) k exp( x ), var x / 2 10) La fdp conjunta de las variables aleatorias X, Y está dada como: pxy ( x, y) x exp x(1 y) u( x)u( y) a) Encuentre px(x) y p y ( y ) b) ¿Son X y Y estadísticamente independientes? Explique. c) Encuentre P(X < 1 , Y < 1). d ) Determine la fdp de Y, dado X = 1. 11) Encuentre los momentos primero y segundo de la variable aleatoria X cuya fdp se muestra en la Figura P-8.5.4. b) Determine el máximo valor de la razón x / mx y encuentre el valor correspondiente de p. Figura P-8.5.4 12) Un sistema de comunicación binario transmite unos y ceros con igual probabilidad utilizando la señal f1 (t ) cos( t / Tb) en (-Tb/2, Tb/2) para un uno y f 2 (t ) f1 (t ) para un cero. a) Determine la densidad espectral de potencia de la señal transmitida. b) Repita la parte (a) si f 2 (t ) 0 . Ingeniería Civil en Telecomunicaciones Universidad de Concepción Grupo N°4 13) En algunas situaciones, la teoría desarrollada para sistemas lineales invariables en el tiempo se puede adaptar, con ventajas, a la probabilidad. Por ejemplo, suponga que para la variable aleatoria X se identifica E e jwX como la transformada de Fourier de su fdp. Sea la variable aleatoria Z la suma de las variables aleatorias X, Y con fdp conjunta conocida. Demuestre que la fdp de Z está dada por la convolución de la fdp de X con la fdp de Y, si X e Y estadísticamente independientes. 14) Use el resultado del problema 13 y convolución repetida a fin de generar la fdp para la distribución binomial. 15) Sea X una variable aleatoria que toma los valores A con igual probabilidad. Sea Y una variable aleatoria gaussiana con media cero y varianza 2 . Suponga que X y Y son estadísticamente independientes, y que A > . a) Usando el resultado del problema 13, dibuje la fdp de Z = X + Y. b) Un observador dispone de la variable aleatoria Z para hacer una estimación si X = A o X = -A está presente. La regla adoptada es que si Z > O entonces la decisión es que +A está presente y si Z < O entonces -A se encuentra presente. ¿Cuál es la probabilidad de que el observador cometa un error? 16) Sean X1y X2 variables aleatorias distribuidas normalmente conjuntamente (que representan las amplitudes observadas de un voltaje de ruidos registrados separados en un intervalo de tiempo conocido). Supóngase que su función de densidad de probabilidad conjunta, viene dada por la ecuación: f ( x, y ) 1 2 1 2 2 2 x1 m1 x2 m2 1 x1 m1 x2 m2 exp 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 con: m1 1, m2 2, 1 1, 2 4, 0.4 Hallar P X 2 1 X 1 1 Ingeniería Civil en Telecomunicaciones Universidad de Concepción Grupo N°5 17) ¿Cuál es la probabilidad de que el último dígito de un número telefónico sea a) impar, b) 5: c) 5 o 6? d) impar o divisible entre cuatro? (Suponga que todos los dígitos son igualmente probables.) 18) Una caja llena de bolas blancas y negras contiene el doble de bolas blancas que de negras. Suponga que se mezclan y sólo se distinguen por el color. Suponga también que se extrae cierto número de bolas sin reemplazar y que todas ellas son negras. Si la probabilidad de extraer una bola adicional es exactamente 10% menor que si se hubiesen reemplazado las bolas negras, determine el número de bolas mínimo que había al principio en la caja. 19) La variable aleatoria X que representa cierta señal x(t) tiene una fdp como la mostrada en la figura P-8.8.1(a). Esta señal es la entrada a un amplificador cuya característica de ganancia de entrada y salida se muestra en la figura P-8.8. l(b). a) Sea Y la salida del amplificador; encuentre y grafique la fdp de Y. b) Determine el valor rms de X y el valor rms de Y. ¿Están relacionados en forma lineal por la ganancia del amplificador? Explique. Figura P-8.8.1 20) La actividad solar varía en intervalos de tiempo de varias horas a años, y afecta las comunicaciones de alta frecuencia (HF, high-frequency) que utilizan la propagación espacial por la ionosfera. La mayor parte de la actividad de las manchas solares es cíclica, con un ciclo de alrededor de 11.1 años. Las tormentas magnéticas asociadas con la actividad solar son cíclicas, con ciclos de 27 días, que constituyen el periodo de rotación del Sol. ¿Podría usted clasificar estos efectos de la actividad solar en la propagación ionosférica como procesos aleatorios estacionarios en a) un minuto; b) una semana? Explique. Ingeniería Civil en Telecomunicaciones Universidad de Concepción Grupo N°6 21) La señal periódica x(t) mostrada en la figura P-8.6. 1 tiene un tiempo de inicio aleatorio con distribución uniforme. a) Dibuje la fda y la fdp de la amplitud X. b) Calcule la media y la varianza de X. c) Calcule el valor rms de x(t), tanto a partir de la fdp como de los promedios en el tiempo. Figura P-8.6.1. 22) Una variable aleatoria X tiene la siguiente fdp: px(x) = k ( l - x2) rect (x/2). a) Encuentre el valor numérico de k. b) Encuentre P(-l/2 X < 1/2). c) Determine y grafique la fda de X. 23) Considere el experimento de lanzar cuatro monedas legales; asigne 1 a "cara", 0 a "cruz", y luego súmelos para formar el número N. La variable aleatoria se define asignando X = log (1 + N 3). a) Determine y grafique la función de distribución acumulativa de X en (0, 2). b) De su resultado, determine P(X 1) e indíquelo en la gráfica. 24) Sean X e Y dos variables aleatorias continuas con una función de densidad de probabilidad conjunta: 3x(1 xy ) 0 x, y 1 f ( x, y ) , 0 cov (cov, cualquier otro valor) Obtener las distribuciones de densidad marginal y acumulativa de X e Y. Ingeniería Civil en Telecomunicaciones Universidad de Concepción Grupo N°7 25) Cierto sistema para transmisión de datos tiene una probabilidad de error promedio de 106 por dígito. Determine la probabilidad de que en un mensaje de 2 * 106 dígitos haya a) exactamente dos errores; b) menos de dos errores; c) más de dos errores. 26) Una moneda legal es aquella en la cual cara y cruz son igualmente probables. a) Se lanzan tres monedas legales. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan dos caras y una cruz? b) Se lanzan cuatro monedas legales. ¿Cuál es la probabilidad de que la mitad sean caras? 27) La fdp de una variable aleatoria dada es px (x) = 2 exp (-2x)u(x). a) Encuentre la media y la varianza de X. b) La variable aleatoria Y se define por la transformación Y = 2X + 5. Encuentre la media y la varianza de Y. 28) Suponga que en el examen del ejemplo 8.53 existen dos problemas con igual peso. La tabulación de los resultados, identificados por las variables aleatorias X, Y, Z, se muestran en seguida. N Total Z Problema 1 X Problema 2 Y 1 33 10 23 2 3 4 5 6 7 8 9 47 58 67 75 82 88 94 100 20 18 30 35 38 38 49 50 27 40 37 40 44 50 45 50 a) Calcule la media y la desviación estándar de X, Y, Z. ¿Se cumple aquí la igualdad z2 x2 y2 ? Explique. b) Calcule el coeficiente de correlación y los coeficientes de regresión lineal para (X, Z) y (Y,Z). c) Para el estudiante núm. 5, encuentre la mejor estimación para la calificación total basado sólo en (1) el resultado del problema 1; (2) el resultado del problema 2. Ingeniería Civil en Telecomunicaciones Universidad de Concepción d) Basado sólo en estadística, ¿cuál cree que es el mejor problema del examen? ¿Por qué? Grupo N°8 29) Cierta variable aleatoria X tiene la siguiente fda: Fx(x) = x2u(x) + (1 - x2)u(x - 1). a) Encuentre P(l/4 X). b) Encuentre P(l/4 X < 3/4). c) Determine y grafique la fdp de X. 30) La función de densidad conjunta de probabilidad para la demanda mensual de dos productos es una distribución normal divariada dada por: 2 2 1 2 x 50 x 50 y 50 y 25 f ( x, y ) exp 100 3 3 10 10 10 10 a) ¿Cuál es el coeficiente de correlación entre X e Y? b) ¿Cuál es la covarianza entre X e Y? c) Obtener la función de densidad de probabilidad condicional f ( x y) Suponga que la demanda de Y=30. ¿Cuál es la probabilidad condicional de que X sea menor que 65? 31) Durante el otoño en el norte de Estados Unidos, un fabricante de limpiadores de nieve hace la siguiente oferta. Si usted compra un limpiador y nieva menos del 20% del promedio ese invierno, se le devuelve todo el dinero pagado (y usted conserva el limpiador). Si nieva menos del 50% del promedio, usted recupera el 50% de dinero. (¡Si nieva más que esto se encontrará satisfecho de haber comprado el limpiador!) Suponga que la cantidad de nieve es una variable aleatoria X que se puede aproximar por distribución gaussiana con media mx . Suponga también que los costos de producción de los limpiadores es del 50%, los costos de distribución son el 40% y los márgenes de utilidad usuales representan el 10% del precio de venta. Determine el porcentaje de ganancia esperado de la compañía en las condiciones anteriores de esta promoción si a) x 0.2mx b) x 0.3mx 32) La función de densidad de probabilidad para una Variable Aleatoria X es: x 1/ 8 x 1/ 2 e 4 x 0 f ( x) , cov 0 1/ 2 (cov, cualquier otro valor) Determine: a) E(X) b) Var(X) Ingeniería Civil en Telecomunicaciones Universidad de Concepción c) x Grupo N°9 33) Un generador de números aleatorios produce los dígitos de igual probabilidad N = O, 1, 2,..., 9. Determine y grafique la función de distribución acumulativa de: a) La variable aleatoria X definida por X = -1 s i N 3; X = +1 s i N 7 ; X = 0 en otro caso. b) La variable aleatoria Y definida por Y= +1 si N 3; Y = -1 si N 7 ; Y = 0 en otro caso. c) La variable aleatoria Z = parte entera de {N/2}. 34) Sea X una V.A cualquiera, Demuestre que: E aX b aE X b Var aX b a 2Var X 35) Determine la constante k y la media de la variable aleatoria gaussiana X cuya fdp es px(x) = {exp [-(x - l)2/3]}/ 5 + k ( x ) [Sugerencia: Ordene en la forma estándar y luego encuentre las respuestas sin integrar.] 36) La densidad conjunta para las variables aleatorias (X,Y), donde X es el cambio de temperatura unitario e Y es la porción de desplazamiento espectral que produce cierta partícula atómica es: 10 xy 2 , 0 x y 1 f ( x, y) cov 0 a) Encuentre las densidades marginales de X e Y, y la densidad condicional f ( y x) Encuentre la probabilidad de que el espectro se desplace mas de la mitad de las observaciones totales, dado que la temperatura aumenta a 0.25 de unidad. Ingeniería Civil en Telecomunicaciones Universidad de Concepción Grupo N°10 37) a) Usando distribución binomial, encuentre la probabilidad de que aparezcan exactamente 50% de caras cuando se lanzan cuatro monedas legales. b) Repita la parte (a), excepto que se lanzan 16 monedas. c) Repita la parte (a), excepto que se lanzan 64 monedas. d) Encuentre P( X mx x para cada uno de los tres casos anteriores. 38) El ruido de salida de un amplificador de alta ganancia tiene distribución gaussiana con media cero y disipa una potencia promedio de 100 mW en una carga resistiva de 50 a) ¿Cuál es la probabilidad de que la amplitud del ruido de salida sea menor que -1 V? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la amplitud del ruido dé salida sea mayor que +1 V? c) Repita las partes (a) y (b) si el valor promedio del ruido de salida es de 1 V. 39) Se sabe que el tiempo promedio que debe esperar un estudiante en una ventanilla de información es de 4 minutos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante seleccionado con una llegada aleatoria tenga que esperar 4 minutos exactos? (Suponga una variable aleatoria de Poisson.) b) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante en (a) tenga que esperar 4 ±l minutos? 40) Encuentre la posibilidad de derribar un avión si se lanzan tres misiles de manera sucesiva, cada uno con 1/3 de probabilidad de dar en el blanco. Suponga que el avión cae al ser alcanzado. Resuelva este problema mediante dos métodos diferentes, comenzando cada uno como sigue: a) Encuentre la probabilidad de que ocurran tres errores; éstos son estadísticamente independientes. b) Escriba una expresión, en términos de una cadena de probabilidades condicionales, para la probabilidad total de un acierto. Ingeniería Civil en Telecomunicaciones Universidad de Concepción Grupo N°11 41) Considere la fdp triangular mostrada en la figura P-8.5.2. a) Encuentre P(X > a/2). b) Determine x si a = 1. c) Suponga que a = 1 y divida el intervalo de X en ocho subintervalos iguales (es decir, 0 X < 0.25,0.25 X < 0.50, etc.). Reemplace cada área definida por estos subintervalos y Px(x) mediante un impulso con la misma área que la región que reemplaza, y en el punto medio del subintervalo. Este procedimiento de reemplazo de una fdp continua por una discreta se llama "cuantificación". Nótese que la cuantificación requiere una definición de los subintervalos de X, y los puntos en los cuales se colocarán las representaciones discretas. Dibuje la fdp discreta resultante para este caso. d) Calcule la desviación estándar usando el resultado de la parte (c) y compárela con la desviación estándar de la parte (b). Figura P-8.5.2 42) Encuentre la media y la varianza de la variable aleatoria discreta X que tiene dos valores posibles a, b con probabilidad P(X = a) = p. ¿En qué condiciones su resultado concuerda con el dado para la distribución binomial? 43) Una variable aleatoria X, distribuida de manera uniforme en (O, 1), se aplica a la entrada de un sistema que tiene una característica de ganancia de entrada y salida: y = sen (x /2). Determine y grafique la fdp de la salida Y. 44) Cierto sistema binario PCM transmite los dos estados binarios +1, -1 con igual probabilidad (p. ej., utilizando la modulación de fase de una senoidal). Sin embargo, como resultado del ruido, el receptor comete algunos errores de reconocimiento; suponga que P(+l|-l) = 0.10 y P(-l|+l) = 0.20. Otra posibilidad es que, como resultado de la distorsión por trayectoria, el receptor pierda la fuerza de la señal necesaria para tomar una decisión. Por tanto, se identifican tres posibles estados del receptor: +1, O, -1, donde O corresponde a "pérdida de señal". Para la última condición, sea P(0|+l) = P(0|-l) = p, donde p es la probabilidad de pérdida. a) ¿Cuáles son las probabilidades de unos y ceros para el receptor si p=0? b) Si el receptor hace una decisión de +1, y p = 0, ¿cuál es la probabilidad de que se haya enviado realmente un +1 ? c) Repita la parte (b) si p ≠ 0. Ingeniería Civil en Telecomunicaciones Universidad de Concepción Grupo N°12 45) Una variable aleatoria X tiene la siguiente fdp: kx(1 x) 0 x 1 px ( x ) eoc 0 a) Encuentre el valor numérico de k. b) Encuentre P(l/4 X). c) Determine y grafíque la fda de X. 46) La función de distribución acumulativa para cierta variable aleatoria X es 0 x FX ( X ) 1 sen( x / 2 / 2 x 1 x Determine: (a) P(X < 2); (b) P(-l < X < +1); (c) P(l < X < 3); (d) los valores mínimo y máximo de X. 47) La fdp Rayleigh está dada por px(x) = kx exp [-x2/( 2 2 )]u(x) . a) Encuentre P( X) y P( X 2 ) . b) Determine la fda de X. c) Encuentre la constante a tal que P(X > a) = 0.00033. 48) Determine la moda, la mediana y el valor medio de la variable aleatoria cuya fdp está dada en a) el problema 8.4.2; b) el problema 8.3.2; c) el problema 8.4.4. 49) Se elige una carta de una baraja de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta sea a) un diamante; b) un 2; c) el 2 de diamantes; d) un 2, un 4 o un 6? Ingeniería Civil en Telecomunicaciones Universidad de Concepción 50) Se compra una parte electrónica a tres vendedores. Los registros muestran que las tasas promedio de partes defectuosas son de 0.02% para el vendedor A, de 0.013% para el vendedor B y de 0.01% para el vendedor C. De 50 000 partes compradas, 10 000 son del vendedor A, 15 000 del vendedor B y 25 000 del vendedor C. Las partes se combinan y utilizan en producción. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una parte dada en el inventario combinado, seleccionada al azar, sea defectuosa? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la parte defectuosa provenga del vendedor A? -----------------------------------------------------------------------------------------------------------