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DIBUJO TÉCNICO BACHILLERATO TEMA 3. POLÍGONOS. Departamento de Artes Plásticas y Dibujo TEMA 3. POLÍGONOS. 1º Triángulos o Definición y notaciones o Clasificación o Cuestiones generales o Puntos y rectas notables o Construcciones Cuadriláteros o Definición y bases o Clasificación o Construcciones Polígonos regulares e irregulares o Definición y bases o Clasificación o Construcciones o Polígonos inscritos en circunferencias y circunscritos a las mismas. o Polígonos estrellados o Redes modulares. 2º - Triángulos: puntos y rectas notables. Casos especiales. - Cuadriláteros inscriptible y circunscriptible. - Polígonos regulares. - Polígonos estrellados. - Construcción de triángulos. - Aplicación correcta de los puntos y rectas notables, así como las especiales, en los problemas planteados. - Construcción de cuadriláteros. - Análisis de las formas poligonales como base de diseño de objetos. - División de la circunferencia y construcción de polígonos regulares por métodos particulares conociendo el radio. - Construcción de polígonos regulares por métodos particulares conociendo el lado. - Construcción de polígonos estrellados. POLÍGONO REGULAR POLÍGONO IRREGULAR POLÍGONO CONVEXO POLÍGONO CÓNCAVO Polígono CIRCUNSCRITO r = apotema del polígono r = radio de la circunferencia incrita Polígono INSCRITO r = radio circunferencia circunscrita POLÍGONO EXTRELLADO DIAGONALES de un polígono Las formas poligonales están en la estructura de muchos objetos y construcciones. La palabra polígono es de origen griego y quiere decir “varios ángulos”. Un polígono es: una superficie plana limitada por una línea poligonal cerrada. Se llama perímetro de un polígono a la suma de las medidas de sus lados. Los elementos básicos de los polígonos son: vértices, diagonales, ángulos interiores y exteriores. El número de lados de los polígonos determina su nombre: triángulo, cuadrilátero, pentágono, hexágono, etc. Fecha Nombre de Alumno Curso 2º BACHILLERATO Nº de lámina Título de lámina Nota CUADRADO RECTÁNGULO L PARALELOGRAMO B Área: L 2 B Área: AxB Área: AxB TRIÁNGULO RECTÁNGULO TRIÁNGULO ACUTÁNGULO b b b Área: b x h 2 c = a2+ b2 Área: b x a/2 TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO TRAPECIO Área: b x h 2 TRAPEZOIDE PENTÁGONO b r b a c B Área: B+b x h 2 HEXÁGONO Área: (h + H)a +bh +cH 2 Área: perímetro x apotema (r) 2 TRIÁNGULO INSCRIBIBLE A r b O a C D B AREAS Y PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS POLÍGONO: Es la porción del plano limitada por rectas que se cortan. - Polígono regular: tiene todos los lados y ángulos iguales. -Polígono irregular: no son iguales todos los lados ni todos los ángulos. -Polígono inscrito: es el que tiene sus vértices en una circunferencia. -Polígono circunscrito: sus lados son tangentes a una circunferencia. -Polígonos estrellados: tienen forma de estrella y se obtienen al unir de 2 en 2, 3 en 3, etc. los vértices del polígono regular. Fecha Nombre de Alumno Curso 2º BACHILLERATO Nº de lámina Título de lámina Nota SEGÚN SUS LADOS LADOS Equilátero C Todos iguales A Rectángulo Iguales. Son los tres de 60º a=b=c b a SEGÚN SUS ÁNGULOS ÁNGULOS A Isósceles a=b=c c Escaleno Menores de 90º Ángulos agudos B A ABC < 90º C Obtusángulo Los tres diferentes. Los tres diferentes A=90º Acutángulo Dos iguales. Uno, el opuesto a la base, diferente. Dos iguales = lados Una diferente = base b a Un ángulo recto. El lado mayor = hipotenusa. Dos lados menores = catetos. B c Uno de los ángulos mayor de 90º b a ÁNGULOS Un ángulo obtuso a=b=c A A > 90º c C En un triángulo el vértice y el lado opuesto se nombran con la misma letra, en mayúsculas y minúsculas respectivamente. La altura de un triángulo (h) es la recta perpendicular a un lado hasta el vértice opuesto. b a A c h h B OTRAS PROPIEDADES - La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º - Cada lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos, pero mayor que su diferencia. - En un triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que cada uno de los lados (catetos). - La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 2 meces su mediana. Recta de Euler: recta que pasa por el baricentro, ortocentro y circuncentro de un triángulo. - Si dividimos la mediana de un triángulo en tres partes iguales, el baricentro estará a 2/3 de esa recta. PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO C C BARICENTRO. MEDIANAS. Las medianas son las rectas que van de el punto medio de un lado hasta el vértice opuesto. Se cumple que CB = 2 cB a b B A B c C CIRCUNCENTRO MEDIATRICES. Las mediatrices de sus lados. El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita. a b INCENTRO BISECTRICES. Bisectrices de los a ángulos del triángulo. Es el centro de la circunferencia inscrita. C ORTOCENTRO ALTURAS b b hc = ALTURAS I O A Las mediatrices y las alturas se pueden cortar fuera del triángulo, por lo que el circuncentro y el ortocentro pueden estar fuera también. A B c B c C A c O N P M Q TRIÁNGULO PODAR TRIÁNGULO COMPLEMENTAARIO Resultado de unir los pies de las perpendiculares desde un punto cualquiera P Fecha Resultado de unir los pies de las medianas (baricentro) Nombre de Alumno TRIÁNGULO ÓRTICO Resultado de unir los pies de las alturas (ortocentro) Curso 2º BACHILLERATO Nº de lámina Nota Título de lámina ESQUEMA CUADRILÁTEROS. CARACTERÍSTICAS CUADRILÁTEROS LADOS Cuadrado ÁNGULOS DIAGONALES Iguales paralelos dos a dos Iguales. Son todos rectos. Iguales. Perpendiculares Se cortan en el punto medio. Rectángulo Son Iguales los lados paralelos. Iguales. Son todos rectos. Iguales. No perpendiculares Se cortan en el punto medio. Rombo Los cuatro iguales. Paralelos dos a dos. Iguales los opuestos. No son rectos. Distintas, perpendiculares y se cortan en un punto medio. Romboide Son iguales los lados paralelos. Iguales los opuestos. No son rectos. Distintas, No perpendiculares Se cortan en un punto medio. Los trapecios tienen siempre dos lados paralelos: son las bases. Trapecios Lado Base Menor Los trapezoides no tienen ningún lado paralelo Trapezoide Lado Diagonales Base Mayor Trapecio Isósceles Son iguales Los que se apoyan en la misma base son iguales. Son iguales. No se cortan en el punto medio. Son distintos Son todos distintos No son rectos Son distintos. No se cortan en un punto medio. Son distintos Un lado es perpendicular a las bases Tienen dos ángulos rectos. Son distintos. No se cortan en un punto medio. Es el único tipo de trapecios que es inscriptible en una circunferencia. Trapecio Escaleno Trapecio Rectángulo Fecha Nombre de Alumno Curso 2º BACHILLERATO Nº de lámina Nota Título de lámina ESQUEMA CUADRILÁTEROS. CARACTERÍSTICAS POLÍGONOS Los polígonos se designan por el número de sus lados. T riacon t CLASIFICACIÓN. POLÍGONO LADOS POLÍGONO triángulo 3 Endecágono LADOS 11 Icoságono o Isodecágono POLÍGONO LADOS 20 cuadrado 4 Dodecágono 12 T riacon tágono 30 pentágono 5 Tridecágono 13 Tetracon tágono 40 hexágono 6 Tetradecágono 14 Pen t acon tágono 50 heptágono 7 Pentadecágono 15 Hexacon tágono 60 octágono 8 Hexadecágono 16 Hep tacon tágono 70 eneágono 9 Heptadecágono 17 O c tacon tágono 80 decágono 10 Octadecágono 18 Eneacon tágono Eneadecágono 19 Hect ágono 90 100 Chiliágono 1.000 M iriágono 10 .000 M egágono 1.000 .000 triángulo cuadrado pentágono hexágono heptágono octágono eneágono decágono NOMBRE DE UN POLÍGONO MENOR DE 100 LADOS. Polígono de 22 lados: Icosakaidígono. DECENAS 20:Icosa- 2:dí 30:Triaconta- 3:trí 40:Tetraconta- 4:tetrá 50:Pentaconta- Fecha UNIDAD 1:hená kai 5:pentá 60:Hexaconta- 6:hexá 70:Heptaconta- 7:heptá 80:Octaconta- 8:octá 90:Eneaconta- 9:eneá Nombre de Alumno gono Curso 2º BACHILLERATO Nº de lámina Nota Título de lámina ESQUEMA CUADRILÁTEROS. CARACTERÍSTICAS A B C Construcción de un triángulo equilátero conociendo el lado. Como los tres lados son iguales sobre una recta cualquiera se sitúa uno de ellos AB. Desde A y desde B se trazan arcos como radio el lado AB y donde se cruzan los arcos se encuentra el tercer vértice C A Construcción de un triángulo equilátero conociendo la altura h. B h 3 Sobre una recta cualquiera t se toma un punto O arbitrario. Por el punto O se traza la perpendicular a la recta. Sobre la perpendicular anterior, y a partir del punto O se lleva una longitud igual a la altura dada h. La altura se divide en tres partes iguales. La 3 será uno de los vértices del triángulo C. Con centro en la división 1, se describe una circunferencia de radio r= 1-3 que cortará a la recta inicial t en los vértices A y B. C 2 h 1 t O A B h Construcción de un triángulo equilátero conociendo la altura h. C Como todos los triángulos equiláteros son semejantes, se construye uno auxiliar cualquiera. Se lleva la altura dada h, a partir de la base de la altura ya construida. El extremo opuesto será el punto C. El triángulo se completa por medio de paralelas a los lados hasta el punto deseado C. h A B pm A B A C Construcción de un triángulo conociendo sus tres lados. (triángulo escaleno). B C C Como todos los triángulos equiláteros son semejantes, se construye uno auxiliar cualquiera. Se lleva la altura dada h, a partir de la base de la altura ya construida. El extremo opuesto será el punto C. El triángulo se completa por medio de paralelas a los lados hasta el punto deseado C. A Construcción de un triángulo isósceles conociendo la base AB y la altura h.. B B A C h Sobre una recta se toma un segmento AB igual a la base. Se traza la mediatriz del segmento AB. Sobre la mediatriz y a partir del punto medio pm, se transporta la altura h obteniendo el tercer vértice C h A Fecha Nombre de Alumno B Curso 2º BACHILLERATO Nº de lámina Nota Título de lámina TRIÁNGULOS A Construcción de un triángulo rectángulo conociendo los dos cateros AB y AC. B A C Sobre una recta cualquiera se toma el segmento AB. Por un extermo A se traza la perpendicular a la recta, llevando sobre ella el otro cateto AC Al unir los extremos C y B se completa el triángulo A B A Construcción de un triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa BC y un cateto AB B B Sobre una recta cualquiera se toma un segmento AB igual al cateto conocido. Por un extremo A se traza una perpendicular a la recta. Con centro en el otro extremo B y radio igual a la hipotenusa se traza un arco que corta a esta perpendicular en el punto C, que será el tercer vértice. C A B Construcción de un triángulo rectángulo conociendo un cateto AB y el ángulo opuesto. A B C Sobre una recta cualquiera se toma un segmento AB igual al cateto conocido Por un extremo A se traza la perpendicular a la recta.. Por un punto C cualquiera de la perpendicular se traza una recta que forme un ángulo igual al dado. Por el otro extremo B del cateto se traza la paralela al lado del ángulo construido anteriormente. Esta paralela corta a la perpendicular trazada por el extremo B en el punto D, que será el tercer vértice. D a a C A B A Construcción de un triángulo rectángulo conociendo un cateto AB y el ángulo adyacente no recto. D Sobre una recta cualquiera se toma un segmento AB igual al cateto conocido Por un extremo A se traza la perpendicular a la recta.. Por el otro extremo B se construye un ángulo igual al dado. Donde el lado del ángulo corta a la perpendicular trazada por A se obtiene el vértice C. a B A a B Construcción de un triángulo rectángulo conociendo un cateto AC y la hipotenusa BC B A B C C A Sobre una recta cualquiera se situa la hipotenusa BC. Se obtiene el punto medio del segmento BC y se traza la semicircunferencia (arco capaz de 90º). Desde C se traza un arco de radio AC que corta a la semicircunferencia en el punto A que es el vértice del ángulo recto. B Fecha Nombre de Alumno C Curso 2º BACHILLERATO Nº de lámina Nota Título de lámina TRIÁNGULOS A C C h Construcción de un triángulo isósceles conociendo los lados iguales AC y la altura h. Sobre una recta se toma un punto arbitrario como punto medio pm. Por este punto se traza la perpendicular a la recta. Sobre ella, y a partir del punto pm se transporta la altura dada h. Con centro en el punto C y radio igual al lado se describe un arco que corta a la recta en dos puntos A y B que junto con el punto C son los vértices del triángulo. h A B pm B A C Construcción de un triángulo isósceles conociendo el lado desigual AB y un ángulo igual a Sobre una recta cualquiera se toma el lado AB y se construye el ángulo desde sus vértices para obtener el punto C en su intersección. A a a a a B A C A Construcción de un triángulo isósceles conociendo uno de los lados iguales AC y el ángulo desigual d C C d d Se traza una recta vertical y se considera la bisectriz del ángulo. Desde un punto arbitrario de la recta C se dibuja el ángulo sobre la prolongación de sus lados se trazan los arcos con radio igual al lado dado para obtener los vértices A y B. A a B C B A Construcción de un triángulo isósceles conociendo la base AB y el ángulo opuesto a la misma j C d Sobre una recta se toma un segmento AB igual a la base. Se traza la mediatriz del segmento AB. Se traza el arco capaz del ángulo para obtener el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. Donde la mediatriz corta a la circunferencia se obtiene el vértice opuesto. a Construcción de un triángulo isósceles conociendo uno de los lados iguales AC y un ángulo igual a A C A A B d C a Sobre una recta horizontal se construye el ángulo a y se prolonga el lado. Desde el vértice A se traza una arco con radio AC hasta cortar al lado en el vértice C Para finalizar se traza un arco de radio AC desde el punto C para obtener el último vértice B. A Fecha Nombre de Alumno a a B Curso 2º BACHILLERATO Nº de lámina Nota Título de lámina TRIÁNGULOS A B C Construcción de un triángulo conociendo un lado AB y los ángulos adyacentes a y b b a A B Sobre una recta cualquiera se dibuja el lado AB y desde cada extremo se dibujan los ángulos dados hasta cortarse en el vértice C. b a A A B B A C C Construcción de un triángulo conociendo dos lados AB y AC y el ángulo comprendido a. Sobre una recta cualquiera se dibuja el lado AB y desde el vértice A se dibuja el ángulo dado prolongando sus lados. Desde A se traza un arco de radio AC para obtener el último vértice.. A a a A A Construcción de un triángulo conociendo dos lados AB y AC y la mediana correspondiente al lado AB mc. B C B A C mc Se dibuja la mediatriz del lado AB y se obtiene el punto medio pm. Con centro en el punto A y radio AC se dibuja un arco. Con centro en el punto medio pm se traza otro arco con el radio de la mediana que se corta al anterior en el punto C, tercer vértice del triángulo. A B pm A B h mc Construcción de un triángulo conociendo un lado AB, la altura de esta lado h y su mediana mc. Se dibuja la mediatriz del lado AB y se obtiene el punto medio pm. Se traza una paralela al lado AB a una distancia igual a la altura h. Con centro en el punto medio pm se traza un arco de radio igual a la mediana que cortará a la paralela en el punto C. C h A B pm A B m1 Construcción de un triángulo conociendo un lado AB y las medianas de los otros dos lados, m1 y m2. m2 Sabiendo que las medianas se cortan en el baricentro a 2/3 de la longitud tomada desde el vértice, se dibuja el lado AB y desde cada uno de sus extremos se traza un arco de radio 2/3 de cada una de las medianas, obteniendo el baricentro. Se completan las medianas y se acaba el triángulo. C pm m1 m2 A Fecha Nombre de Alumno B Curso 2º BACHILLERATO Nº de lámina Nota Título de lámina TRIÁNGULOS B A Construcción de un triángulo rectángulo, dada la hipotenusa AB C C Se dibuja la hipotenusa y se obtiene el punto medio del segmento pm. Con cento en este punto se traza la semicircunferencia, arco capaz de 90º. En cualquier punto de la semicircunferenica estará el vértice C.(f.2) Para hacer un triángulo isósceles rectángulo sólo habrá que dibujar la mediatriz de AB y donde corte a la semicircunferenica estará C. (f. 1) A B f.1 A Construcción de un triángulo rectángulo conociendo la mediana correspondiente a un cateto AB y el ángulo agudo a adyacente al mismo. B f.2 A Sobre un segmento arbitrario se traza una perpendicular desde uno de los extremos y desde el otro se construye el ángulo dado. Donde se cortan ambas rectas tenemos el vértice C. Se obtiene el punto medio de ese segmento pm, y se hace pasar una recta por C y por el punto medio pm. Desde C y con la apertura de la mediana se corta a esta recta en lo que será el punto medio del triángulo buscado. Se prolonga la recta vertical hasta la altura de pm para obtener el punto A, se prolonga la recta del ángulo y se dobla la distancia A pm para obtener B B C a B a pm A pm Construcción de un triángulo conociendo un ángulo a, la mediana m y la altura h. a C Se traza una recta horizontal base. Sobre ella se traza una perpendicular con el tamaño de la altura h. Con centro en el vértice C y radio de longitud igual a la mediana se traza un arco que en su intersección con la recta horizontal base determina el punto medio pm. Se halla el simétrico C´ de C respecto del pm y se traza el arco capaz de 180º-a del segmento CC´ determinando así el vértice B en la intersección del arco con la ercta horizontal base. El punto A es el simétrico de B con respecto al punto medio pm. m h A h pm B C a m Construcción de un triángulo conociendo sus tres alturas. Con origen común en un punto cualquiera D se trazan tres segmento en direcciones arbitrarias con la longitud de las alturas. Se traza una circunferencia que pase por los tres extremos. Esta circunferncia corta a los segmento en los punto 1, 2 y 3. Se construye un triángulo con las distancias D1, D2 y D3, que será semejante al buscado. Para dibujar el definitivo se trazan paralelas por una de las alturas definitivas. h1 h2 h3 1 2 D D3 3 Fecha Nombre de Alumno D2 D1 D3 D2 D1 Curso 2º BACHILLERATO Nº de lámina Nota Título de lámina TRIÁNGULOS Dibuje un trapecio escaleno conocidas las dos bases b= AB y b´=CD y las dos diagonales d=CB y d´AD. C b´ d C D b A B D d´ B d d d´ d´ d b b´ A B Dado el centro O de una circunferencia y una cuerda AB de la misma, represente el trapecio isósceles inscrito en la circunferencia, siendo su base mayor la cuerda AB, y sabiendo que las diagonales forman con ella un ángulo de 45º. Deduzca razonadamente el valor de los ángulos que forman las diagonales con la base menor. Un cuadrilátero es inscriptible cuando los ángulo opuestos son suplementarios, es decir, suman 180º y es circunscriptible cuando la suma de los lados opuestos es igual. D C 45º Los ángulos que forman las diagonales con la base menor serán de 45º puesto que son ángulos alternos. 45º O 45º Alternos:1-2,3-4, ... correspondientes: 2-5, 3-8, ... 45º A 45º B 45º Fecha Nombre de Alumno Curso 2º BACHILLERATO Nº de lámina P 10 Nota Título de lámina CUADRILÁTEROS Con el teorema de las paralelas existen multitud de ejercicios resueltos. Para ver cuadriláteros, en concreto trapecios, vamos a estudias dos ejercicios en concreto: Trapecio cuando nos dan los cuatro lados y trapecio cuando nos dan las dos bases y las dos diagonales. Teorema: Si tres o más paralelas intersectan en segmentos congruentes a una recta secante, entonces cortan a cualquier otra recta secante en segmentos congruentes. Si dos o más rectas paralelas son cortadas por dos o más rectas también paralelas, los segmentos resultantes serán iguales. D Base m D C M A Base m P a Base m C Q A Y R Base m N B X B b Z s c t Dibuje un trapecio escaleno conocidas las dos bases b= AB y b´=CD y las dos diagonales d=CB y d´AD. b´ C d C D b A B D d´ B d d d´ d´ d b b´ A B Dibuja un trapecio dados los cuatro lados: Base mayor AB = 75 mm Base menor CD = 30 mm. L1 = 37 mm. L2 = 52 mm. D L1 Base menor C L2 L2 Base menor A Base mayor M B Base mayor - Base menor Fecha Nombre de Alumno Curso 2º BACHILLERATO Nº de lámina Nota Título de lámina CUADRILÁTEROS CUADRILATERO INSCRIBIBLE. Se llama así al cuadrilátero que se puede inscribir en una circunferencia. En un cuadrilátero inscribible sus ángulos opuestos son suplementarios, es decir, suman 180º. Recíprocamente, un cuadrilátero que tenga sus ángulos opuestos suplementarios es inscribible. A A+B = C+D = 180º b Teniendo en cuenta que el valor de un ángulo inscrito es la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco: O A+B = a/2+b/2 = a+b/2 = 360 º/2=180º a C D B C D G H O F A CUADRILÁTERO CIRCUNSCRIBIBLE. Se denomina así al cuadrilátero en el que se puede inscribir una circunferencia. En un cuadrilátero circunscribible la suma de los lados opuestos vale lo mismo. De igual manera, un cuadrilátero cuya suma de los lados opuestos valga lo mismo es circunscribible. B E Fecha Nombre de Alumno Curso 2º BACHILLERATO Nº de lámina Nota Título de lámina CUADRILÁTEROS Para la construcción de polígonos regulares se contemplan dos tipos de ejercicios: 1.- Dividir una circunferencia en un número cualquiera de partes iguales que es lo mismo que inscribir polígonos regulares en una circunferencia. 2.- Construir un polígono regular de cualquier número de lados a partir del lado conocido. A División de una circunferencia en TRES y SEIS partes iguales. TRIÁNGULO Y HEXÁGONO. El lado de un hexágono es igual al radio de la circunferencia circunscrita: por lo tanto basta tomar el radio r e ir tomando cuerdas consecutivas. Para construirlo de forma sencilla: se dibujan dos diámetros perpendiculares AD, y PQ. Por el extremo de uno, A por ejemplo, se dibuja un arco igual al radio de la circunferencia, (el arco debe de pasar por el centro de la misma). Por el extremo opuesto del diámetro, D, realizamos la misma operación. Donde estos arcos corten a la circunferencia serán los vértices del hexágono. Si queremos un triángulo (3 lados) solo tendremos que unir los vértices de 2 en 2 (en azul). Si queremos construir un dodecágono (12 lados) haremos la misma operación con el otro diámetro con sendos arcos en los extremos P y Q. Trazando las bisectrices de los ángulos centrales se pueden obtener polígonos de 24, 48, etc. F B r P Q o E C AB = r D A División de una circunferencia en CUATRO y OCHO partes iguales. CUADRADO Y OCTÓGONO. H B Para construir un cuadrado de forma sencilla: se dibujan dos diámetros perpendiculares AE, y CG. Donde cortan estos diámetros a la circunferencia serán los vértices del cuadrado. Para obtener el octógono (en rojo) solamente se deberá dibujar la bisectriz de los ángulos o bien la mediatriz del lado del cuadrado hasta que corte a la circunferencia. Si se quieren polígonos de 16, 32, etc. Se realizará la misma operación que con el octógono. 45º C G o D F E A División de una circunferencia en CINCO y DIEZ partes iguales. PENTÁGONO Y DECÁGONO. 1. Se dibujan dos diámetros perpendiculares AQ, y LM. 2. Se dibuja la mediatriz de un radio. El arco corta a la circunferencia en N y la mediatriz al radio en L. 3. Dibujar un arco con centro en L y radio LA, hasta que corte el radio OC, es el punto P. 4. La distancia de A hasta P, será la magnitud del lado del pentágono. 5. Se lleva distancia AP 5 veces sobre la circunferencia. N B E L o P Si se quieren polígonos de 10 lados (decágono), Solamente habrá que coger la magnitud OP que es el lado del decágono. También se puede dividir el lado del pentágono con mediatrices o bien dibujar las bicectrices de los ángulos. Estas operaciones sirven para conseguir polígonos de 20 lados, etc. M L D C Q A R División de una circunferencia en siete y catorce partes iguales. HEPTÁGONO Y TETRADECÁGONO. B 1. Se dibuja el diámetro MN. 2. Se traza la mediatriz del segmento O, centro de la circunferencia, y M. Corta la mediatriz a la circunferencia en los puntos R y S. 3. El segmento PR es el lado del heptágono. Poner esta medida a lo largo de la circunferencia. Para el polígono de catorce lados: 1. Desde el centro de la circunferencia, dibujar las perpendiculares a los lados del heptágono. F N o C E S D A 1. Se dibujan los diámetros AN y MP perpendiculares entre sí. 2. Con centro en N y radio N0, el mismo que la circunferencia, se traza un arco que corta en Q. 3. Con centro en el otro extremo del diámetro A, y con radio AQ se dibuja un arco que corta en el diámetro perpendicular MP en el punto T. 4. Con centro en T y radio TA se dibuja un arco que corta en el diámetro MP en el punto R. 5. El segmento MR es el lado del eneágono. 6. Colocar esta medida en toda la circunferencia. (en nuestro caso se ha empezado por A) 9 3 L9 8 R M o P T Q 4 7 5 Fecha 1 2 División de una circunferencia en nueve partes iguales. ENEÁGNO. M P Nombre de Alumno N 6 Curso 2º BACHILLERATO Nº de lámina Título de lámina POLÍGONOS REGULARES. CONSTRUCCIONES SEGÚN EL RADIO. (División de una circunferencia en partes iguales) Nota A Dibujar un PENTÁGONO cuando nos dan el LADO. D B 1. Poner el lado AB sobre una recta horizontal r. 2. Por el punto B, levantar una perpendicular. 3. Dibujar la mediatriz del lado AB, se halla de este modo el punto medio (pm) 4. Desde el punto B abrir el compás hasta A y dibujar un arco que corte a la perpendicular anterior en el punto P. Prolongar un poco más el arco. 5. Desde el punto medio de AB (pm) abrir el compás hasta P y dibujar un arco que corte a la recta r en el punto M. 6. Desde el punto A abrir el compás hasta el punto M y dibujar un arco que corte al primer arco dibujardo (BAP) en el punto C y también cortará a la mediatriz en el punto D. C y D son vértices del pentágono. 7. Desde el punto D y con la medida del lado del pentágono dibujar un arco. 8. Desde el punto A y con la medida del lado del pentágono dibujar un arco. Donde se cortan los arcos anteriores será el punto y vértice final del pentágono: E. C P E r pm A B M L Dibujar un HEXÁGONO cuando nos dan el LADO. A Como el lado del hexágono es igual al radio, lo que tendremos que hacer es buscar el centro de la circunferencia donde esté inscrito el hexágono. Debemos de saber también que si dividimos una circunferenica (360º) en seis partes iguales obtendremos ángulos de 60º. Un triángulo equilátero tiene tres ángulos de 60º. 1. Pondremos el lado AB sobre una recta r. 2. Dibujaremos un triángulo equilátero de lado AB: poner el compás en A y con radio AB realizar un arco. Hacer lo mismo desde B. 3. Donde se cortan los dos arcos tendremos el punto O, centro de la circunferencia del hexágono. 4. Dibujar la circunferencia que pase por A y por B (ojo, que pase por A y por B). 5. Hallar los vértices del hexágono como en el ejercicio anterior. B C F Dibujar un OCTÓGONO cuando nos dan el LADO. Hay construcciones de polígonos que tienen varios métodos. Nosotros vamos a utilizar el siguiente: 1. Se dibuja el lado (AB). 2. Se dibuja la mediatriz del lado AB: hallamos el punto medio M. 3. Por el punto M dibujamos un arco de radio MA que corta a la mediatriz en el punto O1. 4. Dibujamos una circunferencia con centro en O1 y radio O1A. Esta circunferencia corta a la mediatriz en el punto O2, que será el centro de la circunferencia que contenga los ocho lados (circunscrita al octógono). 5. Dibujamos la circunferencia mencionada: con centro en O2 y radio O2A. 6. Llevamos sobre ella el lado AB ocho veces. D E o A B F E D G O2 H C O1 A B Dibujar un HEPTÁGONO cuando nos dan el LADO. Dibujar un ENEÁGONO cuando nos dan el LADO. 1. Se dibuja la mediatriz del lado (AB) y una perpendicular (t) al mismo por A. 2. Se dibuja un ángulo de 30º con el vértice en B. El ángulo corta a la perpendicular t en el punto Q. 3.Desde B y con radio BQ se dibuja un arco que corta a la mediatriz en O1, centro de la circunferencia del E polígono. 1. Se dibuja la mediatriz del lado (AB). 2. Con centro en B y radio BA se traza un arco que corta a la mediatriz en el punto M. 3. Con centro en M y radio MA se traza un arco que corta a la mediatriz en el punto N. 4. Con centro en N y radio NM se traza un arco E que corta a la mediatriz en el punto E, vértice opuesto del lado AB y del diámetro de la circunferencia que circunscribe el eneágono. 5.Para hallar el centro dibujar la mediatriz N del segmento BE hasta que corte al diámetro. F D t O1 O1 M Q C B G A B B Fecha Nombre de Alumno Nº de lámina Título de lámina Departamento de Artes Plásticas A Curso Nota CUADRILÁTEROS. Cuadrado y Rectángulo. Dibujar polígonos regulares con EL MÉTODO GENERAL. Hay que tener en cuenta que el método general es un método inexacto. Por lo tanto para construir polígonos en dibujo técnico se utiliza el método específico de cada uno de ellos. Estos métodos se pueden utilizar para grandes polígonos de un número elevado de lados pero el resultado casi siempre tiene que ajustarse o tiene que ser rectificado. MÉTODO GENERAL cuando nos dan el RADIO. 1. Dibuja un diámetro vertical (ojo, que pase por el centro O) 2. divídelo por el teorema de tales en tantas partes como lados deba de tener el polígono que queremos construir, en nuestro ejemplo 9. 3. Desde A, extremo del diámetro se dibuja un arco de rado AP (el diámetro). Desde el otro extremo P se realiza otro arco igual que el primero. 4. Donde se cortan los dos arcos será el punto M. 5. Unir mediante una recta M y el punto 2 de la división de la circunferencia. Ojo, no confundir el 2 del diámetro con el nº 2 de la división del teorema de tales. 6. La prolongación de esta recta, M2, cortará a la circunferencia en el punto B primera división de la circunferencia. La recta AB será el lado del eneágono. 7. Ir colocando la medida AB consecutivamente desde A. A 1 B I 2 3 2 4 5 C H 6 8 9 G D E A tener en cuenta: Si el polígono es de lados impar como es el caso, el lado EF en este caso ha de estar partido por la mitad por el diámetro. Si al acabar el polígono no coincide la última medida con el punto A, hay que rectificar AB, más grande o más pequeño según el caso. Tener en cuenta que cualquier error por muy pequeño que sea en AB se multiplicará por 9 en este caso. F P G MÉTODO GENERAL cuando nos dan el LADO. 1. Poner el lado AB en una recta, en la parte inferior del recuadro a dibujar el polígono. 2. Como el polígono que vamos a dibujar es de 11 lados vamos a dibujar en primer lugar una circunferencia de 6 lados y otra de 12 lados. El polígono de 11 estará entre estos dos últimos, luego el centro de la circunferencia circunscrita también. (ver hexágono según el lado) 3. Dibujar un arco desde A con radio AB y desde B igual. 4. Donde se cortan los dos arcos será el centro de la circunferencia de 6 lados (hexágono). Dibujamos la circunferencia 5. Dibujamos el diámetro de dicha circunferencia. Este diámetro corta a la circunferencia en 12, centro de la circunferencia de 12 lados (dodecágono). 6. Dividimos el segmento que va de 6 a 12 en seis partes iguales. 7. Cada una de las partes en que se divide será un centro de una circunferencia del número señalado en el que caben tantos lados AB como divisiones marcadas (por ejemplo la división 7 será el polígono de siete lados AB) 8. Nosotros cogeremos el punto 11. Ponemos el compás en 11 y dibujamos una circunferencia. 9. Ponemos en la circunferencia dibujada 11 veces el lado AB. 10. Repasar siempre la figura un poco más oscuro o con un color con el lápiz bien afilado. Fecha Nombre de Alumno Nº de lámina Título de lámina M O 7 H F I E 12 11 10 9 8 7 6 J D C K A B Departamento de Artes Plásticas Curso Nota CUADRILÁTEROS. Cuadrado y Rectángulo. Polígonos estrellados. Un polígono regular estrellado es un polígono cóncavo en forma de estrella con diferentes vértices o puntas. Para construir un polígono estrellado hay varios métodos. El que se utiliza más en dibujo técnico es el El Método de Reducción: consiste en trazar la estrella inscrita dentro del polígono regular. Por lo tanto hay quee dibujar primero su polígono regular en el que está sustentado, y unir los v értic es de éste de dos e n dos, de tre s en tres , d e c uatro en cuatro, de cinco e n c inco, etc. Otro método es El Método de Extensión: consiste en utilizar el polígono regular como centro, trazándose las puntas de las estrella mediante la prolongación de los lados del polígono regular. . El número de polígonos estrellados que se pueden dibujar con un número de vértices diferente, es igual la cantidad de números primos con el número de vértices del polígono base dividido por dos. Un número es primo respecto a otro cuando ambos no tienen divisores comunes. Por ejemplo: para el pentágono (5 lados), los números menores que la mitad de sus lados son el 2 y el 1, y de ellos, primos respecto a 5 solo tendremos el 2, por lo tanto podremos afirmar que el pentágono tiene un único estrellado, que se obtendrá uniendo los vértices de 2 en 2. A Dibujar un pentágono estrellado. Para construir un pentágono estrellado de cinco puntas hay que construir el pentágono regular como ya hemos aprendido, dependiendo ello de si nos dan el radio o el lado. Después hay que unir los vértices de dos en dos, por ejemplo A con C, C don E, E con B, y así continuamente hasta que se cierra el polígono (hasta que se lleva a A al final). B E O Dibujar un heptágono estrellado (de siete puntas). Para construir un polígono estrellado de siete puntas, hay que dibujar primero el heptágono regular. Para construir el heptágono se realiza con los primeros pasos del pentágono según el radio. 1. Se dibuja la circunferencia con el radio dado. 2. Se dibujar dos diámetros perpendiculares. 3. Se dibuja la mediatriz del radio OP. 4. El lado del heptágono será KM. 5. Se coge la medida de KM y se pone 7 veces desde A. C D Para construir un polígono estrellado de siete puntas, unir los vértices de dos en dos (en rojo), o si se prefiere de tres en tres (polígono verde) puesto que este polígono tiene dos estrellados. A k B B L7 B A A G C C O M O P G G O F C D D E D F F E E Fecha Nombre de Alumno Nº de lámina Título de lámina Departamento de Artes Plásticas Curso Nota CUADRILÁTEROS. Cuadrado y Rectángulo.