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Colegio “La Inmaculada”
Matemáticas 3º ESO
Ejercicios
Misioneras Seculares de Jesús Obrero
Nueva del Carmen, 35. – 47011 Valladolid.
Tel: 983 29 63 91 Fax: 983 21 89 96
e-mail: [email protected]
TEMA 2 POTENCIAS
NOMBRE Y APELLIDOS ..............................................................................................................
HOJA 1 - FECHA ......................................
Comenzamos a trabajar con potencias. Son muy fáciles si las cogemos el tranquillo desde el
principio.
CUANDO ELEVAMOS UN NÚMERO A UNA POTENCIA, LO QUE HACEMOS ES
MULTIPLICARLO POR SÍ MISMO TANTAS VECES COMO INDICA EL EXPONENTE.
Por ejemplo:
23= 2 · 2 · 2 = 8
34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81
Hoy vamos a practicar con el producto y cociente de potencias de la misma base:
CUANDO SE MULTIPLICAN POTENCIAS DE LA MISMA BASE SE COLOCA LA MISMA
BASE Y SE SUMAN LOS EXPONENTES.
POR EJEMPLO: 23 · 24 = 2(3+4) = 27
CUANDO SE DIVIDEN POTENCIAS DE LA MISMA BASE SE COLOCA LA MISMA BASE Y
SE RESTAN LOS EXPONENTES.
POR EJEMPLO: 2 5
OJO, QUE LOS EXPONENTES PUEDEN
( 5 3 )
2

2

2
SALIR NEGATIVOS.
3
2
CUANDO SE MULTIPLICAN O DIVIDEN POTENCIAS DE DISTINTA BASE PERO CON EL
MISMO EXPONENTE, SE COLOCA COMO RESULTADO EL PRODUCTO O COCIENTE DE
LAS BASES Y COMO EXPONENTE EL MISMO QUE TENÍAN:
3
POR EJEMPLO: 34 * 54 * 64 = (3 *5 * 6)4= 904
15 3
 15 
3
53
AHORA PRACTICA TÚ:
24 · 25 =
3
5
45 · 35 · 7 5 =
7
3
3
3
3 ·3 ·3 =
6 ·7 ·8 =
45 · 46 · 4 2 · 47 =
27 · 67 · 8 7 =
3 2 ·3 4

35
4 6 ·4 7 ·4 3

4 2 ·4 3
3 2 ·3 4 ·3 2

3 7 ·3 2
30
3
35
5
27
9
6
6
7
7
4
4
    3
5
3
3
5
5
7
7



CALCULA PRIMERO EL NUMERADOR,
LUEGO EL DENOMINADOR Y POR ULTIMO
DIVIDE EL NUMERADOR ENTRE EL DENOMINADOR
5 3 ·5 8 ·5 2 ·5 6

5 4 ·5 6
3 2 ·3 5 ·3 4 ·3 5

3 3 ·3 7
6
3
7
2
4
6



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Ejercicios
HOJA 2 - FECHA ......................................
RAÍCES DE NÚMEROS REALES
¿Qué es una raíz?. Por ejemplo la raíz tercera de un número es otro número que, elevado a la
tres, da el primero, es decir 3 27  3 , por que 33=27
Otro ejemplo 4 16  2 , por que 24 = 16
Las raíces también pueden escribirse como potencias. Se ponen con potencias de exponente
una fracción.
Por ejemplo 3 27  27
 3, 4 16  16
2
De la misma manera, hay raíces más complicadas, como por ejemplo
1/ 3
4
32 
4
25  25 / 4 ;
7
8  7 23
1/ 4
 23 / 7
EN LOS SIGUIENTES EJEMPLOS TRATA DE PONER LAS RAÍCES SIGUIENTES COMO
POTENCIAS DE EXPONENTE FRACCIÓN.
2
3
24

25

4
36

5
56

6
128
7
450
3
34
5
198




2
2
5

3
2
3

4
3
4

5
5
3

6
8
8

7
40
3
3
6

5
6
7

4
234

4
23
3
900

3
5

2

3
3

EN LOS SIGUIENTES EJERCICIOS, PASA LAS RAÍCES A EXPONENTE FRACCIONARIO, Y
LUEGO, INTENTA RECORDAR CÓMO SE MULTIPLICABAN POTENCIAS DE LA MISMA
BASE (HOJA 1) Y REALIZA LAS OPERACIONES QUE CREAS
4
53 5 
4
5/3 5 
6
25  3 25 
6
25 / 3 25 
5
17  4 17 
5
17 / 4 17 
6
121  5 121 
6
121 / 5 121 
5
125  2 125 
5
125 / 2 125 
4
12  7 12  8 12 
4
12  7 12 / 8 12 
2
14  4 14  5 14 
2
14  4 14 / 5 14 
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Ejercicios
HOJA 3 - FECHA ......................................
OPERACIONES CON RAÍCES
Vamos a resolver los ejercicios de la segunda parte de la hoja de ayer bien resueltos. Para ello
tienes que recordar cómo se sumaban y restaban fracciones, por que eso es lo que tienes que
hacer ahora con los exponentes. Vamos a hacer el primero:
4
5  3 5  51 / 4  51 / 3  PARA MULTIPLICAR POTENCIAS DE LA MISMA BASE SE DEBEN
SUMAR LOS EXPONENTES, ¿CUÁLES SON LOS EXPONENTES? ¿CÓMO SE SUMAN?
1 1
3
4
7
 


4 3
12 12
12
SE SUMAN CON EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE LOS
DENOMINADORES, Y LUEGO DIVIDIENDO ENTRE CADA UNO DE LOS DENOMINADORES
Y MULTIPLICANDO POR LOS NUMERADORES. EL RESULTADO SERÍA:
51 / 4  51 / 3  51 / 41 / 3  57 / 12  12 57
HAY QUE VOLVER A HACER LAS OPERACIONES DE AYER, LUEGO QUIERO QUE
ESCRIBAS EL RESULTADO EN FORMA DE POTENCIA Y EN FORMA DE RAÍZ.
4
5 *3 5 
4
25 * 25 
5/3 5 
6
6
25 / 3 25 
5
17 * 17 
5
17 / 4 17 
6
121 * 5 121 
6
121 / 5 121 
5
125 * 2 125 
5
125 / 2 125 
4
12 * 7 12 * 8 12 
4
12  7 12 / 8 12 
2
14  4 14 / 5 14 
3
4
14 * 4 14 * 5 14 
POTENCIAS DE 10. NOTACIÓN CIENTÍFICA
2
La notación científica es una forma abreviada para escribir números que en ocasiones
aparecen en el mundo científico, y que son, muy grandes o muy pequeños.
Vamos a diferenciar dos tipos distintos: para números muy grandes, y para números muy
pequeños.
Para números grandes se escriben de la siguiente manera
12.300.000.000.000 puede escribirse como 123 · 1011 . el exponente de 10, es decir 11, es el
número de ceros que va detrás de 123. También podríamos escribirlo como 12,3 ·1012 donde
12 es el número de posiciones que debemos corres la coma hacia la derecha, una vez para el
número 3 (quedando 123) y otras 11 veces que se corresponden con los ceros que tenemos
que poner.
PON LAS SIGUIENTES CANTIDADES EN NOTACIÓN CIENTÍFICA, AL MENOS DE 3
FORMAS DIFERENTES:
4.567.000.000.000=
602.300.000.000.000.000.000.000=
12.000.000=
6.000.000.000=
98.765.123.000.000.000=
1.020.000.000=
43.000=
145.600.000.000=
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HOJA 4 - FECHA ......................................
REDUCIR RAÍCES A INDICE COMÚN
Como recuerdas de los días anteriores, las raíces pueden escribirse como potencias con
exponente fraccionario (repasa las hojas de los días anteriores). Por ello pueden modificarse
estos exponentes fraccionarios colocando fracciones equivalentes, así,
si
1
2
=
2
4
entonces
() ()
3 =3
1
2
2
4
.
En este sentido podemos coger varias raíces, que tienen índice común, escribirlas como
potencias de exponente fraccionario. Luego las fracciones las reducimos a común denominador
(utilizando el mínimo común múltiplo, como hacíamos para sumar o restar potencias) y volver a
escribir las raíces como raíces, pero ahora con el mismo índice. Vamos a ver un ejemplo:
√ √
3
√
5
Tenemos las siguientes raíces: 4, 6 y 7 Vamos a escribirlas como potencias de
1/3
1/5
1/2
exponente fraccionario 4 , 6 , 7 , Los exponentes son 1/3, 1/5 y ½, y podemos buscar
el mínimo común múltiplo de los denominadores (en este caso 30) para convertir las tres
fracciones en las siguientes: 10/30, 6/30 y 15/30
. Recuerda, para ello hemos dividido el mínimo común múltiplo entre cada denominador y
hemos multiplicado el resultado por cada numerador.
Si ahora colocamos los nuevos exponentes tenemos que las potencias ahora se escriben como
√4
30
410/30, 66/30 y 715/30, es decir
el mismo índice, es decir, 30.
√6
10 50
,
6
y
√7
30
15
con lo que las tres raíces tienen ahora
AHORA PRUEBA TÚ:
3
4,
5
7,
3
7,
3
24 ,
5
12 ,
2
5,
6
11,
4
4,
6
15 ,
7
13 ,
3
5,
2
7,
9
12 ,
6
4,
5
8,
12
7
2,
6
23 ,
5
17 ,
2
7,
3
6,
8
5,
4
5,
7,
8
3
78 ,
9
11
5
34 ,
6
12 ,
56 ,
8
64 ,
3
12 ,
53 ,
12
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HOJA 5 - FECHA ......................................
CONTROL DEL TEMA 2 POTENCIAS Y RAÍCES
1.
30
3
35
5
27
9
PRODUCTO Y COCIENTE DE POTENCIAS
33 · 35 · 37 =
63 · 73 · 83 =
45 · 46 · 42 · 47 =
27 · 67 · 87 =
3 3

35
46  47  4 3

42  43
2
4
32  35  34  35

3  3  37
2.
OPERACIONES CON RAÍCES
PON EN FORMA DE POTENCIA
6
6
7
7
4
4
5 3  58  5 2  56

54  56
2
3
25 
25 
3
36 
23 
4
34 
5
53 
6
56 
128 
REALIZA LAS SIGUIENTES OPERACIONES
4
53 5 
6
25 / 3 25 
6
25  3 25 
5
17 / 4 17 
6
121  5 121 
5
125 / 2 125 
4
12  7 12  8 12 
4
12  7 12 / 8 12 
2
14  4 14  5 14 
2
14  4 14 / 5 14 
5 , 6 11,
6
4, 5 8,
2
7, 3 6, 4 5,
4
4 , 6 15 , 7 13 ,
5
17 , 9 64 , 8 53 ,
8
5 , 11 12 , 3 12

24 
5
2

2
4
REDUCE A INDICE COMÚN
