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Principios de Equivalencia
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Concepto de Apertura.
Principios de Equivalencia
Expresiones de los Campos Radiados
Directividad
Aperturas rectangulares
Distribuciones separables: ejemplos
Aperturas circulares
Concepto de Apertura
•
Las antenas de Apertura se
caracterizan por radiar la
energía al espacio que las rodea
a través de una abertura
(apertura)
– en algunos casos la apertura
está perfectamente limitada
por paredes metálicas
conductoras (Bocinas y
ranuras cortadas sobre planos,
cilindros, guíaondas, etc.).
– mientras que en otros casos
(reflectores y lentes) la
apertura se define como la
porción de la superficie frontal
plana en la que los campos de
la onda colimada por aquellos
toman valores apreciables.
Plano de
Apertura
Apertura
1
Teorema de Unicidad
En un medio homogéneo, dentro de un volumen V (libre de fuentes de radiación),
limitado por una superficie S, los campos existentes únicamente dependen del valor
que toman las componentes tangenciales de E y H sobre S.
r r
E, H
σ, ε, µ
r
J
Fuentes de
Radiación
S
V
n$
– Sean E1,H1 y E2,H2 dos soluciones de las ecuaciones de Maxwell que cumplan:
r
r
r
r
n$ × H1 = n$ × H 2
n$ × E1 = n$ × E 2
y
S
S
S
S
– Los vectores E1-E2 y H1-H2 también son solución de las Ecuaciones de Maxwell.
Aplicando el Teorema de la Divergencia a:
r r
r
r
∇ ⋅ E 1 − E 2 × H1 − H 2
r
r
r
r
r
r
r
r
[( ) ( ) ] = (H − H ) ⋅ (∇ × (E − E )) − (E − E ) ⋅ (∇ × (H − H ) )
r r
r
r
r
r
r r
r r
$ = jω ∫∫∫ [µ H − H − ε E − E ]dV + σ ∫∫∫ E − E
∫∫ [(E − E ) × (H − H ) ] ⋅ ndS
*
1
*
2
1
2
*
S
1
2
1
2
1
2
2
V
1
2
1
*
2
2
1
2
V
1
2
 ∫∫S = 0
r
r
 r r 2
E1 ≡ E 2
r
 E1 − E 2 ≥ 0 ⇒ r
2
H1 ≡ H 2
r 2
dV  r
 H1 − H 2 ≥ 0
La solución es UNICA: Los campos interiores se deben poder calcular a partir de sus
componentes tangenciales sobre S
Principios de Equivalencia
El análisis de estas antenas típicas de microondas se realiza a partir del
conocimiento de los campos E y H del frente de onda que atraviesa la apertura.
– Estos campos se obtienen, en el caso de las bocinas y ranuras, a partir de los modos
que se propagan en su interior, mientras que para los reflectores y lentes se realiza un
trazado de rayos basado en óptica geométrica.
El análisis se basa en la aplicación de los Principios de Equivalencia
Electromagnética, que responden al siguiente planteamiento:
rr
J ( r′ )
~
Datos
rS r
E HS
– Si se conocen los campos en una superficie cerrada S que
contiene todas las fuentes (corrientes reales) de campo, ¿Pueden
obtenerse los campos radiados? ¿Existe alguna distribución de
corrientes equivalentes sobre S que produzca el mismo campo
radiado?
– La respuesta es afirmativa tal como sugiere el Principio de
Difracción que Huygens estableció para la luz en 1690.
S
2
Principios de Equivalencia
Principio de Huygens
Principios de Equivalencia
Fuentes
Secundarias
Planteamiento
Matemático
Onda
Plana
Frentes
de Ondas
n$ = z$
r
Ea
r
Ha
r
r
J = n$ × H a
rs
r
M s = − n$ × E a
>
<
Plano XY Plano XY
“Cada punto de un frente de ondas
actúa como una fuente secundaria de
generación de ondas esféricas; el
siguiente frente de ondas es la
envolvente de estas ondas secundarias
y así sucesivamente”.
El Principio de Equivalencia, en su primera
forma, permiten sustituir, a efectos de
calcular los campos en el semiespacio z≥0,
los campos en la apertura Ea, Ha, por las
corrientes superficiales equivalentes Js y
Ms, calculadas sobre la apertura
Ecuaciones Simétricas de Maxwell
Ecuaciones Simétrica
Ecuaciones con
fuentes eléctricas
r
r
r
∇ × E = − m − jωB
r
v r
∇ × H = J + jωD
r
∇ ⋅ D = ρe
r
∇ ⋅ B = ρm
r
r
∇ × E A = − jωBA
r
r
v
∇ × H A = J + jωD A
r
∇ ⋅ D A = ρe
r
∇ ⋅ BA = 0
r
E
r
H
=
=
=
r
EA
r
HA
Ecuaciones con
fuentes magnéticas
r
r
r
∇ × E F = − m − jωBF
r
v
∇ × H F = jωD F
r
+
∇ ⋅ DF = 0
r
∇ ⋅ BF = ρ m
+
+
r
EF
r
HF
AT 6
3
Fuentes Magnéticas Ficticias
Para establecer los Principios de
Equivalencia es necesario introducir unas
fuentes ficticias de campo, de tipo
magnético:
– Densidad de carga magnética ρm.
r r
– Densidad de corriente magnética M, M s
que cumplen el conjunto dual de
Ecuaciones de Maxwell que aparece en la
tabla.
En un problema con fuentes eléctricas
y magnéticas, los campos totales se
obtienen sumando los correspondientes a
cada distribución.
η= µ ε
F: Potencial Vector Eléctrico
P.E.: Campos Radiados
En la zona de radiación:
r
r
r
E = jω $r × $r × A + jωη $r × F
( (
r r
r r jkr$⋅rr ′
µ e − jkr
A( r ) =
J s ( r ′) e dS′ = A r r$ + A θ θ$ + A φ φ$
∫∫
S
′
4π r
r r
r r
r
ε e − jkr
F( r ) =
M s ( r ′) e jkr$⋅r ′ dS′ = Fr r$ + Fθ θ$ + Fφ φ$
4 π r ∫∫S′
))
(
)
Er = 0
E θ = − jωA θ − jωηFφ
Hr = 0
H θ = − ηE φ
E φ = − jωA φ + jωηFθ
H φ = ηE θ
Condiciones de Contorno:
r r
E 1 , D1
n$
r r
H1 , B1
ε1 , µ 1
r r
E 2 , D2
1
2
r r
H 2 , B2
S
ε2 , µ2
r
r
n$ ⋅ D1 − D 2 = ρs
r r S
n$ ⋅ B1 − B2 = ρ ms
r r S
r
n$ × E1 − E 2 = − M s
S
r
r
r
n$ × H1 − H 2 = J s
(
(
(
(
)
)
)
)
S
4
Teorema de las Imágenes Generalizado.
ρ
r
J
ρm
ρ
r
E t ( z = 0) = 0
z$
σ=∞
r
J
r
M
>
<
ρ
r
J
ρm
r
E t ( z = 0) = 0
h
h
Conductor Eléctrico
Perfecto Plano e Indefinido
Resultados
válidos sólo para z ≥0
ρ i = −ρ
r
M
ρ
r
H t ( z = 0) = 0
z$
σm = ∞
Conductor Magnético
Perfecto Plano e Indefinido
ρm
r
M
>
<
ρmi = ρm
r
Ji
r
Mi
r
J
r
M
ρm
r
H t ( z = 0) = 0
h
h
ρi = ρ
ρmi = −ρ r
Ji
r
Mi
1er Principio de Equivalencia
ε, µ
r
J
>
<r
V0
r r
E, H
n$
r
Er = 0
H=0
V
S
r
E, H
V0
n$
S
S∞
r
n$ × E
r
se sustituyen las
rS
E=0
introduciendo
Conocidos
fuentes interiores a V0 r
n$ × H
S
H=0
r
r
por la solución:
E∞ = H∞ = 0
ε, µ
V
r
r
Js = n$ × H
r
rS
M s = − n$ × E
S
r
r
Js = n$ × H − 0
S
r
r
M s = − n$ × E − 0
(
(
)
S
)
Ambos problemas poseen los mismos campos tangenciales sobre S y, por lo
tanto, los campos radiados en V son IDENTICOS.
Se han sustituido el problema real, que posee unas corrientes reales a menudo
desconocidas, por otro con corrientes equivalentes que quedan como únicas
responsables de la radiación fuera de S.
5
2o Principio de Equivalencia
ε, µ
r
J
ε, µ
Conductor
Eléctrico
Perfecto
V
>
<
V
r
r
r r
r r
Js = n$ × H
E, H
V0
E
,
H
r
rS
S
n$
M s = − n$ × E
n$
S
S∞
S
r
r
J s = n$ × H
El volumen V0 se rellena de un conductor eléctrico perfecto que cumple:
S
r
r
Queda como responsable de la radiación la corriente magnética:
M s = − n$ × E
S
enfrentada al conductor eléctrico perfecto.
V0
2º P.E.
r
Ea
r
Ha
Teorema Imágenes
n$ = z$
n$ = z$
r
r
Js = n$ × H a
r
r
M s = − n$ × E a
>
<
σ=∞
Plano XY
r
Js
r
Ms
>
<
r
Js
r
Ms
Para
z>0
r
2M s
>
<
Plano XY
3o Principio de Equivalencia
ε, µ
r
J
ε, µ
V
>
<r
V0
r r
E, H
r
E, H
S
n$
Conductor
Magnético
Perfecto
V0
S
n$
S∞
V
r
r
Js = n$ × H
r
rS
M s = − n$ × E
El volumen V0 se rellena de un conductor magnético perfecto que cumple:
r
r
Queda como responsable de la radiación la corriente eléctrica:
J s = n$ × H
S
enfrentada al conductor magnético perfecto.
3º P.E.
r
Ea
r
Ha
S
Teorema Imágenes
n$ = z$
Plano XY
S
r
r
M s = − n$ × E
n$ = z$
r
r
J = n$ × H a
rs
r
M s = − n$ × E a
>
<
σm = ∞
Para
z>0
>
<
r
Js
r
Ms
r
Js
r
Ms
>
<
r
2 Js
Plano XY
6
Aperturas Planas. Campos Radiados.
Plano XY
n$ = z$
r
Ea
r
Ha
r
E a = x$ E ax (x ′, y ′) + y$ E ay ( x ′, y ′ )
r
H a = x$ H ax (x ′, y ′ ) + y$ H ay (x ′, y ′)
r
r
J = z$ × H a
rs
r
M s = − z$ × E a
r r
r r
r
µ e − jkr
A( r ) =
z$ × ∫∫ H a ( r ′ ) e jkr$⋅r ′ dS′
S′
4π r
r r
r r
r
ε e − jkr
F( r ) = −
z$ × ∫∫ E a ( r ′) e jkr$ ⋅r ′ dS′
S′
4π r
Los potenciales
vectores valen:
definiendo:
r
r
r
P ≡ ∫∫ E a ( r ′) e jkr$ ⋅ r ′ dS′
Sa r
r
r
Q ≡ ∫∫ H a ( r ′ ) e jkr$⋅ r ′ dS′
2π
Px ( u, v ) = ∫∫ E ax (x ′, y ′) e j λ ( ux ′+ vy ′ ) dx ′dy ′
Sa
Py ( u, v) =
Sa
$r = sen θ cos φ x$ + sen θ sen φ y$ + cos θ z$
r
r ′ = x ′x$ + y ′y$
r 2π
kr$ ⋅ r ′ =
( ux ′ + vy ′)
λ
u = sen θ cos φ
∫∫ E (x ′, y ′) e
j
ay
2π
( ux ′ + vy ′ )
λ
dx ′dy ′
Sa
2π
Q x ( u, v ) = ∫∫ H ax ( x ′, y ′ ) e j λ ( ux ′+ vy ′ ) dx ′dy ′
Sa
2π
Q y ( u, v) = ∫∫ H ay ( x ′, y ′ ) e j λ ( ux ′+ vy ′ ) dx ′dy ′
Sa
v = sen θ sen φ
Aperturas Planas. Campos Radiados.
1er Principio
e -jkr
Px cos φ + Py s e n φ − η cos θ Q x s enφ − Q y cos φ
4 πr
-jkr
e
cos θ Px s e n φ − Py cos φ + η Q x cos φ + Q y sen φ
E φ ( r, θ, φ ) = − jk
4 πr
E θ ( r, θ, φ ) = jk
(
(
(
2o Principio
(
) (
e -jkr
Px cos φ + Py s e n φ
2 πr
e -jkr
cos θ Px s e n φ − Py cos φ
E φ ( r, θ, φ ) = − jk
2 πr
E θ ( r, θ, φ ) = jk
(
))
)
(
3o Principio
))
)
e -jkr
cos θ Q x sen φ − Q y cos φ
2 πr
e -jkr
Q x cos φ + Q y sen φ
E φ ( r, θ, φ ) = − jkη
2 πr
(
E θ ( r, θ, φ ) = − jkη
(
Todas las expresiones son sólo válidas para:
)
)
0≤θ≤π 2
7
Aperturas Planas. Campos Radiados
Para aperturas grandes, en que Ha y Ea están relacionados por η (fuente de
Huygens), los campos de radiación del 1er Principio se pueden escribir como:
Qx = −
Qy =
Py
Px
η
η
e -jkr  1 + cos θ 

 Px cos φ + Py s e n φ
2 πr 
2 
e -jkr  1 + cos θ 

 Px s e n φ − Py cos φ
E φ ( r, θ, φ ) = − jk
2 πr 
2 
E θ ( r, θ, φ ) = jk
(
)
(
)
- Si la polarización es lineal y se mantiene constante en la apertura
este modelo predice contrapolar nula
Si se utilizan los campos exactos de todo el plano de apertura los 3 principios dan
los mismos resultados. Cuando se utiliza la apertura definida como el área donde los
campos toman valores significativos, los resultados difieren si las aperturas son
pequeñas para θ alejados del máximo principal.
Para aperturas grandes, directivas, en las que la radiación se concentra en
direcciones próximas a θ=0 los diagramas obtenidos con los 3 principios son
prácticamente coincidentes.
Aperturas Planas. Polarización.
•
•
Si la apertura es pequeña y se abre sobre un
plano conductor grande (ranuras, bocas de
guía sobre planos, etc.) debe utilizarse el 2º
Principio ya que fija la misma condición de
contorno que la realidad.
También se ha comprobado con medidas
que el 2º Principio (Modelo de Campo
Eléctrico) modela mejor la radiación
contrapolar de pequeñas bocinas sin plano
de masa.
1er Principio
2o Principio
8
Aperturas Planas. Polarización.
La polarización del campo radiado (sobre el lóbulo principal) coincide con la
polarización del campo de iluminación de la apertura, p.e.:
r
E a = x$ E a (x ′, y ′)
2º Principio
r
e-jkr $
E ( r, θ, φ ) = jk
θ cos φ − φ$ cos θ s enφ Px (θ, φ )
2 πr
(
)
e$ = θ$ cos φ − φ$ s enφ = x$
cuando θ → 0
Los campo radiados son en general el producto de un término de polarización por
un “Factor de Radiación” (P(θ,φ), Q(θ,φ)) que determina, para aperturas
eléctricamente grandes, el diagrama de radiación que es así función de la
dimensiones y de la ley de iluminación de la apertura.
Este factor juega el mismo papel que el “Factor de Array” en análisis de arrays.
De hecho se puede llegar a las expresiones de los factores de radiación, que no
son otra cosa que las Transformadas de Fourier bidimensionales de los campos
de apertura, considerando ésta como un array reticular continuo de elementos
dxdy.
Aperturas Rectangulares. Iluminación Uniforme.
y
r
Iluminación: E a = y$ E 0
Ly
x ≤ Lx 2
y ≤ Ly 2
x
r$ = sen θ cos φ x$ + sen θ sen φ y$ + cos θ z$ 
r

r ′ = x ′x$ + y ′y$

Lx
r
kr$ ⋅ r ′ = k ( ux ′ + vy ′)
u = sen θ cos φ
v = sen θ sen φ
Campo Radiado (1er Principio)
Py ( u, v ) = E 0 ∫
Lx 2
E θ ( r, θ, φ ) = jk
E φ ( r, θ, φ ) = jk
Ly 2
e jkux ′ dx ′ ∫− L
−Lx 2
y
2
e jkvy ′ dy ′ = E 0 L x L y
e-jkr  1 + cos θ 

 E0LxLy
2 πr 
2 
e  1 + cos θ 

 E0LxLy
2 πr 
2 
-jkr
((
))
sen ( ( k L x 2 )u ) sen k L y 2 v
( k L 2 )v
sen( ( k L 2 )u ) sen(( k L 2 ) v)
se n φ
( k L 2 )u
( k L 2)v
sen( ( k L 2 )u ) sen(( k L 2 ) v)
cos φ
( k L 2)u
( k L 2)v
( k L x 2)u
y
y
x
x
y
y
x
x
y
9
Aperturas Rectangulares. Iluminación Uniforme.
Diagramas aproximados en los Planos Principales:
F NE (θ, φ) =
Plano E (φ=90º):
((
))
sen k L y 2 v
E φ ( r, θ, φ) = 0
( k L 2) v
y
F NH (θ, φ ) =
Plano H (φ=0º):
sen( ( k L x 2) u )
0
0
Lx=20λ
Ly=10λ
10
Lx=20λ
Ly=10λ
Plano E
Plano H
-13.26 dB
20
10
20
30
u0 =
40
E θ ( r, θ, φ ) = 0
( k L x 2 )u
0.3
0.2
0.1
0
0.1
0.2
0.3
λ
Lx
BW0 H =
u=senθ
θ
30
2λ
Lx
40
v0 =
0.3
0.2
0.1
0
0.1
0.2
λ
Ly
0.3
v=senθ
θ
Aperturas Rectangulares. Iluminación Uniforme.
Lx=20λ
Ly=10λ
v
0.3
0.2
0.1
u
0
0.1
0.2
0.3
0.3
D
0.2
0.1
0
0.1
0.2
0.3
El diagrama es similar al del array
reticular rectangular de las mismas
dimensiones.
El nivel de lóbulos secundarios es
mayor en los planos principales que en
los planos diagonales.
Si la apertura estuviese iluminada
r
con polarización circular E a = (x$ + jy$ )E 0
los diagramas de campo representados
continuarían siendo válidos. La
polarización sería circular pura del
mismo sentido para θ=0º.
10
Distribuciones Separables
•
En aperturas rectangulares las distribuciones de tipo separable permiten
controlar de forma independiente los diagramas correspondientes a ambos
planos principales.
•
En efecto, tomando por ejemplo:
E a ( x ′ , y ′ ) = E a1 ( x ′ ) E a 2 ( y ′ )


 ⇒ P ( u, v ) = f1 ( u ) f 2 ( v)
Lx 2
Ly 2
2π
2π
j ux ′
j vy ′
=∫
E a1 ( x ′ ) e λ dx ′ ∫
E a 2 ( y ′) e λ dy ′ 

− Lx 2
− Ly 2
P ( u, v ) = ∫∫ E a (x ′, y ′ ) e
2π
j ( ux ′ +vy ′ )
λ
dx ′dy ′
Sa
donde f1(v) y f2(v) son las transformadas de Fourier unidimensionales de las
distribuciones según x’ y según y’, respectivamente.
– Plano XZ (φ=0,π);v=0; f2(v)=cte; ⇒ P(u,0)= Cte · f1(u)
– Plano YZ (φ=π/2,3π/2);u=0; f1(u)=cte; ⇒ P(0,v)= Cte · f2(v)
Ejemplos de Distribuciones Separables
Triangular
Coseno (Modelo Guía Rectangular abierta)
 πx 
L
L
E a = E 0 cos  − x ≤ x ≤ x
2
2
 Lx 
2 L x cos( kuL x 2)
f1 ( u) = E 0
2
π 1 − ( kuL x π)
 2x
L
L
E a = E 0 1 −
 − x ≤x≤ x
Lx 
2
2

2
L sen ( kuL x 4)
f1 ( u) = E 0 x
2
2 ( kuL x 4)
0
0
Lx=10λ
Lx=10λ
εax=0.75
10
-26.5 dB
20
30
40
εax=0.81
10
u0 = 2
0.3
0.2
0.1
0
0.1
0.2
λ
Lx
30
40
0.3
u=senθ
θ
λ
BW0 ≈ 4
rad
Lx
D0 = 4π
LxLy
λ2
-23.0 dB
20
u0 =
0.3
0.2
0.1
0
0.1
0.2
3 λ
2 Lx
0.3
u=senθ
θ
λ
BW0 ≈ 3
rad
Lx
ε ax ε ay
εa uniforme =1
11
Directividad
•
En aperturas bien enfocadas (máximo de radiación en θ=0) la directividad vale:
D0 =
•
< S(θ = 0) >
PR 4 πr 2
r
k r$ ⋅ r ′ = 0
La potencia radiada se obtiene como el flujo de potencia que atraviesa la
apertura:
2
< S(θ = 0) >=
•
E θ (θ = 0 ) + E φ ( θ = 0 )
2
2
=k
2η
PR = ∫∫
La directividad vale:
SA
2
Px (θ = 0) + Py (θ = 0)
2 η( 2 πr )
2
2
[
]
2
2
1
E ax (x ′, y ′) + E ay (x ′, y ′ ) dx ′dy ′
2η
2
4π
D0 = 2
λ
∫∫ E ( x ′, y ′)dx ′dy ′
2
+
ax
SA
∫∫ E ( x ′, y ′)dx ′dy ′
ay
SA
∫∫
SA
[E
ax
( x ′, y ′)
2
2
]
+ E ay ( x ′ , y ′ ) dx ′dy ′
Directividad - Eficiencia
•
Para aperturas planas uniformemente iluminadas, la directividad vale:
D0 =
•
4π
SA
λ2
SA: Superficie de la Apertura
(independiente de la forma)
La eficiencia de iluminación de apertura (εA) da idea de lo bien que se
aprovecha la apertura, esto es, lo uniforme que es su campo de iluminación en
amplitud y fase.
2
εA ≡
A ef
=
SA
∫∫ E ay (x ′, y ′)dx ′dy ′
SA
SA
[
2
2
]
SA ∫∫ E ax (x ′, y ′) + E ay ( x ′, y ′ ) dx ′dy ′
SA
D0 =
2
∫∫ E ax (x ′, y ′)dx ′dy ′ +
4π
4π
A ef = ε A 2 SA
λ2
λ
≤1
En distribuciones rectangulares separables εA=εaxεay
12
Iluminaciones Rotacionalmente Simétricas
En este caso la apertura radiante es circular. En la
figura se muestran los parámetros geométricos
necesarios para su estudio.
r
Ea = x$ E a ( r ′) r ′ ≤ a
z
y
a
r´
r
Px = ∫∫ E a ( r ′)e jkr$⋅ r ′ dS′
Sa
r
r$ ⋅ r ′ = r ′ sen θ(cos φ cos φ ′ + sen φ sen φ ′ ) = r ′ sen θ cos(φ − φ ′)
Px = ∫
a
r ′= 0
r
θ
φ´
φ
x
2π
a
E a ( r ′ ) ∫ e jkr ′ sen θ cos( φ − φ ′ ) dφ ′  r ′dr ′ = 2 π ∫ E a ( r ′)J 0 ( kr ′ sen θ)r ′dr ′
r ′= 0
 φ ′= 0

Si la iluminación es uniforme
Px = 2 πE 0 a 2
J 1 ( ka sen θ)
ka sen θ
E CP = E θ cos φ − E φ sen φ
E XP = E θ sen φ + E φ cos φ
r
Ea = x$ E 0 r ′ ≤ a
1er Principio
∫ xJ
0
( x ) dx = xJ1 ( x )
r
1 + cos θ e − jkr
E = θ$ cos φ − φ$ sen φ
jk
Px
2
2 πr
(
)
1 + cos θ e − jkr
J ( ka sen θ)
jk
E 0a 2 1
2
r
ka sen θ
=0
E CP =
E XP
e$ CP (θ = 0) = x$
Apertura Circular con Iluminación Uniforme
Diagrama con
simetría de
revolución
Para aperturas eléctricamente grandes, el diagrama
de radiación normalizado de campo vale:
fe (θ) =
2 J1 ( ka sen θ)
ka sen θ
dando un SLL=-17.6 dB
BW3dB=1.02λ/(2a)
2a=10λ
BWnulos=2θ0
2π
λ
a sen θ 0 = 3,83 θ 0 ≈ 0.61
λ
a
a >> λ
BWnulos=2θ0=2.44λ/(2a)
D0=4π(πa2)/λ2
13
Distribución Parabólica sobre Pedestal
Modelo de campo de apertura
  r  2
Eap ( r ) = C + (1 − C) 1 −   
  a  
D
a=
2
1.0
0.6
n=2
0.4
0.2
50
30
10
10
r
30
1− C
f (θ, n )
n +1
1− C
C+
n +1
2 n +1( n + 1)! J n +1( ka sen θ)
f (θ, n,C) =
f (θ, n) =
Cf (θ, n = 0) +
( ka sen θ)n +1
0
n=1
0.8
-a
n
n=0
1
0
Diagrama normalizado de campo
50
a
Campo
en la
Apertura
(C=-10 dB)
Diagrama
ormalizado
(n=2, a= 50λ
λ)
10
-20 dB
20
40
C=-10
dB
-14 dB
30
2
1
0
1
2
θ (grados)
Distribuciones Parabólicas sobre Pedestal
Parámetros típicos de Diagramas de Radiación de Reflectores
HP: Ancho de Haz a -3 dB
εt: Eficiencia de Iluminación
Típicamente, los reflectores
reales, sin o con débil
bloqueo, dan niveles de
lóbulos secundarios entre
n=1 y n=2
14
Distribución Parabólica sobre Pedestal
ivel de Lóbulo Secundario (dB) (n=2)
20
Depende sólo del nivel de pedestal
No depende del radio de la apertura
Se observa que para conseguir
lóbulos secundarios bajos interesa
una iluminación de borde entorno a
-18, -20 dB.
25
)
30
35
40
30
20
10
0
C(dB)
Antenas de Ranura
•
•
•
Ranuras
Principio de Babinet
Admitancias mutuas
15
Radiación de Ranuras Resonantes
n$ = x$
r
2π 
V
2π 
$ m cos
E a = yE
z = − y$ m cos
z
 λ 

λ 
a
r
r
2V
2π 
M st = −2 n$ × E a = z$ m cos
z

a
λ 
a << λ / 2
Ranura excitada en guía
(Campo válido x>0)
Vm
− jkr
r
ε e
F = ẑ
4π r
∫
Eθ = 0
Ranura excitada con coaxial
(Campo válido todo el espacio)
l4
z =−l 4
V e − jkr
Eφ = j m
π r
a 2
2Vm
 2π 
cos z e jkz cos θ dz ∫
e jky sen θ sen φ dy
y =−a 2
a
 λ 
1
44
42444
3
≈a
 kl

 kl 
cos cos θ  − cos 
2


 2
sen θ
En el caso resonante:
V e − jkr
Eφ = j m
π r
π
cos cos θ
2

sen θ
L = λ/2
Para una ranura
radiando en todo el
espacio D0=1.64
Expresión similar
(dual) a la del
dipolo en λ/2
Admitancia de Ranuras Resonantes
Ya =
2P*
V
2
= G + jB
 1  l 2
  kl

 kl  
cos cos θ  − cos  
  

π
V
2

 2   sin 3θdθ =  90  λ 
 
=

2
∫
2πη0 0 
cos θ

 1  l 


120  λ 
2
G=
R=
2Prad
V
2
2
Vm2
η2
=
≈ 480Ω
2Prad 4R rad dipolo
l << λ
l >> λ
NOTA: No confundir esta resistencia con
la conductancia equivalente a la radiación
de una ranura cortada sobre una guía
onda
B depende de la implementación y de la alimentación
16
Principio de Babinet - Relación de Bookers
“Si se suma el campo tras una pantalla
con una apertura Em al campo de la
estructura complementaria Ee, se
obtiene el campo en el vacío E0”
r
J
“El producto de las impedancias de
estructuras complementarias inmersas
en un medio de impedancia intrínseca η
vale η2/4”
r
M
Zd
r r
Ee He
Zs
r r
Em Hm
Dipolo
r
r
r
E0 = Ee + E m
r
r
r
H0 = He + Hm
Ranura
Zs ⋅ Z d =
Z s η2
=
Yd
4
Admitancias Mutuas entre Ranuras
N
I m = ∑ Vn Ymn
Ranuras
n =1
s
s
s
Vns = 0 n = 0,...m − 1, m + 1...n
s
s
s
⇒ I m = Vm Ymm
⇒
N
s
m
DipolosV
= ∑I Z
s
n
s
mn
Z dmm η2
=
s
Ymm
4
n =1
I sn = 0 n = 0,...m − 1, m + 1...n
s
s
s
⇒ Vm = I m Zmm
[Y ] = η4 [Z ]
s
s
2
N
I m = ∑ Vn Ymn
Ranuras
n =1
s
s
Vns = 0 n ≠ m
s
s
s
s
⇒ I n = Vm Ymn
⇒
N
s
m
DipolosV
= ∑I Z
s
n
s
mn
Z dmn η2
=
s
Ymn
4
n =1
I sn = 0 n ≠ m
s
s
s
⇒ Vn = I m Zmn
17
Antenas de Parche
•
•
•
•
Parches
Modelo de Líneas de Transmisión
Modelo de Cavidad
Polarización circular
Parches Microstrip
Parche rectangular
Parche circular
18
Modos de Alimentación de Parches
Modelo de Linea de Transmisión
L
G1 = G 2 ≈
W 
1
2
1 − (k 0 h ) 
120λ 0  24

B1 = B 2 ≈
W
[1 − 0.636 ln(k 0 h )] h < 0.1
120λ 0
λ0
β
Yin
h
< 0. 1
λ0
2
1
G12 ≈
120π 2
Yin = G1 + jB1 + Yc
c
2f
2
c
≈
ε r + 1 2f ε r
0
  k0W

 sin  2 cos θ  
  J (k Lsinθ)sin 3θdθ
 
0
0
cos θ




G 2 + j(B2 + Yc tanβ L )
Yc − B2 tanβL + jG 2 tanβL
Anchura resonante
w=
∫
π
tanβL =
Longitud Resonante
2Yc B
G 2 + B2 − Yc2
⇒ L≈
c
2f ε r
⇒ Yin = 2(G1 ± G12 )
19
Diseño según el Modelo de Linea de Transmisión
w εeff
w
ε eff =
ε r + 1 ε r − 1  12h 
+
1+
2
2 
w 
−1 2
w
>> 1
h
εr
L
∆L
εr
h
w
+ 0,264
ε eff + 0,3 h
∆L
= 0,412
h
ε eff − 0,258 w + 0,8
h
L eff = L + 2∆L
w
∆L
h
C=
∆L
vη
Capacidad asociada al
desbordamiento
h
Modelo de Cavidad
Campos en la Cavidad
(k
Hy = −
Hy =
2
)
− k 2x
A mnp cos(k x x ) cos(k y y )cos(k z z )
ωµε
k k
E y = − j x y A mnp sen (k x x ) sen (k y y )cos(k z z )
ωµε
k yk z
Ez = − j
A mnp sen (k x x ) cos(k y y )sen (k z z )
ωµε
Modo dominante
Hz = 0
si W>L>h
Ex = − j
(f r )010 =
c
2L ε r
(f r )001 =
c
2w ε r
(f r )020 =
c
L εr
(f r )002 =
c
W εr
kz
A mnp cos(k x x ) cos(k y y )sen (k z z )
µ
ky
A mnp cos(k x x ) sen (k y y )cos(k z z )
µ
2
2
2
 mπ   nπ   pπ 
2
2
k 2x + k 2y + k 2z = 
 +   +   = k r = ωr µε
 h   L  W
20
Modelo de Cavidad - Radiación
Slots radiantes
Slots no radiantes
TMx010
TMz110
Conocido el modo excitado se obtienen las corrientes equivalentes responsables
de la radiación
r
r
J s = n̂ × H a
r
r
M s = − n̂ × E a
Modelo de Cavidad - Radiación
Er = Eθ = 0
k hWE 0 exp(− jk 0 r )
Eφ = j 0
sen θ
2π
r
k h

k W

sen 0 sen θ cos φ  sen  0 cos θ 
2


 2
 2 cos k 0 L eff sen θ sen φ 


k 0h
k0W
 2

sen θ cos φ
cos θ
Factor Array
2
2
Elemento
Plano E
X
Plano E
X
E Total
F Array
Elemento
Y
Y
21
Modelo de Cavidad - Impedancia
Alimentación mediante un Alimentador Coaxial
z
Z(y 0 , x 0 ) = jωµ 0 h ∑∑
m
Φ (y 0 , z 0 ) =
z0
n
Φ 2 (y 0 , x 0 )  mπd 
J0 

2
k eff
− k 2mn  2L 
ε mε n
 mπy 0   nπz 0 
cos
 cos

LW
 L   W 
d: anchura de corriente equivalente (se ajusta midiendo)
y0
y
k 2eff = ε r (1 − jδ eff )k 02
δ eff =
Perdidas
2ωWe
1 si m = 0
εm = 
2 si m ≠ 0
Polarización Circular con Parches
• Alimentación dual
• Alimentación simple
x
TM 010
⇒ Ey = c
x
TM 001
⇒ Ez = c
sen (πy′ L )
2
k 2 (1 − j Q t ) − (π L )
Q t = 1 tanδ eff
sen (πz′ W )
2
k 2 (1 − j Q t ) − (π W )
y ′ z′
=
L W
E y k (1 − j 2Q t ) − π L

1
≈
= P.C. ⇒ L ≈ W1 +
E z k (1 − j 2Q t ) − π W
 Qt



22
Polarización Circular con Parches
• Polarización mediante ranuras
• Polarización mediante recorte de las
esquinas
L
W
=
2.72 2.72
c
L
W
d= =
=
10 27.2 27.2
c=
23