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UNEFA GOBIERNO BOLIVARIANO DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL UNEFA NÚCLEO CARABOBO-EXTENSIÓN GUACARA ASIGNATURA: Álgebra Lineal PROF: Ing. Alexander Zavala GUÍA DE LECTURA N° 4. Unidad N° 2 MATRICES Y DETERMINANTES 1. PERMUTACIONES: Una permutación del conjunto de enteros 1,2,3,..., n es un arreglo de éstos en algún orden sin omisiones ni repeticiones. En general, el conjunto 1,2,3,..., n tiene nn 1n 2n 3...2.1 n! permutaciones diferentes. Para denotar una permutación general del conjunto que en una permutación 1,2,3,..., n se escribirá j1 , j 2 , j3 ,..., j n . Se dice j1 , j 2 , j3 ,..., j n ocurre una inversión siempre que un entero mayor precede a uno menor. El número total de inversiones que ocurren en una permutación puede obtenerse como sigue: (1) encontrar el número de enteros, que son menores que j1 y que están después de j1 en la permutación; (2) encontrar el número de enteros, que son menores que j2 y que están después de j2 en la permutación. Continuar este proceso de conteo para j3,..., jn-1. La suma de estos números es el número total de inversiones que hay en la permutación. Ejemplo: Determinar el número de inversiones que hay en las siguientes permutaciones: a) (6,1,3,4,5,2) b) (2,4,1,3) c) (1,2,3,4) Solución: a) N° de inversiones= 5+0+1+1+1=8 b) N° de inversiones= 1+2+0=3 c) N° de inversiones= 0+0+0=0 DEFINICIÓN: Se dice que una permutación es par si el número total de inversiones es un entero par, y es impar si el número total de inversiones es un entero impar. Álgebra Lineal. 3er Semestre. CBI 1 UNEFA 2. DEFINICIÓN DE DETERMINANTES. 2.1. Producto Elemental: Por producto elemental de una matriz Anxn se entiende cualquier producto de n elementos de A, de los cuales ningún par de elementos proviene del mismo renglón (o fila) o de la misma columna. Ejemplo: Enumerar los productos elementales de las matrices: a11 a) a 21 a11 b) a 21 a 31 a12 a 22 a13 a 23 a 33 a12 a 22 a 32 Solución de a): Cada producto elemental tiene dos factores: a1_a2_ Como ninguna pareja de factores proviene de la misma columna, entonces las columnas no se repiten: 1,2 2! 2 permutaciones. Así los productos elementales son: a11a22 y a12 a21 . Solución de b): Cada producto elemental tiene tres factores: a1_a2_a3_ Como ninguna pareja de factores proviene de la misma columna, entonces las columnas no se repiten: 1,2,3 3! 6 permutaciones para las listas de productos elementales: a11a 22 a 33 a12 a 21a 32 a13 a 21a 32 a11a 23 a 32 a12 a 23 a 31 a13 a 22 a 31 Una matriz Anxn tiene n! productos elementales. Son los productos de la forma a1 j1 a 2 j2 ...a njn , donde j1 , j 2 ,..., j n es una permutación del conjunto 1,2,3,..., n . Por un producto elemental con signo de A, se entenderá un producto elemental a1 j1 a 2 j2 ...a njn multiplicado por +1 o por -1. Si j1 , j 2 ,..., j n es una permutación par, se usa el signo positivo, y si j1 , j 2 ,..., j n es una permutación impar, se usa el signo negativo. Ejemplo: Enumerar los productos elementales con signo de las matrices: a11 a) a 21 a12 a 22 a11 b) a 21 a 31 a12 a 22 a 32 a13 a 23 a 33 Solución de a): Prod. Elemental Permutación Par o impar Prod. Elem. con signo a11a22 (1,2) Par a11a22 Álgebra Lineal. 3er Semestre. CBI 2 UNEFA (2,1) Impar a12 a 21 Prod. Elemental Permutación Par o impar Prod. Elem. con signo a11a 22 a33 (1,2,3) Par a11a 22 a33 a12a21a32 (2,1,3) Impar - a12a21a32 a13a21a32 (3,1,2) Par a13a21a32 a11a23a32 (1,3,2) Impar - a11a23a32 a12a23a31 (2,3,1) Par a12a23a31 a13a22a31 (3,2,1) Impar - a13a22a31 a12 a21 Solución de b): DEFINICIÓN: Sea A una matriz cuadrada. La Función Determinante se denota por det(A) ó A y se define como la suma de los productos elementales con signo de A. El número det(A) ó A se denomina determinante de A. El determinante de A a menudo se escribe simbólicamente como donde A a1 j1 a 2 j2 ...a njn indica que los términos deben sumarse sobre todas las permutaciones j1 , j 2 ,..., j n y los signos + ó – se eligen en cada término según si la permutación es para o impar. 2.2. Evaluación de Determinantes de 2x2 y 3x3: a) Si a A 11 a 21 número a12 es una matriz de 2x2, se llama determinante de A al a 22 A a11a 22 a12 a 21 y se denota por det(A) ó A . a11 a12 a 21 a 22 Álgebra Lineal. 3er Semestre. CBI a11a 22 a12 a 21 3 UNEFA b) Dada la matriz A3x3, a11 A a 21 a 31 a12 a 22 a 32 a13 a 23 a 33 se tiene que A a11a 22 a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a32 - a11a23a32 Así, a11 a12 a13 a11 a12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 Método de la lluvia cruzada O, suele usarse la Regla de Sarrus que consiste en un esquema gráfico para los productos positivos y otro para los negativos. a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 (Para los 3 productos positivos) a 31 a 32 a33 a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 ( Para los 3 productos negativos) a 31 a 32 a33 Ejemplo: Evaluar los determinantes: 2 3 1 B 4 5 6 7 8 9 3 1 A 4 2 3. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1. El determinante de una matriz cuadrada es igual al determinante de su transpuesta. A AT 2. Si en un determinante se intercambian dos filas o dos columnas entre sí, éste cambia de signo. A A Álgebra Lineal. 3er Semestre. CBI 4 UNEFA Por ejemplo: 3 5 1 2 2 1 7 4 30 40 7 28 12 25 44 5 3 7 1 4 2 12 25 28 40 7 30 44 2 5 1 5 3. Si todos los elementos de una fila o columna se multiplican por un mismo número, el determinante queda multiplicado por dicho número. ka11 ka12 ka13 a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 k a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 32 a 33 a 31 B k A 4. Si todos los elementos de una fila o columna de A son nulos, el determinante también lo es. 5. Si un determinante tiene dos filas o columnas iguales, su valor es cero. 6. Si un determinante tiene dos filas o columnas proporcionales, su valor es cero. 2 1 4 3 5 33 4 9 12 15 2 1 4 3 4 5 0 4 5 7. Si una columna de una matriz se descompone como suma de dos sumandos, su determinante puede descomponerse en la suma de dos determinantes, de la siguiente manera: a b a1 a 2 c d c1 c 2 Si b a b a1 entonces d c d c1 b d a2 b c2 d 8. Si una fila o columna es combinación lineal de otras, el determinante es nulo. 9. Si A es una matriz triangular nxn (superior, inferior o diagonal), entonces A es el producto de los elementos de la diagonal principal; es decir, A a11a 22 a33 ...a nn 10. kA k A . Si Anxn y k es un escalar. n 11. A B A B . Suele no ser igual. 12. Si A y B son matrices cuadradas, entonces: A.B A B 4. CÁLCULO DE DETERMINANTES POR EL MÉTODO DE GAUSS Conocemos como método de Gauss a un procedimiento que permite facilitar el cálculo de determinantes usando las propiedades de éstos. El mismo consiste en hallar un DETERMINANTE TRIANGULAR SUPERIOR Álgebra Lineal. 3er Semestre. CBI 5 UNEFA equivalente al que se pretende calcular. De esta forma, el problema se reduce a deducir un determinante de una matriz triangular. Para triangular el determinante se pueden aplicar las siguientes operaciones elementales: Intercambiar dos filas o columnas: El determinante cambia de signo. Multiplicar o dividir una fila o columna por un número no nulo: El determinante queda multiplicado o dividido por dicho número. Sumarle o restarle a una fila o columna un número diferente de cero: El determinante no varía. 0 1 5 Ejemplo: Evaluar A , donde: A 3 6 9 2 6 1 2 1 1 1 1 1 Ejemplo: Evaluar A , donde: B 2 1 2 1 2 1 4 1 1 2 5. DESARROLLO POR COFACTORES 5.1. Menores y Cofactores: Si A es una matriz cuadrada, entonces el menor del elemento aij se denota por Mij y se define como el determinante de la submatriz que queda después de quitar la i-ésima fila y j-ésima columna de A. El número (-1)i+jMij se denota por Cij y se denomina cofactor del elemento aij. 3 1 4 6 , determinar el menor y el cofactor de a11 y a32 Ejemplo: Sea A 2 5 1 4 8 Observar que el cofactor y el menor de un elemento aij sólo difieren en el signo; es decir, C ij M ij . Una manera rápida para determinar si se usa el signo + o el signo – es aplicar el hecho de que el signo que relaciona Cij con Mij está en la i-ésima fila y en la j-ésima columna del arreglo en forma de tablero: Álgebra Lineal. 3er Semestre. CBI 6 UNEFA ... 5.2. ... ... ... ... ... ... ... ... ... Desarrollo por Cofactores: Considerar la matriz general 3x3 a11 A a 21 a 31 a12 a 22 a 32 a13 a 23 a 33 A a11a 22 a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a32 - a11a23a32 la cual se puede volver a escribir como A a11 a22 a33 a23 a32 a21 a13 a32 a12 a33 a31 a12 a23 a13 a22 Debido a que las expresiones entre paréntesis son justamente los cofactores C11, C21 y C31, se tiene que A a11C11 a21C21 a31C31 Esta forma de evaluar A se denomina desarrollo por cofactores. 1 0 3 3 , evaluar A por desarrollo por cofactores a lo largo Ejemplo: Sea A 2 4 5 4 2 de la primera columna. Teorema: El determinante de una matriz Anxn se puede calcular multiplicando los elementos de cualquier fila (o de cualquier columna) por sus cofactores y sumando los productos resultantes; es decir, para cada 1 i n y 1 j n , se tiene que A a1 j C1 j a 2 j C2 j ... a nj Cnj (Desarrollo por cofactores a lo largo de la j-ésima columna) A ai1Ci1 ai 2 Ci 2 ... ain Cin (Desarrollo por cofactores a lo largo de la i-ésima fila) Álgebra Lineal. 3er Semestre. CBI 7 UNEFA 1 0 3 3 , evaluar A por desarrollo por cofactores a lo largo Ejemplo: Sea A 2 4 5 4 2 de la primera fila. NOTA: El desarrollo por cofactores y las operaciones elementales en las filas o en las columnas se pueden combinar algunas veces para obtener un método efectivo de evaluar determinantes. 3 1 Ejemplo: Evaluar A , donde A 2 3 5 2 6 2 1 1 4 1 5 7 5 3 6. ADJUNTA DE UNA MATRIZ Si A es cualquier matriz nxn y Cij es el cofactor de aij, entonces la matriz C11 C 21 ... C n1 C12 C 22 ... C n2 ... C1n ... C 2 n ... ... C nn se denomina matriz de cofactores de A. La transpuesta de esta matriz se denomina adjunta de A y se denota por adj(A). 3 2 1 Ejemplo: Sea A 1 6 3 los cofactores de A son C11 12 , C12 6 , C13 16 , C 21 4 , 2 4 0 C 22 2 , C 23 16 , C31 12 , C32 10 y C33 16 ; de modo que la matriz de cofactores es 16 12 6 2 16 4 12 10 16 y la adjunta de A es Álgebra Lineal. 3er Semestre. CBI 8 UNEFA 4 12 12 adj ( A) 6 2 10 . 16 16 16 6.1. Fórmula para la Inversa de una Matriz: Si A es una matriz invertible, entonces A 1 1 adj A A Ejemplo: Encontrar la inversa de A, donde 3 2 1 A 1 6 3 2 4 0 Álgebra Lineal. 3er Semestre. CBI 9