Download lógica - cvirtual.ual.es

Año Académico:2006/2007
LÓGICA MATEMÁTICA
TEMA 1.- COMUNICACIÓN Y LENGUAJE. LA LÓGICA
A.- Comunicación y lenguaje
1.- Comunicación
Comunicación etimológicamente significa poner en común, participar.
Podemos definir la comunicación como el acto por el cual una determinada
información que un sujeto posee pasa a ser compartido por otro u otros sujetos.
En tanto que acto humano tiene un doble carácter: social y existencial. El
carácter social le viene impuesto por el hecho de necesitar, para poder existir, a
varios seres humanos que se ponen en contacto. Y el aspecto existencial procede
del hecho de que la posesión de ciertas informaciones ayuda a la supervivencia
de las personas, que tienen así un mejor conocimiento del medio que les rodea.
Los modos de la comunicación son diversos: olores, movimientos y
gestos, y sonidos. Conviene aquí recordar que la comunicación es una actividad
no exclusiva de los seres humanos y, por eso, podemos poner ejemplos muy
diversos: en cuanto a los olores, la forma de marcar el territorio de los animales;
respecto a los movimientos y gestos, las posturas corporales de los lobos o las
expresiones del rostro humano; y finalmente, los sonidos, que debidamente
articulados pueden constituir un lenguaje.
Los tipos de comunicación son:
a) Comunicación de conducta: transmite mensajes sobre cómo hay que
actuar. Por ejemplo, ante ciertos graznidos, los cuervos del entorno
acuden a ayudar a su compañero en apuros.
b) Comunicación inteligible: además de formas de conducta, transmite
ideas, conocimientos, etc. De este tipo de comunicación hablamos
cuando nos referimos al LENGUAJE.
Los elementos de la comunicación son: emisor, receptor, mensaje, canal,
código y referente. Entendemos por emisor al sujeto a partir del cual surge la
información; receptor es el sujeto o sujetos hasta los que llega la información;
mensaje es la información compartida entre el emisor y el receptor; canal es el
medio físico a través del cual el mensaje llega desde el emisor hasta el receptor;
código es un conjunto de signos y símbolos a los que es posible traducir el
mensaje y que son transmisibles a través del canal; y referente es aquel aspecto
de la realidad al que se alude en el mensaje. Ejemplo: yo informo a vosotros de
que he perdido una llave; emisor, yo; receptor, vosotros; mensaje, el hecho de la
pérdida; canal, el aire; código, el lenguaje castellano; referente, la llave.
La fidelidad de la comunicación depende de la “ausencia de ruidos”, es
decir, ausencia de elementos que distorsionan la señal. En el ejemplo anterior, si
por la ventana entra el sonido ensordecedor de un coche de anuncios
ambulante, ese sonido funciona como un ruido para mi mensaje; la presencia de
la Luna, que oculta la señal que los astronautas envían a la Tierra, es un ruido
2
de la comunicación en los viajes espaciales; la niebla es un ruido del lenguaje de
banderas, etc.
2.- Lenguaje
Es un sistema de comunicación constituido por un conjunto de signos
mediante los que expresamos nuestras ideas. El signo lingüístico es siempre un
sonido (significante) que representa ideas (significado).
Un signo es, en la definición de Morris, algo que va en el puesto de algo
para alguien, es decir, aquello que va en lugar de otra cosa distinta (p.e., la
huella de un pie en la arena es signo del paso de alguien por allí). Podemos
dividir los signos en símbolos y señales. Un símbolo es un signo cuyo poder de
representar no le viene de su propia naturaleza objetiva, sino de una
convención o acuerdo social que le asigna tal significado; es, por tanto, un signo
artificial. Una señal es un signo cuyo poder de significación procede de la
manera de ser del signo y del significado y no de una convención social; es lo
que llamaríamos un signo natural.
La señal se apoya en una relación objetiva entre signo y significado que
se manifiesta en una sucesión regular de hechos que siempre aparecen juntos y
nunca por separado, de manera que la presencia del primero es señal del
segundo. El principio que rige la señal es el principio de asociación que está
vigente en la psicología animal, porque las señales están accesibles al animal. El
símbolo no es algo que se impone a la mente, sino una creación del ser humano.
El símbolo es artificial y eso es lo que le ha dado mayor fuerza. Surgió para
paliar las deficiencias de nuestros órganos preceptores de las señales (oído,
olfato, vista...) y pronto se independizó y superó en potencia a todas las señales.
Al ser artificial, era también abstracto y, por tanto, tenía el poder de generalizar.
El ser humano vive en un mundo simbólico, no es un mundo de estímulos
alarmantes o tranquilizadores, sino un mundo de objetos ordenado,
interpretado. En la misma percepción de la realidad introducimos un orden
general y en lugar de ver un objeto singular, vemos un miembro de una clase de
objetos (p. e., no vemos este objeto concreto que es un libro, vemos
directamente un libro). Eso es debido a que mientras la señal es signo de un
suceso concreto (este trueno es signo de este rayo) el símbolo es signo de una
clase de objetos, tiene un valor general (la palabra libro se refiere a cualquier
miembro de esa clase de objetos).
Las principales características del lenguaje son: adquirido, articulado,
simbólico, convencional, productivo y abstracto. Es adquirido porque nadie
nace sabiendo hablar, sino que es una habilidad que es preciso aprender
después del nacimiento, no tiene, por tanto, carácter genético. Es articulado,
porque se construye sobre la base de unos pocos sonidos que, en diferentes
combinaciones, permiten transmitir cualquier mensaje, toda vez que el número
de combinaciones posibles es infinito. Es simbólico en la misma medida que los
pensamientos humanos que transmite lo son. Convencional porque cada grupo
social elabora su propio lenguaje, es decir, una secuencia de sonidos significa
3
aquello que significa porque los seres humanos que la usan lo han decidido así,
poniéndose de acuerdo en ello. Productivo, porque siempre es posible construir
una secuencia lingüística que nadie haya dicho antes. Abstracto, porque los
mensajes se refieren, o pueden referirse, a clases de objetos y realidades no
concretas, en la misma medida en que tiene esa capacidad el pensamiento
humano.
Formalización lingüística es aquella característica del lenguaje por la que,
al usar un signo, no nos referimos a un ser singular y concreto, sino a un
conjunto. Los grados de formalización son dos:
a) El signo sustituye a las cosas y sólo manejamos signos. Por ejemplo:
“la mesa es marrón”
b) El signo es considerado como signo = METALENGUAJE. Por
ejemplo: en una ocasión Borges escribió que Averroes dijo que un
famoso poeta es más un descubridor que un inventor.
Lo característico del metalenguaje es que, en él, el lenguaje aparece
estratificado. Hay una frase en la que el referente es una realidad
extralingüística (el poeta), y luego hay unas aseveraciones (Averroes dijo,
Borges escribió) que propiamente no se refieren a una supuesta realidad ajena
al lenguaje; son expresiones que no se refieren al mundo, sino a otras
expresiones del lenguaje. Al lenguaje que usamos para hablar de otro lenguaje
(denominado lenguaje objeto) lo llamamos metalenguaje. Hay, pues, en éste, un
nivel del lenguaje, al que llamamos L0; otro nivel al que llamamos L1, y otro que
se llama L2. Así:
L0 = Un famoso poeta es más un descubridor que un inventor.
L1 = Averroes dijo.
L2 = Borges escribió.
Es fácil comprender que la serie de niveles metalingüísticos puede
extenderse hasta el infinito.
B.- La Lógica
1.- El lenguaje formal
Un argumento es un trozo de lenguaje, de ahí que el análisis lógico sea,
en parte, un análisis lingüístico. Por otro lado, la lógica es un lenguaje y todo
lenguaje está constituido por un sistema de signos. Los signos pueden ser
estudiados desde tres puntos de vista:
a) Sintáctico: analiza las relaciones de los signos entre sí.
b) Semántico: estudia la relación del signo con su significado.
c) Pragmático: sobre las relaciones entre las palabras y las personas que
las usan.
La Lógica estudia el lenguaje sólo desde el punto de vista sintáctico: es la
consideración formal del lenguaje. En este sentido es muy significativo el
siguiente texto de I. M. Bochenski:
4
a) En primer lugar, la palabra pertenece a un lenguaje, es decir, tiene
determinadas relaciones con las demás palabras de este lenguaje: está, por ejemplo,
entre otras dos palabras (v. gr., la conjunción ‘y’) o al principio de una frase, etc. Estas
relaciones se llaman sintácticas: son relaciones de las palabras entre sí.
b) En segundo término, tiene lo que llamamos una significación: las palabras
significan algo, quieren comunicar a otro algo concreto. Junto a la relación sintáctica
tenemos, pues, la relación de las palabras con su significado. Esta relación se llama
semántica.
c) Finalmente, la palabra es pronunciada por uno y dirigida hacia otro. Hay, por
tanto, una tercera clase de relaciones: las que median entre las palabras y los hombres que
las emplean. Estas relaciones se llaman pragmáticas.
Estas tres relaciones de las palabras tienen entre sí una determinada
vinculación. La relación pragmática supone la semántica y la sintáctica; la semántica
supone la sintáctica. Una palabra sin sentido no puede servir para entenderse, y para
que una palabra tenga sentido debe estar en determinadas relaciones con las otras
palabras. En cambio, la relación sintáctica no supone las otras dos y es posible estudiar
la semántica sin atender a la pragmática.
Se puede elaborar una sintaxis completa para un lenguaje totalmente sin
sentido; pudiéramos, por ejemplo, construir un lenguaje en que sólo se dieran los signos
P y X, y valiendo la regla sintáctica de que P debiera preceder siempre a X; sin que fuera
necesario conocer qué significan P ó X. (Los métodos actuales del pensamiento, Madrid,
Rialp, 1979, págs. 70-71)
Por eso decíamos arriba que la lógica es la consideración formal del
lenguaje, sólo se preocupa de la forma, la estructura del mismo, es decir, de las
relaciones de los signos entre sí. Ello requiere la confección de un lenguaje
artificial, que explicite reglas para el uso de términos y la formación de
enunciados. Toda ciencia recurre a un lenguaje artificial, propio, pero en el caso
de la lógica y de la matemática, es preciso que sea formal o simbólico. Este tipo
de lenguaje usa símbolos abstractos que son de dos clases: constantes, con un
sentido fijo (p. e.: = , +, para simbolizar la igualdad o la suma); y variables, cuyo
sentido cambia de unos casos a otros (p. e.: la incógnita ‘x’ en las ecuaciones)
2.- Cálculo lógico
La Lógica no estudia todas las estructuras sintácticas del lenguaje, sino
solamente las argumentativas. Se puede, por eso, definir la lógica como “ciencia
de los principios de la validez formal de la inferencia”.
Tal ciencia surge de un análisis del lenguaje ordinario que se inicia con la
distinción entre lo que en gramática se llama nombres propios, que designan
cosas o sucesos y que llamaremos sujetos (p. e.: Támesis) y nombres comunes,
que designan propiedades o notas de los objetos (p. e.: río, blanco, etc) para
nosotros predicados. Tanto sujetos como predicados reciben la denominación
común de términos. Algunas veces el predicado se refiere a una nota o
característica que conviene a un objeto (p.e.: río, en ‘el Támesis es un río’), pero
otras el predicado es una relación que se establece entre dos o más sujetos (p. e.:
estar al norte de, estar entre). Los primeros se llaman monádicos y los segundos
poliádicos. Estos pueden ser diádicos, triádicos y, en general, n-ádicos.
5
Precisamente por dedicarse a este tipo de trabajo, a la Lógica le resulta
muy útil la formalización simbólica: mediante la formalización-simbolización
una complicada argumentación se convierte en un sencillo cálculo.
CÁLCULO: Es un conjunto de reglas que nos permite operar con los
símbolos. Requiere los siguientes elementos:
a) Símbolos primitivos, bien definidos.
b) Reglas de formación de fórmulas, que establezcan todas las
combinaciones posibles.
c) Reglas de transformación de fórmulas, que permitan pasar de
fórmulas bien formadas a otras fórmulas bien formadas.
3.- Axiomatización
La Lógica es una ciencia formal, como las Matemáticas, y su método
tradicional es el axiomático. Antes se consideraba que:
- Axioma es un verdad indemostrable, pero evidente por sí misma.
- Postulado es una verdad indemostrable pero no evidente por sí
misma.
- Teorema es una verdad deducida a partir de los axiomas y
postulados.
Después de que Lobatchewsky y Rieman crearan las geometrías curvas
en el siglo XIX, ya no tiene sentido distinguir postulado y axioma, puesto que se
define axioma como una verdad que se admite convencionalmente. Según los
axiomas que se admiten, surge una geometría o surge otra. Igual pasa con los
cálculos lógicos. Surgen cálculos distintos si se admiten axiomas distintos.
Los axiomas son, pues, reglas primitivas que se admiten sin más. Los
teoremas son reglas derivadas que se deducen a partir de los teoremas.
Un sistema axiomático está reducido a formulación simbólica y consta
de:
a) Elementos primitivos que se incorporan al sistema (por ejemplo: p, q,
r, ^, , →, ↔, ¬ (...) [...] y otros).
b) Reglas de formación de fórmulas (Por ejemplo: si p, q y → son
elementos del sistema, p → q es una fórmula bien formada).
d) Axiomas o reglas primitivas: fórmulas que se incorporan al sistema
sin demostración. Por ejemplo:
e) Teoremas o reglas derivadas: fórmulas que se incorporan al sistema
tras deducirlas a partir de los axiomas.
Para que el sistema axiomático sea válido tiene que reunir los siguientes
requisitos:
a) Consistencia: No puede obtenerse una contradicción, es decir, resulta
imposible obtener a partir de los axiomas una fórmula y su contraria.
b) Completitud: Se puede obtener a partir de los axiomas cualquier
fórmula bien formada o su negación.
c) Decidibilidad: Ante cualquier fórmula es posible saber si pertenece o
no al sistema.
Es conveniente, además, que el sistema posea:
6
a) Independencia: Resulta imposible obtener ninguno de los axiomas
del sistema a partir de los otros.
b) Saturación: Si se añade al sistema un axioma nuevo independiente, se
vuelve inconsistente.
C.- La Lógica proposicional
1.- La Lógica proposicional
La Lógica estudia las estructuras formales de inferencia o razonamiento,
analiza esa estructura y señala en qué condiciones es válido el razonamiento.
La Lógica proposicional toma las proposiciones como un todo, sin
analizarlas internamente. Sólo se preocupa por su valor de verdad.
Proposición es una expresión con sentido que tiene valor de verdad, es
decir, tiene que ser verdadera o falsa.
2.- Proposiciones atómicas y moleculares
Proposición atómica es la más simple expresión con sentido que tiene
valor de verdad, no contiene, por tanto, dentro de sí ninguna otra proposición.
Proposición molecular o compuesta es aquella que contiene dentro de sí
otra u otras proposiciones. Se construye uniendo varias proposiciones atómicas
mediante ciertos elementos llamados conectivas o conectores o juntores. Las
conectivas son: ‘y’, ‘o’, ‘no’, ‘si... entonces’ y ‘si y sólo si’.
Simbolización: Proposiciones atómicas:
Conectivas: NEGADOR: ¬, que se lee ‘no’
CONJUNTOR: ^, que se lee ‘y’
DISYUNTOR: , que se lee ‘o’
IMPLICADOR: →, que se lee ‘si… entonces’
COIMPLICADOR: ↔, que se lee ‘si y sólo si.
El valor de las conectivas no coincide exactamente con el del lenguaje
ordinario. Se definen así:
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P^Q
V
F
F
F
P Q
V
V
V
F
P → Q
V
F
V
V
P↔ Q
V
F
F
V
¬P
F
F
V
V
A partir de esta definición operativa es posible establecer la tabla de
verdad de cualquier expresión lógica. Y apoyándonos en la tabla de verdad,
podremos saber cuándo un argumento es correcto o no.
Tautología es aquella expresión cuya tabla de verdad arroja siempre V.
Contradicción es aquella cuyo resultado arroja siempre F. Indeterminación es
aquella que arroja V y F. Sólo las tautologías son formas validadas de
7
inferencia. Por eso se las considera leyes de la Lógica formal. Hay un número
prácticamente infinito de ellas.
3.- Axiomas
Fueron aportados por Gentzen, en 1934, los referidos al conjuntor, el
disyuntor, el implicador y el negador; posteriomente fueron definidos los del
coimplicador.
^
Prod.
INTRODUCIR A
B
A^B
ELIMINAR
Ad.
A
A B
Simp.
A^B
A
B
A B
Cas.
A B
A
A^B
B
C
B
→
T.D.
A
B
A→B
M.P.
A→B
A
B
↔
I.Co.
A→B
B→A
A↔B
¬
Abs.
A
E.Co.
A↔B
A→B
D.N.
¬¬A
A
B^¬B
¬A
A↔B
B→A
C
C
Teoremas son las reglas derivadas a partir de los axiomas.
Para comprobar la validez hay distintos métodos:
a) Pruebas de validez:
 Tabla de verdad: el argumento es válido si es una tautología y sus premisas
son verdaderas todas a la vez al menos en un caso.
 Comprobando la consistencia (es posible hacer que todas las premisas sean
V a la vez) y la no invalidez (es imposible hacer que, siendo la conclusión F,
las premisas sean V)
b) Deducción formal o derivación: obtener la conclusión a partir de las premisas
en un número finito de pasos.
8
TEMA 2.- LA LÓGICA DE CLASES
1.- La lógica de clases
En la lógica proposicional se considera la proposición como una unidad,
sin tener en cuenta que está compuesta por un sujeto y un predicado. La lógica
de clases desciende hasta el análisis de la estructura interna de la proposición.
Clase es un conjunto de individuos que tienen al menos una propiedad
en común. Una clase lógica está, pues, integrada por aquellos individuos u
objetos caracterizados por poseer en común algunas (al menos una)
propiedades. Los individuos de una clase reciben el nombre de elementos o
miembros.
Las clases lógicas se pueden definir por extensión o por comprensión.
Por extensión, enumerando todos sus elementos; por comprensión, expresando
la propiedad o propiedades que sólo sus elementos poseen. Clase unitaria es
aquella que tiene un solo elemento. Clase universal es aquella a la que
pertenece la totalidad de los individuos a que nos estamos refiriendo. Se
expresa así: 1. Clase nula o vacía es aquella que carece de individuos posibles.
Se expresa así: 0.
2.-Conexiones y relaciones de clase. Simbolización
La clase es el elemento más simple que usaremos.
Simbolización:
a) Variables de clase: A, B, C, D…
Individuos: x, y, z.
Pertenencia (x
A, z A)
Clase universal = 1
Clase nula = 0
b) Complemento de clase = ― negador: Ā, se lee ‘complemento de A’.
c) Conexiones de clase
Intersección o producto = ; A B, se lee ‘A intersección B’.
Unión o suma =
; A B, se lee ‘A unión B’.
d) Relaciones de clase
Inclusión: A
B, se lee ‘A está incluida en B’; A
B, se lee ‘A no está
incluida en B’. Todos los elementos de A lo son de B, pero no a la inversa.
También se dice que A es subclase de B. (Ej.: madrileños y españoles)
Igualdad o equivalencia: A = B, se lee A igual B; A ≠ B, se lee ‘A no es
igual a B’. Todos los elementos de A lo son de B, y viceversa; las dos clases
tienen, pues, los mismos elementos. (Ej.: madrileños y ciudadanos de la
capital de España)
9
Disjunción: A B, se lee A y B son disjuntas. Ningún elemento de A lo es
de B, y viceversa. (Ej.: madrileños y sevillanos)
Distinción: A
B, se lee A y B son distintas. Ambas clases tienen al
menos un elemento común y otro no común.
e) Las conectivas de la lógica proposicional: ^,
Nuevas clases
a) Clase complementaria: Ā def. = x (x
A)
b) Clase intersección: A
A^x
c) Clase suma: A
B def. = x (x
B def. = x (x
A x
, →, ↔, ¬, (…) […]
B)
B)
3.- Operaciones con clases
Dadas varias clases se pueden establecer entre ellas diversas operaciones,
igual que en la lógica de proposiciones. El cálculo de clases y el de
proposiciones es isomorfo, es decir, tiene la misma estructura.
a) Suma lógica de clases: dadas dos clases, su suma lógica es la clase que
contiene los elementos de A o de B o de ambas. A B o A+B.
b) Producto lógico de clases: dadas dos clases, su producto lógico es la clase
que contiene a los elementos que a la vez pertenecen a A y a B. A
Bo
AxB.
c) Diferencia lógica de clases: dadas dos clases, su diferencia lógica es el
conjunto de los elementos que pertenecen a A y no a B. A-B
4.- Leyes de la lógica de clases
Se consideran leyes de la lógica de clases a todas las expresiones que sean
universalmente válidas. Tales leyes permitirán inferencias lógicas. Del mismo
modo que la lógica proposicional. Las más importantes son:
a) Conmutativa del producto
b) Conmutativa de la suma
c) Asociativa del producto
d) Asociativa de la suma
e) Distributiva del producto respecto de la suma
f) Distributiva de la suma respecto del producto
g) Leyes del complementario
10
h) Leyes de los elementos neutros
i) Ley de transitividad
j) Leyes de Morgan
k) Ley de idempotencia
l) Leyes de absorción
Estas leyes se pueden demostrar por medio de los diagramas de Venn:
una expresión es ley de la lógica de clases si los diagramas que representan
cada una de las partes de la igualdad son idénticos.
11
También pueden demostrarse por un procedimiento análogo al del
cálculo proposicional. El puesto que en éste ocupaban las tablas de verdad lo
ocupan en lógica de clases las tablas de pertenencia.
12
TEMA 3.- LÓGICA ARISTOTÉLICA Y LÓGICA DE CLASES
Aristóteles estudió especialmente el razonamiento deductivo, llamado
silogismo, que consta de unas premisas que permiten obtener una conclusión,
que estaba contenida en ellas. Tanto las premisas como la conclusión son
proposiciones o enunciados.
a) La enunciación en la lógica aristotélica
Enunciación es la expresión verbal de un juicio, y un juicio es un
pensamiento en el que se afirma o niega algo. Toda enunciación consta de un
sujeto (S) un predicado (P) y una cópula (es). Así, la fórmula de toda
enunciación, en su manifestación más simple, es ‘S es P’. Es la llamada
enunciación categórica, aquella en la que un solo predicado es atribuido a un
solo sujeto. Los enunciados se dividen en:
 Por la cantidad, en universales y particulares.
 Por la cualidad, en afirmativos y negativos.
De este modo se obtienen cuatro tipos de enunciaciones: A = universal
afirmativa; E = universal negativa; I = particular afirmativa; O = particular
negativa.
Son opuestas aquellas enunciaciones que, teniendo el mismo sujeto y el
mismo predicado, difieren en cantidad, en cualidad o en ambas a la vez. Formas
de oposición:
Contrarias
S
u
b
a
l
t
e
r
n
a
s
A
E
Contra
-
dictorias
I
O
S
u
b
a
l
t
e
r
n
a
s
Subcontrarias


Contradictorias: son las enunciaciones que difieren en cantidad y en
cualidad (A-O; E-I). No pueden ser las dos verdaderas o falsas a la vez; si
una es verdadera, la otra es falsa, y viceversa.
Contrarias: son las enunciaciones universales que difieren en cualidad
(A-E). No pueden ambas ser verdaderas a la vez, pero sí falsas a la vez; si
una es verdadera, la otra es falsa, pero si una es falsa, la otra puede ser
verdadera o falsa.
13


Subcontrarias: son las enunciaciones particulares que difieren en
cualidad (I-O). No pueden ser ambas falsas a la vez, pero sí verdaderas;
si una es falsa, la otra es verdadera, pero si una es verdadera, la otra
puede ser verdadera o falsa.
Subalterna: son las enunciaciones de igual cualidad que difieren en
cantidad (A-I; E-O). Cuando la universal es verdadera, la particular
también lo es, pero no viceversa; y cuando la particular es falsa, la
universal también lo es, pero no viceversa.
b) El silogismo aristotélico
Se llama silogismo a la expresión verbal de un razonamiento deductivo,
o deducción, la forma de pensamiento que procede de lo más general a lo más
particular. Aquí interesa sólo el silogismo categórico, que es el formado por
enunciaciones categóricas. La materia del silogismo puede ser:
 Materia remota, que son los tres términos del silogismo, llamados:
Término menor: el sujeto de la conclusión (S)
Término mayor: el predicado de la conclusión (P)
Término medio: que se repite en las premisas y no aparece en la
conclusión (M)
 Materia próxima, las tres enunciaciones de que consta:
Dos premisas o antecedente: premisa mayor (la que posee el término P);
premisa menor (la que posee el término S)
Una conclusión o consiguiente (S es P).
c) Principios y reglas
 Principios
Principio de identidad: dos cosas iguales a una tercera son iguales entre
sí.
Principio de discrepancia: dos cosas de las cuales una es igual a una
tercera y la otra no, son desiguales entre sí.
Principio ‘dictum de omni, dictum de nullo’: lo que se afirma del
universal hay que afirmarlo de cada individuo, lo que se niega del
universal se niega de cada individuo.
 Reglas
Para los términos
No puede haber más que tres términos.
Los términos no pueden tener en la conclusión mayor extensión que en
las premisas.
El término medio se ha de tomar en toda su extensión al menos en una
premisa.
El término medio no puede entrar en la conclusión.
Para las proposiciones
Dos premisas afirmativas no dan una conclusión negativa.
De dos premisas negativas no se sigue nada.
De dos premisas particulares no se sigue nada.
14
La conclusión sigue siempre la peor parte: si una premisa es particular, la
conclusión también lo es; si una premisa es negativa, la conclusión
también lo es.
d) Figuras y modos
Figuras: son las disposiciones del término medio en las premisas; son
cuatro:
1ª M―P
S―M
S―P
2ª P―M
S―M
S―P
3ª M―P
M―S
S―P
4ª P―M
M―S
S―P
Modos son las distintas combinaciones de las premisas según la cantidad
y la cualidad. Cada figura admitiría once modos distintos, con lo que
habría cuarenta y cuatro clases distintas de silogismos. Pero muchos
contravienen las reglas, con lo cual quedan sólo diecinueve clases válidas
de silogismos.
 La 1ª figura admite cuatro: BARBARA, CELARENT, DARII y FERIO
 La 2ª otros cuarto: CESARE, CAMESTRES, FESTINO y BAROCO
 La 3ª seis: DARAPTI, FELAPTON, DISAMIS, DATISI, BOCARDO y
FERISON
 La 4ª cinco: BAMALIP, CALEMES, DIMATIS, FESAPO, FRESISO.
e) Diagramas de Venn
La lógica de clases puede representar fácilmente las enunciaciones y los
silogismos de la lógica aristotélica mediante los diagramas de Venn:
 Las enunciaciones
A = Todo S es P
E = Ningún S es P
I = Algún S es P
O = Algún S no es P
 Los silogismos
El método de los diagramas de Venn permite comprobar la validez de un
silogismo mediante este tipo de simbolización:
15
1ª FIGURA M―P
S―M
S―P
BARBARA
M = Hombres; P = Mortales; S = españoles
Todos los hombres son mortales
Todos los españoles son hombres
Por tanto, todos los españoles son mortales
M
S
P
16
1ª FIGURA M―P
S―M
S―P
CELARENT
M = Alumnos
P = Suspensos
S = Vosotros
Ningún alumno está suspenso
Todos vosotros sois alumnos
Por tanto, ninguno de vosotros está suspenso.
M
S
P
17
1ª FIGURA M―P
S―M
S―P
DARII
M = hombres
P = Son inteligentes
S = Seres vivos
Todos los hombres son inteligentes
Algunos seres vivos son hombres
Por tanto, Algunos seres vivos son inteligentes
M
S
P
18
1ª FIGURA M―P
S―M
S―P
FERIO
M = Hombres
P = Son crustáceos
S = Seres vivos
Ningún hombre es crustáceo
Algunos seres vivos son hombres
Algunos seres vivos no son crustáceos
M
S
P
19
2ª FIGURA P―M
S―M
S―P
CESARE
M = Inmortal
P = Hombre
S = Ángel
Ningún hombre es inmortal
Todos los ángeles son inmortales
Por tanto, ningún hombre es ángel
M
S
P
20
2ª FIGURA P―M
S―M
S―P
CAMESTRES
M = Racional
P = Hombre
S = Crustáceo
Todos los hombres son racionales
Ningún crustáceo es racional
Por tanto, Ningún crustáceo es hombre.
M
S
P
21
2ª FIGURA P―M
S―M
S―P
FESTINO
M = Asesino
P = Alumno
S = Delincuente
Ningún alumno es asesino
Algunos delincuentes son asesinos
Por tanto, algún delincuente no es alumno
M
S
P
22
2ª FIGURA P―M
S―M
S―P
BAROCO
M = Delincuente
P = Ladrones
S = Almeriense
Todos los ladrones son delincuentes
Algunos almerienses no son delincuentes
Por tanto, algunos almerienses no son ladrones
M
S
P
23
3ª FIGURA M―P
M―S
S―P
DARAPTI
M = Niños
P = Carecen de barba
S = Menores de 7 años
Todos los niños carecen de barba
Todos los niños son menores de 7 años
Por tanto, algunos menores de 7 años carecen de barba
M
S
P
Nota.- No queda clara la existencia o no de sujetos que cumplan la conclusión.
24
3ª FIGURA M―P
M―S
S―P
FELAPTON
M = Niños
P = Ingenieros
S = Jóvenes
Ningún niño es ingeniero
Todos los niños son jóvenes
Por tanto, algunos jóvenes no son ingenieros
M
S
P
Nota.- No queda clara la existencia o no de sujetos que cumplan la conclusión.
25
3ª FIGURA M―P
M―S
S―P
DISAMIS
M = Niños
P = Inteligentes
S = Jóvenes
Algunos niños son inteligentes
Todos niños son jóvenes
Por tanto, algunos jóvenes son inteligentes
M
S
P
26
3ª FIGURA M―P
M―S
S―P
DATISI
M = Hombres
P = Mamíferos
S = Dolicocéfalos
Todos los hombres son mamíferos
Algunos hombres son dolicocéfalos
Por tanto, algunos dolicocéfalos son mamíferos
M
S
P
27
3ª FIFURA M―P
M―S
S―P
BOCARDO
M = Hombre
P = Inteligente
S = Animal racional
Algunos hombres no son inteligentes
Todos los hombres son animales racionales
Algunos animales racionales no son inteligentes
M
S
P
28
3ª FIGURA M―P
M―S
S―P
FERISON
M = Hombre
P = Crustáceo
S= Artista
Ningún hombre es crustáceo
Algunos hombres son artistas
Por tanto, Algunos artistas no son crustáceos
M
S
P
29
4ª FIGURA P―M
M―S
S―P
BAMALIP
M = Inteligente
P = Hombres
S = Racionales
Todos los hombres son inteligentes
Todos los seres inteligentes son racionales
Por tanto, Algunos seres racionales son hombres
M
S
P
Nota.- No queda clara la existencia o no de sujetos que cumplan la conclusión.
30
4ª FIGURA P―M
M―S
S―P
CALEMES
M = Inteligentes
P = Hombres
S = Mineral
Todos los hombres son inteligentes
Ningún ser inteligente es mineral
Por tanto, ningún mineral es hombre
M
S
P
31
4ª FIGURA P―M
M―S
S―P
DIMATIS
M = Buena salud
P = Hombre
S = Felices
Algunos hombres tienen buena salud
Todos los que tienen buena salud son felices
Por tanto, algunos seres felices son hombres
M
S
P
32
4ª FIGURA P―M
M―S
S―P
FESAPO
M = Crustáceo
P = Hombre
S = Tener exoesqueleto
Ningún hombre es crustáceo
Todos los crustáceos tienen exoesqueleto
Por tanto, Ningún ser con exoesqueleto es hombre
M
S
P
Nota.- No queda clara la existencia o no de sujetos que cumplan la conclusión.
33
4ª FIGURA P―M
M―S
S―P
FRESISO
M= Crustáceo
P = Hombre
S = Animal marino
Ningún hombre es crustáceo
Algunos crustáceos son animales marinos
Algunos animales marinos no son hombres
M
S
P
34