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RESUMEN DE LOS CAPÍTULOS DEL III AL VIII
CAPÍTULO III: INICIACIÓN EN EL NÚMERO. EL LUGAR DEL CONTEO
1.- EL SURGIMIENTO DE LA NUMERACION.
La iniciación de los números se lleva a cabo en la Educación Infantil. El número es una
realidad sencilla y compleja.
Las etapas que se siguieron hasta llegar a nuestro sistema de numeración podrían ser los
siguientes.
1.- Etapa de los cuantificadores gruesos: la primera forma de reflejar una cantidad,
identificaremos muchos, pocos o ninguno.
2.- Etapa de los nombres: los objetos se irán enumerando por su nombre.
3.- Etapa de las comparaciones: restringidas y amplias. Por comparación con otras bien
conocidas por todos los integrantes de la colectividad.
4.- Etapa de las marcas: permite establecer el cardinal de grandes colecciones.
5.- Etapa de las abreviaciones de las marcas: introduce una señal especial que simplifica
el recuento.
6.- Etapa de la sustitución de las marcas por los signos: cada marca sencilla o compleja
se sustituye por un signo determinado.
7. Sistema posicional e invención del cero: presenta grandes ventajas porque se pueden
hacer cálculos directamente, es el sistema de numeración que se emplea universalmente.
2.- UNA VISIÓN GLOBAL DE LA INICIACIÓN EN EL SENTIDO DEL NÚMERO.
EL LUGAR DEL CONTEO
La secuencia de aprendizaje de los números consta de los siguientes pasos.
2.1 Búsqueda de conjuntos equivalentes
Buscaríamos conjuntos del mismo número de elementos. Hay tres tipos de ejercicios.
1.- Emparejamientos de conjuntos equivalentes. El niño tiene que hermanar los conjuntos
que sean equivalentes. Al principio el alumno se dejará llevar por las apariencias, y establecerá que
son conjuntos iguales aquellos cuyos elementos más se parezcan. Es conveniente enseñarles a
establecer la correspondencia uno a uno, y enseñarles que para que dos conjuntos sean iguales no
debe quedar desparejado ningún elemento
En la fase final de este ejercicio el alumno debería ser capaz de establecer la equivalencia
entre conjuntos formados por elementos de la misma naturaleza. El único que diferenciaría a los
conjuntos sería el número.
2.- Búsqueda de conjuntos equivalentes a uno dado.
3.- Creación de un conjunto y búsqueda de su equivalente. El alumno es el que crea el
referente, el conjunto que tiene que servir de patrón respecto al que se busca como equivalente.
2.2 Establecimiento de un patrón físico.
1. Establecimiento de referentes físicos comunes con significado. El niño ha de construir
conjuntos con los mismos elementos que la realidad bien conocida le presenta como modelo.
Cuando no se tenga un modelo sencillo y accesible para algún número dígito, se puede sustituir por
el correspondiente número de dedos. Esté ejercicio se supera cuando el niño es capaz de construir
estos conjuntos sin necesidad de tener a la vista el referente.
2. Establecimiento de referentes físicos comunes sin significado. ES crear un patrón
físico que sirva de referencia a cuales quiera de los conjuntos y no esté sujeto o atado a una
realidad concreta.
2.3 Ordenamiento de patrones.
1. Equivalencias entre conjuntos-patrones. Debe establecer cuáles son iguales y cuáles
desiguales.
2. Búsqueda de conjuntos-patrones vecinos. Debe identificar los conjuntos-patrones
vecinos a uno dado.
3. Encadenamiento de patrones vecinos. El alumno debe ordenar prescindiendo del apoyo
de los vecinos.
2.4 Diversidad de apariencias en patrones.
Ahora el alumno no haya un único patrón para los números, sino que estos sean múltiples.
Con ello nos aseguramos que por un lado se cumple el principio de abstracción, y por otro,
iniciamos a los niños en el conteo rápido, en la subitización.
Los juegos infantiles nos pueden proporcionar patrones para los primeros números por
ejemplo los dados, las cartas de la baraja nos ofrecen patrones hasta el 7 o 10, las manos nos
permiten recorrer los números hasta el 10.
2.5 Aplicación de la cadena numérica.
Podemos representar por una simple sucesión de fonemas cualquier numerosidad que
ofrezca la realidad y que se necesite cardinar.
CAPÍTULO IV: INTRODUCCIÓN AL CONTEO
A los niños desde muy pequeños, les gusta mucho contar. Ese deseo de contar es la
manifestación de su capacidad intuitiva, lista para desarrollarse. Por ello, el docente debe brindar
siempre oportunidades para que se ejerciten en la cuenta. Todo ello se puede practicar sin haberlo
enseñado previamente. Las propias acciones de los niños darán sentido a lo que se les pide que
hagan.
Contar es uno de los procesos por los que el niño desarrolla su capacidad numérica y llega a
aprehender su concepto. Pero eso es algo más que decir los nombres de los números en su orden, o
señalar objetos cuando se van recitando.
1.- LAS FASES DE LA PROGRESIÓN EN LA CADENA NUMÉRICA.
Contar, numerar, hallar cardinales, etc., requieren la posesión de la cadena numérica y la
capacidad para verbalizarla de manera correcta. Ahora bien, este aprendizaje no se hace de una vez.
Fuson y Hall establecieron cinco niveles de progresión por los que pasa el niño.
1.1.- Nivel cuerda
En este nivel se encuentra el alumno que es capaz de recitar un trozo de la secuencia
numérica empezando a partir del número uno y sólo del número uno. Este conocimiento verbal no
puede aplicarse al conteo.
1.2.- Nivel cadena irrompible
Aquí los números sí están perfilados, y tienen claramente establecida su frontera. Pero el
niño no puede romper la cadena. Siempre ha de comenzar en el uno.
1.3.- Nivel cadena rompible
Aquí el alumno es capaz de romper la cadena, comenzando a contar a partir de cualquier
número que se le indique. Ya puede abordar tareas que más tarde le ayudarán en las primeras
operaciones y pueden poner en marcha actividades de conteo que sirven para introducir las primeras
relaciones de orden y comparación.
Este nivel también es adecuado para iniciar a los niños en la retrocuenta, esto es, contar en
dirección inversa.
1.4.- Nivel cadena numerable
El niño es capaz, comenzando desde cualquier número, de contar un número determinado de
eslabones y detenerse en el número que corresponda.
Es el momento en el que puede comenzar a contar salteado, a sistematizar comparaciones, a
iniciarse en sumas y a trabajar los primeros patrones, etc.
1.5.- Nivel cadena bidireccional
Es el máximo dominio al que se puede llegar.
Alcanzar este nivel va a permitir al alumno mejorar su técnica de conteo y realizar las
operaciones inversas a las que podía realizar en el nivel cuatro, especialmente la sustracción y la
introducción de patrones que le ayuden a resolver intuitivamente divisiones muy sencillas.
2.- LOS PRINCIPIOS BÁSICOS DEL CONTEO DE GELMAN Y GALLISTEL
El conteo es un actividad fundamental para la construcción del concepto de número.
Gelman y Gallistel señalan los principios básicos del conteo. Son:
-Principio de correspondencia uno a uno.Contar es, adjudicar un nombre a un elemento,
no ir señalando objetos mientras se recitan los números. El adecuado cumplimiento de este
principio también implica en el sujeto “contador” la percepción de qué objetos se han contado ya y
cuáles son los que han quedado sin contar.
-Principio del orden estable. Contar siempre de la misma manera.
-Principio de cardinalidad. El último elemento contado tiene el número de orden que le
corresponde y además establece el número total de piezas que tiene el conjunto, su cardinal.
-Principio de abstracción. La asignación de etiquetas de los números a los elementos de un
conjunto es independiente de las características de estos elementos.
-Principio de irrelevancia del orden. El cardinal no depende de por dónde se empieza o
por dónde se continúa, sino de que se cuente una vez, y una sola vez, cad pieza o elemento.
3.- LA DISPOSICIÓN DE LOS OBJETOS EN EL CONTEO
En Educación Infantil se ha de procurar ofrecer disposiciones de los objetos que permitan
que los niños vayan afrontando las dificultades del conteo de un manera gradual. Proponemos las
siguientes etapas:
ETAPA 1. Los objetos que deben contar están perfectamente alineados y queda
completamente establecido cuál es el principio y cuál es el final. En posición vertical, nada altera la
dificultad.
ETAPA 2. No está establecido cuál es el elemento origen y el elemento final. Es algo que
debe establecer el alumno, y que además debe recordar para saber cuál va a ser el último elemento
que debe contar.
ETAPA 3. Composición de dos alineaciones que se cruzan, una en sentido horizontal y otra
en sentido vertical. Las dos tienen un elemento en común. La dificultad está en identificar el objeto
común, adjudicarlo a una de las alineaciones, y tener presente esta adjudicación cuando se cuente la
línea de elementos en la que no se ha incluido.
ETAPA 4. Los objetos ya no aparecen en ningún orden ni siguen una alineación definida.
Por ello, hay que trabajar esta etapa dividiéndola en dos subetapas. En una primera, los objetos que
van a contar deben ser manipulables.
En la segunda etapa, los objetos pueden ser, por ejemplo, los representados en una
fotografía. Esta circunstancia va a exigir al alumno o alumna determinar por donde empieza, diseñar
un plan que le permita estructurar el dibujo en partes con el fin de no correr el peligro de repetir
algún elemento, establecer un orden de abordaje de esas partes, establecer un orden de seguimiento
dentro de cada una de las partes y, por último, tomar la decisión de cuál será el último elemento.
CAPÍTULO V: EL CONTEO. NIVELES 2 Y 3 DE LA CADENA NUMÉRICA.
1.- INTRODUCCIÓN. PRÁCTICAS VICIADAS QUE ABUNDAN MÁS DE LO
DESEADO.
En nuestro país, y en términos generales, se ha instalado en las escuelas la costumbre de que
los alumnos no deben pasar del número nueve en sus ejercicios de numeración y en sus actividades
de contar. Causa asombro el grado de unanimidad que tal creencia ha suscitado entre los maestros
aunque poco a poco va cambiando este estado de cosas.
Dos posibles causas de tal situación son:
En primer lugar, porque a partir del nueve la escritura de los números exige la aparición de
dos cifras, la decena etc. Lo cual, exigiría un nivel de elaboración simbólica, de abstracción,
demasiado elevado para un niño de 4 o 5 años.
En segundo lugar, porque se trabaja el número sólo en algunas de sus posibilidades,
ocultando otras muchas en las que la introducción de la decena tiene menor relevancia.
A) EL PROBLEMA DE LA DECENA: si el alumno cuenta los 10 dedos ¿qué diferencia
encuentra entre el dedo número 9 y el número 10? Solo encuentra la diferencia cuando tiene que
expresar ese número con cifras. En los nombres de los números aparece la referencia a la decena a
partir de "dieciséis", y no antes. A partir de aquí los nombres de los números son compuestos y
ordenados: hay una palabra para cada orden de unidades y pronunciada cada una de ellas en el
sentido de mayor a menor: 234 se dice "doscientos treinta y cuatro". Pero no se dice "diez y cinco",
ni "diez y uno", sino "quince" y "once".
Respecto a la escritura, tampoco ocurre nada porque a partir del 10 los alumnos de infantil
representen los números de dos cifras. El niño de 5 años sabe que vive en el número 23, sabe la
edad de su padre, de sus hermanos etc. ¿Qué problema hay en que el niño cuente y sepa establecer
cardinales de manera oral con conjuntos de elementos superiores al 9, aunque no lo sepa hacer por
escrito?
En definitiva, la conclusión es importante: no se debe limitar artificialmente la actividad de
conteo del niño hasta 9 porque el 10 se escriba con dos cifras.
B) EL PROBLEMA DE LOS CONTEXTOS: según el contexto en que se empleen los
números, pasar o no pasar de nueve puede tener sentido. Así, por ejemplo:
PASAR
NO PASAR
- Cuando se trata de aprenderse los nombres de
los números.
- Cardinar, establecer el cardinal de un conjunto, - Se puede aplicar esta restricción de que no se
que coincide con el último número asignado.
escriban con cifras los cardinales superiores a 9.
En el caso de los números ordinales, según la
realidad que vayan a ordenar, llegar al noveno
sea demasiado complicado
Igualmente, se puede aplicar en contextos de
medida.
Las relaciones entre los números, debería
restringirse a los 10 primeros números.
Mediante subitización, visualización de patrones
sencillos, añadiendo o quitando elementos etc.
Respecto al número considerado como nombre,
no se deben aplicar restricciones, excepción
hecha de la memoria del propio alumno.
En definitiva, toda nuestra propuesta de trabajo se va a mover dentro de los siguientes
universos:
- Tres años: el universo numérico de referencia debe ser el de los dedos de sus manos. Los
niños contarán hasta 10 y harán ejercicios numéricos que puedan referirse a los dedos de ambas
manos.
- Cuatro años: el universo numérico de referencia debe ser el número de alumnos que hay
en el aula, y para actividades de conteo, el número de días del mes.
- Cinco años: el universo numérico de referencia debe ser la primera centena.
2.- EL DOMINIO DE LOS NIVELES 2 Y 3 DE LA CADENA NUMÉRICA
Los niños aprenden a contar contando. Por consiguiente, se deben dar a los alumnos muchas
oportunidades de contar.
Cuando se trata de actividades de contar, podemos referirnos a 3 tipos distintos:
- El niño cuenta objetos o sucesos de la vida real: no hay figuración, ni simulación, ni
representación. La finalidad de su actividad es contar, cardinar.
- El niño maneja material ad hoc, simplificado y sencillo: la finalidad no es contar, sino
cumplir unos requisitos, a través de juegos o simulaciones. La actividad de contar va a ser un mero
instrumento.
- El niño lleva a cabo actividades de contar, pero ya inmersas y disimuladas en juegos.
A continuación se desarrollan los tres tipos de actividades:
2.1.- CONTAR OBJETOS O SUCESOS DE LA VIDA REAL
Muchas de las acciones que habitualmente se llevan a cabo en el aula pueden ser
aprovechadas para reforzar el dominio de la numeración. Actividades de este tipo son:
- CONTROL DE ASISTENCIA (3, 4 Y 5 AÑOS): cada día debe encargarse un niño de
contar a los asistentes y deducir, a partir de ahí, los alumnos ausentes.
- INVENTARO DE CLASE (3, 4 Y 5 AÑOS): contar las mesas, las sillas, los libros, los
lápices etc. Además de contar, se percatarán de si hay o no hay para todos, cuántos más o menos
tienen que compartir una determinada cosa. El curso en el que se encuentren determinará el
cardinal de las colecciones a contar.
- CALENDARIOS (3, 4 Y 5 AÑOS): utilizar calendarios para contar los días que
transcurren del mes, los soleados, nublados, lluviosos, calurosos, los días de la semana...En 3 años,
las actividades deben reducirse al ámbito de los días de la semana.
- VOTACIONES (4 Y 5 AÑOS): realizar votaciones para decidir qué actividad o juego se
va a llevar a cabo. Cuántos han terminado y cuántos no etc. Esta actividad se puede comenzar a
partir de 4 años.
- LOS LATIDOS DEL CORAZÓN (5 AÑOS): constituye un magnífico test para medir la
capacidad de contar que alcanzan los alumnos.
2.2.- INICIACIÓN A LA SIMULACIÓN Y REPRESENTACIÓN
Se analizarán en primer lugar las posibilidades que abre la utilización de un simple tablero
cuadriculado, que puede tener distintas dimensiones. En segundo lugar, se recalcará en otro material
sencillo menos factible de utilizaciones diversas. La mayor parte de las actividades no son
recomendables para 3 años.
- EL TABLERO CUADRADO (4 Y 5 AÑOS): las actividades más relevantes son:
- Llenar el tablero de fichas: van tirando por turnos, y ponen en el tablero tantas fichas
como indiquen los dados. Gana el primero que se queda sin fichas. En 4 años, se proporciona menos
fichas (25 por ejemplo) y juegan con un solo dado.
- Establecer secuencias: es muy útil para captar estructuras de la numeración, así como de
las relaciones que guardan los números entre sí. Se le dice al alumno que vaya contado los cuadros
(los 20 o 50 primeros, o los que interesen) y que ponga una ficha cada X cuadros. Por ejemplo, cada
tres. Pronto observa que lleva una pauta determinada, y que no tiene que seguir contando para saber
dónde tiene que poner las fichas. Otro niño cuanta cuadros y coloca fichas de otro color cada cinco
cuadros.
- Llenar el tablero con números (4 y 5 años): puede tener cada niño, recortados en cartón
o cartulina y del mismo tamaño que las divisiones del tablero, los 100 primeros números (o los 30
primeros en el caso de 4 años. Los ejercicios pueden ser parecidos a los que se hacían con las
fichas, sólo que ahora se hacen colocando números.
- LA RECTA O FRANJA NUMÉRICA (3, 4 Y 5 AÑOS): se puede emplear también
como unidad de medida.
En 3 años debe abarcar hasta el número 10, en 4 años hasta el 30 o 40 y en 5 años hasta el
100.
Variedad de ejercicios: contar progresiva y regresivamente, cálculo mental, contar salteado
progresiva y regresivamente, iniciación a las operaciones básicas, a la medida etc.
La recta numérica es el soporte fundamental para que el alumno se afiance y progrese en
cada uno de los niveles de dominio de la secuencia numérica.
Una vez que el alumno está situado en el nivel 3 de dominio de la cadena numérica, es
el momento de iniciar la retrocuenta o la acción de contar hacia atrás. La secuencia de progreso
pasa por las siguientes etapas:
- INICIACIÓN A LA RETROCUENTA: una vez que los niños cuentan con soltura los
dedos de una de sus manos, se intenta que lo hagan en el sentido inverso. Puede, tras este progreso,
generalizar lo que sabe contando hacia atrás con otros objetos.
- RETROLECTURA DE NÚMEROS: cuenta sobre la serie numérica desde el 5 en cuatro
años, y a partir del 10 en cinco años.
- ADIVINANZA Y COMPROBACIÓN: el alumno tiene tapados todos los números
menos el primero. Lo ve y lo lee. A continuación intenta averiguar cuál es el que sigue.
- RETROCUENTA SIN APOYO: realiza correctamente el ejercicio anterior, pero ya sin
"chuleta".
2.3.- ALGUNOS JUEGOS
- JUEGOS DE DESIGNACIÓN: juegos del estilo de "pito, pito, gorgorito" para designar,
colectivamente, a un jugador. La virtualidad matemática de este tipo de juegos radica en que hace
practicar a los niños sistemas de apareamiento. Una palabra o una sílaba se asigna a cada persona, y
ha de hacerse correctamente.
- SILLAS MUSICALES: también un juego muy adecuado para entrenar en apareamientos.
- JUEGOS CON MATERIALES DISCRETOS, CAJAS DE CARTÓN: ejercicios
numéricos:
- Ensartar bolas y poner la etiqueta que corresponda.
- Asociar sartas y etiquetas.
- Se le entrega al niño la etiqueta y la cuerda para que ensarte tantas bolas en la cuerda como
le indique la etiqueta.
- Se le entregan sartas de bolas, todas con una etiqueta. Algunas son correctas y otras no, el
trabajo del alumno es encontrar estas últimas y sustituirlas por las correctas.
- LÍNEA NUMÉRICA CON SILLAS: se alinean 10 sillas unas junto a otras. Se cuelgan
de los respaldos los números correspondientes y se llevan a cabo ejercicios semejantes a los que se
han indicado con la recta numérica en el suelo.
Se retiran de los respaldos los números, que se les colocan a 10 niños a modo de dorsales,
cuando empieza la música, los niños dan vueltas, cuando cesa la música, han de sentarse en la silla
que les corresponde según el número que tienen, los que no la localicen, o el último en localizarla,
queda eliminado.
- EL PORRA: 36 cartas, que van del 1 al 9 en cada palo. Pueden jugar de 2 a 4 jugadores.
Se reparten las cartas y se queda cada uno con su montón boca abajo. El primer niño echa una carta
en el centro de la mesa diciendo "uno", el siguiente "dos", y así sucesivamente. El niño que
descubre al dejarla en la mesa que coincide con el número nombrado, se lleva todas las cartas que
se han tirado hasta el momento.
- CONTAR A TRAVÉS DE JUEGOS INFANTILES: el parchís, la oca, la escalera etc,
consisten en ir avanzando por casillas según el número del dado, permiten practicar de forma
repetida la tarea de contar. Se podría seguir la siguiente pauta:
- Jugar con un dado y contar las casillas hasta llegar al lugar indicado.
- Jugar con un dado, pero no se les permite contar las casillas.
- Jugar con dos dados. Tiran el primero y mueven la ficha, tiran el segundo y hacen lo
mismo.
- Jugar con dos dados, sumar los puntos y contar las casillas.
- Jugar con dos dados, sumar los puntos y avanzar sin contar las casillas.
CAPÍTULO VI: “ADQUISICION DE LOS NIVELES 4 Y 5 DE LA CADENA
NUMÉRICA”.
1.- INTRODUCCIÓN.
El completo control del uso de la cadena numérica viene determinado por el dominio de los
niveles 4 y 5 señalados en capítulos anteriores (cadena numerable y cadena bidireccional).La
práctica de ejercicios se va a convertir en el sustento de las operaciones básicas, especialmente de la
adición y sustracción.
Para la práctica de estas actividades es imprescindible que cada niño tenga una franja o
recta numérica. Muchos de los ejercicios se pueden practicar por parejas, y algunos de ellos
requerirán de dos franjas o rectas.
Otros ejercicios se pueden realizar con dinero simulado (monedas y billetes). El dinero es
un modelo de fácil asimilación y reproducción, bien conocido por los niños y bastante motivador.
Además, las unidades que emplea permiten ir desde los números más pequeños (céntimos) hasta los
muy grandes.
También se pueden preparar ejercicios ad hoc en fichas que los alumnos pueden rellenar.
Las actividades propuestas se deben trabajar con materiales diferentes, de forma tal que el
alumno vaya descubriendo que el soporte formal de los mismos es idéntico: si tiene cuatro monedas
y cuenta, añadiendo, tres, llega a tener siete. Lo mismo que si ha contado cuatro niños y luego se le
pregunta cuantos habrá contado si llega a tres más. O si de sitúa en el cuarto de la recta numérica y
cuenta tres números hacia delante. Etc.
2.- NIVEL 4 DE LA CADENA NUMÉRICA.
2.1. Contar de dos en dos.
Se trata del ejercicio más sencillo para iniciar el dominio del nivel 4.Contar de dos en dos
admite una graduación como la que se propone:
- SE CUENTAN LOS PROPIOS NIÑOS, SILENCIANDO ALTERNATIVAMENTE A
UNO DE ELLOS. Los niños están sentados en corro, y uno de ellos los va a contar. Señala y dice
en voz alta el primero (UNO), señala y empuja suavemente al segundo (DOS) para que se agache, y
dice su número de forma casi inaudible. Actúa así sucesivamente hasta que termina de contar a
todos.
- RECITADO CON DIFENTE INTENSIDAD DE VOZ. Los alumnos recitan la cadena
numérica, pero se les indica que el número uno lo digan algo más alto y el dos un poco más bajo,
etc…
- LOS NÚMEROS ALTERNOS SE PIENSAN, PERO NO SE DICEN. Dominada la fase
anterior, se entrena a los niños en que piensen los números alternos, pero sin pronunciarlos, como
señalamos para I3. Así, el niño dice “UNO”. El siguiente lo
Piensa, pero no dice nada y entonces dice “TRES”. Es una actividad parecida a ciertas
canciones en las que progresivamente se han de silenciar segmentos de la letra (por ejemplo, “Mi
barba tiene tres pelos”)
2.2 Generalización de la destreza anterior.
2.2.1. Patrones y periodicidades.
Se trata de extender la habilidad de contar hacia adelante un número determinado. Este tipo
de ejercicios se debe practicar a partir de I4 y, en este caso, en el último trimestre. La amplitud del
conjunto de números que se maneje no debe de sobrepasar el 40.
- CONTAR DE 10 EN 10 A PARTIR DE CUALQUIER NÚMERO. Este tipo de ejercicios
se debe realizar con la resta numérica y con la tabla del 100. La línea de progresión que deben
seguir es:
-Comenzamos en el cero: 10-20-30-40-50-60, etc. Los chicos saltan con el dedo de decena a
decena completa.
-Comenzamos en cualquier número de la primera decena: 4-14-24-34-44-54, etc.
-Se pasa a la tabla del 100. Los chicos comprueban que contar de 10 en 10 no es más que
bajar un escalón. El salto de 24 a 34 es ir a la casilla situada por debajo del primer número.
- SE CUENTA DE 2 EN 2, DE 3 EN 3, DE 5 EN 5 y DE 10 EN 10 DESDE EL CERO. La
finalidad de estos ejercicios es que los niños descubran patrones muy elementales, que les permitan
descubrir regularidades y, por tanto, anticipar resultados.
Se ha de trabajar con la tabla del 100. Los niños pueden tapar con fichas o material
parecido los números que correspondan. Pronto tomarán consciencia de los patrones y no tendrán
que contar para descubrir las casillas que han de tapar. El patrón se puede disponer de manera
vertical, horizontal o en diagonal.
El paso siguiente debe consistir en desarrollar la capacidad de los niños para que puedan
reproducir los patrones sin que tengan delante las tablas o hagan materialmente los ejercicios.
2.2.2 Generalización.
- RECTA NUMÉRICA EN EL SUELO. En I3, los trabajos deben comenzar con la recta
numérica fijada al suelo. Los niños la miran, la recorren, dan saltos sobre ella, se familiarizan.
Enseguida identifican lo que hacen con la esencia formal de la recta. Si dan un paso adelantan un
número, si dan dos, adelantan dos. Si van hacia delante los números crecen y si van hacia atrás,
decrecen. Si me sitúo en cualquier número y doy un paso adelante, avanzo un número, con
independencia del número del que haya partido.
De forma más específica se pueden realizar ejercicios que hagan progresar a los niños en el
dominio de este nivel.
- El niño se sitúa en el uno. Va a dar dos pasos. ¿A qué número llega? . Tras la respuesta,
se hace la comprobación y se constata si han acertado o no.
- El niño va a dar un salto que le va a permitir no pasar por un número. Está en el uno. ¿ A
dónde va a parar? Ya ha llegado al tres y va a repetir la operación, etc.
- Sale del cinco y ha llegado al ocho. ¿Cuántos saltos ha dado?
- Ha llegado al ocho u ha dado tres pasos. ¿De qué número salió?.
- TRAYECTOS E ITINERARIOS CON LA RECTA NUMÉRICA. Con ayuda de la recta
numérica podemos establecer trayectos que han de recorrer los niños, y que van a permitir en
práctica los ejercicios anteriores.
Se puede simular que es un trayecto ferroviario, en el que cada número es una estación. Se
va a averiguar:
-
¿A qué estación llega el tren?
¿Cuántas estaciones recorre?
¿De qué estación salió?
- SE ESTABLECE EL PUNTO DE PARTIDA Y LA CANTIDAD QUE DEBEN
CONTAR. HAY QUE AVERIGUAR EL PUNTO DE LLEGADA. (¿A qué estación llega el tren?).
Son ejercicios muy clásicos. El niño se sitúa en cualquier punto de la recta numérica y cuenta, a
partir de él, un conjunto de números.
- SE ESTABLECE EL PUNTO DE PARTIDA Y EL DE LLEGADA. AVERIGUAR EL
RECORRIDO. (¿Cuántas estaciones ha recorrido el tren?). Un modelo estándar de este tipo de
ejercicio, sería el siguiente: “Salgo del 7 y llego a 34. ¿Cuántos números he contado?. La progresión
que se aconseja es:
-
Decenas exactas. Salgo del 20 y llego a 80. ¿Cuántos números he recorrido?
Decenas exactas y unidades. Salgo del 20 y llego a 64. ¿Cuántos números he recorrido?
Unidades y decenas exactas. Salgo del 17 y llego a 60. ¿Cuántos números he recorrido?
Unidades y unidades. Salgo de 17 y llego a 64. ¿Cuántos números he recorrido?
- SE ESTABLECE EL RECORRIDO Y EL PUNTO DE LLEGADA. (¿Desde qué estación
salió el tren?). Este tipo de ejercicios sirve de transición para el paso al nivel 5 (cadena
bidireccional). Un modelo estándar de este tipo de ejercicio sería el siguiente: “Después de contar
23 números me he parado en el 64. ¿De qué número partí? . Estas actividades son más difíciles que
las anteriores porque suponen, de hecho, la retrocuenta o contar hacia atrás.
3. NIVEL 5 DE LA CADENA NUMÉRICA.
3.1 Contando hacia atrás.
Contar hacia atrás es más difícil que hacerlo en sentido creciente. Por ello, es fácil que
muchos niños se encuentren con dificultades en el desempeño de esta tarea. Una secuencia de
ejercicios, que incluye la secuencia del nivel 3 que ya se ha explicado en el capítulo anterior, es la
que sigue:
. SIMPLE LECTURA. Se trata de entrenar al niño en la lectura de números en orden inverso
al que habitualmente los enuncia. Para una mayor efectividad, este ejercicio lo podemos subdividir
en dos. En el primer caso, el niño lee directamente de la tira, teniendo ésta totalmente descubierta.
En el segundo caso, el niño tapa la tira, dejando al descubierto sólo el número que va a leer.
.ADIVINACIÓN Y COMPROBACIÓN. El procedimiento es el siguiente:
-El niño tiene en su poder la tira. Deja al descubierto el primer número. Lo lee.
-A continuación, debe intentar adivinar qué número viene, y debe arriesgarse a
pronunciarlo.
-Tras enunciar el número, descubre en la tira el número siguiente, y corrobora su acierto o
constata su fallo.
-Vuelve a repetirse el proceso: adivinación del número, verificación, etc.
Cuándo el alumno resuelva el ejercicio con seguridad y sin fallos, se pasa a la tercera fase.
.ENUMERACIÓN. Se alcanza esta fase cuando el alumno es capaz de recitar, en orden
decreciente, la tira numérica sin ningún tipo de ayudas.
.RETROCUENTA DE FORMA SALTEADA. Para contar hacia atrás de forma salteada, se
recita con diferente intensidad de voz y los números alternos se piensan, pero no se dicen.
3.2. Subiendo y bajando por la cadena numérica.
Los ejercicios toman forma (como señalamos anteriormente) de coches que suben y bajan,
que transcurren circulando con sentido opuesto: si uno va de A a B, el otro va de B a A. Es posible
utilizar muchos más modelos: trenes, escaleras, ascensores, etc.
La secuencia que se propone es la que se indica a continuación:
- RECONOCIMIENTO DE SI SE PRODUCE O NO LA INTERSECCIÓN. El alumno
debe ser capaz de determinar el punto en el que se produce el cruce o intersección de los trenes o
móviles que marchan en sentido distinto.
- IDENTIFICACIÓN DEL PUNTO DE INTERSECCIÓN. Este ejercicio, con respecto al
anterior, sube un grado de dificultad, puesto que se trata de identificar el punto exacto de cruce o
intersección.
- DETERMINACIÓN DE RECORRIDOS COMUNES. Si dos coches se cruzan,
necesariamente tienen que tener un territorio común que es recorrido por ambos.
CAPÍTULO VII: SUBITIZACIÓN
La subitización consiste en establecer un cardinal a un conjunto de elementos sin necesidad
de realizar un conteo.
Según el autor Jaime Martínez Montero, es una capacidad innata que poseemos, al igual que
la estimación y que hay que aprovechar sobre todo en la etapa de E. Infantil. Para ello propone una
serie de actividades con los primeros números, para que los alumnos/as establezcan ese cardinal
ante diferentes presentaciones de las cantidades correspondientes.
La secuencia didáctica de enseñanza-aprendizaje seguirá las siguientes fases:
1.-- Presentación de configuraciones fijas por cada número, con sus variantes.
2.- Presentación combinada de configuraciones fijas, pertenecientes a los números
que se hayan estudiado.
3.- Presentación de configuraciones difusas.
4.- Presentación combinada de configuraciones difusas pertenecientes a números
distintos.
Evidentemente, se pasa de un escalón a otro cuando el precedente está bien adquirido.
El resto de configuraciones de los números del 4 al 10 y el 12, se presentan principalmente
en el libro mediante imágenes.
Estas actividades podemos aprovecharlas como ejemplo para aplicar en nuestras clases.
CAPÍTULO VIII: ESTIMACIÓN
1.- INTRODUCCIÓN
Subitización, estimación y conteo son tres sistemas distintos que contribuyen a que el ser
humano posea sentido del número. Los dos primeros sistemas están presentes en la especie humana
de manera muy precoz. El último de ellos es cultural, se aprende, y es específicamente humano.
En definitiva, contamos con que los niños de Educación Infantil tienen un don natural (la
capacidad de estimar), que ese don natural es una de las bases del sentido del número, y que va a
tener mayor o menor desarrollo en función del proceso de enseñanza-aprendizaje que pongamos en
marcha.
2.- EL SENTIDO DE LA ESTIMACIÓN EN EDUCACIÓN INFANTIL
La educación de la capacidad de estimación debe ofrecer materiales y experiencias que
permitan su desarrollo y su codificación conforme a las posibilidades que ofrece nuestro sistema
numérico.
El planteamiento que seguimos aquí está estrechamente ligado a las actividades de subitización.
La esencia de los ejercicios de estimación consistirá en descubrir dentro de un conjunto con los
elementos desordenados, la configuración que le permita establecer con inmediatez su cardinal. De ello,
se desprenden dos consecuencias:
• Las actividades de estimación de cualquier numerosidad deben seguir a las de subitización.
• El proceso de enseñanza-aprendizaje de la estimación comienza allí donde acaba el de
subitización. Ambos forman el sistema de cardinación de conjuntos o colecciones que no necesita
emplear el conteo.
En el capítulo anterior se habían establecido las siguientes fases de progresión en el proceso de
enseñanza-aprendizaje de la subitización:
1°. Presentación de configuraciones básicas por cada número, con sus variantes.
2°. Presentación combinada de configuraciones básicas, pertenecientes a los números que se
hayan estudiado.
3°. Presentación de configuraciones difusas.
4°. Presentación combinada de configuraciones difusas pertenecientes a números distintos.
Las fases siguientes prescinden de cualquier tipo de configuración, si bien se distingue entre
colecciones cuyos elementos tienen rasgos diferenciadores que permiten establecer conjuntos visuales
que faciliten el hallazgo de la configuración, y colecciones cuyos elementos no presentan esos rasgos.
5°. Identificación, entre conjuntos con elementos desordenados, del que se corresponde con el
cardinal de una configuración básica. Así, el ejercicio está encabezado por una configuración básica. A
continuación, ante la vista de una serie de imágenes, el niño identifica aquellas cuyo cardinal se
corresponde con la configuración presentada.
6°. Presentación combinada de colecciones dentro de las cuales se puedan establecer partes
diferentes en función de rasgos externos de los elementos que permitan una fácil percepción y, por
tanto, reducción del conjunto a otros más pequeños y fáciles de identificar.
7°. Presentación combinada de colecciones con elementos indiferenciados.
Los apartados siguientes proponen modelos de ejercicios y actividades que desarrollan cada una
de las fases.
3.- IDENTIFICACIÓN DE CONFIGURACIONES
El primer acercamiento a una mejora de la capacidad de estimación de los niños debe ser la
discriminación entre la disposición de los elementos de los conjuntos que coincidan con una
configuración dada, y otros en los que no se da tal hecho.
Estos ejercicios son semilleros de actividades muy fecundas. Se trabaja la estimación y la
subitización, pero también la composición y descomposición de números, su estructura, la memoria
visual, la reordenación y recolocación virtual de objetos en el espacio, etc. Los ejercicios de estimación
que toman como referencia una configuración fija implican comparaciones entre cardinales. Por ello, se
les puede aplicar el "efecto de distancia". Dicho efecto establece que cuanto menor es el niño, más
diferencia debe haber entre los cardinales de los conjuntos para que el sujeto establezca que son distintos
entre sí. En I3 los conjuntos entre los que se proponga la identificación con una configuración deben
tener tres elementos de diferencia entre ellos. En I4 la diferencia se debe reducir a dos. Finalmente, en I5
tan sólo debe haber un elemento de diferencia.
4.- ESTIMACIÓN EN COLECCIONES CON ELEMENTOS DIFERENCIADOS
Los ejercicios y actividades de esta fase sexta han de comenzar cuando el alumno haya
alcanzado competencia en todas las fases anteriores. Para resolver este tipo de ejercicios ya no se facilita
la imagen con la configuración correspondiente. Por ello, la presente fase y la última se deben posponer
hasta el último año de Educación Infantil.
En la tabla siguiente aparece una secuencia de 10 cantidades, en las que el alumno tendrá que
establecer su cardinal (o el número más aproximado al mismo) sin poder contar sus elementos. Se
utilizan, mezclados, conjuntos de cuatro, cinco y seis elementos.
Los criterios de diferenciación pueden ser muy distintos.
Las series de ejercicios deben incluir conjuntos o colecciones consecutivos, y nunca superar el
número de tres. Es lo que se ha hecho en la tabla anterior, que utiliza colecciones con los cardinales 4, 5
y 6. Tampoco se aconseja que pasen de 10 fotos o imágenes, pues son estas actividades que requieren de
un gran esfuerzo.
Después se mostrarían series de conjuntos de seis, siete y ocho elementos.
Y por último series de conjuntos de 9, 10 y 12 elementos. Se incluyen 12 elementos porque en
los ejercicios de subitización no se trabaja con el número 11.
5.- ESTIMACIÓN EN COLECCIONES CON ELEMENTOS INDIFERENCIADOS
Son los ejercicios más complicados, y resumen todas las destrezas anteriores. Aquí el objetivo es
estimar con bastante aproximación, pero no necesariamente averiguar el cardinal con absoluta exactitud.
A partir de conjuntos de siete elementos son admisibles resultados que tengan una diferencia de
dos elementos. Por ello, las series que se presenten deben escalonarse en tres categorías diferentes:
a) Contienen conjuntos que presentan diferencias entre sus cardinales de tres o más elementos.
Sería el caso de conjuntos de 4, 7 y 10, o 6, 9 y 12.
b) Contienen conjuntos que presentan entre sus cardinales diferencias de dos elementos. Sería el
caso de conjuntos de 10 y 12, 7 y 9, 8 y 10, etc.
c) En conjuntos de cardinal bajo (hasta siete), las diferencias pueden ser de un solo elemento.
6.- ESTIMACIÓN DE LA REPRESENTACIÓN DE UN NÚMERO SOBRE LA RECTA
O LÍNEA NUMÉRICA
Vamos a cambiar el sentido de la estimación. Ya no va a ser calcular sin contar el cardinal de un
conjunto o colección, sino estimar el lugar que corresponde a un conjunto con un cardinal determinado
en la recta numérica. Es calcular aproximativamente la ubicación de un lugar en el espacio o, expresado
de otro modo, establecer una correspondencia entre un cardinal y una longitud.
6.1. Educación Infantil tres años
Se debe seguir la siguiente secuencia:
1°. Determinación de la ubicación del cardinal de un conjunto en la recta de 5 con todas sus
marcas y rótulos.
2°. Determinación de la ubicación del cardinal de un conjunto en la recta de 5, con todas sus
marcas, pero sin rótulos.
3°. Determinación de la ubicación del cardinal de un conjunto en la recta de 5, sin marcas ni
rótulos.
4°. Se repite la secuencia completa, pero con la recta de la primera decena. La sucesión en las
rectas es la siguiente:
6.2. Educación Infantil cuatro años
La progresión en los ejercicios debe seguir la siguiente secuencia:
• LÍNEA DE 10. Se subdivide en tres pasos.
— En primer lugar la línea tiene todas sus marcas numeradas.
— En segundo lugar, aparecen el 0, el 5 y el 10.
— En tercer lugar, aparecen solamente el O y el 10.
• LÍNEA DE 20. Se subdivide en dos pasos:
— Con O, 5, 10, 15 y 20.
— Con O, 10 y 20.
A continuación se muestran 2 ejemplos con la línea del 20.
6.3. Educación Infantil cinco años
En el último año de la etapa se generalizarían las destrezas anteriores a las decenas superiores.
En un primer paso se marcarían las divisiones de las decenas y las semidecenas:
En un segundo paso quedarían las marcas correspondientes a las decenas completas.