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ESTRATEGIAS PROPUESTAS PARA LA RESOLUCIÓN DEL PRACTIQUEMOS DE LA FICHA N° 15
COMPETENCIA
CAPACIDAD
Actúa
y
piensa Elabora y usa
matemáticamente
en estrategias
situaciones
de
forma,
movimiento y localización.
INDICADORES
Emplea las propiedades de los
lados y ángulos de polígonos
regulares al resolver
problemas.
1. Relaciona ambas columnas mediante flechas.
Tiene once lados.
No tiene diagonales.
Su ángulo externo es la mitad de su ángulo interno.
Su ángulo central es recto.
Se puede dividir en nueve triángulos congruentes desde su centro.
Eneágono
Hexágono
Cuadrado
Endecágono
Triangulo
Resolución:
 El polígono que tiene once lados recibe el nombre de undecágono o
endecágono.
 El polígono que no tiene diagonales es el triángulo.
 Su ángulo interno es el doble de su ángulo externo.
La suma del ángulo interno y externo es suplementario.
Angulo externo= x
Angulo interno = 180º – x
Según la condición: 180º – x = 2x → 180º = 3x → x = 60º
Angulo externo=60º y ángulo interno=120º
Calculamos el polígono cuyo ángulo interno mide 60º:
180° (𝑛 − 2)
= 120°
𝑛
180º(n ─ 2) = 120n
180n ─360º = 120n
60n =360º
360°
n=
=6
60°
El polígono que tiene 6 lados se llama hexágono.
 Su ángulo central es recto.
El ángulo recto mide 90º
360°
Aplicamos la fórmula: 𝑛 = 90°
360° = 90n
360
n = 90 = 4
El polígono que tiene 4 lados se llama cuadrilátero, y el cuadrilátero que
tiene su ángulo central recto es el cuadrado.
 Se puede dividir en nueve triángulos congruentes desde su centro.
USUARIO
1
Si se divide el ángulo central en 9 partes, entonces el polígono tiene 9
lados. El polígono que tiene 9 lados se llama nonágono o eneágono.
Tiene once lados.
Eneágono
No tiene diagonales.
Hexágono
Su ángulo externo es el doble de su ángulo interno.
Cuadrado
Su ángulo central es recto.
Endecágono
Se puede dividir en nueve triángulos congruentes desde su centro. Triangulo
COMPETENCIA
CAPACIDAD
Actúa
y
piensa Elabora y usa
matemáticamente
en estrategias
situaciones
de
forma,
movimiento y localización.
INDICADORES
Emplea las propiedades de los
lados y ángulos de polígonos
regulares al resolver
problemas.
2. Calcula el área sombreada, si se sabe que cada
cuadricula es de 1 cm de lado.
Resolución:
Se divide la figura en dos conocidas: trapecio rectangular y romboide.
Área total = área trapecio + área romboide
𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟+𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
Área del trapecio = (
2
)xh
Área del trapecio =
(5+2)
2
× 4 = 14 cm2
Área del romboide = Base x altura
Área del romboide =5x3 = 15 cm2
Área total = 14 + 15 = 29 cm2
USUARIO
2
Respuesta: El área sombreada es 29 cm2
COMPETENCIA
CAPACIDAD
Actúa
y
piensa Elabora y usa
matemáticamente
en estrategias
situaciones
de
forma,
movimiento y localización.
INDICADORES
Emplea las propiedades de los
lados y ángulos de polígonos
regulares al resolver problemas.
3. En la siguiente figura se puede observar una estrella de mar
disecada, la cual se desea poner en una vitrina circular del
menor radio posible. ¿Cada punta de la estrella rozará la
vitrina? Explica.
Resolución:
Respuesta Adecuada: Comprende la situación y explica que si tocará, ya que al
unir los puntos de la estrella forma un pentágono regular y del centro a cada
vértice del pentágono tienen la misma distancia y es llamado radio
COMPETENCIA
CAPACIDAD
Actúa
y
piensa  Elabora y usa
matemáticamente en
estrategias
situaciones de forma,
movimiento
y
localización
INDICADORES
 Emplea las propiedades de los
lados y ángulos de polígonos
regulares al resolver problemas.
4. ¿Cuál es la suma de ángulos internos del cuerpo de la guitarra que tiene
forma de estrella?
Resolución:
Respuesta Adecuada: Comprende la situación y aplica correctamente la fórmula
de suma de ángulos internos, que es para cualquier polígono.
Para hallar la suma de ángulos internos de un poligono empleamos la siguiente
fòrmula: Si = 180°(n – 2) donde “n” es el número del lados del poligono.
USUARIO
3
Ahora identificamos que el cuerpo de la guitarra
tiene 10 lados por lo que se trata de un decágono,
entonces
n = 10. Remplazamos los valores en
la fórmula y tenemos:
Si = 180 (10 - 2) = 1440°
Por tanto la suma de ángulos internos del cuerpo
de la guitarra que tiene forma de estrella es de
1440º.
Respuesta Inadecuada: Otras respuestas:
-
540°
No se puede saber por qué no tiene ángulos iguales.
COMPETENCIA
CAPACIDAD
Actúa
y
piensa  Elabora y usa
matemáticamente en
estrategias
situaciones de forma,
movimiento
y
localización
INDICADORES
 Emplea las propiedades de los
lados y ángulos de polígonos
regulares al resolver problemas.
5. Se tiene un cometa con el siguiente diseño que se muestra abajo. ¿Cuáles son
las medidas de los tres ángulos del triángulo obtuso más pequeño?
Resolución:
Respuesta Adecuada: Comprende la situación y observa que hay un pentágono,
donde usando la fórmula de ángulo interno obtiene que:
Reconoce que la cometa es un polígono de cinco lados por tanto es un pentágono
USUARIO
4
Halla el ángulo interno utilizando la formula:
Como la suma de los ángulos de un triangulo es 180º entonces los otros dos
ángulos medirán cada uno 36º.
Y si solo consideramos el triangulo celeste podremos determinar que sus ángulos
internos son 36º, 36º y 108º que corresponde al triangulo obtuso más pequeño
Respuesta Parcial: Comprende en forma incompleta y solo calcula el ángulo
interno del pentágono.
Respuesta Inadecuada: Otras respuestas.
COMPETENCIA
CAPACIDAD
Actúa
y
piensa  Razona y
matemáticamente en
argumenta
situaciones de forma,
generando
movimiento
y
ideas
localización
matemáticas
INDICADORES
 Plantea
conjeturas
para
reconocer las propiedades de los
lados y ángulos de los polígonos
regulares.
.
6. Una porción de papel tiene forma de hexágono regular de 15cm de lado, al
cortarse por una de sus diagonales, se obtienen dos pedazos en forma de
cuadriláteros.
¿Cuál es el perímetro de cada cuadrilátero?
a) 75cm
b) 65cm
c) 60cm
d) 45cm
Resolución:
USUARIO
5
Comprendemos el enunciado y graficamos:
Triángulo equilátero
COMPETENCIA
Actúa
y
piensa
matemáticamente
en
situaciones
de
forma,
movimiento y localización.
CAPACIDAD
Razona y
argumenta
generando
ideas
matemáticas.
INDICADORES
Plantea
conjeturas
para
reconocer las propiedades de
los lados y ángulos de los
polígonos regulares.
7) ¿Cuál es el polígono que tiene la misma cantidad de lados y de diagonales?
a)
Cuadrilátero
b)
Pentágono
c)
Octágono
d)
Eneágono
RESOLUCIÓN.1° Por el enunciado de la situación problemática, el número de lados debemos
igualarlo con el número de diagonales totales de un polígono de n lados. Veamos:
𝑛=
𝑛(𝑛 − 3)
2
2𝑛 = 𝑛(𝑛 − 3)
2𝑛 = 𝑛. 𝑛 − 3𝑛
5𝑛 = 𝑛. 𝑛
USUARIO
6
𝑛=5
2° De acuerdo a lo encontrado el único polígono que cumple esa condición es el
que tiene 5 lados y 5 diagonales en total.
3° Respuesta.- El polígono que tiene la misma cantidad de lados y de diagonales
es el Pentágono. Alternativa b).
COMPETENCIA
Actúa
y
piensa
matemáticamente
en
situaciones
de
forma,
movimiento y localización.
CAPACIDAD
Razona y
argumenta
generando
ideas
matemáticas.
INDICADORES
Justifica
enunciados
relacionados
a
ángulos
formados
por
líneas
perpendiculares y oblicuas a
rectas paralelas.
8) Indica si es verdadera (V) o falsa (F) cada una de las siguientes
afirmaciones:
I.
Av. Tacna y Av.
Wilson son
perpendiculares.
II.
El menor ángulo
formado por las Av.
Wilson y Nicolás de
Piérola es 50°.
III.
El Jr. Cañete y la Av.
Tacna son vías
paralelas.
IV.
Las avenidas Wilson
y Nicolás de Piérola
son oblicuas.
a)
b)
c)
d)
FFVF
FFVV
VFFF
VVFV
RESOLUCIÓN.1° Analicemos cada uno de los enunciados:
I.
Av. Tacna y Av. Wilson son perpendiculares. Del gráfico podemos observar
que si bien es cierto ambas avenidas se cortan, no forman un ángulo de 90°. Por
lo tanto NO SON PERPENDICULARES. ( F )
II.
El menor ángulo formado por las Av. Wilson y Nicolás de Piérola es 50°. Del
gráfico observamos que ambas avenidas se cortan y forman un ángulo que es
igual al complemento de 50° es decir FORMAN UN ÁNGULO DE 40°. ( F )
III.
El Jr. Cañete y la Av. Tacna son vías paralelas. Del gráfico podemos
apreciar que ambas vías SI SON PARALELAS. ( V )
USUARIO
7
Las avenidas Wilson y Nicolás de Piérola son oblicuas. Del gráfico se
puede ver que ambas avenidas se cortan, se intersectan formando un
ángulo diferente a 90°. Por lo tanto SON OBLÍCUAS. ( V )
2° Los dos primeros enunciados son FALSOS y los dos últimos son
VERDADEROS.
IV.
3° Respuesta.- Completando los espacios en blanco tenemos: (F)(F)(V)(V)
Alternativa b).
COMPETENCIA
Actúa
y
piensa
matemáticamente
en
situaciones
de
forma,
movimiento y localización.
CAPACIDAD
Razona y
argumenta
generando
ideas
matemáticas.
INDICADORES
Justifica enunciados relacionados
a ángulos formados por líneas
perpendiculares y oblicuas a
rectas paralelas.
9) Del mapa anterior. ¿Cuál es la medida del ángulo obtuso que forman las
avenidas Nicolás de Piérola y Wilson?
a) 40°
b) 50°
c) 130°
d) 140°
RESOLUCIÓN.1° Del gráfico podemos apreciar que la vía vertical de doble sentido, que está
ubicada en el extremo izquierdo; es paralela a la Av. Wilson. Por lo tanto La Av.
Wilson y Nicolás de Piérola forman un ángulo agudo que es igual al complemento
de 50°; vale decir 40°.
2° Como en el enunciado de la situación problemática me piden hallar el ángulo
obtuso. Observamos del plano que ambas avenidas forman un ángulo obtuso que
es igual a la suma de la medida del ángulo agudo que forman más el ángulo recto.
Veamos:
40° + 90° = 130°
3° Respuesta.- La medida del ángulo obtuso que forman las Avenidas Wilson y
Nicolás de Piérola es ciento treinta grados sexagesimales. Alternativa c).
COMPETENCIA
CAPACIDAD
Actúa
y
piensa Elabora y usa
matemáticamente
en estrategias
situaciones
de
forma,
movimiento y localización.
USUARIO
INDICADORES
Emplea las propiedades de los
lados y ángulos de polígonos
regulares al resolver problemas.
8
10. ¿Qué polígono representa los adoquines que se han puesto en un
estacionamiento?
Hexágono regular
Hexágono convexo
Hexágono cóncavo
Heptágono cóncavo
a.
b.
c.
d.
Resolución:
Los adoquines tienen 6 lados y uno de sus ángulos
internos es mayor a 180°, por lo que cada adoquín
recibe el nombre hexágono cóncavo.
Respuesta c
COMPETENCIA
CAPACIDAD
Actúa
y
piensa  Comunica y
matemáticamente
en
representa
situaciones
de
forma,
ideas
movimiento y localización.
matemática
s
11. ¿Cuál de los polígonos
perpendiculares?
a)
b)
c)
d)
INDICADORES
Describe las relaciones de
paralelismo y perpendicularidad
en polígonos regulares y
compuestos, y sus propiedades
usando terminologías, reglas y
convenciones matemáticas.
mencionados
tienen
lados
paralelos
y
Romboide
Rombo
Trapecio
Rectángulo
Resolución :
Demos tomar en cuenta las características de los paralelogramos:
USUARIO
9
Es el cuadrado y el rectángulo. Dado que el cuadrado no está como una opción, la
respuesta es el rectángulo. Respuesta d.
COMPETENCIA
CAPACIDAD
Actúa
y
piensa Elabora y usa
matemáticamente
en estrategias
situaciones
de
forma,
movimiento y localización.
INDICADORES
Emplea las propiedades de los
lados y ángulos de polígonos
regulares al resolver problemas.
12. Se desea hacer una réplica de la ventana
presentada, si se sabe que tiene los lados
iguales. ¿Qué ángulo forman cada lado?
a)
b)
c)
d)
120°
128,6°
252°
102,9°
Resolución:
La
ventana representa a un
heptágono regular por lo que sus
lados y ángulos son iguales y son
siete. Para hallar el ángulo interior de
USUARIO
10
un
polígono
regular
se tiene: 𝑖 =
reemplazamos , n =
𝟏𝟖𝟎°(𝒏 − 𝟐)
𝒊=
𝒏
𝟏𝟖𝟎°(𝟕−𝟐)
𝟕
=
𝟏𝟖𝟎(𝟓)
𝟕
=
𝟗𝟎𝟎
𝟕
7
,
en
la
fórmula
:
= 𝟏𝟐𝟖, 𝟓𝟕°.
Aproximando al décimo la medida del ángulo interno formado por dos
lados consecutivos de la ventana sería 128,6°. Respuesta b.
COMPETENCIA
CAPACIDAD
Actúa
y
piensa  Comunica y
matemáticamente en
representa
situaciones de forma,
ideas
movimiento
y
matemáticas
localización
INDICADORES
 Describe
las
relaciones
de
paralelismo y perpendicularidad
en
polígonos
regulares
y
compuestos, y sus propiedades
usando terminologías, reglas y
convenciones matemáticas
13. Dentro del presente decágono regular se muestran ocho polígonos de
diferente tamaño. ¿Qué medida tiene el menor ángulo formado entre un lado del
decágono y la diagonal trazada?
a)
b)
c)
d)
144°
136°
44°
36°
Resolución:
1.- El decágono regular tiene diez lados iguales y diez ángulos congruentes.
2.- En el problema se tiene que hallar el menor ángulo formado entre la diagonal
trazada y un lado del decágono. Recordemos que la diagonal es un segmento que
une dos vértices no consecutivos.
3.- Para hallar el valor de uno de los ángulos interiores del decágono regular, se
aplica la siguiente fórmula:
Donde
n: número de lados
Cada ángulo interno mide:
USUARIO
11
4.- En la siguiente figura se observa que al trazar la diagonal se ha formado un
trapecio isósceles, donde los ángulos adyacentes a sus bases son congruentes.
5.- En la figura de color azul, se observa que es un cuadrilátero, por lo tanto la
suma de sus ángulos debe ser 360°:
X + X + 144° + 144° = 360°
2X = 360° - 288°
X = 72°
X = 36°
Respuesta: El menor ángulo formado entre un lado del decágono y la
diagonal trazada es 36°. Alternativa d)
COMPETENCIA
CAPACIDAD
Actúa
y
piensa  Razona y
matemáticamente en
argumenta
situaciones de forma,
generando
movimiento
y
ideas
localización
matemáticas.
INDICADORES
 Plantea
conjeturas
para
reconocer las propiedades de los
lados y ángulos de los polígonos
regulares.
14. La cantidad total de diagonales de un polígono regular es igual al triple de
número de vértices. Calcule la medida de un ángulo central.
a)
b)
c)
d)
10°
20°
30°
40°
Resolución:
1.- Para conocer la medida del ángulo central, debemos partir del dato del
problema que nos hablan sobre la cantidad total de diagonales y consideramos la
siguiente formula:
USUARIO
12
Donde
n: número de lados
=
2.- En el problema tenemos que la cantidad total de diagonales es igual al triple
del número de vértices. Reemplazamos los datos y formamos la siguiente
ecuación:
Donde:
n = N° v
= 3n
=
3n =
6n =
Por lo que “n” no puede ser 0, así que n = 9.
3.- Aplicamos la fórmula para calcular el ángulo central:
.
Respuesta: La medida del ángulo central es 40°. Alternativa d)
COMPETENCIA
CAPACIDAD
Actúa
y
piensa  Elabora y usa
matemáticamente en
estrategias
situaciones de forma,
movimiento
y
localización
INDICADORES
 Emplea las propiedades de los
lados y ángulos de polígonos
regulares al resolver problemas.
15. Si un decágono regular tiene 15 cm de lado y la distancia del centro a uno de
sus lados es 23,08 cm. ¿Cuál es el área del decágono?
a)
b)
c)
d)
173,1 cm2
346,2 cm2
1731 cm2
3462 cm2
Resolución:
1.- Se sabe que la distancia del centro a un lado de un polígono regular es la
apotema. Graficamos:
USUARIO
13
2.- Al ser un decágono regular tiene diez lados y son de igual medida. Por lo tanto
el perímetro es 15cm x 10 = 150cm
3.- Para calcular el área del decágono regular se aplica la fórmula:
Respuesta: El área del decágono regular es 1 731 cm2. Alternativa c)
USUARIO
14