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Unidad 1 “Aritmética” “Aprendiendo Aritmética” Juan Adolfo Álvarez Martínez. http://www.uaeh.edu.mx/virtual Antes de poder iniciar propiamente con el estudio de los temas de las operaciones que se realizan en aritmética, se debe aclarar antes que nada que dichas operaciones se definen en un conjunto que se denomina NUMEROS REALES, un conjunto en este caso es una cantidad de elementos que cumplen todos las misma propiedades o son afines respecto a ciertas características. También habrá que decir por ejemplo que hay algunas cuantas excepciones, como en casi todas las cosas, ya que por ejemplo en el caso de la división, no puede hacerse dicha operación siempre que el denominador sea cero. Esto es muy importante recordarlo; NO se puede dividir entre cero. Los números reales no son otra cosa más que podemos entender de manera sencilla, como todos aquellos que podemos localizar en la recta numérica y estos números, están divididos a su vez en varios subconjuntos, por ejemplo, existen los números enteros, los fraccionarios, los llamados irracionales, los negativos, etc… Estos subconjuntos los definiremos a continuación sin tratar de entrar exhaustivamente en su explicación, ya que en principio lo que mas interesa para nuestros propósitos es que los conozcas pero sobre todo que los sepas aplicar. Algunas propiedades de los números reales que se cumplen se basan en las operaciones que se pueden hacer, es decir estas: OPERACIONES ARITMETICAS son: 1. Suma o Adición 2. Resta o Sustracción 3. Multiplicación 4. División 5. Potenciación 6.- Radicación Las propiedades son: Propiedades de los IR Son los siguientes: Si a, b, c, IR 1. Asociativa: El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado. (a + b) + c = a + (b + c) 2. Conmutativa: El orden de los sumandos no varía la suma. a+b=b+a 3. Elemento neutro: El 0 (cero) es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número. a+0=a 4. Elemento inverso Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero. a + (− a) = 0 Resta La resta o sustracción es la operación inversa a la suma. a-b=c Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al resultado, c, lo llamamos diferencia. Al aparecer esta operación, es esencial tener en cuenta que por ejemplo para el caso de la suma, tenemos que al sumar dos números positivos, el resultado siempre será positivo, con cualesquiera números, pero por ejemplo en la resta no sucede lo mismo, es decir: si tenemos: 3- 5, no da lo mismo que 5-3, porque en el primer caso el resultado tenemos dos números positivas pero estamos al menor restando un numero mayor, y en consecuencia el resultado YA NO pertenece a los números positivos, sino a los negativos. Caso contrario en que si tenemos 5-3, entonces el resultado SI es un positivo por lo cual es muy importante tener en cuenta estos aspectos. Para que puedas mejorar tu habilidad en realizar operaciones aritméticas en números enteros, realiza los ejercicios siguientes: SECCION A. REALIZA SIN USAR calculadora las siguientes operaciones indicando el resultado y en caso donde sea posible la propiedad que se usa. a) b) c) d) e) f) g) h) i) 30+ 60 = 60+ 30 = ? 53 - 0 =? 130 + (- 130) =? 30 + ( 40+ 20) =? 15 – 12=? 13 – 8=? 8- 13 =? 5- 9 =? 145- 123 =? j) Como puedes explicarle a algún compañero como se resuelve una resta como en las operaciones de los incisos g)? y h) para llegar al resultado?, ESCRIBE ALGUNOS EJERCICIOS EN LOS QUE TE APOYES PARA EXPLICAR TU PROCEDIMIENTO. LA MULTIPLICACION. Sea una operación; a·b=c Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto. Propiedades de la multiplicación 1. Asociativa: El modo de agrupar los factores no varía el resultado (a · b) · c = a · (b · c) 2. Conmutativa: El orden de los factores no varía el producto. a·b=b·a 3. Elemento neutro: El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él da el mismo número. a·1=a 4. Elemento inverso: Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad. La suma de números naturales y de enteros no cumple esta propiedad. 5. Distributiva: El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos. a · (b + c) = a · b + a · c SECCION B. Resuelve algunos ejemplos para practicar la multiplicación, indicando la propiedad usada. EL PARENTESIS INDICA MULTIPLICACION. A) (30 )(4) =? B) (12) (2) (3) =? C) 2 (3+4) = (2)(3) + (2)(4) =? D) (6) (1) =? E) (3)(1/3)=? Es momento de introducir algunos ejemplos donde aparecen operaciones e multiplicación con números negativos y positivos. Es importante poner mucha atención para evitar confusiones posteriormente. Primero escribiremos algunas operaciones con positivos y luego negativos con positivos, poner especial atención en EL SIGNO del resultado. 1.- operación de multiplicación con positivos. a) b) c) (8) (3)(2) = 48 (5) ( 7) = 35 ( 8) (6) = 48 Como es el signo del resultado al multiplicar siempre dos números positivos? __________ Ahora hacemos multiplicaciones con números negativos: d) e) (-2) (-3) = 6 ( - 5) (-8) = 40 Como es el signo del resultado multiplicando dos números negativos?____________ Ahora realicemos multiplicaciones donde hay números de los dos tipos. f) (5)( -3) = - 15 g) ( -2) ( 6) = -12 Como es el signo del resultado en las dos operaciones?___________ Como podrías explicarle a alguna persona que signo se tiene cuando se multiplican dos números, con signos contrarios? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ Ahora como ejercicios para analizar y pensar. Tienes las siguientes multiplicaciones con números con diferentes signos cual es el resultado y su signo? h) i) j) k) l) (-3) (2)( 4) = ? (5)(-2)(-2)= ? (2)(-3)(-3)= ? (-4)(-2)(-5)= ? (-2)(-2)(-2)(-2)=? Podemos deducir que en la multiplicación: - Al multiplicar dos números de igual signo el signo es positivo y si son de signos diferentes, entonces el signo es negativo. Potenciación Una potencia es una multiplicación sucesiva, donde un número (base) se multiplica por si mismo la cantidad de veces que lo indica otro número (exponente). Por lo general se representa bn, donde b es la base y n el exponente Ahora voy a resolver la siguiente potencia: 54. 54 En esta operación 5 es la base y 4 el exponente. 54 Tenemos que multiplicar 5 por si mismo 4 veces. 54 5 x 5 x 5 x 5 = 625 Algunos ejemplos de potenciación: 22 = 2 x 2 = 4 43 = 4 x 4 x 4 = 64 75 = 7 x 7 x 7 x 7 x 7 = 16807 Tenemos también dos casos especiales: a) Cuando el exponente es cero: Si el exponente es cero, no importara cual sea la base, el resultado siempre será 1. Ejemplos: 50 = 1 110 = 1 1230 = 1 b) Cuando el exponente es uno: Si el exponente es 1, el resultado será el valor de la base. Ejemplos: 01 = 0 31 = 3 431 = 43 Radicación Es una de las operaciones inversas de la potenciación y se representa por n√ , donde n es el grado del radical, √ es el signo radical y dentro de este ultimo ira un numero denominado cantidad subradical. Se buscara un número que elevado a un exponente igual al grado del radical me de como resultado la cantidad subradical. Veamos el caso de 2√25: √25 El grado 2 se omite, es decir, cuando no encontremos grado este es 2. √25 Buscamos un número que elevado a potencia 2 nos de 25. √25 Se cumple: 52 = 25, entonces la respuesta será 5. Algunos ejemplos se detallan a continuación: 3√27 =3 3√64 = 4 4√81 = 3 Porque 33 = 27 Porque 43 = 64 Porque 34 = 81 Logaritmación La logaritmación es otra operación inversa a la potenciación en la cual, a diferencia de la radicación, se busca el exponente al cual debo elevar un numero (denominado base del logaritmo) para llegar a otro número incluido también en la operación. Por ejemplo, queremos resolver log3 9. log3 9 El subíndice 3 representa la base del sistema (base del logaritmo). log3 9 Necesitamos saber a que potencia debemos elevar 3 para tener 9. log3 9 El número que cumple esa condición es 2: 32 = 9. La respuesta es 2. Algunos ejemplos sobre logaritmación: log7 49 = 2 log3 243 = 5 log2 256 = 8 Porque 72 = 49 Porque 35 = 243 Porque 28 = 256 Tenemos un caso especial en los logaritmos de base 10, también llamado logaritmos vulgares. En ellos la base del logaritmo se omite. Por ejemplo: log 1 = 0 log 10 = 1 log 100 = 2 Porque 100 = 1 Porque 101 = 10 Porque 102 = 100 Consideremos por el momento estas operaciones entre números enteros y naturales, con lo que al introducir las fracciones (números racionales) entonces se cumple de la misma forma las propiedades de la suma y la multiplicación con sus leyes de los signos: Ejemplos de operaciones con racionales: SUMA y RESTA: Podemos observar que se trabaja tanto con operaciones de sumas, restas y multiplicaciones en el numerador y el denominador Practica ahora con las siguientes operaciones para poder determinar sus resultados y comprobar tus respuestas. 1/2 - 3/5 = 2/3 + 4/7 = (3/8)(4 /5) = 1/5 – 3 = 3/2 + 4 = 5/6 + 2/6 = -8/3 – 2/5 = -2 – 3/7 = Es momento ahora de proceder a resolver algunos ejemplos donde se aplican las operaciones y números reales en el tema llamado RAZONES Y PROPORCIONES. RAZÓN Razón o relación de dos cantidades es el resultado de comparar dos cantidades. Dos cantidades pueden compararse de dos maneras: Hallando en cuánto excede un a la otra, es decir, restándolas, o hallando cuántas veces contiene una a la otra, es decir, dividiéndolas. De aquí que haya dos clases de razones: razón aritmética o por diferencia y razón geométrica o por cociente. Razón aritmética o por diferencia de dos cantidades es la diferencia indicada de dichas cantidades. Las razones aritméticas se pueden escribir de dos modos: Separándolas dos cantidades con el signo ― o con un punto (.). Así, la razón aritmética de 6 a 4 se escribe: 6―4 ó 6.4 y se lee seis es a cuatro. Los términos de la razón se llaman: antecedente el primero y consecuente el segundo. Así, en la razón 6―4, el antecedente es 6 y el consecuente 4. Razón geométrica o por cociente de dos cantidades es el cociente indicado de dichas cantidades. Las razones geométricas se pueden escribir de dos modos: En forma de quebrado, separados numerador y denominador por una raya horizontal o separadas las cantidades por el signo de división (). Así, la razón geométrica de 8 a 4 se escribe u 84 y se lee ocho es a cuatro. Los términos de la razón se llaman: antecedente el primero y consecuente el segundo. Así, en la razón 84, el antecedente es 8 y el consecuente 4. A → antecedente B → consecuente Algunos ejemplos: Hallar la relación entre las edades de dos niños de 10 y 14 años SOLUCIÓN: 5/7 Hallar la razón geométrica entre 60 y 12 SOLUCIÓN: 60/12 = 5, ES DECIR 60 ES 5 VECES EL VALOR DE 12. Hallar la razón geométrica entre 12 y 60 SOLUCIÓN: 12/60 = 1/5, ES DECIR, 12 ES 1/5 PARTE DE 60. ALGUNOS CASOS PRÁCTICOS DONDE SE APLICAN ESTOS CONCEPTOS SE MUESTRAN A CONTINUACIÓN: El mayor de dos números es 63 y su razón es 7 a 5. Hallar el número menor SOLUCIÓN: ESCRIBIMOS: De donde se trata conocer “x”, para lo cual multiplicamos en forma cruzada antecedente y consecuente e igualamos así: 7(x)= 63(5) Es decir: 7(x) = 315 de donde la “x” que andamos buscando la obtenemos mediante lo que se denomina un “despeje” dividiendo al final de la siguiente forma: X= 315/ 7 Quedando: X= 45 Y si comprobamos efectivamente resulta que: 7/5 = 63/45 PROPORCIÓN Se define como la igualdad entre dos razones geométricas o por cociente Proporción aritmética o equidiferencia, se define como la igualdad entre dos razones aritméticas o diferencias. En una proporción aritmética se llaman extremos al primero y cuartos términos, y medios al segundo y tercero términos. También reciben el nombre de antecedentes al primero y tercer términos, y consecuentes al segundo y cuarto términos. En la equidiferencia 20-5=21-6, 20 y 6 son los extremos, 5 y 21 son los medios, 20 y 21 son los antecedentes, 5 y 6 son los consecuentes. ALGUNOS EJEMPLOS DE APLICACIÓN DONDE ENCONTRAMOS LOS TEMAS EXPLICADOS SON LOS SIGUIENTES: DE DONDE “X” = $30 Puede notarse que se han realizado las operaciones de multiplicación cruzada y despeje de la incognita como ya se ha explicado. Ejemplos para practicar y resolver: 1. Si 4 cajas de dulce cuestan $ 20, cuanto costarán 3 docenas de cajas? 2. Entre dos hermanos rentan un local; el primero renta 5/11 por lo que paga 6000 pesos, cuanto pagará el otro para completar el total? 3. Una bomba despacha 40 litros de combustible en 2 minutos, en cuanto despachara? 250 litros? 4. Un kilogramo de fruta de cítricos vale $ 75, cuanto valdrá 200 gramos? 5. Si en 15 minutos un auto recorre 400 metros, que distancia alcanzará a recorrer en una hora a esta misma velocidad? 6. Por un préstamo que recibe una persona debe pagar 5% de cada 400 pesos. Cuanto deberá pagar si pide 3600 pesos? 7. Si un vendedor de seguros por cada póliza vendida recibe $6000, y el valor de la póliza es $75000, que porcentaje recibe por cada póliza? 8. Considerando el ejemplo anterior, si recibe en total $24000, cual es el valor total de las pólizas vendidas y cuantas ha vendido? 9. En la república de Haití, en 1970 la razón entre el número de kilómetros cuadrados de superficie y el número de habitantes estaba en razón 1 a 175. Si el número de habitantes en ese momento era de 4,856,250. ¿Qué superficie tiene Haití? 10. Al aplicar la vacuna contra la tosferina, la posibilidad de que los niños tengan fiebre como reacción está en razón 1 a 100,000. Si se detectaron 26 niños con fiebre. ¿Cuántos fueron vacunados? BIBLIOGRAFIA. Baldor A. (1998). Aritmética. México D. F. Publicaciones Cultural