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MATEMÁTICAS 4º ESO
1
2
MATEMÁTICAS 4º ESO
LOGARÍTMOS E EXPONENCIAIS
1. Calcula o valor de x nos seguintes casos:
a) 2 x  512 ; b)
x 4  10.000 ; c) logx 32  5 ; d) log 1.000 .000  x ; e) log5 x   2
2. Calcula os seguintes logarítmos:
a) log 10 ; b) log 1 ; c) log 100; d) log 0,1 ; e) log 1.000 ; f) log 0,01 ; g) log 0,001
3. Coñecendo log 2 = 0,2010, calcula os seguintes logaritmos sen utilizar a calculadora:
a) log 4 ; b) log 5 ; c) log 8 ; d) log 500
4. Pasa a forma algebraica as seguintes expresións logarítmicas:
a) log A = 3 log x + log y - 2 log z ; b) log B = 4 log x - 5 log y + 2 log z
c) log C = 2 log x – 3 log y + 2 ;
d) log D = 2 - 3 log x + 3 log z
5. Toma logaritmos nas seguintes expresións e desenvolve:
a)
A
 x3 y 
z
5
;
b)
B =
x3 . y5 . z7
; c)
C 
a3
c
b
4
6. Define logaritmo en base “ b” dun número, e baseándoche na definición calcula o valor de
x nas seguintes expresións:
1
a) X  log2 16  log5
;
b) log16 32  X
 log3 27
25
7. Indica as propiedades dos logaritmos e razoa se son verdadeiras ou falsas as seguintes
igualdades:
a) log 2x + log 4x = log 6x
; b) 2 log 10 – log 4 = 2 log 5
c) log ( 5+4) = log 5 . log 4
; d)
8. Resolver:
a) 53x 12 
c)
e)
1
125
;
x
y 1

 807
 3.5  2.6

x

1
y

 6  339
 15 . 5


 log x . y 3  5

x2

log
 3

y

b) 3
;
2 x  1 
log 5 + log 6 - 1 = log 3
 28 . 3
x
 30
d) log ( 3x-1 ) - log ( 2x-3 ) =
2 - 2 log 5
3
MATEMÁTICAS 4º ESO
EXPONENCIAIS E LOGARITMOS
Resolver:
1.
3 x 1  3 x  3 x 1  189
2.
4
2
39x 10 x 1  1
3.
22( x 1)  5 . 2 x 2  1  0
15.
16. log x  log (3x  5)  2
17. log (x  2)  1  log 2  log (x  3)
18.
4.
5.
log (3x  1)  log (2x  3)  1  log 25
log x 2  log (10 x  11)  log 10  1
5 . 25 x  26 . 5 x  5  0
43x 1 
0,5 x 3
19. log (5 x  4)  log 2 
1
log (x  4)
2
x
7

2
4
6.
4 x 1  64 . 4  x  257
20.
2 log x  log
7.
3 x
8  65536
21.
log x 2  log x 3  5
22.
log (25  x 3 )  3 log (4  x )  0
8. 22 . 21 x  63  22 . 21 x
9.
2 x  3 . 22x 1
 5 . 2 x 2  78  0
24.
 log x  log y  1
 2
 x  y2  11
 5 . 3 x 1  2 y  127

 2 . 3 x 1  2 y  14
25.
 2 x  2 y  24

 2 x . 2 y  128
 log x  3 log y  5


x2
 3
 log
y

26.
 log x  log y   1

 2 log x  4 log y  7
2
10. 3 x 2  9 x 2
11.
12.
23. log x  3 log a  2 lob b
 2 x  3 y 1  5
13. 
 2 x 1  8 . 3 y  712
 x y
1
 3

14.  9
9
 x 2 y
 9
 1
 x  y  27
27. 
 log y  log x  1
 log y (9  x )  1/ 2
28. 
 logx ( y  9)  2
MATEMÁTICAS 4º ESO
Resuelve las siguientes inecuaciones:
3x  5 x  1
2x  1
1.

x
5
2
10
2.
 2x  1 2
3.
3x  1 4 x  1
x2

 2x 
10
5
15
4.
3x ( 2x-1 ) + 5x > 2x ( 3x-2 ) + 7x
5. 4x 
6.
 3x  4 x 2  2x  3
1  2x x  2

4
12

3x  1 2x  1

6
3
x 2  3x  10  0
4
7.
 2x  1 2
0
8. 3  x  x  2   6  x  2x  1    1  2x
9.
 3x  2 2
 2x  1  10  4 x  1  2x
2

10. 6x 2  x  1  0
11.
 x  3  .  2x  4  .  x  5 
12.
3  5 x 1  8x
23  10x


3
4
12
 0
13. Una compañía de televisión cobra 10 euros mas 20 céntimos por cada canal escogido, otra compañía cobra
15 euros más 16 céntimos por cada canal. ¿A partir de cuántos canales es más económica la segunda
compañía?
14. Los alumnos de 4º de ESO deciden hacer una excursión. La empresa “ A “ les cobra una cantidad fija de
1000 euros y además 0,90 euros/km. La empresa “ B “ no les cobra ninguna cantidad fija pero su precio
por km es de 0,95 euros. ¿En que condiciones es má barata la 1ª?. Si el viaje es a Pontevedra, ¿cuál deben
elegir? ¿Y si van a Roma?
Resuelve las siguientes inecuaciones:
3x  5 x  1
2x  1
1.

x
5
2
10
2.
 2x  1 2
3.
3x  1 4 x  1
x2

 2x 
10
5
15
4.
3x ( 2x-1 ) + 5x > 2x ( 3x-2 ) + 7x
5. 4x 
6.
 3x  4 x 2  2x  3
1  2x x  2

4
12
x 2  3x  10  0

3x  1 2x  1

6
3
MATEMÁTICAS 4º ESO
7.
 2x  1 2
0
8. 3  x  x  2   6  x  2x  1    1  2x
9.
 3x  2 2
 2x  1  10  4 x  1  2x
2

10. 6x 2  x  1  0
11.
 x  3  .  2x  4  .  x  5 
12.
3  5 x 1  8x
23  10x


3
4
12
 0
13. Una compañía de televisión cobra 10 euros mas 20 céntimos por cada canal escogido, otra compañía cobra
15 euros más 16 céntimos por cada canal. ¿A partir de cuántos canales es más económica la segunda
compañía?
14. Los alumnos de 4º de ESO deciden hacer una excursión. La empresa “ A “ les cobra una cantidad fija de
1000 euros y además 0,90 euros/km. La empresa “ B “ no les cobra ninguna cantidad fija pero su precio
por km es de 0,95 euros. ¿En que condiciones es má barata la 1ª?. Si el viaje es a Pontevedra, ¿cuál deben
elegir? ¿Y si van a Roma?
5
MATEMÁTICAS 4º ESO

Resolver las siguientes inecuaciones y representar las soluciones en la recta real:
x 3
2x

3
2
3
1.
2.
x2  x  6  0
Sol:  2  x  3
Sol: x > 31
5
 3  x   1  x  4   1  2x  3
6
2
3
3.

x
4.
 4x  3   2  x    3  2x 2
Sol: x 
11
Sol: x 
2
x 2  3x  4  0
5.
6.
x 2  16  0
8.
xx5
Sol:  4  x  1
 3  2x   x  1 
7.
3
x 5
x4
9.
 x  1 2
1 x
4
2
21
Sol: 
x 1
5


 2x
2
Sol: 0  x  5
Sol:  4  x  5
Sol: x   2 , 1   3,   

Sol:  4  x  4
10.
 0
 x  3   x  2  x  1  0
11.
1.
1 
12.
x3
4x
 0
Sol:  3  x  4
 2x  8   3x  6   0
Sol:  2  x  4
Resolver las siguientes inecuaciones y representar las soluciones en la recta real:
x 3
2x

3
2
3
2.
x2  x  6  0
Sol:  2  x  3
Sol: x > 31
3.
5
 3  x   1  x  4   1  2x  3
6
2
3

x
4.
 4x  3   2  x    3  2x 2
Sol: x 
11
Sol: x 
2
5.
x 2  3x  4  0
6.
x 2  16  0
8.
xx5
Sol:  4  x  1
7.
9.
11.
15
17
 3  2x   x  1 
3
x 5
x4
1 
 x 1 
2
1 x
4
2
21
Sol: 
x 1
5

Sol:  4  x  4
 x  3   x  2  x  1  0
Sol:  4  x  5
Sol: x   2 , 1   3,   

 2x
2
Sol: 0  x  5
10.
 0
15
17
12.
x3
4x
 0
Sol:  3  x  4
 2x  8   3x  6   0
Sol:  2  x  4
6
MATEMÁTICAS 4º ESO
 Resolver los siguientes ejercicios aplicando el teorema de Pitágoras, el teorema de la altura o el teorema del cateto.
1. El mástil de una bandera se encuentra sujeto por dos cuerdas que, partiendo de su extremo superior,
forman un ángulo recto y, están ancladas en el suelo a 4 y a 9 m de su pie. ¿Qué altura tiene el mástil?
Sol: 6 metros
2. Halla los catetos de un triángulo rectángulo sabiendo que la altura correspondiente a la hipotenusa divide
a ésta en dos segmentos de 1,8 y 3,2 cm respectivamente.
Sol: 3m, 4m
3. En un triángulo isósceles el lado igual mide 25 cm y la altura 20 cm. Calcula la base
Sol: 30 cm
4. Halla la altura de un triángulo equilátero de 12 cm de lado
Sol: 10,39 cm
5. Calcula la altura relativa a la hipotenusa si los segmentos que la divide son de 3 cm y 12 cm. Determina
también los catetos del triángulo y su área.
Sol: 6 cm; 6,71 cm, 13,42cm ; 45 cm 2
6. Halla el perímetro de un triángulo rectángulo sabiendo que la hipotenusa mide 30 cm y un cateto mide
18 cm
Sol: 72 cm
7. Calcula la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 100 cm
Sol: 141,42 cm
8. El perímetro de un triángulo equilátero mide 24 cm , calcula la altura y el área del triángulo.
Sol: 6,93 cm ;
27,72 cm2
9. El área de un triángulo rectángulo es 45 m 2 y uno de los catetos mide 9 m, calcula el perímetro del
triángulo.
Sol: 32,45 metros
10. Las proyecciones sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo son 5 cm y 9 cm. Calcula los catetos de
este triángulo
Sol: 8,37 cm ; 11,22 cm
7
MATEMÁTICAS 4º ESO
Calcular "x" en las siguientes ecuaciones, utilizando la calculadora:

1)
x  4 · sen
2)
tg
3)
sen x  0,75
4)
cos
5)
sin x 
6)
3 tan x  10
7)
x
 180 º 15´ 10´´ 
2
8)
cos x  0,7
9)
5x
 sen 30 º · sen 60 º
2

30 º 15´

10) 3 tan

53 º 17´´

3

34 º 25´ 10´´
x
9

8
x
4
5
15 º 40´

5
43 º 10´ 58´´  28 º 3´ 20´´
sen

sen  45 º 10´ 20´´
4 tag 120 º
11)
x 
12)
8 sen x  6  0
13)
2 tag 80 º 
14 )
9 sen 2x  4
11º 45´
  8 cos 

13 º 43´

x

x
15 )
x  sen 45 º · cos 30 º · tag 120 º  sen 120 º
..................................................................................................................................................................
SOLUCIONES:
1. x = 2,26
2. x = 5,25
3. x = 48º35´25´´ 4. x = 13,29
5. x = 53º7´48´´
6. x = 73º18´2´´ 7. x = 218º1´44´´ 8. x = 14º4´11´´
9. x = 0,1
10. x = -5,91
11. x = - 0,31
12. x = 48º35´25´´ 13. x = 128,65
14. x = 13º11´38´´ 15. x = 1,44
8
MATEMÁTICAS 4º ESO
TRIGONOMETRÍA
1.
Un poste de 6 metros de altura proyecta una sombra de 8 metros. Si se unen el extremo superior del poste y el
extremo de la sombra, calcula los elementos del triángulo formado.
Sol: 10 m ; 36º52´12´´ ; 53º7´12´´
2.
Determinar los valores de a, b, c en la siguiente figura:
30 cm
a
12 cm
55º
c
Sol:
a = 14,65 cm; b = 35,90 cm ;C = 23º34´41´´
b
3.
Determinar el valor de "H" en el siguiente dibujo, teniendo en cuenta que la distancia entre A y B es la mitad que entre
B y C:
20 m
H
60º
40º 35´
Sol: H = 59,35 m
A
B
C
4. Sabiendo que a = 50 m, b= 30 m y  = 35º, calcula el área del triángulo de la figura:
b
Sol: área = 286,75 cm2

a
5. Determinar el valor de "m" y “ β “ en el siguiente dibujo,
teniendo en cuenta que la distancia AB = 8 m
y que PB = 5 m y  = 50º 15´
C
m
Sol: m = 10,01 m; β = 36º´56´46´´
6. Luisa tiene una cometa suspendida en el aire y sujetada por un
cuerda tensa de 50 metros de largo, que forma con el suelo un

B
P
ángulo de 65º. ¿A qué altura se encuentra la cometa?
Sol: h = 45,32 m
150 m
7. Calcula el área de la siguiente figura:
Sol: Ärea = 7577,72 m2

60º
200 m
A
9
MATEMÁTICAS 4º ESO
1.-En las siguientes circunferencias trigonométricas ( Radio = 1 ) , dibujar las líneas trigonométricas de los
ángulos que se indican. ¿Cuál seré el signo de las razones trigonométricas de estos ángulos?:
a)
B)
P
α
α
Coseno, tangente
seno,
tangente
P
2 Indica el signo de las siguientes razones trigonométricas: ( NO USAR CALCULADORA CIENTÍFICA )
a) sen 150º

3
4
k) cos
5
f) sec
5
3
b) cos 330º
c) tag 135º
d) sen 240º
e) cot
g) sen 1020º
h) cotg ( -30º )
i) cos 2000º
j) sec ( -150º )
l) tag 43800º
m) cosec 330º
n) sen 75º
o) cos ( -75º )
3 En una circunferencia trigonométrica, calcular el valor de las siguientes razones trigonométricas:
a)
e)
sen 90º
sec 0º
b) cos 180º
f) sen 720º
c) tag 0º
g) cos 5Л
d) sen 270º
h) cos 360000º
4 Indicar a que cuadrante pertenecen los ángulos, cuyas razones trigonométricas tienen los siguientes signos:
a) sen x < 0
b) cos x > 0
c) tag x < 0
d) cotg x > 0
e) sec x < 0
f) cosec x > 0
g) cos x < 0
h) sen x > 0
5 Si cos x = 3/5 y x pertenece al cuarto cuadrante, determinar las demás razones trigonométricas de “ x ”
6 Si sen α = 
1
2
7 Si tag x = - 0,75
y
y
180º < α < 270º , hallar la demás razones trigonométricas del ángulo “α”
90º < x < 180º, hallar las demás razones trigonométricas del ángulo “x”
8 Calcular el valor de las siguientes razones trigonométricas:
a) sen 210º
b) cos 225º
c) tag 120º
d) sen 330º
e) cos 240º
f) tag 315º
g) sen 480º
h) cos 300º
9 Calcular los valores de “x” entre 0 y 360º que cumplen las siguientes condiciones:
a) sen x = 
1
2
2
2
3
e) sen x = 
2
c) cos x =
3
2
b) cos x = 
d) tag x =  1
f) tag x = 
3
10
MATEMÁTICAS 4º ESO
VECTORES EN EL PLANO
1.

a   3, 4
Dados los vectores
a)
b)
c)
d)


y b   5, 12

calcular:
módulo de cada uno de los vectores
producto escalar de ambos vectores
ángulo que forman ambos vectores
el valor de “ x ” para que ( 3 , - 4 ) · ( 12 , x ) = 0
2. Dados los vectores:


v   4 ,  3  , w   12 , 5  y

z ( 4 0).
a) Represéntalos.
b) Calcula los módulos de cada uno de los vectores
 
c) Calcula los siguientes productos escalares: v · w
d)
Halla el ángulo que forman los vectores


v y w .
 
y z ·v
e) Realiza las siguientes operaciones con estos vectores, indicando si el resultado es un
vector o un número:

 
 3v  2 w z .




v ·( w  z )
3. Dados los puntos de coordenadas A (1, -2) , B ( -5, 4) , C ( 3,0 ) y D (-3, -2). Calcular:
a) las coordenadas de los vectores AB , BC, CD, BA, DC
b) realiza las siguientes operaciones:
 2 AB - 3 BC + 2 ( BA – DC)
 ( AB . BC) - (CD . BA)
  2 ( AB . AB )  5
c) ángulo que forman los vectores AB y DC
VECTORES EN EL PLANO

1. Dados los vectores a   3 ,  4
a.
b.
c.
d.


y b   5, 12

MATEMÁTICAS 4º ESO
calcular:
módulo de cada uno de los vectores
producto escalar de ambos vectores
ángulo que forman ambos vectores
el valor de “ x ” para que ( 3 , - 4 ) · ( 12 , x ) = 0
2. Dados los vectores:


v   4 ,  3  , w   12 , 5  y
a. Represéntalos.
b. Calcula los módulos de cada uno de los vectores
 
c. Calcula los siguientes productos escalares: v · w
d.
e.
Halla el ángulo que forman los vectores

z ( 4 0).


v y w .
 
y z ·v
Realiza las siguientes operaciones con estos vectores, indicando si el resultado es un
vector o un número:

 
 3v  2 w z .




v ·( w  z )
3. Dados los puntos de coordenadas A (1, -2) , B ( -5, 4) , C ( 3,0 ) y D (-3, -2). Calcular:
a) las coordenadas de los vectores AB , BC, CD, BA, DC
b) realiza las siguientes operaciones:
i. 2 AB - 3 BC + 2 ( BA – DC)
ii. ( AB . BC) - (CD . BA)
iii.  2 ( AB . AB )  5
c) ángulo que forman los vectores AB y DC
11
MATEMÁTICAS 4º ESO
VECTORES Y RECTAS EN EL PLANO
Dados los vectores:



u ( 2,  3 ) , v (1, 6 ) , w ( 3 , 2)
y
los puntos A ( 1, 4 ) , B (-2,5) y
C( 3, 0) , determinar:
 
1. el producto escalar u . v
2.
Sol: -20


el módulo de w ; w
Sol:


3. el ángulo que forman los vectores u y v
Sol: 155º 46´
4. el resultado de las siguientes operaciones:



 
a)  2 u  5 v  4 w  .  3 u  v  
b)
 


13

Sol: 567

u.v   v. w  u. w 
Sol: -11


  
c) ( 3 u  2 v )  ( 5 w  u  v ) 
Sol: ( -10 , -22 )
5. el valor de x , si se cumple que
2
, 3 .  x , 8   0
Sol: x = 12
6. el valor de y , si se cumple que
y
, 3 .  2 , 5   7
Sol: y = 11
7. el valor de a y b si se sabe que:
 a , b  .  3,  2   10
y 5a + b = 8
8. las coordenadas de los vectores AB , BC , AC
Sol: a = 2 ; b = -2
Sol: (-3,1) , (5,-5) , (2,-4)
9. ángulo que forman los vectores AB y AC
Sol: 135º

10. las ecuaciones paramétricas de la recta “ r “ que pasa por el punto A y su vector director es u
Sol:
x  1  2t 

y  4  3t 

11. la ecuación continua de la recta “ s “ que tiene por vector director v y pasa por el punto B
x 2 y5
Sol:

1
6

12. la ecuación general de la recta “ t “ que pasa por el punto C y tiene por vector director w
Sol: 2x – 3y – 6 = 0
13. pendientes de las rectas r , s , t
Sol: mr  
14. la ecuación explícita de la recta “ p “ que pasa por los puntos A y B
15. ecuación general de la recta “ q ” que pasa por C y A
3
2
; ms   6 ; mt 
2
3
Sol: y  
1
13
x
3
2
Sol: 2x + y - 6 = 0
16. indicar si el punto C pertenece a la recta s
Sol: no
17. Tres puntos que pertenezcan a la recta r y cuatro puntos que pertenezcan a la recta p
18. punto de intersección de las rectas t y q
Sol: ( 3 , 0 )
19. distancia entre los puntos B y C
Sol:
20. distancia del punto A a la recta t
Sol:
5 2 u
16 13
u
13
12
MATEMÁTICAS 4º ESO
VECTORES Y RECTAS EN EL PLANO



21. Dados los vectores: u ( 3,  1 ) , v (1,  2 ) , w ( 4 , 1)
 
a) Hallar los siguientes productos escalares: u . v ;


b) Calcula el ángulo que forma los vectores u y v


c) Calcula el ángulo que forma los vectores u y z
d) Realiza las siguientes operaciones:
 
 
 
  u . v    v . w    u . w   10 .



 
 2u  5 v  4 w   3u  v 

22. Dadas las rectas :
r:
x 3 y1

2
3
;

, z (1 , 3 )
 
 
w.z ; u .z
Sol: 5 ; -1 ; 0
Sol: 45º
Sol: 90º

z 
Sol: -4
Sol: (-23 , 13 )
s : y  4x  13
; t:
x  4  3t 

y   1  3t 
a) Representar gráficamente las rectas anteriores
b) Determinar el vector director y la pendiente de cada una de las rectas anteriores



3
Sol: v r  2 ,  3 , mr  
; v s  1 , 4  , ms  4 ; v t   3 , 3 , mt   1
2
c) Escribir la ecuación general de estas rectas
Sol: r: 3x+2y-7=0 ; s: 4x-y-13 = 0 ; t: x+y-3 = 0
d) Determinar dos puntos por los que pasan cada una de las rectas
e) Hallar el punto de intersección de las rectas r y s
e) Hallar la distancia del punto P ( 5,-2) a la recta “r”
Sol: ( 3 , -1 )
Sol:
dp  r 
4 13
u
13
23. Dados los puntos de coordenadas A ( 2, -3) ; B (1, 1) ; C(-4. 5)
a) Hallar los vectores AB , BC , AC, CA
Sol: AB (-1,4) ; BC (-5,4) ; AC (-6,8) ; CA (6,-8)
b)
c)
d)
e)
f)
Hallar el ángulo que forman los vectores AB y BC
Sol: 37º18´14´´
Determinar el punto medio del segmento cuyos extremos son A y C
Sol: ( -1 , 1 )
Hallar la ecuación de la recta “r” que pasa por los puntos A y B
Sol: 4x+y-5 = 0
Calcular la distancia entre los puntos C y A
Sol: 10 u
Determinar el punto de intersección entre la recta “r” y la recta de ecuación
3x-2y+10=0
Sol: ( 0 , 5 )
24. Hallar las posiciones relativas de los siguientes pares de rectas:
a)
2x  3 y  3  0 
 ;
x  5 y  18  0 
b)
2x  3 y  3  0 

2x  3 y  8  0 
: c)
 x  3y  2  0
x  4y  3  0 

 ; d)

5 x  15 y  10  0
 2x  3 y  4  0
en caso de que sean secantes determinar el punto de intersección entre ambas rectas
Sol: a) secantes (3,3) ; b) paralelas ; c) coincidentes ; d) secantes ( 5,-2)
25. Hallar la ecuación de la recta que pasa por:
o
el punto medio del segmento determinado por los puntos M (-4, 7) y N (6, -11)
o y por el punto de intersección de las rectas 3x-5y +8 = 0
Sol: 3x + 2y + 1 = 0
y 5x+2y +3 = 0
13
MATEMÁTICAS 4º ESO
Calcula :
19) lim
8n n
1) lim
n 
8n 3  3
 4n 5  3n 2  8
2) lim

n 
2 n 4  5n 2  3
3n 2  8
3) lim

n   5n 3  5n 2  3
2
n 
3
n 
n  3  9n 2  2n
22) lim
n 
 4n  3
2 n 5  5n 4
2n 2  4 

 
5) lim 


4
n 
2
n

6
3
n
n

2


 3n  6 
6) lim 
 
n 
 n7 
n3

4n  7 n  5
2
5
 6n 2  4 

23) lim  2
n  3n  3 



6
1
 4n 2  1 2n  5
7) lim 

n 
4
 2n

 

 3n 2  1 2n  4
8) lim 

n 
4
 6n

 

 4n  2
6n 2  3n  7
9) lim 

n 
2
3n

3
8
n
10) lim

n   3n 2  2n  6

12) lim 
n 

4
8 n 10
4 n 3
 4n  3 
15) lim 

n 
 n2 
3n 2  3
5n
n 
 2n
2

 6n  1 
26) lim 1 

n 
3n 

6 

27) lim 1  
n 
 3n 
7n

5n

n
 6n 2  n  5 

29) lim  2
n  6 n  3n  2 


n2
 6n  4n  5 

30) lim  2
n 
 6n  7 n  1 
10 n 3  4 n 2  25
2


2 n3 3n 7

n2
3n 6
 6n  5 
31) lim 


n  6 n  2




n  2 1  2n 

32) lim 
n  3n  2 n n  2   n2 n  1 




1  2n 2
33) lim 
n  n  2 2  2 n  12

6n

 8n 3  3n 2  7 

17) lim  2
3
n 
 4n  n  2n 
5n
 n5
28) lim 
 
n  n  2


5n4

3n  3 

16) lim  5 

n 
n 

18) lim

 



8n 2  5n  1 


13) lim  5 
2
n 
4
n

3


n 
6 

25) lim 1  
n 
 3n 
n 3  n 
2
n 
14) lim
 5n 2  3  n 2
 
24) lim  2
n  6 n  1 


4n 2  3n  2n 
11) lim

 4n  3
9n 2  5n  1 

20) lim


n  
4n 2  7 n 
 9n  1
 n2  5
8
n 3

21) lim 
 3 
n 
2 
n
 2n
8n 2  7 n  1

2n 2  3
4) lim
10n
2
100




 n  2 
5n 3  7 n  6
34) lim 

2
n 
n4  2
 n  5
10n
35) lim

2
n 
n  3  9n 2  2n
2


 6  3n  1 
10n  3 

36) lim  6 

n 
5n  1 

2 n3





14
MATEMÁTICAS 4º ESO
Calcular los siguientes límites de sucesiones
n 
3n
1 

37) lim  1 
 
n 
7n 

 3n  1 
56) lim 

n  3n  2


n 
 4n
1
41) lim
.
n   8n
42) lim

43) lim
 5 n
n 
2



2


n 2  5 n 8
3n 7
 4n 2  1 6n 2  8


n
 2n



 

44) lim 4
n 
45) lim
n 
8 n 10
4 n 3
 2n
2
n 
n 

n 


65) lim
n 

52) lim
n 
7n

3  22n  1  43n  2 
5n  42  4n1  2n 
 4n
2


 6n  4n  10n  2 
2

2n 2  5n 
3n
2n  5

n  3n  8
SOLUCIONES:
1
1) ; 2)   ; 3) 0 ; 4) 2 ; 5)   ; 6) 729 ; 7)  ;
8
3
1
8) 1 ; 9) 0 ; 10) 0 ; 11)  ; 12) 0 ; 13)  ; 14)
;
4
16
5
5
3
15) 0 ; 16)  ; 17)  ; 18)  ; 19) ; 20)  ; 21) ;
2
6
2
1
22) 0 ; 23)
: 24) 1 ; 25) e10 ; 26)  ; 27) e 10 ; 28) e 3 ;
32
1
29)  ; 30) 1 ; 31) e 6 ; 32)
5
4
5
; 33) ; 34) 1 ; 35) ;
6
5
2
5
1
; 41)  ; 42) 0 ;
4
2
1
5
43)  ; 44)
; 45)  ; 46) 0 ; 47)  ; 48) ; 49)   ;
16
4
36)  ; 37) e ; 38) 1 ; 39)  ; 40)
4 n 2 1


 

3
3
7
 5n  1 
53) lim 
 
n   5n  4


 n2  2 

54) lim  2
n  n  2 


2n 2  n 
5n 4
4 n 2  5n  2 n 
2

 5n 2  2n  3 10n 2  4n  5
64) lim 

n 
2n 2
4n 2

 5  3n 2  4 . 8n 
 n 2  2n  1 

50) lim 
2
n 
 n 1 
n 

n 
  4 n  3 2 n 5  5n 4 2 n 2  4 

49) lim 


n 
3n 
n4  2
 2n  6
51) lim
3n

63) lim 


8 n 2  5n  1 

47) lim  5 
n 
4n 2  3 

48) lim
 n2 
60) lim 

n  5n  3



62) lim 7n  49n 2  10n 
n3

2
5n  7 n  3
46) lim
4n
4
8 n 3 1
n 
 5n  2 
59) lim 

n 
 5n  3 
 3n  5 
61) lim 
 
n 
 3n 
n 3 n 
2 n3 3

 2n 2  3 2n 2  3 

58) lim 

n 
3n  1 
 3n  1
 5n  2 n 
2

57) lim
 7 n  5n  7 n  8
39) lim  5
3
2
n 
 n  7 n  8n  7
40) lim
3n
4n  22  16n 2
n 
2  34  n 
8
1 

38) lim  1 
 
n 
7n 

5


55) lim 2n  4n 2  3n 
9
12
3
50) e ; 51)  ; 52)  8; 53) e 5 ; 54) e 16 ; 55) ;
11
4
16
4
56) e 3 ; 57)  ; 58) ; 59) e  4 ; 60) 0 ; 61) 1 ;
3
9
5
2
62) ; 63)
 2 ; 64) 0 ; 65) 0
7
2
14
15
MATEMÁTICAS 4º ESO
REPASO 2ª EVALUACIÓN
1.




Dados los vectores: u (  1, 0 ) , v (2,  1 ) , w (2 ,  5) , z (1 , 3 ) , determinar:
a)
b)




el ángulo que forman los vectores u y v

los siguientes productos escalares: u . v



; w.z ; u .z
c) Realiza la siguientes operaciones:
 
 
u v  w z




2 u  3 v   u  2 w 
 


3 u . v  . 2 w  3z 
 
 
2 u . v  . w . z 
 x 2t
2. Una recta tiene la siguiente ecuación: 
,
 y  1 t
a) ¿En que forma está expresada la ecuación?
b) Exprésala en las restantes formas
3. Halla la ecuación general de un recta que tiene por pendiente m =5 y pasa por el punto P(2,-3)
4. Dadas las rectas ax+2y+4=0 y 10x+bx-2 = 0, determina a y b para que dichas rectan se corten en el
punto (2,3)
5. Los tres vértices de un triángulo son los puntos P(2,1), Q (-1,2) y S(3,0). Calcula las ecuaciones de los
lados y exprésalas en forma explícita.
6. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto M (1,0) y es paralela a otra recta de ecuación
x 1 x  4

3
2
7. Calcula el valor de a para que las recta 3x+2y-4 =0 y 6x+2ay-3 = 0 sean paralelas
8. Halla las ecuaciones de las siguientes rectas “r”, “s” y di si son paralelas , secantes o coincidentes:
- r : la que pasa por los puntos M(-1,2) y N(-3,-5)
- s : la que pasa por el punto medio del segmento de extremos A(2,-49 Y b(-6, -2) y tiene por
pendiente m = -3/4
Halla también el punto de intersección de las rectas “r” y “s” con los ejes coordenados
9. Dadas las sucesiones:
an 
n2  1
;
n2
a) Halla el límite de cada una de ellas
b) Halla lim  an  cn  ; lim  an . bn
n
n
bn 

n1
n2
;
cn 
n2  1
n2
;
10. A partir de que término de cada una de las sucesiones siguientes la diferencia entre el término general
y el límite es menor que 0,01.
5n  1
3n  5
1
, su límite es 5
,
su límite es
a) a n 
; b) a n 
n6
6n  13
2
11. Calcula los siguientes límites de sucesiones:




4n2  1
a)
 n2  2
lim 
n    n 2  2
d)
 5n  3 2  25n2 
lim
n 12n2  3n  4  n 
 ;

b) lim  2n 
n 
;
e)

4n2  3n  

;
12n2
 7n  4n  1  5n3

lim 

n  n5  3n2  4 
5
3
 n2  3
c) lim 
n    n2  1




3n  3

MATEMÁTICAS 4º ESO
Calcular los siguientes límites de
sucesiones:
5
2
4n  3n  8
1) limn 
4
2
2n  5n  3
3
7
 4n  2



2
6n  3 
2
3n


8n10

4n 3
4) limn  4
2
8n  7n  1
limn 
2
2n  3
3n  3 

19) limn   5 

n 

 3n  6 
20) limn  

 n7 
7
 n  5 2

 14n2  3 7n  4 


 2n
4 


7) limn  
 2

8) limn   n  1  n 


26) limn 
3n  2n(n  2)  n(2n  1)

 14n2  3 7n  4 



 2n
4 


2n2
2
2
4n  5  9n  3
 3n
2n 


2n  7
8 


 n2  3 4n  7 

15) limn  

 2n
8n 


 2n  5  2n1

 2n  5 
16) limn 
2n  5
n3  3n  8


46) limn    n
6n2  2
 3n2 1
47) limn  
8n 3
32) limn 
3
8n  3
2
2n  5
 2n  3
33) limn  
 5n

2



49) limn  
8
5n

2
2
n
1 n




8
2
2n
n 2 5
1 n
2


 4
5
 n2  1  n2  4 




5
2


n
 7n 3  6n  1 

48) limn   
 7n 3  3n 


n  3  2n

31) limn   2 

n 1

3
 3n  2

 4n 
5n

7
45) limn    1 

 n2
6n2  3
 3n3  5n2  1

30) limn  
 2n  4n2 


5n
3
2n
2
 5n
4n 
44) limn   

 5n  3 n 2  1 


 5n2


2
 16n  8  9n  15 
13) limn 

2
16n  7 
 9n  3

 4n  3 

 n2 
5n
2 
 2n  1
n

43) limn   

 3n  2 5n 2  1 



 8n 
29) limn  
14) limn  


42) limn    1 
2
 6n2  4 

28) limn  
 6n2  3 




5n  3
41) limn    5 
 5n2  3 

12) limn  
 5n2  1 


 3n2  3
 n2  5 


6n
27) limn  
8n  10
4n  3
 2n
n2 1
6n2  3
 4n  5  2n3 3n1
n  2(1  2n)
n 2 1
 n 2  5  n 2 1


 2n 3  8n 

40) limn   
 3

 2n  7n  8 

1
5n
2n
3n
25) limn 
 8n2  7n  1  14n2  3 7n  4 

9) limn  


 2n
 2n2  3
4 



11)limn  
24) limn  5
 5n
 n 2  1  8n  3


39) limn  
 2

 n 1
3
5n  6 
2
5n  8n 

2
 3  9n
 2n  1 

 2n  2 
 2

23) limn   n  3  n 
8
4

2
37) limn   
38) limn  
 n  2 2
n
10) limn 
4n
6
22) limn  
2n  1
36) limn  
6n

5n 2  3
35) limn   4
5


21) limn  

 9n  1  4n  3 
2
 5n  8n
6) limn 
34) limn   n  2n  1
3 
 2n3
6n


 3n2  5 9n2  8 


2
3n  2n  6
3) limn  

 n3  8n 2n  3 



 3

5
 n  3n

18) limn  
n
2) limn 
5)
17) limn 
16
n
2
2
7
7
5
n
3
3 

n

50) limn    2n 
2


n 5

5n
Gasolina no depósito do coche ( en litros)
MATEMÁTICAS 4º ESO
17
“ A viaxe pola autopista “: A seguinte gráfica mostra como varia a cantidade de gasolina que
hai no depósito dun coche durante unha viaxe pola autopista:
30
20
10
0
100
200
300
400
500
Distancia percorrida ( en quilómetros )
 Responder ás seguintes cuestións razoando a resposta:
1) Canta gasolina había inicialmente no depósito?
2) Canta gasolina había no depósito logo de percorrer 240 quilómetros?
3) Se no depósito caben 40 litros, ¿ cando estaba cheo máis de medio depósito?
4) En cantas gasolineiras parouse?
5) En que gasolineira botouse máis gasolina?, por que o sabes?
6) Se non se parou en ningures, onde se quedou sen gasolina?
7) Se só se parou unha vez, onde ocorrería?
8) Canta gasolina usouse para os primeiros 200 km?
9) ¿Canta gasolina usouse para toda a viaxe?
10) ¿Cantos litros consome o coche por cada 100 km de autopista?
18
MATEMÁTICAS 4º ESO
FUNCIONES:
1.
Dadas las funciones:
f ( x)  5 x  2 ;
 2x  5

j ( x)   1  x
 x

g ( x) 
1  2x
; h( x )  x 2  4 ; i ( x ) 
5
x 1 ;
si x   4
si  4  x  1
si
x 1
a) Hallar el dominio de cada una de estas funciones
b) Calcular: f (2) ;
g (2) ; h (4) ; i (8) ;
j (  1)
c) Realizar las siguientes operaciones: g ( f ( x)) i (h( x))
d) Calcular la función inversa de g(x)
e) Representar gráficamente j(x)
2. Dadas las funciones:
f(x)  2 x 2  18 ;
g(x)  5 x  10 ; h(x) 
determinar: a) dominio de A(x), B(x) y C(x)
x2
x 2  25
b) f-1(x) , g-1(x) y h-1(x) .
c) f(g(x)) ; g(g-1(x)) ; h(g(x))
3. A la vista de la siguiente gráfica determinar:
a) Dominio de la función f(x)
c)
intervalos de crecimiento y decrecimiento
b) puntos de corte con los ejes
d) Coordenadas de los máximos, mínimos
e) asíntotas
19
MATEMÁTICAS 4º ESO
4. Dadas las funciones
f(x) 
 x  4 si x  2
x3
1
; g(x)  2
 ; h(x)  
x4
x  16
 1  x si x  2
determinar: a) dominio de f(x) y g(x)
b) f -1(x) y g -1(x)
c) representación gráfica de h(x)
5. Dada la función:
 2 x  5

F(x)   x
 8 x

6.
a.
b.
c.
d.
e.
determinar:
a) F(-5), F(-3), F(0), F(4), F(5)
b) representar gráficamente F(x)
A la vista de la siguiente gráfica determinar:
Dominio de la función f(x)
intervalos de crecimiento y decrecimiento
coordenadas de los máximos y mínimos relativos de la función
puntos de corte con los ejes
continuidad ;
f) asíntotas de la función
7. Dadas las funciones, determinar:
f(x)  x 2  2 x  3 ;
a)
b)
c)
d)
si x   3
si  3  x  4
si x  4
g(x) 
5
x2  9
3x  1 si x  1
; h(x)  2 x  8 ; i(x)  
2  x si x   1
dominio de f(x), g(x), h(x) y i(x)
g-1(x) y h-1(x)
g(h(x))
representar gráficamente f(x) y i(x)
20
MATEMÁTICAS 4º ESO
8. Á vista da seguinte representación gráfica, indicar:
a) Dominio da función G(x)
b) Intervalos de crecemento e decrecemento
c) Puntos de corte cos eixes
d) Asíntotas da función
-7
2
4
lim G(x) 
x  
6
e)
lim G(x)
x  
lim G(x) 
x  8 
lim G(x) 
x 8
lim G(x) 
x 0
lim G(x) 
x 0
lim G(x) 
x 4
lim G(x) 
x 4
9. Á vista da seguinte gráfica de f(x), determinar:
a)
b)
c)
d)
e)
Dominio da función f(x)
intervalos de crecemento e decrecemento
puntos de corte cos eixes
asíntotas
lim f ( x ) 
x  
;
f ( x) 
lim

x  2
;
f ( x) 
lim
x   2
;
-2
+2
lim f ( x ) 
x 
f ( x) 
lim

x  2
f ( x) 
lim
x   2
10. Á vista da seguinte gráfica de f(x), determinar:
a) Dominio da función f(x)
b) intervalos de crecemento e decrecemento
c) puntos de corte cos eixes
d) asíntotas
lim
x  
e)
f ( x) 
;
f ( x) 
lim
x  2
f ( x) 
lim
x  2
;
;
lim
x 
f ( x) 
f ( x) 
lim
x  2
f ( x) 
lim
x  2
-2
+2
MATEMÁTICAS 4º ESO
11. Calcular os seguintes límites de funcións:
3x
x2 2
x3  1
 2x  7 
a) lim

b) lim

c) lim 
 
2
x  2 x 
x1 x  3x  2
x2 x  2
x 3  3x 2  3x  1
e) lim

x 1
x2  x
 3x  5 
g) lim 

x 
 3x 
;
f) lim
x 0

;
d ) lim
x 1
4 x  2

2x
 2x
x2  5 

h) lim 

x  3x  1
5 x 

8x
21
3

12. Calcular os seguintes límites de funcións:
9 x  3
x 3  3x 2  3x  1
a) lim
 ; b) lim

2
x 1
x 0
3x
x 1
c)
 5x  4 
lim
x   5 x 
8x

;
 3x 2
x 2  5 

d) lim

x  2
5x 
5
x

1


4

13. Dadas as funciones:
f ( x) 
3x  2
;
5
g ( x )  1  2 x 2 ; h( x ) 
x2  4
; i ( x) 
x2  9
x 1 ;

  x si x   2

j ( x)   2 x  6
si  2  x  2
 x

si
x2
 2
a) Determinar o dominio de cada unha destas funcións
b) Calcular: f ( 2 ) ; g ( 0 ) ; h (1) ; i (  3 ) ;
j (  10 ) ; j ( 0,5 ) ; j(2) ; j(100)
c) Realizar as seguintes operacións: f ( g ( x)), h(i ( x))
d) Calcular a función recíproca de f(x) , g(x) y i(x)
e) Representar graficamente as funcións f(x), g(x) y j(x)
f)
Estudiar a continuidade da función j(x) en x = - 2 e en x = 2
14. Estudiar a continuidade das seguintes funcións f(x) nos puntos que se indican
 x2 1
 3
x  x2

f ( x)  

2


en x = 1
si x  1
;
si
x 1
 x 2  3x  2
si x  2

2
x

4

g ( x)  

3

si x  2

4
en x = 2
2
 21/ x

22
MATEMÁTICAS 4º ESO
SOLUCIONES:
8) a) Dom G(x) = R   0

b)
crece (,8) U (0,4) ;
9) a) Dom f(x) = R    2
decrece (8,0) U (4,)
c) (-3.0) (2,0) (6,0) ; d) x = 0
e)   ;   ; 0 ; 1 ;   ;   ; 1 ; 3
10) a) Dom f(x) = R    2, 2
b)
decrece (,2) U (0,2) ;
b)

crece (,5) U (2,) ;
decrece (5,2) U (2,2)
c) (-5,0) , (-3.0) (0,0) (7,0) ; d) x = -2
e)   ;   ;   ;   ;  1 ;  7

1
11) a)  3 b) ; c) e
4
crece (2,0) U (2,)
; h)  
21
2
1
; d) 1 ; e) 0; f ) ; g) e
8
40
3
c) (-3.0), (-1,0), (1,0),(5,0),(0,1) ; d) x = -2; x=2
e)   ;   ;   ;   ;   ;  6
1
12) a) 0 b) 
; c) e
18
32
5
13) a) Dom A(x) = R ; Dom B(x) = R ;
; d) 
Dom C(x) =
R    3,  3 ; Dom D(x) = (1,)
B) 4/5 ; 1 ; -5/8 ; non …. ; 10 ; 7 ; 10 ; 50
1  6x 2
x5
c)
;
;
5
5x  2
d)
;
3
x8
x 1
: x2  1
2
SOLUCIONES:
8) a) Dom G(x) = R   0

b)
crece (,8) U (0,4) ;
9) a) Dom f(x) = R    2
decrece (8,0) U (4,)
c) (-3.0) (2,0) (6,0) ; d) x = 0
e)   ;   ; 0 ; 1 ;   ;   ; 1 ; 3
10) a) Dom f(x) = R    2, 2
b)
decrece (,2) U (0,2) ;
b)

crece (,5) U (2,) ;
decrece (5,2) U (2,2)
c) (-5,0) , (-3.0) (0,0) (7,0) ; d) x = -2
e)   ;   ;   ;   ;  1 ;  7

1
11) a)  3 b) ; c) e
4
crece (2,0) U (2,)
; h)  
21
2
1
; d) 1 ; e) 0; f ) ; g) e
8
40
3
c) (-3.0), (-1,0), (1,0),(5,0),(0,1) ; d) x = -2; x=2
e)   ;   ;   ;   ;   ;  6
1
12) a) 0 b) 
; c) e
18
32
5
13) a) Dom A(x) = R ; Dom B(x) = R ;
; d) 
Dom C(x) =
R    3,  3 ; Dom D(x) = (1,)
C) 4/5 ; 1 ; -5/8 ; non …. ; 10 ; 7 ; 10 ; 50
1  6x 2
x5
c)
;
;
5
5x  2
d)
;
3
x8
x 1
: x2  1
2
23
MATEMÁTICAS 4º ESO
DERIVAR E SIMPLIFICAR
1. y  4x 3  7x 2  24x  8
4. y 
1 x2
2. y 
x 3 5x 2

 6x  100
3
2
5. y 
 8x  3
6x  5
8. y 
10
1 x2
3. y  3x 5  7x 2  4x
6. y 
x 2  3x
8
9. y 
 x 2  16 x
4
12.
y  x 1
7. y 
5
2x  3
10.
y  2x 3  x
13.
y  x 2  5x
14.
y  x 2  5x
15.
y
16.
2
y  ex 4
17.
ye x
18.
y  x. e 2x
19.
y  x3 . ex
20.
x 1
y  e x 1
21.
y

5
11.
3
x2
4

y  5 x 6  7x 2  1
5
1
x
ex
1 ex
22.
y  sen 5x  cos 5x
23.
y  sen 5x 2
24.
y
25.
y  cos e 2x
26.
y  sen5 x
27.
y  sen x 5
28.
y  e cos 2x
29.
y  sen
30.
y  Ln 5 x  3 
31.
y  Ln x 3  x 2  7
32.
y  Ln sen x 2
33.
y  x . Ln x
34.
y  x 3 Ln x 2
35.
y  sen Ln 2x  3 
36.
 2
y  Ln  e x 


37.
2
y  2 x 1
38.
y  x 6 . Ln  cos 6x 

 

40. y  cos x  sen x  . cos x  sen x 
43.
y  cos1  2x 
x2
46.
y  log
49.
y  5  2sen 3x 3
x 1
x 1


ex
4
5
39.
y
42.
y
45.
y  sen 5x  Ln 5x

48.
y  Ln
 
51.
y


41.
5

y  sen  x 2  25 


44.
y
47.
3
y  eLn x  3
2x 3
ex
4
1  sen 2x
cos 2x
1  3x

ex
50. y  8 x
sen 5x
cos 5x
4
 log8 x 4  x 4
1 x
1 x
1 x
1 x
24
MATEMÁTICAS 4º ESO
Derivadas (solución páxina 20)
1. y´ 12x 2  14x  24
4. y´ 
7. y´ 

 4x
2. y´ x 2  5x  6
5. y´ 

2
1 x2
 10
8. y´ 
2x  3 2

10. y´  30x  5  2x 3  x
13. y´ 
4
2x  5


6x  5 2
 20
x3


3
11. y´  120 x 5  56x 5x 6  7x 2  1
5

2x  5
5 x 2  5x
2
16. y´  2xe x  4
19. y´  1  x 3 . 3x 2 . e x
 58
14. y´ 
2 x 2  5x
3. y´ 15x 4  14x  4
17. y´ 
3
1
2 x
2x  3
8
9. y´ 
x8
2
12. y´ 
15. y´ 
4
1
2 x 1
1
2x x
18. y´  1  2x  e 2x
e x
2
6. y´ 
x 1
. e x 1
ex
21. y´ 
1  ex 2
23. y´ 10x cos 5x2
24. y´ 
5
25. y´  2e2x sen e2x
26. y´ 5 cos 5x . sen4 x
27. y´ 5x 4 cos x5
28. y´  2 sen 2x ecos 2x
29. y´ 
22. y´ cos 5x  sen 5x
31. y ´ 
3x 2  2x
x3  x2  7
20. y´ 
32. y ´ 
x  12
2
x  12
. sen
2x cos x 2
sen x 2
x 1
x 1
 2x cot ag x 2
34. y´  2x2  3 Ln x  1 
35. y ´ 
2
37. y ´ 2x 2x 1 . Ln 2
38. y´  6x5  Ln cos 6x   x tag 6x 
40. y ´   4 sen x cos x
43. y´ 
sen1  2x 

41. y´  10x x2  25
cos1  2x 
44. y´ 
 2

46. y´    1 log e
 x

47. y ´ 
49. y´  18 cos 3x 5  2sen 3x 2
2
cos Ln 2x  3
2x  3
4 cos  x2  255 
 15 x 3  6x 2
1  3x 
3x 2
x3  3

5
5x  3
33. y ´  Ln x  1
36. y´  2x
39. y´ 
42. y ´ 
20 x 3
ex
4
2 1  sen 2x 
cos2 2x
45. y ´  5 cos 5x 
1  3x
3
eLn x 3
30. y ´ 
cos 2 5 x

 4

1
50. y ´  4x 3  8 x 
log8  1
4
x


48. y ´ 
51. y´ 
1
x
1
1  x2

1
x 1 x
2
25
MATEMÁTICAS 4º ESO
DERIVADAS
1. Calcular aplicando a definición de derivada , a derivada da función:
f(x) = 2x2-x+5 en x = -1
2. Deriva e simplifica:
a) y  sen
 x2  4 x 
;
y  L  sen 5 x
c)
y  L ( x2  5x  3 )
b)

d) y  x3 · e3x
;
3. Calcula as seguintes derivadas:
a) y  2x 5 
1
 x
x2
d) y  L  1  x

· sen 2x
x  sen x
g) y 
cos x
b) y 
;
x2  1
e) y  e cos x
;
h) y  x2 . Ln 3x
c) y  x 3 cos x
;
x2  1
sen x 2
f) y 
;

i) y  5x 4  e20 x
;

3
4. Derivar as seguintes funcións , simplificando os resultados:
a) y 
1  cos 4x 
b) y 
e 3x
c) y  Ln
e 3x  3
x  12 . x3
x  1
5. Acha a ecuación da recta tanxente ás seguintes curvas nos puntos que se indican:
2x
a) y  x· Ln x
en x  1 ; b) y  1  2x
en x  4 ; c) y 
en x  2 ;
1 x
DERIVADAS
MATEMÁTICAS 4º ESO
1. Calcular aplicando a definición de derivada , a derivada da función:
f(x) = 2x2-x+5 en x = -1
2. Deriva e simplifica:
a) y  sen
 x2  4 x 
c)
;
b)
y  L  sen 5 x
y  L ( x2  5x  3 )

d) y  x3 · e3x
;
3. Calcula as seguintes derivadas:
a) y  2x 5 
1
x2
d) y  L  1  x
g) y 

x  sen x
cos x
 x
· sen 2x
;
;
b) y 
x2  1
;
2
x 1
e) y  e cos x
h) y  x2 . Ln 3x
;
;
c) y  x 3 cos x
f) y 

sen x 2
i) y  5x 4  e20 x

3
4. Derivar as seguintes funcións , simplificando os resultados:
a) y 
1  cos 4x 
b) y 
e 3x
e 3x  3
c) y  Ln
x  12 . x3
x  1
5. Acha a ecuación da recta tanxente ás seguintes curvas nos puntos que se indican:
2x
a) y  x· Ln x
en x  1 ; b) y  1  2x
en x  4 ; c) y 
en x  2 ;
1 x
MATEMÁTICAS 4º ESO
1. a) Expresa en grado sexagesimales los siguientes ángulos medidos en radianes:
b) Expresa en radianes:

,
2

, 2,
3
26
21

12
180º, 270º
C
2. Define seno, coseno y tangente de un ángulo
Aplícalo al siguiente triángulo ABC
Si AB = 6cm , AC = 8cm y BC = 10 cm. Calcula
En este triángulo el seno, coseno y tangente del ángulo B
A
B
3. El ángulo desigual de un triángulo isósceles mide 50º
Y el lado desigual mide 40 m. Determinar
a) la altura sobre el lado desigual
b) el lado x del triángulo, c) el área del triángulo.
x
4. El ángulo de elevación del extremo de una chimenea observado desde un punto del suelo
Situado a 42 m del pie es de 30º. Calcula la altura de la chimenea
30º
5. Dos radares A y B distan entre si 15 km y descubren un avión que está en el mismo plano vertical que ellos
bajo ángulos de 56 º y 42 º respectivamente. Calcular a que altura estará el avión y cuanto dista de los
radares.
6. Resuelve: a) 2x 2  x  1  0
;
b)
 2x  4    2x  5 
3
12
; c)
2x 3  x 2  6x  0
7. Una compañía de internet cobra 36 € cuota mensual y tiene una tarifa de 0,05 €/minuto y otra compañía
cobra 25 € por la cuota mensual más 0,09 € / minuto. ¿ A partir de cuantos minutos al mes es más
económica la primera empresa?
8. Calcula los lados y las áreas de los triángulos rectángulos dibujados. Explica que teorema estas usandos
en cada caso e identifica: catetos, hipotenusa, proyecciones , altura, …..
1.
Determinar los valores de a, b, c en la siguiente figura:
90º
90º
30 cm
60 cm
5 cm
5cm
3cm
90º