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TORNEO DE PRIMAVERA 2012
CUENCA DEL PLATA PRIMER NIVEL
Primera Prueba
Lee con atención:
1- Es posible consultar libros o apuntes y usar calculadora.
2- Solamente se pueden usar los elementos propios.
3- Durante la prueba no está permitido usar celulares ni computadoras.
4- Escribe con la respuesta los cálculos y lo que pensaste para resolver el problema.
5- No se responderán preguntas sobre los enunciados de los problemas. La
interpretación debe hacerla cada participante.
PROBLEMAS
1- Hallar el valor del ángulo a indicado en la figura, formada por dos cuadrados.
2- Sea ABC un triángulo equilátero de perímetro 12 cm y P cualquier punto en el
interior del lado BC. Por P se trazan paralelas a los lados AB y AC, que interceptan a
AC y AB en Q y R respectivamente. Calcular el perímetro del paralelogramo ARPQ.
3- Cada lado del cuadrado de la figura se ha dividido en 4 partes iguales de longitud 1.
Para pintar la región sombreada se usaron 3 litros de pintura azul ¿Cuántos litros de
pintura roja será necesaria para pintar todo el cuadrado?
TORNEO DE PRIMAVERA 2012
CUENCA DEL PLATA SEGUNDO NIVEL
Primera Prueba
Lee con atención:
1- Es posible consultar libros o apuntes y usar calculadora.
2- Solamente se pueden usar los elementos propios.
3- Durante la prueba no está permitido usar celulares ni computadoras.
4- Escribe con la respuesta los cálculos y lo que pensaste para resolver el problema.
5- No se responderán preguntas sobre los enunciados de los problemas. La
interpretación debe hacerla cada participante.
PROBLEMAS
1- Calcular la suma de los ángulos A, B y C marcados en la figura, sabiendo que el
ángulo marcado en D mide 120º.
B
D
120°
C
A
2- Con cerámicos rectangulares de 4cmx10cm se desea formar un cuadrado, sin huecos
ni superposiciones. ¿Cuál es la menor cantidad de cerámicos que se necesita para formar
el cuadrado?
3- Desde un punto en el interior de un rectángulo las distancias a tres de los vértices del
rectángulo son 2cm, 2cm y 3cm. Hallar la distancia del punto al vértice restante.
TORNEO DE PRIMAVERA 2012
CUENCA DEL PLATA TERCER NIVEL
Primera Prueba
Lee con atención:
1- Es posible consultar libros o apuntes y usar calculadora.
2- Solamente se pueden usar los elementos propios.
3- Durante la prueba no está permitido usar celulares ni computadoras.
4- Escribe con la respuesta los cálculos y lo que pensaste para resolver el problema.
5- No se responderán preguntas sobre los enunciados de los problemas. La
interpretación debe hacerla cada participante.
PROBLEMAS
1- Hallar el área del cuadrilátero EFGH inscripto en el paralelogramo ABCD de
10 cm2 de área, sabiendo que el segmento EG es paralelo a AB.
2- Pedro tiene baldosas cuadradas para hacer un piso cuadrado usando todas. Pero
observa que le sobran 7 ó le faltan 10. ¿Cuántas baldosas tiene Pedro?
3- Dado el cubo ABCDEFGH de arista 2, O es el centro del cuadrado ABFE. Una
hormiga camina de H hasta O y de O hasta G, caminando solamente por dos caras.
¿Cuánto mide el recorrido más corto?
SOLUCIONES
PRIMER NIVEL
Problema 1- Dado que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º, en el
triángulo de la figura el opuesto a la base mide 106º, ya que los de la base son 29º y
45º.En el cuadrilátero donde está el ángulo a, siendo la medida de los otros ángulos 90º,
106º y 90º, resulta a= 74º, dado que la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero
mide360º.
Una visualización simple, siempre muy interesante en los problemas geométricos, que
corrobora lo dicho es la siguiente:
Si desplazamos el cuadrado de la derecha hasta hacer coincidir los vértices sobre la
recta que los sustentan como se ve en la figura, se observa que los ángulos sombreados
son iguales, pues los lados que los forman son correspondientemente paralelos.
Por lo tanto el ángulo buscado es 180º - 61º - 45º = 74º.
“ Mirar y Ver “ como repetía el Dr. Miguel de Guzmán, que tantas veces nos honró con
su presencia en los Seminarios de OMA.
Problema 2-.
El triángulo ABC es equilátero, por lo tanto los ángulos en los vértices A, B y C miden
60º. Como QP es paralelo a AR, el ángulo marcado en Q mide 60º. Del mismo modo,
como RP es paralelo a AQ, el ángulo marcado en Q también mide 60º.
En cada uno de los triángulos RBP y QPC, dos de sus ángulos miden 60º, luego son
triángulos equiláteros. El perímetro del paralelogramo ARPQ puede calcularse como:
2 (RP + PQ) = 2 (BP + PC)
Como BP + PC es el valor del lado del triángulo, que es 4cm, pues el perímetro es
12 cm, resulta que el perímetro del paralelogramo ARPQ es 8cm.
Problema 3 - Trazando paralelas a los lados del
cuadrado por los puntos determinados al dividir
cada lado en 4 partes iguales, el cuadrado resulta
disecado en 16 cuadraditos ó 32 triángulos
rectángulos, mitades de dichos cuadraditos.
Si se cortaran y reordenaran estas piezas, puede
formarse la figura, donde se advierte que las
piezas de las franjas sombreadas se disponen en 6
de los cuadraditos, y dado que fueron pintadas con
3 litros de pintura, cada litro de pintura cubre 2
cuadraditos. Luego, son necesarios 8 litros de
pintura para cubrir los 16 cuadraditos que forman
el cuadrado original.
SEGUNDO NIVEL
Problema 1- Si se divide la flecha en dos triángulos trazando la diagonal interior DB,
se obtiene que la suma de los triángulos interiores de la flecha es 2x180º = 360º.
Luego como el triángulo interior en D mide 360º - 120º = 240º, resulta la suma de los
ángulos A + B + C = 360º - 240º =120º.
Problema 2- El área de un cuadrado formado con estos cerámicos es igual al área de
un cerámico multiplicada por el número de cerámicos. Como el lado del cuadrado se
forma con lados de los cerámicos, algunos de 4 cm y otros de 10 cm, su área es una
cantidad entera de centímetros cuadrados. Así, el área es por una parte un múltiplo de
40 y por otra es un cuadrado perfecto. Buscando entre éstos el primero que sea múltiplo
de 40, encontramos que es 400 = 20 x 20 = 40 x 10. Luego el mínimo número de
cerámicos necesarios para armar un cuadrado es 10.
Para facilitar la búsqueda, podemos expresar 40 = 2x2x2x5 y el menor múltiplo de 40
que es un cuadrado perfecto se obtiene multiplicando este número por 2 y por 5, para
obtener 40x10 = 42x5 2.
Problema 3- Trazando paralelas a los lados del rectángulo por el punto interior, se
forman 4 rectángulos; dos de ellos comparten un lado y sus diagonales miden 2cm, es
decir son iguales. Los otros dos comparten un lado entre sí y otro lado con los
rectángulos iguales, de manera que éstos también son iguales y sus diagonales miden
3cm, que es la distancia pedida del punto al cuarto vértice.
TERCER NIVEL
Problema 1- L os triángulos EFG y EBG tienen la misma base EG e igual altura, pues
EG y AB son paralelas; luego tienen igual área. De modo que
área EFGH= área EFG + área EGH= área EBG + área EGH
Por las mismas razones, área EGH = EGC. Luego.
área EFGH = área EBC
Finalmente, por el mismo principio:
área EBC = área DBC y como BD es diagonal de ABCD, resulta
área EFGH = área DBC = 5cm2
Problema 2- Para pasar de un piso cuadrado al inmediato superior, son necesarios un
número impar de baldosas
Por ejemlo, para pasar del 1x1 al 2x2 son necesarias 3 baldosas, para pasar del 2x2 al
3x3 son necesarias 5 baldosas, etc Los sucesivos cuadrados pueden ser expresados
como:
1=1
22 = 1 + 3
32 = 1 + 3 + 5
42 = 1 + 3 + 5 + 7
52 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9
Como a Pedro le sobran 7 ó le faltan 10, hay 17 baldosas entre el cuadrado que Pedro
puede hacer, donde le sobran 7 y el cuadrado que Pedro no puede hacer porque le faltan
10. Estos cuadrados serán:
8 2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15
9 2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17
De donde resulta que Pedro tiene 71 baldosas, dado que 64 + 7 = 81 – 10 = 71.
También podemos pensar el problema como sigue: llamamos x al número de Baldosas
que tiene Pedro y t2 el número de baldosas que necesita para formar el cuadrado para el
que le sobran 7, de modo que x = t2 +7. Para el otro cuadrado precisa y2 baldosas y le
faltan 10, de modo que x = y2- 10. Debemos resolver el sistema:
x– 7 = t2
x + 10 = y2
Y para ello restando de la segunda ecuación la primera, miembro a miembro, se tiene:
17 = t2-y2 = (t – y).(t + y)
Como los únicos divisores de 17 son 1 y 17, resulta el sistema:
t– y= 1
t + y = 17
de donde sumando miembro a miembro ambas ecuaciones, resulta 2t = 18 es decir
t = 8, y = 9 y por consiguiente, x = 64 + 7 = 71 = 81 – 10
Pedro tiene 71 baldosas.
Problema 3- Si desarrollamos el cubo mostrando sólo las caras que contienen los 3
puntos H, G y O, se pueden tomar los caminos recorridos por segmentos, para obtener
el camino más corto, como se muestra en la figura.
Como las aristas del cubo miden 2, estos segmentos son hipotenusas de triángulos
rectángulos cuyos catetos miden 3 y 1 ( pues O es el centro del cuadrado ABFE), es
decir los segmentos miden √10 y en consecuencia el menor recorrido será 2√10.
De los cuatro recorridos posibles de longitud √10, hay un único que camina sólo por 2
caras, como pide el problema
CUENCA DEL ALTO PARANÁ
Soluciones - Primer Nivel
Problema 1: Si se traza una recta m paralela a r que pase por el centro
del rectángulo, éste quedará seccionado en dos trapecios iguales. En efecto,
trazando paralelas a los lados del rectángulo por los puntos de intersección de
m con el borde del rectángulo, como muestra la …gura, se forman dos triángulos
iguales, uno en cada trapecio. La igualdad de estos triángulos se debe a que
tienen un par de ángulos iguales, alternos internos entre paralelas, y el lado
adyacente a estos ángulos, es común.
Figura 1
Por otra parte, hay dos rectángulos, uno en cada trapecio. Estos rectángulos
tienen uno de sus lados igual a un lado del rectángulo dado como se observa
en la Figura 1. En la Figura 2, al trazar la diagonal del rectángulo, quedan
formados 2 triángulos que resultan iguales por tenerlos 3 ángulos iguales y un
par de lados correspondientes de igual longitud, precisamente los lados que se
encuentran sobre la diagonal del rectángulo.
Figura 2
1
Los lados opuestos al vértice común en estos triángulos son lados de los rectángulos anteriormente considerados en cada trapecio, y por lo tanto dichos
rectángulos son iguales
Comentario: Otra solución más simple se apoya en el hecho que el rectángulo
(o un paralelogramo) es simétrico respecto de su centro, es decir, si el rectángulo
se hiciera rotar 180o alrededor de su centro, se obtiene el mismo rectángulo
mientras que los trapecios en ambos lados de la recta m, se superponen uno en
el otro.
Problema 2: En el triángulo BCD, su base CD es un tercio de la base AC
de ABC, mientras que la altura correpondiente en BCD y ABC es común. El
área de BCD es entonces 13 del área de ABC, es decir 4cm2 . Luego el área
de ABD es 8cm2 . Como AED y EBD comparten la altura sobre AE y EB
respectivamente, y AE = EB, resulta que AED y EBD tienen la misma área,
o sea, ambas áreas miden 4m2 .
Problema 3: El cubo quedará formado por 3 pisos de 9 dados cada uno. Cada
piso puede tomar uno de los tipos que se muestra en la …gura:
Dos pisos vecinos deberán ser de tipo distinto por las condiciones de ensamble,
es decir, necesariamente el cubo tendrá dos pisos de un tipo y uno de otro
tipo. En cada piso hay 5 dados de un color, negro o blanco, y 4 del otro color,
respectivamente blanco o negro. Por ejemplo, la situación siguiente:
En conclusión, se necesitan 14 dados de un color y 13 dados del otro color.
2
CUENCA DEL ALTO PARANÁ
Soluciones - Segundo Nivel
Problema 1: El triángulo puede ser descompuesto en 3 triángulos, todos ellos con una altura de 2cm y los distintos lados del triángulo como las bases
correspondientes, tal como lo ilustra la …gura.
La suma de las áreas de estos 3 triángulos coincide con el área del triángulo
dado y de alli se obtiene que el perímetro buscado es 21cm.
Problema 2: El tirante puede cortarse en forma longitudinal en cuatro partes
para pegar las piezas de a 2 como se indica en la …gura.
Problema 3: Juntando los caminos recorridos por los amigos que salen desde
las esquinas opuestas A y C, se obtiene un camino desde A hasta C, sin vueltas
ni retrocesos, lo que equivale en cuadras, a un camino desde A a B y desde B
hasta C como se ve en la …gura:
3
Análogamente ocurre con los amigos que salen desde las esquinas opuestas B y
D. Se conluye que el perímetro de la ciudad es de 60 cuadras. El número de
cuadras desde A hasta B por el número de cuadras desde B hasta C es 200, por
coincidir con el número de manzanas de la ciudad. Por otra parte, el número
de cuadras desde A hasta B más el número de cuadras desde B hasta C es
30. Descomponiendo 200 en factores primos, resulta 200 = 2 2 2 5 5 y
los números de cuadras buscados surgen de una descomposición de 200 en dos
factores cuya suma sea igual a 30. Estos dos factores se obtienen distribuyendo
los primos 2; 2; 2; 5; 5 en dos grupos. Si los dos 5 quedan en un mismo grupo,
el factor correspondiente será 25 pues este grupo no admite otro primo por que
superaría a 30 y el otro factor debe ser 8. En este caso la suma supera a 30.
Los 5 deben estar, uno en cada factor; los 2 no pueden estar todos en un mismo
factor, por los tanto ambos factores deben ser múltiplos de 10, y no hay otra
solución que 10 y 20.
Comentario: Para quienes conozcan la ecuación cuadrática, si a y b son los
lados del rectángulo, a + b = 30 y ab = 200 lleva a la ecuación :
x2
cuyas raíces son:
30
30x + 200 = 0
p
900
2
es decir 20 y 10.
4
800
CUENCA DEL ALTO PARANÁ
Soluciones - Tercer Nivel
Problema 1: Con las notaciones de la …gura, el farol no será mojado si la
distancia entre E y F es mayor que 8.
Para calcular dicha distancia, aplicamos dos veces Pitágoras:
AC 2
EF 2
=
36 + 25 = 61
y
= 61 + 4 = 65
p
Se concluye que EF = 65 > 8.
Problema 2: Solución 1: Usaremos el siguiente principio: Si un cuadrilátero
tiene sus diagonales perpendiculares, entonces su área es un medio del producto
de las diagonales.
El hexágono regular se puede descomponer en 6 cuadriláteros en la situación
mencionada, donde en cada uno de ellos una diagonal es un lado del hexágono
inscripto y la otra es igual al lado r del hexágono regular. El área del hexágono
5
regular es, por una parte, la suma de las áreas de los 6 cuadriláteros que lo
componen, esto es 12 p r, donde p es el perímetro del hexágono inscripto. Por
otra parte, es igual a perímetro por apotema sobre 2, es decir 12 6r 2 = 6r.
Igualando ambos resultados y simpli…cando se obtiene p = 12cm.
Solución 2: Usaremos el siguiente principio: En un triángulo isósceles ABC,
si desde un punto P en la base AB se trazan los segmentos P Q y P R perpendiculares a los lados iguales, como lo muestra la …gura, la suma P Q + P R = h,
donde h es la altura correspondiente a los lados iguales.
Esta situación se aplica a cada uno de los triángulos equiláteros que componen
el hexágono regular, donde el punto P es, en cada caso, un vértice del hexágono
inscripto. Luego el perímetro del hexágono inscripto es 6 veces la altura del
triángulo equilátrero, es decir 6 veces la apotema del hexágono regular, igual a
12cm.
Problema 3: La diagonal BD del cuadrilátero, descompone a la altura h del
triángulo ACE en los segementos h0 y h" según muestra la …gura.
El área del cuadrilátero es igual a la del triángulo ABD más la del triángulo
BCD, es decir:
1
BD
2
1
h" + BD
2
h0 =
1
BD
2
(h" + h0 ) =
1
BD
2
h
Dado que AE = BD, el área de ACE resulta igual a la del cuadrilátero ABCD,
es decir a 9cm2 .
6
12/07/13
OMA - Olimpíada Provincial
1era Ronda Olimpíadas Regionales - 2011
Torneo: Corredor de los Fortines y Costa Atlántica
Torneo: Cuenca del Salado
Torneo: Golfo San Jorge
Torneo: Noroeste Argentino
Torneo: Noreste Argentino
Olimpíada Provincial de Entre Ríos
Olimpíada Provincial de Córdoba
Olimpíada Provincial de Santa Fe
Olimpíada Provincial de La Pampa
Primer Nivel
Problema 1.
En la figura hay dos cuadrados; además hay un círculo en cada vértice y en cada punto donde se cruzan los dos
cuadrados. Ubicar en los círculos vacíos los números enteros de 1 a 8 inclusive, sin repetir, de manera que la
suma de los cuatro números escritos en cada lado de cada cuadrado sea siempre la misma.
Problema 2.
Hay 16 números enteros positivos consecutivos escritos en el pizarrón. Ana calcula la multiplicación de todos los
números y Leo calcula la suma de todos los números.
Determinar si es posible que los últimos tres dígitos del resultado de Ana sean los mismos y en el mismo orden
que los últimos tres dígitos del resultado de Leo.
(Si la respuesta es afirmativa, indicar un ejemplo, y si es negativa, justificar el porqué.)
Problema 3.
Sea ABCD un cuadrilátero convexo con sus ángulos y mayores que 90º, y sea O el punto de intersección
de sus diagonales. Consideramos M en el segmento AO tal que BM es paralelo a CD, y N en el segmento DO
tal que CN es paralelo a AB. Demostrar que el área del triángulo AMN es igual al área del triángulo DMN.
www.oma.org.ar/enunciados/prov11.htm
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12/07/13
OMA - Olimpíada Provincial
Segundo Nivel
Problema 1.
Se tiene un tablero cuadrado de
dividido en cuadraditos de
. Hay que pintar cada cuadradito de azul o
de rojo de manera que para cualquier elección de dos filas y dos columnas, los cuatro cuadraditos de su
intersección no se encuentren pintados del mismo color.
Problema 2.
Ale escribió un número n de cuatro dígitos divisible por 7 y tal que el número de cuatro dígitos que se obtiene al
escribir los dígitos de n en orden inverso sea mayor o igual que n y sea también divisible por 7. Además, los dos
números tienen el mismo resto en la división por 37. Calcular los números que puede haber escrito Ale.
Problema 3.
Sean ABC y BDE dos triángulos iguales con
tales que los vértices B, C y D pertenecen a una
recta, con C entre B y D, y los vértices A y E están en el mismo semiplano respecto de la recta BD. Si AB = BD
= 4 y BC = DE = 3, calcular el área de la región común a los triángulos ABC y BDE.
Tercer Nivel
Problema 1.
En el pizarrón están escritos los números enteros desde 1 hasta 57 inclusive. La operación permitida es elegir
dos o tres números escritos, calcular su suma, dividir la suma por 11 y escribir en el pizarrón el resto de esta
división, aun en el caso en que éste sea igual a 0. Luego, borrar los números elegidos.
Después de realizar esta operación varias veces, quedan en el pizarrón solo dos números, y uno de ellos es 43.
Determinar, si es posible, el otro número que quedó en el pizarrón.
Problema 2.
Sean A la media aritmética y G la media geométrica de dos números positivos x e y, con
, calcular
. Si
.
ACLARACIÓN: La media aritmética de dos números positivos x e y es
dos números positivos x e y es
. La media geométrica de
.
Problema 3.
Sea ABC un triángulo con AB = AC y
www.oma.org.ar/enunciados/prov11.htm
. Sean Q en AB y R en BC tales que
, y sea
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12/07/13
OMA - Olimpíada Provincial
P el punto de intersección de AR y CQ. Si PR = 10, hallar la medida del segmento BR.
Archivo de Enunciados
Página Principal
mensajes [email protected]
www.oma.org.ar/enunciados/prov11.htm
Olimpíada Matemática Argentina
www.oma.org.ar | [email protected]
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12/07/13
OMA - Olimpíada Provincial
1era Ronda Olimpíadas Regionales
Torneo: Urbana - Metropolitana - 2011
Primer Nivel
Problema 1.
En la figura hay dos cuadrados; además hay un círculo en cada vértice y en cada punto donde se cruzan los dos
cuadrados. Ubicar en los círculos vacíos los números enteros de 1 a 9 inclusive, sin repetir, de manera que la
suma de los cuatro números escritos en cada lado de cada cuadrado sea siempre la misma.
Problema 2.
Hay 16 números enteros positivos consecutivos escritos en el pizarrón. Ana calcula la multiplicación de todos los
números y Leo calcula la suma de todos los números.
a) Determinar si es posible que los últimos tres dígitos del resultado de Ana sean los mismos y en el mismo orden
que los últimos tres dígitos del resultado de Leo.
b) Determinar si es posible que los últimos cuatro dígitos del resultado de Ana sean los mismos y en el mismo
orden que los últimos cuatro dígitos del resultado de Leo.
(En cada caso, si la respuesta es afirmativa, indicar un ejemplo, y si es negativa, justificar el porqué.)
Problema 3.
Sea ABCD un cuadrilátero con sus ángulos y mayores que 90º, y sea O el punto de intersección de sus
diagonales. Consideramos M en el segmento AO tal que BM es paralelo a CD, y N en el segmento DO tal que
CN es paralelo a AB. Demostrar que el área del triángulo AMN es igual al área del triángulo DMN.
Segundo Nivel
www.oma.org.ar/enunciados/urb-met11.htm
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12/07/13
OMA - Olimpíada Provincial
Problema 1.
Ale escribió un número n de cuatro dígitos divisible por 7 y tal que el número de cuatro dígitos que se obtiene al
escribir los dígitos de n en orden inverso sea mayor o igual que n y sea también divisible por 7. Además, los dos
números tienen el mismo resto en la división por 37.
Calcular los números que puede haber escrito Ale.
ACLARACIÓN: Los dígitos de n no son necesariamente distintos.
Problema 2.
Se tienen 8 cubitos blancos, de arista 1. Mariano tiene que pintar 24 caras de cubitos de azul y 24 caras de
cubitos de rojo. A continuación, Leonel tiene que armar con estos cubitos un cubo de
. Si la superficie
del cubo de
tiene la misma cantidad de cuadraditos azules que de rojos, gana Leonel. Si no, gana
Mariano.
Determinar si Mariano puede pintar los cubitos de modo que a Leonel le sea imposible lograr el objetivo.
Problema 3.
Sean ABC y BDE dos triángulos iguales con
tales que los vértices B, C y D pertenecen a una
recta, con C entre B y D, y los vértices A y E están en el mismo semiplano respecto de la recta BD.
Si AB = BD = 4 y BC = DE = 3, calcular el área de la región común a los triángulos ABC y BDE.
Tercer Nivel
Problema 1.
En el pizarrón están escritos los números enteros desde 1 hasta 1234 inclusive. La operación permitida es elegir
dos o tres números escritos, calcular su suma, dividir la suma por 11 y escribir en el pizarrón el resto de esta
división, aun en el caso en que éste sea igual a 0. Luego, borrar los números elegidos.
Después de realizar esta operación varias veces, quedan en el pizarrón solo dos números, y uno de ellos es
1000. Determinar, si es posible, el otro número que quedó en el pizarrón.
Problema 2.
Sean A la media aritmética y G la media geométrica de dos números positivos x e y, con
a) Si
, calcular
.
b) Demostrar que hay un único par de enteros positivos distintos (x, y) tales que
ACLARACIÓN: La media aritmética de dos números positivos x e y es
www.oma.org.ar/enunciados/urb-met11.htm
.
.
. La media geométrica de
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12/07/13
OMA - Olimpíada Provincial
dos números positivos x e y es
.
Problema 3.
Sea ABC un triángulo con AB = AC y
. Sean Q en AB y R en BC tales que
P el punto de intersección de AR y CQ. Si PR = 10, hallar la medida del segmento BR.
Archivo de Enunciados
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www.oma.org.ar/enunciados/urb-met11.htm
, y sea
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12/07/13
OMA - Olimpíada Matemática Argentina
1° Torneo Pampero Argentino
1° Torneo Central Argentino
1° Torneo del Norte Argentino
Segunda Ronda Olimpíadas Regionales
2009
Nivel A
Problema 1. En un examen, el promedio de las notas de todos los alumnos que aprobaron es 6,5 y el promedio
de las notas de todos los alumnos que no aprobaron es 3,5. El promedio de las notas de todos los alumnos que
rindieron el examen es 5,3. ¿Cuál es el porcentaje de alumnos que aprobaron el examen?
Problema 2. Con tres dígitos distintos A, B, C se forman los tres números enteros positivos ABC, BCA, CAB.
La multiplicación de los tres números ABC ´ BCA ´ CAB es un número de 9 cifras que se forma con los dígitos
2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 8. Se sabe además que el dígito de las unidades es el 6. ¿Cuáles son los tres dígitos A, B,
C?
Problema 3. En la figura, ABCD, KLMN y PQRS son cuadrados.
AK = BL = CM = DN = 5 cm,
KB = LC = MD = NA = 12 cm,
KP = LQ = MR = NS = 6 cm,
PL = QM = RN = SK.
¿Cuál es el área del cuadrado PQRS?
Primer nivel
Problema 1. Se deben repartir exactamente 99 monedas entre varias personas con el siguiente procedimiento:
La primera persona recibe 1, 2 o 3 monedas. La segunda persona recibe una moneda más o una moneda menos
que la primera; la tercera persona recibe una moneda más o una moneda menos que la segunda, y así siguiendo,
cada persona recibe una moneda más o una moneda menos que la anterior.
Determinar el menor número de personas con el cual se puede hacer el reparto.
Para el número hallado, ¿de cuántas maneras se puede hacer el reparto?
Problema 2. Hallar todos los números enteros positivos de seis dígitos abcdef que son divisibles por el
www.oma.org.ar/nacional/enunc - 2da ronda reg09.htm
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12/07/13
OMA - Olimpíada Matemática Argentina
producto (multiplicación) de los dos números de tres dígitos abc por def.
Nota: Entre los dígitos a, b, c, d, e, f puede haber repeticiones.
Problema 3. Sea ABCD un trapecio de bases AB y CD, y lados no paralelos BC y DA, y una
semicircunferencia con centro en el segmento AB y tangente a los otros tres lados del trapecio. Si AB = 15 y DA
= 6, calcular la medida de BC.
Nota: Si P es un punto de una circunferencia de centro O, la recta tangente a la circunferencia en P es
perpendicular al radio OP.
Segundo nivel
Problema 1. Ariel distribuye 2009 piedras en pilas. Sea x el número de pilas e y la cantidad de piedras que
contiene la pila con mayor cantidad de piedras. Determinar el menor valor posible de x + y.
Nota: Las cantidades de piedras en las pilas pueden repetirse.
Problema 2. Se colorea un tablero de 8 ´ 8 con tres colores (verde, amarillo y rojo). Una coloración se llama
apropiada si al colocar sobre el tablero una pieza como la del dibujo, cubriendo exactamente 5 casillas del
tablero, entre las 5 casillas cubiertas siempre hay por lo menos una de cada color.
Demostrar que el número de coloraciones apropiadas es mayor o igual que 68.
Nota: La pieza se puede girar.
Problema 3. Sea ABC un triángulo y D, E puntos de los lados AB, BC respectivamente, tales que
Sea P un punto en el lado AC. Demostrar que si DE es perpendicular a PE entonces PE es la bisectriz del
ángulo
, y recíprocamente, si PE es la bisectriz del ángulo
.
entonces DE es perpendicular a PE.
Tercer nivel
Problema 1. Hallar todas las soluciones enteras positivas a, b, c de la ecuación
.
Problema 2. Un tablero de 3 ´ n está dividido en cuadraditos de 1 ´ 1. Se tienen fichas de 1 ´ 1 y de 2 ´ 1
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que cubren exactamente uno y dos cuadraditos del tablero, respectivamente. Calcular la cantidad de maneras
diferentes de cubrir completamente el tablero (sin huecos ni superposiciones y sin sobresalir del tablero), si cada
ficha de 2 ´ 1 debe ubicarse con el lado mayor paralelo al lado de longitud 3 del tablero y además, dos de estas
fichas nunca pueden tocarse entre si.
Problema 3. En el pizarrón había dibujado un triángulo acutángulo ABC y un punto interior M con la siguiente
propiedad: las rectas trazadas por M que son perpendiculares a los lados BC, AC y AB cortan a estos lados en
P, Q, R respectivamente de modo que el triángulo PQR es equilátero. Se borró todo menos los tres puntos A, B,
C. Hallar un procedimiento para marcar nuevamente el punto M.
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XI OLIMPÍADA PROVINCIAL DE ENTRE RÍOS - 2007
Primer Nivel
Problema 1. Decidir si es posible armar un rectángulo de 39 ´ 44 sin huecos ni superposiciones, usando
exclusivamente piezas rectangulares de 5 ´ 11. ¿Y si el rectángulo que se quiere armar es de 42 ´ 55?
En cada caso, si la respuesta es afirmativa, dar un ejemplo y en caso contrario, explicar por qué.
ACLARACIÓN: En todos los casos está permitido girar las piezas.
Problema 2. Sea ABC un triángulo tal que
y
. Se marca en el lado AB el punto D tal que
. Se traza por D la paralela a BC, que corta a AC en L. Determinar la medida del ángulo
.
Problema 3. Se tienen 8 monedas, todas de igual aspecto, entre las hay monedas falsas. Se sabe que hay al
menos una moneda auténtica y al menos una falsa. Todas las monedas auténticas tienen el mismo peso, y todas
las falsas tienen igual peso. Las falsas son más livianas que las auténticas. Demostrar que es posible determinar la
cantidad de monedas falsas, usando a lo sumo 5 veces una balanza de dos platos.
ACLARACIÓN: En cada pesada, la balanza de platos compara los pesos de los objetos colocados en los
platos y establece si el peso de los objetos de un plato es igual, menor o mayor que el peso de los objetos
colocados en el otro plato.
Segundo Nivel
Problema 1. En el tablero de 4 ´ 4 se han escrito, en clave, los números naturales desde el 5 al 20 inclusive, sin
repetir. La suma de los cuatro números de cada fila y la suma de los cuatro números de cada columna es
siempre la misma. Además, el número de la casilla superior izquierda es impar. Cada letra representa un dígito
distinto y letras diferentes representan dígitos diferentes. Determinar a qué dígito corresponde cada letra.
Problema 2. Tres ciclistas Axel, Bruno, César corren alrededor de una pista circular. Los tres salen al mismo
tiempo, desde el mismo lugar de la pista y en el mismo sentido, y los tres se detienen al mismo tiempo cuando
están todos nuevamente en un mismo lugar de la pista. Durante la práctica, César pasó 20 veces a Axel.
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Determinar cuántas veces un ciclista pasó a otro a lo largo del entrenamiento, si se sabe que César es más veloz
que Bruno y Bruno es más veloz que Axel.
Problema 3. Demostrar que todo triángulo se puede cortar en 4 triángulos isósceles (no necesariamente
iguales).
Tercer Nivel
Problema 1. Calcular el valor de la expresión
donde se han multiplicado las 99 fracciones de la forma
inclusive.
para todos los enteros k desde 2 hasta 100
Problema 2. Pablo debe resolver el siguiente problema sin usar calculadora ni trasportador:
En una hoja cuadriculada se marcaron los puntos A, B, C, D, E, como muestra la figura. Sean
. Hallar el valor de
y
.
¿Cómo puede hacerlo?
Problema 3. Hay 18 toneladas de mercadería distribuida en paquetes de pesos desconocidos. El número total
de paquetes es mayor que 35. La mercadería se debe transportar en 7 camiones que pueden cargar a lo sumo 3
toneladas cada uno. Se sabe que estos 7 camiones pueden transportar, entre los 7 y en un solo viaje, cualquier
conjunto de 35 de los paquetes. Demostrar que los 7 camiones pueden transportar, entre los 7 y en un solo
viaje, toda la mercadería.
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OMA - VI Olimpíada Provincial de la Provincia de Buenos Aires
VI Olimpíada Provincial de Matemática
Provincia de Buenos Aires. 1997
Nivel A
1
Juan arma números de varias cifras con la siguiente condición:
En un mismo número, tantas veces como escribe un dígito, escribe su diferencia con 9.
¿Cuántos de estos números entre 1 y 10000 puede escribir Juan?
2
Matías tiene una cierta cantidad de ladrillos cúbicos todos iguales.
Cuando quiere construir una pared cuadrada, le faltan o le sobran ladrillos. Lo mismo le ocurre si quiere armar
un cubo.
Nicolás tiene el doble de ladrillos que Matías y puede construir una pared cuadrada usando todos los ladrillos.
Marcela tiene el triple de ladrillos que Matías y puede armar un cubo usando todos los ladrillos.
¿Cuál es el menor número de ladrillos que puede tener Matías?
3
En el triángulo acutángulo ABC, el lado BC mide 17 cm; el lado AC mide 25 cm y la altura correspondiente al
lado AB mide 15 cm.
¿Cuánto mide la altura h correspondiente al lado AC?
Primer Nivel
1
Diego escribió cinco números.
Laura hizo todas las sumas posibles de dos números escritos por Diego y obtuvo los siguientes números:
-17/2 ; -3/2 ; -1 ; 1 ; 3/2 ; 4 ; 17/2 ; 11 ; 23/2.
¿Cuáles eran los cinco números que escribió Diego?
2
Hallar todos los cuadrados perfectos que tienen el primer dígito (de la izquierda) igual a 1 y todos los restantes
dígitos iguales a 4.
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OMA - VI Olimpíada Provincial de la Provincia de Buenos Aires
3
Sobre la mesa hay un papel cuadrado de 8cm de lado al que se le ha recortado en una esquina un cuadrado de
1cm de lado. Mariana debe dividir el papel en triángulos todos de igual área. ¿Cuál es el número mínimo de
triángulos que tendrá esta división?
Segundo Nivel
1
De un número natural compuesto n se sabe lo siguiente: cada divisor positivo de n, excepto 1 y n, es mayor o
igual que n-20 y menor o igual que n-10. Hallar todos los posibles valores de n.
2
En un campamento participan 15 chicos, todos de diferentes alturas. El último día, los 15 deben formarse en una
fila de manera tal que al comienzo de la fila estén ordenados de más bajo a más alto y, a partir de un punto, los
restantes estén ordenados de mas alto a más bajo. ¿De cuántas maneras se puede formar la fila?
ACLARACIÓN: El primero de la fila no es necesariamente el más bajo de los 15 chicos.
3
El triángulo ABC tiene AB=14, BC=24 y AC=15. Sean M en el lado AB y N en el lado BC tales que la recta
MN divide al triángulo en dos formas de igual área y de igual perímetro, Hallar la longitud de AM.
Tercer Nivel
1
Hallar el menor entero positivo a para el cual se verifica que hay 1997 cuadrados perfectos comprendidos
estrictamente entre a y 2a.
2
Hallar las primeras 1000 cifras después de la coma de la expresión decimal del número
.
3
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OMA - VI Olimpíada Provincial de la Provincia de Buenos Aires
Sea ABC un triángulo isósceles de base AB. Con centro en el punto medio de AB se traza la semicircunferencia
tangente a los lados de AC y BC del triángulo. Sean P en el lado AC y Q en el lado BC tales que PQ es
tangente a la semicircunferencia. Si PA=a y QB=b, hallar la medida de AB en términos de a y b.
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III Olimpíada Provincial
III Olimpíada Provincial. 1997
Primer nivel
1. La Asociación Vida Silvestre de Saladillo tiene 50 miembros. El sábado cada uno
de los presentes plantó 17 árboles y el domingo cada uno de los presentes plantó 20
árboles. En total se plantaron 1545 árboles. ¿Cuántos de los miembros de la
Asociación faltaron el sábado y cuántos faltaron el domingo?
2. Matías ha dibujado un cuadrado ABCD con tinta negra y debe colorear con rojo
todos los puntos P del interior del cuadrado tales que el área del cuadrilátero BCPA
es igual al triple del área del cuadrilátero APCD. Describir cuál es la parte roja
del dibujo y justificar.
3. Se considera un polígono regular de 10 lados. Hay que elegir tres vértices de
este polígono de modo tal que el triángulo que determinan sea escaleno y ningún lado
del triángulo sea al mismo tiempo lado del polígono de 10 lados. ¿De cuántas maneras
distintas se pueden elegir los tres vértices?
Segundo nivel
1. La computadora de Juan tiene un programa tal que al apretar la tecla S reemplaza
al número N escrito en la pantalla por la suma de las cifras del número igual a N
más la suma de las cifras de N. Por ejemplo, si el número de la pantalla es 9523,
calcula 9+5+2+3+9523=9542, luego suma las cifras del resultado, 9+5+4+2=20, y el
nuevo número que aparece en pantalla es 20.
Inicialmente el número escrito en pantalla es 1. ¿Qué número se tendrá en la
pantalla después de apretar 1997 veces la tecla S.
2. Si la mediana y la altura correspondientes a un mismo vértice de un triángulo
dividen al ángulo en tres ángulos iguales, hallar los ángulos del triángulo.
3. En cada casilla de un tablero cuadrado de 11x11 casillas se ha escrito un número
mayor o igual que -1 y menor o igual que 1 (no necesariamente entero) de modo tal
que la suma de los cuatro números ubicados en cada cuadrado de 2x2 sea siempre igual
a 0. Hallar el máximo valor posible de la suma de los 121 números escritos en el
tablero.
Tercer nivel
1. Hallar todos los enteros n tales que n+19 y n+97 son ambos potencias de 3.
2. Sea ABCD un rectángulo inscrito en una circunferencia. Sea P un punto en el arco
AB de la circunferencia. La paralela a AB que pasa por P intersecta a las
prolongaciones de DA y CB en P1 y P2 respectivamente. La paralela a BC que pasa por
P intersecta a AB y CD en P3 y P4 respectivamente. Demostrar que P3 es el punto de
intersección de las alturas del triángulo P1P2P4.
3. Una hormiga camina por las líneas de un tablero como el de la
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III Olimpíada Provincial
figura, con 4 casillas de ancho y 5 casillas de alto. ¿De cuántas
diferentes maneras puede ir desde A hasta B, sin pasar dos veces
por un mismo punto?
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IV Olimpíada Matemática de la Provincia de Buenos Aires
IV Olimpíada Provincial
Buenos Aires. 1996
Primer nivel
1. Tres rectas dividen a un círculo en 7 renglones (ver figura). ¿Es posible distribuir los números 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7 uno en cada región de modo que para cada recta la suma de los números ubicados de un lado de la recta sea
igual a la suma de los números ubicados del otro lado de la recta?
2. Sea ABCDE un pentágono que tiene AB=BC=4, CD=DE=EA=2 y CDE=DEA=120o . Hallar el área del
pentágono.
3. Sea N un número de 3 dígitos distintos. Con los dígitos de N se forman todos los posibles números de 2
dígitos distintos; luego se suman todos estos números de 2 dígitos y el resultado es S.
Hallar todos los N tales que S es el doble de N.
Segundo nivel
1.
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IV Olimpíada Matemática de la Provincia de Buenos Aires
Hay que distribuir los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 uno en cada círculo del diagrama de modo que la suma de los
3 números ubicados en tres círculos alineados sea siempre la misma.
¿Qué número es imposible ubicar en el círculo E?
ACLARACIÓN: Los círculos alineados son: ABG, ACF, ADE, DCB, EFG.
2. Sean ABCD un cuadrado, E el punto medio del lado AB, F el punto medio del lado BC y Q el punto de
intersección de EC y DF. Si QF=13, hallar las medidas de QC, QE y QD.
3. Hallar el menor múltiplo de 999, mayor que 999, que tiene todos sus dígitos impares.
Tercer nivel
1. Hallar todos los números enteros n de 5 dígitos tales que al suprimir el dígito del medio queda un número m
de 4 dígitos que verifica que n/m es entero.
2. Por un punto P exterior a una circunferencia C se trazan las dos rectas tangentes; sean Q y R los puntos de
tangencia. Sea A un punto en la prolongación de PQ y sea C' la circunferencia circunscripta al triángulo PAR.
La recta AR corta a la circunferencia C en R y en C.
Las circunferencias C y C' se cortan en B y en R.
Demostrar que los ángulos PAR y ABC son iguales.
3. Sea A un conjunto de números enteros entre 100 y 1000 inclusive, tal que sus elementos están en progresión
geométrica de razón mayor que 1. ¿Cuál es la máxima cantidad de elementos que puede tener A?
ACLARACIÓN: La razón de la progresión geométrica puede no ser un número entero, por ejemplo, 81, 108,
144, 192, 256 es una progresión geométrica de números enteros y razón 4/3.
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