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Taller de Geometría Un juego de ángulos GUICTG001TG31-A17V1 Taller de Geometría Tiempo estimado Sección 1 40 minutos Experimentando 1 Actividad El juego del billar consiste en una mesa cuyo largo y ancho están a razón 2 : 1. La mesa tiene 6 agujeros (buchacas) como lo indica la figura. Se usa una varilla de alrededor de 1,50 m que se llama taco y su función dentro del juego es golpear las 15 bolas numeradas que están sobre la mesa. 15 4 3 5 13 11 12 2 8 14 1 10 7 1,55 m 6 9 3,10 m El objetivo del juego es hacer caer cada una de las bolas, en orden correlativo, golpeándolas con el taco, de tal manera que la bola blanca golpeé a las numeradas, y estas caigan dentro de las buchacas. 1. ¿Por qué crees que el billar es un juego de ángulos? ¿En qué otra situación intervienen ángulos? Un ángulo es la región del plano formado por la intersección de dos rayos. B O 2 Cpech A Un juego de ángulos 2. Considerando todos los ángulos que se pueden formar en el juego de billar, ¿conoces alguna clasificación para ellos? Descríbela. • Utilizando la clasificación anterior, identifica cada uno de los siguientes ángulos. a) b) c) d) e) f) El sistema sexagesimal divide a la circunferencia en 360 partes iguales, cada una de ellas corresponde a un grado. La medición de ellos es contra las manecillas del reloj. Cpech 3 3 Taller de Geometría 2 Actividad Un polígono es una figura plana, delimitada por una cantidad finita de lados rectos y de ángulos, tanto fuera como dentro de él. Dependiendo de estas características, se pueden clasificar en: Convexos Cóncavos 1. Escribe las principales diferencias entre estos dos tipos de polígonos. Cóncavo • 4 Cpech Convexo ¿Cuál es la cantidad mínima de lados necesarios para formar un polígono? ¿Por qué? Un juego de ángulos • ¿Un círculo puede considerarse como un polígono? ¿Por qué? 2. Si tomamos un polígono (triángulo) y lo utilizamos de manera sucesiva se formarán otros polígonos como muestra la figura. De acuerdo a esta situación, ¿cuántos triángulos se necesitan para formar un polígono de 19 lados? ¿Por qué? 1 2 1 1 2 1 2 3 3 4 • ¿Cómo generalizarías la cantidad de triángulos necesarios para formar un polígono de n lados? Cpech 5 5 Taller de Geometría 3. Sabemos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º y además, observaste que el resto de los polígonos podían construirse a través de triángulos. Utilizando este razonamiento, ¿cuál es la suma de los ángulos interiores de estos polígonos? A A A D A B C B B C C D B E C D • ¿Cómo puedes generalizar los cálculos para obtener la suma de los ángulos interiores en un polígono de n lados? 4. ¿Cuántas diagonales (d) desde un vértice puedes trazar en estos polígonos? A B C A E C Cpech A D B C A B 6 E F D Una diagonal es un segmento que une a dos vértices no consecutivos de un polígono. F E B C D Un juego de ángulos ¿Cuántas diagonales en total (D) puedes trazar en estos polígonos? • A A A D A B B • C B C E C F B D E C D ¿Cómo puedes generalizar los cálculos de las diagonales para un polígono de n lados? Diagonales desde un vértice (d ): Diagonales totales (D): Cpech 7 7 Taller de Geometría 3 1. Actividad Escribe las características de los tres triángulos que están en la figura e infiere otras que se pueden obtener a partir de ellas. Luego, asígnale el nombre correspondiente a cada uno de acuerdo a su clasificación según sus lados. ísticas Caracter 8 8 Triángulo 1 8 Características Triángulo 2 8 8 5 8 Triángulo 3 8 Cpech 11 5 Características Un juego de ángulos 2. Se tiene el ángulo AOB formado por los rayos AO y OB. B A O • Si tienes que construir una línea recta que pase por O y que forme ángulos congruentes con OA y OB, ¿dónde la trazarías? ¿Por qué? • ¿Dónde la trazarías para el ángulo HIJ y el ángulo CDE? J I C H E La bisectriz de un án gulo es un rayo que pasa por el vértice dividiéndolo en dos án gulos de igual medida. Para el caso particular de los triángulos, ¿cuántas bisectrices pue den trazarse? D La transversal de gravedad es un segmento que une cada vértice con el punto medio de su lado opuesto. Cpech 9 9 Taller de Geometría 3. Dibuja la altura desde C y F, respectivamente, en cada uno de los triángulos. C F La altura es un segmento perpendicular trazado desde el vértice hasta el lado opuesto de él. A B D E ¿Es necesario que la altura siempre se encuentre dentro del triángulo? Da ejemplos. • Imagina que las alturas que trazaste anteriormente miden 4 y 5 respectivamente, y además los lados a los que llegan estas alturas son 9 y 6, respectivamente. ¿Cuál es el área de cada triángulo? F C El área de un triángulo es: A= A B Área: 10 Cpech D Área: E base • altura 2 Un juego de ángulos 4. En el siguiente triángulo dibuja (estimativamente) la altura, bisectriz y transversal de gravedad que pasan por el vértice A, la simetral que pasa por el lado OA y la mediana paralela a este lado. A La mediana es el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo. C B La simetral es la recta perpendicular al lado de un triángulo en el punto medio. • ¿Qué tienen en común la altura y la simetral? ¿Y entre la simetral y la transversal de gravedad? 5. El triángulo ABC de la figura es isósceles en C y D es punto medio del lado AB. C A D • ¿Qué condiciones cumplen los ángulos que se forman al trazar el segmento CD? • ¿Qué elemento secundario es CD? B • En base a lo anterior, ¿qué se cumplirá con los elementos secundarios en un triángulo equilátero? 11 Cpech 11 Taller de Geometría Tiempo estimado Sección 2 30 minutos practicando I. Analiza las siguientes situaciones y responde: • En un panal de abejas, cada celda se puede representar mediante un hexágono regular como muestran las figuras 1 y 2. 60° Un polígono regular tiene todos sus lados y ángulos interiores iguales entre sí. Figura 1 Figura 2 1. En la figura 2, ¿cuál es el valor del doble de ? 2. En la figura 2, ¿qué relación existe entre los ángulos Figura 3 y ? Dos ángulos son suplementarios si suman 180º Dos ángulos son complementarios si suman 90º 3. 12 Cpech Una especie particular de abejas aprovechan más el espacio construyendo celdas triangulares, como indica la figura 3. ¿Cuántos y qué tipo de triángulos se han formado? Justifica su respuesta. Un juego de ángulos II. Responde las siguientes preguntas, ocupando los pasos o el razonamiento que se detalla en cada una de ellas. fácil 1. ¿Cuántas diagonales tiene un polígono convexo de T lados? A) T · (T – 3) 2 B) T · (T – 2) 2 D) E) T · (T – 2) T · (T + 1) 2 ¿Qué significa convexo?, ¿para qué se puntualiza esta característica en la pregunta? ¿Cuántos vértices tendrá el polígono? T · (T – 3) Reflexiona C) Preliminares Todas las alternativas tienen T como primer factor, ¿qué significa?. Siguiendo esa lógica, ¿qué tendría que significar el segundo factor?. En algunas alternativas la expresión está dividida por 2, ¿corresponde aplicar esa corrección en este caso?, ¿por qué? 13 Cpech 13 Taller de Geometría media A) B) C) D) E) 2. Las rectas L1, L2 y L3 se intersectan como indica la figura. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa siempre el valor de x? 60° + 180° + 240° – 120° + L2 L1 Preliminares L3 ¿Qué polígono se for ma con las rectas? Los ángulos represen tados, ¿son ángulos interiores o ex teriores de dicho polígono? ¿Se puede aplicar algun a relación con respecto a la suma de ángulos del polígono?, ¿se usan dir ectamente los valores representad os? 60° x Reflexiona ¿Hay alguna otra forma de resolver la pregunta?, ¿es más rápida que la que utilizaste? media A) B) C) D) E) 3. En la figura, la recta L es una bisectriz del triángulo PQR. La medida del ángulo 110° 120° 130° 140° 150° 50° 70° L 14 Cpech Preliminares R P es Q recta sea ¿Qué significa que una bisectriz? lo interior ¿Cuánto mide el ángu de cada faltante?, ¿cuánto mi ectriz? bis ángulo formado por la ángulo ¿Qué relación tiene el lados con los ángulos calcu anteriormente? Un juego de ángulos difícil A) B) C) D) E) 4. En la figura se muestra un polígono regular con dos de sus diagonales. El valor de 20° 30° 40° 45° 60° es Preliminares ¿Cuánto mide la suma de sus ángulos interiores? ¿Qué significa que el polígono sea regular?, ¿en qué influye eso en la medida de cada ángulo interior? ¿Cuántas diagonales en total se podrían trazar desde el vért ice indicado?, ¿qué relación tienen los ángulos que se forman entre esta s diagonales?, ¿cuánto miden? ¿Cómo influyen las reflexiones anteriores en la medida de ? 15 Cpech 15 Taller de Geometría Tiempo estimado Sección 3 10 minutos sintetizando Clasificación de los ángulos según su medida 0° < Agudo < 90° Recto = 90° 90° < Obtuso < 180° 90° 90° 90° 0° 180° 0° 180° 0° 180° Extendido = 180° 180° < Cóncavo < 360° Completo = 360° 90° 90° 90° 180° 0° 180° 0° 0° 180° Todas estas figuras son polígonos, porque… Triángulo (3 lados) Cuadrilátero (4 lados) Hexágono (6 lados) Octágono (8 lados) Pentágono (5 lados) ...son figuras planas, cerradas y limitadas por un número finito de lados rectos. 16 Cpech Un juego de ángulos En un polígono convexo de n lados se cumple que: Número de diagonales desde un vértice: d = n – 3 Número total de diagonales: D = n · (n – 3) 2 Suma de los ángulos interiores: 180º · (n – 2) Clasificación de triángulos según sus lados Escaleno Todos sus lados y ángulos son distintos. Isósceles Tiene 2 lados congruentes y 2 ángulos congruentes. Equilátero Tiene todos sus lados y ángulos congruentes. 60° 15 18 9 9 60° 60° 10 10 22 9 7 El área de un triangulo es: Á = base · altura 2 17 Cpech 17 Taller de Geometría Elementos secundarios de un triángulo Altura Segmento perpendicular a un lado desde el vértice opuesto. Simetral Bisectriz Rayo que divide el ángulo en un vértice en dos de igual medida. Recta perpendicular a uno de los lados en su punto medio. 18 Cpech Mediana Transversal de gravedad Segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Segmento que une los puntos medios de dos lados. Un juego de ángulos Mis apuntes 19 Cpech 19 ¿YA LOS CONOCES? GPS ACADÉMICO FACEBOOK CPECH TUTOR PROFESOR ONLINE Registro de propiedad intelectual de Cpech. Prohibida su reproducción total o parcial.