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Unidad 1 Números
1.- Números Naturales
Los números naturales son aquellos que se utilizan para contar los elementos de un
conjunto.
El conjunto de números naturales se representa por la letra N
N  {1,2,3,4,5,6,...,12,...,123,...1234,....}
Operaciones con Números Naturales.
Para operar vatios números naturales tenemos que aplicar la jerarquía de operaciones:
El orden en el que se realizan las operaciones es el siguiente:
1.- Paréntesis.
2.- Multiplicaciones y divisiones. Si hay varias se opera de izquierda a
derecha.
3.- Sumas y restas. Si hay varias se opera de izquierda a derecha.
Ejercicios:
1. Opera:
a) (8 + 7 + 5) : 5 – 3 : (8 – 5)
d) (17 – 4 · 2) : 3 + 2 · (8 – 6)
b) 2 · (6 – 2 · 3) + 12 · (7 – 4)
e) 13 : (5 + 4 · 2) + 3 · (5 – 4)
c) 12 + (7 + 2) : 3 – 5 · 3
f) 10 + (14 + 12) : 13 – 7
2. Resuelve:
15 · (6 + 5 – 3 · 3) – 5 · (6 + 4 – 7) + 9 : (7 + 4 – 2 · 4)
Divisibilidad
Si dividimos un número a entre otro b y la división es exacta decimos que a es divisible
entre b o que a es múltiplo de b.
Un número primo es aquel que tiene como únicos divisores el 1 y él mismo. En caso
contrario se dice que el número es compuesto.
Criterios de Divisibilidad
Un número es divisible entre 2 si es par, es decir, si acaba en 0, 2, 4, 6 u 8.
Un número es divisible entre 3 si es la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
Un número es divisible entre 4 si las dos últimas cifras son 00 o son múltiplo de 4.
Un número es divisible entre 5 si acaba en 0 ó 5.
Un número es divisible entre 6 si lo es de 2 y de3 a la vez.
Un número es divisible entre 8 si las tres últimas cifras son 000 o son múltiplo de 8.
Un número es divisible por 9 si es la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
Un número es divisible entre 10 si acaba en 0.
Un número es divisible entre 11 si al sumar las cifras que ocupan posición impar y restarle
las que ocupan posición par el resultado es 0 u 11.
Descomposición factorial
Llamamos descomposición factorial o descomposición en factores primos a la forma
de expresar un número como producto de potencias de los números primos que lo componen.
Ejemplos
• 24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 23 · 3
• 36 = 2 · 2 · 3 · 3 = 22 · 32
Veamos cómo se consigue la factorización de un número.
Tomemos como ejemplo el número 120:
1. Dividimos el número 120 entre el menor número primo posible. En nuestro caso,
como 120 es par, se puede dividir entre 2: 120 : 2 = 60
2. Seguimos dividiendo entre ese primo hasta que el resultado deje de ser divisible.
Como 60 es par se puede dividir nuevamente entre 2: 60 : 2 = 30.
Volvemos a
dividir entre 2, 30 : 2 = 15
3. Como 15 ya no se puede seguir dividiendo entre 2, buscamos el siguiente número
primo, que es 3. 1 + 5 = 6, como es múltiplo de 3, 15 se puede dividir entre 3:
15 : 3 = 5
4. El resultado ya sólo es divisible entre 5, que es el último primo que compone a 120.
Mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo (mcm) de un conjunto de números es el menor de los
múltiplos comunes de esos números.
Ejemplo: Calcular el mínimo común múltiplo de 8 y 12.
Múltiplos de 8 → 8, 16, 24, 32, 40, 48 ...
Múltiplos de 12 → 12, 24, 36, 48 ...
Múltiplos comunes → 24, 48, 72...
Por lo tanto, mcm(8, 12) = 24
Para obtener el mínimo común múltiplo de varios números existe un método más rápido
que se basa en la descomposición factorial. El cálculo se realiza siguiendo los siguientes pasos:
1. Obtenemos la descomposición factorial de todos los números.
2. Tomamos los factores primos comunes y no comunes con el mayor exponente.
El mínimo común múltiplo será el producto de todos estos números.
3. Calcula el mínimo común múltiplo de:
a) 4 y 9
b) 6 y 8
c) 8 y 10
d) 30 y 15
4. Calcula el mínimo común múltiplo de:
a) 16 y 18
b) 12 y 18
c) 14 y 36
d) 100 y 220
5. Andrés y María van al cine cada 4 y 6 semanas respectivamente. Si fueron al cine juntos el
sábado pasado, ¿cuántas semanas pasarán hasta que vuelvan a coincidir juntos en el cine?
6. Calcula el mínimo común múltiplo de:
a) 4, 8 y 24
b) 8, 12 y 36
c) 60, 90 y 150
7. Explica por qué si 10 es múltiplo de 2 y 5, 30 también lo es.
8. Obtén los múltiplos comunes a 3 y 5 que estén entre 65 y 90.
Máximo común divisor
El máximo común divisor (MCD) de un conjunto de números es el mayor de los
divisores comunes de esos números.
Ejemplo: Calcular el máximo común divisor de 8 y 12.
Divisores de 8 → 1, 2, 4, 8
Divisores de 12 → 1, 2, 3, 4, 6, 12
Divisores comunes → 1, 2 y 4
Por lo tanto, MCD(8, 12) = 4
Al igual que para calcular el mcm, se puede utilizar el método de factorización para
resolver de manera sencilla el cálculo del máximo común divisor. El cálculo se realiza
siguiendo los siguientes pasos:
1. Obtenemos la descomposición factorial de todos los números.
2. Tomamos los factores primos comunes con el menor exponente. El máximo común
divisor será el producto de todos estos números.
Si dos números no tienen divisores comunes se dice que son primos entre si
Ejercicios:
9. Calcula el máximo común divisor de:
a) 4 y 9
b) 6 y 8
c) 8 y 10
d) 30 y 15
10. Calcula el máximo común divisor de:
a) 16 y 18
b) 12 y 18
c) 14 y 36
d) 100 y 220
11. Tenemos 20 caramelos de fresa, 30 caramelos de menta y 15 caramelos de nata. Queremos
guardarlos en bolsas iguales, lo más grandes posible, y de manera que los sabores no se mezclen.
¿Cuántos caramelos contendrá cada bolsa? ¿Cuántas bolsas de cada sabor usaré?
12. Calcula el máximo común divisor de:
a) 4, 8 y 24
b) 8, 12 y 36
c) 60, 90 y 150
2.- Números Enteros
El conjunto de los números enteros (Z) está compuesto por los números negativos y
los números naturales.
Z = {... –100..., –5, –4, –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, +4, +5..., +100...}
2.1.Representación de los números enteros en la recta
En la recta el cero marca el origen. A la izquierda del cero aparecerán los números enteros
negativos y a la derecha del cero los números enteros positivos, es decir, los números naturales.
2.2. Opuesto de un número entero
Todo número entero tiene su opuesto, que se corresponde con el simétrico respecto del
0. Por ejemplo, el opuesto de –3 es 3 y el opuesto de 5 es –5.
2.3. Valor absoluto de un número entero
El valor absoluto de un número entero es el mismo número sin el signo. Por tanto, el
valor absoluto de un número es siempre positivo:
• El valor absoluto de un número positivo es él mismo.
• El valor absoluto de un número negativo es su opuesto.
• |+5| = 5
• |–3| = 3
• |18| = 18
2.4 Operaciones con números enteros
2.4.1. Suma y resta de números enteros
Las reglas básicas para sumar y restar números enteros son las siguientes:
1. Para sumar dos números enteros del mismo signo se suman los valores absolutos de los
números y se deja el signo que tienen.
(–a) + (–b) = –(a + b)
(+a) + (+b) = +(a + b)
2. Para sumar dos números enteros de distinto signo se restan los valores absolutos de los
números y se deja el signo del que tenga mayor valor absoluto.
(+a) + (–b) = +(a – b) si |a| > |b|
(+7) + (-4) = + ( 7 – 4 )
(+a) + (–b) = –(b – a) si |b| > |a|
(+3) + (-9) = - ( 9 – 3 )
3. La resta de dos números enteros es la suma del primero más el opuesto del segundo.
(+a) – (+b) = (+a) + (–b)
(+a) – (–b) = (+a) + (+b)
(+3) – (+7) = (+3) + (-7) = + 3 - 7
(-4) – (-8) = (-4) + (+8) = -4 + 8
Ejemplos
• (+3) + (+5) = 3 + 5 = 8
• (+4) + (–3) = 4 – 3 = 1
• (–5) – (+ 4) = –5 – 4 = –9
• (+16) – (+12) – (–12) – (+32) = 16 – 12 + 12 – 32 = (16 + 12) – (12 + 32) = 28 – 44 = –16
• 12 + 13 – 8 + 5 +17 = (12 + 13 + 5 + 17) – 8 = 47 – 8 = 39
• –13 – 15 + 14 – 8 = 14 – (13 + 15 + 8) = 14 – 36 = – 22
Ejercicios:
13. Opera:
a) (+4) + (+3)
c) (–5) + (+1)
e) (–8) + (–2)
b) (+3) + (–5)
d) (+1) + (+9)
f) (–6) + (–4)
14. Resuelve las siguientes restas de números enteros:
a) (+5) – (+1)
c) (–7) – (–9)
e) (–21) – (+23)
b) (+6) – (+3)
d) (+1) – (+11)
f) (–5) – (–4)
15. Realiza las siguientes operaciones de sumas y restas:
a) 11 + 3 – 18 + 3 +7
c) –3 – 1 + 5 – 18
e) 15 + 1 + 17 – 2 – 4
b) –3 – 15 + 15 + 16
d) 3 + 8 + 5 – 4 + 9
f) 35 + 21 – 6 + 27 + 4
16. Resuelve las operaciones con paréntesis:
a) –(3 – 5 + 15) + (6 – 5 + 13)
c) +4 – 8 + (5 + 6 + 7) – (10 – 4)
b) (2 + 3 – 4) – (5 +7) – (3 – 5 + 2)
d) (–4 + 2 + 5) – (16 – 3 + 15)
2.4.2.Producto de números enteros
Para multiplicar números enteros tenemos que:
1. Multiplicar los valores absolutos de los números.
2. Poner el signo resultante de aplicar la regla de los signos.
Ejemplos
• (+2) · (+4) = +8
• (+8) · (–3) = –24
• (–5) · (–4) = +20
• (+2) · (–3) · (–4) = (+ · – · –) (2 · 3 · 4) =
+24
• (–3) · (–5) · (–3) = –45
• (–7) · (+2) · (–3) = +42
2.4.3.División de números enteros
Para dividir números enteros tenemos que:
1. Dividir los valores absolutos de los números.
2. Poner el signo resultante de aplicar la regla de los signos.
Ejemplos
• (+4) : (+2) = +2
• (+8) : (–4) = –2
• (–55) : (–5) = +11
• (+20) : (–2) : (–5) = (+ : – : –) (20 : 2 : 5)
= +2
• (–30) : (–5) : (–3) = –2
• (–70) : (+2) : (–7) = +5
Ejercicios:
17. Opera los siguientes productos de números enteros:
a) (+1) · (+5)
c) (–16) · (–2)
e) (–2) · (+2)
b) (+18) · (+3)
d) (+6) · (+2)
f) (–5) · (–14)
18. Opera las siguientes divisiones de números enteros:
a) (+10) : (+5)
c) (–16) : (–2)
e) (–2) : (+2)
b) (+18) : (+3)
d) (+6) : (+2)
f) (–50) : (–10)
19. Realiza las siguientes operaciones:
a) (+2) · (–3) · (+5)
c) (+27) : (–3) : (+3)
b) (–4) · (+3) · (–14)
d) (–40) : (+8) : (–5)
2.5. Potencias de números enteros
Una potencia es la forma abreviada de representar un número multiplicado varias veces
4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 45
Elementos de una potencia
Dada una potencia an:
• La base es el factor que se está multiplicando (a).
• El exponente es el número de veces que se multiplica
el factor (n).
Ejemplos
• 2 · 2 = 22 → Se lee 2 elevado a 2 ó 2 al cuadrado → Su valor es 4.
• 4 · 4 · 4 = 43 → Se lee 4 elevado a 3 ó 4 al cubo → Su valor es 64.
• 6 · 6 · 6 · 6 = 64 → Se lee 6 elevado a 4 ó 6 a la cuarta → Su valor
es 1.296.
2.5.1. Potencias de números negativos
El signo de una potencia de base negativa es positivo si el exponente es par y negativo
si el exponente es impar.
Ejemplos
• (–2)2 = (–2) · (–2) = +4
• (–4)3 = (–4) · (–4) · (–4) = –64
• (–6)4 = (–6) · (–6) · (–6) · (–6) = 1.296
• (–3)5 = (–3) · (–3) · (–3) · (–3) · (–3) = –243
Ejercicios
20. Calcula el resultado de las siguientes potencias:
a) (–5)2
b) (–6)3
c) (–9)4
d) (–3)3
e) (–7)1
2.5.2. Operaciones con potencias
Producto de potencias
Producto de potencias de distinta base y mismo exponente
a n  b n  (a  b) n
Para multiplicar dos potencias de distinta base y el
mismo exponente se multiplican las bases y se deja el
exponente.
a n  a m  a nm
Producto de potencias de la misma base
El resultado de multiplicar potencias de la misma
base es otra potencia de igual base y de exponente la suma
de los exponentes.
a n  b n  (a  b) n
a n  a m  a nm
( a n ) m  a n m
Cociente de potencias
Cociente de potencias de distinta base y mismo exponente
Para dividir dos potencias de distinta base y el mismo exponente se dividen las bases y
se deja el exponente.
Cociente de potencias de la misma base
El resultado de dividir potencias de la misma base es otra potencia de igual base y de
exponente la diferencia de los exponentes.
Potencia de una potencia
El resultado de operar una potencia de potencia es otra potencia de igual base y
exponente el producto de los exponentes.
Ejemplos:
• 43 · 23 = (4 · 2)3 = 83
• 84 : 44 = (8 : 4)4 = 24
• 53 · 63 = (5 · 6)3 = 303
• 37 : 32 = 37–2 = 35
• 63 · 62 = 63+2 = 65
• 83 : 82 = 83–2 = 81
• 27 · 23 = 27+3 = 210
• (65)2 = 65·2 = 610
• 96 : 36 = (9 : 3)6 = 36
• (53)4 = 53·4 = 512
Ejercicios
21. Opera:
a) 33 · 34
b) 74 · 7
c) 23 · 43
d) 32 · 52
22. Opera:
a) 42 : 4
b) 77 : 74
c) 124 : 34
d) 15 : 12
23. Opera:
a) (52)6
b) (44)4
c) (83)3
d) (123)0
24. Calcula el resultado:
a) 32 · 32
b) 22 · 22 · 22
c) (54 : 52)3
d) (62 · 6)3
3.- Números Racionales
El tipo de números que nos indican una parte de un todo
reciben el nombre de números racionales. El conjunto de estos
números se representa con la letra Q.
Podemos decir que una fracción es el cociente entre dos números.
Todo número entero admite una expresión racional:
cualquier número entero a admite la expresión racional
a
. De
1
esto se deduce que los números enteros están contenidos en los
racionales.
a
b
3.1. Tipos de Fracciones
Fracción propia: es una fracción cuyo numerador es menor que el denominador y que, al hacer
el cociente, resulta un número menor que la unidad
Fracción impropia: es una fracción cuyo numerador es mayor que el denominador
y cuyo cociente es mayor que la unidad.
Con las fracciones impropias se pueden dar los dos casos siguientes:
Caso 1: el numerador es un múltiplo del denominador. En este caso tenemos un número
entero.
Caso 2: el numerador no es múltiplo del denominador. En este caso aparece el concepto
de número mixto. Un número mixto es un número racional que consta de parte entera y
parte fraccionaria.
3.2. Fracciones equivalentes
Dos fracciones son equivalentes si y sólo si representan el mismo valor. O dicho de otra
manera si el producto de medios es igual al producto de extremos
a c
6 9
  ad  bc
  66  49
b d
4 6
3 15
Consideremos las fracciones y
. Vamos a observar las siguientes operaciones:
4 20
3  5 15
15  5 3


4  5 20
20  5 4
3
En el primer caso diremos que hemos amplificado las fracción
y que hemos
4
encontrado una fracción equivalente. En el segundo caso diremos que hemos simplificado la
fracción
15
.
20
Para simplificar una fracción dividiremos numerador y denominador por su máximo
común divisor.
a
es irreducible si y solo si el numerador y el denominador son primos entre sí. Por
b
3 13 12 5
ejemplo: ,
,
,
,…
4 4 41 17
La fracción
Ejercicios
25. De las siguientes fracciones , indica cuales son equivalentes:
a)
5 10
y
6 6
b)
4 12
y
7 6
c)
3 15
y
25 50
d)
2 8
y
9 36
26. Simplifica las siguientes fracciones utilizando los dos métodos:
a)
60
120
b)
28
49
c)
432
2160
d)
84
96
e)
30
32
3.3. Suma y resta de números racionales
3.3.1 Fracciones con igual denominador
Para sumar o restar dos fracciones que tienen el mismo denominador, se suman o restan los
numeradores y se conserva el mismo denominador.
2 3 23 5
 

7 7
7
7
3.3.2. Fracciones con distinto denominador
Para sumar o restar dos fracciones que tienen distinto denominador, las reducimos a
denominador común y después sumamos o restamos los numeradores.
2 3 (35  7)  2 (35  5)  3 10 21 10  21 31
 





7 5
35
35
35 35
35
35
Ejercicios:
3.4. Producto y Cociente de fracciones
El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los
numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores.
a c ac
 
b d bd
Dada una fracción
a
b
con b ≠ 0, su inversa es la fracción
a
b
Para dividir la fracción
inversa de
2 3 23 6
 

7 5 7  5 35
a
c
a
entre la fracción multiplicamos la fracción por la
b
b
d
c
d
a c ad
 
b d bc
2 3 2  5 10
 

7 5 7  3 21
Ejercicios
4.- Números Decimales
Los números decimales expresan cantidades con unidades incompletas.
Un número decimal tiene una parte entera, situada a la izquierda de la coma, y una
parte decimal, situada la derecha .
Parte Entera
Decena
Unidades
3
7,
decimas
0
Parte Decimal
centésimas
milésimas
9
0
diezmilésimas
7
37,0907 → Treinta y siete unidades novecientas siete diezmilésimas.
Tipos de números decimales.
Un número decimal es exacto cuando tiene un número finito de cifras decimales.
Un número decimal es periódico si tiene infinitas cifras decimales y, además , una o
varias de ellas se repiten periódicamente. La cifra o grupo de cifras que se repiten se llaman
periodo.
-Si el periodo empieza inmediatamente después de la coma, es un decimal periódico
puro.
- En caso contrario, es un decimal periódico mixto. La cifra o cifras decimales que no
se repiten llaman anteperiodo.
Un número decimal es no exacto y no periódico si tiene infinitas cifras decimales y
ninguna de ellas se repite periódicamente.
Ejemplos:
12,152 → Decimal exacto
12,6666666… = 12,6 → Decimal periódico puro
42,32515151515… = 42,3251 → Decimal periódico mixto
782,145563569854115…. → Decimal ni exacto ni periódico,
Ejercicios:
27. Indica la parte entera, la decimal, el periodo y el anteperiodo
a) 0.3333333
b) 234,4562525…
c) 3,37888…
d) 0,012333…
28. Clasifica los siguientes números decimales
a) 2.022333…
b) 1.236
c) 0.252525…
d) 2.3658489697…
Paso de Fracción a Número Decimal
Cualquier fracción, dividiendo su numerador entre su denominador, puede expresarse
mediante:
-
Un número entero, si el numerador es múltiplo del denominador.
Un número decimal exacto, cuando su denominador solo tiene como factores2, 5 o
ambos números.
Un número decimal periódico, en caso de que no ocurra ninguno de las condiciones
anteriores.
Paso de decimal a fracción
La fracción generatriz de un numero decimal es la fracción irreducible tal que, al
dividir el numerador entre el denominador, el resultado es ese número decimal.
Decimal Exacto
Llamamos N al número decimal
N  6.39
Multiplicamos ambos miembros por la unidad
seguida de tantos ceros como cifras decimales
haya
100  N  100  6.39
100 N  639
Despejamos N, obteniendo la fracción
buscada
639
100
639
6.39 
 Fracción Generatriz
100
N
Decimal Periódico Puro
Llamamos N al número decimal
Multiplicamos ambos miembros por la unidad
seguida de tantos ceros como cifras tiene el
periodo
Restamos a este resultado el primer número.
Despejamos N, obteniendo la fracción
buscada

N  4.65

100  N  100  4.65

100 N  465.65

100  N  465.65

 100 N  465.65
99 N  461
461
N
99
  461
4.65 
 Fracción Generatriz
99
Decimal Periódico Mixto
Llamamos N al número decimal

N  3.745
Multiplicamos ambos miembros por la unidad
seguida de tantos ceros como cifras tiene el
anteperiodo

10  N  10  3.745

10 N  37.45
Multiplicamos ambos miembros por la unidad
seguida de tantos ceros como cifras tiene el
periodo
A este resultado restamos el primero.
Despejamos N, obteniendo la fracción
buscada

100  10 N  100  3.745

1000 N  3745.45

1000 N  3745.45

 10 N  37.45
990 N  3708
3708 206
N

990
56
  206
3.745 
 Fracción Generatriz
56
Ejercicios
29. Sin realizar la división, clasifica estas fracciones. Explica por qué.
5
3
111
e)
240
a)
7
6
85
f)
17
b)
9
5
17
g)
6
175
25
84
h)
222
c)
d)
30. Clasifica y calcula la fracción generatriz de los siguientes números decimales.





a) 1,25
b) 1,25
c) 1,25
d) 3,425
e) 3,425
f) 3,425
h) 3,425
i) 0.9
j) 15.63
k) 3.002
l) 7.36
m) 4,879
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