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AUTORES CIENTÍFICO-TÉCNICOS Y ACADÉMICOS
La invención
de la geometría
Prof. Dr. Félix García Merayo
Vicepresidente de ACTA
à
Deja que el hombre se dedique al arte que conoce.
CICERÓN, Disputaciones tusculanas, I, XVIII
Los geómetras de la Grecia antigua
L
a geometría encarna una forma de racionalidad que se encuentra
en diversos aspectos de la civilización griega antigua, como el
urbanismo, las artes o las teorías políticas. No obstante, es una disciplina relativamente reciente; no tiene ni dios, ni musa. En este universo, el estudio de las figuras, de su construcción y de su medida, ha
seguido un camino original desde el siglo V antes de nuestra era. Su
evolución es indisociable con la ciudad de Alejandría, cuyas instituciones eruditas, como fueron su museo y su Biblioteca, han determinado
lo que ha llegado hasta nosotros: algunos tratados y una tradición de
problemas que, por su rigor y riqueza, suscitan aún hoy día la curiosidad del lector. Estas son algunas de las frases con las que Bernard
Vitrac, investigador del CNRS francés, prologa un extenso capítulo
dedicado a la invención de la geometría por los griegos y su posterior
evolución.
La geometría suministra el primer ejemplo histórico de la presentación axiomática de una disciplina matemática. Ahora bien, el conjunto clásico de postulados sobre el que Euclides fundamentó su sistema ha resultado insuficiente para la deducción de los conocidos
teoremas de la llamada geometría euclídea, por eso, y como veremos
más adelante, ha sido revisado y completado, e incluso cambiado
como nos muestran las geometrías no euclídeas, en tiempos recientes.
Hoy día disponemos de varios sistemas adecuados de postulados
tanto para la geometría euclídea como para las no euclídeas. El más
relacionado con el sistema de Euclides es probablemente el de Hilbert.
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ACTA
La invención de la geometría
Para ubicar en el tiempo a los grandes filósofos, a
los matemáticos y a los geómetras, así como los principales acontecimientos políticos, vamos a comenzar
estableciendo un resumen de la cronología griega que
cubra el contexto donde nos vamos a mover hasta llegar a Euclides que, en esta ocasión, va a ser nuestro
punto de partida, como también protagonista.
La Escuela de Atenas, Rafael.
Museo Vaticano.
La época arcaica abarca los siglos VIII, VII y VI,
anteriores a nuestra era. Comienza con la institución
de los Juegos Olímpicos en 776 a.C. y finaliza con la
puesta en marcha de las reformas democráticas en
Atenas llevadas a cabo por Clístenes (510-506 a.C.).
A esa época pertenecen Homero, Hesíodo, Tales de
Mileto, uno de los siete sabios de Grecia; el poderoso
Solón, también considerado como sabio, y Pitágoras;
surge la filosofía natural y tiene lugar el nacimiento
del teatro (hacia 530 a.C.).
La época clásica, siglos V y IV antes de nuestra era,
se inicia con la revuelta de los jonios contra los persas
entre 499 y 494, finalizando con los reyes, sucesores
de Alejandro, Ptolomeo y Seleuco (306 a.C.). Tienen
lugar las guerras médicas (490-479) y la del Peloponeso (431-404). Se pone fin a la construcción del Partenón. En 399 sucede el proceso y muerte de Sócrates (470-399). Es el siglo de Alejandro Magno
(336-323) y de la fundación de la ciudad de Alejandría. El siglo V es el siglo de oro de la tragedia en Atenas, del desarrollo de la prosa, de la fundación de la
Academia de Platón (387), de la escuela estoica de
Zenón en Atenas (c. 310 a.C.) y de la Escuela del
maestro Epicuro también en Atenas (306). Se encuadran en esta época, Heráclito de Éfeso, Zenón de
Elea, el físico Hipócrates de Cos, el astrónomo Meton
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de Atenas, el geómetra Hipócrates de Chios, Aristófanes, célebre autor de comedias, Teeteto de Atenas,
Eudoxo de Cnido y el discípulo más importante de
Platón, Aristóteles de Estagira (384-322), símbolo
científico de la Academia platónica.
Platón enseñando geometría.
Mosaico de Pompeya.
Llegamos así a la época helenística, siglos III, II y I,
donde se encuadra nuestro protagonista Euclides.
Comienza con la instauración del principado, luego
reino de Atalo I de Pérgamo, considerándose su final
en el año 27 a.C., cuando Egipto se convierte en una
provincia romana y Octavio acepta el título de Augusto. En 272 a.C., finaliza la conquista de la Gran Grecia por los romanos; tienen lugar las guerras Púnicas,
la toma de Siracusa por los romanos en 212; sucede
la creación de una gran biblioteca en Pérgamo, rival
de la de Alejandría; destrucción de Cartago y de
Corinto; Grecia acaba convirtiéndose en una provincia romana en 146; el dictador romano Lucio Cornelio Sila reforma las instituciones (88-79); exilio voluntario de Marco Tulio Cicerón (106-43) en el año 55
a.C., escritor, pensador, político y orador romano. En
el siglo III, hacia 300 a.C., tiene lugar la aparición de
los Elementos del más famoso de los sabios de Alejandría, Euclides. Aparece la obra de Vitruvio, De
Architectura. Se encuadran en esta época: el bibliotecario de Alejandría, geógrafo y matemático Eratóstenes de Cirene; el genio matemático Arquímedes de
Siracusa (c. 287-212); Apolonio de Rodas, Nicomedes (c. 100), conocido por sus curvas denominadas
concoides; Apolonio de Perga (200-195), que redacta
su tratado sobre las cónicas; Hiparco de Nicea (c.
La invención
de la geometría
180-125), al que se le debe el desarrollo de la astronomía cuantitativa; Virgilio (70-19), el geógrafo e historiador griego Estrabón de Amasya (c. 63-19) y el
poeta latino Publio Ovidio Nasón (43-17).
mente nueva en la historia de la humanidad, con lo
que parece que la ciencia se anuncia sirviéndose de
la geometría, que, a su vez, se compone de leyes y de
teorías.
Los pueblos antiguos concibieron el espacio pero
sin el número. Ha sido en época más moderna, principalmente con René Descartes, cuando surgió la
relación entre el número y el espacio a través de las
coordenadas. Por ello, los antiguos no tuvieron más
remedio que partir de propiedades experimentales
que consideraban falsamente como evidentes, para
todo aquello que tuviera que ver con la razón pura, y
se esforzaron en agruparlas en proposiciones coherentes, filosofía que, incluso hoy día y en ciertos
temas, aún conservamos. No cabe duda que si se
tiene en cuenta que ellos ignoraban el método adecuado, entonces los resultados que obtuvieron de esa
ignorancia resultan de lo más admirable para la
época. Pero esto no debe perpetuar tales hábitos. No
debe confundirse el interés histórico con la formación
del ingenio ya que ello nos encadenaría, por ejemplo,
a Vieta en lo relacionado con el álgebra o a Euclides
en lo que concierne a la geometría. Esos vínculos fueron rotos por geómetras como Gauss, Bolyai o Lobachevski
En los orígenes de la geometría se observa, desde
nuestra perspectiva actual, la confirmación del fundamento experimental al que nos hemos referido así
como el carácter social de la ciencia matemática. La
geometría nació cuando se tuvo necesidad práctica
de ella; por ejemplo, en el valle del Nilo para restablecer el amojonamiento de las tierras después de la
inundación de hace más de cuatro mil años o en
China, aunque allí el nivel de conocimientos no pasó
de un simple empirismo. También en Mesopotamia
están esos albores trasladados al resto de aquel
mundo por los fenicios. Pero como advierte Babini,
entre la época de los papiros egipcios y la época a la
que pertenecen las primeras noticias de un saber griego, transcurre más de un milenio, lapso en el cual el
mar Egeo es teatro de acontecimientos en gran parte
todavía desconocidos.
Cuando irrumpe en el escenario la Grecia antigua, su ciencia se construye con ayuda de sacerdotes
y escribas egipcios y caldeos y se siente atraída por
los descubrimientos más simples de la geometría. Primero Tales y después Pitágoras son los personajes a
los que es preciso atribuir la gloria de quienes, a partir de las cosas más simples, han sido capaces de abstraer los conceptos de línea, ángulo y superficie. Fueron los auténticos inventores de la prueba deductiva,
tanto en geometría como en matemáticas. El teorema
de Pitágoras se presenta como una cosa absoluta-
Pitágoras.
La Escuela de Atenas.
En opinión de Tobias Dantzing manifestada en su
obra El número, lenguaje de la ciencia, “la mentalidad general de los griegos permanece encerrada en
una singular contradicción. Por una parte, su Universo no comprendía más que cosas inmediatamente
accesibles a los sentidos; por otra, su talante de espíritu era esencialmente aristocrático ya que tenían por
banales y vulgares ocupaciones tales como artesano
por muy ingeniosos y elegantes que fueran los procedimientos que empleara”.
à
Un mercader se convierte
en geómetra
Atenas se había convertido en uno de los centros
más importantes en el desarrollo de las matemáticas.
Había alcanzado una posición de preeminencia a
principios del siglo V a.C., después de las victorias de
Maratón y Salamina, en las que los griegos vencieron
a los persas. La ciudad se convirtió no sólo en un centro político y comercial, sino también en el centro
intelectual del mundo griego. Sus filósofos venían del
Este y del Oeste y muchos de ellos eran además notables matemáticos y astrónomos. Entre ellos, Hipócrates, Platón, Eudoxo y Menecmo.
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ACTA
La invención de la geometría
Cuando hemos escrito más arriba mercader nos
estábamos refiriendo a Hipócrates (c. 470-410), natural de la isla de Chios o Quios, situada al oeste de
Esmirna (actual Turquía), que enseñó en Atenas y trabajó en problemas clásicos de la geometría como la
cuadratura de figuras y la duplicación del cubo.
Cuenta Jean Philopon, comentarista de la obra de
Aristóteles, que vivió en el siglo VI de nuestra era, que
cuando se dedicaba (Hipócrates) al comercio marítimo perdió todos sus bienes como consecuencia de un
ataque sorpresa de piratas. Volvió a Atenas para plantear una demanda contra esos piratas. Debido a la
duración del proceso, pasa una larga temporada en
Atenas frecuentando los filósofos. Como consecuencia de ello, se convierte en un geómetra tal que se
propone encontrar la cuadratura del círculo (uno de
los problemas clásicos con el que se encontró la
escuela de Atenas, junto con la duplicación del cubo
y la trisección del ángulo). No lo consigue, pero
habiendo obtenido la cuadratura de las lúnulas, cree
falsamente que también sería capaz de cuadrar el
círculo. Philopon, en cualquier caso, llama filósofos a
los maestros en geometría.
La tradición sin duda había enriquecido o deformado ese hecho tan antiguo; el mismo Aristóteles
(384-322 a.C.), que nace algunos años después de la
muerte de Hipócrates, nos da una versión algo distinta de los acontecimientos: Hipócrates, uno de los más
eminentes geómetras, era considerado simple y estúpido por el resto de las gentes. Se cuenta que debido
a esa simpleza fue estafado en una fuerte suma de
dinero por los recaudadores de impuestos con motivo
del cincuentenario de Bizancio, durante una travesía
marítima. Es muy posible que Aristóteles quisiera
poner enfrente de Hipócrates a Tales de Mileto (siglo
VI a. de C.), considerado como un filósofo de vanguardia y un geómetra y astrónomo de primera línea.
Para los aristotélicos, primeros historiadores de las
ciencias, lo que puede deducirse de la anécdota anterior fue que la época de Hipócrates vivió la emergencia de especialistas, especialmente geómetras; estos
hombres, contrariamente a las figuras elegidas como
padres fundadores, como Tales, Anaximandro, Pitágoras..., no eran filósofos universales.
Viene aquí bien comentar la anécdota relativa a
uno de los problemas imposibles para los antiguos
que se ha citado más arriba. En el templo de Apolo,
en la isla griega de Delos, había un altar de la forma
de un cuerpo regular, concretamente de un cubo.
Cuando la peste amenazó a Atenas, así se cuenta al
menos, los habitantes de la ciudad se precipitaron
ante el oráculo de Delos en demanda de ayuda. Y la
divinidad habló: hacedme un altar doble de grande y
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que siga manteniendo la misma forma, con lo cual el
mal será conjurado. Un problema fácil, así al menos
parecía en principio. Simplemente había que determinar una nueva arista tal que el volumen del cubo
fuera el doble del existente en el templo de Apolo. Y
ello mediante una construcción enteramente matemática, con las herramientas auxiliares de la regla y el
compás. Muy pronto se dieron cuenta de que el problema sencillo se había convertido en imposible. Los
más grandes matemáticos de Grecia se ocuparon
durante siglos del problema de Delos.
Hipócrates.
Volviendo a Hipócrates, parece cierto que después
de haber soportado las burlas de las gentes, primero
por haber sido engañado y después por haber pecado
de ingenuo al esperar recuperar su dinero, abandonó
la idea de preparar la demanda, dedicándose exclusivamente a las matemáticas y a la filosofía.
Hipócrates fue también el primero en redactar
unos Elementos de geometría, tratado cuyo original
se ha perdido pero que, según se desprende de las
crónicas, parte de su contenido figuraría más tarde en
los Elementos de Euclides. Esto es lo que nos dice al
respecto Proclo de Licea, siglo V de nuestra era, el
último gran filósofo griego que vivió alrededor del
año 450 d. de C.: Hipócrates de Chios, el descubridor
de la cuadratura de la lúnula, [...] fue el primero del
que se sabe que realmente recopiló “Elementos”. Ese
tratado también incluía soluciones geométricas de
ecuaciones de segundo grado e, incluso, métodos primitivos de integración. Por otra parte, parece haber
demostrado también la hipótesis de que la razón del
La invención
de la geometría
área de dos círculos es la misma que la razón de los
cuadrados de sus diámetros, lo que está en relación
muy directa con la fórmula π r2. Se cree que llegó a
tales conclusiones considerando el círculo como el
límite de un polígono regular, inscrito o circunscrito al
mismo y cuyo número de lados aumenta indefinidamente. Esto constituye el primer ejemplo del método
de exhaustión o exhaustivo.
à
Geometría, civilización
y enseñanza
La historia de las ciencias y de las técnicas, sobre
todo en lo que se refiere a los relatos de sus comienzos, ha fascinado a los antiguos. Tanto los propios historiadores como los autores de la tragedia, como
Esquilo, Sófocles y Eurípides, todos consideran que
los inventos de la técnica y de los descubrimientos
científicos son como un jalonamiento importante por
el que camina el desarrollo de la civilización. La especie humana se caracteriza por el magisterio de las
artes y de las ciencias, desprovista, como está, de
armas y ventajas en el entorno del reino animal en el
que también vive, crece y se desarrolla. Aunque tradicionalmente las invenciones estaban siempre relacionadas con una divinidad o con un héroe civilizador, el discurso histórico sobre la ciencia nunca ha
llamado a las puertas de lo sobrenatural para buscar
su origen. Cuanto sabemos hoy de la Antigüedad, nos
dice Carl Grimberg en su Historia de Grecia, nos
causa estupor. Si la Edad Media hubiese conservado
más textos de la antigua literatura técnica, habríamos
alcanzado mucho antes el alto nivel industrial y técnico del que estamos tan orgullosos hoy.
Las ciudades griegas formaban una civilización
reciente rodeada por antiguas culturas que procedían
de los egipcios, fenicios y babilonios, transportadas a
Grecia y luego mejoradas en sus ciudades. Ejemplos
de ello los tenemos en la escritura, que procedía de
los fenicios, o en la astronomía, cuyo origen era babilónico. Todo ello lo confirma la investigación moderna. En lo que concierne al origen de la geometría, la
explicación que tiene actualmente más adeptos fue
propuesta por el historiador griego Herodoto de Halicarnaso en el siglo V antes de nuestra era. Cuenta las
guerras entre griegos y persas lo que le sirve para describir las costumbres y las instituciones de los pueblos.
El Libro II, Euterpe, está consagrado a Egipto y contiene la mención más antigua de la palabra griega
geometría en dialecto jónico que es el empleado por
Herodoto. Los sacerdotes egipcios confiaron a Herodoto el siguiente secreto del rey Sesostris que aquél
narra en su libro (tomado de Herodoto, Historia,
Libros I-II, Biblioteca Clásica Gredos, traducción de
Carlos Schrader):
Los sacerdotes también me dijeron que este
rey repartió el suelo entre todos los egipcios, concediendo a cada habitante un lote cuadrangular
de extensión uniforme; y, con arreglo a esta distribución, fijó sus ingresos, al imponer el pago de un
tributo anual. Ahora bien, si el río se le llevara a
alguien parte de su lote, el damnificado acudía al
rey y le explicaba lo sucedido; entonces, el monarca enviaba a algunas personas a inspeccionar y
medir la disminución que había sufrido el terreno
para que, en lo sucesivo, pagara una parte proporcional del tributo impuesto. Y, a mi juicio, para este
menester se inventó la geometría, que pasó luego
a Grecia. Pues el “polo”, el “gnomon” y la división
del día en doce partes los griegos lo aprendieron
de los babilonios.
Herodoto añade en otra parte que los griegos, no
especifica quién, importaron ese conocimiento a su
país. Proclo, tal vez siguiendo la opinión de Eudemo
de Rodas, afirma que se trató de Tales.
Como hemos visto, Herodoto emplea en su descripción la palabra geometría, γεωµετρíα, constituida
por el prefijo griego geo, γηζ , la tierra, y del verbo
medir, µετρέω: medición de la tierra. Con ello además, surge la idea de que la geometría ha nacido de
la agrimensura. Dado que la ciencia geométrica también parece haberse utilizado en Egipto para medir la
altura de la Gran pirámide, surge la tesis de que existe, en su origen, una relación directa entre la geometría y la determinación indirecta de distancias inaccesibles. Parece que fue Tales quien midió la altura de la
pirámide en presencia del rey Amasis. Caben otras
definiciones, esta vez ya de los griegos. Aristófanes,
célebre poeta cómico ateniense, en su obra Las
nubes, dice que la geometría es la medida de toda la
tierra habitada, no de un pequeño territorio que se
distribuye en partes en una colonia.
La tradición griega antigua relaciona esta geometría, a la que también llamó geografía, con otros personajes como Anaximandro de Mileto, siglo VI antes
de nuestra era, y Herodoto se burla de las primeras
cartas jónicas del Mundo debido a las numerosas y
arbitrarias simetrías que contenían. A partir de esa
época, existen dos formas de considerar el desarrollo
de la geometría: unas veces reseñando su modesto
origen empírico, la agrimensura, otras su implicación
en las investigaciones más especulativas de la información sobre la naturaleza, como la estructura geométrica del cosmos, la descripción y carta del mundo
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ACTA
La invención de la geometría
habitado. La sombra de esta doble faceta se ha prolongado hasta nuestros días.
El fallecido matemático alemán Dr. Paul Karlson
nos ha dejado escrito: Los griegos tenían el convencimiento de que en la matemática había una auténtica ciencia que ya no necesita de más justificaciones.
Lleva en sí su valor y su sentido. [...] En manos de los
griegos la matemática se trasformó de una simple
ayuda del cálculo, de una herramienta de la práctica,
de un instrumento de sectas ávidas de poder, en la
auténtica reina de las ciencias, hasta el punto de que
Platón pusiera sobre la puerta de entrada de su Academia la siguiente frase: “Ninguno que desconozca la
Geometría entre bajo mi techo”.
Platón.
La Escuela de Atenas.
El relato de Philopon respecto de Hipócrates hace
pensar que en Atenas, y en siglo V a. de C., ya se enseñaba la geometría. No sabemos ciertamente cómo era
esa instrucción, pero lo cierto es que determinados diálogos de Platón ponen en escena a Sócrates y a los
matemáticos, como el sofista Hipias de Élis y Teodoro
de Cirene, geómetra contemporáneo de Hipócrates.
En cualquier caso, la enseñanza dependía de la iniciativa privada de los entendidos y de los medios financieros de que disponían los padres de los alumnos.
La geometría adquirió el estatus de disciplina en la
primera mitad del siglo IV a. de C. Tres sabios atenienses de esa época fueron protagonistas de un debate
sobre el lugar en el que colocar ciertas especialidades
matemáticas dentro de la formación general: el profesor de retórica y orador, el ateniense Isócrates, Jenofonte, antiguo general y escritor, y Platón; los dos últimos, discípulos de Sócrates. En este debate, las
disciplinas mencionadas con más frecuencia fueron la
geometría, la astronomía y la aritmética. Para Isócrates, las matemáticas debían ser estudiadas por los
jóvenes porque servían de gimnasia intelectual; Jenofonte, en la línea de Sócrates, opinaba que se debían
aprender sólo las matemáticas necesarias para la vida;
Platón considera las matemáticas indispensables para
los estudios preparatorios de la filosofía por lo que
deben ocupar un lugar importante en la formación.
Matemática significa ciencia por excelencia.
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El “quadrivium pitágorico”: aritmética,
geometría, música y astronomía.
Y precisamente será Platón quien promoverá un
sistema organizado basado en cuatro especialidades:
la aritmética, la geometría, la astronomía y la armónica, es decir, la teoría matemática de los intervalos
musicales. Los autores de la Antigüedad atribuyeron
la paternidad de esta organización a la escuela pitagórica, por lo que se conoce con el nombre de quadrivium pitagórico. Por ese nombre ha continuado
conociéndose hasta la Edad Media.
De acuerdo con este esquema, las matemáticas se
clasifican en discretas, que estudian los “cuántos”
(multitud), y en continuas que tratan del “cuánto”
(magnitud). A su vez, las discretas pueden ser absolutas (en sí), es la aritmética, o relativas (en relación con
otra), es la música. Por último, las continuas pueden
ser estables, es la geometría, o móviles, es la astronomía. Esta organización de la enseñanza tuvo una
duración de dos milenios. Los pitagóricos se ocuparon fundamentalmente de la aritmética y de la geometría, es decir, de los números, de las proporciones
formadas con ellos, y de los polígonos como base
para formar poliedros, cuerpos que resultaban de la
representación regular de una determinada superficie,
entre ellos, el caso más sencillo, el cubo y luego tam-
La invención
de la geometría
bién el tetraedro, octaedro, icosaedro y el dodecaedro. Por lo tanto, Pitágoras y sus seguidores desarrollaron la teoría de las figuras que llenan el espacio.
para figuras: en cuanto a la forma, estudia la semejanza; en cuanto a la magnitud, compara longitudes,
áreas; en cuanto a la posición, trata de tangencias, de
relaciones, como inscrito o circunscrito. En los Elementos de Euclides nos volveremos a encontrar con
esta dualidad entre las características geométricas de
los objetos y las relaciones entre objetos.
à
La tradición matemática
de Alejandría: Euclides,
Arquímedes y Apolonio
Aristóteles.
La Escuela de Atenas.
Aristóteles criticó el esquema pitagórico, describiendo más o menos el mismo conjunto de disciplinas
insistiendo en la relación entre ellas: aritmética, geometría, estereometría, geodesia, astronomía, armónica, óptica y mecánica. Añadir que Aristóteles reconocía que en su época, ningún saber había progresado
tanto como las matemáticas. Efectivamente, no cabe
duda alguna que la geometría era, entre los años 330
y 320 una disciplina completa, es decir, la especialidad matemática por excelencia.
Pitágoras, hijo de la república griega de Samos,
nacido alrededor del año 570 a.C., de procedencia
fenicia probablemente, se entregó muy temprano a
los estudios científicos, con Phericidas y Anaximandro de Mileto, el gran astrónomo y discípulo de Tales,
por cuyo consejo se trasladó a Egipto. En Tebas o
Menfis pasó varios años y después de largos y duraderos viajes por el Asia Menor, volvió de nuevo a su
patria, Samos, donde, sin embargo, no se decidió a
instalarse, trasladándose con su madre y un discípulo a Sicilia y de aquí inmediatamente a Crotona,
colonia dórica del sur de Italia, donde fue amistosamente recibido por el tirano Milos, convirtiéndose en
un filósofo de moda. Se casó con Theano, la hija de
su anfitrión.
La geometría ha constituido siempre una ciencia
que no se contenta con medir, sino que además com-
Hacia finales del siglo IV a.C., la ciencia matemática emigró de Grecia a Egipto. Alejandro Magno
había conquistado el mundo griego con sus victorias
y concibió la idea de crear un gran imperio. Pero
murió joven (323 a.C.), a los treinta y tres años. Dos
años antes había fundado, durante su visita a Egipto,
la ciudad de Alejandría, situada en el litoral occidental del delta del Nilo, ciudad que se convirtió en la
más importante del mundo mediterráneo. Pasó a ser
el centro del nuevo comercio entre Europa, Arabia y
la India y geográficamente era el lugar de reunión
adecuado para griegos, judíos y árabes. Alejandría
conservó en grandes bibliotecas lo más admirable de
la filosofía griega; se perfeccionaron las matemáticas;
el genio intelectual de los griegos entró en contacto
con el genio moral de los judíos; se realizó la traducción del Antiguo Testamento. La ciudad permaneció
unos seiscientos años y su fin llegó en el año 642
d.C., cuando cayó en manos del califa Omar.
La institución cultural más célebre de Alejandría
fue su Biblioteca. Había sido fundada hacia el año
300 a.C. por Ptolomeo I Sóter, rey de Egipto y sucesor de Alejandro en sus dominios africanos. Esto nos
dice de ella el historiador alemán Carl Grimberg:
Llegó a ser la “cámara del tesoro” de la literatura griega. Alrededor de ella, surgió en la ciudad un importante comercio de libros. Trabajaban para la biblioteca numerosos esclavos que transcribían las obras de
los grandes escritores griegos en muchos ejemplares,
vendidos luego en todo el mundo heleno. Gracias a la
biblioteca y a las librerías alejandrinas han podido llegar a nosotros los tesoros de la literatura griega clásica. Esta gran biblioteca, en cuya fundación influyó
Demetrio Faléreo, que había sido expulsado de Atenas en el 307, reunió en tres siglos 700.000 volúmenes de pergaminos manuscritos; fue destruida por un
incendio en el año 47 a.C., como consecuencia del
asedio que impuso la escuadra egipcia a las tropas de
Julio César.
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ACTA
La invención de la geometría
Otra importante institución fue el Museo, es decir,
una casa dedicada a las Musas. Estaba destinada a
acoger y apoyar los trabajos de los diversos intelectuales protegidos por el rey Ptolomeo. Se dice que la
biblioteca de Alejandría pudo haber sido precisamente la del Museo.
Los alejandrinos supieron atraerse a su ciudad a
los científicos más destacados de su tiempo. Durante
siglos continuó siendo el centro espiritual del mundo,
y en el primer siglo de su existencia ya vivieron allí los
tres matemáticos más grandes de la Antigüedad:
Euclides, Arquímedes y Apolonio.
Euclides fue el primer guía de la escuela alejandrina. Se le describe como un hombre apacible y mesurado, lleno de buena voluntad con todo aquel que se
propusiera hacer mejorar las matemáticas; tuvo
mucho respeto y reconocimiento por los que le precedieron, de forma que se cuidó de modificar lo menos
posible sus obras. Se dice que era muy retraído hacia
todos los trabajos que realizaba y de los resultados
que alcanzaba, de tal forma que sus contemporáneos
y sucesores tenían la inclinación a olvidar al hombre
frente a su obra. Así, cuando hablaban de Euclides,
pensaban, casi como hacemos hoy día, en sus trabajos y, ante todo, en sus Elementos, y poco en el propio sabio. Incluso en la Edad Media se llegó a más,
negándose casi por completo la propia existencia del
hombre: parecía que Euclides no hubiera vivido.
cas conocido ya durante su vida con el nombre de
teorema de Sturm, que en sus últimos años y durante la docencia de sus lecciones, decía con toda seriedad: Ahora, señores, llegamos a un bello teorema
cuyo nombre tengo el honor de llevar. De Euclides no
se hubiera podido pensar una manifestación semejante: su modestia, unida a un rigor inflexible y la
máxima veneración por la ciencia, le impedían hablar
de otra cosa que no fueran sus hechos, sus trabajos.
Su obra cumbre, los Elementos, en la que, según
comentario de Proclo, concluía muchas cosas comenzadas y, además de esto, apoyaba en demostraciones
irrefutables lo que sus antecesores sólo habían
demostrado a la ligera, se caracterizaban por el rigor
de la sistematización. A este mismo respecto, decía
Lagrange que, […] aprender geometría sin conocer a
Euclides sería como querer aprender latín o griego en
los libros modernos escritos en esos idiomas sin consultar en los textos originales.
No es nuestro objetivo hablar de la obra de Euclides más allá de lo relacionado con la geometría. Sólo
reseñar unas notas sobre el maestro. El tratado Elementos de Euclides es uno de los escritos matemáticos antiguos más voluminosos. Uno de los méritos
más notable, que como autor tiene Euclides en la
obra, fue haber distribuido la materia que contenía de
acuerdo con unos criterios muy determinados, además de haberle dotado de una estructura deductiva
local. Los resultados están agrupados en función de
los objetos a los que se refiere. Se distinguen tres
grandes subconjuntos: los Libros de la geometría
plana, los Libros de la aritmética y los Libros de la
estereometría. Todo ello equivale al estudio de la figura plana, del número y de la figura sólida.
Euclides.
La Escuela de Atenas.
No siempre los matemáticos son tan modestos ni
saben anteponer, de la manera que lo hizo Euclides,
las cosas a sus propios méritos. Así, por ejemplo, se
cuenta de Sturm (1803-1855), especialista francés en
álgebra y teoría de números, y del que procede un
importante teorema relativo a las funciones algebrai-
84
Papiro, siglo I o II, con un fragmento de la proposición 5
del Libro II de Euclides.
Esta clasificación en elementos conduce a resaltar
las figuras más simples, como son los triángulos, cua-
La invención
de la geometría
drados, rectángulos, los paralelogramos y el trapecio,
en los Libros I y II; el círculo y los segmentos, en el
Libro III; los polígonos regulares inscritos o circunscritos en una circunferencia, en el Libro IV. Semejante
distribución hace para las figuras sólidas.
Pero Euclides triunfó en un punto: en su forma de
trabajar con líneas paralelas. Y nos interesa resaltar esta
cuestión. Por ello, es necesario aclarar que Euclides no
intentó encubrir por medio de un axioma plausible su
incapacidad para demostrar cierta propiedad de las
líneas paralelas coplanarias. Muchos de sus otros
supuestos, o bases necesarias para sus argumentos,
eran tales que dispondrían razonablemente del asentimiento general. Pero en el caso de las líneas paralelas
comenzó con un supuesto elaborado que conocemos
como el postulado de las paralelas: si una línea recta
corta a dos líneas rectas de manera que los dos ángulos
interiores que se forman en el mismo lado no sumen
más de dos ángulos rectos, esas líneas rectas prolongadas continuamente se cortarán a la larga en el lado en
el que los ángulos son menores que dos ángulos rectos.
escrito de él que [...] estaba siempre ensimismado y
como encantado por una extraña sirena, hasta el
punto de olvidarse de comer y beber, dejando también en el mayor abandono el cuidado de su cuerpo.
A veces tenía que ser arrastrado al baño. En la ceniza
del suelo dibujaba frecuentemente figuras geométricas; y recién lavado y perfumado, comenzaba a trazar
líneas con el dedo aquí y allá, completamente dominado por el sentimiento de una felicidad inefable y
verdaderamente poseído por su musa matemática.
Pensando día y noche, como se dice que había hecho
Newton para llegar al establecimiento de la ley de la
atracción universal, así también Arquímedes, siempre
según las noticias de Plutarco, pudo realizar la ingente obra de todos sus trabajos científicos que no quedan restringidos sólo a su principio de la hidrostática
conocido hoy como principio de Arquímedes.
Dejando esto sin demostrar, y probando en realidad su recíproco, Euclides se expuso al ridículo y a los
ataques. Seguro que sus críticos dirían que éste no
era un supuesto adecuado como los otros suyos, sino
más bien susceptible de demostración. La venganza
de Euclides llegó con el descubrimiento de las geometrías no euclídeas en el siglo XIX, de la mano de
Gauss, Bolyai y Lobachevski.
El griego Arquímedes fue uno de los sabios más
grandes de la Antigüedad. Hijo del astrónomo Fidias,
nació en Siracusa en 287 a.C., la mayor ciudad del
occidente griego, situada en la isla de Sicilia, muriendo a los setenta y cinco años en su ciudad natal a
manos de un soldado, de un oscuro soldado romano,
en 212 a.C., según nos cuenta Plutarco en su obra
Vida de Marcelo. Probablemente fue pariente del rey
Hierón II (270-215 a.C.), tirano de Siracusa. A Arquímedes se debe, entre otras cosas, la medida de la circunferencia, ideas sobre el cálculo de áreas, es decir,
sobre el cálculo integral y diversos trabajos sobre estática, mecánica, hidrostática y óptica. Muy rara vez se
condensa la llama divina, la esencia de una auténtica
personalidad superior, de tal forma en un solo hombre, como para, sin la menor vacilación ni duda,
poder reconocer al portador de esta gracia como un
verdadero elegido: ese elegido fue Arquímedes. Parece haberse perdido una biografía contemporánea del
gran maestro, por lo que sabemos poco de su vida.
Quizá en algún momento marchó a Alejandría desde
donde regresó de nuevo a Siracusa sin dejar de estar
nunca en relación con la sapiente ciudad egipcia. Trayendo de nuevo a esta redacción a Plutarco, éste dejó
Arquímedes.
Domenico Fetti, 1620.
Esa obra no estuvo confinada en las regiones de
la ciencia pura, sino que también se abrió a cualquier
circunstancia de la vida práctica, lo que hoy llamamos
ingeniería. Construyó máquinas basadas en las leyes
fundamentales de las máquinas simples, como las
poleas simple y compuesta, la palanca, de la que
supo formular su ley, el tornillo sin fin, la hélice y el
plano inclinado, que dejaban absortos por su eficacia
a sus contemporáneos. El hecho de que Arquímedes
supiera mostrar y fundamentar la ley de la palanca
representa mucho más que un conocimiento primitivo de esta índole. De ahí su exclamación después del
gran descubrimiento: dadme un punto de apoyo y
moveré la Tierra. Siguiendo los relatos de Plutarco, y
en relación con la polea, sabemos que un barco de
carga que se encontraba varado en tierra firme pudo
ser devuelto al agua: [...] se sentó a una cierta distancia y sin gran esfuerzo movió lentamente el extremo
de una polea, con lo que, sin el menor tropiezo, atra-
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ACTA
La invención de la geometría
jo suavemente el barco hacia sí, como si se deslizara
sobre el agua. El rey, que había presenciado la
extraordinaria eficacia del artilugio, le propuso la
fabricación de toda clase de máquinas de guerra, de
las que Arquímedes nunca hizo uso alguno ya que
toda su vida transcurrió en tranquila y dichosa paz.
Termina Plutarco este relato así: Pero en el ataque de
los romanos, estos preparativos y su inventor con
ellos, prestaron a los siracusanos magníficos servicios.
Dadme un punto de apoyo y moveré la Tierra.
Gravado de Mechanic’s Magazine, 1824.
Gracias al genio de Arquímedes pudo la ciudad
de Siracusa ofrecer a los romanos una resistencia de
más de dos años, estando acostumbrados como estaban a la rápida victoria y a arrollar todo obstáculo.
Pues la mayoría de los instrumentos que Arquímedes
había construido estaban tras las murallas, en sitios
escondidos, y era como si los romanos hubiesen estado luchando contra los dioses, porque los espacios
invisibles vertían sobre ellos inmensa desgracia. Claudio Marcelo, el jefe de los romanos, decía a sus hombres: no acabaremos nunca de luchar contra este
Briareo geómetra que utiliza nuestros barcos como
tazas para vaciar el agua del mar, rechaza ignominiosamente nuestra zambuca con sus catapultas y con la
enorme cantidad de proyectiles que arroja sobre nosotros supera a los sentímanos de la mitología.
Sabemos que a estos aparatos mecánicos se vino
a sumar, según se cuenta, la acción de un arma completamente nueva: el calor abrasador del sol al incidir
y reflejar sus rayos en los espejos cóncavos. Su ciencia le valió para prender fuego a la flota romana ante
las murallas de Siracusa.
Citar también la hélice arquimediana, consistente
en un cilindro en cuyo interior se encontraba una
especie de escalera de caracol de suave pendiente.
Derivación de este invento de Arquímedes ha sido la
hélice que produce la propulsión en los barcos.
El gran siracusano fue también un afamado astrónomo. Construyó un globo celeste, una esfera que,
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movida probablemente por la fuerza del agua, representaba con tanta exactitud el curso del Sol y de la
Luna con sus fases, que incluso los eclipses acontecían
puntualmente. Se trataba de un pequeño planetario.
Según cuenta la leyenda, Marcelo, que sintió la
muerte de Arquímedes a manos de uno de sus soldados al que calificó de asesino y vulgar malhechor, hizo
gravar en su tumba la figura que el mismo Arquímedes había determinado: una esfera y un cilindro, una
inscrita en el otro, cilindro cuya base es un círculo
máximo de la esfera y cuya altura es igual al diámetro
de la misma. Con esta figura quiso el sabio griego perpetuar su aportación tal vez más meritoria: el cálculo
del volumen de la esfera y la relación entre los volúmenes de esa figura y la del cilindro: “el cilindro tiene
un volumen equivalente a vez y media el de la esfera”.
Dicho esto, resumiremos ahora sus trabajos matemáticos, desarrollados todos con la mayor elegancia.
Se conservan aún muchos, aunque no todos, de
los escritos de Arquímedes que cubren un amplio
espectro de la matemática y en todos ellos transpiran
la aguda marca del genio. Inventó el cálculo integral
para el que dio demostraciones estrictas con el fin de
encontrar áreas, volúmenes y centros de gravedad de
diversas curvas y superficies, como el círculo, la esfera, las cónicas y distintas espirales. Las cuadraturas
las obtuvo mediante la aplicación de la ley de la
palanca y el uso del baricentro de las figuras respectivas. Con el método que empleó para hallar la tangente a una espiral, dio los primeros pasos hacia la geometría diferencial. Para esos cálculos, necesariamente
tuvo que manejar aproximaciones para el número π
o para √3, aproximaciones como las siguientes:
Parece natural suponer que Arquímedes también se
hallaba familiarizado con las fracciones continuas o
con algún recurso matemático equivalente, como lo
demuestra la aproximación a √3. En 1907, Heiberg
descubre en un palimpsesto de Estambul el texto perdido de Arquímedes, Método, texto que ha sido muy
importante para conocer la metodología heurística utilizada por el sabio para alcanzar muchos de los resultados que obtuvo, como por ejemplo que el área de un
segmento parabólico es igual a dos tercios del área del
paralelogramo circunscrito a la parábola. También en
ese libro puede leerse que Arquímedes consideraba a
Demócrito de Tracia (460-370 a.C.) como el primer
matemático que estableció correctamente la fórmula
del volumen de un cono o de una pirámide.
La invención
de la geometría
Arquímedes fue un gran estudioso de las ecuaciones que más tarde se han llamado diofánticas, ecuaciones con dos incógnitas para las que se buscan
soluciones enteras y cuyo cálculo pasa también por
desarrollos en fracción continua, hecho que parece
que Arquímedes también conocía.
problema de Apolonio implica diez casos, dos de ellos
ya resueltos en los Elementos de Euclides.
Apolonio de Perga (h. 262-h. 200 a.C.), ciudad de
la Grecia Jónica, actualmente Murtina, en Turquía,
fue el tercer gran matemático de este período que
consiguió el título de gran geómetra por su estudio de
las cónicas. Era unos veinte años más joven que
Arquímedes. Viajó a Alejandría siendo muy joven y
allí permaneció mucho tiempo, lo que no le evitó viajar también a Éfeso y Pérgamo, ciudad esta última
donde conoció a Eudemo, gran historiador de la ciencia que nos ocupa.
Apolonio escribió extensamente y muchos de sus
libros aún se conservan. Todo lo que hizo Euclides por
la geometría elemental, y en particular por la circunferencia, lo hizo Apolonio por las secciones cónicas, es
decir, por aquellas curvas obtenidas cortando un cono
circular recto por un plano, obteniéndose así, según la
posición de ese plano, dos rectas, una circunferencia,
una elipse, una parábola o una hipérbola. La teoría
general de las cónicas que exige el recurso de los números, de las coordenadas, no vio la luz sino muchos años
después cuando el álgebra se alió con la geometría y
hasta que hombres como Kepler, Cavalieri y Descartes
estuvieran preparados para utilizar ambos tipos de técnicas; pero Apolonio estudió, sin ninguna preocupación
por la utilidad, las propiedades de esas curvas cuyo
conocimiento se ha revelado indispensable en las cuestiones más dispares, como la trayectoria de los planetas
alrededor del Sol, el movimiento de los proyectiles o los
diagramas de los motores térmicos.
El estudio de las cónicas, Tratado de las cónicas,
estaba contenido en ocho volúmenes, ocho Libros,
de los que nos han llegado los cuatro primeros en
griego, es decir, en su texto original; en árabe se han
encontrado los siete primeros, puestos en latín hacia
1650. El octavo libro se ha perdido. En ellos se
encuentran propiedades relativas a las asíntotas, a los
focos, diámetros conjugados, normales, polares y a
sistemas formados por dos cónicas.
Otra realización de Apolonio fue su resolución
completa de un problema referente a una circunferencia que satisfacía tres condiciones, desde pasar por
tres puntos dados a ser tangente a tres circunferencias
o rectas dadas. Se enuncia así: dados tres objetos que
pueden ser, cada uno de ellos, puntos, rectas o circunferencias, encontrar una circunferencia tangente a
esos objetos o que pase por los puntos. En total, el
Apolonio de Perga.
Apolonio llegó hasta el final de la geometría estrictamente griega, conquistando su campo más difícil.
La geometría de la forma y de la posición fue desarrollada por él hasta el grado máximo y sólo en tiempos
relativamente modernos ha podido encontrar imitadores y continuadores. En este sentido, Apolonio,
Épsilon como le llamaban sus contemporáneos,
representa la culminación de la escuela griega. En
contraposición a Apolonio, Chasles decía que Arquímedes había representado la geometría de la medida.
Apolonio fue también un experto en números,
escribió sobre irracionales desordenados e ideó un
método para aproximar el número π; fue además un
astrónomo competente.
El fallecido profesor Miguel de Guzmán nos ha dejado escritas estas palabras: Apolonio representa la grandeza técnica especializada, el virtuosismo geométrico
por excelencia. Es verdad que su obra hizo olvidar lo
que antes de él se había escrito en el campo de su mayor
brillantez, las cónicas, pero por su carácter tan especializado y tan difícil, ni siquiera esta obra maestra, las Cónicas, se conoce hoy en su integridad y más de la mitad de
ella permaneció oculta para el mundo occidental hasta
que fue hallada por Edmond Halley en 1710. Precisamente el astrónomo Halley restituyó el octavo y último
Libro a partir del propio plan de Apolonio.
Marcell Boll, en su Historia de las matemáticas, nos
dice de Arquímedes y de Apolonio que son dos ejemplos que el progreso humano ha situado en su justo
lugar. La ciencia es una obra desinteresada: cuanto más
desinteresada, más fecunda es; incluso desde el punto
de vista práctico. En ciencia, lo que se encuentra es casi
siempre más importante que lo que se busca.
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