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UNIDAD I
SISTEMAS DE UNIDADES Y MEDICIONES
COMPETENCIA PARTICULAR 1:
Aplica diferentes procesos de medición en el análisis de fenómenos
naturales, en situaciones académicas y sociales.
RESULTADO DE APRENDIZAJE PROPUESTO (RAP)
•
Señala las diferencias entre los sistemas de unidades absolutos y no
absolutos en situaciones sociales.
IMPORTANCIA DE LA FÍSICA Y SU RELACIÓN CON EL MEDIO QUE
NOS RODEA.
Nuestra civilización nos arrastra a gran velocidad hacia un fin que nadie
puede prever ni aún sospechar, los últimos cien años han visto más cambios
que en un millar de años del Imperio Romano y más de cien mil años de la
Edad de Piedra. Este cambio, en gran parte, proviene de las aplicaciones de la
Ciencia Física, la cual mediante el empleo del vapor, de la electricidad, del
petróleo, de la energía atómica, etc., sin embargo por medio de varias técnicas
industriales se ha afectado en gran parte nuestra existencia.
La física es una de las ciencias naturales que más ha contribuido al desarrollo
y bienestar del hombre, porque gracias a su estudio e investigación ha sido
posible encontrar, en múltiples casos, una explicación clara y útil a los
fenómenos que se nos presentan en nuestra vida diaria. La palabra Física
proviene del vocablo griego physik, cuyo significado es naturaleza. Es por
excelencia la ciencia de la medición y es, ante todo una ciencia experimental.
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Su estudio es de vital importancia ya que brinda las respuestas del por qué de
los múltiples fenómenos naturales.
• BOSQUEJO HISTÓRICO DE LA FÍSICA
La historia de la física se inicia con los antiguos griegos, quienes trataron de
explicar el origen del universo y el movimiento de los planetas. 500 años A. C.
Leucipo y Demócrito pensaban que todas las cosas de nuestro entorno, es
decir, la materia, estaban constituidas por pequeñas partículas. La Física es
posible subdividirla en tres grandes períodos: La Física Antigua; La Física
Clásica o Mecánica y La Física Moderna o Contemporánea.
La Física Antigua está oculta en las tinieblas del pasado y probablemente
jamás podremos saber qué pueblo o pueblos fueron los primeros que
encontraron que el fuego podía producirse por frotamiento, o los primeros que
descubrieron los principios de la rueda, la palanca, etc. Pero nos han llegado
las herramientas y armas que el hombre primitivo dejaba tras de sí en sus
chozas, en las cavernas o enterrados con sus muertos como en las pirámides
de Egipto.
Esta época se caracteriza porque todos sus conocimientos fueron
asimilados pero con poca organización y método, en estas condiciones los
conocimientos físicos adquiridos no se pueden considerar como componentes
de una ciencia porque no trascendieron por falta de comunicación.
La Física Clásica para algunos autores empieza con Aristóteles, famoso
griego a quien se le considera el padre de la Física. Las características de este
período son la observación y la experimentación; se empiezan a predecir los
fenómenos y se tiene la posibilidad de representarlos por medio de modelos.
Para otros autores, la Física Clásica empieza con Galileo Galilei, padre de la
experimentación en la Física. Este italiano dominó prácticamente todas las
ramas de la ciencia conocida en su época; introduce el Método Científico y
pone
en
duda,
para
sorpresa
de
sus
contemporáneos, los
conceptos
establecidos por Aristóteles, los cuales habían durado desde el año 350 A. C.
hasta el año 1596 en que los refuta y los demuestra experimentalmente, dicta
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las bases de la dinámica con lo cual se empieza en firme la Física
Experimental.
Otro gran físico de esta época fue Isaac Newton (1642-1727) el cual
revoluciona al mundo con sus tres leyes sobre Física con La Ley de la
Gravitación Universal, con la teoría corpuscular de la luz y muchos otros
descubrimientos.
En este período se contó con los trabajos de Johan Kepler, Blas Pascual,
Torricelli, otros científicos forman un eslabón entre la Física Clásica y la Física
Moderna, como lo son Heisemberg, Oersted, Maxwell,
Plank, Bhor, Huygens, De Broglie, Schrodinger, Fermi,
Lorente, los esposos Curie, Dirac, etc.
Física Moderna : En principio se consideró la época
de la Física Moderna con dos grandes adelantos: La
teoría de la Relatividad de EINSTEIN y Las Teorías de la
Mecánica Cuántica.
En la actualidad se han hecho grandes descubrimientos y adelantos; tratar
de englobar esta época en una serie de Leyes o Teorías sería erróneo ya que
ha sido la época más socorrida en este sentido, no es posible predecir hasta
donde puedan llegar los adelantos que día a día se efectúan y se descubren.
• LA CIENCIA
El origen etimológico de la palabra ciencia, proviene del latín “scire” que significa
saber.
La ciencia es un conjunto de conocimientos obtenidos a través de un método
específico este método por el cual se obtienen se conoce como el método científico.
Los conocimientos obtenidos deben ser razonados y sistematizados, opuestos al
conocimiento común. La ciencia no produce verdades incuestionables, sino que su
resultado puede ser contrastado y refutado en cualquier momento.
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Las principales características de la ciencia son:
Que es metódica, sistemática, acumulativa, comprobable y contrastable, especializada,
abierta y producto de una investigación científica.
Los resultados tecnológicos de la investigación científica tienden a producir
beneficios prácticos para la humanidad, como por ejemplo: las grandes
contribuciones que ha hecho la ciencia a la salud humana.
Imagen tomada de http://www.google.com/imgres?imgurl
• LA FÍSICA COMO PARTE DE LA CIENCIA.
La Física se define como “la ciencia que estudia la materia y la energía, su
interacción entre ellas, cuando no cambia de naturaleza y aún cuando lo
hace por medio de algún fenómeno nuclear".
•
CLASIFICACIÓN DE LA FÍSICA Y SU RELACIÓN CON OTRAS
CIENCIAS.
Para su estudio la Ciencia se divide en dos grandes grupos:
1.Ciencias formales. Que estudian ideas (como es el caso de la Lógica y de
las Matemáticas) frecuentemente emplean juicios deductivos, estos se
realizan cuando a partir de una generalidad o ley, analizan un caso
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particular; se caracterizan por demostrar o probar sobre la base de principios
lógicos o matemáticos, pero no confirman experimentalmente sus enunciados.
2. Ciencias factuales. Que estudian hechos, ya sea naturales, como la Física,
la Química, la Biología, o bien, hechos humanos o sociales como la Historia
y la Sociología las cuales emplean además de juicios deductivos, juicios
inductivos, demostrando mediante la observación y la experimentación; los cuales
se realizan a partir de un caso particular, llegando a enunciados de una
generalidad hipótesis, teorías o ley.
Derecho
Psicología
.
Humanas
Ejemplos
Economía
y/o sociales
Sociología
Otras
EMPÍRICAS
Se dividen en
Química
Biología
FÍSICA
Naturales
Ejemplos
Psicología
CIENCIAS
Se clasifican en
Otras
Matemáticas
FORMALES
Pueden ser
Lógica
Cuadro tomado de Internet de
http://travesiasfilosoficas.blogspot.com/2009_08_01_archive.html
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Los cambios que se producen en la naturaleza son
estudiados por las ciencias naturales como la Física, la
Química, la Biología y la Físico-química.
Por ejemplo: al frotarnos las manos generamos calor
que se disipa en el medio ambiente; la fricción es la
causa y la generación del calor es el efecto, esto lo
estudia la Física, ya que es un fenómeno natural en el cual no hay ningún
cambio en la composición de la materia. La Química, por su parte, estudia
los fenómenos en los cuales sí hay cambio en la constitución de la materia,
tal es el caso de una reacción química.
La Biología se ocupa de estudiar a los seres vivos y los cambios que se
producen en ellos, mientras que la Geografía Física nos permite conocer la
naturaleza del medio que nos rodea, apoyándose en la Astronomía, la
Meteorología, la Oceanografía y la Geodesia, esta última estudia la forma de
la Tierra y la medición de su superficie.
Los descubrimientos físicos, frecuentemente han servido de impulso para
el desarrollo de otras ciencias, como por ejemplo: La invención del
microscopio y del telescopio aceleraron el desarrollo de la Biología y de la
Astronomía; el análisis espectral descubierto por los físicos se ha convertido
en uno de los métodos fundamentales de la Astrofísica.
CLASIFICACIÓN DE LA FÍSICA
Para su estudio la Física se clasifica en dos grandes grupos:
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.
•
Física Clásica estudia los fenómenos en los cuales la velocidad
es muy pequeña comparada con la velocidad de propagación de la
luz, se considera como clásica hasta antes de la aparición de la
física cuántica.
•
Física Moderna que se encarga de todos aquellos fenómenos
producidos a la velocidad de la luz o con valores cercanos a ella,
de acuerdo al cuadro sintetizado que se presenta a continuación.
La Física como una ciencia experimental, recurre a la reproducción
de fenómenos por medio de la experimentación, comprobando así sus
leyes y teorías, por lo que es considerada como una ciencia experimental.
La física estudia fenómenos que ocurren en la Naturaleza y por esto es
considerada como una ciencia natural. La física experimental crea
experimentos que tienen por objeto observar hechos nuevos o verificar leyes físicas ya
establecidas. Sin embargo la física teórica tiene por objeto formular leyes sobre la
naturaleza y explicarlas a través de fenómenos concretos, prediciendo también nuevos
sucesos.
Concepto de fenómeno físico. En todo fenómeno natural intervienen la
materia y la energía, las cuales sufren constantes cambios o fenómenos
que tienen lugar en el espacio y en el tiempo. Cuando estos cambios se
producen sin alterar la naturaleza de las sustancias que intervienen en
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ellos se dice que se produce un Fenómeno Físico, tal como la caída libre
de los cuerpos, el movimiento de los planetas, la flotación de los cuerpos,
la
temperatura,
el
funcionamiento
de
las
válvulas
electrónicas,
el
funcionamiento de los motores y generadores eléctricos, etc.
El Método Científico en la Física. Es la característica más permanente de la
ciencia
y
constituye
la
garantía
que
nos
permite
confiar
en
las
conclusiones de la investigación científica. Este método recibe el nombre
de Método Científico, el cual es el método general que emplea la ciencia y
está constituido por un conjunto de procedimientos que se aplican al
proceso total de la investigación científica.
Obtención de conocimientos sistemáticos y confiables
Aunque
la
ciencia
se
comienza
a
estudiar
con
descubrimientos
fragmentados tales como la caída libre de los cuerpos, la ciencia no
avanza hasta que se puede conectar un conjunto de descubrimientos, y
cuando esto se realiza se dice que los conocimientos se sistematizan,
así Newton sistematizó los conocimientos de la caída libre de los cuerpos
relacionándolos con los conocimientos del movimiento de la Luna, el
movimiento de los planetas alrededor del Sol, etc.
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Imagen tomada de http://ivan-metodosytecnicasdeinvestigacion.blogspot.com/
ETAPAS DEL MÉTODO CIENTÍFICO.
El método científico es un conjunto de procedimientos que se aplican al
proceso total de la investigación científica.
Actualmente no se pueden establecer reglas fijas en la secuencia que
se debe seguir en la investigación debido principalmente, a que la
metodología científica da indicaciones y suministra medios para evitar
errores, pero debemos considerar que el método científico no es infalible ,
es decir, puede perfeccionarse mediante la estimación de los resultados
a
los
que
llega,
tampoco
es
autosuficiente
ya
que
tiene
que
las
más
complementarse mediante métodos especiales a cada tema.
Algunos
autores
aceptan
las
siguientes
etapas
como
importantes del método científico.
Observación
Experimentación
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Hipótesis
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Ley
.
Teoría
Tomada de
http://www.google.com/imgres?imgurl=http://www.cientec.or.cr/ciencias/metodo/grafico
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Observación y experimentación
El primer paso en toda investigación lo constituye la observación atenta
y minuciosa de cualquier cambio que ocurre en la naturaleza (a la cual se
conoce como fenómeno), por ejemplo: la observación del movimiento de
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los astros realizada por los astrónomos, el comportamiento biológico de
las células que hacen los biólogos, etc.
Un experimento consiste en la reproducción de un fenómeno, controlando
adecuadamente las condiciones externas que influyen necesariamente en
el proceso observado.
El experimento va acompañado de la observación, del registro y análisis
adecuado de datos; a este conjunto se le llama experimentación.
Obtención de parámetros y restricción del problema
Una
observación
o
una
experimentación
estarían incompletas si no van acompañadas
de una medición adecuada, la cual puede ser
cualitativa o cuantitativa.
La medición cualitativa consiste en resumir
las propiedades y características generales
del fenómeno, tratando de dar una descripción lo más exacta posible del
suceso, y en la medición cuantitativa nos valemos de las cantidades
observadas para saber qué variable es posible medir del fenómeno para
formular un modelo matemático en el que estarán relacionadas las
cantidades medidas.
HIPÓTESIS O POSTULADO.
El investigador no se conforma con la observación y la experimentación,
quiere, además, buscar una explicación al fenómeno observado y para
ello comienza con establecer una serie de hipótesis o postulados.
Las hipótesis son ideas acerca de la naturaleza de los elementos que intervienen en el
fenómeno estudiado, es decir, son suposiciones validas de algo observado y que se
establece para obtener una consecuencia, por lo tanto, son arbitrarias en el sentido de que
se basan en la experiencia del que investigador.
Los requisitos que debe cumplir una hipótesis son:
1. Estar fundamentada en el cuerpo del conocimiento existente y
2. Tener consistencia lógica.
S e r r e p r o d u c i b l e y d e m o s t r a b l e e n e l m o m e n t o y lu g a r d e s e a d o .
Compara lo anterior con la estructura del pensamiento humano, de la siguiente figura.
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Un ejemplo de hipótesis sería:
Suponer que la Tierra atrae a los cuerpos con la misma aceleración cuando caen
desde la misma altura.
Ley física. A p a r t i r d e l a s h i p ó t e s i s y s i g u i e n d o u n p r o c e d i m i e n t o d e a n á l i s i s d e l o s
resultados de la observación y de la experimentación, el investigador trata de deducir las
leyes que ha obtenido experimentalmente. Una ley es una hipótesis científica que ha sido
confirmada experimentalmente. Los requisitos que debe cumplir una ley científica son:
1. Tener cierto grado de alcance y de generalidad.
2. H a b e r s i d o c o n f i r m a d a e x p e r i m e n t a l m e n t e .
Ejemplos de leyes físicas serían:
1. La difracción de la luz, descomponiéndose en sus colores
básicos (arco iris).
2. Cargas eléctricas del mismo signo se repelen y de signo
diferente se atraen
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Las leyes pueden ser cualitativas o cuantitativas.
•
Son cualitativas cuando no contienen relación alguna entre las magnitudes
que intervienen en el fenómeno.
Ejemplos: 1.- Todo cuerpo dejado caer libremente, cae hacia la superficie de la tierra.
2.- El periodo de un péndulo es independiente de la masa del péndulo.
•
S o n c u a n t i t a t i v a s c u a n d o s u e n u nc i a d o e x p r e s a a l g u n a r e l a c i ó n e n t r e l a s
magnitudes que intervienen en el fenómeno.
Ejemplos: 1.- Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando su cociente es constante. Y = Cte.
X
2.- El período de un péndulo es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su longitud.
T = 2π
l
g
Teoría Física. Una teoría es un conjunto sistematizado de hipótesis científicas que se
refieren a un determinado sector del universo. Dentro de estas hipótesis se encuentran
incluidas las leyes. Los requisitos que debe reunir una teoría son:
•
Ser capaz de predecir y explicar hechos de un sector del universo.
•
Las hipótesis que la forman deben constituir un todo interconectado en forma
lógica.
•
Ser contrastable (comparable y comprobable).
U n e j e m p l o d e l a T e o r í a C i e n t í f i c a e s La Teoría Atómica, l a c u a l e s t á f o r m a d a
por varias hipótesis.
Modelo científico. Ya que no es posible, en la mayoría de las veces, obtener una
p r o p o r c i ó n d e t e r m i n a d a d e l u n i v e r s o , e l c i e n t í f i c o s e a p o y a e n abstracciones a c e r c a d e s u
estructura, las cuales consisten en sustituir la porción del universo que se estudia por un
modelo con estructura similar pero más sencilla. Los modelos pueden ser:
a ) Formales, l o s c u a l e s c o m p r e n d e n e x p r e s i o n e s s i m b ó l i c a s , t é r m i n o s l ó g i c o s ,
e c u a c i o n e s , e t c . E j e m p l o : A + B=C + D
b ) Materiales, q u e i n c l u y e n t o d a r e p r e s e n t a c i ó n e n f o r m a m a t e r i a l , p o r e j e m p l o l a
representación de la molécula a base de pelotas de hule unidas con varillas
metálicas.
U n m o d e l o , y a s e a f o r m a l o m a t e r i a l , e s s u s c e p t i b le d e p e r f e c c i o n a m i e n t o , p e r o n o
es posible lograr la perfección total puesto que ésta implicaría un absurdo, ya que el
mejor modelo del sistema solar, de una reacción química o de un átomo sería el
sistema solar, la reacción química o el átomo mismo.
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Se puede resumir un mapa conceptual del método científico como:
I m a g e n t o m a d a d e : http://lordofthechicks.blogspot.com/2011/04/metodo-cientifico.html
• Magnitudes Físicas y sus antecedentes históricos.
Desde tiempos remotos el hombre ha tenido la necesidad de
medir, pero el problema ha sido encontrar un patrón de medida
adecuado y aceptado por toda la humanidad. En la antigüedad las
unidades de medida eran determinadas por los gobernantes de
cada imperio, por lo que eran tan variadas y caprichosas que en
ocasiones no se respetaban, ya que el poderoso o rico imponía
sus propias medidas a su conveniencia.
Así se utilizaron los codos, las varas, los pies, los tiros de
piedra y los jemes (distancia entre el dedo índice y el pulgar al
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.
estirar la mano) para medir la longitud; cuarterones, arrobas, quintales y cargas para
medir la masa; y lunas, soles y lustros para medir el tiempo.
No fue sino hasta 1795 cuando se estableció por primera vez un sistema de unidades
b i e n d e f i n i d o e n e l m u n d o c i e n t í f i c o : El sistema métrico decimal. C o m o r e s u l t a d o d e l a
Convención Mundial de las Ciencias, efectuada en Francia.
Las unidades fundamentales iniciales fueron: el metro, el kilogramo-peso (comparado
con un litro de agua destilada al nivel del mar), y el segundo.
El Sistema Internacional de Unidades (S. I.) se basa en el llamado MKS, cuyas iniciales
c o r r e s p o n d e n a l Metro, Kilogramo y Segundo, q u e t o m ó c o m o p a t r ó n , a l m e t r o c o m o u n i d a d d e
longitud, al kilogramo como unidad de masa y al segundo como unidad de tiempo.
L a p a l a b r a metro q u i e r e d e c i r m e d i d a .
Inicialmente el metro (m) se definió como la diezmillonésima parte de la distancia entre el ecuador y el
polo norte a lo largo del meridiano de París. Entre 1792 y 1799, esta distancia fue medida parcialmente por
científicos franceses. Considerando que la Tierra era una esfera perfecta, estimaron la distancia total y la
dividieron entre 10 millones.
Actualmente el metro patrón corresponde a la longitud recorrida por la luz en el vacío durante
un intervalo de tiempo de 1/299 792 458 de segundo veces, la longitud de onda emitida por el
átomo de criptón de masa atómica 86.
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.
El kilogramo patrón equivale a la masa de un cilindro hecho de platino e iridio, el cual se
conserva en “La Oficina Internacional de Pesas y Medidas”, en París Francia.
El segundo patrón se define como la duración de 9192 631700 ciclos de la radiación de cierta
transición del electrón en el átomo de cesio de masa atómica 133.
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RESULTADO DE APRENDIZAJE PROPUESTO (RAP) No. 2.
Realiza diferentes tipos de medición para cuantificar diversos objetos o situaciones en el
entorno social.
MEDIDAS Y ERRORES.
C o n c e p t o d e m e d i c i ó n . Medir es la acción de comparar una cantidad con otra de la misma
especie y a la cual se le da el nombre de unidad. Así, sí se desea medir la longitud de un objeto, se
hace utilizando la unidad de longitud llamada metro patrón, sin embargo, en algunos casos no es
posible utilizar un patrón para realizar las mediciones, por lo que es necesario distinguir dos
métodos de medición.
M e d i c i ó n d i r e c t a . Se caracteriza por obtener e l resultado en el instante de realizar la
medición por utilizarse un patrón para tal efecto.
Ejemplos de medición directa.
•
Medir la distancia entre dos puntos utilizando una cinta graduada.
•
La determinación del tiempo de un fenómeno, mediante un cronómetro.
•
La medición de la temperatura por medio de un termómetro.
M e d i c i ó n i n d i r e c t a . En este caso, dicha medición se obtiene como una derivación de la
medición directa calculando el valor de la cantidad deseada mediante la aplicación de las fórmulas
adecuadas.
Así, por ejemplo, sí se desea conocer el área del piso del salón de clases, se mide directamente
el largo y el ancho y aplicando la fórmula del área del rectángulo, se calcula el área del piso.
Ejemplos de medición indirecta.
1. El volumen de un cuerpo cuyo resultado depende de la forma y de la dimensión del objeto.
2. La determinación de la velocidad de un auto cuyo valor es la relación de la distancia
recorrida al tiempo empleado en recorrer dicha distancia.
3. Otros ejemplos lo constituyen la determinación de la aceleración y del trabajo realizado.
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.
PROCEDIMIENTOS PARA REALIZAR UNA MEDICIÓN.
A fin de reducir los errores en una medición y obtener un resultado práctico, se procede de la
siguiente manera.
1. Se obtiene el valor medio o valor más probable, el cual corresponda al promedio o media
aritmética de diferentes mediciones, esto es:
Valor _ medio(Vm ) =
Vm =
suma _ de _ los _ valores _ medio
número _ de _ mediciones
x1 + x2 + x3 + x4 + .... + xn
n
Por ejemplo, si se toman las siguientes lecturas:
X1
= 5.55, X2 = 5.60, X3 = 5.57, x4 = 5.56, x5 = 5.57 el valor medio será:
5.55 + 5.60 + 5.57 + 5.56 + 5.57
Vm =
27.85
=
5
= 5.57
5
2. Obtención del error absoluto:
Error absoluto = Error medio - Valor medio
Del ejemplo anterior se tiene:
5.55 - 5.57 = -0.02
5.60 - 5.57 = 0.03
5.57 - 5.57 = 0.00
5.56 - 5.57 = -0.01
5.57 - 5.57 = 0.00
Los signos nos indican únicamente que la medición realizada es mayor o menor que
el valor medio.
3. Determinar el error medio (Em), el cual corresponde al promedio o media aritmética de los
errores absolutos, esto es:
Em =
suma _ de _ los _ errores _ absolutos
número _ de _ errores
Continuando con el ejemplo.
0.02 + 0.03 + 0.00 + 0.01 + 0.00
Em =
= 0.012
5
4. Determinar el intervalo del valor ideal o verdadero y que corresponde a la variación que puede
tener el valor medio, esto es:
Intervalo de incertidumbre = 5.57 ± 0.012
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.
CONCEPTO DE ERROR. Al realizar una medición, la
exactitud de la medida está condicionada a por la precisión
del instrumento empleado y por la habilidad de la persona
que mide, y aunque utilice el instrumento más preciso y su
habilidad fuera la mejor, siempre habrá un punto en que la
lectura es incierta.
El término error no indica una acción equivocada sino más
bien la incertidumbre entre el valor medido y el valor ideal o
verdadero que sólo se podría obtener con instrumentos perfectos y técnicas de medición perfectas.
Para calcular el error de estimación e =
Σ( x − x ) 2
N * ( N − 1)
TIPOS DE ERRORES. En la práctica, las mediciones nunca son perfectas, siempre están
acompañadas de errores, los cuales son de dos tipos: Errores sistemáticos y errores accidentales.
• Errores sistemáticos. Estos errores siempre afectan al resultado en la misma
dirección, son del mismo signo, tiene aproximadamente el mismo resultado cuando
no se varían las condiciones en que se realiza la medición. Entre los errores
sistemáticos más importantes están:
1. Error de fabricación: Se deben a defectos de calibración, calidad de los
materiales de los instrumentos, etc.
2. Errores de influencia o externos: Se producen por motivos ajenos a los
instrumentos, como la temperatura, la presión, la humedad, la vibración, etc.
3. Errores de montaje: Son ocasionados por deficiencia de la persona que realiza
las mediciones, tales como la fatiga, una posición inadecuada al realizar la
lectura, etc.
4. Errores accidentales. Se deben a una combinación de factores que no se pueden
prever ni evitar. En este tipo de errores se producen tanto los errores positivos
y como los errores negativos, y entre los factores que los producen se pueden
citar: Los errores en la instalación de los instrumentos; Una deficiencia visual;
La falta de habilidad de las personas, etc.
5 . Error de paralaje. Se origina en la falta de perpendicularidad entre el rayo visual del observador y
la escala respectiva. Esta incertidumbre se puede reducir con la colocación de un espejo en la
parte posterior del índice. Así la perpendicularidad del rayo visual se logrará cuando el observador
no vea la imagen del mismo en el espejo.
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.
Como podemos observar en la imagen tomada por la cámara siguiente, lo que visualizamos con el visor
directo no coincide realmente con la imagen enfocada por el objetivo, este es un ejemplo de error de
paralaje.
EL SISTEMAS DE UNIDADES.
CONCEPTO DE MAGNITUD FÍSICA. Se le llama magnitud física a lo material, a lo
que permite comparación y adición.
Ejemplos de magnitud física. Entre las magnitudes físicas se encuentran las
siguientes: Longitud, área, volumen, aceleración, fuerza, temperatura y tiempo, y otras
que serán tratadas durante nuestro curso.
CONCEPTO DE ESPACIO. Al observar el
universo,
colección
vemos
de
que
cuerpos
está
formado
aislados
por
y
que
una
se
encuentran separados por vastas regiones de
espacio, cualquier otro objeto, por complejo que
sea, se considera formado por átomos, los cuales
tienen en su núcleo la mayor cantidad de masa y
a distancias relativamente grandes se encuentran
los electrones. Así podemos considerar que el
espacio e s l o q u e r o d e a a l o s c u e r p o s .
CONCEPTO
DE
LONGITUD.
Este
concepto
lo
obtiene el hombre intuitivamente desde su infancia al
comparar entre dos objetos; cuál está más cercano de
otro tomado como referencia. Lo puedes entender como
la altura de un cuerpo, que es la distancia entre el piso
y lo alto de tu cabeza.
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.
CONCEPTO DE MASA. A reserva de ser tratado este concepto en otras formas durante
nuestro curso, por ahora se considerará a la masa como una manifestación de la materia
en forma de partículas.
CONCEPTO DE FUERZA. Este concepto también se adquiere en forma intuitiva por el
hecho de observar la atracción que sobre los cuerpos ejerce la Tierra, el esfuerzo
corporal que se realiza cuando se jala o empuja un objeto, cuando el viento mueve las
ramas de los árboles, etc.
CONCEPTO DE TIEMPO. También este concepto se adquiere en forma intuitiva por el
hecho de advertir si dos sucesos ocurren o no.
CONCEPTO DE UNIDAD. El valor cuantitativo de una magnitud física se determina
con elementos precisos (perfectamente definidos) de la misma especie, llamados
unidades.
•
Unidades básicas. Son aquellas consideradas independientes y son las que
fundamentan la estructura de los sistemas de unidades.
•
Unidades derivadas. Son las unidades que se forman combinando unidades
básicas o bien éstas y las suplementarias.
•
Unidades suplementarias. Son las unidades con las cuales no se ha tomado una
decisión de si pertenecen a las unidades básicas o a las unidades derivadas.
CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS DE UNIDADES.
•
SISTEMAS DE UNIDADES ABSOLUTOS. Se caracterizan por basarse en las unidades
básicas de Longitud, Masa y Tiempo y los clasificamos en:
1.
Sistema Internacional (S. I.)
2. Sistema Cegesimal (S. G. S)
3. Sistema Inglés
• SISTEMAS DE UNIDADES GRAVITACIONALES. Estos sistemas se caracterizan por
basarse en las unidades básicas de Longitud, Fuerza, y Tiempo y se clasifican en:
1. Sistema Gravitacional Métrico o Técnico Métrico.
2. S i s t e m a G r a v i t a c i o n a l I n g l é s o T é c n i c o I n g l é s .
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 21
.
SISTEMAS DE UNIDADES ABSOLUTOS
El Sistema Internacional (SI). Es el primer sistema científico de unidades de medición
compatible, esencialmente completo y de carácter internacional; está fundamentado en
siete unidades básicas, y se integra de tres clases de unidades: Básicas, Derivadas y
Suplementarias.
Magnitud
Dimensión
Unidad
Símbolo
Longitud
L
Metro
M
Masa
M
Kilogramo
Kg
Tiempo
T
Segundo
s
Intensidad de corriente eléctrica
I
Ampere
A
Temperatura termodinámica
θ
Kelvin
K
Intensidad luminosa
Il
Candela
cd
Cantidad de sustancia
Mol
Mol
Mol
En comparación con otros sistemas de unidades, el SI presenta las siguientes ventajas:
1. Los patrones básicos pueden ser reproducidos en forma objetiva.
2. El S.I. es fácil de aprender, de recordar y de entender.
3. Permite optimizar los diseños, eliminando tamaños y tipos innecesarios.
4. Facilita las operaciones comerciales a niveles nacionales e internacionales.
Ejemplos de unidades derivadas. Aunque existe una gran variedad de unidades
derivadas del SI a continuación se listan las que utilizaremos en nuestro curso.
Magnitud
Unidad
Símbolo
Área
Metro cuadrado
m2
Volumen
Metro cúbico
m3
Velocidad o rapidez
Metro por segundo
m/s
Aceleración
Metro por segundo cuadrado
Fuerza
Kilogramo metro por segundo cuadrado
m2/s2
Kg m/s2
Nota: La unidad de fuerza Kg*m/s2 se llama Newton (N).
UNIDADES SUPLEMENTARIAS DEL S. I. Como se indicó, no se ha tomado una
decisión de sí pertenecen a unidades básicas o a unidades derivadas: corresponden a
ellas; magnitudes del ángulo plano y del ángulo sólido cuyos nombres respectivamente
s o n radián y esteradián.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 22
.
1 RADIÁN
1 ESTERADIÁN.
DEFINICIÓN DE LA UNIDAD DE LONGITUD.
E l metro ( m) e s l a u n i d a d d e l o n g i t u d , c u y a m a g n i t u d s e d e f i n ió e n 1 8 8 9 c o m o e l metro
patrón q u e c o r r e s p o n d e a l a d i s t a n c i a e n t r e d o s m a r c a s s o b r e u n a b a r r a d e platino-iridio q u e
se encuentra en el Museo de Pesas y Medidas en París. También es igual a 1’650,763.73
longitudes de onda en el vacío de la unidad de radiación correspondiente a la transición
entre los niveles 2pl0 y 5d5 del átomo del Kriptón 86, o como la longitud del trayecto
recorrido en el vacío por la luz durante un tiempo de 1/299 792 458 de segundo.
DEFINICIÓN DE LA UNIDAD DE MASA
E l kilogramo p a t r ó n e s l a u n i d a d d e m a s a y
es
igual
a
la
masa
del
prototipo
internacional del kilogramo el cual es un
c i l i n d r o d e platino-iridio q u e s e c o n s e r v a e n e l
Museo de Pesas y Medidas de París.
Para fijar la unidad principal de masa se
tomó
de
referencia
la
masa
de
agua
contenida en un decímetro cúbico, por lo tanto, un kilogramo es la masa de un litro de
agua pura a una temperatura de 4°C. Con una masa igual a ella se fabricó el cilindro de
platino-iridio.
D E F I N I C I Ó N D E L A U N I D A D D E T I E M P O . S e d e f i n e a l segundo c o m o l a d u r a c i ó n d e
9,192’ 631,770 períodos de la radiación correspondiente a la transición entre dos niveles
hiperfinos del átomo del Cesio 133, también se definió como 1/86400 del día solar
medio.
Se llama día solar verdadero al tiempo transcurrido entre dos pasos consecutivos del Sol
por el meridiano de un lugar, pero como no todos los días tienen la misma duración en el
transcurso de un año, se toma un día ficticio, llamado día solar medio, cuya duración es
tal que, al cabo del año, la suma de todos estos días ficticios es la misma que la de los
días reales.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 23
.
EL SISTEMA CGS.
Este sistema deriva su nombre de las iniciales de las unidades básicas d longitud, masa y tiempo,
que son: Centímetro, Gramo y Segundo (CGS] Definición de las unidades de las unidades básicas del
sistema CGS.
1. La unidad de longitud es el centímetro, definida como la centésima parte del metro.
2. El gramo es la unidad de masa, el cual equivale a la milésima parte del Kilogramo patrón.
3. Al igual que el S. I., el segundo es la unida de tiempo del sistema CGS.
Equivalencias entre las unidades del sistema CGS y el S. I.
Magnitud
Unidad del CGS
Unidad equivalente al SI
Longitud
Centímetro (cm)
10-2 m2
Masa
Gramo (g)
m-3 Kg
Tiempo
Segundo (s)
1 seg
EL SISTEMA INGLÉS.
Sistema inglés absoluto. El sistema inglés es utilizado principalmente en lo: países de habla
inglesa y sus unidades fundamentales básicas de Longitud, Masa 5 Tiempo son el pie, la unidad de
masa es la libra y la de tiempo es el segundo.
Equivalencias con el S. I. y el C. G. S.
SISTEMA
Magnitud
Inglés
S.I.
CGS
Longitud
1 Pie
0.3048 m
Centímetro (cm)
1 libra
0.45359 Kg
Gramo (g)
1 Segundo (s)
1 Segundo (s)
1 Segundo (s)
1m = 3.28 pies
1 Kg = 2.2046 libras
Masa
Tiempo
APUNTES FISICA I T.V.
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.
CONVERSIONES.
Ejemplo 1. Convertir las siguientes magnitudes del CGS al S I y al sistema inglés.
1. Longitud:
a).- 325 cm;
b).- 85144 cm
2. Masa:
b).- 534 g;
b).- 0.759 g
3. Tiempo:
c).- 3 600 s;
c).- 3 600 s
Solución:
a.-
b.-
325cm
1m
= 3.25m
100cm
85144cm
1m
= 851.44m
100cm
325cm
1 ft
= 10.66 ft
30.48cm
85144cm
1 ft
= 2793.44 ft
30.48cm
1Kg
= 0.534Kg
1000 g
0.759 g
1lb
= 1.18lb
453.59 g
0.759g
534 g
534g
1Kg
= 7.59 x10 −4 Kg
1000 g
1lb
= 1.67 x10 −3 lb
453.59 g
c.- Como el tiempo en los tres sistemas se mide con la misma unidad, el tiempo no sufre
transformación, quedando como
3600 seg. (del CGS)=3600 seg. (del S.I.)= 3600 seg. (en el S. Inglés)
60 seg. (del CGS)=60 seg. (del S.I.)= 60 seg. (en el S. Inglés)
Ejercicio 1. Convertir las siguientes magnitudes del S I al CGS y al sistema inglés.
4. a).- 5.75 m;
b).- 1607 m
5. b).- 3.5 Kg;
b).- 1 000 Kg
6. c).- 75 s;
c).- 676000 s
Ejercicio 2. Convertir las siguientes magnitudes del sistema inglés al S I y al CGS.
7. a).- 987.5’ pies; b).- 78.50 Millas
8. b).- 764.90 lb;
b).- 97.654 lb
9. c).- 3,698 s;
c).- 274,846 s
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 25
.
SISTEMAS DE UNIDADES GRAVITATORIOS O TÉCNICOS
Estos sistemas de unidades toman como magnitudes básicas a la longitud ( L ) a la fuerza ( F ) y
al tiempo ( t ).
Clasificación de los Sistemas Gravitatorios. Los sistemas gravitacionales que se estudian en este
curso son el métrico y el inglés.
1.- Unidades del Sistema Gravitatorios Métrico.
Magnitud
Unidad del Sistema Gravitatorio
Unidad equivalente
Métrico
al SI
Longitud
Metro (m)
m
Fuerza
Kilogramo fuerza (KgF)
Tiempo
Segundo (s)
9.8 New
1 seg
2.- El Sistema Gravitatorio Inglés.
Magnitud
Longitud
Sistema Inglés Técnico
Pie (‘)
Fuerza
Tiempo
Metro (m)
Segundo (s)
Equivalencias entre los Sistemas Internacional, CGS y Gravitatorio Métrico.
Métrico
S I
CGS.
1 KgF
9.8 Newton
9.8 x105 dinas
1/9.8 KgF
1 Newton
105 dinas
1/9.8x105 KgF
10-5 Newton
1 dina
E q u i v a l e n c i a e n t r e l o s S i s t e m a s Gravitatorios I n g l é s y A b s o l u t o I n g l é s .
Sistema Gravitatorio Inglés
Sistema Absoluto
1 lb
32 lb*pie/s2
1 /32 lb
1 lb*pie/s2
Ejemplo de CONVERSIONES:
1.- Transformar las siguientes magnitudes al S I y al CGS.
a) 100 Kg
b) 250 Kg
Solución:
a)
b)
100 Kg = 100 Kg*9.8 New/Kg = 980 N = 980 *105 dinas
250 Kg = 250 Kg*9.8 New/Kg = 2450 N = 2450 *105 dinas
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 26
.
2.- Transformar las siguientes magnitudes al Sistema Inglés Absoluto.
a)
60 lb
b) 150 lb
Solución:
a)
60 lb = 60 *32 lb*pie/s2 = 1920 lb*pie/s2
b)
150 lb = 150 *32 lb*pie/s2 = 4800 lb*pie/s2
E C U A C IO N E S D IM E N S IO N A L E S . C o n e l o b j e t o d e c o m p r e n d e r a l a s e c u a - c i o n e s
dimensionales se relacionan los sistemas de unidades con los siguientes conceptos:
Concepto de dimensión de una magnitud física o variable física. L a d i m e n s i ó n d e u n a
magnitud física se obtiene escribiendo su definición en forma simbólica, o sea,
representándola por medio de letras.
Dimensiones de las magnitudes básicas de los sistemas de unidades absolutos. L a s d i m e n s i o n e s
de las magnitudes físicas básicas para cualquier sistema de unidades absolutas de
los estudiados (SI, CGS o inglés) son las mismas, las que se muestran en la siguiente
tabla.
Magnitud
Dimensión
Longitud
L
Masa
M
Tiempo
T
Corriente eléctrica
I
Temperatura termodinámica
θ
Intensidad luminosa
Il
Cantidad de sustancia
Mol
DIMENSIONES DE LAS MAGNITUDES BÁSICAS DE LOS SISTEMAS GRAVITATORIOS.
Las magnitudes físicas básicas que estudiaremos de estos sistemas, son tres:
Magnitud
Dimensión
Longitud
L
Fuerza
F
Tiempo
T
CONCEPTO DE ECUACIÓN DIMENSIONAL.
Las ecuaciones dimensionales sustituyen las literales de la ecuación o fórmula inicial
por las dimensiones fundamentales; Nos permiten asegurar sí un problema ha sido
resuelto correctamente, desde el punto de vista de sus unidades. En el curso de la
mecánica sólo se utilizan tres magnitudes físicas básicas, que son:
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 27
.
En los Sistemas absolutos
Longitud, Masa y Tiempo.
En los Sistemas gravitatorios
Longitud, Fuerza y Tiempo.
Las cuales tienen por ecuaciones dimensionales las siguientes:
Cantidad Física
Dimensión
Ecuación Dimensional
L
L1M° T0
Masa
M
L°M1 T°
Tiempo
T
L°M° T1
Fuerza
F
L°F 1T°
Longitud
Los exponentes cero indican que las cantidades físicas correspondientes no
intervienen en la definición de la cantidad física expresada.
ECUACIONES DIMENSIONALES DE LAS MAGNITUDES FÍSICAS DERIVADAS.
Considerando a la potencia como una magnitud física derivada, su definición dice:
La potencia es el producto de la fuerza ejercida sobre un cuerpo por la distancia recorrida, dividido ente el
tiempo transcurrido durante el trayecto.
P=
F *d
t
La ecuación dimensional de la potencia "P" en los sistemas gravitatorios es:
P=
F 1 * L1
= F 1 L1T −1
T1
Procedimiento para la obtención de ecuaciones dimensionales.
1.- Se escribe la fórmula que describe el concepto, por ejemplo, la fórmula del área
de un cuadrado es:
A = l2 = l x l
2.- Se sustituyen las literales de la fórmula por las dimensiones fundamentales:
A = l x l =L1 x L1
A =L2M0T0
Expresión que constituye la ecuación dimensional del área en los sistemas absolutos.
EJEMPLO 1.-
Calcular en el SI. la velocidad de un cuerpo que se mueve con
m o v i m i e n t o r e c t i l í n e o u n i f o r m e s i r e c o r r e u n a d i s t a n c i a d e 1 0 0 0 0 pies e n u n t i e m p o
d e 2 horas. O b t e n e r a d e m á s , s u e c u a c i ó n d i m e n s i o n a l .
Datos: d = distancia = 1 0 0 0 0 ft
t = tiempo = 2 horas
v = velocidad = ?
Solución. Primero se convierten las unidades al S I.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 28
.
30.48 x10 −2 m
d = 10000 ft = 10000 ft ×
= 3.048 ×10 3 m
1 ft
t = 2hr = 2hr ×
3600seg
= 7200seg = 7.2 ×10 3 seg
1hr
En el movimiento rectilíneo uniforme la velocidad se define como: la distancia recorrida
por un cuerpo entre el intervalo de tiempo que emplea en recorrer esta distancia, siendo
la fórmula:
v=
d 3.048x103 m
m
=
= 0.423
3
t 7.2 x10 seg.
s
v=
La ecuación dimensional será:
d L1M 0
=
= L1M 0T −1
1
t
T
PRACTÍCA con los ejemplos de conversión de valores, entre los diferentes sistemas
de unidades y obtén las ecuaciones dimensionales correspondientes.
Ejemplo 2: C a l c u l a r e n e l s i s t e m a C G S e l á r e a d e u n r e c t á n g u l o c u y a b a s e m i d e 1 0 m y
su altura 50m, obteniendo su ecuación dimensional.
Datos:
b = base = 1 0 m
h = altura = 5 0 m
A = área = ?
Solución: Las magnitudes de la base y de la altura están expresadas en unidades del
SI., por lo tanto es necesario convertirlas al CGS.
A = (10 3 cm)(5 × 10 3 cm) = 5 × 10 6 cm 2
A = b×h
La fórmula del área del rectángulo es:
A = ( l 0 3 cm)(5 x 1 0 3 cm)= 5 x 1 0 6 c m 2
A = bxh
Unidades:
cm * cm= cm2
Para obtener la ecuación dimensional, se sustituyen las literales de la fórmula del área por
las dimensiones fundamentales.
A = b x h = L * L = L2
Por lo tanto, la ecuación dimensional será.
A =L2M°T0
Ejemplo 3: Calcular el volumen de un cilindro cuya base mide 50cm de diámetro y su altura
es de 150 cm, en el S I, obteniendo además su ecuación dimensional.
Datos:
d - Diámetro = 50 cm
h = altura = 150 cm v = Volumen = ?
Solución. Las magnitudes del diámetro y la altura están expresadas en unidades del CGS, por
lo tanto debemos convertirlas al SI.
d = 50cm = 50cm ×
1m
= 0.50m
100cm
h = 150cm = 150cm ×
1m
= 0.15m
100cm
La fórmula del volumen del cilindro es:
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 29
.
V = 1/4 π d2 * h = 1/4 π (0.50m) 2 (0.15 m) = 0.295 m3
cm2 x cm = cm3
Unidades:
Para obtener la ecuación dimensional, se sustituyen las literales de la fórmula del volumen
por las dimensiones fundamentales.
V = 1/4 π d2 * h = L2 x L1 = L3
Por lo tanto, la ecuación dimensional es:
V = L3 M 0T 0
Ejemplo 4:
d = K1t + K2t
Solución. Puesto que la dimensión de "d" es "¿" y la del tiempo es "7", es posible escribir la
ecuación como:
Paso 1)
L = K1T + K2T2
Paso 2) Como la longitud resulta de la suma parcial de longitudes se tiene:
L1+ L2 =L
L2 = K2T2
L1 = K1T
por lo que
K 2 = L T-2
donde
a = L M 0T −2
Por lo tanto, K tiene dimensiones de la aceleración
Ejemplo 5:
v2f = v2f +2Ka
Obtener la Ecuación Dimensional de K de
Solución. D e s p e j a n d o a “ K ” q u e d a
K 1 = L T-1
K=
v2 f − v20
2a
Como las dimensiones de la velocidad son L T-1 y las de la aceleración L T-2 entonces:
2
( LT −1 ) 2 − ( LT −1 ) 2 L2T −
K=
=
=L
2( LT −2 )
LT −2
Por lo tanto, " K" y " L" tienen las mismas dimensiones.
Ejemplo 6:
Convertir
Solución.
9.8 Kg a Dinas
9.8Kg ×
9.8 N 10 5 dinas
×
= 9'604,000dinas
1Kg
1N
9.8Kg = 9.604 ×10 6 dina
APRENDIZAJE INDIVIDUAL
(Lee, realiza, experimenta y reflexiona)
1. Determinando las ecuaciones dimensionales
a) Después de leer las páginas 25 a 28 de estos apuntes, determina la ecuación dimensional de la cantidad
de movimiento (que se define como el producto de la masa por la velocidad).
b) De igual forma determina la ecuación dimensional de la energía cinética, cuya formula es
EC = ½ mv2.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 30
.
2.- Fijando nuevas unidades
c) Observa el cuadro de las ecuaciones dimensionales y elige dos magnitudes; y según su ecuación
dimensional determina su unidad en el SI (oficial) y otras dos en sistemas no oficiales. Por ejemplo para la
velocidad, cuya ecuación dimensional es [v] = LT-1 o lo que es lo mismo [v] = L/T su unidad oficial será
m/s, pero también valen el m/h, Km/día, cm/s, etc, es decir siempre será una unidad de longitud en el
numerador y otra de tiempo en el denominador.
3. Verificando fórmulas físicas.
d) Por el principio de homogeneidad sólo pueden sumarse o restarse cantidades físicas que tengan las
mismas dimensiones físicas. Es decir, todos los términos sumados de una ecuación física deben, tener las
mismas dimensiones físicas. (Se dice sumar peras con peras y manzanas con manzanas).
Aplica tus conocimientos en la siguiente fórmula del período de un péndulo y decide si es correcta o no
desde el punto de vista dimensional.
T = 2π
1
g
TAREA DE ACTIVIDAD GRUPAL:
1. Compara tu trabajo de la determinación de la Ecuación Dimensional de la cantidad de movimiento y
de la energía cinética con las que han realizado tus compañeros de aula y determinen cuáles son
correctas y cuales no, ¿A que se deben las diferencias?.
2. Ahora comenten sobre la utilidad de las Ecuaciones Dimensionales.
3. Si: "m" representa masa; "a" la aceleración y "t" el tiempo, determinar la ecuación dimensional de "E",
siendo E = 2m(at) 2sen(a+30º) y escoge la respuesta correcta de:
a) MLT
b) ML2 T
c) ML2 T2
d) ML-2
e) MLT-2
4. En la siguiente ecuación dimensionalmente homogénea se tiene que:
x = d sen(abx) ; donde [d] = L, [a] = T
a) T-1
b) L-1
¿Cuáles son las dimensiones de "b"?
d) T-1 L-1
c) TL
e) L2
5. La fórmula del periodo de oscilación de un sistema está dada por: T=2π mx Ky Hallar los valores de
"x" e "y" donde:
m = masa;
K = constante que se expresa en newton/metro.
T = tiempo; π = 3,14
a) 1/4 , -1/4
b) 1/2, -1/2
c) 1/5, -1/5
d)-1/6, 1/6
e) 1; 2
Referencias: http://es.scribd.com/doc/14575224/Analisis-Dimensional
http://www.perueduca.edu.pe/recursos/fichas-autoinstructivas/secundaria/cta/analisis-dimensional-su-aplicacion/actaut_1.htm
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 31
.
UNIDAD II
ÁLGEBRA VECTORIAL
COMPETENCIA PARTICULAR: Aplica propiedades algebraicas de los vectores en la solución
de problemas en situaciones académicas.
RESULTADO DE APRENDIZAJE PROPUESTO (RAP) No. 1. Describe las diferentes cantidades
Físicas estableciendo su importancia en situaciones académicas.
■ MAGNITUDES VECTORIALES Y ESCALARES
CLASIFICACIÓN DE MAGNITUDES FÍSICAS. En la Física se requiere de la
cuantificación de magnitudes para valorar los fenómenos analizados, existiendo para tal objeto
dos tipos de magnitudes que son:
1. Magnitudes Escalares.
2. Magnitudes Vectoriales.
CONCEPTO DE MAGNITUD ESCALAR. Son aquellas cantidades que son comprensibles
con un valor numérico y su unidad de comparación. A diferencia de las magnitudes vectoriales,
estas no requieren dirección ni sentido. Ejemplos:
•
La longitud: (50 m, 25 pies, 3 Km)
•
La masa:
•
El tiempo:
•
El trabajo y la potencia:
•
(60 Kg, 10 Lbs, 20 onzas)
(12 seg, 60 min, 2 Hrs)
(20 Joules, 5 ergios, 300 Watts)
3
La densidad: (8 Kg/m , 15 Lbs/Pulg 3 , 3 Tons/m 3 )
CONCEPTO DE MAGNITUD VECTORIAL. (Se Representa con flechas dirigidas); Para
comprenderla es necesario proporcionar sus características vectoriales, las cuales son:
θ
La dirección (indicado por la inclinación θ ).
El sentido (indicado por la punta de flecha).
La magnitud.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 32
.
EJEMPLOS DE MAGNITUDES VECTORIALES:
Conceptos que cumplen con las características de las magnitudes físicas vectoriales:
• Velocidad.
• Aceleración.
• Peso
• Fuerza.
• Velocidad angular.
• Flujo eléctrico
• Campo eléctrico.
• Campo magnético.
• CARACTERÍSTICAS DE LAS MAGNITUDES VECTORIALES.
Un vector es un segmento de recta dirigida que se representa a escala conveniente, su
notación se hace mediante una letra (en mayúscula) indicada con una pequeña flecha en la parte

superior ( F ); para indicar su valor absoluto se coloca la letra mayúscula entre dos barras
verticales | F |.
La notación de la dirección se indica empleando una ele alargada (llamada sis del ángulo) ( / θ
), donde " θ " es el ángulo que forma el vector con el eje de las "x ".
Características de un vector:
1. Magnitud.
2. Dirección.
3. Sentido.
4. Origen o Punto de aplicación
5. Extremo o Punto de terminación
REPRESENTACIÓN GRAFICA DE UN VECTOR.
La representación se hace mediante una recta dirigida, como se aprecia en la figura.
Línea de acción del vector
L
P
El sentido (punta de la flecha).
L = Magnitud del vector
θ = Dirección (inclinación θ del vector respecto al eje x).
θ
0
0 = Punto de aplicación u origen del vector, P = Termino del vector
En la figura observamos:
•
Un segmento de recta OP al que se le asocia la magnitud del vector a escala conveniente,
•
la dirección θ es la misma que la de la recta donde está contenido el vector, llamada línea de
acción del vector, se mide por el ángulo "θ " que forma con respecto al eje de referencia.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 33
.
•
El sentido lo representa la punta de flecha en el extremo terminal (P).
•
El origen corresponde al inicio del vector y es el punto de aplicación del vector (O)
Un EJEMPLO de representación vectorial es el vector
A= 100 Kg /30° de la
siguiente figura:
4 cm
100 Kg
30°
MAGNITUDES VECTORIALES.
Las magnitudes vectoriales son aquellas que para quedar definidas, además de su cantidad
expresada en número y el tipo de unidad, es necesario indicar su dirección, su sentido y su
punto de aplicación.
Toda magnitud vectorial, se puede representar gráficamente por medio de una flecha dirigida la
cual recibe el nombre de vector.
MAGNITUDES ESCALARES.
Son las que quedan expresadas por un número y una unidad de medida.
Ejemplos:
Distancia
20 m, 1 Km, 1 milla
Masa
40 Kg., 3 lb, 2 Tons
Tiempo
90 seg., 3 días, 2 min.
Volumen 30 litros, 50 dm3
Rapidez
10 m/seg, 15 millas/hr
Trabajo
75 Joules, 30 Nm
L A S O P E R A C I O N E S C O N M A G N I T U D E S E S C A L A R E S , se realizan aplicando los
principios del álgebra.
E j e m p l o : Una persona efectúa recorridos de 1 Km con variación de tiempo durante tres días; t1
=20 min. t2 = 25min. y t 3 = 30 min. ¿Cuál es el tiempo promedio en que recorre 1 Km?
t promedio =
t1 + t 2 + t3 20 + 25 + 30 75
=
=
= 25 min
3
3
3
De acuerdo a sus características h a y c u a t r o T I P O S D E V E C T O R E S :
1. Vector nulo o vector cero.
2. Vector unitario.
3. Vector negativo.
4. Vector resultante o vector suma.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 34
.
1.- El Vector Nulo o Vector Cero.
Es aquel vector en el que su origen coincide con
Origen
.
su extremo, en consecuencia se designa como
vector cero y su magnitud es 0, este vector esta
presente en su punto de origen coincidiendo con su
Extremo
extremo o termino.
2 . - E l V e c t o r U n i t a r i o . Es el vector que se considera con un
valor absoluto de la unidad (1). Este tipo de vectores son muy
utilizados en los productos escalar y vectorial.
Ejemplo: Sea el vector A = i + j + k,
Su valor es un vector unitario espacial en el eje tridimensional.
En la figura : F = X i +0Y ĵ + 0Z k
3.- El Vector Negativo. Este vector es el que tiene la misma magnitud y dirección, pero
sentido contrario a un vector considerado positivo.
Origen
+E
.
-E
Vector E Negativo
Vector E Positivo
4.- Vector Resultante o Vector Suma.
Es un vector único que produce los mismos efectos que todos los vectores sumados.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 35
.
5.- Igualdad de Vectores. Estos vectores son aquellos que tienen la misma magnitud, dirección
y sentido, independientemente de su línea de acción.
Los vectores A+B y B+A son iguales porque tienen la misma magnitud dirección y
sentido, además de moverse sobre la misma línea de acción.
A
B
Vectores Equivalentes:
Los vectores E de la siguiente figura son equivalentes, ya que tienen la misma
magnitud, dirección y sentido, con líneas de acción paralelas entre sí, el efecto
que producen en el campo eléctrico es el mismo.
FUERZAS COLINEALES:
Dos o más fuerzas son colineales entre sí, si tienen su misma línea de acción, es
decir la misma dirección, independientemente de sus magnitudes.
Corolario: dos o más vectores son paralelos entre sí, si y solo si, sus línea de
acción son paralelas entre sí, independientemente de sus magnitudes.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 36
.
Ejemplo de vectores paralelos:
A
B
C
D
Se llaman vectores concurrentes, a dos o mas vectores cuyas líneas de acción
concurren (se cruzan) en un sólo punto, independientemente de sus magnitudes.
Ejemplos:
La
mesa
de
fuerzas
mostrada
en
la
foto,
así como el conocimiento y manejo de los vectores
unitarios son dos ejemplos de vectores concurrentes:
VECTORES ARBITRARIOS: Se conoce así, al conjunto de vectores cuyas líneas
de acción concurren (es decir se cruzan) en dos o mas puntos a la vez. Ejemplos:
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 37
.
RESULTADO DE APRENDIZAJE PROPUESTO (RAP) No. 2.
El alumno desarrolla operaciones de diferentes sistemas de vectores, en forma gráfica y
analíticamente, aplicándolos a su vida diaria y su medio ambiente, reconoce su importancia dentro
de la ciencia y la tecnología.
PROPIEDADES DE LOS VECTORES
•
(Vectores libres y principio de transmisibilidad).
•
Suma gráfica de vectores (Métodos gráficos).
CONCEPTO DE SUMA DE VECTORES:
La suma de dos vectores “A y B”, da como resultado un tercer vector “C” con las
propiedades de la suma vectorial, donde el vector resultante “C” cumple con la Ley de los
Senos y de los Cosenos.
Sean:
A
+ B
Entonces
A
+ -B
=
=
C=A+B
A-B=C
C
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 38
.
CONCEPTO DE RESTA DE VECTORES:
La Resta de dos Vectores “A y B”, da como resultado un tercer vector “D” con
propiedades de la suma vectorial, donde uno de los vectores cambia su dirección para hacerse
negativo y aplicar las propiedades de la suma vectorial o resultante de vectores que cumplen
con las mismas Leyes de los Senos y de los Cosenos.
Propiedades de la suma. La suma de vectores cumple las propiedades de la aritmética y del
álgebra, bajo el principio de:
1. - Propiedad conmutativa.
2. - Propiedad asociativa.
Propiedad conmutativa. Esta propiedad nos indica que el orden de los sumandos no altera la
suma o resultante.
Ejemplo:
A+B+C=R
C+B+A=R
B+C+A=R
Sigue siendo la misma igualdad:
B
A
C
R
A
R
APUNTES FISICA I T.V.
C
PAG. 39
B
.
PROPIEDAD ASOCIATIVA. Indica que al agrupar dos o más vectores dentro de la
suma, el resultado de la suma es el mismo vector suma o resultante, por lo que no se
afecta la suma.
EL METODO GRÁFICO EN LA SUMA VECTORIAL.
PROCEDIMIENTO PARA LA SUMA GRÁFICA DE VECTORES.
Para sumar dos o más vectores por el método gráfico, se dibujan a escala
conveniente, un vector a continuación de otro (en orden preestablecido), haciendo
coincidir el extremo del vector anterior con el origen del siguiente, y así sucesivamente
hasta dibujar todos los vectores. La resultante es el vector trazado desde el origen del
primer vector hasta el extremo del último vector dibujado.
EL PROCEDIMIENTO DE LA SUMA GRÁFICA DE VECTORES SERÁ:
a) Determinar una escala adecuada.
b) Calcular el valor absoluto de las fuerzas, una a continuación de la otra sin
modificar sus características.
c) Dibujar todas las fuerzas, como se indico en el párrafo anterior.
d ) D i b u j a r l a f u e r z a r e s u l t a n t e u n i e n d o e l o r ig e n d e l a p r i m e r a f u e r z a c o n e l
extremo de la última fuerza.
e) Medir el valor absoluto de la Resultante.
f) Calcular el valor relativo (magnitud de la resultante).
g) Medir la dirección de la resultante (valor del ángulo que forma con el eje de
las "x" en sentido contrario a las manecillas del reloj).
h) Expresar la notación del vector resultante, de la siguiente forma:
RT
= R /θ .
Ejemplo:
O b t e n e r l a s u m a o r e s u l t a n t e d e l o s v e c t o r e s A , B, C, D .
O b t e n e r l a s u m a p o r e l m ét o d o d e l p o l í g o n o , s u m a n d o D + B + C + A = R
A
D
B
=
R
C
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 40
.
Procedimiento:
Se elige una escala conveniente, luego se trazan los Vectores uno tras otro, partiendo de un punto
elegido como Punto de Origen del sistema, al trazar el primer Vector se coloca el origen del segundo
vector en el extremo del primero (respetando siempre su escala, dirección y sentido), luego en el extremo
del segundo se coloca el origen del tercero y así sucesivamente hasta haber colocado todos los vectores en
el orden dado por los sumandos.
La Resultante estará dada por la magnitud que hay desde el origen del primer vector hasta el extremo
del último sumando, en la escala escogida.
D+ B
se suma C
Se añade A
Finalmente se obtiene R , uniendo el origen de D con el extremo de A, quedando como:
R
R=D + B + C + A
SUMA DE VECTORES CONCURRENTES.
•
1.- EL MÉTODO DEL TRIÁNGULO.
Este método se utiliza para sumar de dos en dos vectores
(concurrentes) y recibe su nombre del hecho que al
obtener cada resultante se forma un triángulo, observa la
figura siguiente:
Consiste en colocar gráficamente un vector a continuación del otro;
es decir, el origen del segundo vector se lleva al extremo del primero.
El vector resultante es aquél que nace desde el origen del primer
vector y termina en el extremo del segundo vector.
El valor de la resultante se determina con la misma escala
desde el origen del primer vector hasta el extremo del segundo.
La dirección de la resultante por este método se determina
con auxilio de un transportador, colocando el punto 0° en el
origen del primer sumando y sobre el eje de las X, luego se
mide la abertura del ángulo sobre el lado del vector resultante.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 41
.
•
2.- MÉTODO DEL PARALELOGRAMO.
Este método también es empleado para sumar de dos en dos vectores (concurrentes),
es una extensión del método del triángulo, c o n s i s t e e n t r a z a r l o s v e c t o r e s a e s c a l a , h a c i e n d o
coincidir sus orígenes en un punto común y respetando sus características se completa
la gráfica dibujando rectas paralelas (vectores traspuestos) a las fuerzas originales a
p a r t i r d e s u s e x t r e m o s , f o r m á n d o s e a s í u n paralelogramo.
La resultante se obtiene trazando la fuerza que une el vértice de concurrencia con
el vértice opuesto.
F2’
F2’
F1
F1
F1’
=
70°
=
=
70°
F2
F1’
R
70°
θR
F2
EL MÉTODO DEL POLÍGONO.
De los métodos gráficos, el método del polígono es el mas empleado, por su facilidad
al sumar los vectores involucrados, desde luego que se puede emplear también para sumar
dos vectores, pero su utilidad es en la suma de varios vectores.
La metodología es establecer y seguir el orden de los sumandos, los cuales se van desplazando desde un
origen dado, para colocar en el "extremo" del anterior el "origen" del siguiente sumando, la resultante final es
el vector que cierra el polígono desde el "origen" que quedo libre hasta el ultimo "extremo" que quedo también
libre, (cerramos con "un choque de extremo de vectores").
Nuevamente el orden en que se realice la suma no interesa, pues aunque el polígono resultante tiene forma
diferente en cada caso, la resultante final conserva su magnitud, su dirección y su sentido.
Este método sólo es eficiente desde punto de vista gráfico y no es tan exacto como un método analítico, ya que
depende de la habilidad del que realiza el procedimiento.
En la siguiente figura se ilustra la suma de cuatro vectores.
A
C
D
R
C
A
B
θR
B
D
Vectores sumados por el método del polígono
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 42
.
OBTENIENDO LA RESULTANTE POR MÉTODOS GRÁFICOS, EJEMPLOS:
E j e m p l o 1 . Obtener gráficamente la resultante de las siguientes fuerzas colineales.
Datos:
Solución:
F1 = 50 N /0°
a.- Determinar la escala: 1 c m = 25N
F2 = 150 N /0°
b.- Valor absoluto de los vectores: F1 =2 cm, F2 = 6cm
c.- Dibujar:
F1
2cm
F2
6 cm
8 cm
R = F1 + F2
d).- Obtener la Resultante (valor absoluto = 8cm, valor relativo = 200N)
e).- Denotar la resultante como R= 200 N / 200° .
E j e m p l o 2 . Con los datos del problema anterior obtener gráficamente la resultante de la
diferencia F 1 + ( - F 2 ).
Solución:
•
a.- Determinar la escala: 1 cm = 25 N
•
b.- Valor absoluto de los vectores: F 1 = 2 c m , F 2 = 6 c m
•
c.- Dibujar:
d).- Obtener la Resultante (valor absoluto = 4cm, valor relativo = 100N)
e).- Denotar la Resultante por R= 100 N /180° .
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 43
.
E j e m p l o 3 . Obtener gráficamente la resultante de los vectores v1 = 20 m/s /0° y v2 = 40 m/s /0°.
•
Determinar la escala: 1 cm = 10 m/s.
•
El valor absoluto de los vectores es: v1 = 2 cm, v2 = 4 c m
•
Dibujar:
Valor absoluto = 4.47 cm
•
Obtener la Resultante
Valor relativo = 44.7 m/s
•
La dirección se mide directamente con el transportador, por
lo que: R = 44.7 m/s / 63.4°
E j e m p l o 4 . Utilizando los datos del problema anterior, obtenga gráficamente la resultante de la
diferencia v 1 + (-v 2 ).
Datos:
v 1 = 20 m/s /0°
v 2 = 40 m/s /270°
•
Determinar la escala: 1 cm = 10 m/s.
•
El Valor absoluto de los vectores es:
aplicando la fórmula R = v1+(-v2)
θ = 296°
v1
V1 = 2 0 m/s /0° , V2 = 4 0 m / s /270°
•
θ =-63.4°
Dibujar las fuerzas:
-v 2
R = v 1 + (-v 2 )
-v 2 ’
v1’
•
Valor
absoluto = 4.47 cm
Valor
relativo = 44.7 m/s
Obtener la Resultante
La dirección se mide con el transportador, siendo de 296°, por lo tanto la resultante queda: R =
44.7 m/s /(360°- 63.4°) o de otra manera: R = 44.7 m/s / 296.6° , ver figura anexa.
.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 44
.
E j e m p l o 5 . Obtener gráficamente la resultante de dos fuerzas concurrentes cuyas características
son:
Datos:
W1 = 40 lb / 0°
W2 = 100 lb / 300°
•
Determinar la escala: 1 cm = 20 lb.
•
El Valor absoluto de los vectores es: W1 = 2 c m /0° ,
•
Dibujar las fuerzas:
siendo:
R = W1+W2
W2 = 5 c m /300°
Valor absoluto = 6.2 cm
•
Obtener la Resultante
Valor relativo = 124.9 lb
•
Escribir la resultante como: R = 124.9 lb / 316°
E j e m p l o 6 . Obtener gráficamente la resultante de las siguientes tres fuerzas concurrentes:
F 1 =150 N l 0°
F 2 = 100 N N l 60° F 3 = 50 N l 300°
S e g ú n l a s u m a F1 + F2 + F3 = R
•
Se determina la escala: 1 c m = 2 5 N .
•
Valor absoluto de los vectores:
F 1 = 6 c m , F 2 = 4 cm, F 3 = 2 c m
•
Dibujar los vectores.
Valor absoluto = 9 cm
•
Obtener la Resultante
Valor relativo = 229 N
•
Escribir la resultante como: R = 229 N / 11°
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 45
.
PROBLEMAS PROPUESTOS:
En cada caso obtener la resultante por el método gráfico que mejor convenga, indicando su
magnitud, dirección y sentido, al sumar los siguientes vectores:
PROBLEMA 1.-
W1 = 30 N l 120° , W2 = 25 N l 180° , W3 = 15 N l 270° ,
W4 = 20 N l 30°
PROBLEMA 2.-
A = 8 m/s2 l -30° , B = 5 m/s2 l 90° , C = 7 m/s2 l 150°
PROBLEMA 3.
F1 = 300 N l 120° ,
Este último siendo
F2 = 2 F1 - F4 / 5,
F3 = - 1/5 F2 , F4 = 200 N l 30°
R = F2 + F4 + F1 + F3 y comprobando con
R = F1 + F2 + F3 + F4
Ejercicios de aplicación:
Calcula gráficamente las componentes horizontales y verticales de cada una de las siguientes fuerzas.
1) 12 N / 15o.
2) 60 Kg /20o.
3) 100 Km/s / 45o.
4) 3.5 m/s2 /30o.
5) 18 lbF / 60o.
6) - 9.8 m/s2
TAREA
1 . - a ) . - Obtener gráficamente la resultante de F1 = 200 N /180° , F2 = 450 N /0° si son
colineales. b).- Cual será la diferencia de F 2 - F 1
2.- a). - Obtener gráficamente la resultante de Z 1 = 1 0 m / s / 0 ° y Z 2 = 1 5 m / s / 3 0 0 °
siendo: R = Z1+Z2,
3. Sean:
Siendo
b).- Cual es la resultante R2 si se suman 1/3Z1 – 1/5Z2
W1 = 500 N l 0° ,
W2 = W1 - 2W4 ,
W3 = - 1/5 W1 , W4 = 200 N l 120°
R = W2 + W4 + W1 + W3 y comprobando con
R = W1 + W2 + W3 + W4
RECOMENDACIÓN PARA LA SOLUCIÓN DE UN PROBLEMA DE FÍSICA:
•
Conocer el problema, para lo cual se hace necesario leer detenidamente el enunciado.
•
Identificar los datos y escribirlos analizando las variables conocidas y desconocidas.
•
Siempre que sea posible realice el diagrama de cuerpo libre, indicando las variables y sus efectos,
escriba las gráficas correspondientes y las ecuaciones que faciliten la solución.
•
Remplazar los datos en la ecuación o fórmula
•
Realizar las operaciones algebraicas indicadas con sus respectiva respuesta y sus unidades
•
Constatar (analizar) la respuesta con la pregunta y concluir si es pertinente.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 46
.
• SISTEMAS DE VECTORES.
SUMA ANALÍTICA DE VECTORES (MÉTODO ANALÍTICO).
Como ya mencionamos, las características de una fuerza son su magnitud, su dirección, su
sentido, su punto de inicio y su punto determinación.
Para calcular estas características se procede según el siguiente método:
1.- SUMA DE VECTORES POR EL MÉTODO DE FORMULA DIRECTA:
Este método es utilizado únicamente para sumar pares de vectores, es decir solo suma
de dos en dos vectores a la vez, la resultante obtenida, se puede sumar a otro vector o
a otra resultante hasta terminar con todos vectores presentes.
La magnitud, dirección y sentido se calculan empleando el álgebra vectorial.
La magnitud se calcula por formula directa, aplicando la ley de los Cosenos:
•
R2 = F12 + F22 – 2 F1 F2 cosθ .
θ R = Cos −1
F1 cosθ1 + F2 cosθ 2
R
•
La dirección con la ecuación
•
El sentido está expresado por la punta de flecha del vector resultante.
Al sumar vectores paralelos, es necesario conocer el punto de aplicación del vector resultante,
debiendo emplearse entonces el teorema general de momentos, el cual se explicará en el tema
“Momento de una fuerzas”.
C O M P O S I C I Ó N D E F U E R Z A S . Todo vector tiene componentes en los ejes rectangulares “x”
“y”, designados por la literal del Vector y un subíndice indicando el eje sobre el cual actúa, (para
el vector P t e n d r e m o s P X , P Y ).
A la operación por la cual las componentes rectangulares del vector sustituyen a dicho vector se
llama, composición rectangular del vector.
E n l a f i g u r a l a s c o m p o n e n t e s r e c t a n g u l a r e s son la proyección del vector sobre los ejes " x " y
"y"
y
PY
P y = C o m p o n e n t e rectangular en el eje vertical
P
PX
x
P x = C o m p o n e n t e rectangular en el eje horizontal
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 47
.
Ecuaciones usadas en la composición de Fuerzas.
Para obtener la magnitud de la resultante se emplea el Teorema de Pitágoras y para la
dirección del vector resultante la función tangente.
F = (ΣFX ) 2 + (ΣFY ) 2
Tgθ =
Ejemplo 1.
P = ( PX ) 2 + ( PY ) 2
ΣFY
ΣFX
θ R = Tg −1
ΣFY
ΣFX
Obtener gráficamente la composición del vector P , siendo sus componentes
rectangulares P X = 4 N l 0 ° . P Y = 5 N l 9 0 ° .
Y
PY
P X = C o m p o n e n t e rectangular en el eje Horizontal
P
P Y = C o m p o n e n t e rectangular en el eje Vertical
θ
PX
P = ( PX ) 2 + ( PY ) 2
θ = Tg −1
PY
PX
X
P = (4) 2 + (5) 2
θ = Tg −1
P = 16 + 25 = 6.40
5
4
θ = Tg −11.25 = 51.34°
Por lo tanto el vector compuesto P se puede representar como: P = 6 . 4 0 N l 5 1 . 3 4 ° .
E j e m p l o 2 . Componer gráficamente el vector V siendo sus componentes rectangulares
VX= -3 m/s
VY= 5 m/s
Y
VY= 5m/s
V = (3) 2 + (5) 2
V
θ
VX= -3m/s
V = (VX ) 2 + (VY ) 2
θ = Tg −1
VY
VX
X
V = 9 + 25 = 5.83
θ = Tg −1
APUNTES FISICA I T.V.
5
−3
θ = Tg −1 − 1.67 = −59.03°
PAG. 48
.
Este vector compuesto P se puede representar como: V = 5 . 8 3 m / s l - 5 9 . 0 3 ° .
O lo que es lo mismo: V = 5 . 8 3 m / s l ( 1 8 0 ° - 5 9 . 0 3 ° ) o
E j e m p l o 3 . Si W X = 4 K g
V=5.83m/s l 120.97°
y W Y = - 7 K g ¿ C u á l e s el vector W compuesto?
Y
WX= 4Kg
X
θ
WY= -7Kg
w
W = (WX ) 2 + (WY ) 2
θ = Tg −1
WY
WX
W = (4) 2 + (−7) 2
θ = Tg −1
W = 16 + 49 = 8.06
−7
4
θ = Tg −1 − 1.75 = −60.25°
El vector compuesto W se escribe como: W = 8 . 0 6 K g l - 6 0 . 2 5 ° .
Su dirección respecto al eje positivo de las x es:
(360°-60.25°)
o sea que
V=8.06Kg l 299.75°
Observa que θ es el ángulo que forma el vector resultante con el eje de las " x " y el sentido
del vector resultante se dibuja trazando la punta de la flecha en el extremo, la dirección del vector
se coloca siempre en relación al ángulo que forma respecto al eje positivo de las “x”.
D E S C O M P O S I C I Ó N D E F U E R Z A S . Este es un proceso inverso al de composición de un
vector dado en el apartado anterior; consiste en descomponer el vector en sus dos componentes
rectangulares, es decir es la operación por la cual un vector se sustituye por sus componentes X,Y.
Y
P=PX+PY
PY
D o n d e la Ecuación de la Descomposición de Fuerzas
es:
P
PX = P cosθ
Por lo tanto
y
PY = P senθ
P = P cosθ + P senθ
θ
PX=
X
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 49
.
Ejemplo 1.
Obtener las componentes rectangulares de la fuerza R = 6.4 N / 60°
Y
R=6.4 N
R=6.4N
θ =60° PX + PY
RX= R cosθ
RY
RX= 6.4N cos60°
RY= R senθ
RY= 6.4N sen60°
Por lo tanto
θ
RX
RX= 3.2 N
RY= 5.54 N
R= 3.2N/0° + 5.54N/90°
X
E j e m p l o 2 . Calcular el valor de las componentes rectangulares de la fuerza F=500N que pasa por
el origen y por un punto cuyas coordenadas son P(-2,4).
Y
Calculo de la dirección de la fuerza.
P=(-2,4)
4
= Tg −1 − 2 = −63.43°
−2
θ = 180° − β = 180° − 63.43° = 116.57°
β = Tg −1
FY
R=500N
Cálculo de las componentes rectangulares:
β
θ
RX
RX=Rcosθ
X
RX= 500cos-63.43°
RX= -223.61N
RY=Rsenθ
Ry= 500sen-63.43°
Ry=447.21N
EJERCICIOS.
1.- Traza, gráfica y calcula analíticamente la resultante de las siguientes fuerzas.
1) F1 = 2N / 0° con F2 = 5 N / 30o.
2) 4N, 6N formando un ángulo de 40o entre sí
3) 3N, 4N con ángulo de 150o entre sí.
2.- Calcula analíticamente y gráficamente la resultante de las siguientes fuerzas perpendiculares.
4) - 20N y - 40N.
5) 50N y -30N.
6) 45N y -50N.
7) - 10N y -10N.
3.- Componer gráficamente y analíticamente el vector M siendo sus componentes rectangulares
MX= -15 m/s
MY= 25 m/s
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 50
.
MÉTODOS DE SUMA DE VECTORES:
1.- MÉTODO G E N E R A L D E D E S C O M P O S I C I Ó N Y C O M P O S I C I Ó N DE VECTORES
MÉTODO 1 “PARA SUMAR UN SISTEMA DE VECTORES CONCURRENTES”.
Los pasos a seguir son:
•
Dibujar sobre el sistema de ejes cartesianos las fuerzas sin escala a fin de ubicar en
qué cuadrante se encuentran.
•
Descomponer todas y cada una de las fuerzas en sus componentes rectangulares.
FX = F cos θ
•
Fy = F sen θ
Se efectúa una suma algebraica sobre cada uno de los ejes de tal manera que quede
una suma sobre el eje de las "x" (
ΣFx ) y otra suma sobre el eje de las "y", ( ΣFY )
donde la resultante está dada por la fórmula:
2
R 2 = ΣFX + ΣFY
2
Se calcula la magnitud de la resultante con el Teorema de Pitágoras.
•
R 2 = (ΣFX ) 2 + (ΣFY ) 2
•
R = (ΣFX ) 2 + (ΣFY ) 2
Para calcular la dirección de la fuerza resultante se emplea la función tangente del ángulo
que forma la línea de acción de la resultante con el eje "x", obteniéndose la dirección de la
resultante al calcular el valor del ángulo " θ ".
θ R = Tg −1
•
FY
FX
El sentido de la fuerza resultante se dibuja colocando una punta de flecha en el extremo de
este vector.
•
Representar las características de la fuerza.
E j e m p l o 3 . Obtener la resultante del siguiente sistema de fuerzas:
F 1 = 100 N / 0o ,
Y
F2 = 25 N / 60°,
F3
F 3 = 5 0 N /135°,
135°
F2
F 4 = 100N / 180°,
F 5 = 5 0 N / 270°
60°
F4
F1
F5
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 51
.
X
P a s o ( a ) Se grafica el sistema de fuerzas.
P a s o ( b ) Se descomponen las fuerzas en sus componentes rectangulares:
F 1 X = F 1 cos θ1 = 100 N cos 0°= 100 N
F 1Y
F 1 Y = F 1 sen θ 1 = 100 N sen 0°= 0 N
F 1X
X
Descomposición de la fuerza F 1 en sus componentes rectangulares (F 1X , F 1Y )
F 2Y
F2
F 2 X = F 2 cos θ2 = 25 N cos 60°= 12.5 N
60°
F 2 Y = F 2 sen θ 2 = 25 N sen 60°= 21.65 N
F 2X
X
Descomposición de la fuerza F 2 en sus componentes rectangulares (F 2X , F 2Y )
F 3 X = F 3 cos θ3 = 50 N cos 135°= -35.35 N
F3
F 3Y
135°
F 3 Y = F 3 sen θ 3 = 50 N sen 135°= 35.35 N
F 3X
X
Descomposición de la fuerza F 3 en sus componentes rectangulares (F 3X , F 3Y )
F 4 X = F 4 cos θ4 = 100 N cos 180°= -100 N
θ =180°
F 4 Y = F 4 sen θ 4 = 100 N sen 180°= 0 N
F 4 = F 4X
X
Descomposición de la fuerza F 4 en sus componentes rectangulares (F 4X , F 4Y )
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 52
.
θ = 270°
F 5 X = F 5 cos θ5 = 50 N cos 270°= 0 N
X
F 5 Y = F 5 sen θ 5 = 50 N sen 270°= -50 N
F 5 = F 5Y
Descomposición de la fuerza F 5 en sus componentes rectangulares (F 5X , F 5Y )
Paso (c) Se calculan las componentes rectangulares de las fuerzas:
FX = F1X + F2X + F3X + F4X + F5X = 100 N + 12.5 N – 35.35 N - 100 N + 0 N
FX = -22.85 N
FY = F1Y + F2Y + F3Y + F4Y + F5Y = 0 N + 21.65 N + 35.35 N + 0 N - 50 N
FY = 7 N
P a s o ( d ) Cálculo de la resultante del sistema de fuerzas.
R = (−22.85) 2 + (7) 2
R = (ΣFX ) 2 + (ΣFY ) 2
R = 23.89 N
P a s o ( e ) Cálculo de la dirección de la fuerza.
θ R = Tg −1
∑F
∑F
Y
θ R = Tg −1
X
7
− 22.85
θ R = Tg −1 (−0.3063)
θ R = Tg −1 − 17°
Como la tangente es negativa, el ángulo se encuentra en el segundo cuadrante. Su
valor se obtiene al restar a 180° el ángulo obtenido en forma negativa:
θ R = Tg −1 (180 − 17°)
θ R =163°
P a s o ( f ) La notación científica del vector suma o resultante es:
R = 23.89 N∠163°
P a s o ( g ) Trazo de la resultante, donde se aprecie
el sentido real de la Resultante:
Y
R = 23.89 N
θ = 163°
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 53
.
X
1.- MÉTODO G E N E R A L D E D E S C O M P O S I C I Ó N Y C O M P O S I C I Ó N DE VECTORES
MÉTODO 2 “SUMA DE SISTEMAS CON VECTORES COLINEALES”.
CONCEPTO DE VECTORES COLINEALES.
Un sistema de vectores colineales contiene vectores de igual o diferente magnitud y de
igual o diferente sentido, pero se caracterizan por que se mueven sobre la misma línea de
acción.
Ejemplo 1:
Sistema de vectores colineales con la misma magnitud.
En este ejemplo todos los vectores presentan la misma inclinación (misma dirección), y lo
mas importante es que todos se mueven sobre la misma línea de acción.
F1
F2
F3
θ1
θ2
θ3
Ejemplo 2: Sistema de vectores colineales con diferente magnitud:
θ =180°
θ = 0°
θ =180°
Pasos para obtener la suma o resultante d e u n s i s t e m a d e f u e r z a s c o l i n e a l e s :
• L a M a g n i t u d s e c a l c u l a s u m a n d o a l g e b r a i c a m e n t e l a m a g n i t u d d e la s f u e r z a s :
R= Σ F = F1 + F2 + F3
Al considerar la suma se debe tomar al vector con todo y su signo (el signo
indica en este caso, el sentido en que actúa el vector).
• Dirección y Sentido. La suma algebraica de las fuerzas (tomando positivas las que
van hacia la derecha en el eje de las x y hacia arriba en el eje de la y), determina
la dirección y el sentido del vector resultante.
• Punto de aplicación. De acuerdo al principio de transmisibilidad de las fuerzas, el
punto de aplicación de la resultante se considera en cualquier punto sobre la línea
de acción de las fuerzas.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 54
.
•
RESULTANTE DE SISTEMAS DE FUERZAS CONCURRENTES.
F2
F1
F1
R
F4
F2
Σ FX
=
=
F3
Σ FY
R
F4
F3
SISTEMAS DE FUERZAS
CONCURRENTES
RESULTANTE (R)
RESULTANTE (R)
POR EL MÉTODO
POR EL MÉTODO
DEL POLÍGONO
DE DESCOMPOSICIÓN
RECTANGULAR
La resultante de un sistema de fuerzas concurrentes es una fuerza única con las
siguientes características:
a) Su magnitud.
Se calcula de acuerdo al método de composición y descomposición de las fuerzas.
R = (ΣFX ) 2 + (ΣFY ) 2
b) Su dirección y sentido se calcula con la fórmula.
θ R = Tg −1
∑F
∑F
Y
X
EJERCICIOS DE APLICACIÓN:
1 . - Obtener la resultante por el un método gráfico y comprueba por el método de descomposición rectangular
de las fuerzas:
A=7i+8j
B = 10 New /45°.
C= -9i
D = 5 New /270°.
2 . - O btener la suma o resultante de las sientes fuerzas, por el método analítico de descomposición
rectangular:
E=7i+8j
F = 3 New /45°.
G= -9i
H = 5 New /270°.
TAREA DE APLICACIÓN .- Un cuerpo cae libremente con aceleración de a1 = 9.8 m/s2 /270° , mientras
cae, el aire lo empuja con una aceleración de a2 = 5 m/s2 /60° ,
obtener analíticamente, la aceleración
resultante y la aceleración equilibrante. (La fuerza equilibrante tendrá la misma magnitud de la resultante pero
su d i r e c c i ó n s e r á d e s e n t i d o c o n t r a r i o ).
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 55
.
RESULTANTE DE UN SISTEMA DE DOS FUERZAS PARALELAS DEL MISMO
•
SENTIDO.
MÉTODO GRÁFICO:
Procedimiento para obtener gráficamente la resultante de un sistema de fuerzas paralelas de igual sentido:
1 . Se representan sobre el cuerpo los vectores originales F 1 y F 2 en sus puntos de aplicación
correspondientes.
2 . Se traslada el segundo vector en forma paralela, (respetando su magnitud dirección y sentido), hasta
colocarlo sobre el extremo del primer vector F 1 , e s t e v e c t o r t r a s l a d a d o se conoce como vector
traspuesto F 2 ’ .
3 . Ahora se traslada el vector F 1 e n f o r m a p a r a l e l a y se traza sobre el extremo del vector F 2 , e l
v e c t o r traspuesto en este caso es F 1 ’ .
4 . A continuación se trazan líneas punteadas uniendo los extremos de cada vector original con su
correspondiente traspuesto.
5 . Sobre el punto de cruce de las líneas punteadas “C”, se coloca la resultante en forma paralela a los
vectores originales.
6 . La magnitud de la resultante estará indicada desde el cuerpo, hasta la línea paralela que une los
extremos de los vectores traspuestos, ver figura.
d1
d2
F1
d1
F2
d2
F1
F2
F2’
Vectores paralelos originales
d1
Colocación de los vectores traspuestos
d2
F1
F1’
F2
d1
d2
F1
F2
C
F2’
F1’
R= F1+ F2
Líneas paralelas en los extremos de
Los vectores originales
Trazo de la resultante pasando por el
punto de cruce C y hasta la línea
paralela en los extremos traspuestos
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 56
.
RESULTANTE DE UN SISTEMA DE DOS FUERZAS PARALELAS DEL MISMO SENTIDO:
MÉTODOANALÍTICO:
El procedimiento analítico, cumple con las siguientes condiciones:
• La resultante es paralela y del mismo sentido que sus componentes.
• Su Magnitud es igual a la suma de las magnitudes de sus componentes.
• Su punto de aplicación, divide al segmento que une los puntos de aplicación de ambas fuerzas en dos
partes inversamente proporcionales a las intensidades de las fuerzas adyacentes.
• Se cumple la relación de STEVIN de acuerdo a la ecuación:
F1 F2
R
=
=
d 2 d1 d1 + d 2
Un ejemplo de este tipo de sistema de fuerzas es el caso de varios animales de tiro arrastrando la
misma carreta.
Las fuerzas que actúan en las bisagras de una puerta ¿son de este tipo?, analiza y discute con tus
compañeros.
¿Que hay con las fuerzas en los apoyos de un puente y de que tipo son?
RESULTANTE DE UN SISTEMA DE DOS FUERZAS PARALELAS DE SENTIDO
•
CONTRARIO.
Método gráfico:
Para obtener gráficamente la resultante de un sistema de fuerzas paralelas de sentido contrario (donde F 1 <
F2).
•
Se representan los vectores originales en sus puntos de aplicación sobre el cupo en que actúan.
•
Se considera el vector de mayor magnitud F 2 , trazando una línea punteada desde su extremo hasta el
origen del vector mas pequeño F 1 .
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 57
.
•
S e ajusta el vector pequeño invertido (-F 1 ’ ) c o l o c a n d o l o sobre el cuerpo hasta que toque la línea
punteada del punto anterior.
•
S o b r e e l v e c t o r (-F 1 ’ ) s e coloca el vector mayor F 2 , respetando su magnitud y sentido.
•
L a r e s u lt a n t e e s t a d a d a s o b r e lo s v e c t o r e s t r a s p u e s t o s , s u m a g n it u d e s la d if e r e n c ia d e
e llo s , y s u s e n t id o s e r á e l s e n t id o d e l v e c t o r mayor. Ver la siguiente figura.
F1
d1
d2
F1
-F1’
F2
F2
Vectores paralelos de sentido contrario
U n ió n d e l e x t r e m o d e F 2 c o n e l o r i g e n d e F 1
y ajustando el vector traspuesto -F1’
F1
d1
F1
d2
d1
d2
-F1’
R= F2+(-F1)
F2
F2’
Vector traspuesto F2’ sobre F1’
F2
F2’
Obtención de la resultante R.
LA RESULTANTE de un sistema de dos fuerzas paralelas de sentido contrario CUMPLE CON las
siguientes condiciones:
•
Es paralela a ambas fuerzas y del mismo sentido que la mayor.
•
Su magnitud es igual a la diferencia de las magnitudes de sus componentes.
•
El punto de aplicación de la Resultante es exterior al segmento que une los puntos de aplicación de
ambas fuerzas.
•
La resultante esta siempre del lado de la fuerza mayor y determina dos segmentos o brazos de palanca
d1 y d2, que cumplen la (relación de STEVIN)
F1 F2
R
=
=
d 2 d1 d1 + d 2
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 58
.
Un ejemplo de este tipo de sistema de fuerzas es el caso de la fuerza ejercida por un destornillador (o
desarmador).
*(fuente http://www.mates-fskyqmk.net/fsk/interaccion.html)
RESULTANTE DE SISTEMAS DE VARIAS FUERZAS PARALELAS SOBRE UNA
BARRA.
X3
XR
X2
X4
X1
F1
F2
R
F3
P
F4
Fig. 1
La resultante de un sistema fuerzas paralelas puede ser, o una fuerza o un par de
fuerzas.
SI LA RESULTANTE ES UNA FUERZA:
•
Su Magnitud se calcula considerando a las fuerzas como si fueran
colineales: R = Σ F = F 1 + F 2 - F 3 - F 4
•
Su Dirección se considera paralela a la línea de acción de las fuerzas.
•
Su Sentido. Queda determinado por la suma algebraica de las fuerzas.
•
Su Punto de aplicación. Se calcula de acuerdo al teorema general de
momentos de la siguiente manera:
M R P =Σ M F P
Esta ecuación se puede leer diciendo: El momento de la resultante con respecto al punto
"P" es igual a la suma algebraica de los momentos de las fuerzas con respecto al punto
" P" .
D e l a Fig. 1 t e n e m o s , d a d o q u e θ = 90° y q u e sen 9 0 ° = 1 .
R • XR = F1 • X1 + F2 •X2 + F3 •X3 - F4 • X4
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 59
.
La distancia donde se aplica el vector a partir del extremo derecho de la barra es:
XR =
Despejando.
F1 X1 + F2 X 2 + F3 X 3 - F4 X 4
R
R E S U L T A N T E C O M O P A R D E F U E R Z A S . Este caso se presenta cuando la suma
algebraica de las fuerzas es igual a cero, R = Σ F =0, pero cuando se calculan los momentos de las
fuerzas su suma algebraica es diferente de cero, lo cual se puede expresar matemáticamente como:
MR ≠ M
Σ
F
≠ 0
Si la resultante es cero, no puede ser una fuerza, por lo que se considera que la resultante es
un par de fuerzas con las siguientes características:
•
M a g n i t u d . Se calcula de acuerdo a la suma algebraica de los momentos de las fuerzas en
el punto considerado.
MP = Fl ■ X1 + F2 ■ X2 + F3 ■ X3 - F4 ■ X4
•
D i r e c c i ó n . Se considera perpendicular al plano donde actúan las fuerzas.
•
S e n t i d o . Queda definido por la suma algebraica de los momentos de las fuerzas.
•
P u n t o de a p l i c a c i ó n . Recordando que las transformaciones que puede sufrir un par de
fuerzas, se puede colocar en cualquier parte sobre el cuerpo sin cambiar sus
características.
RESULTANTE DE SISTEMAS DE FUERZAS ARBITRARIOS.
X2
X4
F2
X1
P
F1
F4
F3
R
XR
X3
Fig. 2
La resultante de los sistemas de fuerzas arbitrarios puede ser una fuerza o un par de fuerzas.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 60
.
RESULTANTE COMO FUERZAS.
a) M a g n i t u d . Se calcula considerando a las fuerzas como sí fueran concurrentes de
acuerdo al método de composición y descomposición.
b) Calculo de la dirección y del sentido.
γ = tg −1
FY
FX
θ = 180° − γ
c ) P u n t o d e a p l i c a c i ó n . Éste se calcula de acuerdo al teorema general de momentos.
M R A = Σ M F A . Así se tiene de la Fig. 2:
R • x (sen 180°- θ ) = F 1 • X 1 sen α + F2 • X2 sen (180°- β ) + F 3 • X3 sen 90°+F 4 • X 4 sen 900
X=
F1 • X1 sen α + F2 • X 2 sen (180° - β ) + F3 • X 3 sen 90° + F4 • X 4 sen 90°
R(sen 180° - θ )
• R e s u l t a n t e c o m o p a r d e F u e r z a s . Como en el caso de la resultante de los sistemas de
fuerzas paralelas, la resultante como par de fuerzas de estos sistemas se presenta cuando:
P =Σ F = 0
Σ M≠ 0
Siendo sus características:
•
M a g n i t u d . Se calcula de acuerdo a la suma algebraica de los momentos de las fuerzas.
MP = F 1 • X 1 sen α + F2 • X2 sen (180°- β ) + F 3 • X3 sen 90°+F 4 • X 4 sen 900
•
D i r e c c i ó n . Se considera perpendicular al plano donde actúan las fuerzas.
•
S e n t i d o . Queda definido por la suma algebraica de los momentos de las fuerzas.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 61
.
E j e m p l o 1 . Calcular la resultante del siguiente sistema de fuerzas colineales.
F1 = 100 N /0o
F2 = 10N /180°
F3 = 75N /0°
F4=25N /180°
Línea de acción
F1
F2
F3
F4
•
Magnitud: R = F 1 - F 2 + F 3 - F 4 = 1 0 0 N - 1 0 N + 7 5 N - 2 5 N = 1 4 0 N
•
Dirección y sentido: De acuerdo a la suma algebraica, la dirección es:
θ = 0°
•
R = 140 N
Punto de aplicación: Sobre la línea de acción de las fuerzas.
E j e m p l o 2 . Calcular la resultante del siguiente sistema de fuerzas concurrentes:
F1= 100N /30°
F 2 = 50N /315°
F3 = 75N /120o
F 4 = 5 0 N /240°
F3
120°
240°
F1
30°
315°
F4
•
F2
Magnitud, dirección y sentido:
Σ F X = 100 c o s 30°+50 c o s 315°+75 c o s 120°+ 50 c o s 240°
ΣFX =117.7N
Σ F y = 100 s e n 30°+50 s e n 315°+75 s e n 120° + 50 s e n 240°
F y = 73.46 N
R = Σ( FX ) 2 + Σ( FY ) 2 = (117.7) 2 + (73.46) 2 = 138.75 N
θ = tg −1
FY
73.46
= tg −1
= 31.97°
FX
117.7
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 62
.
ΣFY =73.46N
R = 138.75N
θ
ΣFX = 117.7N
R = 138.75 N /31.97°
•
Punto de aplicación: Es el punto de concurrencia de las fuerzas.
Ejemplo 3.
Calcular la resultante del siguiente sistema de fuerzas paralelas.
F1 = 50 N
F 2 = 150 N
F 3 = 200 N
F4 =100 N
X2=0.5m
F2=150N
F4=100N
X1=0.2m
M+ P
F1=50N
X3=1m
X4=1.5m
F3=200N
a ) Magnitud: R = Σ F = - F 1 + F 2 - F 3 + F 4 = - 5 0 N + 1 5 0 N - 2 0 0 N + 1 0 0 N = 0 N
Obsérvese que en este caso la resultante es igual a cero por lo que no puede ser una fuerza,
por ello se calculan los momentos de las fuerzas con respecto al punto "P".
MP = -0.2mF1 + 0.5mF2 - 1mF3 + 1.5F4
M p = -0.2m * 5 0 N + 0 . 5 m*150N - 1 m * 2 0 0 N + 1 . 5 m*100N
Mp = 15 N*m
Dado que existe un momento, la resultante de este sistema es un par de fuerzas el cual se
representa según las transformaciones que puede sufrir un par de fuerzas.
F =15N
F=15N
d =1.0m
M+
P
Sí d = 1.0m, e l momento equivalente es:
M E Q = F d = 15 N m
APUNTES FISICA I T.V.
por lo tanto
PAG. 63
F=
.
15 Nm
= 15 N
1m
Las características del par de fuerzas son:
•
Magnitud. 15Nm
•
D i r e c c i ó n . Perpendicular al plano del papel y sobre el punto "P".
•
S e n t i d o . (Según el giro del par) Positivo.
E j e m p l o 4 . Calcular la resultante del sistema de fuerzas paralelas mostrado en la siguiente
figura.
F1 =100N
F3=200N
1.5m
FUERZAS +
P
MOMENTOS +
0.5m
F2 =75N
10.0m
F4=300N
•
Magnitud:
R = Σ F = - F 1 + F 2 - F 3 + F 4 = - 1 0 0N +75N -200N +300N = 75N
Al ser la suma de fuerzas igual a 7 5 N significa que la resultante es una fuerza.
•
D i r e c c i ó n . Paralela a la línea de acción de las fuerzas.
•
Sentido. Ya que la suma algebraica de las fuerzas es positivo, la resultante estará dirigida
hacia arriba.
d
FUERZA +
•
MOMENTO +
P
P u n t o d e a p l i c a c i ó n . Tomando momentos con respecto al punto " P " , tenemos:
R*XR = -F1*X1 +F2*X2 -F3*X3 +F4*X4
7 5 N * X R = - 1 0 0N* ( 0 m ) +75N* ( 0 . 5 m ) -200N* ( 1 . 5 m ) +300N* ( 2 m )
X R = ( 0 +37.5Nm -300Nm +600Nm ) / 7 5 N = 4 . 5 m
F = 75N
XR = 4.5m
FUERZA +
MOMENTO +
P
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 64
.
Ejemplo 5.
Calcular la resultante del siguiente sistema de fuerzas arbitrarias:
10m
60°
F2=30N
30°
60°
0
F3=10N
60°
10m
F1=20N
a) Se calcula la magnitud, la dirección y el sentido de la resultante por medio del método
de composición y descomposición.
F2 =30N
240°
30°
300°
F3 =10N
ΣFX = Fx1 +Fx2 +Fx3
F1 =20N
ΣFY = Fy1 +Fy2 +Fy3
Sustituyendo valores:
ΣFX =(20N)*cos300° + (30N)*cos30°+(10N)*cos240° = 30.98 N
ΣFY = (20N)*sen300° + (30N)*sen30°+(10N)*sen240°=-10.98 N
R = Σ( FX ) 2 + Σ( FY ) 2 = (30.98) 2 + (−10.98) 2 = 32.87 N
θ = tg −1
FY
− 10.98
= tg −1
= tg −1 − 0.3544 = −19.51° = 360 − 19.51 = 340.48°
FX
30.98
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 65
.
ΣFX = 30.48N
θ =340°
β =-19.51°
ΣFY =-10.98N
R = 32.87 N /340.48°
b).- Se calcula el punto de aplicación de la resultante aplicando el teorema general de
momentos. Tomando momentos con respecto al punto "0".
F2
0
β =-19.51°
F3
F1
R=32.87N
Parece incongruente que la resultante quede fuera del cuerpo en el que actúan las fuerzas, sin
embargo, por el principio de transmisibilidad de las fuerzas se desplaza el punto de aplicación a
cualquier punto sobre la línea de acción, por ejemplo, al punto "B".
Ejemplo 6.
Calcular la resultante del sistema de fuerzas arbitrario representado en la siguiente
figura.
2m
2.5m
F1=50N
60°
F2=100N
0
45°
2m
F 3 =50N
a) Calculo de la magnitud, de la dirección y del sentido:
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 66
.
F3=50N θ =180°
225°
300°
F1 =50N
F2 =100N
ΣFX = Fx1 +Fx2 +Fx3
ΣFY = Fy1 +Fy2 +Fy3
Sustituyendo valores:
ΣFX =(50N)*cos300° + (100N)*cos225°+(50N)*cos180° = -95.71 N
ΣFY = (50N)*sen300° + (100N)*sen225°+(50N)*sen180°=-114.012 N
R = Σ( FX ) 2 + Σ( FY ) 2 = (−95.71) 2 + (−114.012) 2 = 148.86 N
θ = tg −1
FY
− 114.012
= tg −1
= tg −11.1912 = 50° = 180° + 50° = 230°
FX
− 95.71
ΣFX = -95.71N
θ =230°
R = 32.87 N /230°
ΣFY =-114.012N
b ) Cálculo del punto de aplicación:
2m
2.5m
F1=50N
60°
F2=100N
0
R=32.87 N /230°
45°
2m
F 3 =50N
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 67
.
Tomando momentos con respecto al punto "0".
R • x sen 50°= (F 12 • 0 m • sen -60°) +(F 2 • 4.5 m • sen 135°) + (F 3 • 2 m • sen 90°)
-148.86 N- x sen 50°= (-100 N) •(4.5 m)sen 135°+(-50 m) • 2m • sen 90°
x=
(-100 N) (4.5 m)sen 135° + (-50 N) 2m sen 90° − 418.20 Nm
=
= 3.67 m
− 148.86 Nsen50°
113.98N
Por lo que el vector resultante debe colocarse a 3.67m del punto de giro en “0”
X=3.67m
0
MOMENTO +
R=32.87 N /230°
CÁLCULO DE LA MAGNITUD DE LA RESULTANTE:
1.- MÉTODO DE LOS COSENOS. Este cálculo se basa en la ley de los Cosenos, cuyo
enunciado dice: "El cuadrado de un cateto es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos
catetos menos el doble producto de dichos catetos multiplicados por el coseno del ángulo menor
que forman entre sí ( β ) ".
La resultante por esta ley es:
R2 = F12 + F22 – 2 F1 F2 cosβ .
θ R = Cos −1
2
2
R = F1 + F2 - 2 F1 F2 cosβ
F1 cosθ1 + F2 cosθ 2
R
Dados F1 y F2 como se muestra en la figura de la izquierda, la resultante por la ley de los cosenos se
aprecia en la figura del lado derecho.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 68
.
2.- MÉTODO DE LOS SENOS.
F1
R
θ
F1
β
F2
F2
CÁLCULO DE LA DIRECCIÓN.
El cálculo del ángulo interior que forma la resultante con uno de los catetos se basa en la ley
de los senos, cuyo enunciado es: "Los catetos de un triángulo son proporcionales a los senos de sus
ángulos opuestos". La ecuación de esta ley es:
R
F1
F1
ϕ
α
β
F2
F2
F
F
R
= 2 = 1
senβ senϕ senα
Obsérvese que es un ángulo interno que forma la resultante con la fuerza F 1 e s ϕ .
E j e m p l o 1 . Obtener la resultante de dos vectores concurrentes.
a ) . - Por un método gráfico y
b).- Compruebe con un método analítico de formula directa, (ya sea que utilice el método de
los senos o el de los cosenos).
Las características de los vectores sumandos son:
W 1 = 100 K g / 0 o
W 2 = 50 K g / 300°
Solución a).- Utilizando el método del paralelogramo, se representa la suma vectorial.
W1=100Kg /0°
α =60°
θ =300°
α =60°
R
θ =300°
W2=50Kg /300°
APUNTES FISICA I T.V.
W2’
W1’
PAG. 69
.
α =- 60°
β =120°
ϕ
θ =300°
R
W2’
W1’
El ángulo que forman entre sí las fuerzas "W 1 ," y "W 2 " es "α " el cual se obtiene por diferencia,
α = 360°-300 o =60°. De aquí que el ángulo " β " también se obtiene por diferencia: β = 180°- α =
180°-60°= 120°.
b ) . - Cálculo de la magnitud de la resultante.
R2 = W12 + W22 – 2 W1 W2 cosβ .
2
2
R = W1 + W2 - 2 W1 W2 cosβ
R = (100) 2 + (50) 2 - 2 (100)(50) cos120° = 132.28 Kg
c).- Cálculo del ángulo " ϕ " que forma la resultante con una de las fuerzas (Usando ley
cosenos).
ϕ R = Cos −1
W1 cos θ1 + W2 cos θ 2
R
ϕ R = Cos −1
100 cos 0° + 50 cos 300°
= 19.1°
132.28
Comprobando: Se calcula el ángulo " ϕ " usando ley senos.
W1
R
=
senβ senϕ
senϕ =
132.28
50
=
senβ
sen60
W2
50
senβ =
sen120° = 0.327 = 19.1°
R
132.28
d).-Determinación de la dirección de la resultante.
θ = 360 - ϕ = 360°-19.1° = 340.9°
e).- La resultante se expresa como:
R = 132.28K g / 340.9°
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 70
.
f).- La resultante expresada gráficamente queda como:
θ =340.9°
R =132.28Kg /340.9°
EJERCICIOS DE APLICACIÓN.
1.- Dos fuerzas de 20 y 15 N, aplicadas al mismo punto, tienen la misma dirección y sentidos opuestos.
Representa y define la resultante (: intensidad, dirección, sentido y punto de aplicación).
2 .- Dos fuerzas, F 1 y F2 tienen la misma dirección y sentidos opuestos. F1 es 300N, y la resultante es de
100 N y su sentido coincide con F2 ¿Cuánto vale F2?
3.- Halla la resultante de dos fuerzas de 20 y de 100 N:
a) Cuando tienen la misma dirección y sentido.
b) Cuando tienen la misma dirección pero son de sentidos opuestos.
c) Cuando tienen direcciones perpendiculares.
4.- Halla la resultante de 3 fuerzas concurrentes de 50 N, 250 N y 500 N, las dos primeras de la misma
dirección pero de sentidos opuestos y la tercera perpendicular a ellas.
5.- Halla la resultante de 3 fuerzas concurrentes, con origen en el origen de coordenadas. Una de ellas tiene
módulo 10 N dirección el eje x y sentido positivo; otra mide 8N, tiene dirección del eje y sentido
negativo; la otra tiene una intensidad de 15 N, tiene dirección del eje y sentido positivo.
6.- Halla las componentes de la fuerza que tiene como origen el origen de coordenadas y como extremo el punto
(5,3).
7.- Halla la resultante de las siguientes fuerzas, concurrentes previa descomposición en sus componentes, cada
cuadro equivale a 10 N, suponga los cuadros uniformes de 1 x 1 cm:
Comprueba que obtienes el mismo resultado que si se utiliza la regla del paralelogramo.
F3
F2
F1
10 N
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 71
.
OPERACIONES ENTRE VECTORES.
L a s o p e r a c i o n e s c o n m a g n i t u d e s f í s i c a s v e c t o r i a l e s q u e estudiaremos son:
•
Producto de un escalar por un vector.
•
Producto escalar de dos vectores.
•
Producto vectorial de dos vectores.
•
Suma y resta de vectores.
PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR.
El producto de un escalar, "m" por un vector "A" es otro vector de la misma dirección y
sentido de " A " pero con un módulo " m " veces el de " A " y un sentido igual u opuesto al vector
" A " , según que el escalar " m " sea positivo o negativo. Este producto queda definido por la
ecuación:
m •A = m A
Sea el vector "B" que contiene cinco veces un vector unitario " a ":
a
a
a
a
a
B
El vector "B" se puede expresar como:
B = 5a
Obsérvese que el vector " B " tiene la misma dirección y sentido de "a".
PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES.
El producto escalar o producto ( A •B ) de dos vectores " A " y "B", se define como el producto de
sus valores absolutos (m a g n i t u d e s ) por el coseno del ángulo que forman entre si:
A •B = | A | | B | c o s θ
Definición:
El producto escalar de dos vectores en el espacio de "n" dimensiones es
a = ( a l , a 2 , . . . , a n ) y b = ( b 1 , b 2 , . . . , b n ) es el producto punto tal que a •b (se lee vector
"a" punto “b” se define como.
a •b = Σ a K b k = a 1 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a n b n
El resultado del producto escalar de dos vectores es un escalar (número real) y no un vector, al
producto escalar también se le conoce como producto interno o producto punto.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 72
.
E j e m p l o 1 . Sean los vectores a = (2,1, l), b = (3, -1,-2) y c = (-l, 4,5), encontrar.
1 . - a •b
2 . - a •c
3 . - 3 b •2 c
Solución.
a • b = (2,1, l) • (3, -1, - 2) = 6 -1 - 2 = 3
a • c = (2,1, l) • (-1,4,5) = -2 + 4 + 5 = 7
3b •2c = 3(3,-l,-2) • 2(-l,4,5) = (9,-3,-6) • (-2,8,10)=-18-24-60 = -102
ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES.
El ángulo que forman el vector "a" y el vector " b " considerándolo en un origen común, está
dado por la expresión.
θ = cos −1
a ⋅b
| a |⋅| b |
E j e m p l o 2 . Calcular el ángulo que forman los vectores a = (3,0,-l) y b = 6 i - 2 j + 0 k.
Solución.
θ = cos −1
a ⋅b
| a |⋅| b |
=
(3,0,−1) ⋅ (6,−2,0)
(3) + (0) + (−1) 2 ⋅ (6) 2 + (−2) 2 + (0) 2
θ = cos −1
2
2
18
18
= cos− 1 = 25.84°
20
10 40
PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES.
A este producto entre vectores también se le conoce como producto vectorial o producto cruz.
A diferencia del producto escalar, el producto vectorial sólo es aplicable a parejas de vectores,
obteniéndose como resultado un tercer vector perpendicular al plano formado por los dos vectores
multiplicandos, (vectores originales).
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 73
.
Sean
a = a1i + a2j + a3k
y
b = b 1 i + b 2 j + b 3 k dos vectores en el espacio de
tres dimensiones, el producto vectorial a x b, (se lee a cruz b, en ese orden), estará
definido por el vector:
a x b = ( a 2 b 3 - a 3 b2)i + (a3 b 1 - a 1 b 3 ) j + ( a 1 b 2 - a 2 b 1 ) k
Una representación más fácil de recordar del producto vectorial a x b es por medio de
un determinante de tercer orden.
i
j
k
axb = a1 a2 a3
= (a2b3-a3b2)i + (a3b1-a1b3)j +(a1b2-a2b1)k
b1 b2 b3
Es decir, el vector a x b es perpendicular tanto al vector a como al vector b .
Ejemplo 3. Un vector "c" tiene como módulo 52 y es perpendicular común a los
v e c t o r e s a = 4 i – 3 j y b = – 4i+6j+k, d e t e r m i n a r l a s c o m p o n e n t e s d e d i c h o v e c t o r .
i
axb =
j
k
a1 a2 a3
i
=
b1 b2 b3
j
k
4 -3
0
-4
1
6
= 3 i + 4j - 1 2 k
El vector unitario en la dirección de a x b es.
a x b =
axb =
axb
= (−3) 2 + (4) 2 + (12) 2 = 169 = 13
axb
axb
− 3i + 4 j + 12k − 3
4
12
=
=
i+
j+ k
axb
13
13
13
13
4
12 ⎤
⎡ − 3
i + j + k ⎥
13 ⎦
⎣ 13 13
E n t o n c e s . c = 52
⎢
APUNTES FISICA I T.V.
c = −12i + 16 j + 48k
PAG. 74
.
E j e m p l o 4 . L o s v e c t o r e s A y B e s t á n d a d o s p o r A = 2i + 3j y B = -i + 2j. D e t e r m i n e e l
producto vectorial y escalar entre A y B, además encuentre el ángulo formado por los
vectores.
Solución (a):
AxB =
a1 a2
b1 b2
(b)
=
2
3
= 4 +3= 7
-1 2
A ⋅ B = (2i + 3j) ⋅ (-i + 2j) = - 2i ⋅ i + 2i ⋅ 2j - 3j ⋅ i + 3j ⋅ 2j = -2 + 6 = 4
Donde se han utilizado las propiedades de los vectores unitarios i ⋅ i = j ⋅ j = 1 y i⋅j = 0 j⋅i = 0.
El mismo resultado se obtiene al utilizar directamente la ecuación
A ⋅ B = A X BX + AY BY ´= (2i − 1j) ⋅ (-3i + 2j)
(b) Las magnitudes de A y B están dadas por
Con la ecuación A⋅B = A⋅B cosθ
y con el resultado de (a) se obtiene
SENTIDO DEL PRODUCTO VECTORIAL Y SU REPRESENTACIÓN.
Para determinar el sentido del producto vectorial, convencionalmente, se procede de la
siguiente manera.
•
La ecuación del producto vectorial es
AxB = |AB|senθ = C
•
El sentido del giro será positivo (si sobre el ángulo
menor entre los vectores), el primer multiplicando se
acerca al segundo en sentido contrario al giro las
manecillas del reloj.
•
El sentido del giro será negativo si el primer vector
multiplicando de la ecuación anterior se acerca al
segundo en el mismo sentido de las manecillas del
reloj, (considera el ángulo menor entre los vectores).
Lo anterior se representa gráficamente como:
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 75
.
C
AxB = |AB|senθ = + C
Giro
Giro
(-)
(+)
B
B
θ
θ
A
A
BxA = -|BA|senθ = - C
EJERCICIOS DE APLICACIÓN:
C
EJERCICIO 1 . - D e t e r m i n a e l s e n t i d o d e g i r o d e l p r o d u c t o v e c t o r i a l d e l a s s i g u i e n t e s
figuras:
Fig. *
Imagenes tomadas de Internet en:
Fig. **
•
*
http://es.wikipedia.org/wiki/Producto_vectorial
•
** http://bt14guadalpin.blogspot.com/2009_02_01_archive.html
EJERCICIO 2.- El vector u1 es (3,2) y el vector v2 (-2,3). Determina el sentido de u1 x u2 , y el
producto vectorial de u2 x u1 . En cada caso calcula la magnitud de cada uno de estos productos
Vectoriales.
•
*** http://cpreuni.blogspot.com/2010/08/producto-vectorial.html
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 76
.
EJERCICIO 3.- Las cuatro fuerzas concurrentes mostradas en la figura, tienen una resultante igual a cero. Si
FB = 800 N, FC = 1000 N y FD = 800 N determine la magnitud de FA y el ángulo α. Traza los vectores en forma
gráfica y comprueba usando el método analítico de descomposición rectangular.
Resp.
FA = 1662. 386 N / 36° .
Ejercicio 3.3 Tres fuerzas actúan sobre la esfera mostrada en la figura. La magnitud de FB es de 60 N y la
resultante de las tres es igual a cero Determine las magnitudes de FA y FC.
Resp.
FA = 60 N / 0° y FC = 69.28 N / 120° .
Tomado de http://fisica.usach.cl/~lhrodrig/fisica1/sols3.pdf
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 77
.
PRODUCTO CON VECTORES.
1.- PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR.
El producto de un escalar por un vector, da por resultado otro vector, con la misma
dirección que el primero. Al hacer la multitplicación el escalar cambia el módulo del
vector (gráficamente su largo) y en caso de ser negativo cambia también su sentido. La
d i r e c c i ó n d e l v e c t o r r e s u l t a n t e e s s i e m p r e l a m i s m a q u e l a d e l v e c t o r original.
Un ejemplo es el impulso físico donde se observa el producto de un escalar por un
vector.
Ejemplo de aplicación 1.- Calcular el impulso que produce una fuerza de 150 N /0°
aplicada en un cuerpo durante 2 s .
Y a q u e e l I m p u l s o s e d e f i n e c o m o e l p r o d u c t o d e l a f u e r z a ( vectorial) p o r e l t i e m p o en
que actúa (escalar).
Impulso = F * t
La Magnitud buscada es: = 150 N / 0 ° x 2 s = 300 N s / 0 ° ,
Se aprecia que la dirección d e l v e c t o r i m p u l s o e s c e r o g r a d o s .
N o t a c i ó n C i e n t í f i c a : Impulso = 300 N / 0 °
E j e m p l o d e a p l i c a c i ó n 2 . - D a d o el vector V= (3, 5) multiplicarlo por el escalar k = -2
Datos:
V= (3, 5) k = -2
Operación: k V = -2 (3, 5) = (-6, -10)
Representación gráfica y analítica:
V= (3, 5)
kV = (-6, -10)
Nota que si los vectores son de más de dos coordenadas se realiza lo mismo para cada una de ellas; el vector
producto cambió su sentido debido a que el escalar es negativo.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 78
.
2. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES.
El producto escalar de dos vectores, conocido como
producto interno, interior o punto, se define como el
producto de sus módulos por el coseno del ángulo θ que
forman entre si.
A ⋅ B = A B cosθ = AB cosθ
Su resultado es un valor numérico o escalar, de ahí su
nombre.
Ejemplo:
El trabajo de una fuerza es una cantidad escalar y se define como el producto
de la componente de la fuerza paralela al desplazamiento por la distancia recorrida.
T = F • cos θ * d
Por ser un producto escalar, se tendrá:
T = F • d cos θ
Ejemplo de aplicación 1.- Calcular el trabajo realizado (τ ), por una fuerza F=50N /60°
al desplazar horizontal-mente un cuerpo una distancia de 100m.
F
60°
d = 100m /0°
τ = | F • d | cos θ = 5 0 x 1 0 0 cos 6 0 ° = 2 5 0 N•m
d = 100m
Ejemplo de aplicación 2.- Sean los vectores A=(3,0)N y B=(5,5)N encontrar el producto
escalar entre ellos.
Datos: A=(3,0)N y B=(5,5)N
Cálculo de las magnitudes:
2
2
A = X A + YA = 32 + 0 2 = 3 N
2
2
B = X B + YB = 52 + 52 = 7.071N
Cálculo de θ (ángulo entre los vectores):
θ A = tg −1
YA
0
= tg −1 = 0°
XA
3
θ B = tg −1
YB
5
= tg −1 = 45°
XB
5
θ AB = θ mayor − θ menor = θ B − θ A = 45° − 0° = 45°
Solución: como
A ⋅ B = A B cosθ = AB cosθ despejando tenemos:
A ⋅ B = (3) ⋅ (7.071)cos 45° = 15N
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 79
.
3.- PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES:
El producto vectorial de dos vectores A y B es otro vector C cuya dirección es perpendicular al
plano formado por los dos vectores (A y B) y su sentido sería igual a la regla de la mano
derecha, o al avance de un sacacorchos al girar de A a B;
Su módulo es igual al vector C, tal que:
AxB = A B senθ = C
Ejemplo de aplicación 1.- Representar el producto vectorial de los vectores A= (4,0)N y
B= (-3,5)N, trazar su vector C indicando su sentido.
Representación gráfica y analítica:
C
B= (-3,5) N
B= (-3,5) N
GIRO +
θ C = 90°
θ B= 121°
θ B= 121°
A= (4,0)N
A= (4,0)N
Cálculo de las magnitudes de los vectores:
2
2
2
A = X A + YA = 4 2 + 0 2 = 4 N
2
B = X B + YB = − 32 + 52 = 5.83 N
Cálculo de θ (ángulo entre los vectores):
θ A = tg −1
YA
0
= tg −1 = 0°
XA
4
θ B = tg −1
YB
5
= tg −1
= −59° = 180 − 59 = 121°
XB
−3
θ AB = θ mayor − θ menor = θ B − θ A = 121 ° − 0° = 121 °
Cálculo del vector C:
AxB = A B senθ = C C = (4)(5.83) sen121° = 20 N
El sentido del vector C está dado por la regla de la mano derecha, por lo que el vector está saliendo del plano
formado por los vectores A y B.
E j e m p l o d e a p l i c a c i ó n 2 . - C a l c u l a r e l m o m e n t o d e l a f u e r z a F=100N /3 0 ° c o n r e s p e c t o a l
p u n t o "A", d e l a s i g u i e n t e f i g u r a .
(-)
Y
FY
F=100N
90°
d
30°
X=3m /0°
APUNTES FISICA I T.V.
FX
A
PAG. 80
X
.
E l m o m e n t o d e u n a f u e r z a c o n r e s p e c t o a u n p u n t o s e d e f i n e c o m o el producto de la
fuerza por la distancia a l p u n t o c o n s i d e r a d o p e r p e n d i c u l a r a s u l í n e a d e a c c i ó n .
Momento = M = Fsen θ •X = - 1 0 0 sen 30° x 3 = - 1 0 0 x 0 . 5 x 3 = - 1 5 0 Nm
Obsérvese que F • s e n θ = d .
La dirección del vector momento "M" sería perpendicular al plano formado por "F" y
" x " y p a s a r í a p o r e l p u n t o "A 1 ", s i e n d o s u s e n t i d o n e g a t i v o .
EJERCICIOS ENTRE VECTORES:
1. Sean los vectores A = 5î + 3j; B= -2î + 5j Encontrar su producto escalar (o punto).
2. Encontrar el producto vectorial (o cruz) entre los vectores A = 8î + 4j; B= -4î - 6j
3. Encontrar el valor de C, en forma de A X B si: A = 4î + -6j; y B = 8î -´9j
4. Dados los vectores: A = (3 î - 7j) N y B = (-4 î - 5j) N encontrar su producto escalar entre los vectores A
y B, y comprobar por el producto vectorial.
5. Los vectores D = (7N, / 70° ) y el vector E (4N, / 130° ). Tienen su origen en el centro del eje de
coordenadas rectangulares, encuentre el producto escalar y vectorial entre dichos vectores (D y E).
6. Si el vector W tiene una magnitud de 10 m/s y Z tiene una magnitud de 12 m/s, y los dos vectores forman
un ángulo de 50.0° entre si. Encuentre el producto escalar y vectorial entre W y Z
7. Para M = 3 î + j , N = - î + 2j y C = 2 î -3j, encontrar C (M - N)
8. Al abrir la puerta una persona empuja con una fuerza F = (10 î - 3j) N la cual actúa perpendicularmente a 60
cm de una de sus bisagras. Encuentre el producto vectorial que actúa sobre la bisagra, y su sentido.
9. El vector F tiene 5 N y apunta en la dirección positiva del eje y, el vector d tiene una componente a lo largo
del eje x de -2 m. Encuentre el producto escalar y vectorial entre F y d.
10.- Dos vectores A=(3,-5)N y B=(4,-5) N forman un ángulo θ entre sí, hallar el valor del ángulo suponiendo
que ||AxB|| = ||A|| ||B|| sen θ y demostrando con A• B = ||A|| ||B|| cos θ.
11.- Observa tu medio ambiente y plantea dos problemas donde actúen el producto escalar y otros dos
diferente donde actúe el producto vectorial, resuelve y comparte con tus compañeros.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 81
.
UNIDAD III
ESTÁTICA
COMPETENCIA PARTICULAR: Plantea alternativas de solución a problemas de equilibrio
estático para partícula y cuerpo rígido, en situaciones académicas y sociales.
RESULTADO DE APRENDIZAJE PROPUESTO (RAP)
No. 1. Aplica las condiciones de equilibrio en la solución de problemas para partícula y cuerpo
rígido, considerando su importancia en las aplicaciones tecnológicas.
No. 2. Desarrolla su conocimiento en solución de problemas relacionados al tema y los aplica en su
ambiente diario.
•
IMPORTANCIA DE LA ESTÁTICA.
Es la parte de la mecánica que estudia los cuerpos que se encuentran en reposo bajo la
acción de sistemas de fuerzas en equilibrio. El equilibrio mecánico es un estado en el
que se encuentra un cuerpo cuando las fuerzas que actúan sobre él se compensan y
anulan mutuamente.
•
DEFINICIÓN Y CONCEPTO DE LA ESTÁTICA:
La estática es l a r a m a d e l a f í s i c a y d e l a m e c á n i c a q u e a n a l i z a l as c a r g a s , e s t u d i a n d o l a s
fuerzas en los sistemas físicos, es decir, en un estado en el que las posiciones
relativas de los cuerpos no cambia con el tiempo. Se basa en dos principios, el del
equilibrio de rotación y el del equilibrio de traslación. La primera es un sistema de
fuerzas en el que la suma de ellas es igual a cero, se conoce como la primera
condición del equilibrio, y la segunda consiste en un sistema en el que los momentos
n e t o s d e l c u e r p o e s c e r o , s e c o n o c e c o m o la segunda condición del equilibrio. E s t a s d o s
condiciones, se convierten en un sistema de ecuaciones donde la solución es la
obtención de la condición de equilibrio. Basando su el planteamiento en métodos
g r á f i c o s ( D C L ) , p a r a t e r m i n a r l o c o n m é t o d o s a n a l í t i c o s , ( c o n d i c i o n e s d e l e q u i l i b r io ) .
•
Concepto de Fuerza, Masa, Cuerpo Rígido y Partícula.
Consideraremos a la fuerza como la causa que produce sobre los cuerpos el efecto de
provocar o tender a provocar cambios en su estado de movimiento. En cuanto a las
unidades, este tema será tratado con mayor profundidad en Dinámica, por lo pronto
las unidades de la fuerza son:
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 82
.
SISTEMAS DE UNIDADES
FUERZA (F)
S. I.
Newton, N
CGS
Dina Din
Inglés Absoluto
Poundal P
Gravitacional Métrico
K i l o g r a m o f u e r z a , Kg
Gravitacional Inglés
L i b r a f u e r z a , Ib
Efecto externo de la fuerza. Cuando una fuerza es aplicada sobre un cuerpo, el efecto
externo que produce es un cambio en su estado de movimiento o producir fuerzas
r e s i s t i v a s (reacciones).
Efecto interno de la fuerza. El efecto interno de una fuerza sobre los cuerpos es
producir esfuerzos internos y deformaciones.
Concepto de masa. Podemos decir que todo cuerpo está formado por materia, y a dicha
materia se le conoce como masa, la que posee propiedades físicas como peso, volumen,
etc., y su estado de agregación puede ser sólido, líquido o gaseoso.
Concepto de cuerpo rígido. Un cuerpo rígido es definido como un cuerpo cuyas
partículas no tienen movimiento entre sí bajo la acción de una o más fuerzas. Debemos
aclarar que en la naturaleza no se encuentran cuerpos totalmente rígidos, es decir, todos
los cuerpos tienden a sufrir deformaciones, o sea que sus partículas se desplazan bajo la
acción de las fuerzas, pero las leyes teóricas que gobiernan el movimiento de los cuerpos
requiere de cuerpos rígidos, por lo que para fines de estudio consideraremos que todos
los cuerpos son rígidos.
Concepto de partícula. La partícula es la representación de un cuerpo, la cual se
define como un punto geométrico al que se le asocian las características físicas del
cuerpo en estudio, tales como volumen, peso, masa, etc.
• Principio de transmisibilidad.
El efecto externo de una fuerza sobre un cuerpo rígido no se altera si se cambia su
punto de aplicación a los largo de su línea de acción.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 83
.
En la figura, y de acuerdo al principio de transmisibilidad, el efecto externo de una
fuerza será el mismo si se aplica en el punto A o en el punto B, es decir, en ambos casos
s e d e s p l a z a r á e l c u e r p o l a d i s t a n c i a x.
Diagrama de cuerpo libre (DCL). Para el estudio de las fuerzas que intervienen en la
solución de un problema se utiliza el llamado diagrama de cuerpo libre, el cual nos
permite hacer un análisis de las fuerzas conocidas que actúan sobre un cuerpo así como
de las que se desconocen y se desean calcular.
Un diagrama de cuerpo libre debe mostrar todas las fuerzas externas que actúan
s o b r e e l c u e r p o , p o r l o c u a l e s f u n d a m e n t a l q u e e l d i a g r a m a e s t é c o r r e c t o.
En estos diagramas, se escoge un sistema y se aísla, reemplazando las cuerdas,
s u p e r f i c i e s u o t r o s e l e m e n t o s p o r f ue r z a s r e p r e s e n t a d a s p o r f l e c h a s q u e i n d i c a n s u s
respectivas direcciones. Por supuesto, también debe representarse la fuerza de gravedad y
las fuerzas de fricción. Si intervienen varios cuerpos, se hace un diagrama de cada uno de
ellos, por separado.
A continuación se muestran algunos ejemplos, a la izquierda el sistema y a la
derecha el diagrama de cuerpo libre aislado, donde "F" o "T" representan la fuerza
t r a s m i t i d a p o r l a c u e r d a , " N" l a n o r m a l , " m - g » e l p e s o y " f r ” l a f u e r z a d e f r i c c i ó n .
Bloque arrastrado hacia la derecha sobre una superficie
horizontal rugosa
Bloque arrastrado hacia arriba sobre un plano
inclinado rugoso
Bloques en contacto empujados hacia la derecha sobre una superficie sin fricción
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 84
.
Dos masas conectadas por una cuerda. La superficie es rugosa y la polea no presenta fricción
SISTEMAS DE FUERZAS.
Las fuerzas como cantidades físicas vectoriales. Cuando decimos, por ejemplo, que
le aplicamos una fuerza de 80 N a un cuerpo, no estamos identificando completamente a la
fuerza como tal, ya que podrían surgir preguntas como estas:
¿En qué dirección?, ¿Hacia dónde? , ¿Empujo o jalo?
Es por esta razón que la fuerza, para identificarse plenamente, debe presentarse
como una magnitud vectorial.
Características
de
la
fuerza.
Las
fuerzas
son
magnitudes
vectoriales
y
sus
características son:
•
Magnitud o módulo.
•
Dirección.
•
Sentido.
•
Punto de aplicación.
La diferencia con lo estudiado en el álgebra vectorial es el punto donde las fuerzas hacen
contacto con los cuerpos. Por lo tanto, las fuerzas pueden ser representadas por vectores.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 85
.
RESULTANTE Y EQUILIBRANTE DE FUERZAS COPLANARES CONCURRENTES
(MÉTODO GRÁFICO Y ANALÍTICO).
Clasificación de las fuerza. Los sistemas de fuerzas obedecen a la misma clasificación
de los sistemas de vectores, así tendremos.
En este curso solo estudiaremos los sistemas de fuerzas coplanares.
UN SISTEMAS DE FUERZAS COPLANARES.
Es aquel sistema de fuerzas contenido en un plano
común. Ejemplo los vectores A, B y C de la siguiente
figura.
SISTEMAS DE FUERZAS NO COPLANARES. En este
sistema las fuerzas están contenidas en distintos planos.
(En la figura, el vector A esta sobre el eje de las z,
mientras que B esta contenido en el plano vertical, y C
actúa sobre el plano horizontal)
CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS DE FUERZAS COPLANARES.
Estos sistemas se clasifican en:
•
Colineales.
•
Concurrentes.
•
Paralelos y
•
Arbitrarios.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 86
.
Un sistemas de fuerzas colineales, es aquel sistema en el que todos los vectores o
fuerzas están colocadas en una misma línea de acción.
A
B
C
Un sistema de fuerzas concurrentes, es aquel
en el que las líneas de acción de los vectores
concurren (es decir se cruzan) en un sólo
punto. En la figura se aprecian dos sistemas
concurrentes en el punto 0.
Un sistema de fuerzas paralelas. Este sistema es
aquel en el que todas las líneas de acción de las
fuerzas son paralelas entre sí.
Un sistemas de fuerzas arbitrario. Es aquel que contempla en forma simultánea dos o
más de los sistemas anteriores. Se caracteriza porque el sistema presenta dos o más
puntos de concurrencia simultáneos. En la siguiente figura, (a) muestra un sistema de tres
vectores arbitrarios, ya que se observa en la figura (b) que hay más de un punto de
concurrencia (01, 02
y 03), en (c) también hay más de un punto de cruce, por lo que
también es un sistema arbitrario. Las líneas punteadas son las líneas de acción del vector.
O1
.
O1
A
A
B
O2
O2
B
O3
F1
F2
F3
C
C
F4
O3
W
SISTEMAS ARBITRARIOS:
Fig (a)
Fig (b)
APUNTES FISICA I T.V.
Fig (c)
PAG. 87
.
La resultante de un sistema de fuerzas (R). Es el sistema equivalente más sencillo a
que puede ser reducido un sistema de fuerzas, la cual produce los mismos efectos
externos que todas las fuerzas juntas.
La equilibrante de un sistema de fuerzas (E). Es el sistema de fuerzas más sencillo
que equilibra a un sistema de fuerzas dado. La equilibrante tendrá la misma magnitud y
dirección de la resultante, pero su sentido será contrario.
Concepto de Momento de una fuerza. El momento de una fuerzo con respecto a un
punto o eje de giro es definido como el producto de la
magnitud de la fuerza, por la distancia al eje de giro y por el
seno del ángulo que forman entre sí, siendo su expresión
matemática:
M = F *d senθ
Recordamos que esta ecuación corresponde al producto
vectorial de dos vectores, visto en el álgebra vectorial, por
lo que el momento es una magnitud vectorial.
Efecto externo del Momento. El efecto externo se manifiesta por la tendencia de la
fuerza a hacer girar el cuerpo.
Característica del Momento. Puesto que el momento de una fuerza es una magnitud
vectorial, sus características son:
•
Magnitud del momento. Queda definida por la cuantificación de la ecuación.
•
Dirección del momento. Se considera perpendicular (90°) respecto al plano que
contiene la fuerza.
•
S e n t i d o d e l m o m e n t o ( + ) s a l i e n t e d e l p l a n o ,( - ) e n t r a n t e a l p l a n o .
Convencionalmente se establece de la siguiente manera:
a.- Sobre un punto de apoyo o eje fijo, una fuerza tiende a girar al cuerpo,
p o r l o q u e d e a c u e r d o a s u g i r o , e l m o m e n t o s e c o n s i d e r a positivo s i l a f u e r z a
hace girar al cuerpo en el sentido contrario al giro de las manecillas del reloj,
y negativo s i l a f u e r z a h a c e g i r a r a l c u e r p o e n e l m i s m o s e n t i d o d e l g i r o d e l a s
manecillas del reloj.
•
Punto de aplicación (O). Estará colocado en cualquier punto a lo largo del eje de
giro del cuerpo.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 88
.
•
Brazo del momento (d). Es la distancia perpendicular que existe entre la línea de
acción del vector y el punto de giro del momento.
• R e p r e s e n t a c i ó n d e l M o m e n t o . D e a c u e r d o a l o a n t e r i o r , t e n e m os :
Unidades y ecuación dimensional del Momento de una Fuerza.
Sistema de unidades
S.I.
Absolutos
Gravitatorios
Momento
Nm
F
d
F
m
CGS
Dina ⋅ cm
din
cm
Inglés
Libra ⋅ pie
Libra
pie
Métrico
K g f ⋅m
Kgf
m
Inglés
lb f ⋅ pie
lbf
pie
TEOREMA DE VARIGNON.
A fin de demostrar el teorema general de momentos, emplearemos el teorema de
V a r i g n o n , e l c u a l e s u n c a s o p a r t i c u l a r d e l T e o r e m a G e n e r a l, a p l i c a d o a f u e r z a s
concurrentes.
Su enunciado dice:
El momento de la resultante de un sistema de dos fuerzas concurrentes con respecto
a un punto o eje de giro, es igual a la suma algebraica de los momentos de las fuerzas
con respecto al mismo punto o eje de giro.
MR = Σ (M1 + M2 + M3 + . . .+ Mn )
Se lee diciendo:
Momento de la resultante = Σ de los momentos de las fuerzas.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 89
.
.
La demostración matemática de este teorema nos permite validar por extensión el
teorema general de momentos:
Consideremos dos fuerzas, P y Q cuya resultante es
R = P+Q
Tomemos el momento de estas fuerzas con respecto
a l p u n t o A, l o c a l i z a d o s o b r e e l e j e d e l a s o r d e n a d a s y
como eje a "0".
R⋅ OA sen θ = P⋅ OA sen α + Q⋅ OA sen β
MR = MP + MQ
Es decir:
Momento de la resultante = Σ de los momentos de las fuerzas.
Con esto se demuestra tanto el Teorema de Varignon como el Teorema General de
Momentos.
CONDICIONES PARA QUE EXISTA EL MOMENTO DE UNA FUERZA.
Consideremos el momento de dos fuerzas concurrentes (P y Q) y su resultante (R) la cuál
se descompone en sus componentes rectangulares (RX, RY), el conjunto actúa sobre el
cuerpo haciéndolo girar en A del eje de las coordenadas, como se aprecia en la siguiente
figura.
Tomemos momentos con respecto a un punto ó eje de giro en “A” de estas componentes.
RX •OA sen 90° = PX •OA sen 90° + QX •OA sen 90°
RX •OA = PX •OA + QX •OA
RY •OA sen 0° = PY •OA sen 0° + QY •OA sen 0°
RX •OA = 0
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 90
.
PARA QUE HAYA MOMENTO SE REQUIERE:
•
a).- Que exista una fuerza.
• b).- Que exista distancia ente el eje de giro y la fuerza productora del momento.
• c).- Podemos observar que cuando la línea de acción de la fuerza pasa por el punto 0,
o e j e d e g i r o d e l m o m e n t o , su momento es cero, (ya que al no existir brazo de momento), no se
produce el momento.
EJEMPLOS:
EJEMPLO 1.- Calcular el momento de la fuerza F = 100 N / 30° con respecto a un punto fijo en
A ( 0,3) m.
Datos: F = 100 N / 30°
punto de giro A ( 0,3) m.
Solución:
Primero hay que observar en la figura siguiente, que el ángulo que forma el vector de la
dirección de la distancia respecto la línea de acción del vector es de 60°.
• Brazo de palanca del momento d = 3m.
•
Para calcular la magnitud: M F = F • d sen 60°= 100 N • 3 m • 0.5 = 150 Nm
•
La dirección: es perpendicular al plano del papel.
• El sentido: es positivo, ya que la fuerza hace girar al cuerpo en sentido contrario al giro
d e l a m a n e c i l l a s d e l r e l o j.
• El punto de aplicación del Vector Momento está sobre el eje que pasa por el punto "A".
M = 150 Nm
Giro (+)
A
d
60°
F
30°
GIRO DEL MOMENTO (+)
“ EL MOMENTO ESTÁ SALIENDO
DEL PLANO DE LA HOJA”.
EJEMPLO 2.- Calcula el momento de una fuerza F = 120N que pasa por el origen de un
sistema de coordenadas cartesianas y que pasa por el punto B (-2,4)m con respecto a un punto
de giro cuyas coordenadas son C (1, 1)m.
Datos: F = 120 N / de 0 p asa por B=(-1,4)m
APUNTES FISICA I T.V.
punto de giro C (1,1) m.
PAG. 91
.
Solución:
F =120 N
B
4m
θ = 71.56°
C=(1,1)m
β
-2m
φ
α
M
0
Giro (-)
Cálculo del ángulo θ en función de la dirección de la Fuerza F y la distancia OC.
4m
= Tg −1 − 2 = −63.43° = 180° − 63.43° = 116.56°
− 2m
1m
α = Tg −1
= 45°
1m
}
φ = Tg −1
Para la fuerza F
Para la distancia OC
∴θ = 116.56° − 45° = 71.56°
Calculo de la distancia OC, (brazo de palanca del momento, d):
OC =
senα =
Y
OC
1
= 1.4142m = d
sen45
OC =
Y
senα
Cálculo del momento de la Fuerza.
• Magnitud.
MF = +F • d sen θ = +50 N • 1.412 m • sen 90°= +70.75 N m
•
D i r e c c i ó n . Perpendicular al plano del papel.
•
S e n t i d o . Negativo, ya que la fuerza hace girar al cuerpo en el mismo sentido del giro de las
manecillas del reloj.
•
P u n t o de a p l i c a c i ó n . En el eje que pasa por el punto "C", (ver figura).
EJEMPLO 3.- Calcular los momentos resultantes con respecto a los puntos " A " y "B" de las
fuerzas que actúan en el cuerpo de la siguiente figura.
B=(-2,2)m
2m
-2m
1m
F 2 =30N
-2m
A=(2,1)m
2m
0
APUNTES FISICA I T.V.
1m
Giro (-)
F 1 =40N
PAG. 92
.
• C o n r e s p e c t o a l p u n t o A:
1. M a g n i t u d . M R A = Σ M F = (40 K g •2 m • sen90°) - (30 K g •1m •sen 90°)
MRA = 50Kg•m
2 . D i r e c c i ó n . Perpendicular al plano formado por las fuerzas.
3. Sentido. De acuerdo al sentido contrario del giro de las manecillas del reloj, es positivo,
(saliente perpendicular del plano formado por los vectores).
4 . P u n t o de a p l i c a c i ó n . Sobre el punto de giro en A.
Con respecto al punto B:
1. Magnitud.
MRB = (40 Kg • 2 m • sen 90°)+ (30 Kg • 3 m • sen 90°)
MRB = 170Kgm
2 . D i r e c c i ó n . Perpendicular al plano en que actúan las fuerzas.
3 . S e n t i d o . De acuerdo al sentido contrario del giro de las manecillas del reloj, es positivo.
4 . P u n t o de a p l i c a c i ó n . Sobre el punto de giro en el eje que pasa por el punto B.
5. Momento Total: La suma de los momentos en los puntas A y B.
M R T = M R A + M R B = 50Kg•m + 1 7 0 K g •m = 2 2 0 K g •m s a l i e n t e p e r p e n d i c u l a r d e l
plano formado por los vectores A y B.
EJERCICIO TAREA: Un padre soporta 3 veces más carga que su hijo. En qué punto de
una barra de 1 m debe colgarse una masa de 80 kg, representa las fuerzas en un DCL.
TEOREMA GENERAL DE MOMENTOS.
Enunciado:
“El momento de la resultante de un sistema de fuerzas con respecto a un punto o eje de giro
es igual a la suma algebraica de los momentos de las fuerzas con respecto al mismo punto o eje de
giro”.
Su ecuación matemática es:
MR = Σ
MF
La ecuación anterior se lee, diciendo que el momento de la resultante de un sistema de fuerzas es igual a la
suma vectorial de los momentos de todas las fuerzas.
RESULTANTE Y EQUILIBRANTE DE FUERZAS PARALELAS.
CONCEPTO DE PAR DE FUERZAS.
Un par de fuerzas está compuesto por dos fuerzas paralelas, de igual magnitud y
dirección pero de sentido contrario.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 93
.
F1
F2
d1
F1
F2
d2
EFECTO EXTERNO DE UN PAR DE FUERZAS.
El efecto externo del par de fuerzas sobre el cuerpo en que actúa, es producir o tratar de
producir un giro en el cuerpo. Un ejemplo de un par de fuerzas lo observamos al mover el
volante de un auto.
F2
d
0
F1
A
90°
B
Momento de un par de fuerzas.
Tomemos momentos del par de la figura anterior, con respecto al punto "0".
MP=+F sen90°•OB - F sen90°•OA
Y a q u e s e n 9 0 ° = 1 y c o m o e l b r a z o d e l p a r e s (OB - OA) = d, entonces:
MP= F • OB - F • OA
M = F • (OB - OA) por lo tanto, El momento de un par se encuentra con
Mp=F•d
“Es decir, el momento de un par de fuerzas es igual al producto de una de las fuerzas por el brazo de
palanca del par”
De lo anterior podemos concluir que el momento de un par de fuerzas, es el producto de
una de las fuerzas del par por su brazo del momento de dicho par, siendo el brazo del
momento, la diferencia de la distancia perpendicular a la línea de acción de las fuerzas.
Podemos observar que el momento del par es independiente de la posición del punto o
eje de giro.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 94
.
CARACTERÍSTICAS DEL MOMENTO DE UN PAR DE FUERZAS.
Como todo momento, el momento de un par de fuerzas es una magnitud vectorial, por lo
que sus características son:
1. Magnitud. Determinada por el producto F• d.
2. Dirección. Perpendicular al plano en que actúa el par.
3. Sentido.
Positivo si hace girar al cuerpo en sentido contrario al giro de las
manecillas del reloj y negativo si lo hace girar en el mismo sentido del
giro de las manecillas del reloj.
4. Punto de aplicación. Dado que el momento del par es independiente de la posición
del eje de giro, su punto de aplicación se puede poner en cualquier parte
del plano.
MOMENTO DE UN PAR DE FUERZAS.
El momento de un Par de fuerzas se puede representar gráficamente en la siguiente
manera:
En la figura, cada flecha circular (en azul), indica el
sentido de giro de cada momento del par.
Las unidades del Momento del Par de Fuerzas, son las mismas que las del momento de
una fuerza, es decir, Newton por metro ( N• m ).
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 95
.
EJEMPLO:
Calcular el momento de los siguientes pares de fuerzas:
a).-
8N /90° y 8N /270° separadas 10 m.
b).-
20N /0° y 20N /180° separadas 3 m.
c).-
5N /45° y 5N /225° brazo del par 12 m.
EJERCICIOS:
Encontrar cada momento del Par de los siguientes ejemplos:
i).-
70m/s /0° y 8m/s /180° separadas 4 pies.
ii).-
50N /360° y 50N /180° brazo del par 5 pulgadas.
iii).- 10N /135° y 10N /315° separadas 800 cm.
iv).v).-
3N /45° y
3N /225° brazo del par 10 m.
15N /30° y 15N /210° separadas 100 mm.
TRANSFORMACIÓN DEL PAR DE FUERZAS.
Bajo ciertos principios físicos, se pueden hacer algunas transformaciones a un par de
f u e r z a s , s i n a l t e r a r s u s c a r a c t e r í s t i c a s , e s to s p r i n c i p i o s s o n :
a ) U n p a r d e f u e r z a s p u e d e s e r t r a s l a d a d o p a r a l e l a m e n t e a s u p o s i ci ó n o a c u a l q u i e r
plano paralelo, siempre y cuando se respete el sentido del momento.
F1
d
F2
F2
F1
F2
d
F1
F1
F1
F2
d
d
F2
d
F1
F2
d
En cada cuerpo de la figura anterior, el par equivalente es obtenido al multiplicar
una de sus fuerzas por el brazo de palanca del par, y se aprecia en su equivalente,
ya que al aumentar la fuerza disminuye proporcionalmente su brazo de palanca,
del mismo modo, al disminuir la fuerza debemos aumentar proporcionalmente el
brazo del par para tener valor del par original.
b) El par de fuerzas debe girar en el plano conservando su sentido.
F1
F2
F1
d1
d2
F2
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 96
.
c) La magnitud de las fuerzas del par y su brazo de momentos pueden ser cambiadas
siempre y cuando el producto de ellas permanezca constante, es decir, el momento del
p a r d e b e s e r e l m i s m o r e s p e c t o a l m i s m o p u n t o d e g i r o (A ) .
1/3 F1
2F1
½ F1
3F1
F1 =150N
A
1/3d
d=1m
F2 =150N
d/2
2d
½ F2
2F2
A
3d
3F2
A
A
1/3 F2
Esta transformación es llamada también PAR EQUIVALENTE.
EJEMPLOS DE APLICACIÓN
EJEMPLO 1.- C a l c u l a r e l m o m e n t o d e l p a r d e f u e r z a s r e p r e s e n t a d o e n l a s f i g u r a s
anteriores, obteniendo el par equivalente al considerar que la magnitud de la fuerza ha
d i s m i n u i m o s a u n a t e r c e r a p a r t e d e l a f u e r z a d e l p a r o r i g i n a l. ¿ Q u e s u c e d e c o n e l b r a z o d e l
par?
Solución.
Par original:
M P = 150N • 1 m = 1 5 0 N m
Par equivalente:
MP
EQ
= F1 • d 1 = 150 N m ,
D e s p e j a n d o a l b r a z o d e l m o m e n t o e q u i v a l e n t e : d1 =
150 Nm
50 N
d1 = 3m
Lo anterior se puede representar como:
1/3 F1 =50N
F1 =150N
d=1m
A
3d1 = 3m
F2 =150N
A
1/3 F2 =50N
Par original
Par Equivalente
EJEMPLO 2. C a l c u l a r e l m o m e n t o r e s u l t a n t e d e l o s p a r e s d e f u e r z a s r e p r e s e n t a d o s e n l a
siguiente figura:
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 97
.
F1’ =500N
-
F1 =100N
FK =250N
d2=1m
F2’=500N
d3 = 3m
+
d1=2m
-F2 =100N
FL =250N
Par original
Par Equivalente
A
Solución.
El momento resultante del sistema de estos tres pares de fuerzas, respecto al punto
d e g i r o e n A , e s i g u a l a l a s u m a a l g e b r a i c a d e l o s m o m e n t o s d e p a r e s, d e c a d a p a r d e
fuerzas.
MR=Σ MP
M R = -100N • 2 m - 500N • 1 m + 250N • 3 m
M R = + 50 Nm
Representación Gráfica del par Resultante respecto al punto de giro A:
F=50N
d=1m
M R = + 50 Nm
+
F =50N
Vector Resultante del par, (saliente del plano formado
A
por la fuerza del par por su brazo de palanca)
EJEMPLO 3. - U s a n d o l a s t r a n s f o r m a c i o n e s d e u n p a r d e f u e r z a s , r e e m p l a c e e l p a r
m o s t r a d o e n l a s i g u i e n t e f i g u r a (a) p o r u n p a r e q u i v a l e n t e c u y a s f u e r z a s s e a n v e r t i c a l e s y
a c t u a n d o e n l o s p u n t o s C y D.
C
2.5 m
D
F1=10N
M B =F 1 d = 10N (1m) = Momento del Par Original
F1=10N
1m
A
B
Figura (a)
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 98
.
Solución:
Primero se gira el par 90° en su plano y se traslada hasta colocarlo sobre el punto D,
como se muestra en la figura (b).
C
2.5 m
D
F1=10N
M G =F 1 d = 10N (1m) = Momento Del Par Original Girado A
B
Figura (b)
C
1m
D
F1=10N
A
B
M G = 10Nm = Momento Del Par Girado cercano a D
Figura (c)
Trasladamos el momento del par hacia el punto D
F1=10N
C
1.5 m
1m
D
A
B
M G = 10Nm = Momento Del Par colocado en D
Figura (d)
Abrimos el par a la distancia solicitada, con lo que este par, será el Par Equivalente
solicitado, ver figura (e):
F1’ = 4N
C
2.5 m
D
F1’ = 4N
Momento Del Par Equivalente colocado en CD
B
Figura (e)
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 99
.
Calculo del Par Equivalente:
M pE = 1 0 N m F1* d1’
Por lo tanto y despejando a la nueva fuerza del par equivalente, tenemos:
F1 ' =
M PE 10 Nm
=
= 4N
d1 '
2.5m
Representado finalmente quedará como se aprecia en la figura (e).
EJEMPLO DE APLICACIÓN. - U n a m é n s u l a d e p e s o d e s p r e c i a b l e A B , s o p o r t a u n p e s o
de 30 N en M. Calcular el peso Q en B, para que el sistema este equilibrado. Considera
que la cuerda que pasa por las poleas en M y N no tiene rozamiento.
Solución: Como el sistema esta equilibrado, la tensión de la cuerda que sostiene al cuerpo P es igual a su peso.
Del diagrama de cuerpo libre (DCL de la barra), se aprecia un par de fuerzas en M y N, dadas como T, cuyo
Par es MP=T• d = 30N*.20m = 6Nm.
Como el sistema esta en equilibrio, debe haber un par equivalente que equilibre al par original, (con la
misma magnitud del par pero en sentido contrario), el cual está aplicado en los extremos A y B, (apoyo y
extremo de la ménsula), es decir que forman el par en R y Q, esto es:
MPE’= 6 Nm = Q N• (0.6m).
Por lo que despejando la fuerza en Q tenemos: Q = 6 Nm / 0.6m = 10N
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 100
.
EJERCICIOS:
Encontrar la incógnita del momento equivalente de cada Par de los siguientes ejemplos:
Sean:
i).-
70m/s /0° y 70m/s /180° separadas 4 pies; cuando se coloca a 2 m
ii).-
50N /360° y 50N /0° separadas 5 pulgadas; al cambiar las fuerzas a 25N
iii).- 10N /135° y 10N /315° separadas 800 cm; cuando se coloca a 0.5 m.
iv).v).-
3N /45° y
3N /225° separadas 10 m; al cambiar las fuerzas a 9 N
15N /30° y 15N /210° separadas 100 mm; cuando se coloca a 5 m
EQUILIBRIO
COMPETENCIA PARTICULAR 3:
Aplica diferentes sistemas de fuerzas, observando como los cuerpos se mantienen sin
movimiento, (en equilibrio), aplica el principio en sucesos y ejemplos de su vida diaria.
CONCEPTO DE EQUILIBRIO:
•
El equilibrio considera que un cuerpo rígido se encuentra inmóvil, a pesar de estar sometido a varias fuerzas, las
cuales al sumarse se anulan, por lo que no le provocan desplazamiento, ni lo hacen girar.
UN CUERPO RIGIDO es aquel que no sufre deformaciones por efecto de fuerzas las externas que actúan
sobre él. Algunos ejemplos de cuerpos rígidos los tenemos formados por sólidos como los metales y algunas
aleaciones de ellos.
ESTADO DE MOVIMIENTO DE UN CUERPO:
Un cuerpo sólo puede en tres estados en el universo, es decir puede estar en estado de
equilibrio, en estado de movimiento o en estado vibratorio (en forma interna), en este
curso sólo estudiaremos el primero de ellos.
CAUSAS DE LOS CAMBIOS DE ESTADO DE MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS.
En la mecánica se estudian dos estados del movimiento de los cuerpos y son:
•
El estado de reposo relativo, o
•
El estado de movimiento relativo.
S a b e m o s q u e u n c a m b i o e n e l e s t a d o d e l m o v i m i e n t o, s e p r o d u c e c u a n d o u n a f u e r z a
desequilibrada actúa sobre los cuerpos, rompiendo su estado de reposo estático o su
estado de movimiento rectilíneo y uniforme.
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PAG. 101
.
EFECTO EXTERNO DE LA RESULTANTE DE UN SISTEMA DE FUERZAS
Como hemos visto, la resultante de un sistema de fuerzas puede ser:
•
Una fuerza única
•
Un par de fuerzas.
La resultante como fuerza única produce sobre el cuerpo el efecto de variar su
velocidad, es decir, tiende a comunicarles una aceleración en el sentido de la fuerza
produciéndole un movimiento de traslación.
Cuando la resultante es un par de fuerzas, el momento del par tiende a producir una
rotación del cuerpo en el sentido de giro del par, en este caso se dice que se produce un
movimiento de rotación.
CLASES DE EQUILIBRIO. El principio de la Fuerza de Galileo y la Primera Ley de
Newton nos indica que si sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza éste permanecerá en
reposo o en movimiento rectilíneo uniforme. Esto último podemos interpretarlo de la
siguiente manera.
Si la resultante de un sistema de fuerzas es cero, el cuerpo permanecerá en reposo o
en movimiento rectilíneo uniforme, en cuyo caso se dice que el cuerpo se encuentra
en equilibrio, así podemos considerar que existen dos clases de equilibrio.
•
Equilibrio estático.
•
Equilibrio dinámico.
EQUILIBRIO ESTÁTICO O REPOSO. Se dice que un cuerpo está en equilibrio
estático o en reposo cuando su posición no varía con respecto a un sistema de
referencia y se encuentra sujeto a la acción de uno o varios sistemas de fuerzas en
e q u i l i b r i o ( resultante igual a cero).
EQUILIBRIO DINÁMICO. Un cuerpo se encuentra en equilibrio dinámico cuando
permanece en movimiento rectilíneo uniforme bajo la acción de uno o varios sistemas de
f u e r z a s e n e q u i l i b r i o ( resultante igual a cero).
CONDICIONES DEL EQUILIBRIO.
L o a n t e r i o r n o s i n d i c a q u e p a r a q u e u n c u e r p o e s t é e n e q u i l i b r i o ( estático o dinámico) e s
necesario que la resultante de los sistemas de fuerzas que actúan sobre el sistema sea
i g u a l a c e r o y l a r e s u l t a n t e e s d e d o s t i p o s (fuerza única y par de fuerzas) y s e r e q u i e r e n d o s
condiciones de equilibrio.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 102
.
•
Que se anule la posibilidad de resultante como fuerza única, es decir, que se
anule la posibilidad del movimiento de traslación.
•
Que se anule la posibilidad de resultante como par de fuerzas, o sea, que se
anule la posibilidad del movimiento de rotación.
ESTUDIO DEL MOVIMIENTO.
CONCEPTO DEL MOVIMIENTO. Uno de los fenómenos físicos con el que estamos
familiarizados es el movimiento e intuitivamente lo reconocemos cuando observamos a
una persona caminar, a un coche desplazarse en una avenida, a un avión desplazarse en el
aire, etc. También cuando observamos a un cuerpo cuya posición es siempre la misma,
intuitivamente decimos que no se mueve o que está en reposo.
Ejemplos de movimiento: de un ciclista, de dos personas, de un avión
y de los planetas del sistema solar.
Es decir que el movimiento lo detectamos a partir de la observación de un efecto
externo que es un cambio de posición de los cuerpos en el espacio y que nos obliga a
pensar ¿Qué es el reposo?, ¿Qué es el movimiento, qué lo produce y cómo se estudia?
APUNTES FISICA I T.V.
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.
ESTADOS DE MOVIMIENTOS. Se dice que un cuerpo se encuentra en movimiento
relativo con respecto a otro cuando la posición del primero cambia con respecto al
segundo en el transcurso del tiempo. Así mismo, un cuerpo se encuentra en reposo
r e l a t i v o c o n r e s p e c t o a o t r o s í s u p o s i c i ó n p e r m a n e c e i n v a r i a b l e a l t r a n s c u rr i r e l t i e m p o .
D e l o a n t e r i o r p o d e m o s c o n s i d e r a r q u e e x i s t e n d o s e s t a d o s d e m o v i m i e n t o : el reposo
y el movimiento.
RELATIVIDAD
DEL
MOVIMIENTO.
Sin
embargo,
debemos
aclarar
por
qué
establecemos estos estados de movimiento como relativos. La explicación es sencilla ya
que depende de las condiciones entre el cuerpo considerado en movimiento o en reposo y
el cuerpo con respecto al cual se refieren estas características.
Para aclarar lo anterior, consideremos un edificio que se encuentra en reposo relativo
con respecto a La Tierra, lo cual podemos afirmar, ya que el edificio no cambia su
posición con respecto a ella, pero si consideramos que ésta tiene un movimiento con
r e s p e c t o a l S o l , e l c o n j u n t o Tierra-edificio e s t a r á a n i m a d o d e l m i s m o m o v i m i e n t o
(traslación y rotación de La Tierra), e n t o n c e s , e l e d i f i c i o e s t a r á e n r e p o s o r e l a t i v o c o n
respecto a La Tierra pero en movimiento relativo respecto al Sol.
Observamos que un cuerpo puede encontrarse en reposo relativo con respecto a un
cuerpo y al mismo tiempo con movimiento relativo con respecto a un tercero y por ello
se considera que el reposo es un caso especial del movimiento.
MARCO O SISTEMA DE REFERENCIA.
Lo anteriormente expuesto nos lleva a la consideración de que para poder definir los
e s t a d o s d e m o v i m i e n t o (reposo o movimiento) e s n e c e s a r i o e s t a b l e c e r , c o n v e n c i o n a l m e n t e ,
c o n r e s p e c t o a q u e o t r o c u e r p o (o grupo de cuerpos cuya posición de unos con respecto a otros
sea fija) t e n e m o s q u e c o n s i d e r a r e l r e p o s o o e l m o v i m i e n t o .
El cuerpo o grupo de cuerpos que sirven de comparación para definir los estados de
m o v i m i e n t o s e l l a m a r á n marco o sistema de referencia.
CAUSAS DEL MOVIMIENTO. El movimiento de los cuerpos lo hemos provocado
algunas veces cuando jalamos o empujamos un carro pequeño, cuando pateamos una
pelota de fútbol, cuando accionamos los pedales de una
bicicleta, etc.
Observamos, en general, que un cuerpo que está en
reposo bajo efecto de alguna de las acciones mencionadas
se moverá y también, si se encuentra en movimiento, lo
podemos llevar al reposo.
APUNTES FISICA I T.V.
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.
Así asociamos el movimiento con un esfuerzo corporal que desarrollamos y al cual
d e s c r i b i m o s c o n e l n o m b r e d e fuerza. E s t e c o n c e p t o d e f u e r z a c o m o c a u s a d e l m o v i m i e n t o ,
l o r e c o n o c e m o s e n f o r m a i n t u i t i v a c u a n d o o b s e r v a m o s q u e l a f u e r z a d e l v ie n t o m u e v e l a s
aspas de un molino, que la fuerza del agua mueve las paletas de una turbina, que el aire
que entra por la ventanilla abierta de un carro en movimiento nos despeina, etc.
El movimiento en algunas ocasiones lo observamos sin asociarle una fuerza que lo
provoque, como en el caso de la caída libre de los cuerpos sobre La Tierra, en el cual
asociamos el movimiento con la fuerza de atracción que ejerce La Tierra sobre los
cuerpos que se encuentran en su superficie, similarmente a la fuerza con que un imán
atrae las rebabas de hierro.
Así podemos considerar que la fuerza se puede definir como la causa que produce
sobre los cuerpos, el efecto externo de provocar cambios en su estado de movimiento.
P o r l o a n t e r i o r , d e b e m o s t e n e r e n c u e n t a q u e e l e s tu d i o d e l o s e s t a d o s d e m o v i m i e n t o
de los cuerpos interviene tanto el tiempo como las fuerzas que lo producen y los cuales
tendremos que relacionar. El estudio de estas relaciones se estudia a continuación.
DEFINICIÓN Y DEFINICIÓN DE MECÁNICA. Mecánica se define como la parte de
la Física que se ocupa del estudio del movimiento. La división de la mecánica obedece a
la satisfacción de tres puntos:
•
¿Cómo estudiar el reposo?
•
¿Cómo estudiar el movimiento?
•
¿Cómo estudiar como se mueven los cuerpos?
Las respuestas a estas preguntas son las siguientes:
1. E s t á t i c a e s l a p a r t e d e l a m e c á n i c a q u e s e e n c a r g a d e l e s t u d i o d e l o s c u e r p o s
que se encuentran en reposo bajo la acción de sistemas de fuerzas en
equilibrio.
2. C i n e m á t i c a e s l a p a r t e d e l a m e c á n i c a q u e s e e n c a r g a d e l e s t u d i o d e l
movimiento de los cuerpos sin considerar su forma o su tamaño ni las causas
que lo producen.
3. D i n á m i c a e s l a p a r t e d e l a m e c á n i c a q u e e s t u d i a e l m o v i m i e n t o d e l o s c u e r p o s
y las causas que lo producen.
LEYES DE NEWTON (LEYES DEL MOVIMIENTO).
L a m e c á n i c a s e b a s a , e n l a s t r e s l e y e s e n u n c i a d a s p o r Isaac Newton, p u b l i c a d a s e n 1 6 6 8
e n s u e s t u d i o s o b r e “Los fundamentos matemáticos de la ciencia de la naturaleza”. S i n
embargo, otros físicos le habían precedido en estos estudios, siendo el más destacado
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 105
.
Galileo Galilei, e l c u a l h a b í a e s t a b l e c i d o l o s f u n d a m e n t o s p a r a l a f o r m u l a c i ó n d e l a s t r e s
leyes mencionadas.
PRINCIPIO DE GALILEO DE LA INERCIA. Las observaciones realizadas por Galileo
demostraron que si sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza, el cuerpo continúa en estado
de reposo o moviéndose uniformemente en línea recta, lo enunció de la siguiente manera.
PRIMERA LEY O PRINCIPIO DE LA INERCIA. Todo cuerpo permanece en estado de
r e p o s o o d e m o v i m i e n t o r e c t i l í n e o u n i f o r m e , a m e n o s q u e s o b r e é l ac t ú e u n a g e n t e
externo llamado fuerza.
Esto nos indica que solamente sí sobre un cuerpo actúa una fuerza, cambiará su estado
de movimiento.
SEGUNDA LEY O LEY DE ACELERACIÓN. La
variación
de
la
cantidad
de
movimiento
es
proporcional a la fuerza aplicada y su dirección es
la misma que la de la fuerza. Lo anterior nos indica
que al variar su movimiento, el cuerpo abandona su
estado
de
uniforme,
reposo
es
consiguiente
o
decir,
de
varía
adquiere
movimiento
su
rectilíneo
velocidad
aceleración,
por
y
por
lo
que
p o d e m o s d e c i r : Bajo la acción de una fuerza los
cuerpos adquieren aceleración, e s t o e s .
“Si sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza, el cuerpo permanece en
reposo y si se mueve lo hace con movimiento rectilíneo uniforme”.
Por lo que se cumple
F = m• a
Que constituye la expresión matemática de la Segunda Ley de Newton.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 106
.
TERCERA LEY O LEY DE ACCIÓN Y LA REACCIÓN.
En la interacción entre dos cuerpos se producen reacciones
mutuas de tal manera que la acción que el primer cuerpo
ejerce sobre el segundo es colineal, de igual magnitud pero
de sentido contrario a la que éste ejerce sobre el primero.
F = -F
Condiciones de equilibrio de una partícula.
ECUACIONES DE EQUILIBRIO. Para la primera condición de equilibrio se tendrá:
R = Σ( FX ) + Σ(FY )
Para ello es
ΣFX = 0 y
necesario que.
ΣFY = 0
Con estas dos ecuaciones se asegura que no existe resultante como fuerza única, y por
ello se anula la posibilidad del movimiento de traslación.
Para la segunda condición de equilibrio tendremos:
ΣM F = 0
Con esta ecuación se asegura que no existe resultante como par de fuerzas, elimina la
posibilidad del movimiento de rotación.
SISTEMAS DE FUERZAS COLINEALES. La resultante de un sistema de fuerzas
c o l i n e a l e s e s u n a f u e r z a ú n i c a c o l i n e a l c o n e l s i s t e m a R = Σ F.
CONDICIÓN DE EQUILIBRIO: Eliminar la posibilidad de la resultante como fuerza.
E c u a c i ó n d e e q u i l i b r i o . R = ΣF = 0
SISTEMA DE FUERZAS CONCURRENTES. La resultante es una fuerza única
concurrente con las fuerzas del sistema y cuyas componentes rectangulares son:
RX = ΣFX y
APUNTES FISICA I T.V.
RY = ΣFY
PAG. 107
.
CONDICIÓN DE EQUILIBRIO. Anular la posibilidad de la resultante como fuerza.
Ecuaciones de equilibrio:
RX = ΣFX = 0 y
RY = ΣFY = 0
SISTEMAS DE FUERZAS PARALELAS. La resultante puede ser una fuerza única o un
par de fuerzas. Si la resultante es una fuerza, su ecuación es:
Si la resultante es un par de fuerzas, su ecuación es.
R=Σ F
R=Σ MF
CONDICIONES DE EQUILIBRIO PARA UN CUERPO RÍGIDO.
LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO, tienen como propósito e l i m i n a r l a p o s i b i l i d a d d e u n a
fuerza resultante o como par de fuerzas; su ecuación es:
ΣF = 0
y
Σ MP = 0
Otras ecuaciones de equilibrio alternativas para estos sistemas son:
Σ MA • F = 0
y Σ MB • F = O
Donde " A" y "B" son dos puntos o ejes de giro tomados arbitrariamente en el plano
de las fuerzas, de tal manera que la línea que une dichos puntos no sea paralela a la línea
de acción de las fuerzas.
SISTEMAS DE FUERZAS ARBITRARIOS. La resultante de estos sistemas de fuerzas
puede ser una fuerza única o un par de fuerzas. Si la resultante es una fuerza única, sus
componentes rectangulares son:
RX = ΣFX y
RY = ΣFY
Si la resultante es un par de fuerzas, su ecuación es:
R = ΣM ⋅ F
Ya dijimos que LA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO, elimina la posibilidad de la
resultante como fuerza y a demás asegura que no exista un par de fuerzas.
Condiciones de equilibrio:
ΣFX = 0
ΣFY = 0 y ΣM F = 0
Otras ecuaciones de equilibrio alternativas para estos sistemas son:
Σ MA • F = 0
y Σ MB • F = O
En donde los puntos "A" y "B" son dos puntos o ejes de giro tomados arbitrariamente
en el plano de las fuerzas, situados de tal manera que la línea que los une no sea
perpendicular al eje "X ".
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 108
.
RECOMENDACIÓN PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS.
CONSIDERACIONES. Antes de aplicar las ecuaciones de equilibrio a cualquier
s i s t e m a d e f u e r z a s q u e a c t ú a s o b r e u n c u e r p o e n e qu i l i b r i o e s i m p o r t a n t e t e n e r u n a i d e a
clara de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo.
FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE UN CUERPO. De manera general podemos
considerar dos tipos de fuerzas que actúan sobre los cuerpos.
•
FUERZAS DE CONTACTO. Son las que se originan por la interacción de unos
cuerpos sobre otros.
•
FUERZAS A DISTANCIA. Son las que se producen entre los cuerpos estando
separados entre sí, como por ejemplo: la fuerza de atracción de la Tierra sobre
los cuerpos, la cual constituye su peso y consideraremos que siempre actúa
hacia abajo perpendicularmente al plano horizontal de La Tierra.
CONCEPTO DE CUERPO LIBRE. Se entiende por cuerpo libre aquel que se encuentra
aislado o separado. Como ejemplo de cuerpo libre tenemos: Del techo de una habitación
se suspende un cuerpo por medio de tres cables, en la forma que se indica en la siguiente
figura:
Y
A
45°
B
DCL
0
TA
C
TB
45°
0
45°
x
Fig. 1.
Los cuerpos "A" y "B" de la siguiente Figura están unidos por una cuerda que pasa
sobre una polea sin rozamiento.
Y
A
Y
T
N
B
A
B
a
T
fr
a
WB
WA
DCLB
DCLA
Fig. 2
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 109
.
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE (DCL).
Es un diagrama (figura), en el que se representa el cuerpo aislado del resto de los
cuerpos, indicando todas las fuerzas que actúan por efecto de su interacción con los
otros cuerpos, sólo se colocan las fuerzas activas sobre el cuerpo y los efectos que se
producen y que son objeto de análisis del problema; en la figura la aceleración de la
g r a v e d a d ( g ) e s e l e f e c t o q u e p r o v o c a e l m o v i m i e n t o d e l c u er p o .
Se deben indicar todas las fuerzas que ejercen otros cuerpos sobre el cuerpo
analizado (CL) y NO las fuerzas que éste ejerce sobre otros cuerpos.
REPRESENTACIÓN DEL DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE.
Para una correcta representación del diagrama de cuerpo libre deberán seguirse los
siguientes pasos:
1. Por cada cuerpo que interaccione con el cuerpo considerado existirá una
fuerza actuando sobre él, habrá, por lo mismo, tantas fuerzas actuando sobre
el cuerpo como cuerpos en contacto haya con él más la fuerza de gravedad o
el peso del cuerpo.
2. Si las fuerzas se ejercen a través de barras, cables, cuerdas, cadenas, etc.
( c u e r p o s f l e x i b l e s o s e m i- f l e x i b l e s ) , l a s f u e r z a s s e c o n s i d e r a r á n d i r i g i d a s a
lo largo del eje de estos cuerpos.
3.
Si las fuerzas se transmiten a través de una superficie lisa, se considerarán
normales a dichas superficies.
4. Las reacciones sobre pasadores o apoyos lisos que no pueden precisarse en
dirección, se representan, entonces, descompuestas en dos componentes
rectangulares las que una vez determinadas, permiten conocer la acción total
con todas sus características.
5. Si a una fuerza se le atribuye signo contrario a aquel en el cual actúa, el
resultado dará un signo negativo.
Así, el diagrama de cuerpo libre de un semáforo colgado aparece en la figura 1 y en la
figura 2 se indica el diagrama de cuerpo libre del cuerpo de mayor movilidad de
la
última figura (en la mesa de la polea).
Y
Y
TA
TB
45°
0
T
45°
x
B
x
a=g
W
DCL Fig. 1.
W
DE UN SEMÁFORO
APUNTES FISICA I T.V.
DCL Fig. 2 DE UN
PAG. 110
CUERPO QUE CAE
.
El hombre que jala al animal de carga, ejerce una
tensión "TA" en la cuerda, y el animal ejerce una reacción
“RA” en la parte izquierda de la cuerda, estas fuerzas no
se anulan por estar aplicadas en diferentes cuerpos.
EJEMPLO 1.
Un hombre jala a un burro de carga
en el extremo de una cuerda con una fuerza de 100N ,
c o m o s e a p r e c i a e n l a f i g u r a . Calcular el esfuerzo de
tensión en la cuerda.
Solución.
FA =100N
FB = 1 0 0 N
A
O
B
Supongamos que dividimos la cuerda en dos partes " I " y " D " , a l considerar la parte
"I". La fuerza que actúan en "A" es la fuerza de 100 N y la reacción de la parte " B "
sobre " A " (el esfuerzo de tensión σ en rojo) .
FA =100N
σ
A
FB =100N
σ
O
O
Cuerda parte izquierda (I )
B
C u e r d a p a r t e d e r e c h a (D )
La ecuación de equilibrio es.
R = Σ F=100N-σ = 0
por lo tanto
σ =100N
Observe que si se toma como cuerpo libre la parte "D", el resultado será el mismo.
EJEMPLO 2.- Un cuerpo "M" cuyo peso es de 1000 N se encuentra en equilibrio,
suspendido del techo por medio de tres cables, como se muestra en la figura.
Calcular la tensión en los cables y las reacciones en el techo.
Y
A
60° 45°
B
0
M
DCL
TA=T2
60°
O
45°
TB=T1
DCL (M)
CUERPO EN EQUILIBRIO
Fig. 3.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 111
.
x
Solución.
T
Tomemos primero como eje del cuerpo libre aquel del que
M
conozcamos la mayor cantidad de datos, en este caso en el eje
d e l a s y , s o b r e e l c u e r p o " M " y r e p r e s e n t am o s s u d i a g r a m a d e
cuerpo libre.
WM
Condición de equilibrio:
T - WM = 0
R =F = 0
WM = T = 1000 N
" T " es la tensión en el cable que soporta verticalmente al cuerpo M.
Consideremos el nodo de las cuerdas, en el punto "0" como el segundo cuerpo libre,
( o b s e r v a e l D C L e n l a f i g u r a 3 d e l l a d o d e r e c h o ). E l d a t o d e p e n d e d e l p e s o d e l c u e r p o
por lo que se toma primero la condición de equilibrio en el eje Y:
RY = ΣFY = 0
ΣFY = T1Y + T2Y − W = 0
ΣFY = T1senθ1 + T2 senθ 2 − W = 0
desarrollando y despejando a T1:
T1 =
W − T2 senθ 2
------- ecuación (1)
senθ1
Ahora tomamos el eje de las x y hacemos sus condiciones de equilibrio.
RX = ΣFX y
ΣFX = T1 X + T2 X = 0
ΣFX = T1 cosθ1 + T2 cosθ 2 = 0
T1 =
desarrollando y despejando a T1:
− T2 cos θ 2
----------- ecuación (2)
cos θ1
Igualando las ecuaciones 1 y 2:
− T2 cosθ 2 W − T2 senθ 2
=
cosθ1
senφ1
− T2 cosθ 2 senθ1 = W cosθ1 − T2 senθ 2 cosθ1
T2 senθ 2 cosθ1 − T2 cosθ 2 senθ1 = W cosθ1
T2 =
W cos θ1
senθ 2 cos θ1 − cos θ 2 senθ1
T2 (senθ 2 cosθ1 − cosθ 2 senθ1 ) = W cosθ1
T2 =
1000 cos 45°
707.1068
=
= 732 N
sen120° cos 45 − cos120sen45
0.9659
Tomamos cualquiera de las ecuaciones 1 o 2 para obtener a T1:
De la Ec. (2)
T1 =
− T2 cos θ 2
cos θ1
T1 =
− 732 cos120°
= 517.6 N
cos 45°
T 1 , y T 2 corresponden a las tensiones en los cables inclinados.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 112
.
Para calcular las reacciones en el techo, tomemos como cuerpos libres los puntos " A " y "
B" de la figura 3.
R = ΣF = TA − T2 = 0
Para el punto "A".
RA = T2 = 732N
Y
A
60°
45°
B
DCL
0
TA=T2
60°
A
x
60°
M
DCL (techo en A)
CUERPO EN EQUILIBRIO
Fig. 4.
RB = ΣF = TB − T1 = 0
Para el punto "B".
RB = T1 = 517.6N
Y
A
60°
45°
B
DCL
0
TB=T1
B
45°
x
45°
M
DCL (techo en B)
CUERPO EN EQUILIBRIO
Fig. 5.
E J E M P L O 2 . La barra horizontal mostrada en la figura pesa 500N por metro lineal. Calcular
las reacciones en los apoyos (puntos A y B).
DCL
F1
F2
6m
6m
A
2m
B
WT
Fig. 6.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 113
.
Solución.
Tomemos como cuerpo libre a la barra y representemos las fuerzas que actúan sobre él.
W T = W/m * X T = 50 N/m • 14m =700N
DCL
F1=500N
X1=6m
F2=300N
X2=6m
A
2m
B
RA
10m
W T =700N
RB
-
+
-M W
+M RB
Fig. 7.
Tomando momentos en el punto A:
Su peso W T Este peso se encuentra localizado en el centro geométrico de la barra por ser de
forma rectangular y regular, por lo que estará a 7m del punto A. Dado que las fuerzas constituyen
un sistema de fuerzas paralelas, sus ecuaciones de equilibrio son:
ΣFX = 0
ΣFY = 0 y ΣM F = 0
ΣFX = 0, y a q u e n o e x i s t e n i n g u n a f u e r z a h o r i z o n t a l .
ΣFY = 0
ΣFY = RA − F1 − WT − F2 + RB = 0
RA = 500N + 700N + 300N − RB
RA = F1 + WT + F2 − RB
RA =1500N − RB - - - - - E c ( 1 )
Tomando momentos con respecto al punto A:
Σ MAF=0
Σ M aF = -F1• X1-WT• 7m-F2• X2-RB• XT=0
ΣM aF = -500N • 6 m - 700N • 7 m + R B • 1 0 m - 300N • 1 2 m = 0
-3000N m - 4900N m + R B • 1 0 m - 3 6 0 0 N m = 0
RB =
11500 Nm
= 1150 N
10m
Sustituyendo este resultado en la ecuación (1), queda:
R A = 1500N - 1 150 N
RA =1500N − RB
RA=350N
Empleando las ecuaciones para satisfacer las condiciones de equilibrio, ΣF =0 y ΣMF =0,
y las alternativas.
M A F = 0 y M B F = 0 se obtienen los mismos resultados.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 114
.
EJEMPLO 3. La ménsula horizontal mostrada en la figura, consiste de una barra A B ,
la cual está sujeta a la pared por medio de un perno y por el otro extremo por medio de
un cable "CB", el que a su vez está sujeto a la pared por medio de otro perno "C".
Calcular la tensión "T " en el cable y la reacción "R" en el perno " A " , el peso "P " de la
barra es de 500 N .
W=500N
30°
A
B
F1
F2
4m
2m
6m
2m
A
40 0 N
Fig. 8.
WT
1000N
Al considerar la barra como cuerpo libre, queda:
DCL
RY
R
30°
θR
T
A
B
F1
4m
F2
2m
40 0 N
6m
2m
W=500N
1000N
Las ecuaciones de equilibrio para los sistemas de fuerzas arbitrarios son:
ΣFX = 0
ΣFY = 0 y ΣM F = 0
Descomponiendo la reacción R en sus componentes rectangulares:
ΣRX = R cosθ
y
ΣRY = Rsenθ
Tomemos ahora momentos con respecto al punto "A".
ΣM A F = 0
ΣM A F = − F1 ⋅ X 1 − W ⋅ X W − F2 ⋅ X 2 + TY ⋅ X T = 0
Despejando y desarrollando:
T=
F1 ⋅ X 1 + W ⋅ X W + F2 ⋅ X 2 400 N ⋅ 4m + 500 N ⋅ 6m + 1000 N ⋅12 m 16600 Nm
=
=
X T senθ T
14 m ⋅ sen30°
7m
T = 2371.42 N
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 115
.
Efectuando la suma de fuerzas, se tiene:
Σ F x = R• cos θ + T • cos150°= 0
R• cos θ = -T • cos150°= -2371.42N• (- 0.866)
R• cos θ = 2053.71 N
--------(1)
por lo tanto por igualdad en el eje x: - T• cos150° = 2053.71N
Siendo T = 2053.71N / 0.866
T = 2371.42 N
Σ F y = R • sen θ - 400 N - 500 N -1000 N + T sen150°= 0
Así que
R• sen θ = 1900 N – 2371.42 sen 150°
R• sen θ = 714.29 N
--------- (2)
Componiendo las componentes (1) y (2) obtendremos la reacción:
R = (714.29) 2 + (2053.71) 2 = 2174.38 N
θ = tg −1
Rsenθ
714.29
= tg −1
= 19.18°
R cosθ
2053.71
R = 2174.38 N
θ = 19.18°
Resolviendo ahora este problema con las ecuaciones alternativas:
ΣFX=0
ΣMAF=0
ΣM BF =0
Tomando momentos con respecto a "A".
Σ M AF = -400N• 4m - 500N• 6m - 1000N• 1 2 m + Tsen30°• 14m
T = 1600Nm+3000Nm +12000Nm / sen30° • 14m = 14600 Nm / 7m
T = 2371.43 N
Tomando momentos con respecto a "B":
ΣM BF = -Rsen θ • 14m+400N• 1 0 m+500N• 8m+1000N• 2m = 0
Rsen θ = 4000Nm+4000Nm+2000Nm /14m = 714.29 N
R• sen θ = 714.29 N
----------(1)
Sumando las fuerzas en el eje " X ".
Σ R cos θ + T cos 150°= 0
Rcos θ = 2053.71 N
----------- (2)
Componiendo las componentes (1) y (2) se obtiene la reacción R.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 116
.
R 2 =(2053.71) 2 +(714.29) 2
θ = tg −1
Rsenθ
714.29
= tg −1
= 19.18°
R cosθ
2053.71
R = 2174.38 N
θ = 19.18°
Los resultados obtenidos por los dos métodos son los mismos.
E J E M P L O 4 . Un pintor camina sobre un andamio de 200N de peso, si el andamio está apoyado en dos
soportes colocados 2.00 m entre sí, ¿Cual es la distancia máxima que se puede alejar el pintor del apoyo O sin
que el andamio se volteé?, Peso del pintor 600 N.
SOLUCIÓN:
DCL
Cuando el pintor se aleja hacia la derecha del punto de apoyo O, hay un lugar (ver figura), donde el andamio
se quiere levantar del primer soporte, lo que indica que el andamio ya no ejerce fuerza sobre el soporte
izquierdo, por lo que F1 = 0.
Como el andamio esta en reposo Σ MF = 0 y ΣF = 0. Aplicando la ecuación de momentos, en el punto de
apoyo O tenemos:
Σ MF = Σ MF1 +Σ MF2+ Σ MFW = 0
Despejando valores,
Tenemos:
Σ MF = Σ MF1 +Σ MF2+ Σ MFW = 0
Σ MF = F1 • X1 – WA • XW + F2 • X2 + PP • XPP = 0
si: F1 = 0 y X2 = 0
0 N • 2 . 0 m - 200N • 1 m + F2 • 0 + 600N • XPP = 0
- 200N • 1 m + 600N • XPP = 0
XPP = 200N • 1 m / 600N = 0 . 3 3 3 m
Entonces la distancia que se puede alejar es 1.00m – 0.333m = 0.666m
X = 66.66 cm.
Tomado de:
http://www.slideshare.net/alexfisica/problemas-resueltos-de-equilibrio-esttico-presentation
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 117
.
EJEMPLO 5. Una viga de 353N de peso y de longitud L, es detenida por dos cables, (ver
figura), ¿Qué peso tendrá la esfera en O para mantener la viga horizontal?
SOLUCIÓN:
DCL:
Aplicando momentos en O:
Σ MF = MT1 - MW + MT2 = 0
T1sen127° • X 1 - W• XW + T2sen37° • X 2 = 0
T1sen127° • 0 m – 353N• L / 2 + T2 • L s e n 3 7 ° = 0
T2 • L s e n 3 7 ° = 353N• L / 2
T2 = (353N• L / 2 ) / L s e n 3 7 ° = 1 7 6 . 5 / 0 . 6 0
T2 = 2 9 3 . 2 8 N
Ahora asegurando el equilibrio de traslación en el eje x ΣFX = 0, por lo que:
T2X + (-T1X) = 0
T2 cos37° =T1 cos 53°
por lo tanto
T1 = 293.28N cos 37° /cos 53°
T1 = 389.2 N
El equilibrio de traslación en el eje Y esta dado por: ΣFY = 0
ΣFY = T2Y + T1Y + (-353N) + (-W)= 0
293N sen37° + 389.2 N sen53° - 353N = W
W = 134 N
Por lo tanto, el peso que debe colocarse en O para mantener la barra en equilibrio es de 134 N.
EJERCICIO DE APLICACIÓN 1:
La ménsula horizontal mostrada en la figura, consiste
de una barra
A B , la cual está sujeta a la pared por
medio de un perno y por el otro extremo por medio de un
cable "CB", el que a su vez está sujeto a la pared por
medio de otro perno "C".
Calcular la tensión "T " en el cable y la reacción "R" en
el perno " A " , el peso "P " de la barra es de 1000 N . la
longitud de la barra es de 5 m.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 118
.
EJERCICIO DE APLICACIÓN 2:
La figura representa el esquema de una grúa soportando un peso de 900 Kp. El mástil AC tiene una longitud de
3 m y la barra AB tiene 5 m de longitud, con una articulación en A, y es mantenida por el cable CB.
Suponiendo que el peso de AB es despreciable, calcular la tensión T en el cable y la fuerza de compresión P en
AB.
Sol. T = 1.038 Kp. ; P = 1.500 Kp.
EJERCICIO DE APLICACIÓN 3:
Una viga uniforme de peso W y longitud L tiene dos pesos W1 y W2 en dos posiciones, como muestra la figura
adjunta. La viga descansa en dos puntos. ¿En que valor de x la viga estará equilibrada en P de manera tal que
la fuerza normal en 0 sea cero?
L/2
d
W1
W2
0
cg.
P
x
L
EJERCICIO DE APLICACIÓN 4:
Una barra de 6 m de largo y de W = 20 N de peso, está articulada en su extremo izquierdo a un punto fijo O,
apoyada en un soporte liso en A y cargada por dos fuerzas
iguales como se indica en la figura.
a) Determine la reacción vertical en la articulación O.
b) Determine la reacción vertical en el soporte A.
tomado de:
http://www.fisica.usach.cl/~lhrodrig/fisica1/estatica.pdf
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 119
.
RESULTADO DE APRENDIZAJE PROPUESTO (RAP) No. 2
Determina el centro de masa, gravedad y centroide de cuerpos planos y uniformes, de
diferentes formas geométricas en situaciones académicas y sociales
• CENTRO DE MASA, CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDES.
Anteriormente hemos considerado el momento de las fuerzas con respecto a un punto o eje de
giro, sin embargo, en ingeniería se encuentran frecuentemente problemas que representan
momentos de líneas, áreas, volúmenes y masas en la determinación de los cuales aplicaremos lo
estudiado en dicho tema, restringiéndolo a centroides, centro de masa y centro de gravedad.
CONSIDERACIONES PRELIMINARES.
•
La masa es considerada como la cantidad de materia que posee un cuerpo.
•
El peso de un cuerpo, es la resultante de las fuerzas paralelas hacia el centro de La
Tierra ejercidas sobre las partículas del cuerpo en estudio.
•
En este curso, solamente se consideran figuras regulares y planas.
C O N C E P T O D E C E N T R O I D E . El centro de un área es un
punto en el que se considera concentrada el área total.
C O N C E P T O D E C E N T R O D E M A S A . El centro de masa de
un cuerpo o sistema de cuerpos es el punto donde se considera
concentrada la masa total del cuerpo del sistema de cuerpos.
C O N C E P T O D E C E N T R O D E G R A V E D A D . Es el punto
donde se considera concentrado el peso total del cuerpo o del sistema
de cuerpos.
CALCULO DEL CENTROIDE DE FIGURAS SIMÉTRICAS.
Si una figura geométrica (línea, área o volumen) es simétrica con respecto a un plano o eje, el
centroide de la figura se encuentra sobre el eje o plano.
Cuando una figura es simétrica a dos planos o ejes, el centroide de la figura se encuentra en la
intersección de los planos o ejes.
El centroide quedará definido por sus coordenadas "X" y "Y".
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 120
.
Imagen mostrando los centroides de figuras planas homogéneas.
En el caso del triángulo deberá considerarse que la mediana es la recta que une a un vértice
con el punto medio del lado opuesto y que el centroide se encuentra localizado sobre la mediana
1/3 del cateto que sirve como eje.
CÁLCULO DEL CENTROIDE DE FIGURAS NO SIMÉTRICAS.
Cuando la figura no es simétrica tendremos que recurrir al teorema general de
momentos para calcular el centroide.
Momento del área total = Σ Momentos de las áreas presentes.
EL CENTROIDE de la figura anterior se calcula de la siguiente manera:
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 121
.
•
En la figura se traza el sistema de ejes cartesianos (x,y).
•
Se divide la figura en figuras simétricas cuyo centroide se conozca.
•
Se calcula el área de cada figura.
•
Se calculan las coordenadas de los centroides de cada figura.
•
Se calcula el área total: AT=Σ A.
•
Se dibuja el centroide del área total cuyas coordenadas son (x,y).
•
Se calculan los momentos de las áreas, de acuerdo al teorema general de
momentos, con respecto a los ejes (x,y).
Con respecto al eje x, tenemos:
A T•x = A 1•x l + A 2•x 2 + A 3•x 3
Con respecto al eje y, tenemos:
A T•y = A 1•y l + A 2•y 2 + A 3•y 3
• Las coordenadas del centroide se obtienen despejando "xN" y "yN" de las
ecuaciones anteriores.
x=
A1 ⋅ x1 + A2 ⋅ x2 + A3 ⋅ x3
AT
y=
A1 ⋅ y1 + A2 ⋅ y2 + A3 ⋅ y3
AT
• Las coordenadas del centroide estarán dadas por el punto en (x,y).
CALCULO DEL CENTRO DE MASA Y DEL CENTRO DE GRAVEDAD.
Tanto el centro de masa como el centro de gravedad se calculan de la misma manera que
el centroide, sólo que, para el centro de masa se utiliza como dato la masa del cuerpo, (en
lugar del área usada en el centroide), el centro de masa corresponde con el centro de
gravedad del cuerpo.
Centro de masa:
Momento de la masa = Σ Momentos parciales
M T•x = M 1•x l + M 2•x 2 + M 3•x 3 p o r l o q u e :
x=
M 1 ⋅ x1 + M 2 ⋅ x2 + M 3 ⋅ x3
MT
M T•y = M 1•y l + M 2•y 2 + M 3•y 3
y=
M 1 ⋅ y1 + M 2 ⋅ y 2 + M 3 ⋅ y3
MT
por lo que:
Centro de gravedad:
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 122
.
Momento del peso total = Σ de momentos de los pesos parciales
W T•x = W 1•x l + W 2•x 2 + W 3•x 3 p o r l o q u e :
x=
W1 ⋅ x1 + W2 ⋅ x2 + W3 ⋅ x3
WT
W T•y = W 1•y l + W 2•y 2 + W 3•y 3
y=
W1 ⋅ y1 + W2 ⋅ y2 + W3 ⋅ y3
WT
por lo que:
Donde WN es el peso del cuerpo individual, WT es el peso de la estructura total.
Ejemplo 1. Calcular el centroide de la siguiente figura (FIG 1):
Solución.
•
1.- Se descompone la figura inicial en diferentes figuras geométricas conocidas, en este caso en dos
rectángulos de áreas A1 y A2 (figura 2).
•
2.- Se Calculan las áreas A1 y A2 y se encuentra el área total, como la suma de las áreas parciales.
A1 = 70 cm ⋅ 20 cm = 1400 cm2
A2 = 40 cm ⋅ 20 cm =
800 cm2
ATotal= 400 cm + 800 cm = 2 200 cm2
•
3.- Siguiendo el procedimiento anterior se calculan las coordenadas del centroide de cada figura
individual, y se indican en la FIG 3.
Para A1 tenemos:
x1 = 35 cm
y1 = 10 cm
APUNTES FISICA I T.V.
Para A 2 tenemos:
x2 =10 cm
PAG. 123
y2 =30 cm
.
Para el rectángulo A1 su centroide es (10, 20+20)cm y para el rectángulo A2 su centroide es (35, 10)cm.
Calculo de los momentos de las áreas y de las coordenadas del centroide del cuerpo total:
Sacamos los momentos que provocan las áreas con respecto al eje "y".
AT ⋅ x= A1 ⋅ x1 + A2 ⋅ x2
2 200 cm2 ⋅ x = 1400 cm2 ⋅ 35 cm+800 cm2 ⋅ 10 cm
1 400 cm 2 ⋅ 35 cm + 800 cm 2 ⋅ 10 cm
x=
2200 cm 2
x = 25.91 cm
Sacamos los momentos que provocan las áreas con respecto al eje "x".
AT ⋅ y= A1 ⋅ y1 + A2 ⋅ y2
y=
2 200 cm2 ⋅ y = 1400 cm2 ⋅ 10 cm+800 cm2 ⋅ 30 cm
1 400 cm 2 ⋅ 10 cm + 800 cm 2 ⋅ 30 cm
2200 cm 2
y = 17.29 cm
Asi, las coordenadas del centroide serán. x = 25.91 cm, y = 17.29 cm, las cuales se indican en la fig. 4
C = (25.91, 17.29) cm
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 124
.
Ejemplo 2. Calcular el centroide de la siguiente figura (FIG A); considerando que es una lámina uniforme,
cuyo material tiene una masa de 20 gr/cm2. Encontrando ademas su Centro de Masa.
Solución.
Se divide la figura en dos rectángulos cuyas masas son "m1" y "m2" y se sigue el mismo procedimiento del
problema anterior.
Cálculo de las áreas:
A1 = 20cm• 60cm = 1200cm2
A2 = 50cm•20cm = 1000cm2
Cálculo de las masas.
m1 =1200cm2 • 20g /cm2 = 24000g
m2 = 1000cm2 • 20 g /cm2 = 20000g
Las coordenadas de los centros de masas son las mismas que las de los centroides:
Para A1
x 1 =10 cm , y1 = 30 cm
Calculo de la masa total:
y
para A 2:
x2 =10 cm , y2 = 30 cm
m T = m1 + m2 = 24 000 g + 20 000 g = 44 000 g
Cálculo de las coordenadas del centro de masa. Se encuentra con es el momento debido a las masas, es decir
que es igual al producto de la masa por el brazo de palanca (m • x), con respecto al eje "y".
m T • x = m 1 • x 1+ m 2 • x 2
44 000 g • x = 24 000 g • 10 cm +20 000 g • 45 cm =1 140 000 g•cm
x=
1140 000 g cm
44 000 g
x = 25.91 cm
Con respecto al eje "y".
m T • y = m 1 • y 1+ m 2 • y 2
44 000 g • y = 24 000 g • 30 cm +20 000 g • 10 cm = 920 000 g•cm
y=
920 000 g cm
44 000 g
y = 20.91 cm
Las coordenadas del centro de masa son: CM =( x , y) = (25.91 , 20.91) cm, ver figura D
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 125
.
TAREA, Problema 1 encontrar el centroide, el centro de masa y el centro de gravedad de una lámina
uniforme de 500 g /cm2 según la siguiente figura:
TAREA, Problema 2 Calcula el centroide y el centro de masa de un cartón uniforme de 8 g /cm2 según la
siguiente figura:
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 126
.
UNIDAD IV
CINEMÁTICA
COMPETENCIA PARTICULAR: Demuestra el movimiento de los cuerpos aplicando los principios de la
cinemática, en situaciones académicas y sociales.
RESULTADO DE APRENDIZAJE PROPUESTO (RAP) No. 1. Resuelve problemas de movimiento en
una dimensión, en situaciones académicas y su entorno social.
• Introducción e importancia de La Cinemática.
La mecánica es una rama de la Física que estudia los movimientos y estados en que se encuentran los
cuerpos. Describe y predice las condiciones de reposo y movimiento de los cuerpos bajo las acciones de las
fuerzas. Se divide, por lo general en dos partes:
1. Cinemática. Estudia las diferentes clases de movimiento de 1os cuerpos sin considerar las causas que
lo producen.
2. Dinámica. Estudia las causas que ocasionan el movimiento de los cuerpos. La estática está
comprendida dentro del estudio de la dinámica.
• Concepto de Posición, Movimiento, Desplazamiento, Distancia, Velocidad, Rapidez y Aceleración.
Aplicación de los sistemas de referencia. En el estudio de los fenomenos físicos es necesario establecer la
posición de un cuerpo con respecto a otro al que se le da el nombre de sistema de referencia. Los sistemas de
referencia son dos: Rectangular y Polar.
Sistema cartesiano rectangular o sistema de ejes coordenados rectangulares. Sobre una recta x-x'
tomemos un punto "0" que se llama orige, y por éste tracemos la recta y-y' perpendicular a x-x'. Tomemos una
unidad y graduemos los dos ejes a partir del punto "0". El eje y-y' se gradúa en forma positiva hacia la derecha
y negativa hacia la izquierda y el eje y-y' positiva havia arriba y negativo hacia abajo.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 127
.
Los números sobre el eje x-x' miden la distancia desde el origen a los puntos del eje, recibiendo el nombre
de abscisas. También los números tomados sobre el eje y-y' miden la distancia desde el origen a los puntos del
eje y reciben el nombre de ordenadas.
Por esta razón, el eje x-x' se denomina eje de las abscisas y el eje y-y', eje de las ordenadas. El punto "0",
que es la intersección de los dos ejes, se llama origen de coordenadas.
Cuadrantes. Los ejes x-x' y y-y' dividen al plano en cuatro partes llamadas cuadrantes.
x0x: Primer cuadrante
x'0y: Tercer cuadrante
y0x': Segundo cuadrante
y'0x: Cuarto cuadrante
Coordenadas de un punto. Una vez establecido en un plano el sistema cartesiano, a cada punto en el plano le
corresponden una abscisa y una ordenada, cuyo conjunto se denomina coordenadas del punto y se representan
como A(x, y), donde "A" representa al punto en el plano, la "x" es la abscisa y la "y" es la ordenada.
Así, si queremos representar la posición de varios puntos en un sistema cartesiano rectangular conociendo sus
coordenadas rectangulares se procede como se observa en la Fig.1:
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 128
.
Relacionando lo anterior con el estudio vectorial, se observa que como la abscisa y la ordenada son
distancias dirigidas, y por lo tanto, son cantidades vectoriales representándose por medio de vectores. Así
tendremos.
Las coordenadas de un punto " A " en el plano quedarán definidas vectorialmente por.
1. El vector abscisa con magnitud 5 y dirección 0O, esto es: x = 6 / 0°.
2. El vector ordenada con magnitud 4.5 y dirección 90° , esto y = 5 / 90°.
Las coordenadas del punto "C" en el plano, vectorialmente serían.
1. El vector abscisa con magnitud 6 y dirección 0° , esto C = 6 / 0°.
2. El vector ordenada con magnitud 3 y dirección 270° , esto C = 3 / 270°.
Sistema de coordenadas polares. Si consideramos a la abscisa y a la ordenada como vectores y recordamos
que la suma vectorial de dos vectores concurrentes da un vector resultante, tendremos, de acuerdo con el
método del paralelogramo.
Lo que debemos interpretar como que la posición de un punto " A ( d ,θ )" en el plano se puede definir por
medio de sus coordenadas cartesianas (x, y) o por medio de un vector ( d ,θ ).
La determinación de una posición de un punto en el plano por medio de un vector es lo que constituye al
sistema de coordenadas polares, el cual está constituido por los siguientes elementos.
El vector d recibe el nombre de radio vector, distancia polar o vector de posición.
El punto "0" recibe el nombre de polo (obsérvese que es el origen del vector).
El ángulo "θ " es la dirección del vector d, el cual varía de "0" a 360°.
Notación de la posición de un punto en el sistema de coordenadas polares: Las coordenadas polares de la
posición de un punto corresponden a la magnitud " d " del vector y a su dirección " θ ", por lo que tendremos:
A ( d , θ ).
Transformación de coordenadas cartesianas a polares. Vectorialmente esta transformación corresponde
al cálculo del vector resultante, conocidas las componentes axiales (sobre los ejes) y se le conoce con el
nombre de método de composición de vectores.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 129
.
Como en el caso de vectores, las coordenadas cartesianas pueden ser transformadas a cartesianas polares
por suma vectorial, como se verá a continuación.
Sean (x,y) las coordenadas cartesianas de un punto " A ", obtener las coordenadas polares.
a) Método gráfico. Utilizando el método del paralelogramo, observamos que: d = x+y
b)
d = ( x) 2 + ( y ) 2
Método analítico. Aplicando el Teorema de Pitágoras.
θ = tg −1
Obtención de la dirección.
y
x
c) Método analítico. Aplicando funciones trigonométricas:
senθ =
y
d
∴
d=
y
senθ
cosθ =
x
d
∴
d=
x
cos θ
Transformación de coordenadas polares a rectangulares. Vectorialmente esta transformación
corresponde al cálculo de los componentes ayiales de un vector, lo cual se conoce como método de
descomposición de vectores en ejes rectangulares. La ecuación d = x+y nos indica también que si conocemos
las características del vector de posición d, podemos obtener las característic vectores componentes x y y.
Método gráfico. Consiste en dibujar el vector de posición d haciendo coincidir su origen en el punto de
intersección de un sistema de ejes cartesianos y trazar por su extremo líneas perpendiculares a los ejes hasta
cortar a cada uno de los ejes. La magnitud y dirección de estos vectores se obtiene por el procedimiento
estudiado anteriormente.
Método analítico. Aplicando la trigonometría, vemos que de acuerdo con la Fig.3
senθ =
y
d
∴
d=
y
senθ
APUNTES FISICA I T.V.
cosθ =
PAG. 130
x
d
∴
.
d=
x
cos θ
Ejemplos.
Ejemplo 1. Dadas las coordenadas cartesianas de dos puntos, obtener sus coordenadas polares:
A (3m,2m) y B(-4m,-5m), usando:
a) Método gráfico.
b) Método analítico.
Cálculo de las características de A.
Magnitud y dirección:
d = ( x) 2 + ( y ) 2 = (3) 2 + (2) 2
θ = tg −1
y
2
= tg −1
d
3.6
d=3.6 m
θ = 29°
La posición de "A" en coordenadas polares será. A (3.6m,29°)
Cálculo de las características de B.
Magnitud y dirección.
B = ( x) 2 + ( y ) 2 = (−4) 2 + (−5) 2
θ = sen −1
y
−5
= tg −1
= tg −1 (1.25)
d
−4
B= 6.40 m
θ = 51.34° = 180° + 51.34° = 231.34°
La posición de "B" en coordenadas polares será.
B(6.4 m, / 231.34° )
Ejemplo 2. Dadas las coordenadas polares de un punto A(5 m / 150°), obtenga sus coordenadas cartesianas
por el métodos gráfico y por el analítico.
a.- Método gráfico. Valor absoluto del vector: d = 5m
Los valores absolutos de las componentes se miden
directamente de la figura a la escala elegida.
x =4.3 m
y
y = 2.5 m
Valor relativo de las componentes (magnitud)
Notación: A (4.3m ,2.5m)
x = 4.3 m
y
y = 2.5 m
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 131
.
Magnitud y dirección:
x = d ⋅ cos θ = 5 ⋅ cos 150° = −4.33m
y = d ⋅ senθ = 5 ⋅ sen150° = 2.5m
Por lo tanto el punto B será: B ( x, y )
siendo su notación B ( -4.33, 2.5 ) m
Caracteristicas del movimiento:
Introducción. La Cinemática es la parte de la mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos sin
considerar su forma, su tamaño ni las causas que lo producen. El estudio del movimiento establece la relación
que existe entre la distancia, el tiempo, la velocidad y la aceleración.
Concepto de Partícula: La Cinemática estudia el movimiento de los cuerpos considerandolos como
partículas, las cuales se consideran como puntos geométricos en el espacio a los que se asocian las
caracteristicas fisicas de ellos, como su masa, peso, forma, volumen , …etc.
Esta consideración es conveniente, ya que si observamos el cambio de posición de un auto, cada una de las
particulas del mismo se desplazan la misma distancia “x” la partícula por lo tanto se habra desplazado una
distancia igual.
Concepto de trayectoria. Es la línea imaginaria que describe las diferentes posiciones del cuerpo.
Tipos de movimiento. El movimiento descrito por el cuerpo al cambiar de posición dá origen el tipo de
movimiento. Por ejemplos si una partícula se mueve en trayectoria rectilínea, tendrá un movimiento rectilíneo;
del mismo modo si se mueve en el eje del las “ y ” su movimient es vertical, del la misma manera si el cuerpo
se mueve describiendo una circunferencia su movimiento será circular; si se mueve en trayectoria parabólica,
su movimiento será parabólico; cuando su movimiento es como el de un péndulo que regresa al mismo punto
atravez del tiempo, su movimiento será armónico.
Concepto de movimiento uniforme. Si la particula en su movimiento recorre una trayectoria donde las
distancia son iguales en tiempos iguales, se dice que el cuerpo tiene movimiento uniforme, es decir que no
cambia con el paso del tiempo.
Concepto de movimiento variado. Si el cuerpo analizado en su movimiento recorre distancia desiguales en
tiempos iguales, se dice que el cuerpo tiene movimiento variado, es decir que cambia su rapidéz con el paso
del tiempo.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 132
.
EL DESPLAZAMIENTO. (Es una unidad vectorial).
Concepto de desplazamiento lineal. El desplazamiento de una partícula en en línea recta, se conoce como
desplazamiento líneal y se define como: el cambio de posición que experimenta la partícula, al moverse entre
dos puntos de su trayectoria y se representa por medio de un vector que se traza de uno al otro punto
correspondiente al desplazamiento de la partícula. El desplazamiento lineal es una cantidad vectorial.
DISTANCIA RECORRIDA (Es una unidad escalar).
Concepto de distancia recorrida. La distancia recorrida es la longitud de la trayectoria que recorre la
partícula. La distancia recorrida es una cantidad escalar.
Diferencia entre el desplazamiento lineal y la distancia recorrida.
Consideremos a una persona que se mueve en una trayectoria triangular del punto "A" alpunto " B" y después
al punto "C".
C
A
B
La distancia recorrida será la suma de las rectas AB + BC. Sin embargo, el desplazamiento lineal
corresponde al vector AC, cuyas características corresponden a la suma vectorial:
Trayectoria del Movimiento
C
A
B
AC = AB + BC.
En el caso particular de la partícula que se mueve en una trayectoria rectilínea, el desplazamiento y la distancia
recorrida se confunden dentro de la trayectoria, esto es:
A
B
Trayectoria
Distancia recorrida
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 133
.
En este caso, la magnitud o módulo del vector desplazamiento lineal es igual a la distancia recorrida.
Incrementos. Incremento es la variación de una magnitud física y se representa con la letra Δ (delta), así,
para representar el incremento de un desplazamiento rectilíneo, se hace de la siguiente manera:
Δ x = xf - x0
En donde "xf" es el desplazamiento final y " x0 " el desplazamiento inicial.
Cuando queremos representar un incremento de tiempo, tendremos.
Δ t = tf - t0
En donde "tf" es el tiempo final y "t0" el tiempo inicial. Si se trata de un incremento de velocidad,
tendremos:
Δ v = vf - v0
En donde " vf " es la velocidad final y " v0" la velocidad inicial.
UNIDADES DEL DESPLAZAMIENTO.
Sistema de Unidades
Desplazamiento
S. I.
m
C. G. S
cm
Inglés
pie
Métrico
m
Inglés
pie
Sistemas Absolutos
Sistemas Gravitatorios
Calculo del desplazamiento. Para calcular el desplazamiento y la distancia recorrida de una partícula entre los
puntos "A" y "B" en su trayectoria rectilínea horizontal, se parte de un punto de referencia "0".
Ejemplo gráfico: El vector de posición de un cuerpo en movimiento está en la siguiente figura, en "A" de
coordenadas polares 3 m / 0° y el de " B" en es 15 m / 0°.
A
x0
x
B
0
Trayectoria
Distancia recorrida AB = x F
xF = x0 + x
Por lo tanto
APUNTES FISICA I T.V.
x = xF - x0 o sea x = 15 m – 3 m = 12 m / 0°.
PAG. 134
.
Ejemplo 1. Calcular el desplazamiento y la distancia recorrida de una partícula que se mueve en una
trayectoria rectilínea horizontal desde el punto "0" al punto "A" y que regresa al punto "B", siendo las
coordenadas del punto A (5 , 0) m y las de B (-10, 0) m.
B
A
-10m
0
5m
Trayectoria +
Distancia total recorrida 0A + AB = 5 m – 15 m = -10 m
Δ x = x = xF - x0 = - 10m -5 m = - 15 m / 180°
Ejemplo 2.
Una partícula se mueve al norte 50 m y después hacia el este 100 m. Calcular el desplazamiento
y la distancia recorrida.
100 m
B
A
θ
50 m
Δx
θ = tg-1 50 m / 100 m = tg-1 0.5 = 26.57°
Δx = (100m) 2 + (50m) 2 = 12500m 2 = 111.80m
Distancia recorrida.
d = d A + d B = 50m + 100m d
d = 150 m
Nótese que en este caso que el movimiento no es rectilíneo, el desplazamiento ( Δx) es diferente a la
distancia recorrida ( d ).
LA VELOCIDAD (COMO UNIDAD VECTORIAL) Y LA RAPIDEZ (COMO UNIDAD ESCALAR) .
La velocidad y la rapidez, generalmente se usan como sinónimos en forma equivocada, la diferencia está en
que la rapidez es una cantidad escalar que indica únicamente la magnitud de la velocidad y la velocidad es
una magnitud vectorial, ya que para quedar bien definida requiere que seindique, además de su magnitud, su
dirección y su sentido, por ejemplo, cuando una partícula sigue una trayectoria en línea recta, recorriendo
distancias iguales en cada unidad de tiempo su rapidez y su velocidad permanecen constantes, en cambio, si en
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 135
.
una trayectoria curva, la partícula logra conservar una rapidez constante, por ejemplo, 30 kilómetros por hora,
su velocidad va cambiando, ya que, no obstante, su magnitud, la rapidez no varía, su sentido si va
modificándose. En conclusión, cuando en Física se habla de velocidad, no se refiere solamente a la rapidez a la
que se mueve un cuerpo, sino también en qué dirección lo hace.
LA VELOCIDAD ( v) se define como el desplazamiento ( d ) que realiza un cuerpo, dividido entre el tiempo
( t ) que tarda en efectuarlo. v =
d
t
ACELERACIÓN (vectorial).
Cuando la velocidad de una partícula no permanece constante, sino que varia, se dice que sufre una aceleración
( a) . Por definición, aceleración es la variación de la velocidad de una partícula en cada unidad de tiempo.
a=
Δv
t
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 136
.
RESULTADO DE APRENDIZAJE PROPUESTO (RAP) No. 2:
Reconoce el movimiento y sus tipos, resuelve problemas en una y en dos dimensiones, aplica el
movimiento en situaciones académicas y en su entorno social, realizando e interpretando gráficas del
movimiento.
•
Movimiento en un plano.
Concepto de movimiento rectilíneo uniforme. Es el vector que describe una partícula que al moverse en
trayectoria recta, recorre desplazamientos iguales en tiempos iguales, es decir cuando su velocidad es
constante, dado que su aceleración es nula.
Concepto de velocidad lineal. La velocidad lineal es el cociente que resulta de dividir el incremento del
desplazamiento entre el incremento del tiempo empleado en desplazarse.
v=
Δx x f − x0
=
Δt
t f − t0
------
(1)
Debe notarse que la velocidad es una magnitud vectorial, ya que es un cociente entre una cantidad vectorial
(desplazamiento) y una magnitud escalar (tiempo) y sus características serán:
a) Magnitud de la velocidad, que queda cuantificada por la relación de la ecuación (1).
b) Dirección de la velocidad, que corresponde a la dirección del desplazamiento.
c) Sentido de la velocidad, que corresponde al signo del incremento del desplazamiento xf - x0. Si el
movimiento es acelerado la velocidad es positiva, si es retardado o frenado la velocidad es negativa.
d) Punto de aplicación, es el punto donde inicia su desplazamiento vectorial, este puede ser positivo si
aumenta la velocidad y negativo cuando la velocidad disminuye.
CONCEPTO DE RAPIDÉZ. La magnitud de la velocidad (su valor numérico y su unidad de comparación),
se conoce como rapidez y es por lo tanto, una cantidad escalar. Este concepto generalmente se emplea cuando
se desea expresar una velocidad sin definir su dirección y sentido, como por ejemplo, cuando decimos:
50 Km/h , 20 m/s,
30 pies/s, las tres cantidades se entienden como rapidez.
Unidades de velocidad. De acuerdo a la definición de velocidad, tendremos:
Sistema de unidades
Velocidad
S. I.
m /s
C. G. S
cm / s
Inglés
pie / s
Métrico
m /s
Inglés
pie / s
Absoluto
Gravitacional
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 137
.
OTRAS UNIDADES DE VELOCIDAD. En la práctica es común que las unidades se expresan en
Km/h, y en los países de habla inglesa en Millas/h, por lo que es conveniente poder obtener su transformación
al Sistema Internacional en m/s.
1Km = 1000m
1 Milla terrestre = 1607 m
1 Milla marina = 1609.34 m
1h = 60 min = 3600 s
1 día = 24 h.
Los automoviles registran em su tablero velocidades en ambos sistemas (en Km/h y en Millas/h).
Ejemplo 1.- Convertir 100 Km/h a m/s
100Km / h = 100Km
1000m 1h
= 27.77 m / s
1Km 3600s
Ejemplo 2.- A cuantos m/s equivalen 80 Km/h ?
80 Km / h = 80 Km
1000m 1h
= 22.22m / s
1Km 3600s
Ejemplo 3.- Si la velocida del sonido en el aire es de 340 m/s a 20°C. ¿A cuanto equivale esta
velocidad en Km/h?
340m / s = 340m / s
1Km 3600s
= 1224 Km / h
1000m 1h
Ejemplo 4.- Un submarino viaja a 10 nudos. Convertir esta velocidad a:
a).- millas/h,
b).- Km/h y
c).- m/s
NOTA: EL NUDO es una medida de velocidad utilizada tanto para navegación marítima como para la
aérea, equivale a una milla náutica por hora. También se utiliza en meteorología para medir la
velocidad de los vientos, en huracanes y tornados.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 138
.
Solución:
a).- 10 nudos = 10 nudos
1Milla / h
= 10 Milla / h
1nudo
b).- 10 nudos = 10 nudos
1Milla / h 1,609Km
x
16.09 Km / h
1nudo
1Milla
c).-
10nudos = 16.09
Km 1000m
1h
x
x
= 4.469m / s
h
1Km 3600s
EJERCICIOS:
Ejercicio 1.- Si la velocida de la luz es 299’792,458 m/s en el vacio, cual es su velocidad en Km/h?
Ejercicio 2.- La velocidad del avión “Concord” era de 2.2 mach, sabiendo que 1 mach es la velocidad
del sonido, cuál era la velocidad del concord en Km/h, y en m/s? Realiza la conversión
siguiendo los ejemplos anteriores.
Ejercicio 3.- Un auto se mueve a 75 Km/h en una superficie horizontal, pero al llegar a una pendiente
de subida su velocidad baja 15%, ¿que velocidad lleva el auto en a) Millas/h, b) en m/s, c) en
pies/pulg, d) en nudos.
ANÁLISIS DIMENSIONAL DE LA VELOCIDAD.
Conociendo que en un sistema mecánico es suficiente saber las dimensiones de Longitud, Masa y
Tiempo, se puede obtener la ecuación dimensional de la velocidad como:
v=
Δx L
= = LT −1 = L1M 0T −1
Δt T
GRÁFICAS DE MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (MRU).
Observa en la siguiente página Web la posición y el movimiento a través del tiempo, y la forma como se
grafica la velocidad.
http://www.educaplus.org/play-125-MRU-Gr%C3%A1fica-e-t.html
En la celda de la velocidad varía su valor colocando tres valores (3, 3.5, 4) m/s, observa, gráfica
y responde ¿Qué sucede?, ¿Por qué la gráfica es una línea recta?, ¿Cuál es el valor de la
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 139
.
aceleración?, en cada velocidad que varías, donde se encontrá el cuerpo cuando se haya movido
10 segs?
GRÁFICA DEL DESPLAZAMIENTO CONTRA EL TIEMPO (X-T).
Analizaremos gráficamente el movimiento de un cuerpo que se mueve en una línea recta con velocidad
inicial de 5 m/s durante un tiempo de 5s. Los datos obtenidos en el laboratorio se muestran en la siguiente
gráfica:
Tiempo
(s)
0
Desplazamiento
(m)
0
1
5
2
10
3
15
4
20
5
25
Podemos observar que el ángulo de inclinación de la recta es su pendiente y está dado por la tangente de la
recta.
θ = tg −1
Δx
=v
Δt
Es decir, la tangente del ángulo θ que forma la recta inclinada con el eje del tiempo corresponde a la
magnitud de la velocidad.
Esta gráfica es una función del tiempo, por adoptar la forma de la ecuación de una recta que es y = my + b
la cuál que pasa por el origen.
Para obtener la velocidad del móvil en los diferentes tiempos, tendremos.
Para t0 = 0
y
tf = 1s
v0 =
Para t0 = 1 s
y tf = 2s tenemos
v1 =
Para t0 = 2 s
y tf = 3s tenemos
v2 =
Δx x f − x0 5m − 0m
m
=
=
=5
Δt
t f − t0
1s − 0 s
s
x f − x0
t f − t0
x f − x0
t f − t0
=
10 m − 5m
m
=5
2 s − 1s
s
=
15m − 10 m
m
=5
3s − 2s
s
Siguiendo el mismo procedimiento se puede encontrar que
APUNTES FISICA I T.V.
v3 = 5
PAG. 140
m
m
m
, v4 = 5
y v5 = 5
s
s
s
.
De los resultados anteriores podemos observar que la velocidad en el movimiento rectilíneo uniforme es
constante, es decir, la velocidad es la misma en cualquier punto dentro de la trayectoria del movil, como se ha
demostrado en la siguiente relación:
Tiempo (s)
0
0
0
0
0
0
Velocidad (m/s)
5
5
5
5
5
5
Podemos ver que la velocidad representa el desplazamiento por unida de tiempo.
GRÁFICA DE VELOCIDAD CONTRA TIEMPO DEL MRU.
El área comprendida entre la recta que nos representa a la velocidad y el eje que representa al tiempo es igual a
la distancia recorrida, lo que demostraremos considerando que la figura representa varios rectángulos y
sabiendo que el área del rectángulo es A = b⋅h
Área = v ⋅ Δt = v(t f − t0 ) = Δx
Para t0 = 0
y
tf = 1s
Δx0 = 5
m
(1s − 0s) = 5m
s
Para t0 = 1 s
y tf = 2s tenemos
Δx1 = 5
m
(2s − 0s) = 10 m
s
Para t0 = 2 s
y tf = 3s tenemos
Δx2 = 5
m
(3s − 0s) = 15m
s
Del mismo modo se puede encontrar que
Δx3 = 20m y Δx4 = 25m
Valores que corresponden a la magnitud de los vectores desplazamiento obtenidos en el experimento. (Ver
la penúltima tabla).
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 141
.
EJEMPLOS.
Ejemplo 1. Un móvil recorre 36 Km en 15 minutos en línea recta con velocidad uniforme. Calcular cuál es la
velocidad del móvil.
Datos:
Δx = 36 Km = 36 000 m
Δt = 15min = 900 s
v=
v=?
Δx 36000 m
m
=
= 40
Δt
900s
s
Ejemplo 2. Dos ciudades "A” y "B" distan entre sí 100 Km en línea recta. Si al mismo tiempo sale desde “A”
hacia "B" un automóvil a 90 Km/h y de "B" hacia "A" un camión a 72 Km/h. Calcular:
a) A qué distancia del punto “A” se cruzarán .
b) ¿En cuanto tiempo se cruzan?
Representando ΔxA en función de ΔxB.
a).- Cálculo del punto de cruce: Como los autos salen al mismoinstante, el tiempo de desplazamiento será
el mismo.
Datos :
v A = 90
Km
h
vB = 72
De v A =
Δx A
Δt A
Del otro lado v B =
Km
h
Δx = 100 Km
despejando al tiempo queda:
Δx B
Δt B
Δt A =
despejando al tiempo queda:
Igualando los incrementos del tiempo ya que tA = tB.
APUNTES FISICA I T.V.
Δx A
vA
Δt B =
Δx A Δx B
=
vA
vB
PAG. 142
.
ΔxB
vB
sustituyendo ΔxA = 100 Km - ΔxB
-------
(1)
El valor de las velocidades ”vA” y “vB” , tenemos:
100 − ΔxB ΔxB
=
90
72
72(100 − ΔxB ) = 90ΔxB
7200 − 72ΔxB = 90ΔxB
7200 = 90ΔxB + 72ΔxB
162ΔxB = 72000
ΔxB = 44.44Km
Se encontrarán a una distancia de 44.44 Km de la ciudad "B".
De la Ecuación (1), el auto de A habra recorrido ΔxA = 100 Km - ΔxB = 100 Km – 44.44 Km = 55.56 Km
a) Cálculo del tiempo en que se cruzan.
Δt B =
Δt B = 0.617h
ΔxB 44.44 Km
=
= 0.617h
vB
72 Km / h
3600s
= 2222s = 37 min .
1h
El auto y el camión, se cruzarán después de 37 minutos.
Ejercicio.
•
1.- Dibujar las gráficas desplazamiento - tiempo (Δx -Δt ) y velocidad-tiempo (v -Δt ) del movimiento
de un cuerpo que se desplaza 3 m/s. Considerando un período de 5 s.
•
2.- Interpreta la siguiente gráfica y obten analíticamente la distancia que estará el movil cuando
t = 10 s, Cual es la velocidad del movil en ese punto?
DESCRIPCIÓN GRÁFICA DEL MOVIMIENTO
Los datos se deben representar gráficamente, mostrando la relación entre dos variables involucradas.
Estas dos variables son del tipo dependiente e independiente:
a) Las variables independientes no están determinadas por otras, se escriben generalmente en el eje de las “x”.
b) Las variables dependientes siempre están sujetas al valor de las independientes u otras, se colocan en el eje
de las “y”.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 143
.
Ejemplos:
En la siguiente gráfica el tiempo es independiente y son dependiente el desplazamiento y la velociad.
Tiempo
(s)
0
Desplazamiento
(m)
0
1
5
2
10
3
15
4
20
5
25
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)
CONCEPTO DE MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE VARIADO. Es aquel que describe una partícula,
que al moverse en trayectoria rectilínea, tiene una variación de velocidad uniforme, experimentando aumentos
o disminuciones iguales en tiempos iguales.
CONCEPTO DE MOVIMIENTO VARIADO. Es aquel en el que un movil recorre distancias desiguales en
tiempos iguales.
CONCEPTO DE VELOCIDAD LINEAL MEDIA. En el movimiento rectilíneo uniforme cuya velocidad es
constante, se había definido a la velocidad lineal como el cociente que resulta de dividir el incremento del
desplazamiento (Δx) entre el incremento del tiempo (Δt) empleado en desplazarse y cuya ecuación es.
v=
Δx x f − x0
=
Δt
t f − t0
------
(1)
Sin embargo, en el movimiento variado no nos da la velocidad de la partícula en cada punto de su
trayectoria, y la interpretación que daremos es que corresponde a la velocidad media de la partícula en todo su
recorrido, definiéndose de la misma manera, sólo que ahora la identificaremos como v :
v=
Δx x f − x0
=
Δt
t f − t0
------
(2)
Para entenderlo mejor, consideremos el siguiente
EJEMPLO: Un automóvil viaja a la Ciudad de Puebla, y al final de su recorrido, la velocidad media es de 120
Km/h. Si analizamos su movimiento, observaremos que el automóvil realmente varía su velocidad, ya que en
algunos tramos se desplazará con una velocidad de 80 Km/h, en otros a 150 Km/h, es decir, que su velocidad
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 144
.
real no fue constante, por lo que debemos considerar que la velocidad media de 120 Km/h es decir, esta fue la
velocidad promedio de todas las velocidades obtenidas durante su recorrido.
CONCEPTO DE VELOCIDAD PROMEDIO. Cuando la velocidad media se determina como un
promedio de las velocidades recibe el nombre de velocidad promedio y su expresión matemática será.
v=
v f − v0
--------
2
(3)
CONCEPTO DE VELOCIDAD INSTANTÁNEA. Es la velocidad que tiene la partícula en un punto de
su trayectoria y se define como el cociente resultante de dividir el incremento del desplazamiento entre el
incremento del tiempo, cuando el tiempo tiende a cero, por lo cual, se dirá que la velocidad instantánea es
cociente del mínimo desplazamiento con respecto al tiempo cuando éste tiende a ser cero, y su expresión
matemática es.
v=
dv
dt
--------
(4)
CONCEPTO DE ACELERACIÓN LINEAL MEDIA. La aceleración lineal media de una partícula en
movimiento, es definida como la relación del incremento de velocidad con respecto al incremento del tiempo,
y su ecuación matemática es.
a=
Δv v f − v0
=
Δt t f − t 0
--------
(5)
CONCEPTO DE ACELERACIÓN INSTANTÁNEA. Es la aceleración que tiene una partícula en un
punto de su trayectoria y se define como la relación del incremento de velocidad entre el incremento del
tiempo cuando el tiempo tiende a cero, siendo la expresión matemática.
a=
dv
dt
--------
(6)
LA ACELERACIÓN COMO UNA MAGNITUD VECTORIAL.
La aceleración es una magnitud vectorial, dado que es el cociente entre una magnitud vectorial (Δv) y una
cantidad escalar (Δt), y sus características son:
a) La Magnitud, que queda cuantificada por la ecuación (5)
b) La Dirección, que corresponde a la diferencia de la velocidad final menos la inicial, siendo acelerado
(+a) cuando la diferencia es positiva, la aceleración es negativa (- a), cuando la diferencia de la
velocidad es negativa.
c) El Sentido, que corresponde al signo del incremento de la velocidad (Δv = v/-v0).
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 145
.
Con respecto al sentido de la aceleración, debemos observar que si la velocidad final (vf ) es mayor
que la velocidad inicial (v0), su sentido será positivo y el vector aceleración tendrá el mismo sentido
de la variación de la velocidad, en cuyo caso se dice que el movimiento es acelerado (Fig. l).
Si la velocidad final es menor que la velocidad inicial, el sentido será negativo y el vector aceleración
tendrá sentido contrario al de la variación de la velocidad, diciéndose en este caso, que el movimiento
es retardado o desacelerado (Fig-2).
UNIDADES DE LA ACELERACIÓN. En base a la definición de aceleración, se tiene:
Absoluto
Gravitacional
Sistema de unidades
Aceleración
S. I.
m/s2
C. G. S
cm/s2
Inglés
pie/s2
Métrico
m/s2
Inglés
pie/s2
ECUACIÓN DIMENSIONAL DE LA ACELERACIÓN. De la ecuación (5), tenemos:
Δv
a=
Δt
L1T −1
a = 1 = L1M 0T −2
T
EJEMPLOS.
Ejemplo 1.- Un auto en trayectoria rectilínea aumenta de velocidad entre dos puntos (A y B) al pasar de
60 Km/h a 120 Km/h en un tiempo de 5s. Calcular su aceleración.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 146
.
Datos :
v0 = 60 Km/h = 16.666 m/s
a=
vf = 120 Km/h = 33.33 m/s
v f − v0
a=
t f − t0
t0 = 0 s
tf = 5 s
33.33m / s − 16.66m / s
= 3.33m / s 2
5s − 0 s
2. Una grúa se desplaza horizontalmente a una velocidad de 80 Km/h y se detiene en 10 s. Calcular su
aceleración.
Datos :
v0 =80 Km/h = 22.22 m/s
a=
vf = 0 m/s
v f − v0
a=
t f − t0
t0 = 0 s
tf = 10 s
0m / s − 22.22m / s
= −2.22m / s 2
10 s − 0s
ECUACIONES DEL MRUV.
Las ecuaciones del movimiento rectilineo uuniformemente variado (MRUV), pueden ser deducidas a partir de
las ecuaciones (2), (3) y (5) como sigue.
v=
Δx x f − x0
- - - (2)
=
Δt
t f − t0
v=
v f − v0
2
a=
- - - - (3)
Δv v f − v0
- - - - - (5)
=
Δt t f − t 0
Consideremos a "Δt" como "t" para simplificar el desarrollo. De la ecuación (5)
v f = v0 + at
t=
v f − v0
a
- - - - (6)
De las ecuaciones (2) y (3).
Δx = vt =
v f − v0
2
⋅ t - - - - (7)
Sustituyendo vf en la ecuación (6), se tiene
Δx =
v0 + v f + at
2
⋅t
APUNTES FISICA I T.V.
Δx = v0 ⋅ t +
PAG. 147
1 2
at
2
- - - - - - (8)
.
De las ecuaciones (6) y (8) se obtiene.
Δx = v0 ⋅
v f − v0
a
2
2
2
2
v0 ⋅ v f − v0
1 ⎡ v f − v0 ⎤
1 ⎡ v f − 2v f v0 + v0 ⎤
+ a ⎢
=
+
⎢
⎥
⎥
2 ⎣ a ⎦
a
2 ⎢⎣
a
⎦⎥
2Δx =
2v0 ⋅ v f − 2v0
2
a
2
2
v0 2Δx =
2
+
v f − 2v f v0 + v0
a
2
2v0 ⋅ v f − 2v0 + v f − 2v f v0 + v0
2
a
2
2
v f = v0 + 2aΔx
2
2
=
v f − v0
2
a
- - - - - (9)
Resumiendo, tenemos que las ecuaciones del MRUV son.
v=
v f − v0
2
a=
v f − v0
v f = v0 + at
t f − t0
Δx = v0 ⋅ t +
1 2
at
2
Δx =
2
v f + v0
2
t
2
v f = v0 + 2aΔx
GRÁFICAS DEL MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV).
a).- GRÁFICA DESPLAZAMIENTO CONTRA TIEMPO.
Consideremos el movimiento de un cuerpo que se mueve en MRUV con una velocidad inicial de 5 m/s y una
aceleración de 2 m/s2, el cual graficaremos para un período 5 s . De acuerdo a la ecuación Δx = vot + ½ at2, se
calcula el desplazamiento.
Obsérvese que la curva de la gráfica adquiere la forma de una parábola y que los desplazamientos son
desiguales para periodos de tiempos iguales.
GRÁFICA DE VELOCIDAD CONTRA TIEMPO. Para los mismos datos de la gráfica del desplazamiento
contra el tiempo, y utilizando la ecuación vf = v0 + a⋅t se calcula la velocidad:
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 148
.
Obsérvese que:
•
La velocidad varía de manera uniforme;
•
Que la velocidad inicial se considera como constante y
•
La recta inclinada representa el producto "a⋅t", por lo que
•
De la interpretación de esta gráfica se puede obtener la ecuación (6).
Como en el movimiento rectilíneo uniforme, la gráfica de velocidad contra tiempo nos sirve para calcular el
desplazamiento de la siguiente manera:
•
Obsérvese que la figura que se encuentra entre los ejes, la recta inclinada y la perpendicular trazada
sobre cada punto que nos representa el tiempo, es un trapecio cuya área es
A=
B+b
⋅ h , en donde:
2
•
“B” corresponde a la velocidad final,
•
"b" a la velocidad inicial y
•
" h " al tiempo,
•
Por lo que esta área corresponde a la ecuación del desplazamiento según la ecuación: Δx =
v f + v0
2
t
Así, por ejemplo, si queremos calcular el desplazamiento que tiene el cuerpo en el tercer segundo, se tendrá:
Δx =
11 + 5
3 = 24m
2
GRÁFICA DE ACELERACIÓN CONTRA TIEMPO. Calcularemos la aceleración por medio de la
ecuación a =
v f − v0
t
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 149
.
Obsérvese que la aceleración permanece constante a = 2m/s . El área comprendida entre la recta de la
velocidad y los ejes nos permite calcular el producto "a⋅t" de la ecuación vf = va+a⋅t. Por ejemplo:
Para t = 0
a⋅t = 0 m/s2 esto nos indica que no hay cambio de velocidad.
EJERCICIOS.
Ejercicio 1. Un auto se desplaza en una pista plana y recta con una velocidad de 150 Km/h y al cruzar el punto
"A" acelera uniformemente para llegar a la meta, donde registra una velocidad de 200 Km/h empleando un
tiempo de 20 s, calcular:
a) La aceleración entre el punto "A" y la meta.
b) La distancia recorrida.
Solución: ( DCL)
Datos : v0 = 150 Km/h = 41.666 m/s
a)
t0 = 20 s
a =?
Δx = ?
Calculo de la aceleración.
a=
b)
vf = 220 Km/h = 61.11 m/s
v f − v0
t
=
61.11m / s − 41.66m / s
20 s
a = 0.971m / s 2
Calculo de la distancia.
Δx =
v f + v0
2
t
Δx =
61.11m / s + 41.666m / s
20 s
2
Δx = 1027.8m
Ejercicio 2. Un camión que viaja a 80 Km/h en línea recta disminuye su velocidad de manera uniforme,
deteniéndose cuando ha recorrido 100 m. Calcular.
a) Su aceleración.
b) El tiempo que emplea en detenerse.
c) Su velocidad un segundo antes de detenerse.
Datos : v0 = 80 Km/h = 22.22 m/s
vf = 0 m/s
a=?
APUNTES FISICA I T.V.
Δx = 100 m
t=?
vf = ? m/s (1s antes de detenerse)
PAG. 150
.
Cálculo del tiempo.
Δx =
v f + v0
2
t
t=
Cálculo de la distancia. Δx =
v f + v0
2
2Δx
2(100m)
=
v f + v0 0 + 22.22m / s
t
Δx =
t = 9s
0 + 22.22m / s
9s
2
Δx = 99.999m
Cálculo de la aceleración.
a=
v f − v0
t
=
0m / s − 22.22m / s
9s
a = −2.47 m / s 2
Cálculo de la velocidad 1 segundo antes de detenerse.
1 segundo antes de llegar al reposo el camión se ha movido 8 segundos.
v f = v0 + at
v f = 22.22m / s − 2.47m / s 2 (8s)
v f = 2.46 m / s
3. Un taxi parte del reposo y después de 20 s alcanza una velocidad de 80 Km/h, la que mantiene constante
durante 10 minutos para finalmente detenerse en 10 s .
Calcular:
a) La aceleración y la distancia recorrida hasta alcanzar la velocidad de 80 Km/h.
b) La aceleración y la distancia recorrida durante los últimos 10 S.
c) La distancia total recorrida.
Este es un ejemplo en el que se combina el MRUV con el MRU, y que es semejante al movimiento de un
automóvil en una avenida, el cual observamos a diario.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 151
.
Datos : v0 = 0 m/s vf = 80 Km/h = 22.22 m/s
a)
t = 20 s
Cálculo de la aceleración y de la distancia hasta alcanzar la velocidad de 80 Km/h.
a=
v f − v0
t
=
22.22m / s − 0m / s
20 s
a = 1.11m / s 2
Cálculo de la distancia recorrida.
Δx =
b)
v f + v0
t
2
22.22m / s − 0m / s
20 s
2
Δx = 222.22m
Cálculo de la aceleración y de la distancia recorrida en el último período.
Datos:
a=
c)
Δx =
v0 = 22.22 m/s
v f − v0
t
=
vf = 0 m/s
0m / s − 22.22m / s
10 s
t = 10 s
a = −2.22m / s 2
Cálculo de la distancia total recorrida.
Δx =
v f − v0
2
t
Δx =
0 − 22.22 m / s
10 s
2
Δx = 111.11m
Únicamente falta calcular la distancia recorrida en el intervalo en el que mantiene la velocidad
constante, durante la cual se trata de MRU.
Datos:
v = 22.22 m/s
Δx = vt = 22.22
Δx = ?
t = 10 min = 600 s
m
(600s)
s
Δx = 13332m
Por lo tanto la distancia total será la suma de las distancias aprciales.
Δx = 222.2m + 111.11m + 13332m
Δx = 13665.3m
Hasta aquí hemos analizado el movimiento rectilineo en su primera fase, que es el movimiento horizontal, pero
si ahora giramos el eje 90°, tendremos el eje vertical, por lo que los movimientos en ese eje se conocen como
movimientos verticales.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 152
.
CONCEPTO DE MOVIMIENTO VERTICAL.
Todo movimiento que se realiza perpendicalarmente al eje horizontal, conoce como movimiento vertical, y
puede ser de dos tipos:
a).- Movimiento vertical ascendente,
b).- Movimiento vertical descendente y
c).- Movimiento combinado ascendente y descendentes
Para el analisis de este tipo de movimiento, veremos algunos conceptos e historia de su analisis.
CONCEPTO DE ACELERACIÓN DEBIDO A LA GRAVEDAD.
Hace miles de años, el filosofo Aristóteles pensó que los cuerpos
pesados caían proporcionalmente más rápido que los ligeros, el mundo
tardó 2 000 años en rechazar los pensamientos científicos de Aristóteles,
y en el año 1590 , Galileo meditó sobre la caída de los cuerpos y
encontró inconsistencias en las enseñanzas de Aristóteles.
Galileo decía que despreciando la fricción del aire, todos los cuerpos,
grandes y pequeños, caen con la misma aceleración.
Se dice que en una ocasión, Galileo Galilei juntó a varias personas en
La Torre inclinada de Pisa, y tras subir las escaleras de caracol hasta el
campanario, dejó caer dos piedras, una grande y una pequeña. Estos dos
cuerpos descendieron uno al lado del otro y golpearon juntos el suelo,
anunciando el fin de la antigua hipótesis de Aristóteles y el nacimiento de una nueva era en la ciencia.
Sea este hecho concreto, cierto o no, manifiesta la importancia de muchos experimentos auténticos de
Galileo, no esta en el hecho de que demuestran la falsedad del razonamiento de Aristóteles, sino en que
prestaron al mundo un nuevo método científico más digno de confianza; El método experimental.
Ahora bien, experimentos realizados en muchos puntos sobre La Tierra demuestran que la aceleración
debida a la gravedad no es la misma en todas partes, existen ligeras variaciones y, en general, los valores de la
gravedad (g) están en un mínimo de 9.7804 m/s2 en el Ecuador y un máximo de 9.8321 m/s2 en los polos.
El Comité Internacional de Pesas y Medidas ha elegido como valor patrón 9.80665 m/s2 , sin embargo, para
propósitos prácticos, se acostumbra usar 9.80 m/s2 . En el sistema inglés, el valor es de la gravedad es de 32.2
pies/s2 .
CONCEPTO DE MOVIMIENTO VERTICAL.
Movimento vertical es aquel que tienen los cuerpos cuyo desplazamiento se efectúa en el eje vertical. En
este tipo de movimiento se considera que la aceleración debida a la gravedad es constante, y para fines de
estudio se desprecia la resistencia que puede ofrecer el aire, razón por la cual se considera que es un
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 153
.
movimiento rectilíneo uniformemente variado, por lo que las ecuaciones serán las mismas, pero con las
siguientes consideraciones:
a) En el punto donde se inicia el movimiento se supondrá, arbitrariamente que tenemos un eje de
referencia (x,y). Este punto puede ser la superficie de la Tierra, la azotea de un edificio, etc.
b) Los desplazamientos y velocidades que ocurran hacia arriba del eje de referencia serán positivos, y
hacia abajo negativos.
c) La aceleración debida a la gravedad (g), que siempre está dirigida hacia el centro de La Tierra, por lo
que se considerará en todos los casos como negativa.
g (-)
Δy (+)
v (+)
Δy (-)
v (+)
Eje de referencia
Lanzamiento ascendente
Lanzamiento descendente
y caida libre
El movimiento vertical lo estudiaremos de dos formas.
1. Tiro vertical.
2. Caída libre.
CONCEPTO DE TIRO VERTICAL.
Este movimiento es el que tiene un cuerpo cuando es arrojado hacia arriba o hacia abajo con una velocidad
inicial mayor de cero.
Para observar las características de este movimiento vea:
http://conteni2.educarex.es/mats/14357/contenido/
a)
Tiene velocidad final que es igual a cero, solo cuando el cuerpo
sube.
b)
Tiene velocidad inicial.
c) Cuando el cuerpo regresa al mismo eje de referencia, el tiempo de
subida es igual al tiempo de bajada.
d) El tiempo que tarda en subir y bajar se llama tiempo de vuelo (t).
e) El desplazamiento máximo que tiene el cuerpo se llama altura máyima y en este punto la velocidad final es
cero.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 154
.
CONCEPTO DE CAÍDA LIBRE.
Es el movimiento que tienen los cuerpos cuando se sueltan o se dejados
caer por su propio peso, es decir, su velocidad inicial es igual a cero.
a) Tiro Vertical:
ECUACIONES DEL MOVIMIENTO VERTICAL:
v=
v f − v0
g=
v f = v0 + gt
2
v f − v0
Δy =
t
v f + v0
2
Δy = v0 ⋅ t +
2
1 2
gt
2
2
v f = v0 + 2 gΔy
⋅t
ECUACIONES DE LA CAÍDA LIBRE:
v=
g=
vf
v f = gt
2
vf
Δy =
t
vf
2
Δy =
1 2
gt
2
2
v f = 2 gΔy
⋅t
Compárense con las ecuaciones del M. R. U. V.
EJEMPLOS.
EJEMPLO 1.- Un cuerpo es dejado caer desde lo alto de un edificio, cuya
altura es de 100m. Calcular:
a) El tiempo que tarda en caer.
b) La velocidad con la que choca en el suelo.
Solución:
El problema es de caída libre, por ello:
a) − Δy =
b)
1
− gt 2
2
t=
2Δy
2(100m)
=
g
93.8m / s 2
vf = (9.8 m/s2)⋅ (4.52s)
-Vf = -g⋅ t
t = 4.52s
vf = 44.3 m/s
Los signos negativos se deben a que "Δy", "g" y "vf" se producen hacia
abajo del eje de referencia.
APUNTES FISICA I T.V.
PAG. 155
.