Download Geometría Ángulos - New Jersey Center for Teaching and Learning

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Ne w Je rs e y Ce nte r for Te aching and Le arning
Geometría
Iniciativa de Mate mática Progre s iva®
Es te ma te ria l e s tá dis ponible gra tuita me nte e n
ww.njctl.org y e s tá pe ns a do pa ra e l us o no comede
rcia l
e s tudia nte s y profe s ore s . No pue de s e r utiliza
pado
ra
cua lquie r propós ito come rcia l s in cons
e l e ntimie nto por
e s crito de s us propie ta rios .
NJCTL ma ntie ne s u s itio we b por la convicción de
profe s ore s que de s e a n ha ce r dis ponible s u trapa
barajo
otros profe s ore s , pa rticipa r e n una comunida d de
a pre ndiza je profe s iona l virtua l, y /o pe rmitir a
pa dre s , e s tudia nte s y otra s pe rs ona s e l a cce s o a los
ma te ria le s de los curs os .
Ángulos
Nos otros , e n la As ocia ción de Educa ción de Nue va J eNJEA)
rs e y (
s omos funda dore s orgullos os y a poyoNJCTL
de
y la orga niza ción
inde pe ndie nte s in fine s de lucro.
NJEA a dopta la mis ión de
NJCTL de ca pa cita r a profe s ore s pa ra dirigir
e l me jora mie nto e s cola r pa ra e l be ne ficio de todos los e s tudia nte s .
2015-06-16
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Tabla de contenidos
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click sobre el tema para
ir a la sección
Ángulos
Tabla de Contenidos para
videos de demostraciones de
construcciones
click sobre el tema
para ir a ese video
Ángulos congruentes
Ángulos y Postulado de la suma de ángulos
Transportadores
Ángulos congruentes
Bisectrices
Pares especiales de ángulos
Demostraciones de ángulos especiales
Bisectrices
Locus y construcciones angulares
Bisectrices y Construcciones
Preguntas PARCC
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A lo largo de esta unidad, se usan los Estándar para Práctica
de Matemática.
MP1: Darle sentido a los problemas y perseverar en
resolverlos.
MP2: Razonamiento abstracto y cuantitativo.
MP3: Construir argumentos viables y ser crítico con el
razonamiento de los otros.
MP4: Modelar con matemática.
MP5: Usar estratégicamente las herramientas apropiadas .
MP6: Ser preciso.
MP7: Buscar y hacer uso de la estructura.
MP1: Darle sentido a los problemas y perseverar en
resolverlos.
MP2: Razonamiento abstracto y cuantitativo.
MP3: Construir argumentos viables y ser crítico con el
razonamiento de los otros.
MP4: Modelar con matemática.
MP5: Usar estratégicamente las herramientas apropiadas .
MP6: Ser preciso.
MP7: Buscar y hacer uso de la estructura.
En las diapositivas se incluyen preguntas adicionales usando
las tablas de arrastre "Práctica de Matemática" (como ejemplo
se muestra una en blanco a la derecha en esta diapositiva)
con una referencia a los estándares usados.
[This object
is a pull tab]
En las diapositivas se incluyen preguntas
adicionales
usando
las tablas de arrastre "Práctica de Matemática" (como ejemplo
se muestra una en blanco a la derecha en esta diapositiva)
con una referencia a los estándares usados.
Si ya hay preguntas en una diapositiva, en la tabla de arrastre
se enumeran los estándares específicos a los que la pregunta
dirige.
Si ya hay preguntas en una diapositiva, en la tabla de arrastre
se enumeran los estándares específicos a los que la pregunta
dirige.
Práctica de
matemática
A lo largo de esta unidad, se usan los Estándar para Práctica
de Matemática.
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Ángulos
Definición 8: un ángulo es la inclinación entre sí de dos rectas
en un plano que se encuentran entre sí y no se encuentran en
una línea recta
Ángulos
A
Cuando sea que
semirrectas o
segmentos se
intersequen en un
plano, formarán un
ángulo.
x
Volver a la tabla
de contenidos
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Ángulos
La medida del ángulo es la cantidad que una recta, una
semirrecta o un segmento necesitaría rotar a fin de superponerse
con el otro.
En este curso, los ángulos serán medidos en grados,
con el símbolo º.
A
Rotar la semirrecta BA
alrededor de la semirrecta
BC, y volver a la misma
semirrecta representaría un
ángulo de 360º
A
x
x
B
B
C
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C
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Medición de ángulos en grados
Medición de ángulos en grados
El uso de 360 grados para representar una rotación completa
volviendo a la posición originaria es arbitrario
Se podría usar cualquier
número, pero 360 grados para
una rotación se ha convertido
en estándar.
C
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Ángulos
En este caso, la semirrecta
BA tendría que rotar a lo
largo del ángulo x a fin de
superponerse con la
semirrecta BC.
B
Se piensa que el uso del 360 para una rotación completa proviene
de la antigua Babilonia, en donde se usaba un sistema numéricao
basado en 60.
Su sistema numérico podría también vincularse al hecho de que
hay 365 días en un año lo cuál es muy cercano a 360.
360º
360 es un número mucho más fácil para trabajar con él que con
365 ya que se puede dividir por muchos números sin resto.
Incluídos 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 y 12.
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Ángulos rectos
Ángulos rectos
Definición 10: Cuando se ubica una recta vertical sobre una
línea recta se forman ángulos adyacentes iguales entre sí,
cada uno de los ángulos iguales es recto, y se dice que la
línea recta vertical es perpendicular a aquella sobre la cuál
se asienta.
La única forma en la que
dos rectas pueden
intersecarse como se
muestra y formar ángulos
adyacentes iguales, de
modo que los ángulos
mostrados aquí donde
m∠ ABC = m∠ ABD,
es si ellos son ángulos
rectos, es decir que
miden 90º.
Cuarto postulado: Todos los ángulos rectos son iguales entre
sí.
No sólo son ángulos rectos adyacentes iguales entre sí como se
muestra abajo, todos los ángulos rectos son iguales, incluso si no
son adyacentes, por ejemplo, los tres ángulos rectos mostrados
abajo son iguales entre sí.
A
A
xº xº
x x
B
D
A
C
D
90º
B
C
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Ángulos rectos
Esta definición no ha cambiado actualmente y te debería ser familiar.
Las rectas, segmentos o semirrectas perpendiculares forman ángulos
rectos.
A
Aquí hay un indicador especial de ángulos rectos.
En este caso se muestra en
rojo para reconocerlo más
fácilmente.
A
90º
B
C
B
Cuando se encuentran rectas perpendiculares, forman
ángulos adyacentes iguales y su medida es 90º.
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Ángulos obtusos
Definición 11: Un ángulo obtuso es un ángulo mayor que
un ángulo recto.
C
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Ángulos agudos
Definición 12: Un ángulo agudo es un ángulo menor a un ángulo
recto.
A
A
45º
135º
B
C
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Ángulos rectos
Si se cortan rectas para formar
ángulos adyacentes iguales,
entonces son perpendiculares y la
medida de los ángulos formados es
90º.
B
C
B
C
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Ángulo llano
Ángulo reflejo
Otra definición moderna que no fue usada en Los Elementos es la
de "angulo reflejo". Este es el ángulo que es mayor que 180º.
B
A
C
Respuesta
Una definición que no necesitamos usar en Los Elementos es la
de "ángulo llano". Es el ángulo de una línea recta.
235º
B
C
2 preguntas para discutir con un compañero:
También es un tipo
de ángulo obtuso.
A
¿Es un ángulo agudo u obtuso? Explica por qué.
¿Cuál es la medida en grados del ángulo?
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Ángulos
1 Este es un ejemplo de un ángulo ________ .
Elige todas las que aplican
En las siguientes diapositivas usaremos los respondedores para
revisar los nombres de ángulos a partir de mostrar ángulos desde
0º a 360º aumentando de a 45º
B obtuso
C recto
Los ángulos pueden ser de cualquier tamaño, no sólo aumentando
de a 45º, pero esto es sólo para dar una idea que como se ve un
giro completo.
Respuesta
A agudo
A
0º
B
C
D reflejo
E llano
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A
B obtuso
C recto
D reflejo
E llano
45º
B
C
A agudo
Respuesta
A agudo
3 Este es un ejemplo de un ángulo ________.
Elige todas las que aplican.
Respuesta
2 Este es un ejemplo de un ángulo ________ .
Elige todas las que aplican.
A
B obtuso
C recto
D reflejo
E llano
90º
B
C
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5 Este es un ejemplo de un ángulo ________ .
Elige todas las que aplican
A agudo
A
C recto
B obtuso
C recto
135º
D reflejo
B
C
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A agudo
235º
B obtuso
B
C recto
C
D reflejo
A agudo
B obtuso
B
C
D reflejo
A
E llano
C
B
A
9 Este es un ejemplo de un ángulo ________ .
Elige todas las que aplican
Respuesta
A agudo
315º
A
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8 Este es un ejemplo de un ángulo ________ .
Elige todas las que aplican.
E llano
270º
C recto
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D reflejo
Respuesta
7 Este es un ejemplo de un ángulo ________ .
Elige todas las que aplican.
Respuesta
6 Este es un ejemplo de un ángulo_______ .
Elige todas las que aplican.
C recto
C
E llano
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B obtuso
B
D reflejo
E llano
E llano
180º
A
A agudo
B obtuso
C recto
D reflejo
E llano
360º
B
A
C
Respuesta
B obtuso
A agudo
Respuesta
Respuesta
4 Este es un ejemplo de un ángulo ________.
Elige todas las que aplican.
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Nombrando ángulos
Interior de los ángulos
Un ángulo tiene tres partes, dos lados y un vértice que es
donde los lados se encuentran.
En este ejemplo, los lados
son las semirrectas BA y BC
y el vértice es B.
lado
A
A
θ
lado
B
Exterior
C
Interior
θ
B
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Nombrando ángulos
Nombrando ángulos
Un ángulo puede ser nombrado en tres diferentes maneras:
· por su vértice (B en el ejemplo de abajo)
· por un punto en su lado, su
vértice y un punto sobre el otro
lado (o ABC o CBA en el
ejemplo de abajo)
vértice
lado
Al ángulo mostrado abajo se lo puede llamar ∠ABC , ∠CBA, ó ∠B.
Cuando no hay lugar a
confusión, el ángulo podría
también ser identificado por
su vértice B.
A
lado
C
Los lados de ∠ABC
son las semirrectas BC
y BA
A
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Nombrando ángulos
Nombrando ángulos
Usar el vértice para nombrar un ángulo no funciona en
algunos casos. ¿Por qué sería no muy claro usar el
vértice para nombrar al ángulo en la imagen de abajo?
¿De qué otras maneras podrías nombrar ∠ABC, ∠ABD y ∠DBC en
el caso de abajo? (usando el lado - vértice - método de los lados)
Respuesta
D
A
B
32°
B
La medida del ∠ABC es 32 grados, esto puede ser reescrito
como m∠ABC = 32º.
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θ
C
θ
B
· O por un número o por un símbolo ubicado dentro del ángulo (ej.,
letra griega θ, en la figura)
¿Cuántos ángulos
cuentas en la
imagen?
C
D
A
θ
B
α
C
Respuesta
vértice
Cualquier ángulo con una medida de menos de 180º tiene
un exterior y un interior como se muestra abajo.
α
C
¿Cómo podrías nombrar aquellos 3 ángulos usando las
letras ubicadas dentro de los ángulos?
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Rectas que se cortan forman ángulos
Rectas que se cortan forman ángulos
Cuando se forma un ángulo a partir de dos semirrectas o dos
segmentos que comparten un vértice, se forma un ángulo
incluido. Se lo muestra como θ en el diagrama de la izquierda.
Estos números usados no tienen un significado especial, sólo
muestran los 4 ángulos. Cuando semirrectas o segmentos se
intersecan pero no tienen un vértice común, también forman 4
ángulos.
Cuando dos rectas se intersecan, se forman 4 ángulos, se los
numera como en el diagrama de abajo a la derecha.
A
A
2
3
1
4
B
θ
B
3
C
1
4
C
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Dos rectas________________ se encuentran en más
de un punto.
10
Dos rectas________________ se encuentran en más
de un punto.
A
Siempre
A
Siempre
B
Algunas veces
B
Algunas veces
C
Nunca
C
Nunca
Respuesta
10
2
θ
B
[This object is a pull
tab]
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12 Un ángulo que es menor a 90 grados___________
es obtuso.
Siempre
A
Siempre
B
Algunas veces
B
Algunas veces
C
Nunca
C
Nunca
Respuesta
A
Respuesta
11 Un ángulo que mide 90º __________ es un ángulo
recto.
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13 Un ángulo que es mayor que 180 grados se lo
conoce _______ como un ángulo reflejo.
Siempre
B
Algunas veces
C
Nunca
Ángulos
Congruentes
Respuesta
A
Volver a la tabla
de contenidos
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Congruencia
Congruencia
Aprendimos anteriormente que si dos segmentos tienen la
misma longitud son congruentes.
Práctica de
matemática
Aprendimos anteriormente que si dos segmentos tienen la
misma longitud son congruentes.
a
También, todos los
segmentos de igual
longitud son
congruentes.
b
Las preguntas en la
diapositiva direcciona a MP6 a
y MP3
También, todos los
segmentos de igual
longitud son
congruentes.
b
[This object is a pull tab]
¿Estos segmentos
son congruentes?
Explica tu respuesta.
¿Estos segmentos
son congruentes?
Explica tu respuesta.
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Congruencia
Congruencia
¿Qué tendría que ser igual para cada uno de ellos para ser
congruentes?
D
A
B
C
¿Qué se puede decir de dos ángulos formados por dos
semirrectas con vértices
comunes. ¿Son
congruentes?
Las preguntas
en la
Práctica de
matemática
¿Qué se puede decir de dos ángulos formados por dos
semirrectas con vértices comunes. ¿Son congruentes?
diapositiva
direcciona
a MP6
¿Qué tendría que
ser igual para
cada uno de
ellos para ser
y MP3
congruentes?
[This object is a pull tab]
F
E
D
A
B
C
F
E
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Congruencia
Congruencia
Si dos ángulos tienen la misma medida, son congruentes ya que
pueden ser rotados y movidos para superponerse en cada punto.
Sin embargo, si hay ángulos que no tienen igual medida, no
se los puede hacer superponer en cada punto.
Para que los ángulos sean congruentes necesitan tener igual
medida.
D
A
¿Estos ángulos son
congruentes? Explica tu
respuesta.
A
B
F
E
C
B
C
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Congruencia
Sin embargo, si hay ángulos que no tienen igual medida, no
se los puede hacer superponer en cada punto.
Sin embargo, si hay ángulos que no tienen igual medida, no
se los puede hacer superponer en cada punto.
Práctica de
matemática
Para que los ángulos sean congruentes necesitan tener igual
Las medida.
preguntas en la
Para que los ángulos sean congruentes necesitan tener igual
medida.
diapositiva direcciona a MP6
y MP3
¿Estos ángulos son
congruentes? Explica tu
respuesta.
F
Aquí puedes ver
claramente cuando
rotamos los dos
ángulos de la
diapositiva anterior, no
tienen la misma
medida.
D
A
[This object is a pull tab]
E
D
B
C
F
C
E
B
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Ángulos congruentes
Una manera para indicar que dos ángulos tienen igual medida es
nombrarlos con la misma variable.
Por ejemplo, nombrando ambos de esos ángulos con xº
indicamos que tienen igual medida.
D
Ángulos congruentes
Otra manera de mostrar que los ángulos son congruentes es
marcar el ángulo con una recta. Si hay 2 conjuntos iguales de
ángulos, el segundo conjunto podría ser marcado con dos
rectas.
A
xº
B
E
D
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Congruencia
A
F
D
A
F
xº
C
B
C
E
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Sí
No
D
A
A
Siempre
B
Algunas veces
C
Nunca
F
E
C
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16 El ∠A y el∠B son ______.
Respuesta
A
17 El ∠E y el ∠F son _______.
B
Congruentes
B
No Congruentes
C
No se puede
determinar
A
Congruentes
B
No Congruentes
C
No se puede
determinar
F
Respuesta
B
15 Los ángulos congruentes ___________ tienen igual
medida
Respuesta
Respuesta
14 ¿El ∠B es congruente al ∠E ?
A
E
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El ∠C y el ∠D son congruentes.
19 El ∠C y el ∠D son congruentes
D
D
Verdadero
Verdadero
B
Falso
C
No se puede determinar
C
Falso
Respuesta
A
Respuesta
18
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C
Slide 56 / 190
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Ángulos adyacentes
Ángulos y Postulado
de la Suma de
Ángulos
Los ángulos adyacentes
comparten un vértice y un
lado.
D
A
Los dos ángulos están lado a
lado o adyacentes.
En este caso, el ángulo DBA es
adyacente al ángulo ABC.
Volver a la tabla
de contenidos
B
C
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Postulado de la Suma de
Ángulos
Postulado de la Suma de
Ángulos
MP6
D
Explica y emfatiza la importancia y
diferencias
entre las notaciones y
El postulado de lalas
suma
de
D
símbolos al nombrar
y dar la
ángulos dice quelos
la suma
A
de las medidasmedida
de los de los ángulos.
Práctica de
matemática
A
ángulos adyacentes
formasignifica "ángulo DBC"
ej ∠DBC
la medida del ángulo
mientras que m∠DBC significa "la
formado por sus
medida del ángulo DBC"
semirrectas exteriores.
B
B
C
En este caso, m∠DBC = m∠DBA + m∠ABC
En este caso, m∠DBC = m∠DBA + m∠ABC
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Postulado de la Suma de Ángulos
Además, dice que si cualquier
punto descansa en el interior
de un ángulo, entonces la
semirrecta conectando ese
punto al vértice, forma dos
ángulos adyacentes cuya
suma es la del ángulo
original.
Si A descansa en el interior
del ángulo DBC entonces
m∠DBA + m∠ABC = m∠DBC
Ejemplo del Postulado de la
Suma de Ángulos
P
m∠PQS = 32°
D
C
[This object is a pull tab]
A
S
m∠SQR = 26°
32°
26°
Q
B
C
Lo cual da el mismo resultado que teníamos antes.
m∠DBC = m∠DBA + m∠ABC
¿Cuál es la medida del ∠PQR?
R
Respuesta
El postulado de la suma de
ángulos dice que la suma
de las medidas de los
ángulos adyacentes forma
la medida del ángulo
formado por sus
semirrectas exteriores.
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Ejemplo del Postulado de la
Suma de Ángulos
Respuesta
B
Si m∠ANJ = (7x +11)°,
A
m∠ANB = (15x + 24)°,
Resuelve para x.
22°
J
(7x+11)°
C
46°
)°
24
x+
5
(1
y m∠BNJ = (9x + 204)°.
A
B
N
Slide 63 / 190
Slide 64 / 190
21 Dados m∠ OLM = 64° y m∠ OLN = 53°.
Calcula m∠ NLM.
22 Dados m∠ ABD = 95° y m∠ CBA = 48°.
O
B 15
64°
48°
N
53°
D 117
C
95°
L
M
B
Slide 65 / 190
D
Slide 66 / 190
23 Dados m∠ KLJ = 145° y m∠ KLH = 61°.
24 Dados m∠ TRS = 61° y m∠ SRQ = 153°.
Respuesta
Calcula m∠ HLJ.
H
Calcula m∠ QRT.
Respuesta
C 11
A
Respuesta
Respuesta
Calcula m∠ DBC.
A 28
R
S
K
D
Calcula m∠ ABD.
Respuesta
A está en el interior de
∠BNJ.
20 Dados m∠ ABC = 22° y m∠ DBC = 46°.
61°
61°
153°
145°
L
Q
J
T
Slide 67 / 190
Slide 68 / 190
26 D está en el interior de ∠ ABC.
Si m∠ CBA = (11x + 66)⁰,
m∠ TUC = (14x + 18)⁰ y
m∠ DBA = (5x + 3)⁰ y
Respuesta
Si m∠ TUV = (10x + 72)⁰,
m∠ CUV = (9x + 2)⁰
Resuelve para x.
Respuesta
25 C está en el interior de ∠ TUV.
m∠ CBD= (13x + 7)⁰
Resuelve para x.
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r
Pregunta 2/25
27 F está en el interior de ∠DQP.
Respuesta
m∠DQP = (3x + 44)⁰
m∠FQP = (8x + 3)⁰
m∠DQF= (5x + 1)⁰
Resuelve para x.
La figura muestra las rectas r, n,
and p intersecándose para formar
ángulos numerados como 1, 2, 3,
4, 5, y 6. Todas las rectas están en
el mismo plano.
28 En base a la figura, ¿cuál de las
afirmaciones individuales
proveerían suficiente información
para concluir que r es
perpendicular a la recta p?
6
5
4
Selecciona todas las que aplican.
A m∠2 = 90°
B m∠ 6 = 90°
C m∠3 = m∠6
D m∠1 + m∠6 = 90°
E m∠3 + m∠4 = 90°
F m∠4 + m∠5 = 90°
From EOY PARCC sample test
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Transportadores
Transportadores
Los ángulos se miden en
grados usando un
transportador.
Cada ángulo tiene una
medida que va de 0 a 180
degrees.
Se puede dibujar ángulos de
cualquier tamaño.
Volver a la tabla
de contenidos
n
1
2
3
p
no está
hecho a
escala
Respuesta
Slide 69 / 190
Slide 73 / 190
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Transportadores
Transportadores
D
A
B
C
B
C
∠DBC es un ángulo de 118° .
La medida del ∠DBC es 118°.
∠ABC es un ángulo de 23° grados
La medida del ∠ABC es 23° grados
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Transportadores
Transportadores
La pregunta de esta diapositiva
direcciona a MP6 y MP2
D
A
C
B
Preguntas: adicionales que
podrían usarse
¿Qué información tienes?
A
(MP1)
¿Qué necesitas calcular? (MP1)
¿Cómo puedes hacerlo
C
mentalmente?
(MP5)
B
¿Puedes imaginar y controlar?
[This object is a pull tab]
A partir de nuestros resultados
(MP 1 yanteriores
MP5) sabemos que
Práctica de
matemática
D
A partir de nuestros resultados anteriores sabemos que
m∠DBC = 118° y m∠ABC = 23°.
De manera que, el Postulado de la Suma de Ángulos nos dice
que la m∠DBA ¿debe ser cuál?
m∠DBC = 118° y m∠ABC = 23°.
De manera que, el Postulado de la Suma de Ángulos nos dice
que la m∠DBA ¿debe ser cuál?
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Respuesta
29 ¿Cuál es la m del ∠CJD?
Transportadores
A 39°
D
B 54°
F
C 130°
A
E
B
G
D
D 180°
C
Sin aquellos primeros resultados, podríamos leer en el
transportador el valor de 118° y 23° obtener la medida del ángulo
incluido 95°.
C
J
H
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Slide 79 / 190
30 ¿Cuál es la m del ∠CJG
31 ¿Cuál es la m del∠DJE?
A 39°
Respuesta
B 54°
F
E
G
D
F
C 39°
E
D 15°
C
H
J
C
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33 ¿Cuál es la m del ∠DJF?
Respuesta
32 ¿Cuál es la m del ∠EJG?
A 54°
B 76°
F
E
D 130°
A 39°
B 51°
F
C 90°
G
D
C
D 141°
H
J
E
G
D
C
H
J
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Slide 83 / 190
34 m∠ PJK =
35 m∠ PJM =
M
Respuesta
L
N
K
P
H
J
Slide 80 / 190
C 90°
G
D
L
Respuesta
D 180°
B 54°
Respuesta
C 130°
Respuesta
A 141°
M
N
K
J
O
P
J
O
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Slide 85 / 190
L
M
L
M
N
N
K
K
P
O
J
P
O
J
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Slide 87 / 190
L
M
L
Respuesta
39 m∠ NJM =
Respuesta
38 m∠ PJN =
M
N
N
K
K
P
O
J
P
O
J
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Slide 89 / 190
L
M
L
Respuesta
41 m∠ LJK =
Respuesta
40 m∠ MJL =
M
N
N
K
P
Respuesta
37 m∠ PJL =
Respuesta
36 m∠ PJO =
K
J
O
P
J
O
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Respuesta
42 m∠ NJK =
M
L
N
Pares Especiales de
Ángulos
K
P
O
J
Volver a la tabla
de contenidos
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Ángulos Complementarios
Ángulos Complementarios
Los ángulos adyacentes complementarios formar un
ángulo recto.
Los ángulos complementarios son ángulos cuya suma mide 90º.
Se dice que un ángulo tal es complementario al otro.
Podrían ser adyacentes, pero no es necesario.
A
25o
D
65o
El ángulo ABD y el
ángulo DBC son
complementarios ya que
forman el ángulo ABC,
que es un ángulo recto.
25o
Complementarios Adyacentes
B
65o
C
Complementarios no
adyacentes
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Slide 95 / 190
Respuesta
44 ¿Cuál es el complementario de un
ángulo cuya medida es 28°?
Respuesta
43 ¿Cuál es el complementario de un
ángulo cuya medida es 72°?
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Slide 97 / 190
Ejemplo
¿Cuál es su medida?
Respuesta
Respuesta
Dos ángulos son complementarios.
El ángulo más grande tiene dos veces la medida del ángulo
más pequeño. ¿Cuál es la medida de ambos ángulos?
45 Un ángulo tiene 34° más que su complementario.
Llamamos x = ángulo pequeño; llamamos = 2x al ángulo más grande
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46 Un ángulo tiene 14° que su complementario.
Respuesta
¿Cuál es la medida del ángulo?
Ángulos suplementarios
Los ángulos suplementarios son ángulos cuya suma mide 180º.
Los ángulos suplementarios pueden ser adyacentes, pero no
necesariamente.
Se dice que un ángulo es suplementario al otro.
25o
155o
25o
155o
Suplementarios
adyacentes
también conocidos
como. Par lineal
Slide 100 / 190
Ángulos suplementarios
Dos ángulos cualquiera que o llano son suplementarios.
O, dos ángulos adyacentes cuyos lados exteriores sean semirrectas
opuestas son suplementarios.
D
B
C
A
Si el ángulo ABC es un ángulo llano, su medida es 180°.
Entonces el ángulo ABD y el ángulo DBC son suplementarios ya que la
suma de sus medidas es 180°.
Suplementarios no adyacentes
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Ángulos complementarios vs.
ángulos suplementarios
Existen 2 maneras en las que uno puede recordar la diferencia entre
ángulos suplementarios y complementarios. :
- Forma 1 - Orden: Piensa en el orden de las primeras letras en cada
palabra y el número que representan. C va antes que S en el
abecedario y 90 está antes que 180 en la recta numérica, de manera
que complementario significa que sumados dan 90º y
suplementarios significa que sumandos dan 180º
- Forma 2 - Visual: Agrega una línea a cada letra para comenzar a
formar el número asociado con él. .
C
Agregando una línea a la "C",
formas un 9, para 90º
S
Agregando una línea a la "S",
formas un 8, para 180º
Slide 101 (Answer) / 190
Slide 102 / 190
Práctica de
matemática
Ángulos complementarios vs.
ángulos suplementarios
47 ¿Cuál es el suplementario del ángulo cuya medida es
72°?
Las conecciones mostradas
representan a MP2 y MP4
Respuesta
Existen 2 maneras en las que uno puede recordar la diferencia entre
ángulos suplementarios y complementarios. :
- Forma 1 - Orden: Piensa en el orden de las primeras letras en cada
palabra y el número que representan. C va antes que S en el
abecedario y 90 está antes que 180 en la recta numérica, de manera
que complementario significa que
sumados dan 90º y
[This object is a pull tab]
suplementarios significa que sumandos dan 180º
- Forma 2 - Visual: Agrega una línea a cada letra para comenzar a
formar el número asociado con él. .
C
S
Agregando una línea a la "S",
formas un 8, para 180º
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48 ¿Cuál es el suplementario de un ángulo cuya medida
es 28°?
Respuesta
¿Cuál es la medida del ángulo?
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Respuesta
49 Lo medida de un ángulo es 98° más que su
suplementario.
Slide 106 / 190
50 La medida de un ángulo es 74° menos que su
suplementario
51 La medida de un ángulo es 26° más que su
suplementario.
¿Cuál es la medida del ángulo?
Respuesta
¿Cuál es la medida del ángulo?
Respuesta
Agregando una línea a la "C",
formas un 9, para 90º
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Ángulos opuestos por el vértice
(verticales)
Ángulos verticales
∠ABC y ∠DBE son
ángulos verticales
A
Los ángulos verticales son dos ángulos cuyos lados forman dos
pares de semirrectas opuestas.
Donde sea que dos rectas se corten, se forman dos pares de
ángulos verticales.
∠ABC y ∠DBE
son ángulos
verticales y
∠ABE & ∠CBD
son ángulos
verticales.
A
B
E
∠ABE y ∠CBD son
ángulos verticales.
C
A
D
B
E
C
E
B
C
D
D
Slide 109 / 190
Slide 110 / 190
Demostración de Ángulos verticales
Ángulos verticales
Afirmaciones
Razones
Podemos demostrar importantes propiedades sobre esos tres
casos especiales:
ángulos que son complementarios,
ángulos que son suplementarios
y ángulos verticales.
1) m∠ABD = (5x + 3)°
m∠DBC = (13x + 7)° 1) Dadas
m∠ABC = (11x + 66)°
La demostración usa dos columnas, una columna hace una
afirmación y la columna siguiente provee la razón.
Debajo hay una demostración con formato 2 columnas usadas
para calcular el valor de x en el diagrama de la derecha.
3) 5x + 3 + 13x + 7
= 11x + 66
2) m∠ABD + m∠DBC
= m∠ABC
)⁰
Vamos a usar mucho las demostraciones, de manera que vamos
+a 66
(11x
A
usar el formato como ese ejemplo para demostrar
los tres
⁰
3) D
teoremas.
+
4) 18x + 10 = 11x + 66
(Ver la siguiente diapositiva.)
6) 7x = 56
5x
(
B
(13x + 7)⁰
C
Slide 111 / 190
5) 7x + 10 = 66
7) x = 8
A
2) Postulado Suma
de Ángulos
B
3) Sustitución
Propiedad de igualdad
(11x
⁰
3) D
+
x
(5
(13x + 7)⁰
+ 66
)⁰
C
4) Combinar términos
semejantes/Simplificar
5) Resta Propiedad de
igualdad
6) Resta Propiedad de
igualdad
7) División Propiedad
de igualdad
Slide 112 / 190
Demostraciones de
dos columnas
Demostraciones
Ángulos especiales
Las demostraciones comienzan con un objetivo: aquello que estamos
intentando demostrar.
No son exploraciones abiertas-cerradas, pero están directamente
dirigidas a un fin específico.
Conocemos la última afirmación de cada prueba cuando
comenzamos esto es lo que estamos intentando probar.
No conocemos la razón por anticipado.
Volver a la tabla
de contenidos
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Teorema de los Complementos
Congruentes
Teorema: Los ángulos que son complementarios al
mismo ángulo son iguales.
Dados: Los ángulos 1 y 2 son complementarios
Los ángulos 1 y 3 son complementarios
Slide 114 / 190
Teorema de los Complementos
Congruentes
Teorema: Los ángulos complementarios al mismo ángulo son
iguales.
Razón 1
Afirmación 1
Los ángulos 1 y 2 son complementarios Dado
Los ángulos 1 y 3 son complementarios
Demostración: m∠ 2 = m∠ 3
¿Qué sabemos sobre la suma de las medidas de los ángulos
complementarios?
Slide 114 (Answer) / 190
Teorema de los Complementos
Congruentes
Slide 115 / 190
Teorema de los Complementos
Congruentes
MP7
Teorema: Los ángulos
complementarios
al mismo
Deje claro
que el primer
paso ángulo son
iguales.demostración
para cualquier
Práctica de
matemática
es establecer lo "Dado".
Razón 1
Afirmación 1
Luego, se usan las
Dado
Los ángulos 1 y propiedades
2 son complementarios
de la primera
Los ángulos 1 y 3 son complementarios
afirmación para hacer
preguntas y continuar para
resolver la prueba.
La pregunta en esta diapositiva
direcciona
MP6
[This object is a pullatab]
¿Qué sabemos sobre la suma
de las medidas de los ángulos
complementarios?
Slide 115 (Answer) / 190
Práctica de
matemática
Teorema de los Complementos
Congruentes
Afirmación 2
m∠1 + m∠2 = 90
m∠1 + m∠3 = 90
Razón 2
Definición de ángulos
complementarios
Afirmación 2
m∠1 + m∠2 = 90
m∠1 + m∠3 = 90
Si igualamos las ecuaciones de arriba a 90 grados, ¿cómo
están relacionadas entre sí? Explica cómo lo sabes.
Slide 116 / 190
Teorema de los Complementos
Congruentes
Las preguntas en esta
diapositiva direccionan a
MP2, MP3 y MP6.
Razón 2
Definición de ángulos
[This object iscomplementarios
a pull tab]
Si igualamos las ecuaciones de arriba a 90 grados, ¿cómo
están relacionadas entre sí? Explica cómo lo sabes.
Afirmación 3
m∠1 + m∠2 = m∠1 + m∠3
Razón 3
Sustitución
propiedad de
igualdad
¿Hay algo igual en ambos lados de la ecuación? Si
es así, qué podemos hacer hacer para simplificar la
ecuación? ¿Por qué es posible?
Slide 116 (Answer) / 190
Slide 117 / 190
Práctica de
matemática
Teorema de los Complementos
Congruentes
Teorema de los Complementos
Congruentes
Las preguntas en esta
diapositiva direccionan a
MP2, MP3 y MP6.
Afirmación 3
m∠1 + m∠2 = m∠1 + m∠3
Razón 3
Sustitución
propiedad de
[This object is aigualdad
pull tab]
Razón 4
Resta propiedad de
igualdad
Afirmación 4
m∠2 = m∠3
¿Hay algo igual en ambos lados de la ecuación? Si
es así, qué podemos hacer hacer para simplificar la
ecuación? ¿Por qué es posible?
¿Qué podemos hacer establecer la demostración?
Slide 118 / 190
Slide 119 / 190
Teorema de los suplementarios
congruentes
Teorema de los Complementos Congruentes
Dado: Los ángulos 1 y 2 son complementarios
Los ángulos 1 y 3 son complementarios
Prueba: m∠2 = m∠3
Teorema: Los ángulos que son suplementarios al mismo
ángulo son iguales
Dado:
Afirmación
Razón
Los ángulos 1 y 2 son
complementarios
Los ángulos 1 y 3 son
complementarios
Dado
Los ángulos 1 y 2 son suplementarios
Los ángulos 1 y 3 son suplementarios
Demostración: m∠2 = m∠3
m∠ 1 + m∠ 2 = 90
Definición de ángulos
complementarios
m∠ 1 + m∠ 3 = 90
m∠ 1 + m∠ 2 = m∠ 1 + m∠ 3
Sustitución Propiedad de
igualdad
m∠ 2 = m∠ 3
Resta propiedad de igualdad
Esta es por tanto la última prueba que vamos a hacer a
partir de la que examinaremos la prueba total.
Slide 120 / 190
Teorema de los suplementarios
congruentes
Dado:
Los ángulos 1 y 2 son suplementarios
Los ángulos 1 y 3 son suplementarios
Slide 121 / 190
Teorema de los ángulos
verticales
Los ángulos verticales tienen igual
medida
A
Demostración: m∠2 = m∠3
Afirmación
Razón
Los ángulos 1 y 2 son
suplementarios
Los ángulos 1 y 3 son
suplementarios
Dadps
m∠ 1 + m∠ 2 = 180
m∠ 1 + m∠ 3 = 180
Definición de ángulos
suplementarios
m∠ 1 + m∠ 2 = m∠ 1 + m∠ 3
Sustitución propiedad de
igualdad
m∠ 2 = m∠ 3
Resta propiedad de igualdad
E
1 2
4 3
B
C
D
Dado: recta AD y recta EC son rectas horizontales que se cortan
en el punto B y forman los ángulos 1, 2, 3 y 4.
Probar: m∠1 = m∠3 y m∠2 = m∠4
Slide 122 / 190
Slide 122 (Answer) / 190
Teorema de los ángulos
verticales
A
1 2
4 3
B
MP7
2 el primer paso
Deje claro 1que
4 3 demostración
para
E cualquier
C
B
es establecer lo "Dado".
D se usan las
Luego,
propiedades de la primera
afirmación para hacer
La primera afirmación se enfocará en qué está dado lo cual
preguntas
y continuar
hace
a esta situación
única. para
resolver la prueba.
C
Práctica de
matemática
E
Teorema de los ángulos
verticales
A
D
La primera afirmación se enfocará en qué está dado lo cual
hace a esta situación única.
En este caso, es sólo lo dado
En este caso,
esissólo
lo dado
[This object
a pull tab]
Slide 123 / 190
Slide 123 (Answer) / 190
1 2
4 3
B
E
Afirmación 1
La recta AD y la recta EC
son rectas horizontales que
se cortan en el punto B y
forman los ángulos 1, 2, 3
y4
Teorema de los ángulos
verticales
A
Práctica de
matemática
Teorema de los ángulos
verticales
A
C
D
1 2
La pregunta
sobre esta
4 3 direcciona
E
C
diapositiva
a MP1.
B
Entonces sabemos que queremos saber algo sobre la relación
entre los pares de ángulos verticales. : ∠ 1 y ∠ 3 así como también
∠2 y ∠4
¿Qué sabemos sobre esos cuatro ángulos que lo dado pueda
ayudarnos con ellos?
Teorema de los ángulos
verticales
A
D
E
∠1 y ∠4 son suplementarios
Respuesta
C
∠1 y ∠2 son suplementarios
∠2 y ∠3 son suplementarios
∠3 y ∠4 son suplementarios
Todos los de arriba
A
E
1 2
4 3
B
D
[This object is a pull tab]
Slide 125 / 190
52 Sabemos que los ángulos _____________.
B
Razón 1
Dado
Entonces sabemos que queremos saber algo sobre la relación
entre los pares de ángulos verticales. : ∠ 1 y ∠ 3 así como también
∠2 y ∠4
¿Qué sabemos sobre esos cuatro ángulos que lo dado pueda
ayudarnos con ellos?
Slide 124 / 190
A
D
Afirmación 1
La recta AD y la recta EC
son rectas horizontales que
se cortan en el punto B y
forman los ángulos 1, 2, 3
y4
Razón 1
Dado
C
E
1 2
4 3
B
C
D
Afirmación 2
∠1 y ∠2 son suplementarios
∠1 y ∠4 son suplementarios
∠2 y ∠3 son suplementarios
∠3 y ∠4 son suplementarios
Razón 2
Los ángulos que forman un
par lineal son suplementarios
¿Qué sabemos sobre dos ángulos que son suplementarios al
mismo ángulo, tal como ∠2 y ∠4 que son ambos suplementarios
de ∠1?
Slide 125 (Answer) / 190
Slide 126 / 190
Teorema de los ángulos
verticales
A
Práctica de
matemática
Teorema de los ángulos
verticales
A
La
1 2
4 3
E
pregunta Bde
esta C
diapositiva
direcciona
a
MP7.
D
¿Qué sabemos sobre dos ángulos que son suplementarios al
mismo ángulo, tal como ∠2 y ∠4 que son ambos suplementarios
de ∠1?
Vamos a observar el hecho de que ∠2 y ∠4 son ambos
suplementarios a ∠1
y que 1 y 3 son ambos suplementarios a ∠4, ya que eso relaciona
a los ángulos verticales que son de nuestro interés.
Teorema de los ángulos
verticales
A
Práctica de
matemática
C
E
El comentario
en la parte
D
inferior de esta diapositiva
direcciona a MP7.
Los ángulos que forman un
par lineal son suplementarios
[This object is a pull tab]
Vamos a observar el hecho de que ∠2 y ∠4 son ambos
suplementarios a ∠1
y que 1 y 3 son ambos suplementarios a ∠4, ya que eso relaciona
a los ángulos verticales que son de nuestro interés.
Slide 128 / 190
Prueba: m∠1 = m∠3 y m∠2 = m∠4
Afirmación
D
Razón
La recta AD y la recta EC son
rectas horizontales que se cortan
Dado
en el Punto B y forman los
ángulos 1, 2, 3 y 4.
∠ 1 y ∠ 2 son suplementarios
∠ 1 y ∠ 4 son suplementarios
∠ 2 y ∠ 3 son suplementarios
Los ángulos que forman un par
lineal son suplementarios
∠ 3 y ∠ 4 son suplementarios
m∠ 1 = m∠ 3 y m∠ 2 = m∠ 4
Dos ángulos suplementarios al
mismo ángulo son iguales
C
Afirmación 3
m∠1 = m∠3
m∠2 = m∠4
Razón 3
Dos ángulos suplementarios
al mismo ángulo son iguales
Pero aquellos son los pares de ángulos verticales que nos
disponemos a probar que son iguales.
De manera que, nuestra prueba terminó: los ángulos
verticales son iguales.
Slide 129 / 190
Teorema de los ángulos Averticales
1 2
4 3
B
1 2
4 3
B
D
Razón 2
Dado: AD y EC son ángulos horizontales
que se cortan en el Punto B y forman los
ángulos 1, 2, 3 y 4
E
Los ángulos que forman un
par lineal son suplementarios
Slide 127 / 190
Teorema de los ángulos
verticales
A
Afirmación 2
∠1 y ∠2 son suplementarios
∠1 y ∠4 son suplementarios
∠2 y ∠3 son suplementarios
∠3 y ∠4 son suplementarios
Razón 2
Afirmación 2
∠1 y ∠2 son suplementarios
∠1 y ∠4 son suplementarios
∠2 y ∠3 son suplementarios
∠3 y ∠4 son suplementarios
Slide 126 (Answer) / 190
1 2
4 3
B
C
D
Razón 2
Afirmación 2
∠1 y ∠2 son suplementarios
Los ángulos que forman un
∠1 y ∠4 son suplementarios
[This object is a pull
tab] lineal son suplementarios
par
∠2 y ∠3 son suplementarios
∠3 y ∠4 son suplementarios
E
1 2
4 3
B
E
Teorema de los ángulos verticales
C
Hemos demostrado que los ángulos verticales son
congruentes.
Esto se convierte en un teorema que podemos usar en
pruebas futuras.
También podemos resolver problemas con él.
Slide 130 / 190
Slide 130 (Answer) / 190
Ángulos verticales
Ángulos verticales
Dado: m∠ABC = 55o, resuelve para x, y y z.
55o
xo
yo
B
zo
C
D
Slide 131 / 190
Slide 132 / 190
Ejemplo
Ángulos verticales
Calcula m∠1, m∠2 y m∠3. Explica tu respuesta
Dado: m∠ABC = 55°
Sabemos que x + 55 = 180°, ya que son suplementarios
Y que y = 55°, ya que son ángulos verticales.
y que x = z por la misma razón.
A
E
125o 55o
55o B125o
3
C
77°
C
113°
D
ninguno de los de
arriba
1
2
Slide 134 / 190
Respuesta
53 ¿Cuánto mide el ángulo 1?
103°
2
original y m∠2)
m∠3 = 144°; Los ángulos verticales son congruentes (m∠1 y m∠3)
Slide 133 / 190
A
36 + m∠1 = 180
m∠1 = 144°
Los pares de ángulos
lineales son
suplementarios
m∠2 = 36°; Los ángulos verticales son congruentes (ángulo
D
B
1
36o
77°
3
54 ¿Cuánto mide el ángulo 2?
A
77°
B
103°
C
113°
D
ninguno de los de
arriba
Respuesta
E
Práctica de
matemática
A
Este ejemplo direcciona a MP2
Dado: m∠ABC = 55o, resuelve para x, y y z.
Preguntas adicionales que podrían
A
usarse:
¿Qué información se te está
dando? (MP1
¿Qué necesitas calcular? (MP1)
55o
xo (MP4)
¿Qué conecciones ves?
o
¿CómoEpuedes hacer
eso
yo B z
C
mentalmente? (MP5)
¿Cómo se relaciona esta pregunta
con los ángulos
suplemetarios?
[This object is a pull tab]
(MP7) D
1
2
77°
3
Slide 135 / 190
Slide 136 / 190
Respuesta
A
77°
B
103°
C
113°
D
ninguno de los de
arriba
1
2
A
112°
B
78°
Respuesta
56 ¿Cuánto mide el ángulo 4?
55 ¿Cuánto mide el ángulo 3?
C
102°
D
ninguno de los de
arriba
77°
D) medida
3
4
112°
6
5
B
Slide 137 / 190
Slide 138 / 190
B
68°
C
102°
D
ninguno de los de
arriba
4
A
102°
B
78°
C
112°
D
ninguno de los de
arriba
4
112°
6
6
5
Slide 139 / 190
Ejemplo
(13x + 16)°
(14x + 7)°
Calcula el valor de x.
Respuesta
Los ángulos mostrados son
verticales de manera que son
congruentes.
5
Slide 140 / 190
Ejemplo
Calcula el valor de x
112°
(2x + 8)°
Los ángulos mostrados
son suplementarios
(3x + 17)°
Respuesta
112°
Respuesta
A
Respuesta
58 ¿Cuál es la m∠6?
57 ¿Cuánto mide el ángulo 5?
Slide 141 / 190
Slide 142 / 190
60 Calcula el valor de x
95
B
C
50
45
D
40
85o
A
75
B
17
C
13
D
12
Respuesta
A
Respuesta
59 Calcula el valor de x
(2x - 5)o
75o
(6x + 3)o
Slide 143 / 190
Slide 144 / 190
13.1
B
14
C
15
D
122
Respuesta
A
A
Respuesta
62 Calculal el valor de x.
61 Calcula el valor de x.
12
B
13
C
42
D
138
122o
(7x + 54)o
(9x - 4)o
Slide 145 / 190
42o
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Bisectriz de un ángulo
Bisectrices
A
La bisectriz de un ángulo
es una semirrecta o recta
que comienza en el vértice
y corta a un ángulo en dos
mitades iguales
X
B
Volver a la tabla
de contenidos
La semirrecta BX
bisecta al
∠ABC
C
Bisectar significa cortar en dos partes iguales. La "bisectriz" es la
cosa que corta.
La bisectriz de un ángulo es equidistante desde los lados del ángulo
medido a lo largo de un segmento perpendicular a los lados del
ángulo.
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Slide 148 / 190
Calculando la medida que falta
Respuesta
Ejemplo: el ∠ABC es bisectado por la semirrecta BD. Calcula las
medidas de los ángulos que faltan.
A
E
H
56o
Respuesta
63 El ∠ EFG es bisectado por FH. La m∠ EFG = 56º.
Calcula las medidas de los ángulos que faltan.
D
F
52°
C
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L
M
(x + 10)
65 La semirrecta NP bisecta a ∠MNO Dado que
Respuesta
64 MO bisecta a ∠LMN. Calcula el valor de x.
m∠MNP = 57°, ¿cuál es la m∠MNO?
Pista:
o
click para
revelar
¿Qué significa bisectar?
Dibuja y coloca nombres a la imagen
O
(3x - 20)o
Respuesta
B
G
N
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Slide 152 / 190
67 La semirrecta VY bisecta a ∠UVW. Dado que
66 La semirrecta RT bisecta a ∠QRS. Dado que
Respuesta
¿cuál es la m∠UVY?
Respuesta
m∠UVW = 165o,
m∠QRT = 78°, ¿cuál es la m∠QRS?
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69 La semirrecta FH bisecta a ∠EFG. Calcula el valor
de x.
A
Respuesta
valor de x.
D
(7x + 3)o
H
E
Respuesta
68 La semirrecta BD bisecta a ∠ABC. Calcula el
(9x - 17)o
(3x + 49)o
(11x - 25)o
B
F
C
Slide 155 / 190
G
Slide 156 / 190
70 La semirrecta JL bisecta a ∠IJK. Calcula el valor de x.
(7x + 1)o
Respuesta
I
Locus
y
Constructiones
de ángulos
L
(12x - 19)o
J
K
Volver a la tabla
de contenidos
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Slide 157 / 190
Práctica de
matemática
Construcción de ángulos congruentes
Locus
La lección entera con
y direcciona a
construcciones
MP5
Constructiones
de ángulos
[This object is a pull tab]
Dado: ∠FGH
Construye: ∠ABC de modo que ∠ABC ≅ ∠FGH
Nuestro enfoque estará basado en la idea que la medida de un
ángulo es cuánto habríamos rotado una semirrecta para
superponerla con la otra.
Cuanto más grande la medida de un ángulo, más separadas ellas
están a medida que las mueves desde el vértice.
F
Volver a la tabla
de contenidos
G
H
Slide 158 / 190
Construcción de ángulos congruentes
De modo que, si salimos una distancia fijada desde el vértice sobre
ambas semirrectas y dibujamos puntos ahí, la distancia en que
aquellos puntos se apartan uno del otro define la medida del ángulo.
A mayor distancia, mayor la medida del ángulo.
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Construcción de ángulos congruentes
1. Dibuja una recta de referencia con el lado horizontal. Ubica un
punto de referencia (B) para indicar donde la nueva semirreca
comenzará sobre la recta.
Si construimos otro ángulo cuyas semirrectas están separadas a la
misma distancia desde el vértice, este será congruente al primer
ángulo.
F
F
G
G
H
H
Slide 160 / 190
B
Slide 161 / 190
Construcción de ángulos congruentes
Construcción de ángulos congruentes
2. Ubica la punta del compás sobre el vértice G y ábrelo para
cualquier longitud siempre y cuando el arco trazado corte
ambas semirrectas.
4. Sin cambiar la extensión del compás, ubica la punta del compás
en el punto de referencia B y mueve un arco de vaya desde la
recta y por encima de él.
3. Dibuja un arco que corte ambas semirrectas del ∠FGH.
(Esto define una distancia común desde el vértice en ambas
semirrectas ya que el arco es parte de un círculo y todos sus
puntos son equidistantes desde el centro del círculo)
(Esto define igual distancia desde el vértice sobre ambas, nuestra
semirrecta de referencia y la semirrecta que usábamos para el
ángulo original).
F
F
G
H
G
B
Slide 162 / 190
Construcción de ángulos congruentes
5. Ahora ubicaremos nuestro compás donde el arco corta una
semirrecta del ángulo original y lo fijaremos de modo que se pueda
dibujar un arco donde se cruza con la otra semirrecta.
(Esto define cuán apartadas están las semirrectas a esa distancia
desde el vértice)
B
H
Slide 163 / 190
Construcción de ángulos congruentes
6. Sin cambiar la apertura del compás ubica la punta del compás
donde el primer arco cruza a la primera semirrecta y dibuja un arco
que corta al arco sobre la semirrecta.
(Esto hará la separación entre las seirrectas igual a la misma
distancia desde el nuevo vérticce coo era el caso para el ángulo
original)
F
F
G
G
H
B
H
B
Slide 164 / 190
Slide 165 / 190
Construcción de ángulos congruentes
Construcción de ángulos congruentes
Debería estar claro que esos dos ángulos son congruentes. La
semirrecta FG tendría que ser rotada la misma cantidad para
superponerse con la semirrecta GH que la semirrecta AB para
superponerse con la semirrecta BC.
6. Ahora usa tu lado horizontal para dibujar la segunda semirrecta
del nuevo ángulo que es congruente con el primer ángulo.
Observa que donde ubicamos el punto no es relevante, sólo la
forma del ángulo indica congruencia.
F
F
A
C
B
H
G
Slide 166 / 190
Slide 167 / 190
Construcción de ángulos congruentes
Intenta ésto!
Construye un ángulo congruente sobre el segmento dado.
Podemos confirmar poniendo un sobre el otro.
B
1)
A
F
C
B
H
Notas para el
profesor
G
A
P
Q
A
R
B
G
H
C
Slide 168 / 190
Slide 169 / 190
Intenta ésto!
Video demostrativo de construcción de
ángulos congruentes usando el Software
de Geometría dinámica
Construye un ángulo congruente sobre el segmento dado.
2)
C
E
L
Click aquí para ver el
video
J
K
Slide 170 (Answer) / 190
Bisectrices y
Construcciones
Práctica de
matemática
Slide 170 / 190
La lección entera con
construcciones direcciona a
MP5
Bisectrices y
Construcciones
[This object is a pull tab]
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de contenidos
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de contenidos
Slide 171 / 190
Construcción de bisectrices
Como aprendimos anteriormente, una bisectriz divide a un
ángulo en dos ángulos adyacentes de igual medida.
Para dibujar una bisectriz usaremos un enfoque similar al que
usamos para construir un ángulo congruente, ya que, en este
caso, estaremos construyendo dos ángulos congruentes.
Slide 172 / 190
Construcción de bisectrices
1. Con la punta del compás sobre el vértice, dibuja un arco que
corte ambas semirrectas.
(Esto establecerá una distancia fijada desde el vértice en ambas
semirrectas).
U
U
V
V
W
W
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Construcción de bisectrices
2. Sin cambiar la apertura del compás, ubica la punta del comàs sobre
la intersección de cada arco y la semirrecta y dibuja un nuevo arco de
tal manera que los dos arcos se corten en el interior del ángulo.
(Esto fija la distancia desde cada semirrecta original al la nueva
semirrecta para ser la misma, de manera que los dos nuevos ángulos
serán congruentes)
Slide 174 / 190
Construcción de bisectrices
3. Con una regla, dibuja una semirrecta desde el vértice y
pasando por la intersección de los arcos y coloca el nombre a
un punto allí.
Porque sabemos que la distancia de cada semirrecta original a
la nueva semirrecta es la misma, en la misma distancia desde
el vértice, sabemos que las medidas de los nuevos ángulos es
la misma y que m∠UVX = m∠XVW
U
U
X
V
V
W
W
Slide 175 / 190
Slide 176 / 190
Intenta ésto!
Intenta ésto!
Notas para el
profesor
Bisecta el ángulo
3)
Bisecta el ángulo
4)
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Construcción de bisectrices con cuerda,
varilla, lápiz y regla
Todo lo que hacemos con un compás puede ser hecho con una
varilla y una cuerda. En ambos casos, la idea es marcar un
centro (o la punta del compás o la varilla) y luego dibujar una
parte de un círculo manteniendo un radio fijo (con la apertura
del compás o la longitud de la cuerda fijos).
Slide 178 / 190
Construcción de bisectrices con cuerda,
varilla, lápiz y regla
1. Con la varilla sobre el vértice, dibujamos un arco cruzando a
cada lado.
U
V
Slide 179 / 190
Construcción de bisectrices con cuerda,
varilla, lápiz y regla
2. Ubicamos la varilla sobre la intersecciones de cada arco con
los lados y dibujamos 2 arcos, uno desde cada lado de manera
que quede un punto de intersección entre ellos.
W
Slide 180 / 190
Construcción de bisectrices con cuerda,
varilla, lápiz y regla
3. Con una regla, conectamos el vértice con la intersección de
los arcos. Nombra ese punto.
m∠UVX = m∠XVW
U
U
X
V
W
V
W
Slide 181 / 190
Slide 182 / 190
Intenta ésto!
Intenta ésto!
Bisecta el ángulo con cuerda, varilla, lápiz y regla.
5)
Slide 183 / 190
Construcción de bisectrices mediante
plegado
1. Sobre tu papel de calcar, traza cualquier ángulo que elijas. Hazlo
tan grande como el papel. Marca los puntos A, B y C.
Slide 185 / 190
Construcción de bisectrices mediante
plegado
3. Despliega el papel. Dibuja una semirrecta a lo largo del pliegue,
comenzando desde el punto B. Dibuja y coloca nombre a un punto
sobre la semirrecta.
Bisecta el ángulo con cuerda, varilla, lápiz y regla.
6)
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Construcción de bisectrices mediante
plegado
2. Pliega tu papel de calcar de manera que la semirrecta BA quede
alineada. Se forma un pliegue.
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Intenta ésto!
Bisecta el ángulo mediante plegado.
7)
Slide 187 / 190
Slide 188 / 190
Intenta ésto!
Videos demostrativos para la
construcción de bisectrices usando
Software de Geometría
Bisecta el ángulo mediante plegado.
8)
Click aquí para ver video
usando compás y la
herramienta segmento
Click aquí para ver video
usando el menú opciones
Slide 190 / 190
Preguntas de muestra para la
prueba. PARCC
La diapositiva restantes de esta presentación contiene una pregunta
tomada de la prueba de muestra PARCC.
Después de terminar la unidad 2, deberías ser capaz de responder
esta pregunta.
Buena suerte!
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de contenidos
Pregunta 2/25
r
La figura muestra la intersección de
las rectas r, n, y p que forman los
ángulos 1, 2, 3, 4, 5, y 6. Las tres
rectas están en el mismo plano.
71 En base a la figura, ¿Cuál de las
afirmaciones proveería suficiente
información para concluir que r
es perpendicular a la recta p?
Selecciona todas las que aplican.
A m∠2 = 90°
D m∠1 + m∠6 = 90°
B m∠ 6 = 90°
E m∠3 + m∠4 = 90°
C m∠3 = m∠6
F m∠4 + m∠5 = 90°
6
5
4
n
1
2
3
p
no está hecho
a escala
Respuesta
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