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Guías Modulares de Estudio
Matemáticas II
Parte A
Semana 1:
Ángulos
Ángulos y Triángulos
• Objetivo
– Resolver problemas geométrico mediante la medición de ángulos en el
plano y su clasificación y la medición de triángulos utilizando
razonamientos analógicos y deductivos.
Ángulos y Triángulos
• Conceptos Preliminares
– En geometría, punto, recta y plano son términos primitivos en virtud de que
cualquier intento de definirlos implicaría el uso de términos geométricos menos
familiares. A continuación dicho conceptos de describen.
• Punto. El punto geométrico no tiene dimensiones, sólo posición. Para
representar el punto geométrico se utiliza el punto gráfico, que no es el
punto geométrico, del mismo modo que un punto en una representa a una
ciudad, pero no es la ciudad.
.A
.B
.P
• Recta. La línea se representa con una figura como la siguiente:
Las puntas de las flechas indican que la figura se puede prolongar en
ambos sentidos tanto como se quiera. Para referirse a una recta (notación)
se pueden seleccionar dos de sus puntos a los que se asocian los letras
mayúsculas. El símbolo AB se lee “recta AB”
A
B
Ángulos y Triángulos
– La línea recta también se puede designar (denotar) por medio de una sola letra
minúscula.
m
– El símbolo m lee “recta m”
– La línea recta carece de anchura y espesor, sólo tiene longitud
• Plano. La cubierta de una mesa nos da ida de los que es un plano, es decir,
una superficie que se extiende indefinidamente. La superficie tiene dos
dimensiones: longitud y anchura, pero carece de espesor. La sombra que un
edificio proyecta sobre el piso, ejemplifica una superficie. Un plano se
representa con una figura como la siguiente:
P
Q
Plano P
Plano Q
Ángulos y Triángulos
• Sólido
– En la siguiente figura se representa un paralelepípedo
D
A
E
C
B
G
F
– Dicho cuerpo tiene como característica peso, dimensiones, forma, color,
sustancia y ocupa un lugar en el espacio.
– El sólido del ejemplo tiene seis caras que constituyen sus límites. Cada cara es
una superficie. A su vez, cada dos caras adyacentes tienen como límite común a
una línea y cada dos líneas adyacentes tienen como límite común un punto.
– Las figuras geométricas cuyas partes están todas en un mismo plano
constituyen el objeto de estudio de la geometría plano o bidimensional, es decir,
de dos dimensiones: longitud, anchura y altura o profundidad.
Ángulos y Triángulos
• Posición de dos rectas en el plano
– Dos rectas en el plano puedes estar en alguna de las tres posiciones siguientes:
• Rectas paralelas. Dos rectas en el plano son paralelas cuando la distancia
entre ellas es constante.
– Para denotar rectas paralelas se utiliza el símbolo //. Así a // b se lee
“recta a paralela a la recta b.”
a
a
b
b
• Rectas perpendiculares. Dos rectas en el plano son perpendiculares
cuando al intersecarse forman un ángulo recto.
N
A
B
B
M
M
A
N
Ángulos y Triángulos
– Rectas oblicuas. Dos rectas no paralelas en el plano son oblicuas cuando al
intersecarse no forman un ángulo recto, es decir, cuando no son
perpendiculares.
– Semirrecta. Una semirrecta o rayo se representa con una figura como la
siguiente:
A
• La figura indica que el rayo comienza o que tiene su origen en O, pasa por A
en línea recta y se prolonga indefinidamente como indica la flecha. Una
semirrecta o rayo se denota por dos letras mayúsculas que corresponden al
origen y a un punto del rayo; el símbolo OA se lee “rayo OA”, y representar
una rayo que tiene su origen en O y pasa por el punto A.
Ángulos y Triángulos
m
A
B
– A los puntos A y B se les llama extremos del segmento. El segmento se denota
mediante dos letras mayúsculas colocadas en sus extremos, o bien, con una
letra minúscula colocado en medio del trazo. Segmento AB, o bien, AB;
segmento m, o bien m.
– Medida de un segmento. Medir un segmento es compararlo con otro que se
toma como unidad de medida. Si tratamos de medir la distancia entre dos
ciudades o entre dos puntos de esta filmina, es evidente que en cada caso se
tendrá que utilizar la unidad de longitud del sistema métrico decimal que resulte
más conveniente.
Ángulos y Triángulos
• Medida de ángulos
– Si se considera el ángulo como resultado de un movimiento de rotación en el
que una semirrecta (lado inicial) gira alrededor de su origen y recorre el plano
hasta coincidir con la otra semirrecta (lado final), diremos que el valor o
magnitud del ángulo depende de la amplitud de rotación de la semirrecta que
lo ha generado y no de la longitud de sus lados.
– El uso adecuado del transportador requiere que:
• A) El centro del instrumento coincida con el diámetro señalado por la
línea 0° - 180°.
• B) La lectura se haga en la escala cuyo cero está sobre un lado del
ángulo.
• C) Si el insturmento resulta grande la medición del ángulo, se prolonga
los lados de éste.
Ángulos y Triángulos
• Congruencia de ángulos
– Dos ángulos son congruentes cuando tienen la misma amplitud, es decir, la
misma medida.
• Clasificación de los ángulos
–
–
–
–
Ángulo agudo, es aquel cuyo valor es menor de 90°.
Ángulo recto, es aquel cuyo valor es de 90°
Ángulo obtuso, es aquel cuyo valor es mayor de 90° pero menor de 180°.
Ángulo llano, es aquel cuyo valor de 180°, también se le llma ángulo de lados
colineales, porque sus lados están situados sobre una misma línea recta. Sin
embargo, de ninguna manera se debe confundir una línea recta con un ángulo
llano.
Ángulos y Triángulos
Ángulo agudo
Ángulo obtuso
Ángulo recto
Ángulo llano
Ángulos y Triángulos
•
Pares de ángulos
– Ángulos adyacentes: Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y un
lado común situado entre los lados comunes.
– Ángulos complementarios: Son dos ángulos cuya suma de medición es de
90°. Cada uno de los ángulos es suplemento del otro.
Ángulos y Triángulos
– Ángulos suplementarios. Son los ángulos cuya suma de medidas es de
180°. Cada uno de los ángulos es suplemento del otro.
Ángulos y Triángulos
•
Ángulos opuestos por el vértice.
– Son ángulos cuyos lados forman dos pares de rayos opuestos.
Ángulos y Triángulos
•
Pares de ángulos formados por dos
rectas paralelas cortadas por una
transversal (secante).
– Dos paralelas cortadas por una transversal
forman ocho ángulos, cuatro llamados
internos, por estar situados dentro de las
paralelas y cuatro llamados externos, por
estar fuera de ellas.
Propiedades que se obtienen son:
b=e ; a=f ; g=g ; d=h
Ángulos correspondientes
g=f ; d=e
Ángulos alternos internos
b=h ; a=g
Ángulos alternos externos
b=d ; g=a ; e=h ; f=g
Ángulos opuestos por el
vértice
Semana 2:
Triángulos
Ángulos y Triángulos
•
Triángulos
– Un triángulo se representa con la siguiente figura:
•
Características:
– Todo triángulo consta de 3 vértices que son las intersecciones de las rectas.
– Los segmentos que unen los vértices se llaman lados del triángulo.
– Los lados del triángulo forman tres ángulos que se llaman ángulos internos del
triángulo.
– En todo triángulo los ángulos internos suman 180º.
– En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos lados y mayor
que su diferencia.
Ángulos y Triángulos
•
Clasificación de los triángulos
según sus lados
– Triángulo escaleno, es aquel que no
tiene lados iguales
– Triángulo isósceles, es aquel que
tiene, por lo menos, dos lados iguales.
– Triángulo equilátero, es aquel que
tienes su tres lados iguales.
Ángulos y Triángulos
•
Clasificación de los triángulos según sus
ángulos
– Triángulo rectángulo es el que tiene un
ángulo recto. Los lados que forman el ángulo
recto (L) se llaman catetos y el lado opuesto
a dicho ángulo se llama hipotenusa.
– Triángulo obtusángulo e que el tiene ángulo
obtuso
– Triángulo acutángulo es el que tiene sus
tres ángulos agudos
– Los
triángulos
acutángulos reciben el
oblicuángulos porque
cualesquiera caen en
respecto al tercer lado.
obtusángulos
y
nombre de triángulos
dos de sus lados
forma oblicua con
Ángulos y Triángulos
•
Puntos y rectas notables
– Circuncentro. Se llama circuncentro al
punto de intersección de las mediatrices
de los lados de un triángulo.
– Ortocentro. Se llama ortocentro al
punto de intersección de las alturas (o
de sus prolongaciones) de un triángulo.
– Baricentro.
Se
llama
baricentro
(gravicentro o centroide) al punto de
intersección de las medianas de un
triángulo.
– Incentro. Se llama incentro al punto de
intersección de las bisectrices de los
ángulos interiores del triángulo.
Ángulos y Triángulos
•
Suma de los ángulos interiores de un triángulo
– Teorema: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
•
Ángulo exterior de un triángulo
– Teorema: Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos
ángulos interiores no adyacentes a él.
Ángulos y Triángulos
•
Congruencia
– Se llaman figuras congruentes aquellas que tienen la misma forma y el mismo
tamaño, de manera que al colocar una sobre la otra coinciden en sus partes
correspondiente, es decir, una es copia de la otra. Dos triángulos son iguales si
al color uno sobre el otro coinciden en todas sus partes. Los lados y ángulos
que coinciden se llaman elementos homólogos o correspondientes.
Ángulos y Triángulos
• Razones y proporciones
– Razón geométrica
• Es el número que se obtiene al comparar dos magnitudes por cociente.
• Si a y b son dos números (b ≠ 0), la razón entre el par ordenado de
números a, b es el cociente a/b que se puede expresar a:b y que en ambos
casos se lee “a es a b”
• Cuando la razón se establezca entre dos números cuyas cantidades
representen medidas de la misma especie, se expresará en la misma
unidad de medida.
• En la razón a/b, a es el antecedente y be es el consecuente.
Ángulos y Triángulos
• Proporción
– Se llama proporción a la igualdad de dos razones.
• Si las razones a : b y c : d son iguales, la expresión a : b = c : d es una
proporción que también se puede expresar así a/b = c/d y en ambos casos
se lee “a es a b como c es a d”
• Las cantidades a, b c y d se llama términos de la proporción, siendo a en
este caso el primer término, b el segundo, c el tercero y de el cuarto. Los
términos primero y cuarto ( a y d) son los extremos y los términos segundo y
tercero (b y c) son los medios; mientras que a y c son los antecedentes, b y
d los consecuentes.
Ángulos y Triángulos
•
Semejanzas
– Se llaman triángulos semejantes a los triángulos que tienen ángulos
respectivamente congruentes y sus lados homólogos son proporcionales.
– La relación de semejanza se denota con el símbolo ~, de esta manera la
expresión ΔABC ~ ΔA’B’C’ se lee: “ el triángulo ABC es semejante al triángulos
A prima, B prima, C prima.
Examen muestra (Semana 1 y 2)
• Dos ángulos cuya suma es de 90° se llaman:
• Un triángulo que tiene por lo menos dos lados iguales se
denomina
• Dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común
comprendido entre los lados no comunes se llaman:
• Según sus lados, los triángulos se clasifican en:
• Según su amplitud los ángulos se clasifican en:
• Trazar los siguientes triángulos:
–
–
–
–
A) Escaleno
B) Equilatero
C) Isósceles
D) Equilatero de 4 cm por lado.
Semana 3:
Polígonos
Polígonos y circunferencia
• Objetivo
– Realizar problemas relacionados con polígonos y circunferencias, mediante la
aplicación y el análisis de teoremas, rectas, triángulos y ángulos.
Polígonos y circunferencia
• Polígonos
– Como se puedes observar, la línea poligonar o quebrada está formada por
segmentos rectílineos colocados uno a continuación del otro y siguiendo
distintas direcciones, siendo el extremo final del primero coincidente con el
extremo inicial del segundo, el extremo final de éste es el extremo inicial del
tercero y así sucesivamente.
B
D
A
C
E
Polígonos y circunferencia
•
Polígono convexo
– Un polígono es convexo cuando cualquier recta secante sólo lo coarte en dos de
sus lados, y también cuando al trazar una recta coincidente con uno de los lados
del polígono, los demás lados de éste quedan del mismo lado del plano con
respecto a la recta.
•
Polígono cóncavo
– Un polígono es cóncavo cuando una recta secante puede cortarlos en más de
dos de sus lados, y cuando al trazar una recta coincidente con uno de los lados
del polígono, los demás lados de éste no quedan del mismo lado del plano con
respecto a la recta.
Polígonos y circunferencia
•
Diagonales
– En un polígono se llaman diagonal al segmento de recta que une dos vértices
no consecutivos. Un triángulo no tiene diagonales, pues dos vértices
cualesquiera son necesariamente consecutivos.
– Polígono equilátero es aquel que tiene todos su lados congruentes, es decir,
todos su lados tienen la misma medida.
– Polígono equiángulo es aquel que tiene todos su ángulos congruentes, es
decir, todos sus ángulos tienen la misma medida.
– Polígono regular es aquel que es equilátero y equiángulo, es decir, tiene sus
lados iguales y sus ángulos iguales.
– Polígono irregular es aquel que no cuenta con las dos características que
distinguen a un polígono regular, es decir, no tiene sus lados y ángulos iguales.
Polígonos y circunferencia
•
Clasificación e los polígonos
– Polígonos irregulares
• Los cuadriláteros se clasifican, por la posición relativa de sus lados, en
paralelogramos, trapecios y trapezoide.
• Paralelogramo. Es el cuadrilátero que tiene paralelos sus lados opuestos y
al cual se llama también romboide.
– El paralelogramo tiene las siguientes propiedades.
» 1. Los lados opuestos al paralelogramo son iguales
» 2. Las diagonales del paralelogramo se bisecan mutuamente, es
decir, una a otra se cortan por mitad
» 3. Los ángulos opuestos del paralelogramo son iguales
» 4. Dos ángulos consecutivos del paralelogramo son
suplementarios
Polígonos y circunferencia
– Son paralelogramos el rectángulo, el rombo y el cuadrado.
– Rectángulo. Es el paralelogramo que tiene un ángulo recto. Por la forma en
que se ha definido, sabemos que el rectángulo tiene todas las propiedades
del paralelogramo.
– Rombo. Es el paralelogramo que tiene dos lados consecutivo iguales. El
rombo tiene la propiedad de que sus diagonales son perpendiculares y
bisectrices de los ángulos cuyos vértices une.
– Trapecio. Es el cuadrilátero que tiene sólo un para de lados opuestos
paralelos. Los lados paralelos se llama bases. Un trapecio puede ser
rectángulo, isósceles y escaleno.
– Trapezoide. Es el cuadrilátero que no tiene paralelos ningún para de lados
opuestos.
Polígonos y circunferencia
•
Polígonos regulares
– Un polígono es regular cuando es equilátero y equiángulo, es decir, será
polígono regular cualesquiera que cumpla las dos condiciones.
– Como en todo triángulo a los lados se iguales se oponen ángulos iguales, el
triángulo equilátero es además equiángulo y por tanto es un polígono regular.
Polígonos y circunferencia
•
Suma de ángulos interiores de polígonos regulares
Polígono
Número de
lados
Número de
diagonales
Número de
triángulos
Suma de los
ángulos
interiores
Triángulo
3
0
1
1(180°) = 180°
Cuadrilátero
4
1
2
2(180°) = 360°
Pentágono
5
2
3
3(180°) = 540°
Hexágono
6
3
4
4(180°) = 720°
Heptágono
7
4
5
5(180°) = 900°
Octágono
8
5
6
6(180°) = 1080°
N - ágono
n
n-3
n-2
(n-2) = (180°)
Polígonos y circunferencia
• Cálculo de perímetros y áreas
– Perímetro del rectángulo se obtiene multiplicando por dos la suma de su ancho
y su largo (es decir, base más altura)
D
a
C
P=a+b+a+b
P=a+a+b+b
b
b
A
a
B
P = 2a + 2b
P = 2(a+b) (Fórmula)
– Perímetro del rombo, se obtiene multiplicando por cuatro la longitud del lado.
a
D
C
b
A
b
a
B
P=a+a+a+a
P = 4a (Fórmula)
Polígonos y circunferencia
• Cálculo de perímetros y áreas
– Perímetro del trapecio se obtiene sumando los que miden su cuatro lados.
D
a
C
b
P = a + b + c + d (Fórmula)
b
A
a
B
– Perímetro del cuadrado se obtiene multiplicando por cuatro la longitud del lado.
D
C
P=a+a+a+a
P = 4a (Fórmula)
A
a
B
Polígonos y circunferencia
• Área del cuadrado
– El área de un cuadrado se obtiene elevando al cuadrado la longitud de uno de
sus lados.
• Si la longitud del lado es a el área A es:
A = a² (Fórmula)
• Área del rectángulo
– Dado un rectángulo de base b y altura h, si se trazan cuatro rectángulos iguales
a él y se disponen, se forman dos cuadrados cuya diferencia de áreas es el
cuádruplo del área del rectángulo dado.
– Restando las dos igualdades miembro a miembro obtenemos la diferencia de las
áreas de los cuadrados: 4A = 4bh
A = bh (Fórmula)
– El área de un rectángulo se obtiene multiplicando la base por la altura ( o el
largo por el ancho).
Polígonos y circunferencia
• Área del paralelogramo
– Dado el paralelogramo ABCD, si desde los extremos de su base se trazan
perpendiculares al lado opuesto, se forma el rectángulo ABC’D’.
– El paralelogramo ABCD y el rectángulo ABC’D’ son figuras equivalentes por
tener la misma área, ya que el triángulo BCC’ es equivalente al triángulo ADD’.
D
A
D’
C
B
A
D
C’
C
B
– Si en el paralelogramo su base es b y su altura es h entonces su área es:
A = bh (Fórmula)
Polígonos y circunferencia
• Área del triángulo
– Dado un triángulo, si se traza otro igual a él y se disponen como se indica en la
figuras, se forma un paralelogramo cuya área es del doble del área del triángulo
dado.
– La base y la altura del triángulo es la bases y la altura del paralelogramo, por
tanto:
Área del paralelogramo = bh
Área del triángulo = bg/2
– Si en un triángulo su base es b y su altura es h entonces su área es:
A = bh/2
– El área del un triángulo es igual a la mita del producto que resulta de multiplicar
su bases por su altura.
h
base
Polígonos y circunferencia
•
Área del trapecio
– Dado el trapecio ABCD, si se traza otro igual a él y se dispone como se indica en
la figura, se forma el paralelogramo AEFD cuya área es el doble del trapecio
dado.
b’
D
C
F
b
h
h
A
b
B
b’
E
– El paralelogramo AEFD su base es AE y su latura es h, por tanto:
Área del paralelogramo = (AE)/h Área del trapecio = (AE)h / 2
-
Siendo AE = b + b’ y sustituyendo AE por su igual, el área del trepcio es
A = (b + b’)h / 2
El área de un trapecio es igual a la mitad del producto que resulta de multiplicar
la suma de sus bases por su altura.
Polígonos y circunferencia
• Área del rombo
– Sabemos que en un rombo las diagonales son perpendiculares entre sí y se
cortan mutuamente por la mitad, de manera que se forman cuatro triángulos
congruentes. En la figura, la diagonal AB divide el rombo en dos triángulos
congruentes ΔABC =≈ ΔABD; entonces el área del rombo es el doble del área de
uno de los triángulos.
– Si AB = d1 y CD=d2 es:
A = d1 (1/2 d2) / 2
Entonces el área del rombo es el doble del área del ΔABC
Área del rombo = 2 [d1 (1/2 d2) / 2]
A = ½ d 1 d2
- El área del rombo es igual a la mitad del producto qeu resulta de multiplicar sus
diagonales.
C
A
B
D
Polígonos y circunferencia
• Área de un polígono regular
– En un polígono regular, si de su centro se trazan segmentos a cada uno de los
vértices, se forman tantos triángulos iguales como lados tenga el polígono. El
área del polígono regular será igual al área de un triángulo multiplicada por el
número de triángulos. Si el lado del polígono es l y la altura de cada triángulo.
• Es a (apotema del polígono), el área de un triángulo es: la /2
• Si el polígono tiene n lados se forman n triángulos, entonces:
» Área del polígono n (la /2)
• Como nl es el perímetro P del polígono, el área de éste es:
– A = Pa / , o bien, A = ½ Pa (Fórmula)
• El área de un polígono regular es iguala a la mitad del producto que resulta
de multiplicar su perímetro por su apotema.
Polígonos y circunferencia
•
Circunferencia y círculo
– La circunferencia es una curva cerrado cuyos
puntos están en un mismo plano y a igual
distancia de otro punto interior fijo que se llama
centro de la circunferencia.
– El círculo es la superficie del plano limitado por
una circunferencia
– La circunferencia es una línea y por ello sólo
tiene longitud, mientras que el círculo es una
superficie y por tanto tiene área.
Polígonos y circunferencia
• Elementos de la circunferencia
– Radio. Es el segmento de recta que une el centro de la circunferencia con un
punto cualquiera de la misma.
– Diámetro. Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
– Cuerda. Es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia
– Arco. Es una parte de la circunferencia.
• Arco menor. Es aquel que mide menos que una semicircunferencia
• Arco mayor. Es aquel que mide más que una semicircunferencia
– Semicircunferencia. Es un argo de longitud igual a la mitad de la circunferencia
– Semicírculo. Es la región del plano comprendida entre un diámetro y la
semicircunferencia.
Polígonos y circunferencia
– Tangente: Es la recta que toca a la circunferencia en un punto. Este punto
único se llama punto de tangencia o punto de contacto.
– Secante: Es la recta que corta la circunferencia en dos puntos (partes)
Polígonos y circunferencia
•
Ángulos
– Ángulo central: Es aquel que está formado por dos radios.
– Ángulo inscrito: Es aquel que está formado por dos cuerdas y tiene su vértice
sobre la circunferencia
– Ángulo interior. Es aquel que está formado por dos cuerdas que se cortan
– Ángulo exterior. Es aquel que está formado por dos secantes que se cortan
en un punto fuera del círculo.
Ángulo interior
Ángulo exterior
Semana 4:
Polígonos y Circunferencia
Polígonos y circunferencia
• Medida del ángulo central
– Un ángulo central se mide por el arco comprendido entre sus lados.
– La unidad para medir los ángulos es el grado que, equivale a la amplitud de
rotación de una semirrecta que gira 1/360 de vuele alrededor de su origen.
– La unidad para medir arcos es la longitud del arco comprendido entre los lados
de un ángulo central que mide un grado.
• 1/360 de vuela es un grado, unidad angular
• 1/360 de circunferencia es un grado, unidad de arco
– La medida de un ángulo central es igual a la del arco comprendido entre sus
lados.
Teorema: Todo ángulo inscrito en una circunferencia tiene por
medida la mitad de la del arco comprendido entre sus lados.
Polígonos y circunferencia
Teorema: Todo ángulo formado por dos cuerdas que se cortan (ángulo
interior) tiene por medida la semisuma de las medidas de los arcos
comprendidos entre sus lados
Teorema: Todo ángulo formado por dos secantes que se cortan fuera de la
circunferencia (ángulo exterior) tiene por medida la semidiferencia de las
medidas de los arcos comprendidos entre sus lados.
Teorema: Todo ángulo formado por tangente y cuerda (ángulo semiinscrito)
tiene por medida la mitad de la medida del arco subtendido por la cuerda.
Polígonos y circunferencia
•
Conversión de medidas angulares
– En el sistema de medida circular o cíclica, se toma como unidad del ángulo
cuya medida es la del arco de longitud igual al radio, este ángulo unidad se
llama radián.
AOB es un radián
AB = r
– Como la longitud de la circunferencia es: C = 2π r, el rado r = 1, entonces C=
2π radianes. Por otra parte, C= 360°
2π = 360°
Dividiendo la igualdad entre 2π:
2 π / 2 π = 360°/ 2 π
1 = 180° / π
Polígonos y circunferencia
• Perímetro
– Se ha establecido que π es la razón entre la longitud de la circunferencia
y la longitud de diámetro, lo cual se expresa así: π = C/d entonces
C=πd, y no como el diámetro es igual a dos radios (d=2r) C= 2 πr.
– La longitud de una circunferencia se obtiene multiplicando π por el
diámetro, o lo que es lo mismo π por el doble del radio.
• Ejemplo:
– Calcular la longitud de una circunferencia que mide 5 cm de
radio.
– r=5cm, C= 2 π r
– C = 2(3.1416)(5)= 31.416cm
Polígonos y circunferencia
• Área
– Considerando el círculo como un polígono regular de un número ilimitado de
lados, el área del círculo se puede obtener aplicando la fórmula para los
polígonos regulares A = Pa/2, sólo que el perímetro del círculo es la longitud de
las circunferencia (P = C = 2 π r) y la apotema es igual al radio (a = r).
– Por tanto:
»
»
»
»
A = Pa/2
A = (2 π r) ( r )
A = 2π r² / 2
A = π r²
– El área de un círculo se obtiene multiplicando π por el
cuadrado del radio.
Polígonos y circunferencia
•
Homotecia
– La homotecia nos permite construir figuras semejantes a una escala determina.
– Dos figuras homotéticas son figuras semejantes que cumplen con la condición
de que las rectas que determinan sus puntos homólogos son concurrentes en
un punto al que se le llama centro de homotecia.
Polígonos y circunferencia
• Sólidos
– La geometría se divide para su estudio en dos partes que son: La geometría
plana y la geometría del espacio. En la geometría plana se estudian las
figuras planas de dos dimensiones como los triángulos, los polígonos, el círculo,
etc.; así como aquellas figuras de una sola dimensión tales como líneas rectas y
curvas que se representan en el plano.
– La geometría plana estudia figuras que tienen sus elementos en un mismo
plano.
– En la geometría del espacio o geometría tridimensional se estudian las
figuras que tienen tres dimensiones: longitud o largo, latitud o ancho y altura o
profundidad.
– Dichas figuras son conocidas como cuerpos geométricos, sólidos geométricos o
simplemente sólidos. Los sólidos son espacios limitados por superficies planas o
curvas.
– La superficie s plan cuando al unir dos puntos cualesquiera de la misma, la recta
que determinan está contenida en dicha superficie. Cuando esa condición no se
cumple se tiene una superficie curva.
Polígonos y circunferencia
•
Poliedros
– Los cuerpos geométricos limitados por superficies planas reciben el nombre de
poliedros.
– Se llaman caras a los planos que limitan el poliedro, a la intersección de dos de
sus caras se le llama arista y a la intersección de las aristas se les llaman vértices.
– La diagonal de un poliedro uno dos vértices situadas en caras distintas.
– Los ángulos diedros se forman entre dos caras que concurren en una misma arista
– Los ángulos sólidos o ángulos poliedros se forman por las caras que se intersecan
en un mismo vértice.
Polígonos y circunferencia
• Poliedros convexos
– Los poliedros pueden ser convexos o cóncavos. Son convexos cuando quedan
situados del mismo lado del plano que contiene una de sus caras.
• Poliedros regulares e irregulares
– Los poliedros pueden ser regulares e irregulares. Son regulares cuando tienen
todas su caras iguales e irregulares cuando no todas sus caras son iguales.
– Los poliedros regulares sólo son cinco: el tetraedro, el exaedro, el octaedro, el
dodecaedro y el icosaedro.
– El tetraedro tiene cuatro caras iguales, cada uno de las cuales es un triángulo
equilátero.
– El exaedro o cubo tiene seis caras iguales, cada un a de ella es un cuadrado.
– El octaedro tiene ocho caras iguales, cada una de ellas es un triángulo
equilátero.
– El dodecaedro tiene doce caras iguales, cada una de ellas es un pentágono
regular.
– El icosaedro tiene veinte caras iguales, cada una de ellas es un triángulo
equilátero.
Polígonos y circunferencia
• Poliedros regulares e irregulares
Polígonos y circunferencia
•
Prisma
– El prisma es un poliedro que tiene dos caras opuestas
paralelas que son polígonos iguales y sus otras caras
son paralelogramos.
– A las dos caras poligonales iguales que están en planos
paralelos se les llama bases. A las otras caras se les
conoce como caras laterales. Las intersecciones de dos
caras laterales son las aristas laterales.
– La altura de un prisma es el segmento de recta
perpendicular a las bases y comprendido entre ellas.
– Si en un primas sus aristas laterales son
perpendiculares a las bases se dice que el prisma es
recto y cada arista lateral es igual a la altura.
Polígonos y circunferencia
•
Paralelepípedos
– El prisma cuyas bases son paralelogramos se llama paralelepípedo; si las
bases rectángulos y sus aristas laterales son perpendiculares a las bases
entonces se le llama paralelepípedo rectángulo o ortoedro.
Paralelepípedo
rectángulo
Paralelepípedo
Ortoedro
Paralelepípedo
•
Área de un prisma
– El área de un prisma puede ser lateral o total.
– El área lateral es el área que corresponde a las caras laterales.
– El área total es el área de todas sus caras, es decir, es la suma del área lateral
más el área de las dos bases.
– Fórmulas para calcular el área lateral y total de un prisma
• Sea
– A1 = área lateral
– At = área total
– P = perímetro de la sección recta o de la base si el prisma es recto
– a = arista lateral
– h = altura del prisma recto
– B = área de una de las bases
• Entonces se tienen las siguientes fórmulas:
– Al = Pa (área lateral de un prisma cualquiera)
– Al = Ph (área lateral de un prisma recto)
– At = Pa + 2B (área total de un prisma cualquiera)
– At = pH + 2B (área total de un prisma recto)
Polígonos y circunferencia
•
Área y volumen del cubo
– Si se considera al cubo como un prisma recto en el que sus bases y caras
laterales son cuadrados iguales, entonces llamando a a la arista del cubro se
tiene que el perímetro de la base es:
P = 4a
– Sustituyendo en las fórmulas para las áreas y volumen del prisma se tiene para
el área lateral:
A1 = Ph
A1 = 4a.a
A1 = 4a²
Entonces el área lateral del cubo se obtiene multiplicando por 4 el
cuadrado de su arista. Para el área total:
A1 = Ph + 2B
A1 = 4a² + 2a²
A1 = 6a²
Es decir, el área total del cubo se obtiene multiplicando por 6 el cuadrado
de su arista.
Para el volumen
V = Bh
V = a² a
V = a³
Polígonos y circunferencia
• Sólidos redondos
– Se les llama así a los sólidos o cuerpos limitados por caras curvas. Son
ejemplos de cuerpos redondos el cilindro, el cono y la esfera.
– Superficie cilíndrica
• Es una superficie plana generad por una recta que se mueve en forma
paralela a sí misma apoyándose sobre una línea curva indefinida. Se
pueden observar superficies cilíndricas en una vaso, una lata de refresco y
una lámina acanalada.
– Cilindro
• Es un sólido geométrico limitado por una superficie cilíndrica cerrada y por
dos superficies planas y paralelas.
– Sólidos de revolución
• Se les llama así a los sólidos que se generan por la revolución o rotación de
una superficie plana sobre uno de sus lados que se toma como eje. Son
sólidos de revolución el cilindro circular recto, el cono circular recto y la
esfera.
Polígonos y circunferencia
– Cilindro circular recto
• Es un sólido de revolución generado por la rotación de un rectángulo en
torno de uno de sus lados. El lado del rectángulo que es paralelo al que
sirve de eje de rotación es la generatriz del cilindro, porque es línea que
genera la superficie lateral del sólido.
– Área lateral de cilindro circular recto
• Se obtiene multiplicando la circunferencia de una de sus bases por la altura
– Fórmula: A1 = π dh,
» Como d = 2r, también se puedes expresar
» A1 = 2 π rh
– Área total del cilindro circular recto
• Se obtiene sumando el área lateral, el área de sus dos bases
– Fórmula: AT= πdh + 2 πr², o bien
» AT= 2 π rh + 2 πr²
Polígonos y circunferencia
• Volumen del cilindro circular recto
– Se obtiene multiplicando el área de una de sus bases por la altura.
• Fórmula: V = πr²h
– Superficie cónica
• Es la superficie generada por una recta que se mueve de manera
que pasa siempre por un fijo exterior al plano que contiene a una
curva también fija a la que intercepta en toda su extensión la rectra
móvil.
• La recta móvil es la generatriz, a la curva plana se llama directriz y
al punto fijo, vértice.
– Cono
• Se llama así al sólido geométrico que está limitado por una
superficie cónica cerrada y por un plano que corta la generatriz en
todas sus posicones.
• La altura del cono es el segmento de recta perpendicular al plano
de la base, comprendido entre dicho plano y el vértice.
Polígonos y circunferencia
– Superficie esférica
• Es la superficie formada por los puntos del espacio que equidistan de un
punto fijo. Dicho puntos están sujetos a una condición dada por lo que
constituye un lugar geométrico, de manera que la superficie esférica se
pueda definir como: el lugar geométrico de todos los puntos del espacio que
equidistan de un punto fijo denominado centro.
– Esfera
• Es el sólido geométrico limitado por una superficie esférica. La esfera es un
sólido de revolución que se genera por la rotación de un semicírculo
alrededor de su diámetro.
• Mientras el semicírculo genera la esfera, la semicircunferencia
correspondiente, genera la superficie esférica, el radio y el diámetro
permanecen constantes. Por eso es que el centro, el radio y el diámetro de
la esfera son respectivamente iguales al centro, el radio el diámetro del
círculo generador.
– Sección esférica
• Si un plano corta una esfera, la sección que se obtiene es un círculo
Polígonos y circunferencia
– Polos
• En una esfera los polos de un círculo son los puntos extremos del diámetro
perpendicular a dicho círculo.
– Área de la esfera
• Se obtiene multiplicando la longitud de la circunferencia de sus círculo
máximo por el diámetro.
– Fórmula: A = 2 π rd
»
»
»
»
Como d = 2r, entonces
A = 2πr (2r)
A = 4πr²
O sea que, el área de una esfera es cuatro veces el área
de su círculo máximo
– Volumen de la esfera
• Se obtiene multiplicando su área por un tercio del radio.
– Fómula: V = 4 π r² (r/3)
» de donde V = 4 π r³/3
» que también se puede expresar como V= 4/3 π r³
Examen muestra (Semana 3 y 4)
•
•
Define el concepto de círculo y circunferencia
Calcula el número total de diagonales que se pueden trazar en un:
• A) Triángulo
• B) Pentágono
• C) Hexágono
•
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•
¿Cuáles son los polígonos regulares?
Calcula la medida del ángulo central de un pentágono regular
Calcula la medida del ángulo interior de un pentágono regular
Calcula el perímetro de un rectángulo cuyas medidas son 65 m de
lago y 40 m de ancho.
En una circunferencia sus ángulos notables son:
Calcula la longitud de una circunferencia que mide 6 cm de radio
Calcular el área de un círculo que mide 7.5 cm de diámetro.