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NÚMEROS Naturales y Enteros U.D. 1 @ Angel Prieto Benito * 3º ESO E.Ap. Apuntes de Matemáticas 3º ESO 1 DIVISIBILIDAD U.D. 1.1 @ Angel Prieto Benito * 3º ESO E.Ap. Apuntes de Matemáticas 3º ESO 2 Función y utilidad de los números. • FUNCIÓN Y UTILIDAD DE LOS NÚMEROS • • • • • • • Los números permiten: CONTAR Números cardinales Ejemplo: En esta clase hay 24 alumnos. ORDENAR Números ordinales Ejemplo: Ana es la tercera alumna de la lista. IDENTIFICAR Ejemplo: En el hotel me alojé en la habitación 507. • Y además.... • • • • EXPRESAR MEDIDAS Medir Ejemplo: Juan pesa 67 kg y mide 1,72 m. CALCULAR Aritmética Ejemplo: El área de esta superficie vale [(6 + 8) / 2 ].5 = 35 m2. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 3 Múltiplos y divisores • Dados dos números naturales, a y b , se dice que “a es divisible por b”, o que “a es múltiplo de b”, o que “b es divisor de a”, si la división a:b es exacta. • EJEMPLO • 45 = 3.3.5 = 9.5 = 3.15 • Podemos decir: • • • • “45 es divisible por 3” “45 es divisible por 5” “45 es divisible por 9” “45 es divisible por 15” @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 4 • También: • • • • “45 es múltiplo de 3” “45 es múltiplo de 5” “45 es múltiplo de 9” “45 es múltiplo de 15” • Y también: • • • • “3 es divisor de 45” “5 es divisor de 45” “9 es divisor de 45” “15 es divisor de 45” @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 5 CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD POR: 2 Todos los números terminados en 0 o en cifra par 312 3 Todo número cuya suma de sus cifras sea múltiplo de 3 321 4 Todo número cuyas dos últimas cifras formen un múltiplo de 4 2512 5 Todo número que termine en 0 o en 5 315 6 Todo número múltiplo de 2 y de 3 a la vez 312 7 Todo número que al suprimir la cifra de las unidades y restar del número que queda el doble de la cifra suprimida, se obtenga un múltiplo de 7 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 476 (35) 6 CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD POR: 7 Todo número que al suprimir la cifra de las unidades y restar del número que queda el doble de la cifra suprimida, se obtenga un múltiplo de 7 476 (35) 8 Todo número cuyas tres últimas cifras formen un múltiplo de 8 13.720 9 Todo número cuya suma de sus cifras sea múltiplo de 9 7.578 10 Todo número que termine en 0. 12.780 11 Todo número en el cual el valor absoluto de la diferencia de la suma de las cifras de lugar par e impar sea múltiplo de 11 8.195 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 7 Números primos • Un número primo sólo tiene como divisores a él mismo y a la unidad. • Un número será primo si al dividirlo por los primeros primos, se cumple que el cociente queda de valor menor o igual que el divisor. • • • • • • • • • • • Ejemplo: 109 109 ----- = 54 y de resto 1 2 109 ----- = 36 y de resto 1 3 109 ----- = 21 y de resto 4 5 @ Angel Prieto Benito • • • 109 ----- = 15 y de resto 4 7 • • • 109 ----- = 9 y de resto 10 11 • Y como el cociente ( 9 ) es menor que el divisor ( 11 ), ya no necesitamos seguir. Podemos afirmar que 109 es un número primo. Apuntes de Matemáticas 3º ESO 8 La Criba de Eratóstenes • La Criba de Eratóstenes consiste en eliminar los números que no sean primos y que por tanto sean múltiplos de algún número; y los que finalmente queden serán los números primos. • • Para obtener los números primos, en la siguiente tabla, a partir del 2, se van tachando todos los números saltando de 2 en 2. A continuación, a partir del 3, todos los números de 3 en 3, y así sucesivamente. • Los números que quedan sin tachar son los números primos. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 9 Tabla de números primos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 10 Tabla de números primos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 11