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El modelo de crecimiento de Solow
MACROECONOMÍA
Charles I. Jones
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5.1 Introducción
 En este capítulo,
 Veremos cómo se acumula el capital con el paso del
tiempo, lo que nos ayudará a comprender el crecimiento
económico.
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 Sabremos cuál es el papel del producto marginal
decreciente del capital en la explicación de las diferencias
internacionales entre las tasas de crecimiento.
 Conoceremos el principio de la dinámica de la transición:
cuanto más por debajo del estado estacionario se
encuentre un país, más deprisa crecerá.
 Sabremos cuáles son las limitaciones de la acumulación de
capital humano y veremos que deja sin explicar una parte
significativa del crecimiento económico.
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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El modelo de crecimiento de Solow es el punto de partida
para saber por qué el crecimiento varía de unos países a
otros.
 Se basa en el modelo de producción añadiendo una
teoría de la acumulación de capital
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 Fue desarrollado a mediados de los años 50 por
Robert Solow, profesor del MIT
 Es la razón por la que recibió el premio Nobel en 1987
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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El modelo de crecimiento de Solow
 El stock de capital ya no es exógeno
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 El stock de capital se “endogeneiza”: pasa de ser una
variable exógena a ser una variable endógena
 La acumulación de capital puede ser un motor de
crecimiento económico a largo plazo
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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5.2 Formalización del modelo
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Partamos del modelo de producción del capítulo 4 y
añadámosle una ecuación que describa la acumulación de
capital con el paso del tiempo.
Producción
 La función de producción:
 es una función Cobb-Douglas
 el trabajo y el capital tienen rendimientos
constantes de escala
 el exponente del capital es 1/3
 Las variables tienen un subíndice temporal, ya que
pueden variar con el paso del tiempo
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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 La producción puede destinarse a consumo (Ct) o a
inversión (It)
 Una restricción de los recursos describe cómo puede
utilizar una economía sus recursos
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Acumulación de capital
 ecuación de acumulación de capital: el próximo año el
stock de capital será igual a la suma de la cantidad de
capital con la que empezamos este año más la cantidad de
inversión realizada este año menos la depreciación
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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 La depreciación es la cantidad de capital que se
desgasta en cada periodo.
 Se considera que la tasa de depreciación es de un 10
por ciento aproximadamente.
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 Por tanto, la variación del stock de capital es igual a
la inversión menos la depreciación.
 Representa la variación que experimenta el stock de
capital entre hoy, el periodo t, y el próximo año, el
periodo t+1.
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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El trabajo
 La cantidad de trabajo de la economía viene dada
exógenamente y su nivel es constante, .
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La inversión
 La cantidad de inversión de la economía es igual a
una tasa constante de inversión multiplicada por la
producción total.
 Recuérdese que la producción total se destina a
consumo o a inversión.
 Por tanto, el consumo es igual a la producción
multiplicada por uno menos la tasa de inversión
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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Resumen del modelo
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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5.3 Los precios y el tipo de interés real
 Si añadiéramos ecuaciones del salario y del precio de
alquiler, éstas establecerían que el salario es igual al PML y
el precio de alquiler es igual al PMK; si no se añadieran, no
cambiaría nada.
 El tipo de interés real es la cantidad que puede ganar
una persona ahorrando una unidad de producción
durante un año.
 O lo que es lo mismo, la cantidad que debe pagar una
persona para pedir prestada una unidad de producción
durante un año.
 Se expresa en unidades monetarias constantes, no
nominales.
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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 El ahorro es la diferencia entre la renta y el consumo.
 El ahorro es igual a la inversión:
ahorro
inversión
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 Una unidad de ahorro es una unidad de inversión y una
unidad de inversión se convierte en una unidad de
capital; por tanto, el rendimiento del ahorro debe ser
igual al precio de alquiler del capital.
 El tipo de interés real de una economía es igual al precio
de alquiler del capital, que es igual al producto marginal
del capital.
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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5.4 Resolución del modelo de Solow
 Para resolver el modelo, expresamos las variables
endógenas en función de los parámetros del modelo y
mostramos gráficamente cómo es la solución y
resolvemos el modelo a largo plazo.
 Combinamos la ecuación de asignación de la inversión
con la ecuación de acumulación de capital.
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(variación del capital)
(inversión neta)
 La inversión neta es la inversión menos la
depreciación.
 Introducimos la oferta de trabajo en la función de
producción:
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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 Ahora hemos reducido nuestro sistema de cinco
ecuaciones y cinco incógnitas a dos ecuaciones y dos
incógnitas:
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 Las ecuaciones fundamentales del modelo de Solow
son:
 La función de producción
 Y la ecuación de acumulación de capital
 ¿Cómo resolvemos este modelo?
 Lo representamos gráficamente, dividiendo las dos
partes de la ecuación de acumulación de capital en
dos elementos: ahorro = inversión y depreciación
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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El diagrama de Solow representa gráficamente
estas dos partes, colocando Kt en el eje de
abscisas:
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Inversión,
Depreciación
En este punto,
dKt = sYt, por lo que
Capital, Kt
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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Figura 5.1 El diagrama de Solow
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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Utilización del diagrama de Solow
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 La cantidad de inversión es mayor que la cantidad de
depreciación, el stock de capital aumentará
 El stock de capital aumentará hasta que la inversión sea
igual a la depreciación: en este punto, la variación del
capital es igual a 0 y, en ausencia de perturbaciones, el
stock de capital permanecerá en este valor del capital
indefinidamente
 El punto en el que la inversión es igual a la depreciación se
llama estado estacionario
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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Supongamos que la economía comienza
encontrándose en K0:
•Vemos que la línea roja se
Inversión,
Depreciación
encuentra por encima de la
verde en K0:
•Ahorro = inversión es mayor
que la depreciación
•Por tanto, ∆Kt > 0 ya que
•Dado que ∆Kt > 0,
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Kt aumenta de K0 a K1 > K0
K
K
0
1
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
Capital, Kt
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Imaginemos ahora que partimos de K0:
Inversión,
Depreciación
•En K0, la línea verde se
encuentra por encima de la
roja
•Ahorro = inversión ahora es
menor que la depreciación
•Por tanto, ∆Kt < 0 ya que
•Dado que ∆Kt < 0,
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Kt disminuye de K0 a K1 < K0
K1 K0
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
Capital, Kt
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Llamamos a este proceso dinámica de la transición:
la economía transita de cualquier Kt a la K* del
estado estacionario de la economía, donde ∆Kt = 0
Inversíón,
Depreciación
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Independientemente de dónde
partamos, ¡haremos la
transición a K*!
En este valor de K,
dKt = sYt, por lo que
K*
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
Capital, Kt
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 Cuando la economía no se encuentra en un estado
estacionario, sigue la dinámica de la transición o, en
otras palabras, el movimiento del capital hacia un
estado estacionario.
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 Obsérvese que cuando la depreciación es mayor que la
inversión, la economía converge hacia el mismo estado
estacionario que antes.
 En el punto de reposo de la economía, todas las
variables endógenas están estacionarias.
 La dinámica de la transición lleva a la economía de su
nivel inicial de capital al estado estacionario.
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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La producción y el consumo en el
diagrama de Solow
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 Utilizando la función de producción, es evidente que
cuando la dinámica de la transición lleva a K hacia su
estado estacionario, también lleva a la producción a su
correspondiente estado estacionario.
 Obsérvese que el consumo es la diferencia entre la
producción y la inversión.
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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Podemos ver qué ocurre con la producción, Y, y,
por tanto, con el crecimiento si redimensionamos
el eje de ordenadas:
Inversión,
Depreciación, Renta
• Ahorro = inversión y
depreciación ahora
aparecen aquí
• Ahora la producción
Y*
puede representarse
gráficamente en la parte
superior del gráfico
• Seguimos teniendo una
dinámica de la transición
hacia K*
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• Por tanto, también
tenemos una dinámica
hacia un nivel de renta
del estado estacionario,
Y*
K
*
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
Capital, Kt
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Figura 5.2 El diagrama de Solow con producción
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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Obtención matemática del estado estacionario
 En el estado estacionario, la inversión es igual a la
depreciación. Si evaluamos esta ecuación en el nivel de
capital del estado estacionario, podemos resolverla
matemáticamente.
 El nivel de capital del estado estacionario está
relacionado positivamente con la tasa de inversión, el
tamaño de la población trabajadora y la productividad
de la economía.
 El nivel de capital del estado estacionario está
correlacionado negativamente con la tasa de
depreciación.
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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¿Qué determina el estado estacionario?
 Podemos hallar matemáticamente K* y Y* en el estado
estacionario; de esa forma comprenderemos mejor el
modelo.
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 En el estado estacionario:
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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 Si sabemos cuál es el valor de K*, podemos hallar
Y* utilizando la función de producción:
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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 Esta ecuación también nos permite calcular la renta
per cápita, y, en el estado estacionario:
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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 Obsérvese que el exponente del parámetro de la
productividad es mayor que en el modelo del capítulo
4:
 debido a que un aumento del parámetro de la
productividad eleva la producción como en el
modelo de producción.
 sin embargo, un aumento de la productividad
también implica que la economía acumula más
capital.
 el propio nivel del stock de capital depende de la
productividad
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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5.5 Análisis de los datos a través de la
lente del modelo de Solow
La relación capital-producto
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 La relación capital-producto viene dada por el cociente
entre la tasa de inversión y la tasa de depreciación:
 Mientras que las tasas de inversión varían de unos países a
otros, se supone que la tasa de depreciación se mantiene
relativamente constante
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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Empíricamente, los países que tienen una tasa
de inversión más alta tienen una relación
capital-producto mayor:
Figura 5.3 Explicación del capital en el modelo de Solow
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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Diferencias de Y/L
 El modelo de Solow da más peso que el modelo de
producción a la PTF en la explicación de la producción per
cápita.
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 Podemos utilizar esta fórmula para comprender por qué
algunos países son mucho más ricos, exactamente igual
que hicimos antes con el modelo básico de producción.
 Tomemos el cociente entre la y* de un país rico y la y* de
un país pobre y supongamos que la tasa de depreciación
es la misma en todos los países:
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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 Ahora observamos que la cifra de 45 veces que separa
la renta per cápita de un país rico de la renta per cápita
de un país pobre puede descomponerse en:
 Una cifra de 103/2 = 18 veces las diferencias de
productividad
 Una cifra de (30/5)1/2 = 61/2 = 2,5 veces las
diferencias entre las tasas de inversión
 En el modelo de Solow, ¡la productividad explica el
18/20 = 90% de las diferencias!
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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5.6 Comprensión del estado estacionario
 La economía se estabiliza en un estado estacionario
porque la curva de inversión
tiene rendimientos
decrecientes.
 Sin embargo, la tasa a la que aumentan la producción y
la inversión es menor conforme es mayor el stock de
capital.
 En cada periodo se deprecia una proporción constante
del stock de capital, lo cual implica que la depreciación
no disminuye conforme aumenta el capital.
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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 En suma, a medida que aumenta el capital, los
rendimientos decrecientes implican que la producción y la
inversión aumentan cada vez menos, pero la depreciación
aumenta en la misma cantidad .
 Finalmente, la inversión neta es cero y la economía se
estabiliza en el estado estacionario.
 El capital tiene rendimientos decrecientes: menos Yt
por Kt adicional.
 Eso significa que la nueva inversión también disminuye:
menos sYt = It.
 Pero la depreciación NO disminuye; es una proporción
constante de Kt
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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5.7 El crecimiento económico en el
modelo de Solow
 En el modelo de Solow no hay crecimiento económico a
largo plazo.
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 En el estado estacionario, la producción, el capital, la
producción por persona y el consumo por persona son
todos constantes y el crecimiento se detiene.
ambos constantes
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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 Empíricamente, parece que las economías continúan
creciendo con el paso del tiempo.
 Por tanto, la acumulación de capital no es un motor
de crecimiento económico a largo plazo.
 El ahorro y la inversión son beneficiosos a corto
plazo, pero los rendimientos decrecientes del
capital no mantienen el crecimiento a largo plazo.
 En otras palabras, una vez que alcanzamos el
estado estacionario, no hay crecimiento a largo
plazo de Yt (a menos que Lt o A aumenten).
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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5.8 Algunos experimentos económicos
 Aunque el modelo de Solow no explica el crecimiento
económico a largo plazo, sí ayuda a explicar algunas
diferencias entre los países.
 Los economistas pueden experimentar con el modelo
cambiando los valores de los parámetros.
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Un aumento de la tasa de inversión
 La tasa de inversión aumenta permanentemente por
razones exógenas.
 La tasa de inversión gira hacia arriba, pero la curva de
depreciación no varía.
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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Figura 5.4 Un aumento de la tasa de inversión
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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 Ahora la economía se encuentra por debajo de su nuevo
estado estacionario y el stock de capital y la producción
aumentan con el paso del tiempo como consecuencia de la
dinámica de la transición.
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 El capital del estado estacionario y la producción del estado
estacionario a largo plazo son mayores.
 ¿Qué ocurre con la producción en respuesta a este
aumento de la tasa de inversión?
 El aumento de la inversión provoca la acumulación de
capital a lo largo del tiempo.
 Este aumento del capital hace que la producción
también aumente.
 La producción aumenta de su nivel del estado
estacionario inicial Y* al nuevo estado estacionario Y**.
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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Figura 5.5 El comportamiento de la producción tras un aumento de s
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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Figura 5.5 El comportamiento de la producción tras un aumento de s
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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Un aumento de la tasa de depreciación
 La tasa de depreciación aumenta como consecuencia de
una perturbación exógena.
 La curva de depreciación gira hacia arriba y la curva de
inversión no varía.
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 El nuevo estado estacionario se encuentra a la izquierda:
eso significa que la depreciación es mayor que la inversión.
 El stock de capital disminuye como consecuencia de la
dinámica de la transición hasta que alcanza el nuevo
estado estacionario.
 Obsérvese que la producción disminuye rápidamente al
principio, pero menos a medida que converge hacia el
nuevo estado estacionario.
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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Figura 5.6 Un aumento de la tasa de depreciación
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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 ¿Qué ocurre con la producción en respuesta a este
aumento de la tasa de depreciación?
 La disminución del capital reduce la producción.
 La producción disminuye rápidamente al principio y
después se estabiliza gradualmente en su nuevo nivel
más bajo del estado estacionario Y**.
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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Figura 5.7 El comportamiento de la producción tras un aumento de d
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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Figura 5.7 El comportamiento de la producción tras un aumento de d
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Haga el lector sus propios experimentos
 Trate de experimentar con todos los parámetros del
modelo:
1. Averigüe si se desplaza alguna curva y, en caso
afirmativo, cuál.
2. Siga la dinámica de la transición del modelo de Solow.
3. Analice los valores del capital, la producción y la
producción por persona del estado estacionario.
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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5.9 El principio de la dinámica de la
transición
 Cuando la tasa de depreciación y la tasa de inversión
sufrían una perturbación, la producción se representaba a
lo largo del tiempo en una escala logarítmica.
 La escala logarítmica nos permite ver que la producción
varía más deprisa cuanto más lejos nos encontremos
del estado estacionario.
 A medida que la economía se aproxima al estado
estacionario, el crecimiento se reduce a cero.
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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 Según el principio de la dinámica de la transición, cuanto
más por debajo de su estado estacionario se encuentra
una economía en términos porcentuales, más deprisa
crece.
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 Asimismo, cuanto más por encima de su estado
estacionario se encuentra una economía en términos
porcentuales, más despacio crece.
 Este principio nos permite comprender por qué las
economías pueden crecer a tasas distintas al mismo
tiempo.
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
49
Explicación de las diferencias entre las tasas de
crecimiento
 Empíricamente, los países de la OCDE que eran
relativamente pobres en 1960 crecieron rápidamente,
mientras que los países que eran relativamente ricos
crecieron a un ritmo más lento.
 Si los países de la OCDE tienen el mismo estado
estacionario, el principio de la dinámica de la transición
lo predice.
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 Observando el mundo en su conjunto, los países ricos y
pobres crecen, en promedio, a la misma tasa.
 Dos consecuencias: (1) la mayoría de los países ya han
alcanzado su estado estacionario; y (2) los países no son
pobres porque hayan sufrido una perturbación negativa
sino porque los parámetros determinantes de su estado
estacionario son más bajos.
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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Figura 5.8 Tasas de crecimiento en la OCDE, 1960-2000
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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Figura 5.9 Tasas de crecimiento en el mundo, 1960-2000
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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5.10 Puntos fuertes y puntos débiles del
modelo de Solow
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 Los puntos fuertes del modelo de Solow son:
1. Contiene una teoría que determina el nivel de riqueza
de un país a largo plazo.
2. El principio de la dinámica de la transición nos ayuda a
comprender las diferencias internacionales entre las
tasas de crecimiento.
 Los puntos débiles del modelo de Solow son:
1. Centra la atención en la inversión y en el capital y no
explica la PTF, que es un factor mucho más
importante.
2. No explica por qué las tasas de inversión y de
productividad varían de unos países a otros.
3. No contiene una teoría del crecimiento económico a
largo plazo.
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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Resumen
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1. El punto de partida del modelo de Solow es el modelo de
producción del capítulo 4. El modelo de Solow añade a
ese modelo una teoría de la acumulación de capital. Es
decir, convierte el stock de capital en una variable
endógena.
2. El stock de capital es la suma de las inversiones
realizadas anteriormente. El stock de capital actual
consiste en las máquinas y los edificios que se compraron
durante varias décadas.
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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3. El objetivo del modelo de Solow es comprender mejor el
crecimiento económico, pero sólo lo logra en parte. El
hecho de que el capital tenga rendimientos decrecientes
significa que el modelo no lleva a un crecimiento
económico continuo. A medida que la economía acumula
más capital, la depreciación aumenta exactamente en la
misma cuantía, pero la producción y, por tanto, la
inversión aumentan en menor medida debido al
producto marginal decreciente del capital. Finalmente, la
nueva inversión sólo es justo la suficiente para
compensar la depreciación, por lo que el stock de capital
deja de crecer. La producción también deja de crecer y la
economía se estabiliza en un estado estacionario.
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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4. El modelo de Solow consigue dos importantes logros. En
primer lugar, ofrece una teoría satisfactoria de la
determinación del capital, prediciendo que la relación
capital-producto es igual al cociente entre la inversión y
la depreciación. Los países que tienen una elevada tasa
de inversión deberían tener, pues, una elevada relación
capital-producto, y los datos confirman esta predicción.
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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5. El segundo logro importante del modelo de Solow es el
principio de la dinámica de la transición, que establece
que cuanto más por debajo de su estado estacionario se
encuentra una economía, más deprisa crece. Aunque el
modelo no puede explicar el crecimiento a largo plazo, el
principio de la dinámica de la transición constituye una
excelente teoría de las diferencias internacionales entre
las tasas de crecimiento. Los aumentos de la tasa de
inversión o de la productividad total de los factores
pueden elevar la posición del estado estacionario de un
país y, por tanto, aumentar el crecimiento, al menos
durante unos años. Estos cambios pueden analizarse con
la ayuda del diagrama de Solow.
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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6. En general, la mayoría de los países pobres tienen una
baja PTF y una baja tasa de inversión, que son los dos
determinantes fundamentales de las rentas del estado
estacionario. Si los valores de las variables
fundamentales de un país fueran altos, pero éste fuera
pobre porque hubiera sufrido una perturbación negativa,
veríamos que crecería rápidamente, según el principio de
la dinámica de la transición.
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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Figura 5.10 La inversión en Corea del Sur y Filipinas, 1950-2000
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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Figura 5.11 El diagrama de Solow
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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Figura 5.12 Evolución de la producción, 2000-2100
CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow
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