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NÚMEROS REALES
U.D. 1 * 4º ESO E. AC.
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO E. AC.
1
INTERVALOS
U.D. 1.4 * 4º ESO E. AC.
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO E. AC.
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VALOR ABSOLUTO
•
VALOR ABSOLUTO.
•
Los números irracionales, como √2 , junto con los números racionales,
como 4 / 7, forman el conjunto de los números REALES ( R )
•
El valor absoluto de un número real, x , se designa |x|, y coincide con el
número si es positivo o 0, y con su opuesto si es negativo.
•
Ejemplos:
•
•
•
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|2| = 2
|-3| = 3
| -3/4| = ¾
|- √2| = √2
|√-2| = No existe, puesto que √-2 no es un número real.
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PROPIEDADES del valor absoluto:
•
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•
1.Ejemplo:
Ejemplo:
|a| = |-a|
|3| = |-3|  3 = 3
|4,13| = |- 4,13|  4,13 = 4,13
•
•
•
2.Ejemplo:
Ejemplo:
|a.b| = |a|.|b|
|3.(-2)| = |3|.|-2|  |-6| = 3.2  6 = 6
|(-3).5| = |-3|.|5|  |-15| = 3.5  15 = 15
•
•
•
3.Ejemplo:
Ejemplo:
|a+b| ≤ |a|+|b|
|3+(-2)| ≤ |3|+|-2|  |1| ≤ 3+2  1 ≤ 5
|(-5)+(-2)| ≤ |-5|+|-2|  |-7| ≤ 5+2  7 ≤ 7
•
•
•
4.- Si |a|<k, entonces -k < |a| < k
Ejemplo:
|-2| < 3  - 3 < 2 < 3
Ejemplo:
|3| < 5  - 5 < 3 < 5
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Intervalos sobre la recta real
•
INTERVALOS FINITOS
•
Son unos subconjuntos de la recta real especialmente interesantes y que
se emplean mucho.
•
•
Abierto
Ejemplo:
(a, b)
(-2, 3)  Todos los números entre -2 y 3
•
•
Cerrado
Ejemplo:
[a, b]
[-5, -2]  Todos los números entre -5 y -2, incluidos ambos.
•
•
Semiabierto por la izquierda
(a, b]
Ejemplo:
(- 5, 2]  Todos los números entre -5 y 2, incluido el 2.
•
•
Semiabierto por la derecha
[a, b)
Ejemplo:
[- 3, 2)  Todos los números entre -3 y 2, incluido el - 3.
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Representación sobre R
• NOMENCLATURA Y REPRESENTACIÓN
a<x<b
R
a
b
a≤x≤ b
R
a
b
a<x≤ b
R
a
b
a≤ x< b
R
a
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b
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Intervalos sobre la recta real
•
•
INTERVALOS INFINITOS o SEMIRRECTAS
Estos intervalos dan lugar a semirrectas.
•
•
(a, + ∞)
Ejemplo:
(2, + ∞)  Todos los números mayores que 2
•
•
•
•
•
[a, + ∞)
Ejemplo:
[2, + ∞)  Todos los números mayores que 2, incluido el 2.
(- ∞, b)
Ejemplo:
(- ∞, 2)  Todos los números menores que 2
•
•
(- ∞, b]
Ejemplo:
(- ∞, 2]  Todos los números menores que 2, incluido el 2.
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Representación sobre R
• NOMENCLATURA Y REPRESENTACIÓN
a<x
R
a
a≤x
R
a
x≤ b
R
b
x< b
R
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b
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Intervalos y valor absoluto
• INTERVALOS Y VALOR ABSOLUTO
• Sea la expresión: | x | ≤ 5
• Sabemos que x puede variar de - 5 a + 5 para que se cumpla la
expresión, incluido el – 5 y el + 5.
• Representados todos los valores de x que cumplen la expresión:
-5≤x≤ 5
R
-5
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+5
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Intervalos sobre la recta real
• Otro ejemplo
• Sea la expresión: | x – 3 | < 1
• Si (x – 3) > 0 
queda
x–3<1  x<4
• Si (x – 3) < 0  queda – x + 3 < 1  2 < x
•
• Vemos que x puede variar de 2 a 4 para que se cumpla la
expresión, sin incluir ni el 2 ni el 4.
• Representados todos los valores de x que cumplen la expresión:
2< x< 4
R
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Entornos sobre la recta real
•
ENTORNO
•
Un intervalo de la forma (a-r, a+r) se llama entorno abierto de centro el
punto a y radio r.
Se designa por E(a, r) y está formado por todos los puntos cuya distancia al
centro, a, es menor que el radio.
•
•
•
Un intervalo de la forma [a-r, a+r] se llama entorno cerrado de centro el
punto a y radio r.
Se designa por E[a, r] y está formado por todos los puntos cuya distancia al
centro, a, es menor o igual que el radio.
E(3 , 1)
R
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3
E[5’5 , 0’75]
4
4,75
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5,5
6,25
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Ejemplos de entornos
•
•
Ejercicio múltiple para completar con sus equivalencias
ENTORNOS
VALOR ABSOLUTO
INTERVALOS
•
E(5, 3)
↔
|x – 5| < 3
•
E(- 2, 3)
↔
|x + 2| < 3
•
E[3, 7]
↔
|x – 3| ≤ 7
•
E(- 7, 5)
↔
|x + 7| ≤ 5
•
E[-1, 3]
↔
[-4, 2]
•
E(-3’5, 1’5)
↔
(- 5, - 2)
•
E[2, 5’5]
↔
[ – 3’5 , 7’5]
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