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Cálculo de Campos Eléctricos y Magnéticos Universidad Nacional de Colombia Física 1000017 G09N07carlos 2012 Cálculo de Campo Eléctrico • Calcule el campo eléctrico en el punto b producido por una distribución lineal de carga λ. • x=0 x=L x=b Campo Eléctrico E sobre el Eje de una Carga Lineal Finita Una carga uniforme Q, distribuida a lo largo del eje x desde x=0 a x=L, con densidad de carga lineal λ= Q/L. y Para determinar el campo eléctrico producido por dq= λ dx x=b dicha carga en el punto X=0 X=L x dx x x=b sobre el eje x en x=0, siendo x0>L. Tomamos un elemento dq=λdx de la carga lineal para considerarla como una carga puntual. 0 Campo Eléctrico E sobre el Eje de una Carga Lineal Finita. Elegimos un pequeño elemento diferencial dx que dista x del origen. El punto del campo x=b se encuentra a una distancia r=x0-x del elemento diferencial dx. El campo eléctrico E debido a este elemento de carga esta dirigido a lo largo del eje x y su magnitud de acuerdo con la ley de Coulomb es: kdq Ù kdq kl dx dE = 2 r = dEx = = 2 2 r ( x0 - x) ( x0 - x) Campo Eléctrico E sobre el Eje de una Carga Lineal Finita. Para determinar el campo total integramos para toda la carga lineal completa desde x=0 a x=L; Ex = kl ò L 0 L dx ( x0 - x) é 1 ù = kl ê ú ë x0 - x û0 2 ì ü ì 1 ï ï 1ü L = kl í ý = kl í ý ï î x0 - L x0 þ î x0 ( x0 - L ) ï þ Aplicando λ=Q/L tenemos el campo eléctrico Ex: kQ Ex = x0 (x0 - L) Campo Eléctrico E sobre el Eje de una Carga Lineal Finita. kQ Ex = x0 (x0 - L) Puede verse que si x0 es mucho mayor que L, el campo eléctrico en x0 es aproximadamente: kQ E= 2 x0 Lo que nos demuestra que si estamos suficientemente lejos de la carga lineal, está se comporta como una carga puntual. Cálculo de Campo Eléctrico Calcule el campo eléctrico en el punto b producido por una distribución lineal de carga λ. y=b x=-L/2 x=0 x=L/2 Campo Eléctrico en un Punto de la Mediatriz de una Carga Lineal Finita Uniforme. y dE dEy θ dEx Y=b θο θ r dq= λdx ½L 0 dx x Teniendo en cuenta el esquema de la diapositiva anterior, el elemento cargado se encuentra sobre el eje x, desde x1=-L/2 a x2=L/2, y el punto b sobre el eje y, el elemento de carga dq= λdx y el campo dE. El campo tiene un componente paralelo a la carga lineal y otro perpendicular a ésta, dada la simetría de la distribución al sumar todos los elementos de carga de la línea, los componentes paralelos se anulan y el campo E quedara dirigido a lo largo del eje y. La magnitud del campo producido por el elemento de carga dq=λdx es: kdq kldx dE = 2 = 2 r r Su componente en y es: Donde: kldx kl ydx dEy = 2 cosq = 3 r r cosq = y / r r = x +y 2 2 El campo total Ey se calcula integrando desde x=-1/2 L a x=+1/2 L. Por simetría por la distribución de la carga, cada mitad de la carga lineal contribuye al campo total de forma idéntica, lo cual nos permite integrar de x=0 a x=1/2 L y multiplicando por 2. es decir: 1 1 1 x=+ L x= L x= L dx Ey = ò 12 dEy = 2 ò 2 dEy = 2kl y ò 2 3 x=0 x=0 x=- L r 2 dx 1 x 1 ò r 3 = y2 r = y2 senq θ=0 en x=0, por lo tanto senθ=0 en el limite inferior; para el limite superior x=L/2, θ=θ0. 1 L 2 senq 0 = 2 æ1 ö 2 ç L÷ + y è2 ø El campo es igual: 1 L 2kl y 2kl 2 Ey = 2 senq 0 = y y æ 1 ö2 2 ç L÷ + y è2 ø Cálculo de Campo Eléctrico Calcule el campo eléctrico en el punto b producido por un aro de radio a con una distribución lineal de carga λ. Halle una expresión para E(y) y=b (0,0) Campo Eléctrico Sobre el Eje de una Carga Anular. dEy θ dE b dEI θ r y dq a En la figura anterior se observa un anillo cargado de radio a. El campo eléctrico dE en el punto b sobre el eje y debido al elemento dq posee un componente a lo largo del eje y dEy y uno perpendicular dEI a ese mismo eje. Cuando los componentes perpendiculares correspondientes a todos los elementos se suman, se cancelan entre sí, de tal modo que el campo neto está dirigido a lo largo del eje y. Geométricamente: r 2 = y2 + a2 y cosq = = r y y2 + a2 El campo debido al elemento de carga es kdq kdq y kdqy dEy = 2 cosq = 2 = 3 r r r 2 22 ( y +a ) El campo debido al anillo completo cargado es: Ey = ò kydq (y + a 2 2 ) 3 2 Como y no varia al integrar los elementos de carga: Ey = Es decir: Ey = ky 2 2 y + a ( ) 3 = 2 kQy (y + a ) 2 2 3 2 ò dq Cálculo de Campo Magnético Calcule el campo magnético en el punto b producido por una corriente I que circula por el aro de radio a . Halle una expresión para B(y) y=b (0,0) Campo Magnético en un Punto Sobre el Eje de una Espira de Corriente Circular x Id dBx R θ r θ b z dB dBy y La figura anterior permite calcular el campo magnético en un punto del eje de una espira circular a una distancia y de su centro. Considerando el elemento de corriente en la parte superior de la espira, como en todos los puntos de la espira, Id es tangente a la espira y Ù perpendicular a r dirigido desde el elemento de corriente hacia el punto b. Al igual el campo magnético dB debido a este elemento se Ù Id encuentra perpendicular a ya r Geométricamente: r = y +R 2 Ù 2 2 Como d y r son perpendiculares: Ù d ´r = d La magnitud de dB es: Ù m0 dB = 4p I d ´r r2 m0 Id = 4p y2 + R2 Si se suman los elementos de corriente de la espira, los componentes perpendiculares de dB suman 0 , por lo tanto dBx=0, solo calculamos los componentes de dBy que son paralelos al eje. Por lo tanto el componente y del campo es: æ R ö m Id R 0 ÷= 2 2 dB y = dBsenq = dBçç 2 2 ÷ 4p y + R 2 2 y +R è y +R ø El campo debido a la espira completa, integrando dBy alrededor de la espira: m0 IR B y = ò dB y = ò d 3 4p (y2 + R2 ) 2 Como y y R no varían al sumar para todos los elementos de la espira, podemos escribir: By = m0 IR 4p (y + R ) 2 2 3 2 òd La integral d alrededor de la espira es 2πR, entonces el campo magnético en el eje y de la espira es igual a: 2 2 m0 2p R I m0 R I By = = 3 3 2 2 2 2 2 4p (y + R ) 2(y + R ) 2 En el centro de la espira, y=0: B= m0I 2R Lejos de la espira, y>>R: B» m0 IR2 2y3 Cálculo de Campo Magnético Usando la Ley de Biot & Savart calcule, en el punto b el campo magnético de una corriente I que fluye por un alambre de longitud infinita Y=b I Campo Magnético Alrededor de un Conductor Recto Delgado con Longitud Infinita. y ds = dx Y=b r q1 Ù r a q q2 ds O x I X A partir de la ley de Biot-Savart: Ù m 0 Ids´ r dB = 4p r 2 Guiados por la figura anterior consideramos un elemento de longitud ds que está a una distancia r de b. La dirección del campo magnético en b generado por el elemento apunta hacia fuera de Ù la hoja, ya que ds´ r se orienta hacia fuera de la hoja, vector k. Tomando a O como origen y con b a lo largo del eje y positivo, con k como vector unitario que apunta hacia fuera de la pagina, tenemos: Ù Ù ds´r = k ds´r = k(dxsenq ) m0I dxsenq dB = (dB)k = k 2 4p r Ya que todos los elementos de corriente producen un campo magnético en dirección k, nos permite calcular el campo magnético de un elemento de corriente. Por lo tanto: m 0 I dxsenq dB = 4p r2 r = Puesto que: q= a = acsc q senq x=-acotq a -x Derivando y sustituyendo: dx = acsc q dq 2 m0I acsc q senq dq m0I dB = = 2 2 4p a csc q 4p a 2 Integrando: m0 I q2 m0 I B = ò senq dq = (cosq1 -cosq2 ) 4p a q1 4p a En el caso de un alambre recto de longitud infinita, los ángulos: q = 0 q =p Con longitud entre: x = -¥ 1 2 x = +¥ Por lo tanto: (cosq1 -cosq2 )=(cos0-cos p ) El campo magnético: m0 I B= 2p a